IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

Una identidad trigonométrica es una igualdad problemática condicional que se verifica para cualquier valor de los ángulos que la forman.

Identidades trigonométricas primarias.

1. Sen x = 1

cosc x

2. Cos x = 1

sec x

3. Tan x = 1

cot x

Identidades trigonométricas inversas.

1. cosc x = 1

sen x

2. Cot x = 1

tan x

3. sec x = 1

cos x

Equivalencias por cociente.

1. Tan x = sen x

cos x 7. Tan2 x =

tan x

cot x 13. Cosc x =

sec x

tan x

2. Cot x = cos x

sen x 8. Cosc x =

cot x

cos x 14. Tan x =

sec x

cosc x

3. Sen x = cos x

cot x 9. Cot 2 x =

cot x

tan x 15. Sen2 x =

sen x

cosc x

4. Cos x = sen x

tan x 10. Cos x =

cot x

cosc x 16. Sec x =

cosc x

cot x

5. Sen x = tan x

sec x 11. Cos2 x =

cos x

sec x 17. Cosc2 x =

cosc x

sen x

6. Sec2 x = sec xcos x

12. Sec x = cosc x

cot x 18. Sec x =

tan x

sen x

Equivalencias por productos.

1. Tan x. cos x = sen x 7. Cosc x. cos x = cot x

2. Cot x. sen x = cos x 8. Cot2 x. tan x = cot x

3. Sen x. sec x = tan x 9. Cos x. cosc x = cot x

4. Sec2 x. cos x = sec x 10. Cos2 x. sec x = cos x

5. Tan2 x. cot x = tan x 11. Cosc2 x. sen x = cosc x

6. Sec x. cot x = cosc x 12. Cosc x. tan x = sec x

Toda función multiplicada por su inversa es igual a uno. Cualquier función dividida por su inversa es igual al cuadrado de dicha función.

Identidades pitagóricas. Son aquellas identidades trigonométricas que se obtienen mediante la aplicación del teorema de Pitágoras. En el triangulo ABC, a2+b2=c2 B

a c

C x A b

Además si hacemos referencia en el triangulo anterior se cumple que:

Sen x = a

c Cosc x =

c

a

Cos x = b

c Sec x =

c

b

Tan x = a

b cot x =

b

a

Elevando al cuadrado las funciones anteriores tenemos:

Sen2 x = a2

c2 Cosc2 x =

c2

a2

Cos2 x = b2

c2 Sec2 x =

c2

b2

Tan2 x = a2

b2 Cot2 x =

b2

a2

Tomamos ahora el teorema de Pitágoras a2+b2 =c2 y se divide por c2.

1. a2

c2 +

b2

c2 =

c2

c2 como se observa en los cuadrados de las funciones

Sen2 x = a2

c2 , cos2 x =

b2

c2 y

c2

c2 = 1 por lo que:

Sen2 x + cos2 x = 1

Se repite el procedimiento pero dividiendo ahora por b2

2. a2

b2 +

b2

b2 =

c2

b2 por lo que:

Tan2 x + 1= sec2

Por último se divide por a2 a2

a2 + b2

a2 = c2

a2 por lo que

1+cot2 x = cosc2 x En resumen las identidades trigonométricas pitagóricas primarias son

1. Sen2 x + cos2 x = 1

2. Tan2 x + 1= sec2

3. 1+cot2 x = cosc2 x

De las identidades anteriores se derivan:

1. Cos2 x = 1- sen2 x 2. Sen2 x = 1- cos2 x 3. Tan2 x = sec2 x – 1 4. Sec2 – tan2 x = 1 5. Cot2 x = cosc 2 x – 1 6. Cosc2 x – cot2 x = 1

Las identidades anteriores se pueden escribirse también de la forma:

1. Cos x = 1 − sen2x

2. Sen x= 1 − cos2 x

3. Tan x = sec2 x − 1

4. sec2 x − tan2 x = 1

5. Cot x = cosc2 x − 1

6. cosc2x − cot2 x =1

Demostración de identidades trigonométricas.

1. Pruebe que:

Sen x. Tan x = sen x+tan x

cot x+cosc x

Solución: Se sustituye tan x por sen x

cos x y cot x por

sen x

cos x

Sen x. Tan x = Sen x+

Sen x

cos x

cos x

sen x+ cosc x

se realiza la suma de quebrados

Sen x. Tan x = sen x .cos x +sen x

cos xcos x +1

sen x

Sen x. Tan x =

sen x (cos x +1)

cos xcos x +1

sen x

Sen x. Tan x = sen x(cos x+1)

cos x ÷

cos x+1

sen x se realiza el producto cruzado

Sen x. Tan x = se n2x(cos x+1)

cos x(cos x+1) simplificando nos queda

se n2x

cos x

Sen x. Tan x = se n2x

cos x se expresa sen2 x como Sen x . Sen x

Sen x. Tan x = sen x. sen x

cos x Se sustituye

sen x

cos x por tan x

Sen x .Tan x = Sen x .Tan x L.Q.Q.D.

2. Pruebe que:

tan k−cot k

tan k−cot k = Cot k . Tan k

Solución:

Sustituimos tan k por sen k

cos k y cot k por

cos k

sen k

sen k

cos k –

cos k

sen ksen k

cos k –

cos k

sen k

= Cot k . Tan k

Se realiza la suma de quebrados en el numerador y en el denominador

sen k .sen k –cos k .co s k

cos k . sen k

sen k .sen k –cos k .co s k

cos k . sen k

= Cot k . Tan k

Simplificamos cancelando los numeradores de las dos fracciones.

cos k .sen k

sen k .cos k = Cot k . Tan k

Se escribe como

cos k

sen k .

sen k

cos k = Cot k . Tan k

Se sustituye cos k

sen k por cot k y

sen k

cos k por tan k

Cot k . Tan k = Cot k . Tan k L.Q.Q.D.

3. Demuestre que 1+sen k = cos k . 1+sen k

1−sen k

Solución:

Racionalizamos multiplicando por 1 + sen k

1+sen k = cos k . 1+sen k

1−sen k .

1+sen k

1+sen k

(1+sen k)(1+sen k)= (1+sen k)2 y (1- sen k)(1+sen k)= 1- sen2k

Se sustituyen estos resultados y la expresión toma la forma

1+sen k = cos k . 1+sen k 2

1−sen 2 k

1+sen k = cos k . 1+sen k

cos 2 k

1+sen k = cos k . 1+sen k

cos k

1+sen k = cos k (1+sen k)

cos k

1+sen k = 1+sen k L.Q.Q.D.

4. Pruebe que sec2 k = 1+Tan2 k

Solución:

Sec2 k = 1+ sen 2 𝑘

cos 2 k

Sec2 k = cos 2 𝑘+sen 2 𝑘

cos 2 k

Sec2 k =

1

cos 2 k

Sec2 k = sec2 k L.Q.Q.D.

5. Demuestre que cosc2 k = 1+cot2 k

Cosc2 k = 1+ cos 2 k

sen 2 k

Cosc2 k = sen 2 k+cos 2 k

sen 2 k

Cosc2 k = 1

sen 2 k

Cosc2 k = Cosc2 k L.Q.Q.D.

6. Demuestre que sec k + Tan k = cos k

1−sen k

Solución:

1

cos k +

sen k

cos k =

cos k

1−sen k

cos k+cos k .sen k

cos 2 k =

cos k

1−sen k

cos k (1+sen k)

1−sen 2 k =

cos k

1−sen k

cos k (1+sen k)

1+sen k (1−sen k) =

cos k

1−sen k

cos k

1−sen k =

cos k

1−sen k L.Q.S.Q.D.

Otra forma.

Sec k + Tan k = cos k

1−sen k x

1+sen k

1+sen k

Sec k + Tan k = cos k+cos k.sen k

1−sen 2 k

Sec k + Tan k = cos k+cos k.sen k

cos 2k

Sec k + Tan k = cos k

cos 2 k +

cos k.sen k

cos 2 k

Sec k + Tan k = cos k

cos k.cos k +

cos k.sen k

cos k.cos k

Sec k + Tan k = 1

cos k +

sen k

cos k pero

1

cos k = sec k y

sen k

cos k = tan k

Sec k + Tan k = Sec k + Tang k L.Q.S.Q.D.

7. Pruebe que

Sec k- cos k = Tan k . Sen k

Solución:

Sec k- cos k = sen k

cos k Sen k

Sec k- cos k = sen 2 k

cos k

Sec k- cos k = 1−cos 2 k

cos k

Sec k- cos k = 1

cos k –

cos 2 k

cos k

Sec k- cos k = 1

cos k –

cos k.cos k

cos k

Sec k – cos k = sec k – cos k L.Q.S.Q.D.

8. Demuestre que:

Cos k = cosc k

tan k+cot k

Solución:

Cos k = cosc k

sen k

cos k+

cos k

sen k

Cos k = cosc k

sen 2 k+cos 2 k

cos k .sen k

Cos k = cosc k

1 cos k .sen k

1

cos k.sen k =

1

cos k x

1

sen k

Cos k = Cosc k ÷ 1

cos k x

1

sen k

Cos k = cosc k

sec k.cosc k

Cos k = 1

sec k pero

1

cos k = cos k

Cos k = Cos k L.Q.S.Q.D.

9. Demuestre que:

Cos k = cosc k−sen k

cot k

Solución:

Cos k =

1

sen k−sen k

cos k

sen k

se sustituye cosc k por 1

sen k y cot k por

cos k

sen k

Cos k =

1−sen 2 𝑘

sen kcos k

sen k

Cos k = cos 2 k

sen k ÷

cos k

sen k

Cos k = cos 2 𝑘 .sen 𝑘

sen k.cos k

Cos k = cos k.cos k

cos k

Cos k = Cos k L.Q.S.Q.D Otra forma de probar esta identidad es:

Cos k = Cosc k −

1

Cosc k

Cot k

Cos k = Cosc 2 k−1

Cosc k

Cot k pero Cosc2 k-1= Cot2 k por lo que:

Cos k = Cot 2 k

Cosc k

Cot k =

Cot 2 k

Cosc k ÷

Cos k= Cot 2 k

Cosc k.Cot k =

Cot k

Cosc k =

Cos k

Sen k ÷

1

Sen k

Cos k= Cos k .Sen k

Sen k

Cos k = Cos k L.Q.S.Q.D

Cot k

10. Pruebe que:

1+cos k

1−cos k = Cosc k .Tan k

1+cos k

1−cos k .

1+cos k

1+cos k = Cosc k .Tan k

(1+cos k)2

1−co s2 k = Cosc k .Tan k

1+cos k

se n2k = Cosc k .Tan k

1+cos k

sen k = Cosc k .Tan k

1

sen k .

cos k

sen k = Cosc k .Tan k

Cos k .Tan k = Cosc k .Tan k L.Q.Q.D

11. Tan k−cos k

se n3 k =

Sec k

1+Cos k

Sen k

Cos k –Se n k

se n3 k =

Sec k

1+Cos k

Sen k−Cos k .Sen k

Cos k

Sen k .Sen2 k =

Sec k

1+Cos k

Sen k (1−Cosk )

Cos k ÷

Sen k .Sen2k

1 =

Sec k

1+Cos k

Sen k (1−Cosk )

Sen k .Se n2k (Cos k) =

Sec k

1+Cos k

(1−Cosk )

Se n2k (Cos k) =

Sec k

1+Cos k

(1−Cosk )

1−Co s2k .Cos k =

Sec k

1+Cos k

(1−Cosk )

1−Cos k (1+Cos k) Cos k =

Sec k

1+Cos k

1

(1+Cos k) Cos k =

Sec k

1+Cos k Aquí

1

(1+Co s k) Cos k =

1

Cos k .

1

1+Cos k

Luego: Sec k

1+Cos k =

Sec k

1+Cos k L.Q.Q.D

Para probar esta identidad se racionaliza multiplicando la fracción original por el conjugado del denominador lo que da como resultado (1+cos k)2

1−co s2 k, lo que

simplificado es igual a: 1+cos k

sen k ya que

1 − cos2 k= sen2 k y luego sustituimos

Cosc x por 1

Sen k y

Tan x por Cos k

Sen k

Y Como 1

𝐶𝑜𝑠 𝑘 = Sec k, tendremos que:

Sec k . 1

1+𝐶𝑜𝑠 𝑘 =

𝑆𝑒𝑐 𝑘

1+𝐶𝑜𝑠 𝑘

12. Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + Cos4 x

Cos2 x = (1−Cos2 x) Cos2 x + Cos4 x

Cos2 x = Cos2 x −Cos4 x + Cos4 x

Cos2 x = Cos2 x

Otra forma Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + Cos4 x

Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + (Cos2 x)2 Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + (1−Sen2 x)2 Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x +1−2Sen2 x+Sen4 Cos2 x = Sen2 x (1−Sen2 x)+1−2Sen2 x+Sen4 Cos2 x = Sen2 x −Sen4 x+1−2Sen2 x+Sen4 Cos2 x = 1−Sen2 x

Cos2 x = Cos2 x

13. 1

Cos k −

Cos k

1+Sen k = Tang k

1+Sen k−Co s2k

Cos k (1+Sen k) = Tang k

1+Sen k−(1−Se n2k)

Cos k (1+Sen k) = Tang k

1+Sen k−1+Se n2k

Cos k (1+Sen k) = Tang k

1+Sen k−1+Se n2k

Cos k (1+Sen k) = Tang k

Sen k+Se n2k

Cos k (1+Sen k) = Tang k

Sen k (1+Sen k)

Cos k (1+Sen k) = Tang k

Sen k

Cos k = Tang k pero

Sen k

Cos k = Tang k por lo que:

Tang k = Tang k

14. Se n2k+Co s2k

Tang k + Cot k =2 Cot k

1

Tang k + Cot k =2 Cot k

1

Tan k + Cot k = 2 Cot k pero

1

Tan k + Cot k =

1+1

Tan k =

2

Tan k

2

Tan k =2 Cot k y como

2

Tan k = 2÷

Sen k

Cos k =

2 Cos k

Sen k = 2 Cot k

Luego:

2 Cot k =2 Cot k L.Q.Q.D