i.4. ecualización de canal -proakis,“comm…”, cap....

I. Introducción. 37ver. 1

J.A.R.C

TAC (2007-08)

I.4. Ecualización de Canal

Canal

Paso-bajo óPaso-banda

Modulador digital De-modulador

digital

Ruido n(t)

Flujo de símbolos (kbits) cada periodo de

símbolo T

…01011… …01111…

¡ Error !

- F1: Suponiendo que el canal es un LTI (en la práctica no siempre se da esto), puede haber errores en la transmisión si la amplitud de Hc(f) no es plana y el retardo de grupo no es constante en la banda que ocupa la señal transmitida y(t)

- F2: El efecto de las perturbaciones (interferencias, ruido,..), que se suelen modelar mediante una fuente de ruido n(t)

Fuentes de error en un sistema digital (suponiendo sincronización perfecta):

Modelo simplificado de sistema digital:

-Proakis,“Comm…”, Cap. 8-Proakis,“Dig…”,Cap. 10,11-Sklar,“Dig…”,Cap. 2-Haykin, “Comm..”, Cap. 4

I.4. Ecualización de Canal. 38ver. 1

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- A) El canal es ideal pero hay ruido: AWGN (Additive White Gaussian Noise)

- Estudio de diferentes tipos de receptores (con filtros adaptados, correladores, detectores de secuencias por Viterbi para modulaciones con memoria,…) y su Pe asociada

- B) El canal tiene un ancho de banda limitado que provoca IES (fuente de errores aunque no haya ruido): Band-limited channels

- C) Se tiene ruido y ancho de banda limitado a la vez.: Band-Limited AWGN channels

- Criterio de Nyquist para no IES, características en coseno alzado, diagrama de ojo, detectores de secuencias por Viterbi, Ecualización de canal…

- Recetores con filtros adaptados a la señal incluyendo la respuesta del canal, raíz de coseno alzado en transmisor y receptor, diagrama de ojo, detectores de secuencias por Viterbi, Ecualización de canal…

Escenarios de estudio al que dan lugar las fuentes de error F1 y F2:

Técnicas, criterios, respuestas,…relacionados con el escenario de

estudioEscenarios de estudio


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Canal

Retardo de propagación

IES: “Cuando en el demodulador digital se está procesando la señal correspondiente al símbolo k, al muestrar aparece la contribución de su señal asociada más las

contribuciones (interferencias) de las señales de otros símbolos q ≠ k”

Cualquier no idealidad del canal se traduce en el fenómeno de IES:

DecisiónFiltro o

CorreladorMuestreo cada t=T

…01101…

Las “colas” de cada símbolo pueden extenderse incluso hasta varios símbolos posteriores

I.4.1. Interferencia Entre Símbolos (IES)

I.4.1. Interferencia Entre Símbolos (IES) 40ver. 1

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TAC (2007-08)

0

1 0110

Caso 0) Canal de ancho de banda ilimitado (Bc→∞)


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TAC (2007-08)

1 0110

0

Caso 1) Canal de ancho de banda grande (Bc >> 1/T)

IES no es significativa

(Simulación conBc = 5.3 /T )


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TAC (2007-08)

1 0110

Caso 2) Canal de ancho de banda limitado (Bc >~ 1/T)

IES importante (excepto si Bc= p / (2T),

p=1,2,3,…, que no hay IES)

(Simulación conBc = 1.2 / T )

0

¡IES! ¡IES!


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1 0110

Caso 3) Se diseña Bc y/ó T para NO IES ( Bc = p / (2T), p=1,2,3,… )

Si se cumpleBc = 1 / (2T) no hay IES


0


J.A.R.C

TAC (2007-08)

1 0110

Caso 4) Si Bc < 1/(2T)seguro que hay IES


0

¡IES! ¡IES!

IES inevitable


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Mod. Dig. PAM banda-base con pulsos básicos:…0100… …0100…

Decisión

Canal

“Pulso filtrado por el canal”

“Pulso en el receptor”

Valor muestreado que se utiliza para tomar la decisión

en el detector:

Caso general de IES para señales PAM: (Visto en TCO, léase por ej. Proakis, Cap. 8)


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IES para señales PAM (cont.)

- x(t) es la señal que se obtendría al transmitir únicamente el pulso g(t), pasarlo por el canal y el filtro del receptor. A esta señal se la llama pulso a la salida del filtro del receptor o simplemente pulso en el receptor.

Canal Filtro del receptor

- La respuesta a si un determinado sistema tendrá IES es simple: si x(t) no se anula en los instantes de muestreo correspondientes a otros símbolos, habrá IES.

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Puesto que estos valores no son cero, habrá IES

- Ejemplo:


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-3 -2 - 1 0 1 2 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

- Matemáticamente, la condición de no IES se especifica sobre x(t), bien en el tiempo sobre los valores x(nT), bien en la frecuencia con X(f)

IES para señales PAM (cont.)

- Condición de no IES (criterio de Nyquist):

- Una familia de funciones que cumple la condición de no IES son aquellas cuyo espectro tiene forma de coseno alzado (ver pag. Sig.). Ejemplo de una de esas funciones:


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Transf. Fourier

Transf. Fourier

- Si se consigue que x(t), el pulso a la salida del filtro del receptor tenga la forma presentada a continuación, sea cual sea el valor del parámetro 0≤α≤1 no habrá IES, y X(f) ocupará un ancho de banda de Bx=(1+α)/(2T):

“Espectro en coseno alzado”(α es el factor de redondeo)


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- Supóngase que se tiene un canal de ancho de banda Bc

con función de transferencia Hc(f) : 0

Diseño A) Receptor óptimo para evitar IES cuando el canal no es ideal y hay ruido AWGN (n(t) gaussiano y blanco):

Para conseguir esta igualdad, el diseñador cuenta con g(t) y hr(t), ya que

el canal hc(t) no se puede controlar

I.4.2. Diseño A) Receptor óptimo con “pre-distorsión”

Mod. PAM de pulsos: Det

11100001... 11100101...

1) No IES: Para evitarla, una posible opción es diseñar el pulso básico del transmisor g(t) y el filtro del receptor hr(t) para que el pulso a la salida del filtro del receptor x(t) tenga un espectro en coseno alzado:

I.4.2. Diseño A) Receptor óptimo con “pre-distorsión” 50ver. 1

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Por definición de filtro adaptado a xc(t) (se está suponiendo muestreo al inicio de cada símbolo; si fuera al final sería hr(t)=x*c(T-t))

• Cuanto mayor sea 0≤α≤1, Xca(f) es mas suave y las colas (envolvente) de x(t) caen más rápido (hasta 1/t3)

• Para la realización práctica también hay que introducir un retardo para que xca(t) sea causal.

• Como las colas caen ahora más rápido que en el caso de la sinc, esta solución es tanto más robusta cuanto mayor sea α (a expensas de gastar más ancho de banda)

- El parámetro α y el periodo de símbolo T de xca(t) se toman para que se cumpla:

2) Por otro lado, para minimizar la PE debida al ruido blanco y gaussiano, se puede demostrar (p.ej. Proakis) que el filtro del receptor óptimo debe estar adaptado a la señal esperada de entrada al filtro, que en este caso es xc(t)=hc(t)*g(t). Esto se traduce en:

La condiciones 1) y 2) se verifican con el siguiente diseño:

1) No IES (cont.)


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0

0

0

0

- Con este diseño:

- Receptor óptimo: filtro adaptado al pulso a la señal de entrada del filtro

- Pulso filtrado por el canal

- Pulso a la salida del filtro del receptor: cumple la condición de no IES

- No hay IES- Se tiene el receptor óptimo (PE mínima)

- Se escoge el pulso básico “pre-distorsionado”:

Diseño A) Receptor óptimo para evitar la IES cuando el canal no es ideal y hay ruido AWGN:


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Mod. PAM de pulsos:

Prestaciones del diseño A) respecto a un sistema con un canal ideal :

- Si el canal es ideal (también se podría introducir una atenuación y retardo y poner hc,id(t)=cδ(t-τ)), el sistema se puede diseñar como:

Det

- La PE del sistema sin IES con un canal ideal será función de las siguientes variables:

- Las funciones g(t),hr(t),xc(t),x(t) (ó equivalentemente, sus TF) están dados por las relaciones de la pag. anterior.

- Si ahora pasamos al canal no ideal, si se diseña el sistema como en la pag. anterior la PE vendrá dada por la misma función f, puesto que el receptor sigue siendo óptimo desde el punto de vista del ruido

“Potencia” de la secuencia aleatoria:

11100001... 11100101...


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Prestaciones del diseño A) respecto a un sistema con un canal ideal (cont.):

- Si se supone que la densidad espectral del ruido blanco (η/2), el regimen binario (Rbin=log2M/T) y la potencia transmitida (ptx) son las mismas:

- Diseño para el canal no ideal:

- Luego la pérdida de prestaciones debidas a la no idealidad del canal son:

Por la forma en que se ha definido Xca(f), al hacer la integral sale 1


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Ventajas/Inconvenientes del diseño A):

- Es el receptor óptimo que al mismo tiempo evita la IES y minimiza la PE

- Implica conocer la función de transferencia del canal para “pre-distosionar” el pulso básico.

• Datos vía módem: cada comunicación telefónica asigna un canal físico distinto

• Canales de propagación ionosférica cambian con las condiciones metereológicas

• Canales de comunicaciones móviles (entorno variable)

- La función de transferencia del canal no siempre se conoce, bien porque el canal no haya sido modelado, bien porque varíe con el tiempo. Ejemplos:

- Ahora se van a estudiar otras alternativas de diseño de receptores que presentan diferentes características

- Se podría hacer un desarrollo similar de IES y un diseño A) para PAM paso-banda, QAM y PSK, llegando a resultados idénticos. La única diferencia es que los espectros de las señales paso-banda transmitidas al canal estarán centrados alrededor de una portadora y los anchos de banda paso-banda ocupados son el doble del ancho de banda utilizado en banda-base.

I.4. Ecualización de canal. 55ver. 1

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I.4.3. Diseño B) Receptor óptimo con AWGN e IES

- Otra posible opción en el diseño de receptores es admitir cierta IES. Por ejemplo, se podría diseñar el filtro del transmisor y del receptor de la siguiente manera:

Diseño B) Receptor cuando el canal no es ideal y hay ruido, admitiendo IES:

- En esta opción, dependiendo de la función de transferencia del canal, se tendrá más o menos IES, puesto que x(nT) no está garantizado que sea x(0)δ(n).

- Independientemente de cómo se haya diseñado G(f) y Hr(f) a partir de ahora vamos a admitir que en el sistema puede haber IES y que además hay AWGN.

El modelo equivalente de receptor PAM de la pag. sig. viene motivado por la relación de convolución de secuencias en tiempo discreto con la qué se obtiene la muestra zm:

I.4.3. Diseño B) Receptor óptimo con AWGN e IES 56ver. 1

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Transmisor

Modelo equivalente en tiempo discreto de un sistema digital PAM:

1011... 1001...

DetectorAsignación

símbolo

ReceptorCanal

• El detector decide que símbolo se ha enviado en función de la secuencia de salida z[m] y asigna su secuencia de bits equivalente

• La entrada del modelo equivalente (figura inferior) es la secuencia de amplitudes del PAM, que queda filtrada por el LTI en tiempo discreto con respuesta al impulso x[m] (ver su TF en Ap. A).

LTI en tiempo discreto

Pulsos

Ruido gaussianocoloreado

Modelo equivalente


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Normalmente, el efecto de la IES se reduce a un número limitado de símbolos y se puede suponer que el modelo equivalente es un LTI de tipo FIR (Finite Impulse Response) de longitud L=L1+L2 contaminado por ruido gaussiano coloreado:

• Cada muestra m se contamina de las L1

posteriores y las L2 anteriores (además del ruido)

.... ....

= registro que retarda un periodo T

Salida del Filtro FIR

• Con el sistema de registros, la salida correspondiente al símbolo m-ésimo se obtiene L1 instantes de reloj después de que entre la amplitud m-ésima

L=L1+L2 registros y L+1 muestras

I.4. Ecualización de Canal. Repaso de IES. 58ver. 1

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El salida del filtro FIR anterior (sin el ruido) puede representarse como una máquina de estados finitos, siempre que la entrada para cada instante sólo pueda pertenecer a un conjunto de valores discretos (como sucede en PAM).

- Ejemplo para un sistema binario (M=2) donde la IES dura L=2 muestras (L1=L2=1)

- Si M es el número de valores distintos que toma am y L es la longitud del FIR, el sistema se puede representar por un trellis de:

• ML estados (los estados son cada posible combinación de valores en los L registros)

• con ML+1 posibles valores de salida zm


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símbolo tx m+1 | muestra rx m

- Etiquetas:

- Evolución temporal:

De manera equivalente, el FIR anterior se puede representar con un trellis:

Estado en el instante m

Estado en el instante m+1

tiempo

Caso general:

-Estado para el caso general:

L posiciones


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El detector óptimo para el sistema anterior es un detector de secuencias, quebasa su decisión en secuencias de muestras recibidas (no en símbolos aislados).

- La forma de hacer el detector de secuencias con menor coste computacional es el algoritmo de Viterbi, ya visto en TDAT para códigos convolucionales y en modulaciones con memoria

- El algoritmo de Viterbi se aplicaría siguiendo las ideas básicas de las pag. 31-32 sobre la secuencia de muestras zm, que pueden incluir ruido.

Puesto que el ruido υm es gaussiano pero no blanco, hay que pasar la secuencia recibida zm por un filtro blanqueador de ruido:

- No obstante, para que la proximidad entre dos señales corrompidas por ruido sea directamente calculable como la distancia habitual, el ruido deber ser gaussiano y blanco

Ruido gaussianocoloreado

Ruido gaussianoblanco

Viterbi se hace sobre estas muestras

Muestras originales

Filtro blanqueador


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El diseño B) al completo sería el siguiente sistema:

Filtro Blanqueador

- a) Se calcula la función autocorrelación de υ[m] y su transformada de Fourier (ver Ap. B).

Transmisor

1011...

Det. secViterbi

Asig. Símb.

ReceptorCanal

Pulsos Filtro blanq.

El diseño del filtro blanqueador se hace en base al nuevo modelo equivalente:

1001...


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Diseño del filtro blanqueador b[m] (cont.):

Ventajas/Inconvenientes del diseño B) (detección de secuencias por Viterbi):

- Es el receptor óptimo para un canal con IES y AWGN

- Implica conocer (bien teóricamente o mediante medidas) la función de transferencia del canal para calcular los x[m]: problemas en canales variables en el tiempo o desconocidos.

- El algoritmo de Viterbi, aunque es la opción más eficiente para detectar secuencias, tiene un coste computacional que crece con ML. Un ejemplo de uso es con M pequeño (2-4) y L≤5.

- Para sistemas con M>4 ó memoria del sistema mayor (L>5), se recurre a soluciones subóptimas como la ecualización de canal que se va a estudiar a continuación.

-b) La densidad espectral de potencia de ruido a la salida está dada por:

-c) Se diseña el filtro blanqueador tal que:

I.4. Ecualización de canal. 63ver. 1

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I.4.4. Diseño C) Receptor con ecualización

DetectorFiltro rx.

Filtro rx.Filtro

Ecualiz. Detector

Filtro Ecualiz.

Diseño C) Receptor cuando el canal no es ideal y hay ruido, admitiendo IES. Se basa en incluir un filtro de ecualización que compense la IES del canal, y que puede diseñarse (no siempre) teniendo en cuenta el ruido.

Opciones para la ecualización en el receptor:

- Se utilizará la segunda opción, donde el ecualizador se hace en el dominio en tiempo discreto, con un procesador digital de señal (DSP)

1001...

Receptor

I.4.4. Diseño C) Receptor con ecualización 64ver. 1

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Modelo equivalente del sistema PAM en tiempo discreto de la pag. 56 al que se ha añadido un filtro de ecualización de canal

Filtro Ecualizador

Criterios de diseño del filtro ecualizador

Se busca que sea aprox. la misma secuencia a[m]

que hay a la entrada


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- Puesto que:

- Si se quiere:

- Los coeficientes del filtro ecualizador se obtendrían como:

- El nº de coeficientes del filtro w[m] sólo será una secuencia finita si x[m] es de tipo FIR. En ese caso, se puede utilizar otra forma para diseñar el filtro descrita a continuación.

Objetivo de diseño

Diseño C1) Ecualizador w[m] de mínima distorsión de pico (minimum peak distorsion) o ZF (Zero-Forcing) :


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Diseño C1) Ecualizador w[m] de mínima distorsión de pico (minimum peak distorsion) o ZF (Zero-Forcing) (cont.):

- Puesto que se busca:

- Sea:

- Se elige un filtro w[m] ≡ wm de L+1 coeficientes:

- La respuesta al impulso del sistema equivalente vendrá dada por:

- Se particulariza la expresión para L+1=L1+L2+1 valores de m (tantos como incógnitas que son los coeficientes wm del filtro ecualizador) y se obtiene un sistema de L+1 ecuaciones:


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- Esta solución evita la IES por completo, aunque para sistemas x[m] de tipo IIR (Infinite Impulse Response) se necesite un ecualizador IIR, que no tienen un número de coeficientes finito w[m].

Diseño C1) Ecualizador w[m] de mínima distorsión de pico (minimum peak distorsion) o ZF (Zero-Forcing) (cont.):

- El ecualizador se llama zero-forcing porque impone que la IES sea cero:

- Se llama también de mínima distorsión de pico porque impone que la distorsión sin ruido de pico sea mínima.

Ventajas/Inconvenientes del diseño C1):

- Aunque se evita la IES, este diseño no tiene en cuenta el ruido (a continuación se verá otro diseño que si lo considera). De hecho el ruido a la salida final puede ser mayor en las frecuencias donde la función de transferencia del sistema equivalente se anula

- Cuando se requiere un ecualizador IIR, en la práctica sólo se puede hacer un FIR que lo aproxime.

d.e.p. de ruido a la salida del ecualizador


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Diseño C2) Ecualizador w[m] de mínimo error cuadrático medio (MMSE= Minimum Mean Square Error) :

Filtro Ecualizador

- Este diseño busca minimizar el error entre la salida del filtro ecualizador y la entrada al sistema.

- Matemáticamente se busca minimizar la siguiente función que depende de los coeficientes del filtro ecualizador, ya que la salida total depende de cómo se haya escogido los wm ≡ w[m]

- Puesto que hay un ruido aleatorio en el sistema, la minimización tendrá que ser de la media del error

- El mínimo se encontrará derivando la función respecto de los coeficientes e igualando a cero:

cte Dependen del valor de wm


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- Después del cálculo de J y sus derivadas (ver Ap. C) se llega a que los coeficientes óptimos wm son aquellos que verifican la siguiente relación para cualquier m:

Diseño C2) Ecualizador w[m] de mínimo error cuadrático medio (MMSE= Minimum Mean Square Error) (cont.):

- Si la solución (1) se expresa en la frecuencia:

- Por ahora (luego se verá su cálculo), las funciones R↔S serían datos del problema; sólo dependen de los estadísticos de la secuencia aleatoria original a[m], del ruido y del sistema equivalente x[m]:

- Y los coeficientes del ecualizador se calcularían:

Filtro de Wiener

(1)

- Se puede demostrar (ver Ap. D) que en las siguientes condiciones:

frente a

MMSE Zero-Forcing (ZF)Tipo de

ecualizador


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Ec. de Wiener-Hopf

- Para un ecualizador FIR de L+1 coeficientes wm, se pueden obtener L+1=L1+L2+1 ecuaciones (tantos como incógnitas que son los coeficientes del filtro ecualizador) dando L+1 valores a m en la ecuación (1).

- La solución anterior resulta para un caso general en una secuencia infinita de coeficientes wm .

- Si se tiene un ecualizador FIR se puede utilizar el mismo procedimiento que para el ecualizador ZF (zero-forcing).


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- Si se conocen los estadísticos de la fuente, ruido y x[m], el diseño ya esta hecho.

- Si por el contrario no se conocen, las correlaciones para calcular los coeficientes del ecualizador se podrían hacer mandando una secuencia a[m] de prueba conocida y calcular en el receptor los estimadores:

Serían los datos para rellenar R, ry calcular w=R-1r

Ventajas/Inconvenientes del diseño C2):

- El objetivo de este filtro no es evitar la IES al completo de forma aislada sin preocuparse del ruido (como el ZF), sino minimizar el error cuadrático medio entre el símbolo estimado y el transmitido cuando hay IES y AWGN.

- No hace falta conocer los estadísticos de fuente, ruido y el canal estrictamente; se pueden utilizar secuencias de prueba para calcular los estimadores de las correlaciones y con ellos los coeficientes del filtro. Esta idea más desarrollada da lugar a los ecualizadores adaptativos


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Diseño C3) Ecualizadores adaptativos:

Algoritmo para actualizar los coeficientes del ecualizador

Decisor de símbolos aislados

Filtro rx.Filtro

Ecualiz.Asignación

bits

1001...

Receptor adaptativo

Detector

- Los coeficientes del filtro ecualizador se pueden actualizar cada periodo de símbolo, teniendo en cuenta las señales recibidas y previamente estimadas.

- Pueden hacer frente a cambios en las condiciones del canal: no hace falta conocerlo y se puede adaptar a sus variaciones y a cambios en los estadísticos de la fuente

- Dependiendo del algoritmo de adaptación de los coeficientes del ecualizador se habla de gradiente, LMS, gradiente conjugado,… y no deben suponer un coste computacional muy alto.


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Diseño C3) Ecualizadores adaptativos: Decision-Feedback (DF)

- Basándose en decisiones previas trata de corregir el fallo en la estimación del filtro ecualizador y prevenirlo en las siguiente muestras.

Decisor de símbolos aislados

Filtro rx.Filtro

Ecualiz.Asignación

bits1001...

Filtro Feedback

Receptor adaptativo DF

- Los coeficientes del filtro ecualizador y feedback pueden ir variando adaptativamentede acuerdo a las señales recibidas

- Otro ejemplo de ecualización que se puede hacer de manera adaptativa es el ecualizador Decision-Feedback

Coeficientes adaptativos

Coeficientes adaptativos

I.Introducción 74ver. 1

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Ap. A: Teorema de muestreo

Sea r(t) una señal con transformada de Fourier que se muestrea cada cierto T:

Muestreo

El espectro en f de la señal muestreada resultante es:

a) Es debido a la propiedad de producto↔convolución y a que la transformada inversa de un tren de deltas espaciadas T en el tiempo es otro tren de deltas en la frecuencia espaciadas 1/T

b) Se obtiene usando la definición de TF y las propiedades de la función delta

Ap. A: Teorema de muestreo 75ver. 1

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Ap. A (cont.):

Ahora se forma una señal en tiempo discreto con las muestras:

d) Este paso es por identificación con Rs(f) calculado anteriormente

El espectro en Ω de la señal resultante es:

En el modelo equivalente de sistema en tiempo discreto se hace lo mismo con x(t), sólo que a la señal muestreada en tiempo discreto que sería xd[m]=x(mT) se la vuelve a llamar x[m] ≡ xd[m] y para no confundir las transformadas se pone un punto encima:

c) Por definición de Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (TFTD)

Comparar con criterio de Nyquist para no IES p. 47 y sistema en tiempo discreto

p. 56. Se recuerda que:


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Ap. B: Ruido coloreado y muestreado

Función autocorrelación del ruido blanco después del filtro del receptor y del muestreo:

Si se diseña el filtro del receptor tal que:


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= cte = “potencia” de la secuencia aleatoria(se asume que es estacionaria en sentido amplio)

Diseño C2)Ap. C: Cálculo del MSE y ec. de diseño del ecualizador MMSE

Cálculo de J en función de wm :

Finalmente:

Se ha hecho el desarrollo con coeficientes reales pero se haría análogamente con coeficientes complejos llegando a la misma solución


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Ap. D: Función de transferencia del filtro ecualizador MMSE

Ecuaciones de diseño:

Filtro Ecualizador

Calculo correlación cruzada entre z y a:0 por ruido de media nula e

incorrelado con la secuencia am

Diseño C2)

Ap. D: Función de transferencia del filtro ecualizador MMSE 79ver. 1

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Ap. D (cont.):

Calculo autocorrelaciónde z:

Función de transferencia del ecualizador MMSE:

Si se diseña el filtro del receptor tal que:

0 por ruido de media nula e incorrelado con la secuencia am

i.4. ecualización de canal -proakis,“comm…”, cap....

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