i.3.- teorema de limite central

Unidad I DISTRIBUCIONES MUESTRALES Paquete Didáctico

GRUPO 401C 1

1.3 Teorema del Límite Central. El Teorema del límite central establece que, en condiciones muy generales, las sumas y medias de muestras aleatorias de mediciones extraídas de una población tienden a poseer una distribución aproximadamente normal. Suponiendo que lanzamos un dado equilibrado n = 1 vez. La variable aleatoria x es el número que se observa en la cara superior. Esta conocida variable aleatoria puede tomar seis valores, cada uno con probabilidad 1/6, y distribución de probabilidad se muestra en la grafica 1.4. La forma de la distribución es plana o uniforme y simétrica respecto a la media 5.3

Grafica 1.4

Distribución de probabilidad de x, el número que aparece en la cara de un solo lanzamiento de un dado.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6 7

Ahora, si se considera una muestra de tamaño n = 2 de esta población; es decir, el lanzamiento de dos dados, las muestras se encuentran en la tabla 1.7.

1° Dado

Tabla 1.7 Caras superiores del lanzamiento de dos dados.

2° Dado

1

2

3

4

5

6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

1° Dado

Tabla 1.8

Suma de las caras superiores de dos dados.

2° Dado

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 4 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

La tabla 1.8 muestra la suma de las caras superiores de los dos dados, se muestran los 36 resultados posibles, cada uno con probabilidad 1/36.


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La tabla 1.9 muestra las sumas de las caras superiores de los dados dividida entre n = 2 para

obtener un promedio. El resultado es la distribución muestral de nxx i / , posteriormente estos datos se tabulan tabla 1.10 y aparecen en la grafica 1.5. 1° Dado

2° Dado

1

2

3

4

5

6

1 1 1.5 2 2.5 3 3.52 1.5 2 2.5 3 3.5 4 3 2 2.5 3 3.5 4 4.54 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5 3 3.5 4 4.5 5 5.56 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Tabla 1.9 Promedio de las caras superiores de dos

dados. nxx i /

x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

if 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Tabla 1.10 Distribución de probabilidad del promedio del lanzamiento de dos dados.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6 7

Promedio de las caras superiores de dos dados Grafica 1.5

Distribución muestral de x para n = 2 dados

Es conveniente observar la notable diferencia en la forma de la distribución muestral. Ahora su forma se parece un poco a una campana, pero todavía es simétrica respecto a la media .5.3


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Para n = 3 la distribución muestral de la grafica 1.6 presenta claramente la forma de campana característica de la distribución de probabilidad normal, aunque todavía está

centrada en 5.3

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 1 2 3 4 5 6 7

Promedio de las caras superiores de tres dados Grafica 1.6

Distribución muestral de x para n = 3 dados

En la grafíca 1.7 salta a la vista que la distribución de x se distribuye de manera aproximadamente normal basada en una muestra tan pequeña como n = 4. Este fenómeno es el resultado de un importante teorema estadístico que se conoce como Teorema del límite central.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 1 2 3 4 5 6 7

Promedio de las caras superiores de 4 dados Grafica 1.7

Distribución muestral de x para n = 4

El Teorema del límite central se puede replantear para aplicarlo a la suma de las mediciones de la muestra px ˆ la cual, conforme aumenta n, también tiene una distribución

aproximadamente normal con media n y desviación estándar n . La contribución más importante del teorema del límite central radica en la inferencia estadística. Muchos estimadores que se usan para hacer inferencias acerca de los parámetros de la población son sumas o promedios de las mediciones de la muestra. Cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande, se puede esperar que estos estimadores tengan distribuciones muestrales que sean aproximadamente normales. Se puede describir entonces el comportamiento de estos estimadores en un muestro repetido y


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evaluar la probabilidad de observar ciertos resultados de la muestra por medio de la distribución normal. Estas probabilidades se calculan en términos de la variable aleatoria normal estándar.

stándareDesviación

MediaEstimadorz

El valor apropiado de n depende de la forma de la población de la que se toma la muestra y de cómo se requiera utilizar la aproximación. Sin embargo, estas pautas ayudarán:

Si la población muestreada es normal, entonces la distribución muestral de x también será normal, sin importar el tamaño de la muestra que elija. Se puede demostrar este resultado en forma teórica, pero no debe resistirse demasiado a aceptarlo sin demostración.

Cuando la población muestreada es aproximadamente simétrica, la distribución de x se vuelve aproximadamente normal para valores relativamente pequeños de n. Es importante recordar la rapidez con la que ( n = 3) la distribución “plana” en el ejemplo de los dados tomo forma de campana.

Cuando la población muestreada está sesgada, el tamaño de la muestra n debe ser más

grande, con por lo menos 30n o 30n antes que la distribución muestral de x se vuelva aproximadamente normal.

Estas pautas sugieren que, para muchas poblaciones, la distribución muestral de x será aproximadamente normal para tamaños de muestra moderados., una acepción a esta regla ocurre al muestrear una población binomial cuando p o pq 1 es muy pequeña.

¿Cómo calcular las probabilidades para la media de la muestra x ? Si se conoce que la distribución muestral de x es normal o aproximadamente normal, se puede describir el comportamiento de la media x al cual la probabilidad de observar ciertos valores de x en el muestreo repetido.

1. Se localiza y se calcula X

2. Se describe el evento de interés en términos de x , se localiza el área apropiada en la curva normal.

3. Se convierten los valores necesarios de x a valores de z por medio de : X

xz

Con reemplazo

n

xz

Sin reemplazo

1

N

nN

n

xz

4. Utilizar la tabla I del apéndice I para calcular la probabilidad.


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Ejemplo 1.11 Los resistores de cierto tipo tienen resistencias que en promedio da 200 ohms, con una desviación estándar de 10 ohms. Si se utilizan 25 de ellos en un circuito.

a) Encuentre la probabilidad de que la resistencia promedio de los 25 resistores esté entre 199 y 202 ohms.

b) Encuentre la probabilidad de que la resistencia promedio de los 25 resistores esté entre 197 y 201 ohms.

Solución

a) Sea z =

n

x

la variable estandarizada donde 1x = 199 , 200 y n

=

25

10 = 2, con esto el valor de z1 será 1z =

25

10200199

= - 0.5

Ahora para 2x = 202 , 200 y n

=

25

10 = 2, con esto el valor de z2 será

2z =

25

10200202

= 1.0

En la tabla I del apéndice I se puede encontrar que él área sombreada de la curva. Con esto la probabilidad pedida es

P (199 x 202 ) = P (-0.5 z 1.0 ) = 0.1915 + 0.3413 = 0.5328 P (199 x 202 ) = 0.5328


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b) Sea z =

n

x

la variable estandarizada donde 1x = 197 , 200 y n

=

25


1z =

25

10200197

= -1.5

Ahora para 2x = 201 , 200 y n

=

25


2z =

25

10200201

= 0.5

Con esto la probabilidad solicitada es

P (197 x 201 ) = P ( - 1.5 z 0.5 ) = 0.4332 + 0.1915 = 0.6247 P (197 x 201 ) = 0.6247

Ejemplo 1.12 Se dispone de los datos de producción de trigo por hectárea de 101 chacras. La media es 15 quintales por hectárea y la desviación estándar de de 4. Determinar la probabilidad de seleccionar una muestra de tamaño 25 con una media (muestral) menor o igual a 13.5 quintales. Solución

25

4

15

101

n

N

x

6974.0

1101

25101

25

4

1

N

nN

nx

0158.0)15.2()6974.0

155.13()5.13(

ZPZPXP


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GRUPO 401C 8

Problemas que deberán resolver los alumnos

Ejercicios 1.3 1. Considere que X es la variable aleatoria que indica el número de caras y sea E el

experimento que consiste en lanzar 100 veces una moneda homogénea. Utilice el teorema del límite central para estimar.

a) P (x 46) b) P (42 x 46) c) P (64 x 75)

2. Se toman muestras de 46 observaciones de una máquina de acuñar monedas

conmemorativas. El espesor promedio de las monedas es 0.24 cm, con una desviación estándar de 0.015 cm.

a) ¿Es la población normal? Justifica tu respuesta. b) ¿Qué porcentaje de medias de la muestra quedarán en el intervalo 0.20 0.004 cm? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener la media de muestra que se desvíe más de 0.005

cm. de la media del proceso?

3. El 77% de los habitantes en la zona metropolitana viven en el D.F y el resto en el área conurbana. Si 1250 personas asisten a un concierto y esta cantidad se considera una muestra aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el número de personas que viven en la zona conurbana y que asisten al concierto sea menor a 278?

4. Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de n = 5 observaciones de una

población que esta normalmente distribuida, con una media igual a 1 y desviación estándar igual a 0.36 a) Encuentra la probabilidad de que x sea mayor que 1.3 b) Encuentra la probabilidad de que la media muestral x sea menor que 0.5


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c) Estima la probabilidad de que la media de la muestra se desvíe de la media de la población 1 por más de 0.4

5. Suponga que se elige una muestra aleatoria de n = 25 observaciones de una población normalmente distribuida, con media igual a 106 y desviación estándar igual a 12.

a) Encuentra la probabilidad de que x sea superior a 110 b) Calcula la probabilidad de que la media de la muestra se desvíe de la media de la población

por no más de 4.

6. Para una población normal con media igual a 20 y desviación estándar de 4, para una muestra de tamaño 9, calcula:

a) )17( XP

b) )5.21( XP

c) )22( XP

d) )33.18( XP

e) )8.235.20( XP

f) )2218( XP 7. La dieta que utiliza una granja para la engorda de pollos produce animales que pesan en

promedio 1950 gramos con una desviación estándar de 220 gramos. Una franquicia de pollos rostizados ha seleccionado al azar 30 pollos, calcula la probabilidad de que:

a) La media del peso de los 30 pollos sea menor que 1900 gramos b) El peso medio sea por lo menos de 2 kilogramos. c) El peso medio este entre 1850 y 2000 gramos.

8. Según los datos del pasado, el producto promedio de trigo por acre es de 14 bushels y la

desviación estándar es de cuatro, con una población de 300 bushels y una distribución normal. Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de tamaño 64 con una media muestral:

a) Menor o igual a 12.5 bushels? b) Mayor o igual a 15.0 bushels? c) Entre 12.5 y 15 bushels?

9. Un grupo de 100 estudiantes tiene una calificación promedio de 70 puntos con una

desviación estándar de cuatro. Si se toma al azar una muestra de 16 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea:


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a) Mayor o igual a 72 puntos b) Menor o igual a 67 puntos c) Esté entre 67 y 72 puntos

¿Cómo calcular las probabilidades para la proporción muestral p̂ ?

1. Localizar los valores necesarios de n y p. 2. Comprobar si la aproximación normal a la distribución binomial ( 5np y 5nq )

es apropiada. 3. Describir el evento de interés en función de p̂ y localizar el área apropiada bajo la

curva normal.

4. Convertir los valores necesarios de p̂ a valores de z mediante p

ppz

ˆ

ˆ

Con reemplazo

n

pq

ppz

ˆ

Sin reemplazo

1

ˆ

N

nN

n

pq

ppz

5. Usar la tabla I del apéndice I para calcular la probabilidad. 6. Cuando se usa la distribución normal para aproximar las probabilidades binomiales

asociadas con x, se aplica una corrección de 0.5 para mejorar la aproximación.

La corrección equivalente es n5.0

Ejemplo 1.13 En una encuesta se preguntó a 500 madres y padres acerca de la importancia de los deportes para muchachos y muchachas. De los padres entrevistados, 55% estaba de acuerdo en que los géneros son iguales y deben tener las mismas oportunidades de participar en los deportes, ¿Cuál es la probabilidad de observar una proporción muestral tan grande o mayor que el valor observado 60.0ˆ p ?

Solución


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500

45.055.011

55.0ˆˆ

n

qpq

pp

001.05005.05.0

0222.0500

)45.0)(55.0(ˆ

n

p

0139.060.0ˆ

20.20222.0

55.0)001.060.0()60.0ˆ(

pP

ZPpP

Ejemplo 1.14 De 2000 consumidores, 40% piensa incrementar sus pedidos de lavadoras. ¿Cuál es la probabilidad de una muestra aleatoria simple de 400 consumidores con una proporción de muestra igual o mayor a 46%?

400

60.040.011

40.0ˆ

2000

ˆ

n

qpq

p

N

p

00125.04005.05.0

021914.012000

4002000

400

)60.0)(40.0(ˆ

n

p

0037.046.0ˆ

6809.2021914.0

40.0)00125.046.0()46.0ˆ(

pP

ZPpP


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Problemas que deberán resolver los alumnos

Ejercicios 1.4 1. En una población de familias, 20% se suscribe a la revista K. ¿Cuál es la probabilidad de

seleccionar una muestra aleatoria de tamaño 225 con una proporción inferior a 16%? 2. En 1996 hubo una batalla en los tribunales, así como en el mercado entre Intel y Digital

Equipment Corp. Por los avances técnicos que sustentaba el microprocesador Pentium de Intel. Digital acusó a Intel de “violación intencionada” de las patentes de Digital. Aunque el microprocesador Alfa de Digital era en ese entonces el más rápido del mercado, su velocidad sucumbió ante la influencia de la mercadotecnia de Intel. Ese mismo año, Intel abarcó 76% del mercado de microprocesadores. Suponiendo que se revisa una muestra aleatoria de n = 1000 ventas de computadoras personales y se anota el tipo de microprocesador instalado. Sea p̂ la proporción de computadoras personales con un microprocesador Pentium en la muestra.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de las PC con chips

Pentium sea mayor que 80%? e) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de las PC con chips

Pentium estén entre 75% y 86% 3. Según la revista Chance, el porcentaje promedio de dulces M&M color rojo en un

paquete cualquiera de M&M es de 30% . sin embargo, este porcentaje varía, entre los diferentes tipos de dulces M&M empaquetados. Suponiendo que se selecciona al Azar un paquete de dulces M&M que contiene 55 dulces, determina la proporción de estos que son de color rojo.

f) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de dulces rojo sea menor que

20%? g) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de dulces rojo sea mayor que

35%?


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h) ¿Dentro de que rango se encuentra la proporción muestral, aproximadamente del 95% de las veces?

4. Un grupo de 100 prospectos al Servicio Militar Nacional está en el sorteo; si el 40% de

las bolas en la urna son blancas y el 60% son negras, calcula las siguientes probabilidades para proporción p̂ de jóvenes que serán reclutados para prácticas los fines de semana.

a) 50.0pP

b) 375.0pP

c) 42.030.0 pP 5. Considera los datos del problema 4, pero N = 4600 y n = 90, cuales será las

probabilidades de:

a) 65.0pP

b) 23.0pP

c) 52.028.0 pP 6. Se sabe que 20% de los estudiantes de una universidad está afiliados al Partido de la

Revolución Democrática (PRD) Si se selecciona una muestra aleatoria de 110 estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 30 o más estudiantes que sean de PRD?

En primavera deleito, en verano te refresco, en otoño te alimento y en invierno te cobijo.

El árbol

?

i.3.- teorema de limite central

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