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I. RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II

I. RESPUESTA FRECUENCIAL La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta del sistema, en estado

estacionario, ante una entrada sinusoidal. Sistemas lineales sometidos a este tipo de entrada

presentan una salida sinusoidal también pero con diferente amplitud y ángulo de fase.

Entre las ventajas que proporciona el análisis de un sistema a través de su respuesta en

frecuencia se encuentran la facilidad de reproducir señales de prueba que permiten una

identificación frecuencial, la existencia de criterios de estabilidad a lazo cerrado, basados

en la respuesta frecuencial del sistema a lazo abierto y finalmente la disposición de técnicas

de diseño para el control de sistemas cuando las especificaciones de la respuesta son de

carácter frecuencial. Además, cabe mencionar, que es posible establecer una relación entre

la respuesta frecuencial y la temporal.

Tal como se mencionó anteriormente, la respuesta frecuencial se obtiene al dar como

entrada a un sistema una función sinusoidal (x(t)), tal como se observa en la figura 1.1 y

obtener como salida (y(t)) también una función sinusoidal, tal como se observa en la figura

1.2

x(t) x(t) = X sen(ωt)

G(s) y(t)y(t) = Y sen(ωt+φ)

FIGURA 1.1 SISTEMA PERTURBADO CON UNA ENTRADA SINUSOIDAL

x(t) = X sen(ωt)

y(t) = Y sen(ωt + φ)

FIGURA 1.2 REPRESENTACIÓN DE LA ENTRADA Y LA SALIDA PARA EL SISTEMA ANTERIOR

Una vez alcanzado el estado estacionario se puede obtener, en forma analítica, la respuesta

frecuencial haciendo uso de la función de transferencia del sistema G(s), sustituyendo

PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO 1


s = jω en la función de transferencia G(s) tal como se muestra a continuación:

G(jω) = M.e(jφ) = M ∠φ

donde,

M.....Relación de amplitudes de las sinusoidales de salida y entrada

φ .....Desfase entre las señales

de la misma forma G(jω) se expresa como un vector con modulo y ángulo

G(jω)= |G(jω) | e(jφ) ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

=φ −

))j(GRe())j(GIm(tag 1

A partir de lo anterior y basándose en que G(jω) es una relación entre la entrada y la salida

se tiene,

( ) ( )( )ω

ω=ω

jxjyjG por lo que,

El modulo de G(jω) es:

)j(X)j(Y)j(G

ωω

=ω → relación entre amplitudes de las señales de salida y entrada

y la fase de G(jω) es:

)j(x)j(y)j(G

ωω

=ω

De allí que, si se conoce G(s) es posible obtener la respuesta frecuencial del sistema. 1.1.- OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA A PARTIR DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Una función de transferencia puede ser expresada como una relación de ceros y polos que

en forma general, puede ser escrita como:

∏

∏

=

=

+

+= n

1jj

m

1ii

)p(s

)z(sKG(s)



donde, K ...... ganancia del sistema z ....... ceros del sistema p ...... polos del sistema m ...... el número de ceros n ....... el número de polos A manera de ejemplo, para una función de transferencia específica, su respuesta frecuencial

se puede obtener como sigue:

Para )ps(s)zs(K)s(G

++

= la respuesta frecuencial se obtiene sustituyendo s = jω

)pj(j)zj(K)j(G

+ωω+ω

=ω a partir de la cual se obtiene que el modulo de G(jω)

pj jzjK

)j(G+ωω

+ω=ω y la fase φ

( ) ( )pjjzjpz)j(G +ω+ω−+ω=−=ω ∑

El módulo y la fase se evalúan para diferentes ω obteniéndose así la respuesta frecuencial

del sistema.

La representación de la respuesta frecuencial puede hacerse de diferentes formas, entre las

cuales se pueden nombrar las siguientes: Los Diagramas de Bode y los Diagramas Polares.

A continuación se describirán cada una de estas representaciones


II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II

II. Diagramas de Bode

El diagrama de bode se utiliza para representar la respuesta frecuencial de un sistema

utilizando dos gráficos. El primero, es la representación del logaritmo de la magnitud

versus la frecuencia (ω) y el segundo representa el ángulo de fase (φ) versus la frecuencia

(ω).

La magnitud logarítmica de G(jω) se representa como una amplitud logarítmica y se calcula

como el 20 log |G(jω)|, siendo la unidad de dicha amplitud los decibeles (db).

La principal ventaja de realizar un diagrama logarítmico es que el carácter multiplicatorio

de los módulos de la función de transferencia se convierte en aditivo. Además, la

construcción del diagrama puede realizarse a través de aproximaciones asintóticas, las

cuales se explicaran a continuación. Si se considera el siguiente ejemplo, se puede observar

el carácter aditivo de la magnitud logarítmica.

Para )p).(sps.(s

)z).(sz(sG(s)21

21

++++

= la respuesta frecuencial se obtiene sustituyendo s = jω

)pj( )pj( j)zj( )zj()j(G21

21

+ω+ωω+ω+ω

=ω

donde el módulo |pj| |pj| |j|

|zj| |zj|)j(G

21

21

+ω+ωω+ω+ω

=ω se representará como una amplitud

logarítmica igual a: 20 log |G(jω)| = 20 log |(jω+z1)| + 20 log |(jω+z2)| - 20 log |jω| -20 log |(jω+p1)| -20 log |(jω+p2)|

y la fase:

φ = φ1 + φ2 - φ3 - φ4 - φ5

A partir de allí, se puede observar que si se conoce el Diagrama de Bode de los diferentes

factores que representan una función de transferencia será posible obtener el diagrama de

Bode de una función compuesta de una forma muy sencilla. Para ello se estudiarán a

continuación los diagramas de bode para los diferentes factores que conforman una función

de transferencia, los cuales son:



• Ganancia K

• Factores integral o derivativo (jω)+ 1

• Factores de primer orden (1+τjω)+ 1

• Factores cuadráticos [ 1+ 2ξ(jω/ωn)+ (jω/ωn)2]+ 1

2.1. GANANCIA K

G(s) = K

G(jω) = K

de allí que la amplitud logarítmica de G(jω) sea 20 log K = constante.

Si K > 1 → 20.log K es positivo

Si K < 1 → 20.log K es negativo

La fase se calcula como: 0ReImtag 1 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− para todo ω.

En la figura 2.1 se muestra la representación del diagrama de bode para este factor, la cual

se realiza en escala semilogarítmica.

ω

20 log K 20 log⏐G(jω)⏐

ω

φ

FIGURA 2.1. DIAGRAMA DE BODE PARA UNA GANANCIA K

Como se puede observar, la ganancia tiene el efecto de subir o bajar la gráfica de ganancia

logarítmica, sin afectar el ángulo de fase.



2.2. FACTORES INTEGRAL O DERIVATIVO G(s) = (s)+ 1 Se desarrollará el Diagrama de Bode para el caso de un polo y luego se extenderá la

aplicación a un cero:

( )s1sG = → ( )

ω−=

ω=ω

1jj1jG

A partir de allí, la amplitud logarítmica será:

( ) ω−=ω−=ω

=ω log20log201log201log20)j(Glog20

Al escoger una escala logarítmica para ω se tiene que la gráfica del módulo se convierte en

una recta cuya pendiente puede ser calculada de la siguiente forma:

Para las frecuencias ω1 y ω2, entre las cuales existe una década, se evalúa la amplitud

logarítmica obteniéndose lo siguiente:

102

1ω

=ω

20 log |G(jω1)| = -20 log ω1

20 log |G(jω2)| = -20 log ω2

Realizando la diferencia,

20 log |G(ω1)| - 20 log |G(ω2)| = 20 log ω1 - 20 log ω2 = 20 log (ω1 /ω2)

= 20 log (ω1 /10 ω1) = 20 log (1/10) = 20 log 1 – 20 log 10 = - 20 db

Esto implica que la gráfica cae 20 db por década, tal como se observa en la figura 2.2.

Además, para ω = 1 el valor de la ganancia logarítmica es cero.



ω1

20 db

ω2 (10⋅ω1)

FIGURA 2.2 CAÍDA DE LA AMPLITUD LOGARÍTMICA

Finalmente, el ángulo de fase se calcula a partir de la parte real (Re) e imaginaria (Im) del

vector, de allí que:

φ = tag –1( Im /Re )

La parte imaginaria Im = -1/ω para todo ω y la parte real Re = 0, por lo que la fase será

–90º para todo ω.

En la figura 2.3 se puede observar el diagrama de Bode para el caso de un polo y un cero en

el origen.

POLO

--20

0

20

40

8090

100

-40 -20

0

20

10-1 -90

30

ω = 1; 20 log(1) =

100 101 102102101 10010-1

CERO FIGURA 2.3 DIAGRAMA DE BODE PARA UN POLO Y UN CERO EN EL ORIGEN



Cabe destacar que, si se tienen polos múltiples G(s)= s + n, por lo que la ganancia

logarítmica y la fase serán:

( ) ω±=ω ± logn 20jlog20 n φ = + n (90°)

De allí que se tendrá una gráfica de ganancia logarítmica cuya pendiente será

± n (20 db/ década) y una gráfica de fase cuyo valor será ( ± n 90º )

2.3. FACTORES DE PRIMER ORDEN G(s) = (τs+1) + 1 Al igual que en el caso anterior, primero se desarrollará el Diagrama de Bode para el polo y

luego para el cero.

1sτ1)s(G+

=

( )( )( )

( ))1(

jτ1jτ1jτ1

jτ11)j(G 22ωτ+

ω−=

ω−ω−

ω+=ω

Separando en parte Real y parte Imaginaria se tiene:

( ) jτ1 τ

τ11jG 2222 ω+

ω−

ω+=ω

A partir de allí el módulo de G(jω) será:

( )( ) 22222

22

τ1

1τ1τ1jG

ω+=

ω+

ω+=ω

y la amplitud logarítmica será:

( ) 22τ1log 20 - |jG|log 20 ω+=ω

Para graficar se utilizarán las siguientes aproximaciones:

Para ω << 1/ τ → 20 log |G(jω)| = - 20 log(1) = 0 db

Para ω >> 1/ τ → 20 log |G(jω)| = - 20 log(τω) → pendiente – 20 db/ década

Para ω = 1/τ → 20 log |G(jω)| = -20 log τω = - 3 db.



Para los dos extremos, se tiene lo que se conoce como aproximación asintótica del

diagrama de amplitud logarítmica, la cual se observa en la figura 2.4. La frecuencia en la

cual se encuentran las dos asíntotas se conoce como frecuencia de corte (ω = 1/ τ) o

frecuencia de transición de ganancias.

El ángulo de fase se calcula como φ = arctg (-τω), el cual también se gráfica utilizando las

siguientes aproximaciones:

Para ω << 1/ τ → Re→ +1 ; Im→ -0 → φ = 0°

Para ω = 1/ τ → φ = - 45°

Para ω >>1/ τ → Re = (0+) ; Im = 0- → φ = -90º (La parte Im tiende a cero más lento que la parte Re ).

A partir de lo anterior el Diagrama de Bode para este factor se muestra a continuación:

FIGURA 2.4 DIAGRAMA DE BODE PARA UN POLO EN EL EJE REAL

En caso de que sea un cero las gráficas son simétricas respecto al eje de frecuencias.



2.4. FACTORES CUADRÁTICOS 1

n2n

2

1s2s)s(G±

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ωξ

+ω

=

Para el caso de un polo conjugado se tiene:

1

n2n

2

1s2s)s(G−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ωξ

+ω

= , el cual al multiplicarse por el conjugado queda,

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ωω

ξ−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ω

ω−

ωω

ξ−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ω

ω−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω

ω−ω

ωξ

+

=ω

j21

j21

j21

1)j(G

n2n

2n

2n

2

2n

2

n

separando las partes Real e Imaginaria se tiene:

2

n

2

2n

2

n2n

2

21

j21)j(G

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω

ξ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω

−

ωω

ξ−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω

−

=ω a partir de allí el módulo se calcula como:

( )2

n

2

2n

222

n

2

2n

2

2

n

2

2n

2

21

1

21

21jG

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

ξ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω

−

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω

ξ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

ξ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω

−

=ω

quedando la amplitud logarítmica como:

2

12

n

22

n

21log 20 |G|log 20⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

ξ+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−−=



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

ξ+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−−=2

n

22

n

21log 10 |G|ogl 20


de la misma forma que en el caso anterior, se aproxima en los extremos obteniéndose lo

siguiente:

Para ω << ωn → 20 log |G(jω)| → -20 log 1 = 0 db

Para ω >> ωn → 20 log |G(jω)| → -40 log ω/ωn (recta de pendiente - 40 db/dc )

Para ω = ωn → 20 log |G(jω)| = -20 log 2ζ

Las asíntotas se cruzan en ω = ωn, tienen un error respecto a la curva real que depende del

valor de ξ, el cual aumenta a medida que ξ disminuye. El ángulo de fase se calcula como:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω−

ω

ωξ

−=φ −

2

21

n1

n2

tg aproximando igualmente en los extremos se tiene que para:

Para ω << ωn La parte Re → 1

La parte Im → 0 φ → 0°

Para ω >> ωn Re → 4

n

2

n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

− → -0; Im → 4

n

n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

− → -0 por ello φ → -180 º

(más rápido)

Para ω = ωn Re → 0 ; Im → número negativo finito φ = - 90°


A partir de lo anterior se puede graficar el diagrama de bode para la variación de ξ, tal

como se muestra a continuación:

z FIGURA 2.5 DIAGRAMA DE BODE PARA UN POLO CONJUGADO

El pico que se observa en el Diagrama de Bode anterior se conoce como Pico de

Resonancia (Mr) y ocurre a una frecuencia conocida como Frecuencia de Resonancia

(ωr), ambos valores pueden ser calculados utilizando las siguientes expresiones:

Mr = |G(jωr)| =212

1ξ−ξ

2nr 21 ξ−ω=ω

Cabe mencionar que, para ξ > 0,707, la gráfica de amplitud logarítmica no presenta pico.

En ese caso, la única corrección posible al diagrama asintótico, se realiza calculando el

valor que cae el diagrama real en ωn . Para que un sistema sea considerado como aceptable

en su respuesta el pico de resonancia debe ser menor que 1,5.

Finalmente, el cálculo exacto de la fase puede hacerse a partir de la siguiente expresión:



φ(ωr) = -90° + sen-1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− 21 ξξ

2.5. RETARDO DE TRANSPORTE

El Retardo de transporte se puede representar a través de la siguiente función de

transferencia,

G(s) = e –Ts T…. tiempo de retardo

Sustituyendo s = jω se tiene que,

G(jω) = e -jωT

|G(jω)| = | cos(ωT) – j sen(ωT) | = 1 → 20.log |G| = 0 db

)j(G ω = - ωT (radianes)

)j(G ω = - 57,3 ωT (grados)

A partir de allí el diagrama de bode para dicho factor se muestra en la siguiente figura:

20 log |G(jw) |

φ

w

w

-57,3 wT

FIGURA 2.6 DIAGRAMA DE BODE PARA UN SISTEMA CON RETARDO

Una vez conocidos los diagramas de Bode para cada uno de los factores, se puede obtener

el diagrama de bode para un sistema conformado por varios factores


III. OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA DE BODE A PERTIR DE SU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

ONTROL DE ROCESOS PS-2320 C P II

III. OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA DE BODE A PARTIR DE SU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Para realizar el diagrama de bode se deben seguir los siguientes pasos:

• Rescriba la función de transferencia como un producto de los factores básicos

analizados anteriormente.

• Identifique las frecuencias de corte de cada uno de los factores

• Dibuje las curvas asintóticas

Ejemplo 3.1

( )( )( )16s2s2ss

1s8)s(G 2 ++++

=

Reordenando

( )

1616

16s2s22

2ss

1s8)s(G2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

18s

16s.1

2s.s

1s.41)s(G2

A partir de allí se identifican los siguientes factores:

- Ganancia = 1/4

- Polo origen

- Cero eje real (s +1) → ω1 = 1

- Polo eje real ( 1/2s + 1) → ω2 = 2

- Polo de 2do Orden ( s2/16 +s/8 +1) → ωn2 = 16 → ωn = 4


III. OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA DE BODE A PERTIR DE SU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA


2ξ / ωn = 1/8 → 2ξ /4 = 1/8

ξ = 1/4

Cada uno de dichos factores se puede observar en el siguiente diagrama de bode, el cual

muestra el diagrama asintótico y el real.

FIGURA 3.1 DIAGRAMA DE BODE


IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SUS DIAGRAMA DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II

IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SU DIAGRAMA DE BODE La identificación se realiza reconociendo en el diagrama de bode del sistema cada uno de

los factores que lo conforman. A continuación se mostrarán dos ejemplos que muestran el

procedimiento a seguir.

EJEMPLO 4.1

Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra a continuación, se solicita

que identifique la función de transferencia que lo representa.


A partir de dicho diagrama se pueden realizar las siguientes observaciones:

1. A baja frecuencia la pendiente es de –20 db/dc lo que implica un Polo en el Origen,

pudiendo confirmarse dicha suposición pues la fase φ para baja frecuencia comienza en



º90− . Adicionalmente se observa que existe una ganancia menor que uno pues para

ω = 0,1 la amplitud logarítmica es aproximadamente 8 db, cuando debería ser de 20 db si la

ganancia fuese uno. De allí se calcula 20 log K = - 12 db → K = 0,2512


2. La pendiente cae a 0 db/dc lo que indica la aparición de un cero en el eje real, se

dibuja la recta de – 20 db/dc a baja frecuencia y en donde la difrencia entre la asíntota sea

aproximadamente 3 db (aproximadamente en ω = 1) se dibuja la recta de o db/dc. De allí

que el cero será (s+1)

3. Para frecuencias altas, la pendiente tiende a - 60 db/dc y la fase tiende a – 270º lo que

implica la aparición de tres polos. Un polo en el eje real y un par de polos conjugados que

se reconocen debido al pico de resonancia el cual ocurre a una frecuencia ωr ≈ 3,5.

4. Para identificar las frecuencias de corte se sigue el siguiente procedimiento:

- Se traza la pendiente de – 60 db/dc que a alta frecuencia se pega a la recta real.

- Se traslada una pendiente de – 20 db/dc hasta que corte la recta de (- 60db/dc) a una

frecuencia ligeramente mayor ωr, de esta forma se propone estima ωn = 4

-

Como 2

rn

21 ξ−

ω=ω → ( )

22

45,3 21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=ξ− → ξ = 0,3423

Para dicho ξ la amplitud logarítmica del pico de resonancia será:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ξ−ξ=

21 21log 20Mrlog 20 = 3,8 db

el cual coincide aproximadamente con el observado.

5. Para identificar el otro polo se observa en que punto la recta de – 20 db/dc, mencionada

en el punto anterior, corta a la recta de pendiente 0 db/dc, el cual resulta ser ω2 = 2.

Por lo anterior se concluye que la función de transferencia del sistema sería:


( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

+=

1s81

16s2ss

1sK)s(G2

EJEMPLO 4.2:

Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra a continuación, se solicita

que identifique la función de transferencia que lo representa.

-150

-100

-50

0

50

10 -2 10 -1 100 101 10 2 -300 -250 -200 -150 -100 -50


Identificación

1. Pendiente –20 db/dc a baja frecuencia implica un polo en el origen y se verifica con la

fase que comienza en -90°

2. En ω = 0,1 20 log |G| = 20 db lo cual implica que la ganancia es igual a uno.

3. A alta frecuencia la pendiente tiende a – 60db/dc y la fasa a – 270, lo cual confirma la

aparición de dos polos más. Debido a que no hay presencia de ningún pico se podría pensar

en un polo doble cuya frecuencia de transición fuese el cruce de la recta de – 20db/dc con la



recta de – 60db/dc, aproximadamente ω = 3 pero al observar la diferencia entre el diagrama

asintótico supuesto y real, la caída en amplitud logarítmica en ω = 3 sería de

aproximadamente 10 db, lo cual discrepa de lo supuesto, pues si se tienen polos dobles la

diferencia en la frecuencia de cruce debería ser de 6 db.

Por ello se suponen que existen dos polos reales y diferentes. Se añade una recta de – 40 db/dc y donde cruce con a las otras frecuencias se obtendrán los polos.

4. Se supone que existen dos polos reales y diferentes. Se añade una recta de – 40 db/dc

que pase por el punto donde la diferencia entre la curva real y la recta de – 20 db/dc a baja

frecuencia sea de – 3db. Donde dicha recta cruce con las otras aproximaciones asintótias,

se obtendrán los polos.

polo 1 → ωc1 ~ 1 ..... (s+1)

polo 2 → ωc2 ~ 9 ..... (1/9s+1)

A partir de lo anterior se identifica la función de transferencia como:

( )( )1s911ss1)s(G

++=


V. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE AMPLITUD LOGARÍTMICA, TIPO Y ERROR PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II

V. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE AMPLITUD LOGARÍTMICA , EL TIPO DE

SISTEMA Y EL ERROR A LAZO CERRADO Considerando un sistema de control de retroalimentación simple, es posible utilizar la

respuesta frecuencial a lazo abierto para conocer el error a lazo cerrado.

En forma muy general la función de transferencia de lazo directo G(s)H(s) puede ser escrita

como sigue:

G(s)H(s) = ( )( ) ( )( ) ( )1sT1sTs

1sT1sT1sTK

nan

m21

+++++

K

K

Es importante recordar que el error de un sistema depende del tipo del sistema y de la

entrada a la cual se vea sometido. A partir de allí, se puede calcular el error del sistema en

función de los coeficientes de error estático (Kp, Kv y Ka). Donde los valores de Kp, Kv y

Ka son calculadas a partir de las siguientes expresiones:

Kp = lims→0 G(s)H(s)

Kv = lims→0 s G(s)H(s)

Ka = lims→0 s2 G(s)H(s)

En base a lo anterior, se analizará el uso de la respuesta frecuencial del lazo directo para

conocer el error del sistema a lazo cerrado.

5.1 SISTEMAS TIPO CERO

Para un sistema tipo 0 cuando la frecuencia tiende a cero, G(jω)H(jω) tiende a Kp. Por lo

tanto, a partir de la gráfica de ganancia logarítmica se puede obtener Kp, pues a baja

frecuencia la amplitud logarítmica de 20 log |G(jω)H(jω)| = 20 log Kp. En la figura 5.1 se

puede apreciar lo enunciado anteriormente.

20 lg Kp20 lg |G(jw)H(jw)|

Fig. 5.1 Diagrama de amplitud logarítmica para un sistema tipo cero

Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 20 Prof. Yamilet Sánchez Montero


5.2 SISTEMAS TIPO UNO

Para un sistema de tipo 1 para ω << 1 , |G(jω)H(jω)| se puede aproximar a

ω=ωω

jKv)j(H)j(G , lo cual se representa como una recta de pendiente -20 db/dec a baja

frecuencia, tal como se observa en la figura 5.2. Si además, se evalúa esta aproximación

para ω = 1 se tiene:

Kvlog20jKvlog20

1

=ω

=ω

en forma gráfica esto se logra extendiendo la recta de – 20db/dec y leyendo en la gráfica el

valor de la ganancia logarítmica para ω = 1, se obtiene Kv , además 1jKv

1

=ω ω=ω

ω1 = Kv

Fig. 5.2 Diagrama de amplitud logarítmica para un sistema tipo uno

5.3 SISTEMAS TIPO DOS

Para sistemas de tipo 2 se tiene que, para ω <<1 el módulo de |G(jω)H(jω)| tiende a

( ) ( )( )2jKajHjGω

→ωω

Utilizando un procedimiento similar al anterior, se evalúa



( )Kalog20

jKalog20

12 =

ω =ω


y además, la frecuencia para la cual dicha corta 0 db (ω 0db = ωa ) puede ser utilizada para

calcular Ka como sigue:

( )

db0jKalog20 2

a

=ω

2aKa ω=

Kaa =ω

ωa

-20 lg Ka

db

1

Fig. 5.3 Diagrama de amplitud logarítmica para un sistema tipo dos

VII. DIAGRAMAS POLARES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II

VI. RESPUESTA FRECUENCIAL PARA SISTEMAS A LAZO CERRADO Para un sistema a lazo cerrado de retroalimentación simple se tiene que M(s) se define

como la Función de Transferencia a lazo cerrado, la cual sería:

)s(H)s(G1)s(G

)s(R)s(C)s(M

+== y la respuesta frecuencial a lazo cerrado sería

)j(M)j(M)j(H)j(G1

)j(G)j(M ω<ω=ωω+

ω=ω , es decir se tendrá también un módulo y un

ángulo que podrán ser representados a través de un diagrama de bode.

En la siguiente figura se muestra un diagrama de bode para un sistema típico de control.

20 log |M(jw)| 0 db -3db

WB

K=1

Fig. 6.1 Diagrama de Bode de un sistema a lazo cerrado

WB se conoce como ancho de banda (BW). El valor de – 3db proviene del estudio de

amplificadores. A esa frecuencia WB la salida ha decaído a la mitad de su valor a baja

frecuencia.

El ancho de banda de un sistema de control es una indicación de las propiedades del

sistema en el dominio del tiempo. Un ancho de banda grande corresponde a una mayor

rapidez de la respuesta, pero dado que el ruido ocurre a altas frecuencias el Ancho de

Banda no debe ser muy grande.



VII. DIAGRAMAS POLARES

El diagrama polar de G(jω) es una representación de la respuesta frecuencial de un sistema,

el cual esta formado por una gráfica de la magnitud de G(jω) contra el ángulo de fase para

variaciones de ω de 0 a infinito. Para la obtención de un diagrama polar se mostrará a

continuación el procedimiento a seguir para diferentes casos.

7.1 FACTORE INTEGRALES Y DERIVATIVOS G(S) = (S) +1

G(jω) = (jω)+1

Se realizará el desarrollo para el caso de un polo.

G(jω) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−=

ω1j

j1

ω=ω

1)j(G

Re = 0

Im = ω

−1

De allí se puede observar que

w= ∞

w= ∞ w= 0

G= S

G= 1/S

w= 0

7.1 DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES INTEGRALES Y DERIVATIVOS

ω = 0 |G(jω)| → ∞

ω→ ∞ |G(jω)| → 0

Además, el diagrama será un recorrido por el eje imaginario negativo por lo que la fase

será siempre - 90°

)j(G ω = φ = °−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ω

−90

0

1arctg

En la figura 7.1 se puede apreciar el Diagrama Polar para un polo y para un cero. Cabe

resaltar que al conocer el Diagrama de Bode para éste término, puede servir de apoyo para

la obtención del Diagrama Polar



7.2 FACTORES DE PRIMER ORDEN G(S) = (S+1) +1

Para el caso de un polo se tiene:

τs11)s(G

+=

ω+=ω

τj11)j(G

multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado se obtiene:

( )( ) 22τ1τj1

τj1τj1τj1)j(G

ω+

ω−=

ω−ω+ω−

=ω

jτ1τ

τ11)j(G

2222 ω+

ω−

ω+=ω

Para graficar se evalúan para distintas ω:

w=∞ w=0

w=1/ τ

G= τs+1

G= 1/ (τs+1)

1

7.2.1 DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES DE PRIMER

ORDEN

ω = 0 → Re =1 , Im = 0 → |G(jω)| = 1 , φ = 0

ω= 1/ τ → Re = 1/2 , Im = -1/2 → |G(jω)| = 22 , φ = 45°

ω→ ∞ → Re → 0 , Im = 0 → |G(jω)| = 0 , φ = 90°

En la figura 7.2.1 se puede apreciar el Diagrama Polar para un polo y para un cero.

Igualmente se puede observar la similitud entre dicho diagrama y el correspondiente

Diagrama de bode

Por convención el ángulo es positivo si se mide contrario a las agujas del reloj.



Si se le agrega un polo en el origen a G(s) se tiene:

( )1sτs1)s(G+

=

( )1jτj1)j(G

+ωω=ω

( )( )( )

( )( )222

2

2

2

2 )τ(jτ-

jτ-jτ-

jτ-1)j(G

ω+ω

ω−ω=

ω−ω

ω−ω

ω+ω=ω

Separando la parte real (Re) de la parte imaginaria

(Im)

j)1τ(

1)1τ(

τ-)j(G2222 +ωω

−+ω

=ω

φ

w = oo

w=1/τ

w= 0

7.2.2 DIAGRAMA POLAR AÑADIÉNDOLE UN POLO EN

EL ORIGEN

Graficando para valores extremos de ω y para 1/ τ se tiene:

ω = 0 Re = - τ , Im → -∞ |G(jω)| → ∞ , φ = 90°

ω = 1/ τ Re = - τ/2 , Im = - τ/2 |G(jω)| = - finito, φ = 135°

ω → ∞ Re → 0 , Im = 0 |G(jω)| = 0 , φ = 180°

En la figura 7.2.2 se observa como la adición de términos en el Diagrama polar no se puede realizar

tan fácilmente como se hace para los Diagramas de Bode.

7.3 POLOS Y CEROS CONJUGADOS G(s) = 1

2

2

n

ξ21±

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

nwss

w

Siguiendo igual procedimiento al anterior, se tiene que: ω = 0 |G(jω)| →1 , φ = 0°

ω → ∞ |G(jω)| = 0 , φ = - 180°

Apoyándose en el conocimiento del Diagrama de Bode para dichos términos, se puede representar

el Diagrama Polar tal como se muestra en la figura 7.3



w = oo 1 w = 0

wn wn wn

ζ

7.3 DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES CONJUGADOS

7.4 FORMAS GENERALES PARA LAS TRAZAS POLARES

Una función de transferencia puede ser escrita en forma general como:

)pj)(pj(j

)zj)(zj(K)j(G21

21

+ω+ωω

+ω+ω=ω

λ

donde m es el grado del numerador y n del denominador, n > m.

Para sistemas tipo cero, λ = 0 ω = 0 El módulo es finito y se encuentra sobre el eje real positivo φ = 0°

ω → ∞ El módulo tiende a cero (origen) tangente a uno de los ejes Ejemplo:

G(jω) = )5s).(4s(

)1s.(3++

+

ω → 0 |G(jω)| =3/20 , φ = 0°

ω →∞ G(jω) →K/ (jω) , |G(jω)|→0 , φ = - 90° Para sistemas tipo uno (1), λ = 1 El término 1/ s contribuye con -90° en la fase y la magnitud es infinita para ω = 0 . Luego para ω

→ ∞ El módulo tiende a cero (origen) y es tangente a uno de los ejes.

Para sistemas tipo dos (2), λ = 2



El término 1/ s2 contribuye con -180° en la fase. Por lo tanto

ω = 0 |G(jω)|→∞ , φ = -180°

ω → ∞ |G(jω)|→0 , φ es tangente a uno de los ejes. En la figura 7.4 se pueden apreciar las formas generales que tendrán los Diagramas Polares para sistemas tipo 0, 1, 2

Tipo 0

Tipo 1

Tipo 2

w=oo w=0

w=0

7.4 DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES CONJUGADOS

Dependiendo de la diferencia entre m y n se obtiene el ángulo de llegada para ω = ∞

(n-m).(90°) = ángulo de llega


VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II

VIII. Criterio de Estabilidad de Nyquist

Un sistema de control de retroalimentación simple como el mostrado en la figura 8.1, es

estable si su Ecuación Característuica a Lazo Cerrado, F(s) = 1 + G(s)H(s), no tiene ninguna raíz

con parte real positiva.

+

-

)s(H

G(s)C(s)R(s)

)S(H G1)S(G

)S(R)S(C

+=

Fig. 8.1 Esquema de Control de Retroalimentación Simple

El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial a lazo abierto con la

estabilidad a lazo cerrado; basado en un teorema de la variable compleja que se fundamenta en el

mapeo de los contornos en el plano complejo. Parte de los fundamentos que dan base al criterio de

estabilidad se nombrarán a continuación.

• Para una trayectoria cerrada y continua en el plano S, que no pasa por ninguna singularidad, le

corresponde una trayectoria cerrada en el plano F(s).

• Si el contorno en el plano S (Γs ), encierra igual número de ceros que polos de F(s), el contorno

en F(s), (ΓF (s) ), no encerrará el origen.

• Si el Γs encierra n polos de F(s), ΓF (s) rodea al origen n-veces en sentido antihorario.

• Si el Γs encierra m ceros de F(s), ΓF (s) rodea al origen m-veces en sentido horario.

EJEMPLO:

Una función de s, tal como F(s), transforma una trayectoria cerrada del plano s (Γs ), sobre el plano

F(s), en una trayectoria cerrada en el plano F(s) (ΓF (s)). Como se mencionó anteriormente, F(s)

corresponderá con la ecuación característica a lazo cerrado, por lo que se tiene que:

Si G(s)H(s)1

s 1=

+ ⇒ F(s) 1

1s 1

= ++

F(s) sólo tiene un cero en s = - 2 y un polo en s = - 1.



Para este ejemplo, se tomarán dos contornos en el plano s (Γs) y se realizaran las transformaciones

de dichos contornos utilizando F(s). Tanto los contornos, como sus correspondientes

transformaciones se muestran en las figuras 8.2 y 8.3.

Pto s F(s) A -3 0,5 B j 1,5 – 0,5 j C 1 1,5 D -j 1,5 + 0,5 j

Encierra un polo y un cero

No encierra el origen

FIG. 8.2 PRIMER ΓS Y SU TRANSFORMACIÓN AL PLANO F(S) Pto s F(s) A -3 0,5 B j 1,5 – 0,5 j C 1 1,5 D -j 1,5 + 0,5 j

Encierra el origen una vez

Encierra un cero

FIG. 8.3 SEGUNDO ΓS Y SU TRANSFORMACIÓN AL PLANO F(S)

El área encerrada está a la derecha del recorrido cuando se mueve en sentido horario, por lo que

en el primer caso el Γs encierra un polo y un cero de F(s) y en el segundo caso, el Γs encierra un

cero de F(s). Como puede observarse, en el primer caso el ΓF (s) , no encierra el origen pues el

número de ceros y polos de F(s) encerrados en el Γs son iguales. En el segundo caso, el ΓF (s)

encierra al origen una vez, pues existe un cero de F(s) encerrado en el Γs .

Generalizando el Teorema del Mapeo, se tiene que,

)s(ND(s) F(s) Si =



para un Γs que encierre Z ceros y P polos de F(s) sin pasar por encima de ningún cero o polo de

F(s), el ΓF (s) encerrará el origen en sentido horario un número de veces igual a N = Z - P.

Dicho teorema se utilizará para tener información respecto a los ceros y los polos de F(s)

encerrados en un Γs específico.

8.1 Aplicación al análisis de la estabilidad a lazo cerrado Para realizar un análisis de la estabilidad a lazo cerrado a partir de la respuesta frecuencial a lazo

abierto, utilizando el Teorema del Mapeo, se deben tener las siguientes consideraciones:

• F(s) será la Ecuación Característica a Lazo Cerrado, es decir, F(s) = 1 + G(s)H(s)

• El Γs a utilizar será el semiplano derecho del plano S, tal como se muestra en la figura 8.4

• Z = # ceros de lazo cerrado de F(s) en el semiplano derecho del plano S

• P = # polos de G(s)⋅H(s) en el semiplano derecho del plano S

• N = Z - P el número de vueltas en sentido horario que ΓF ( s ) le da al origen.

Im

Re

Plano S

FIG. 8.4 ΓS EQUIVALENTE AL SEMIPLANO DERECHO

De manera que, para que el sistema sea estable, Z debe ser cero, lo que se lográ en los siguientes

casos:

• Si P = 0 entonces N debe ser cero

Si P ≠ 0 entoncer N deber ser igual a -P. •

•

•

De allí se desprende que, si se conocen los polos de lazo abierto (P) y los encierros que da al

origen el ΓF ( s ) (N), se puede saber si existen ceros con parte real positiva (Z).

Para particularizar la aplicación del criterio a un sistema de control de retroalimentación simple,

se propone lo siguiente:

Definir F’(s) = F(s) – 1 = G(s)H(s)

P’ y Z’ de F’(s) corresponden con los polos y ceros de lazo abierto



•

•

•

•

•

•

•

•

)

La transformación sobre el Plano F’(s), se realiza tomando en cuenta que el Γs no debe pasar

por ningún polo o cero de F’(s)

El encierro del origen por el ΓF(S) es equivalente a encerrar el punto (-1,0) por el contorno

ΓF’(S).

El ΓF’(s) se conoce como el Diagrama de Nyquist.

N’ corresponde al número de encierros que le da el ΓF’(s) al punto (-1,0)

El valor de Z, ceros de la Ecuación característica a lazo cerrado, se puede conocer a partir de

N’ y de P, pues N’ = Z – P

Si P = 0 entonces Z = N’ por lo tanto el ΓF’(s) no debe encerrar al punto (-1,0) para que el

sistema sea estable. En este caso, es suficiente realizar la traza del Nyquist para s = jω y

verificar si encierra al (-1,0), lo cual equivale a realizar el diagrama polar de G(jω)H(jω).

Si P ≠ 0 se tiene que el sistema a lazo abierto es inestable, pero a lazo cerrado puede ser

estable. En este caso, se hace necesario realizar el Diagrama de Nyquist completo para

conocer el valor de N’ y verificar la estabilidad.

Si ΓF’ (S) pasa por (-1,0) entonces los ceros de la Ecuación Característica a Lazo Cerrado se

encuentran sobre el eje jω y el sistema a lazo cerrado será críticamente estable.

A continuación se mostrará varios ejemplos para ilustrar el criterio de estabilidad de Nyquist.

EJEMPLO 8.1

Para unsistema cuya función de transferencia a lazo abierto es G(s)H(s), se desea saber si el

sistema es estable o no utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist.

( )( 1s T1s TK H(s) G

21 ++=

El diagrama de Nyquist se hace por tramos, los cuales se muestran en la figura 8.5.

Tramo 2 Tramo 1

Tramo 3

Fig. 8.5 Tramos a transformar



Tramo 1 Se representa sustituyendo s = jω en G(s)H(s), equivalente al diagrama polar.

2)j1)(Tj(TKG(s)H(s)

21 +ω+ω=

evaluándo para los extremos se tiene:

ω → 0 | GH | = K φ = 0º

ω → ∞ | GH | = 0 φ = -180º

Es bueno resaltar que, el sistema es de tipo “0” y la que diferencia entre el número de polos y el

numero de ceros de la función de transferencia es n-m = 2. En la figura 8.6 se puede apreciar el

Diagrama de Nyquist, donde se aprecia la transformación de este tramo.

Tramo 2 Se representa sustituyendo s = σ e j θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular

definida por los valores de σ y θ

σ → ∞ 90º ≥ θ ≥ - 90º

De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando σ → ∞ será:

j 2eKG(s)H(s) es

Lim 2jwθ−

σ=

σ→

σ → ∞ | GH | → 0

θ = 90º φ = - 180º

θ = - 90º φ = 180º

Real Axis

Nyquist Diagrams

-2 0 2 4 6 8 10 -6

-4

-2

0

2

4

6

Tramo 1

Tramo 2

Tramo 3

Fig. 8.6 Diagrama de Nyquist

Lo que se reduce a la transformación del origen, tal como se observa el la figura 8.6

Tramo 3 Se representa sustituyendo s = - jω en G(s)H(s), equivalente a una trayectoria simétrica, respecto

al eje real, a la trayectoria derivada en el tramo uno (figura 8.6).



CONCLUSIÓN

Como P = 0 (el Γs no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N = 0 (el Diagrama de Nyquist no

encierra el punto (-1,0)), entonces Z = 0 siendo el sistema estable.

Además, también se puede concluir que será estable para cualquier ganancia pues, a pesar que la

ganancia aumenta nunca se encerrará al punto (-1,0)

EJEMPLO 8.2

Para un sistema cuya función de transferencia a lazo abierto es G(s)H(s), se desea saber si el

sistema es estable o no utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist.

2)s(T 1)s(T sKG(s)H(s)

21 ++=

La única diferencia entre este ejemplo y el anterior es que ahora el sistema es de tipo “1”, por lo

que el Γs debe rodear al origen quedando tal como se muestra en la figura 8.7

Tramo 2 Tramo 1

Tramo 4

Tramo 3

FIG. 8.7 TRAMOS A TRANSFORMAR

Tramo 1

Se representa sustituyendo s = jω en G(s)H(s), equivalente al diagrama polar.

( )( )1j T1j TjK)j(G

21 +ω+ωω=ω

ω → 0 | GH | = ∞ φ = -90º

ω → ∞ | GH | = 0 φ = -270º

Recuerde verificar que el sistema es de tipo “1” y que la diferencia entre el número de polos y de

ceros de G(s)H(s) es de m – n = 3 (figura 8.8)

Tramo 2 Se representa sustituyendo s = σ e j⋅θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular

definida por los valores de σ y θ.



σ → ∞ 90º ≤ θ ≤ - 90º


j 3eKG(s)H(s) es

Lim 3jwθ−

σ=

σ→

σ → ∞ | GH | → 0

θ = 90º φ = - 270º

θ = - 90º φ = 270º

Lo que se reduce a la transformación del origen, tal como se observa el la figura 8.8

Tramo 3 Se representa sustituyendo s = -jω en G(s)H(s), equivalente a una trayectoria simétrica, respecto

al eje real, a la trayectoria derivada en el tramo uno (figura 8.8).

Tramo 4 Se representa sustituyendo s = ε e j⋅θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular

definida por los valores de ε y θ.

ε → 0 -90º ≤ θ ≤ 90º

De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando ε → 0 será:

j eKG(s)H(s) es

Lim jwθ−

ε=

ε→

ε → 0 | GH | → ∞

θ = -90º φ = 90º

θ = 90º φ = -90º

-1

ω = 0-

ω = 0+

Fig 8.8 Diagrama de Nyquist



LA TRANSFORMACIÓN RESULTA EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA DE DIÁMETRO INFINITO.

CONCLUSIÓN

P = 0 (el Γs no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N depende del valor de la ganancia del

sistema, entonces la estabilidad del sistema tambien dependerá de dicha ganancia.

•

•

•

Para K pequeñas N = 0, por lo que el sistema será estable

Para K = K crítica entonces el Diagrama pasará sobre el (-1,0), sistema críticamente estable

Para K grandes N = 2, por lo el sistema será inestable.

EJEMPLO 8.3

Para el sistema cuya función de transferencia a lazo abierto sea G(s)H(s), realice un análisis de la

estabilidad y diga si depende de los valores T1 y T2.

G(s)H(s)K (T s 2)s (T s 1)

22

1=

++

Para este caso, se utiliza el mismo Γs que se muestra en la figura 8.7. Primero, se realizaran las

transformaciones de los tramos 2 y 4 pues no dependen de los valores de T1 y T2.

TRAMO 2

Se representa sustituyendo s = σ e j⋅θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular

definida por los valores de σ y θ.

σ → ∞ 90º ≤ θ ≤ - 90º


j 2eKG(s)H(s) es

Lim2jw

θ−

σ=

σ→

σ → ∞ | GH | → 0

θ = 90º φ = - 180º

θ = - 90º φ = 180º

Lo que se reduce a la transformación del origen.

Tramo 4

Se representa sustituyendo s = ε e j θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular

definida por los valores de ε y θ.

ε → 0 -90º ≤ θ ≤ 90º



De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando ε → 0 será:

j eKG(s)H(s) es

Lim jwθ−

ε=

ε→

ε → 0 | GH | → ∞

θ = -90º φ = 180º

θ = 90º φ = -180º

La transformación resulta en una circunferencia de diámetro infinito

TRAMO 1

Se representa sustituyendo s = jω en G(s)H(s), equivalente al diagrama polar.

G(s)H(s)K(T jw 2)s (T jw 1)

2

12=

++

evaluándo para los extremos se tiene:

ω → 0 | GH | = ∞ φ = -180º

ω → ∞ | GH | = 0 φ = -180º

Es bueno resaltar que, el sistema es de tipo “0” y la que diferencia entre el número de polos y el

numero de ceros de la función de transferencia es n-m = 2.

Lo anterior define los extremos del diagrama que corresponden a esta transformación, pero la

forma de la misma depende de los valores de T1 y T2.

• Si T1 < T2 ocurre primero el cero y luego el polo, por lo que la variación en el ángulo de fase

será como la que se muestra en la figura 8.9. De allí que, a medida que aumenta ω la fase

tenderá a –1800 pasando por valores intermedios mayores que –1800 . El Diagrama de

Nyquist correspondiente será el que se observa en la figura 8.10

ω2 ω1

-180º

FIG. 8.9 ANGULO DE FASE PARA T1 < T2

-1ω = ∞

ω = 0

ω = 0

FIG. 8.10 DIAGRAMA DE NYQUIST PARA T1 < T2



• Si T1 = T2 el cero y el polo ocurren simultáneamente, por lo que sus contribuciones se anulan,

tal como se observa en la figura 8.11. De allí, que el Diagrama de Nyquist correspondiente será el

que se observa en la figura 8.12

-180º

ω1

ω2

FIG. 8.11 ANGULO DE FASE PARA T1 = T2

-1

FIG. 8.12 DIAGRAMA DE NYQUIST PARA T1 = T2

Si T1 > T2 el polo ocurre primero que el cero, teniendo la fase un comportamiento como el

que se muestra en la figura 8.13. De allí que, el recorrido de la fase desde –180° (ω = 0)

hasta -180° (ω → ∞) tendrá valores intermedios menores que -180°. El Diagrama de Nyquist

correspondiente será el que se observa en la figura 8.14.

•

ω1 ω2

-180º

FIG. 8.13 ANGULO DE FASE PARA T1 >T2

-1ω = ∞

ω = 0+

ω = 0-

FIG. 8.14 DIAGRAMA DE NYQUIST PARA T1 >T2

La transformación del tramo 3 será simétrica respecto al eje real para todos los casos. Debido a

que P = 0, el sistema será estable si N = 0, lo cual se resume a continuación para cada uno de los

casos.

Si T1 < T2 N = 0, por lo que el sistema es estable para todo K •

•

•

Si T1 = T2 N = 0, pero el diagrama de Nyquist pasa sobre (-1,0), por lo que el sistema es

críticamente estable

Si T1 > T2 N = 2, por lo que el sistema es inestable para todo K



8.2 ESTABILIDAD RELATIVA

Para sistemas que, a lazo abierto son de fase mínima, es decir, G(s)H(s) no tienen ni ceros ni

polos en el semiplano derecho es suficiente el trazo de Nyquist (para s = jω) para concluir

respecto a la estabilidad. Como P = 0 (fase mínima) entonces N debe ser cero para que el sistema

sea estable. A continuación se mostraran algunos diagramas de Nyquist generales que apoyan lo

anterior.

• Para sistemas tipo “0”, siempre se tendrá un Diagrama de Nyquist General como el que se

muestra en la figura 8.15, donde se puede apreciar que, la traza que representa la

transformación de s = jω, es suficiente para verificar el valor de N.

Suficiente con esta traza

n - m = 1 n - m = 2

FIG. 8.15 DIAGRAMAS DE NYQUIST GENERALES PARA SISTEMA TIPO “0”

• Para sistemas Tipo “1”, siempre se tendrá un Diagrama de Nyquist General como el que se

muestra en la figura 8.16, donde tambien se puede apreciar que, la traza que representa la

transformación de s = jω, es suficiente para verificar el valor de N

Transformación del origen




• Para sistemas tipo “2”, siempre se tendrá un Diagrama de Nyquist General como el que se

muestra en la figura 8.17, donde tambien se puede apreciar que, la traza que representa la

transformación de s = jω, es suficiente para verificar el valor de N

Transformación del origen


Además, la traza de Nyquist tambien indica el grado de estabilidad de un sistema estable. Se

podrá reconocer si un sistema es estable para cualquier valor de ganacia, o si por el contrario, la

estabilidad dependerá del valor de la ganancia.

A continuación, se definiran los conceptos de margen de fase y margen de ganancia, los cuales

indican el grado de estabilidad del sistema. En la figura 8.18, se muestra la traza de Nyquist para

un sistema cualquiera, la cual no encierra el punto (-1,0), lo que implica estabilidad aprecia que

tanto la ganancia como la fase tienen unos valores límites definidos por su cercanía con el punto

(-1,0). Dichos valores son Kg y γ, los margenes de ganancia y de fase respectivamente. Así

mismo, en la figura 8.19 se observan Kg y γ para un caso en que el sistema fuese inestable.

Margen de ganancia positivo

φ γ

Kg 1

- 1

γ Margen de fase positivo

Fig. 8.18 Kg y γ positivos

- 1 Kg 1

Margen de ganancia negativa

Margen de fase γ

negativo

Fig. 8.19 Kg y γ negativos

A continuación se definiran los margenes de ganancia y de fase.



• MARGEN DE GANANCIA

Es el inverso de la magnitud de |G(jω)| en la frecuencia en la cual la fase vale φ = -180º

1)j(G

1Kgωω

= ω1 → φ(ω1) = -180º

Kg (db) = 20 lg Kg = -20 log |G(jω1)|

• MARGEN DE FASE

Es la cantidad de atraso (φ negativa) en la frecuencia de cruce ( |G(jω1)| = 1) requerida para

llevar al sistema al límite de la estabilidad.

γ = 180º + φ

Para que un sistema sea estable su Margen de Fase (MF) y su margen de Ganancia (MG) deben ser

ambos positivos. Otra forma de representar la traza de Nyquist (s = jω) es a través de un

Diagrama de Bode, por lo que el MF y el MG se pueden obtener a partir del mismo, tal como se

muestra en la figura 8. 20.

Fig. 8.20 MF y MG en el Diagrama de Bode

Ejemplo 8.4

Para un sistema cuya función de transferencia a lazo abierto es G(s)H(s), indique si el sistema a

lazo cerrado es estable y cuales son MF y MG.



• CASO 1

G(s)H(s)600(s 2)

s(s 17s 70)2=+

+ +

El Diagrama de Bode para G(s)H(s) se observa en la figura 8.21, a partir del cual se lee:

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-25 0

25 50 75 Gm = Inf, Pm=35.477 deg. (at 22.985

d/ )

10 -2 10-1 100 101 102-180 -160 -140 -120 -100

-80 -60

Fig. 8.21 Diagrama de Bode Caso 1

20 lg | GH | = 0 db φ ≈ -143º → γ = 180º - 143º = 37º

φ → -180º 20 lg |G| → - ∞ db → MG = ∞ (+)

El sistema es estable, pues ambos márgenes son positivos.

• CASO 2

2)4s3ss(5s1)(3s

G(s)H(s)23 +++

+= Su diagrama de Bode se muestra a continuación.



Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-100 -50

0 50

100

10 -3 10-2 10-1 100 10 1 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60

Fig. 8.22 Diagrama de Bode Caso 2

20 lg | GH | = 0 db φ ≈ -250º → γ = 180º - 250º = -70º

φ → -180º 20 lg |G| → 20 db → MG (-)

El sistema es inestable, pues ambos márgenes son negativos.

• CASO 3

Si se eliminase el polo en el origen del sistema del caso anterior concluya respecto a la

estabilidad.

El diagrama de bode en este caso quedaría como se muestra a continuación.

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-60 -40 -20

0 20 Gm = Inf, Pm=17.054 deg. (at 1.1501 rad/sec)

10 -2 10-1 100 10 1 -200 -150 -100 -50

0 50

FIG. 8.23 DIAGRAMA DE BODE CASO 3



20 lg | GH | = 0 db φ ≈ -160º → γ = 180º - 160º = 20º

φ → -180º 20 lg |G| → - ∞ db → MG = ∞ (+)

El sistema es estable, pues ambos márgenes son positivos.

8.3 SISTEMAS DE FASE NO MÍNIMA Y SISTEMAS CON RETARDO

Para completar la representación de la respuesta frecuencial de sistemas incluyamos sistemas de

fase no-mínima y con retardo.

8.3 Sistemas de fase no mínima

Los sistemas de fase no-mínima son aquellos que tienen ceros o polos con parte real positiva. La

diferencia entre sistemas de fase mínima y los de fase no-mínima se presenta en la fase, tal como

se puede apreciar en los ejemplos que se mostraran a continuación.

EJEMPLO 8.3.1

Comparación entre el diagrama de bode para un cero en el eje real negativo y en el eje real

positivo

G1(s) =1 + Ts G2(s) = 1 –Ts sustituyendo s = jω

G1(jω) =1 + T jω G2(jω) = 1 –T jω

De allí, se puede observar que el módulo de ambas funciones es el mismo en tanto que la fase de

ambas difiere, tal como sigue:

21 1)( wjwG += 2

2 1)( wjwG +=

para el estudio de la fase se analizará como cambia ésta a medida que cambia ω

cuando ω → 0 para G1 Re → 1 Im → 0 (+) por lo que φ1 → 0°

para G2 Re → 1 Im → 0 (-) por lo que φ1 → 0°

cuando ω → ∞ para G1 Re → 1 Im → j∞ por lo que φ1 → 90°

para G2 Re → 1 Im → -j∞ por lo que φ1 → -90°

De allí, que el diagrama de bode para G1 es igual al estudiado hasta ahora, en tanto que para G2 se

tendrá un Diagrama de bode como se muestra en la siguiente figura.



FIG. 8.24 DIAGRAMA DE BODE PARA G2(S) = 1 - Ts

Se debe hacer resaltar que para el caso en que se tenga un cero con parte real positiva, donde

G3(s) = Ts-1, la fase tendrá un comportamiento diferente, tal como se muestra.

G3(jω) = T jω − 1

cuando ω → 0 Re → -1 Im → 0 (+) por lo que φ1 → 180°

cuando ω → ∞ Re → -1 Im → j∞ por lo que φ1 → 90°

Por lo tanto el diagrama de bode para G3(s) sera como se muestra en la figura 8.25.

FIG. 8.25DIAGRAMA DE BODE PARA G3(S) = Ts - 1

EJEMPLO 8.3.2

Para el caso de un polo con parte real positiva se presenta el siguiente ejemplo.

Ts11)s(G 3 −

= y haciendo s = jω, se tieneω−

=ωTj11)j(G 3

multiplicando por el conjugado arriba y abajo se tiene finalmente la función a representar,

223T1

)Tj1()Tj1)(Tj1(

)Tj1()j(Gω+

ω+=

ω+ω−ω+

=ω de donde,



( )( ) 22222

22

3T1

1

T1

T1jGω+

=ω+

ω+=ω


De allí que, el módulo de dicha función coincide completamente con el módulo del polo con

parte real positiva, tal como se describió en secciones anteriores, en tanto que la fase tendrá el

siguiente comportamiento:

cuando ω → 0 Re → 1 Im → 0 (+) por lo que φ1 → 0°

cuando ω → ∞ Re → 1 Im → j∞(+) por lo que φ1 → 90°

A partir de lo anterior se esboza el diagrama de bode para G3(s)

FIG. 8.26 DIAGRAMA DE BODE PARA G3(S) =1/ Ts - 1

Por lo tanto, se observa que los sistemas de fase no-mínina presentan una diferencia en la fase

con respecto hasta los estudiados hasta ahora .

En identificación para sistemas de fase mínima es suficiente con la curva de magnitud pero en los

de fases no-mínima debemos inspeccionar la φ

Por simple inspección en el diagrama de Bode se puede observar que, para sistema de fase

mínima, cuando la frecuencia tiende a infinito la pendiente en el diagrama de amplitud

logarítmica tiende a -20 dcdb ( m – n ) y la fase tiende a -90º ( m – n ). En tanto que, para

sistemas de fase no mínima, el comportamiento del diagrama de amplitud logarítmica es mismo,

pero la fase no se comporta de igual forma y debe ser analizada en forma particular.

8.4 SISTEMAS CON RETARDO

Son sistemas de fase no-mínima, cuya función se transferencia es:

G ( jω ) = e –jωT donde T… es retardo


La magnitud es siempre igual a 1 y la fase será igual a φ = -ωT (radianes) = -57,3 ωT ( grados ).

Su diagrama de Bode y su diagrama polar tendrán la siguiente forma

FIG. 8.27 DIAGRAMA DE BODE DEL RETARDO

FIG. 8.28 DIAGRAMA POLAR DEL RETARDO

8.5 SISTEMAS CONDICIONALMENTE ESTABLES

Para un sistema cuyo Diagrama de Bode a lazo abierto es el que se muestra, concluya respecto a

la estabilidad a lazo cerrado.

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-80 -60 -40 -20

0 20 40 60

10 -2 10-1 100 101 10 2 -280 -260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80

FIG. 8.29 DIAGRAMA DE BODE



A partir del diagrama se lee:

Para ω1 φ = -180º 20 log |G| ≈ 4 db MG (-) ⇒ |G| > 1

Para ω2 20 log |G| = 0 db φ ≈ -200º γ = -20º MF (-)

Para ω3 φ = -180º 20 log |G| ≈ -10 db MG (+) ⇒ |G| < 1

Para ω4 φ = -180º 20 log |G| ≈ - 20 db MG (+) ⇒ |G| < 1

En un caso como éste se debe recurrir al Diagrama de Nyquist para verificar si se encierra o no al

(-1,0). En la siguiente figura se aprecia dicho diagrama, donde se puede observar que el sistema

es estable, pero que dicha estabilidad dependerá del valor de K.

Encierra 2 veces el punto (-1,0) ⇒ INESTABLE!!!


IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II

IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA A continuación se describirán los métodos utilizados para diseñar los diferentes tipos de

compensadores basados en la respuesta frecuencial del sistema (Diagrama de Bode). Los

compensadores a diseñar serán:

Compensadores en Adelanto.

Compensadores en Atraso.

Compensadores Adelanto – Atraso.

9.1 COMPENSACIÓN EN ADELANTO Estos compensadores son semejantes a un PD (Proporcional Derivativo), el cual

fundamentalmente tiene su acción sobre la respuesta transitoria del sistema. Se puede expresar a

través de la siguiente función de transferencia:

1α 0,05 1Ts α

1Tsα KcαT1sT1s

KcGc(s) >>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

donde α y T son los parámetros del controlador a diseñar.

A partir de la función de transferencia del compensador se realizará tanto su diagrama polar como

su Diagrama de Bode, con la intención de visualizar el efecto que tendría añadir un compensador

de este tipo sobre la respuesta frecuencial de un sistema.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ωα

+ωα=ω

1j T1j T)j(Gc

ω = 0 | G | = α

φ = 0º

ω → ∞ | G | = 1

φ = 0º

φmax

ω = ∞

α 1

α D

X

ω = 0

FIGURA 9.1 DIAGRAMA POLAR DE UN COMPENSADOR EN ADELANTO


IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA


En la figura 9.1 se puede observar el Diagrama Polar correspondiente, donde se aprecia que

la fase comienza y termina en 0º, pasando por un máximo (φm) cuyo valor depende de α tal

como se describe a continuación.

21R α−

= 2

12

1x α+=α+

α−=

α+α−

=α+

α−

=φ11

21

21

)m( Sen

φm es el máximo adelanto de fase que puede añadir el compensador, que para el caso de α =

0.05 es igual a 65o. A partir de la función de transferencia del compensador, también se

puede hacer el Diagrama de Bode para α = 0,1 donde se aprecia la ocurrencia de φm a una

frecuencia ωm. El cero ocurre en ω = T1 y el polo ocurre en ω =

T10

ω → 0 | G | = α

20 log | G | = 20 log α

20 log (0,1) = -20 db ω → ∞ db → 0 | G | = 1

ωm

φm

ω

φ

-20

T1 T10

10 log α 10 log α ω

20log|G|

FIGURA 9.2 DIAGRAMA DE BODE PARA UN COMPENSADOR ADELANTO (α = 0,1)

El máximo adelanto, φm, ocurre a ωm, frecuencia que corresponde con la media logarítmica

entre 1/T y 1/αT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α+=ω

T 1lg

T1lg

21 lg m , de allí que

α=ω

T1

m

Evaluando el módulo del compensador a esa frecuencia se tiene:

Prof. Jenny Montbrun Di Filippo Prof. Yamilet Sánchez Montero 50



α=α=ω lg 10lg20Glg20mc


lo cual se observa en la figura 9.2. A continuación se describirá paso a paso, el

procedimiento a utilizar para el diseño de un compensador en adelanto dadas unas

especificaciones.

9.1.1 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO

1) Cálculo de la ganancia K necesaria para satisfacer la condición de error.

2) Obtención del Diagrama de Bode para esa ganancia.

3) Revisar el MF del sistema sin compensar y calcular el ángulo necesario al añadir la

siguiente forma:

φm = MF deseado - MF original + ∆φ

El ∆φ que se añade tiene la intención de corregir el desplazamiento a la derecha de la

frecuencia de corte o cruce de ganancia (ωcorte). Generalmente tiene valores entre 6º y 12º

4) A partir del φm deseado se determina α.

α+α−

=φ11)( Sen m

5) Conocido α se calcula la amplitud logarítmica que tendrá el compensador a la

frecuencia ωm

10lgα α20lgωG20lg mc ==

Dicho valor se utiliza para ubicar ωm en forma gráfica, utilizando el diagrama de Bode, el

cual debe ser verificado numéricamente.

6) Conocido ωm y α se calcula T utilizando la expresión de ωm

α=ω

T1

m

7) Finalmente, se introduce una ganancia igual a 1/α para garantizar que el compensador

tenga una ganancia igual a uno.

8) Se debe verificar que se cumpla lo requerido.



EJEMPLO 9.1.2

Para el sistema que se muestra a continuación diseñe un compensador tal que, a lazo

cerrado se cumpla con las siguientes restricciones:

MF = 45º MG ≥ 8 db Kv = 4 s-1

Gc ( )( )1s1s 1,0s

1++

-

+

FIGURA 9.3 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA

SOLUCIÓN:

1) Se calcula la ganancia para satisfacer Kv

4 Kc 1)s(H G s LimKv0s

=⇒==→

(Ganancia del compensador, para satisfacer el error)

2) Con ese valor de ganancia se realiza el Diagrama de Bode del sistema a lazo abierto

(Fig. 9.3)

3) Del Diagrama de Bode se lee aproximadamente el margen de fase y de ganancia del

sistema original MF (original) ≈ 17º y MG (original) ≈ 8 db

A partir de allí, se estima la fase necesaria a añadir como:

φm = 45º - 17º + 12º = 40º

4) Con el φm se calcula el valor de α

0,21α 11 Sen m =⇒

α+α−

=φ

5) Para identificar la frecuencia donde ocurra el φm se calcula el valor el 10 lg α que será

introducido por el compensador para ω = ωm

20 lg⏐Gc⏐ωm = db 778,6 )21,0lg(10 lg10 −==α

A partir del Diagrama de Bode se lee aproximadamente un ωm ≈ 3. Se verifica

numéricamente que ⏐G(jω)⏐ para ω = 3 sea cercano a los – 6,77 db, dado que el

compensador introducirá los mismos decibeles pero negativos.

1j3 1j3,0 j34lg20Glg20 3m ++

==ω




162,3044,134lg20Glg20 3m ××

==ω

87,7Glg20 3m −==ω db

Como el valor es más grande que los – 6.77db esperados, se supone un ωm menor, ωm = 2,8

97,20385,18,24lg20Glg20 8,2m ××

==ω

69,6Glg20 8,2m −==ω

De aquí se concluye que ωm = 2,8

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-80

-60-40

-200

2040

60

10-2 10-1 100 101 102-270

-240

-210

-180

-150

-120

-90

FIGURA 9.4 DIAGRAMA DE BODE PARA )1s)(1s1,0(s

4)s(G

++=


6) Conocido ωm y α se calcula T

7793,021,08,2

1T T

1m ==⇒

α=ω

Con el valor de α y T se tiene el compensador definido completamente.



1101,6s2831,1sKc

T1sT1s

Kc)s(GC ++

=α+

+=


7) Se multiplica Kc por 1/α para evitar la atenuación.

21,04KKcfinal =

α=

Finalmente la función de transferencia a lazo abierto quedará como:

)1s)(1s1,0(s1

1101,6s2831,1s

21,04G(s) (s)GC ++

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=

8) Verificación

Se verifica numéricamente que ω = 2,8 sea verdaderamente la frecuencia de corte.

( )( )1j8,21j28,0j8,21

1101,6j8,22831,1j8,2

21,04G G 8,2C ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

==ω

( )( )( ) 004,197,20385,18,2

172,608,3

21,04

=⋅⋅=

db 0035,0G Glg 20 C =

Ahora se calcula la fase del sistema compensado para dicha frecuencia.

φω = 2,8 = 65,41º - 24,62º - 90º - 70,34º - 15,64º = -135,2º

MF final ≈ 44,8º

En cuanto al MG se puede concluir lo siguiente: Inicialmente el requerimiento se cumplía,

la frecuencia de corte aumentó pero la fase también aumentó, por lo que se puede suponer

que el MG se sigue cumpliendo.

EJEMPLO 9.1.3

Para el siguiente sistema cuya F.T.L.A )1(

1)(+

=ss

sGH es se requiere que cumpla las

siguientes características. MF = 40º MG ≥ 8 db Kv = 50

SOLUCIÓN

1) Se calcula la ganancia necesaria para satisfacer el error.

50K 1GG s LimKv cc0S=⇒==

→



2) Se realiza el Diagrama de Bode (figura 9.5)

3) Se lee el MF y MG

MF ≈ 8º MG = ∞ db φm = 50º - 8º + 6º = 48º

4) Se determina α:

0,15 11 Sen m =α→

α+α−

=φ

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-20-10

01020304050607080

10-2 10-1 100 101-180-170-160-150-140-130-120-110-100-90

FIGURA 9.5 DIAGRAMA DE BODE PARA G(S) = 50 / S (S+1)

5) Se calcula el valor en amplitud logarítmica que se compensará en ωm

20 lg⏐G⏐ωm = 10 lg α = -8,24

6) Se identifica del Diagrama de Bode ωm, donde se toma ωm =10 como primera

aproximación y se verifica

4975,0049,1010

501j10 j10

50G 10n =⋅

=+

==ω

20 lg|G|ω=10 = - 6,06 db. Este valor es bastante menor que 10 lg α, por lo que se prueba




con un ωm mayor. (ωm = 12)

346,004,1212

501j12 j12

50G12n

=⋅

=+

==ω

20 lg|G|ω=12 = - 9,21

Se redujo la diferencia apreciablemente, por lo que se toma ωm = 12 como definitivo.

7) Se calcula T a partir ωm y α

6476,4T1 2152,0

15,0121T

T1

m ===→α

=ω

8) De allí que, la función de transferencia será:

984,30s6476,4s

15,01)s(G C +

+⋅=

9) Verificación:

Primero se revisa si el ωm coincide con la frecuencia de corte. Para ello, se evalúa el

módulo |G⋅Gc|ω = 12, esperando que sea aproximadamente 1

893,02266,330416,1212

8686,125015,01GG 10c =

⋅⋅⋅

⋅==ω

20 lg| G Gc |ω=12 = - 0,978 db

Se considera aceptable y se calcula la fase para esa frecuencia

( ) º57,127º17,21º2364,85º90º8286,68GG10c −=++−=

=ω

De allí, que el MF será:

MF = 52,42º

y el MG sigue siendo infinito.

9.2 COMPENSACIÓN EN ATRASO

La función de transferencia del compensador es de la forma

151 T1s

T1s11s T

1s T )s(Gc <β<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+

+β

=+β

+=

En este caso, primero ocurre el polo y luego el cero. De igual forma que en el caso del

compensador en adelanto, se graficará el Diagrama Polar y el Diagrama de Bode del




compensador en atraso para visualizar su efecto sobre la respuesta frecuencial del sistema.

La intención al introducir este compensador es provocar una atenuación de la amplitud

logarítmica a alta frecuencia, de forma tal que, la frecuencia de corte o de transición de

ganancia se desplace a lugares más favorables para el cálculo del margen de fase.

El diagrama Polar que se muestra en la figura 9.6 es semejante al del adelanto, pero la fase

sería siempre negativa, de allí que se le conoce como atraso de fase.

FIGURA 9.6 DIAGRAMA POLAR DE UN COMPENSADOR EN ATRASO

El diagrama de Bode para un β = 10 se puede observar en la figura 9.7, donde se aprecia el

atraso de fase y la atenuación provocada en el diagrama de amplitud logarítmica.

FIGURA 9.7 DIAGRAMA DE BODE DE UN COMPENSADOR EN ATRASO

Numéricamente, dicha atenuación a alta frecuencia será:

20 log ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β1 = - 20 log β

ω = 0

11/β




La intención al añadir este tipo de compensador es utilizar el efecto producido por la

atenuación a alta frecuencia para modificar la frecuencia de cruce de ganancia, tratando de

evitar el efecto negativo del atraso de fase.


1. Calcular la K requerida para satisfacer el error.

2. Realizar el Diagrama de Bode para dicha ganancia.

3. A partir de allí, verificar el MF y MG del sistema original.

4. Por inspección del diagrama se ubica la frecuencia a la cual ocurre la fase necesaria

para satisfacer el MF requerido . El ∆φ añadido tiene la intención de contrarestar la

pequeña fase negativa introducida por el compensador a altas frecuencias.

MF requerido + (5º - 12º) implica la ωc nueva (0 db).

5. Se escoge esa frecuencia como la nueva frecuencia ωc nueva .

6. Se fija 1/T una década por debajo de dicha frecuencia (ωc nueva).

7. Se determina β tal que el diagrama de amplitud tenga 0 db a esa frecuencia (ωc nueva).

8. Verificar que el sistema compensado satisfaga con los requerimientos establecidos.

EJEMPLO 9.2.2

Para un sistema, cuya función de transferencia a lazo abierto es la siguiente, se requiere que

satisfaga las siguientes condiciones:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=1

40s1

25s1

10ss

K )s(GH MG ≥ 10 db MF ≥ 45º Kv

≥ 20

SOLUCIÓN 1) Se calcula K para satisfacer el error. K = Kv = 20




2) Se realiza el Diagrama de Bode para dicha ganancia. (ver figura 9.8)

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20

0 20 40 60

10 -1 100 101 102 10 3 -360 -340 -320 -300 -280 -260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80

FIG. 9.8 DIAGRAMA DE BODE PARA G(S) = 20 / S (0.1 S + 1) (0.04 S + 1) (0.025 S + 1)

3) Del gráfico se lee MF y MG . MF ≅ 0º MG ≅ 0 db

4) Por inspección del diagrama, se observa la frecuencia a la cual el MF es igual al

requerido más ∆φ

MF = 45º + 10 º = 55º ocurre a ω ≈ 3,5

5) Se escoge ω = 3,5 como la nueva frecuencia de corte, pues allí ocurre el MF deseado.

6) Se escoge 1/T = 0,35

7) 20 lg β será igual a la ganancia logarítmica a atenuar, tal que se logre el cambio en la

frecuencia de corte. Para afinar el cálculo de β, se verifica el valor a atenuar

numéricamentE

db 52,14Glg 20

3208,50038,10098,10595,15,3

20 G

5,3

5,3

==ω

=⋅⋅⋅

==ω

Dado que este es el valor a atenuar β será:




20 lg β = 14,52 db → β = 5,32

8) De allí, que la Función de Transferencia del compensador será:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+

+β

=0657.0s35,0s

32,51

T1sT1s

1 )s(Gc

9) Se verifica que a ω = 3,5 20 lg |G Gc| ≈ 0 db

031,1003,15,3009,10595,15,3

517,320 32,51 Gc G

5,3=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛××××

⋅==ω

db 26,0 Gc Glg 205,3

⇒=ω (Aceptable)

Ahora se verifica el valor de la fase a esa frecuencia.

φω = 3,5 = 84,289 – (90º + 19,29 + 7,9696 + 5 + 88,9231)

φω = 3,5 = - 126,88º

De allí que el MF sea

MF = 53,11º

9.3 COMPENSACIÓN ATRASO- ADELANTO

Un compensador atraso – adelanto se utiliza cuando no es posible cumplir los

requerimientos con un compensador simple. Su función de transferencia es la siguiente:

1 ,1

T 1s

T1s

T1s

T1s

Kc )s(Gc

2

2

1

1 ≤α>β

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

β+

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

α+

+=

El primer término produce el efecto de una red de adelanto, y el segundo término produce

el efecto de una red de atraso.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α

+α=

α+

+

1sT1sT

T1s

T1s

1

1

1

1 ⇒ Adelanto ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+β

+β=

β+

+

1s T 1s T

T1s

T1s

2

2

2

2 ⇒ Atraso




Im

agin

ary

Axi

s

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

ω0

ω = ∞

ω = 0

FIGURA 9.9 DIAGRAMA POLAR PARA COMPENSADOR ATRASO

Es muy común seleccionar 1/α = β cuando se

diseña un compensador atraso–adelanto, pero

no es obligatorio. La traza polar para Kc = 1 y

1/α = β es la que se muestra en la figura 9.9.

Para 0 < ω < ωo el compensador funciona como

un atraso y para ωo < ω < ∞ funciona como un

adelanto.

21o T T

1=ω se obtiene cuando φ = 0º


El diagrama de Bode para un compensador atraso – adelanto donde Kc = 1 y 1/α = β = 10

se muestra en la figura 9.10

Frequency (rad/sec)

Bode Diagrams

- 10 - 8 - 6 - 4 - 2 0

10 - 3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 - 40

- 20

0

20

40

ω o

1/T2 1/βT2 1/T1 β/T1

20lg | G C |

φ

Fig. 9.10 Diagrama de Bode para un Compensador Atraso-Adelanto

La intención es utilizar el atraso para mover la frecuencia de corte hacia lugares de

frecuencia más favorables para el cálculo del MF y luego añadir el adelanto para agregar la

fase necesaria.

A continuación se mostrará el procedimiento de diseño para este compensador en el caso

que α = 1/β.




1) Se ajusta la ganancia para satisfacer los requerimientos de error.

2) Se dibuja, para dicha ganancia, el Diagrama de Bode no compensado. Se verifican los

valores de MF y MG

3) Se selecciona la frecuencia de cruce de ganancia (ωc nueva). Dicha selección se realiza

escogiendo una ωc nueva a la cual la fase es más favorable.

4) Se selecciona el cero de la red de atraso una década por debajo del valor anterior, es

decir, 10T

1 nuevac

2

ω=

5) Se estima el valor de la fase a adelantar para esa frecuencia de corte, de igual forma

que se realiza para el adelanto puro

φm = MF requerido – MF Intermedio (ωc I) + ∆φ

6) Dado φm , se calcula α y con ello β

α+α

=φα

=β1

-1sen y 1m

7) A partir de allí, se tiene la red de atraso completa y en adelante el procedimiento es

completamente gráfico.

8) Se dibuja la red de atraso y se ubica la red de adelanto, tal que, en el punto de nueva

frecuencia de corte atenúe la curva de amplitud lo necesario para que llegue a 0 db. Por lo

tanto se traza una recta de –20 db/dc que a ωC nueva que tenga la misma magnitud (pero

negativa) que 20 log |G| a esa frecuencia.

9) Donde dicha recta corte la recta de pendiente 0 db/dc, que proviene de la red de atraso,

se encuentra el cero (1/T1) y donde corte a 0 db se encuentra el polo (1/αT1).

EJEMPLO 9.3.2: (ATRASO – ADELANTO)

Para un sistema cuyo ( )( )4s1ssK)s(GH

++= diseñe un compensador tal que Kv = 10 , MF

= 50 y MG ≥ 10 db.




SOLUCIÓN

1) Se calcula la ganancia que satisface el requerimiento de error

104K H(s) G(s) slimK

0SV ===

→

Por lo tanto K debe ser 40.

2) Se realiza el diagrama de Bode para esa ganancia (figura 9.11)

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-80

-60-40

-200

2040

60

10-2 10-1 100 101 102-270

-240

-210

-180

-150

-120

-90

FIG. 9.11 DIAGRAMA DE BODE PARA ( )( )4s1ss

40)s(GH

++=

A partir de dicho diagrama se aprecia que el sistema tiene un margen de fase negativo, lo

que implica que es INESTABLE. No puede ser compensado por adelanto ni por atraso

puros, por lo que se diseña un compensador atraso – adelanto.

3) Se atrasará para obtener una frecuencia de transición intermedia ωC Intermedia = 2. Este

valor de frecuencia de transición intermedia implicaría un MF Intermedio igual a 0º (Esta

escogencia No es Obligatoria)




4) Se selecciona el cero de la red de atraso una década por debajo del valor anterior de ωC ,

es decir, 1/T2 = 0,2.

5) Se estima el valor φm a adelantar como:

φm = 50º - 0º + 5º

6) Dado φm , se calcula β como :

β+β−

=φ1111Sen m se obtiene β = 10, para el cual φm = 54,9º

7) Al estar completamente definida la red de atraso se obtiene la red de adelanto en forma

gráfica: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=++

=

β+

+

1s501s510

02,0s2,0s

T 1s

T1s

2

2 (red de atraso)

8) Se dibuja la red de atraso y si la escala de frecuencias no lo permite, lo único necesario

es dibujar la recta de pendiente 0 db/dec a una amplitud logarítmica igual a – 20 log β

9) Para determinar el adelanto, se dibuja en ω = 2 una recta de 20 db/dc que anule el 20

log |G| y lo lleve a 0 db. A partir de alli se obtiene 1/T1 = 0,5 y β/T1 = 5

Red de adelanto ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+=

++

1s2,01s2

101

5s5,0s

10) Se verifica

( )( )( )( ) 769,0

3852,50001,20616,201,2

)4721,4)(2361,2(240 Gc H G

2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==ω

¡Está un poco lejos de 1, pero lo dejaremos así!

20 log ⏐G H Gc⏐ω =2 = - 2,27 db

2Gc 26,56º90º-63,4º- H G2 =ω+−=

=ω

º8014,21º4271,89º9638,75º2894,8426,56º- 90º-63,4º- Gc H G2

−−++==ω

º49M º9353,130Gc H G F2=−=

=ω


X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II

X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL

A continuación se evaluará el efecto que tiene introducir un controlador sobre la respuesta

frecuencial de un sistema, los controladores a analizar son:

Proporcional (P),

Proporcional derivativo (PD),

Proporcional integral (PI) y,

Proporcional integral derivativo (PID)

10.1 CONTROLADOR PROPORCIONAL (P)

Un controlador proporcional tiene una Función de Transferencia de la siguiente forma:

pc K)s(G =

donde KP se conoce como la ganancia proporcional y tiene su efecto solamente en la curva

de amplitud logarítmica sin alteración alguna de la fase. Debido a su sencillez, su

efectividad se limita a desplazar la curva de ganancia logarítmica un valor igual a 20 log

Kp. Más específicamente, en la Figura 10.1 se muestra el diagrama de Bode de un sistema

cuya función de transferencia es ( )( )1s101ss1)s(G

++= y en la Figura 10.2 se le añade un

controlador proporcional con una ganancia Kp = 10

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-100 -50

0 50

100 Gm=0.82785 dB (at 0.31623 rad/sec), Pm=1.5763 deg. (at 0.30145 rad/sec)

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 101-300 -250 -200 -150 -100 -50

Fig. 10.1 Diagrama de Bode sin Controlador

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagrams

-100

-50

0

50

100

10-3 10-2 10 -1 10 0 101-300

-250

-200

-150

-100

-50

Fig. 10.2 Diagrama de Bode con Controlador



Se puede concluir que al introducir dicho controlador se tienen las siguientes

consecuencias:

mejoró el error a la rampa en estado estable,

sin controlador 1ess =

501ess = con controlador

•

Mejoró también la rapidez de la respuesta, lo cual se aprecia en el aumento del ancho

de banda

•

• Pero, todas estas mejorías son a expensas de la estabilidad relativa, pues el MF y MG

disminuyeron.

Concluyendo, la introducción de un controlador proporcional tiene influencia sobre las

respuestas transitoria y permanente, pero limitada.

10.2 CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD)

En este caso la Función de Transferencia del controlador es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= s

KK

1KsKK)s(Gp

DpDpc ; ωο = Kp/KD (frecuencia de ocurrencia del cero)

En la Figura 10.3 se observa el Diagrama de Bode del controlador PD (KP = 1, KD = 0,5),

donde se puede visualizar su efecto sobre la respuesta frecuencial. La característica de la

curva de magnitud trasladará la frecuencia de corte a un valor más alto, por lo tanto, el

principio de diseño radica en localizar la frecuencia de corte del controlador, ωο = Kp/KD,

tal que se logre un mejoramiento efectivo del margen de fase en la nueva frecuencia de

transición de ganancia del sistema.



Frequenc y (rad/s ec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagrams

0 10 20 30

10 -1 10 0 10 1 0 20 40 60 80

100

Fig. 10.3 Diagrama de Bode para un PD

Cabe destacar que si ωο es mayor a la frecuencia de corte del sistema sin controlador, el

valor de la frecuencia de corte del sistema no se modificará

Procedimiento de Diseño

Usualmente la ganancia Kp se introduce como uno para facilitar la escogencia de

KD, por lo que se utiliza una ganancia adicional para satisfacer requerimientos de

error.

A partir de allí, la ubicación del controlador sólo dependerá del valor de KD, siendo

la frecuencia de corte del controlador ω0 = 1/KD.

Si se escoge el valor de ω0 como la frecuencia de corte del sistema original se le

añadirán aproximadamente 45º al margen de fase del sistema original, provocando

un pequeño traslado de la frecuencia de corte hacia la derecha.

Si se escoge el valor de ω0 menor a la frecuencia de corte del sistema original,

habrá un mayor desplazamiento de la frecuencia de corte hacia la derecha y la fase

añadida por el compensador será mayor. Se debe tomar en cuenta el

comportamiento de la fase del sistema original.,

Resumiendo, se puede concluir que la introducción de un controlador PD tendrá los

siguientes efectos sobre el sistema:

Incrementa el ancho de banda



Mejora la rapidez de la respuesta transitoria

Mejora el margen de ganancia y el margen de fase

Puede acentuar el ruido a alta frecuencia

No es efectivo para sistemas inestables

10.3 CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI)

En este caso la Función de Transferencia del controlador es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=+=

ssK/K

Ks

KK)s(G Ip

II

pc

En la Figura 3 se observa el Diagrama de Bode del controlador PI (Kp = 0,1, KI = 5), donde

se puede visualizar el posible efecto que tendría sobre la respuesta frecuencial. Observe que

la magnitud de Gc(s), cuando la frecuencia tiende a infinito es 20 log Kp (db), lo cual

representa una atenuación si Kp es menor que uno. Esta atenuación es utilizada para

mejorar la estabilidad del sistema. En cuánto a la fase ésta es siempre negativa, lo cual

perjudica la estabilidad, por lo que se debe colocar la frecuencia de corte del controlador,

(ω = KI / Kp), tan lejos como el requisito de ancho de banda lo permita.

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

Frequency (rad/sec)

-20 -10

0 10 20

10 0 101 102 103-100 -80 -60 -40 -20

0

Fig. 10.4 Diagrama de Bode para un PI

Procedimiento de Diseño

Se ajusta el valor de la ganancia para satisfacer el error

Se Ubica la frecuencia de corte nueva (ωc)donde la fase satisfaga el margen de fase

requerido más el ∆φ.



Se ubica el cero una década por debajo de la nueva frecuencia de corte

10ω

KK c

P

I =

Se calcula KP considerando la atenuación necesaria para que se logre la nueva

frecuencia de corte

cwP G20lg20logK =

Con base a lo anterior se puede concluir que un controlador Proporcional Integral tiene las

siguientes ventajas y desventajas:

• Mejora el MF y el MG

• Filtra el ruido a alta frecuencia

• Disminuye el ancho de banda

10.4 CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO (PID)

En este caso la Función de Transferencia del controlador es como se muestra a

continuación:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++=++=

sKsKsK

sK

sKK)s(G Ip2

DIDpc

En la Figura 4 se observa el Diagrama de Bode de un controlador PID, donde se puede

visualizar su efecto sobre la respuesta frecuencial.

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

Frequency (rad/sec)

20 30 40 50 60 70

10 -2 10-1 100 101 102-100 -50

0 50

100

Fig. 10.5 Diagrama de Bode para un PID



Los valores de los parámetros deben ser seleccionados de forma tal que la zona donde se le

añade fase negativa quede a baja frecuencia para que no altere la estabilidad del sistema y

la zona donde se añade fase positiva debe ser colocada alrededor de la frecuencia de cruce

del sistema. Además, se debe considerar que la parte integral añade un polo en el origen por

lo que el error del sistema se ve apreciablemente beneficiado a expensas de la estabilidad

relativa del sistema, la cual se mejora gracias a la parte derivativa del controlador.

A partir de lo anterior se pueden tener las siguientes conclusiones generales respecto al

efecto de añadir un PID:

Aumenta el tipo del sistema

Mejora el error

Mejora la estabilidad

Reduce ligeramente el ancho de banda

El procedimiento de diseño se puede realizar igual que en el caso de atraso – adelanto.

Primero se diseña el PI y luego se le añade la parte derivativa para lograr el margen de fase

deseado.

EJEMPLO

Para un sistema cuya Función de Transferencia a Lazo Abierto y diagrama de Bode se

muestran a continuación, se dispone de controladores P, PD, PI y PID, para lograr un MF

sea mayor a 50º y un error al escalón sea menor o igual a 0,1.

)2)·(1·(4)(

++=

ssssG



Frequency

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode

-40 -30 -20 -10

0 10 20 30 40

10 -2 10-1 100 10 1 -270 -250 -230 -210 -190 -170 -150 -130 -110 -90

Fig. 10.6 Diagrama de Bode a lazo Abierto

SOLUCIÓN

De la Figura 10.6 se puede observar que el sistema es de tipo uno, por lo que no presenta

error al escalón, es decir, la solicitud de cuánto a respuesta permanente se cumple.

En cuánto al margen de fase, se puede leer un valor de aproximadamente 12º, por lo que

dicha restricción no se cumple.

A continuación se analizan los diferentes controladores para escoger el que será utilizado.

Proporcional. •

La única manera de lograr un margen de fase como el requerido, sería añadiendo una

ganancia menor a uno tal que la frecuencia de cruce se traslade a la izquierda, donde la fase

presenta mejores valores. El problema sería que el sistema a lazo cerrado tendría un menor



ancho de banda y por tanto, reduciría la rapidez de la respuesta.

20 lg Kp = -10 dB ⇒ Kp = 0.3206

Proporcional Integral. •

•

Este tipo de controlador logra su objetivo provocando atenuación a alta frecuencia, lo que

trasladaría la frecuencia de corte a la izquierda, igual que el control proporcional,

desmejorando la respuesta transitoria. Pero al no formar parte de las restricciones se hace

posible diseñar este tipo de controlador. Adicionalmente introduciría un polo más en el

origen, con lo que el error a la rampa también sería cero, pero esto no forma parte de las

restricciones. Esto descarta la introducción de este tipo de controlador, con el cual se

lograría lo mismo que con el proporcional, pero la respuesta transitoria se vería más

afectada.

Proporcional Derivativo.

Este controlador logra su objetivo aumentando la fase y trasladando la frecuencia de corte a

la derecha, lo que implica mejora en respuesta transitoria. El procedimiento de diseño se

presenta a continuación:

• Se escoge una ganancia proporcional unitaria, pues no hay problemas con el error.

• La fase necesaria a añadir es:

Φañadir = MFrequerido – MForiginal = 50º -17º = 33º

• Si se coloca el controlador con ω0 = 1/KD, igual a: ωCoriginal, se le añadirán 45º al

margen de fase,

ωCoriginal ≅ 1,1 => 1/TD = 1,1

s1,1

11)s(G C +=

• Se verifica el valor de la nueva frecuencia de corte, se toma una ω > 1,1 pues ωC se

trasladará un poco a la derecha.

35,1)33,2)·(56,1)·(2,1(

)48,1·(4·2,1

===ωCGG

Esto implica que ωC, está aún más a la derecha.



00,1)5,2)·(8027,1)·(5,1(

)69,1·(4·5,1

===ωCGG

Φ = 53,74º - (90º +56,30º +36,86º) = -129,42º


MF = 50,58º

Considere el mismo problema anterior pero al cual se le añade como solicitud un el error a

la rampa sea cero. En este caso, se debe aumentar el tipo del sistema lo que implica que la

opción a escoger como controlador sería un proporcional integral, el cual se diseña a

continuación.

• El error queda satisfecho al introducir un nuevo polo en el origen, así quue solo nos

preocupamos de satisfacer el margen de fase.

• Se escoge una ωCnueva ≅ 0,4 donde la fase es aproximadamente -125

Φ = -125º => MF ≥ 55º = MFrequerido + ∆Φ

• Se evalúa la amplitud de G(s) a esa frecuencia, para conocer el valor en decibeles a

atenuar por el controlador.

20·log|G|ωCnueva ≅ 13dB => |G| = 4,5 => KP = 0,2

• Se fija el cero del controlador una década por debajo de la nueva frecuencia de

corte, de donde se calcula el valor de KI

Como ωCnueva = 0,4; => KI/KP = 0,04

=> KI = 0,0088

XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II

XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES El lugar geométrico de las raíces representa la ubicación de las raíces de la ecuación

característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro (generalmente, la ganancia de

lazo abierto). A partir del mismo se puede tener una muy buena idea del comportamiento

temporal del sistema. Es por ello, que se utiliza para diseñar compensadores y/o

controladores cuando los requerimientos de los mismos sean requerimientos temporales

(Ejemplo: ess, Mp, ts).

Para visualizar la variación que puede tener el comportamiento de un sistema al añadir

polos o ceros, se mostrará inicialmente ambos casos y luego se concretará al estudio de los

compensadores sobre la respuesta del sistema.

11.1 VARIACIÓN DEL LGR AL AÑADIR POLOS O CEROS

11.1.1 Adición de Polos:

Al Lugar Geométrico de las Raíces que se muestra en la figura 1.1 (i) se le añadirán polos

para observar su efecto:

FIGURA 11.1. ADICIÓN DE POLOS EN UN LGR

( i ) El sistema es estable para todo K, la respuesta siempre será exponencial pues, las

raíces son siempre reales. A medida que aumenta K, el tiempo de establecimiento y el error

disminuyen debido a que la raíz del sistema a lazo cerrado se traslada hacia la derecha.

( ii ) Al añadir un polo en el origen, mejora el error drásticamente pues aumenta el tipo del

sistema, pero el tiempo de establecimiento desmejora. La respuesta puede ser oscilatoria,

pues aparecen raíces imaginarias, pero sigue siendo estable para todo K.



( iii ) Al añadir otro polo, mejora aun más la respuesta permanente pero, desmejora la

respuesta transitoria y se ve afectada la estabilidad, pues ahora existe un valor límite de la

ganancia.

11.1.2. Adición de Ceros:

Para analizar el efecto de añadir ceros se partirá del LGR mostrado en la figura 1.1 (iii)

(i) (ii)

FIGURA 11.2. ADICIÓN DE CEROS EN UN LGR

( i ) Al añadir un cero al sistema de la figura (iii), este pasa a ser estable para todo K y

mejora la respuesta transitoria.

( ii ) Al añadir otro cero, la variación del LGR muestra que los polos dominantes del

sistema se trasladan hacia la izquierda, lo que implica una mejora en respuesta transitoria.

Dependiendo de la ubicación de los ceros, el tiempo de establecimiento variará.

Se puede observar que, al añadir polos o ceros en el lazo directo se logra modificar el

Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), lo que se traduce a una modificación en la

respuesta temporal a lazo cerrado.

Además, se puede concluir que la adición de polos en el origen mejora la respuesta

permanente, desmejorando la respuesta transitoria, en cambio, la adición de ceros mejora la

transitoria. A continuación se procederá a mostrar los procedimientos de diseño para añadir

distintos tipos de compensadores adelanto, atraso y adelanto - atraso

11.2 COMPENSACIÓN EN ADELANTO:

La función de transferencia del compensador es igual a la estudiada anteriormente para el

caso frecuencial, donde 0,07 < α < 1, por lo que el máximo ángulo que proporcionará el

adelanto será de 60º.

Kc1Ts

1Ts)s(Gc ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+α+

α=



El cero ocurre en s = -1/τ, y el polo en s = -1/ατ, tal como se muestra en la figura 11.3, a

partir de alli se observa que el valor del ángulo del cero es γ y el ángulo del polo es β, por

lo que, al añadir el compensador en adelanto, la condición de ángulo se verá modificada en

un valor igual a φ = γ - α, tal como se observa en la figura 11.3. Debido a ésto, este tipo de

compensador se utiliza cuando es necesario modificar el L.G.R. para mejorar la respuesta

transitoria del sistema a lazo cerrado.

Polo deseadoαz > αp αz - αp = φ

αp αz

−1/ατ −1/τ φ : ángulo proporcionado por adelanto

FIGURA 11.3 CERO Y POLO DEL ADELANTO

11.2.1 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1) A partir de las especificaciones que debe cumplir el sistema a lazo cerrado, se

determina la localización de los polos dominantes deseados (P.D.D)

2) Se traza el lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado y se verifica si los

polos dominantes deseados pertenecen al LGR. Si no se dispone del LGR se verifica

utilizando la condición de ángulo.

3) Para introducir la red de adelanto se pueden utilizar dos procedimientos:

a) Se calcula el ángulo necesario para que los polos dominantes deseados pertenezcan

al LGR. (φ). Se ubica el cero del compensador abajo del polo dominante deseado.

(Ver figura 11.4)

FIGURA 1.4. PRIMER MÉTODO GRÁFICO PARA EL ADELANTO



Se ubica el polo de forma tal que se satisfaga la condición de ángulo αz - αp = φ

b) Se traza una horizontal que pase por el polo dominante deseado y una recta que una

el origen con el polo dominante deseado ( figura 1.5). Se traza la bisectriz y de allí

se trazan dos rectas a φ / 2 de cada lado, lo que ubica el polo y el cero del adelanto.

φ/2

Bisectriz

φ/2

Z P

Z... Cero del Adelanto

P... Polo del Adelanto

FIGURA 11.5 SEGUNDO MÉTODO GRÁFICO PARA EL ADELANTO

4) Sea cual sea, el método de diseño, se debe calcular por condición de Módulo la

ganancia tal que, los polos dominantes deseados sean la solución de la ecuación

característica.

EJEMPLO 11.2.2 Para un sistema como el siguiente:

FIGURA 11.6 ESQUEMA DE CONTROL

Diseñe un compensador tal que, los polos dominantes deseados sean j323s ±−=

SOLUCIÓN: 1) Se verifica si los PDD pertenecen al lugar geométrico de las raíces Como la función de

transferencia a lazo abierto es muy sencilla, es fácil dibujar el LGR tal como se muestra en

la figura 11.7. Gráficamente se observa que el polo dominante deseado no pertenece al

LGR.



32

Polo dominante

-3

α β

FIGURA 11.7 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PARA EL EJEMPLO 11.2.2

2) Se debe calcular numéricamente el valor de φ a añadir utilizando la condición de

ángulo. Para ello se calcula el ángulo de ( )1s5,0s5)s(G

+= para s = PDD

∑−∑= poloscerosGPDD

= 0 – (α + β)

( ) ( )1)j323(5,0j323GPDD

++−⋅−+−−=

PDDG = -130,89° - 106,11° = - 237° ≠ - 180°

Por ello se debe añadir φ = 57°, para satisfacer la condición de ángulo. 3) Utilizando el primer procedimiento se añade el cero en s = - 3, y se obtiene

numéricamente el valor del ángulo del polo tal como se muestra continuación (figura 11.8).

3,464

90º

X -3

αp

FIGURA 11.8 EJEMPLO 11.2.2

φ = αz - αp = 57º

αp = αz - φ = 33º

tg 60º = 3,464/ x → x = 5,3333

Por lo tanto el cero estará en s = - 3 y el polo en s = - 8,33333 4) Finalmente, la ganancia para que ese punto sea el polo dominante deseado se calcula



utilizando la condición de módulo:

( )( ) ( ) 1

1s5,0s5

33,8s3sK

PDD

=++

+

K = 3,0333

De allí, que el compensador a añadir tendrá la siguiente función de transferencia.

( )( )333,8s

3s0333,3Gc+

+=

11.3 COMPENSACIÓN EN ATRASO Para un sistema que tiene buenas características de respuesta transitoria pero no satisface

los requerimientos en respuesta permanente se utiliza la compensación en atraso.

Esencialmente, un compensador en atraso aumenta la ganancia de lazo cerrado sin

modificar apreciablemente el lugar geométrico de las raíces. Para ello, se colocan el cero y

el polo de la red de atraso cerca del origen la cual tiene la siguiente función de

transferencia:

( )T1s

T1sK1Ts

1Ts KsG CCC β++

=+β

+β=

El cero y el polo del atraso se colocan muy cerca del origen, por lo que la red de atraso no

tendrá prácticamente ningún efecto sobre la condición de módulo y la condición de ángulo,

es decir,

( ) 1T1s

T1sK sGPDD

PDD CC ≈β+

+= (Kc = 1)

( )PDD

sGC < 5°

Por lo tanto, si la función de transferencia de lazo directo, evaluada para PDD, satisface la

condición de ángulo y la condición de módulo, al añadirle Gc(s), éste no se verá afectado.

De allí que sólo queda verificar que la nueva función de transferencia a lazo directo GH(s)

Gc(s), tendrá una variación en el error igual a β



( ) ( )sGH1Ts

1TssGH )s(Gc +β+

β=

Así se comprueba que la ganancia de lazo directo se verá modificada en un valor igual a β,

lo que aumenta el coeficiente de error en el mismo factor β.

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO


1) Verificar que los polos dominantes deseados pertenezcan al lugar geométrico de las

raíces.

2) Calcular el valor de β necesario para satisfacer coeficientes de error

β=β

=T1

T1K

K

compensado no

requerido

3) Se ubica el cero cerca del origen y con el valor de β se calcula la posición del polo.

4) La contribución del ángulo no debe ser mayor de 5º

5) Se verifica la condición de módulo y de ángulo para garantizar que el polo dominante

deseado pertenezca al lugar geométrico de las raíces después de incluir el compensador.

6) Se verifica que se satisfaga el error.

EJEMPLO 11.3.1

Para el siguiente sistema, se desea que los polos dominantes deseados sean j322s ±−= y

se satisfaga un Kv = 20

FIG. 11.9 ESQUEMA DEL SISTEMA

1) Se verifica que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR. Ya que el LGR es

tan simple, por simple inspección, se observa que los PDD, sí pertenecen al lugar

geométrico de las raíces, se verifica también usando la condición de ángulo.


FIG. 11.9 LGR DEL SISTEMA

PDD = s1

j322s1 ±−=

j4641,32s1 ±−=

°−=°−°−=+−−= 18060120 )4s( s )s(GPDDPDDPDD

=PDD

)s(G 144

K=

×

Se calcula el Kv del sistema no compensado

44/16)s(GslimK0sv ==⋅=

→

Como no satisface, se debe añadir un atraso.

β=β

=T1

T1K

K

compensado no

requerido → β = (20 /4) = 5

Se escoge el cero en s = 0,05. Por lo que el polo estará en:

01,005,0s =β

=

01,0s05,0s)s(G C +

+=

Se comprueba PDDPDDc G(s)y )s(G

=PDDc )s(G 005,1

005,40252,4

=

=PDDc )s(G 120,6164 º - 120,1239 º = 0,4925 º

A partir de la función de transferencia de lazo directo final se verifica Kv:



( ) 20454ss

1601,0s05,0s)s(G)s(GslimK c

0sv =×=

+×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=⋅=→

11.4 COMPENSACIÓN ADELANTO –ATRASO Este compensador se añadirá cuando se necesite modificar las condiciones de la respuesta

transitoria y permanente. Su diseño puede ser realizado a partir del diseño separado de la

red de atraso y la red de adelanto, es decir, se diseña inicialmente la red de adelanto tal que

los polos dominantes deseados (PDD), pertenezcan al Lugar Geométrico de las Raíces y

luego a través del atraso se logra la ganancia deseada en lazo directo que satisfaga el error.

Para ilustrar el método se realiza el siguiente ejemplo.

Se desea que el sistema que se muestra en la figura 11.10, cumpla con los siguientes

requerimientos:

EJEMPLO 11.4.1 Se desea que el Kv = 20, ζ =0,5 y ts 2% = 2

Figura 11.10 Esquema de control del Ejemplo 11.9.1


1) Se ubican los PDD.

Si ξ = 0,5 → θ = 60° tg θ =ξ

ξ− 21

2w4ts

n%2 =

ξ=

PDD = s1 = - 2 + tg 60° x 2 = - 2 + 3,46j

2) Debido a que no se dispone del LGR exacto del sistema original, se verificará

numéricamente si los PDD pertenecen o no al LGR original.

PDDPDDPDDPDD )5s( )1s( s )s(G +−+−−=


°−=°−°−°−= 19,27507,4912,106120 )s(GPDD

El ángulo necesario para que el PDD pertenezca al lugar geométrico de las raíces será la

diferencia entre –275° y -180°

φ = 95°

Esto implica que es necesario introducir una red de adelanto que satisfaga dicha condición

de ángulo. Como el φmax = 60°, se deben añadir dos compensadores por adelanto.


3) Se utiliza el segundo método para ubicar el cero y el polo del adelanto, (Figura 11.11)

60º

Bisectriz

γ

αp

x y

Figura 11.11 Diseño del compensador por adelanto

ADELANTO DOBLE

φ = 47,5° → φ/ 2 = 23,75° Se observa que γ = 30º - 23,75° = 6,25° → αz = 90º - γ = 83,75°

tg � = 3,46/ x → x = 0,3789

La ubicación del cero del adelanto está en s = - 2,3789

Para ubicar el polo volvemos al gráfico de la figura 11.11

αz + 90° +(30° + �/2) = 180°

αz = 36,25° → tg αz = 3,46/y → y= 4,7188

La ubicación del polo será: en s = - 6,7188


2

AdAd 72,6s38,2sKG ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=

=PDDAd )s(G 2 (83,73) – 2(36,24) = 94,97°

de allí que se añade el ángulo necesario.

Se calcula KAd para que se satisfaga la condición de módulo:

1)s(G )s(GPDDAd =

( )( )( )

( )1

72,6s38,2sK

5s1ss1

2

2Ad =

+

+++

( )( )

185,5

48,3K)58,4)(60,3)(99,3(

12

2Ad = → KAd = 186,37

( )( )( )( )2

2

Ad 72,6s5s1s s38,2s 37,186)s(G )s(G

++++

=

Teniendo completa la función de transferencia de lazo directo se calcula Kv

===→

Gc(s) G(s) slimK0sV 4,68 → NO SATISFACE LA CONDICIÓN DE ERROR !!!

SE UTILIZA UN ATRASO!!

β = original

requerida

K

K → β =

68,420 → β = 4,27 sirve con un atraso simple.

Cero en s = 0,05 Polo en s = 0,0117

Se verifica ⏐Gc(s)At⏐ y )s(Gc At

9953,09906,39717,3

0117,0s05,0sG

PDDPDDAt ==

++

= → OK!!!

PDDPDDPDDAt )0117,0s( )05,0s( )s(Gc +−+=

°−=°−°= 47,0884,1194049,119 )s(GcPDDAt → ∆φ = - 0,47° (< 5°) OK!!



( ) ( )( )( )( ) ( )0117,0s72,6s5s1s s

05,0s38,2s 186)s(Gc)s(Gc)s(G 2

2

AtAd++++

++=

( ) ( )( )( ) ( )0117,072,65

05,038,2 186Kv2

2final = = 19,94 → Satisface Kv !!!

11.5. Diseño de Controladores usando el Lugar Geométrico de las Raíces Los controladores también pueden ser diseñados utilizando el Lugar Geométrico de las

Raíces, a partir del cual es posible determinar los parámetros de cada controlador tal que

satisfagan los requerimientos establecidos.

Los controladores a estudiar serán los siguientes:


• Proporcional ( P )

• Proporcional Derivativo ( PD )

• Proporcional Integral ( PI )

• Proporcional Integral Derivativo ( PID )

11.5.1 PROPORCIONAL ( P )

Gc(s) = Kp

Ajustar el valor de la ganancia K en un controlador proporcional será como moverse en

el LGR hasta lograr la respuesta deseada, tanto transitoria como permanente. Con ello se

logra modificar tanto la respuesta transitoria como la respuesta permanente, pero en forma

limitada.

11.5.2 PROPORCIONAL DERIVATIVO ( PD )

La función transferencia del controlador puede ser escrita como:

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅=+=

ddpdp T

1s TKsT1KsGc

Consiste en ubicar un cero en 1/Td y el valor de Kp tal que se satisfagan los

requerimientos.

11.5.3 PROPORCIONAL INTEGRAL ( PI )

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ssT1

KsT

sT1K

sT11KsGc i

pi

ip

ip


Consiste en ubicar un polo en el origen y un cero en s = - 1/ Ti tal que se logre el

objetivo deseado, además de fijar Kp.

11.5.4 PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO ( PID )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

i

di2

idp sT

1TTssTiK

sT1sT1KGc

Consiste en ubicar dos ceros y un polo en el origen tal que se satisfagan los

requerimientos.

A continuación se mostrarán diferentes ejemplos para ilustrar los procedimientos de cada

caso.

EJEMPLO 11.5.1

Para un sistema cuya FTLA es ( )( )3s1ss1G

++= se necesita que el sistema a lazo cerrado

satisfaga los siguientes requerimientos:

- Error al escalón unitario menor que 0,1

- Polos dominantes s = -1 + 2j

LGR sistema original

FIGURA 11.12. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PARA EL EJEMPLO 11.5.1

Claramente el polo dominante deseado no pertenece al LGR pero el error siempre

se satisface por ser un sistema de tipo 1.

DISEÑO:

1) Se utilizará un controlador PD para mejorar la respuesta transitoria.

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=+= sT

1TKsT1KGcd

dpdp



El ángulo necesario a añadir será:

∠G⏐PDD = - ∠s⏐PDD - ∠(s+1)⏐PDD - ∠(s+3)⏐PDD

∠G⏐PDD = - 116,56° - 90° - 45° = - 251,56° El ángulo necesario a añadir con el cero será φ = 71,56°. (Ver figura 11.13)

FIGURA 11.13. ANGULO A AÑADIR UN CERO

tg φ = 2 /x → x = 0,667 Por lo tanto el cero estará en s = - 1,667.

Finalmente, se calcula la ganancia para que se satisfaga la condición de módulo.

1GGc =

( )( )( )( ) 1

3s1ss667,1sTK1 d =

+++⋅

( )( )( )( )( ) 1

8284,22236,21083,2TK d =

⋅ → K⋅Td = 5,9995

Como 1/ Td = 1,667 → K = 9,999 ≈ 10

EJEMPLO 11.10.2

Para un sistema, cuya función de transferencia es )5s)(1s(

1)s(G++

= , diseñe Gc ( P, PI,

PD, PID) tal que satisfaga los siguientes requerimientos: Kv = 20 ts 2% < 1 wd = 2



FIGURA 11.14. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

A partir de los requerimientos de ts y de ωd se obtienen los PDD = - 4 + 2j 1) Se escoge un PID pues se necesita mejorar el error drásticamente y también la

transitoria

2) ( )( )s

bsasKGc ++=

Hay infinitas soluciones.

∠G⏐PDD = - ∠(s+1)⏐PDD - ∠(s+5)⏐PDD

∠G⏐PDD = - 146,3° -63,43° = -209,76°

⏐G⏐PDD = 3,605

Tal como se había dicho, el PDD no pertenece al LGR, se necesita un adelanto de φ = 30°

que se logrará con los ceros, considerando también el ángulo añadido por el polo en el

origen.

Para calcular el ángulo que deben añadir los ceros se realiza a partir del ángulo φ.

φ = 30° =PDDPDDPDDPDD

ceross)6s()4s( +−+−+−

º43,153º30ceros +=

Si se fija uno de los ceros en s = - 4 , entonces el otro se fija para satisfacer la condición de

ángulo descrita anteriormente.



º43,93

º90ceros

=γ

γ+=

FIGURA 11.15. DETERMINACIÓN DEL CERO

γ = 93,43° tg(180-γ) = 2/ X → X =0,1199

El otro cero estará en s = -3, 88

( )( )s

88,3s4sKGc ++=

Para establecer el valor de K se hace por condición de modulo:

( )( )( )( )

( ) 14721,4

22K605,32361,2

1GGcPDD

==

K= 9,01

93,275

88,349GGsLimK c0s

v =⋅⋅

=⋅=→

→ Satisface la condición Kv >20

Si no se logra satisfacer Kv, se debe reubicar los ceros.


XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320

XII. Otros Esquemas de Control Para mejorar el control de un proceso puede ser necesario incluir diferentes tipos de esquemas de

control, los cuales logran efectos diferentes, sobre las variables a controlar, de los que se obtienen

cuando se introduce un esquema en retroalimentación simple. Entre otros, los esquemas de

control a estudiar serán los que se mencionan a continuación:

- Esquema de control en cascada.

- Esquema de control de alimentación adelantada.

- Esquema de control de relación.

12.1 Esquema de control en Cascada

Para un sistema de control de retroalimentación simple sólo se involucra una variable medida y

una variable manipulada en el lazo de control, tal como se muestra en la fig. 12.1, donde se

plantea un lazo de retroalimentación simple para el control de la temperatura del crudo a la salida

del horno.

Fig. 12.1 Esquema del Horno

Fig. 12.2 Diagrama de Bloques del control en

Retroalimentación Simple

Este tipo de esquema mantiene la temperatura del horno, Y(s), en su valor de referencia, R(s),

pero es indiferente a las distintas perturbaciones que se presenten en el proceso. Por ejemplo, si

se presenta una perturbación en el flujo del gas, se presentará a posteriori una variación en la

temperatura de salida, lo cual perturba a la variable a controlar. Añadiendo un esquema de control

en cascada, como se muestra en la figura 12.3, se logra minimizar el efecto de dicha

perturbación. Allí se observa que al variar el flujo de gas, dicha variación será medida y la

información irá al controlador de flujo cuya referencia viene establecida por el controlador de

Prof. Jenny Montbrun Di Filippo Prof. Yamilet Sánchez Montero

90


temperatura.

Fig. 12.3 Esquema del horno con un controlador en cascada

Otro ejemplo en el cual se puede añadir un esquema de control en cascada es un reactor con

reacción exotérmica, en el cual se busca mantener constante la temperatura T de la mezcla

(figura 12.4). En la camisa circula un refrigerante cuya temperatura TR se considera una

perturbación. La temperatura Ti también se considera una perturbación. La única variable

manipulada es el flujo de refrigerante FR.

Fig. 12.4 Reactor con reacción exotérmica

El diagrama de bloques de este esquema de control de retroalimentación simple es semejante al

que se muestra en la figura 12.2, donde r(s) será la temperatura del reactor T y R(s) será la

referencia de dicha temperatura.

En dicho lazo de retroalimentación se mide la temperatura T, se lleva al controlador, donde se

compara con la referencia y de allí se emite la acción de control que va a la válvula manipulando

FR. Este esquema de control no será muy efectivo si cambia TC, pues el esquema de control sólo

tomará una acción ante dicho cambio, cuando T se vea modificada.

Una forma de mejorar dicho esquema, es medir TC y tomar una acción de control antes de que el


91


cambio en TC tenga efecto sobre la temperatura T, si TR aumenta se debe aumentar FR y

viceversa (figura 12.5).

Este esquema de control en cascada, en el que se miden dos variables T y TC y se tienen dos lazos

con una sola variable manipulada (FR), se muestra en la figura 12.6.

Fig. 12.5 Esquema del reactor con control en cascada.

(a) El lazo de control que mide T (variable principal), usa como referencia el valor de T fijado

por el operador.

(b) El lazo de control que mide TC (variable secundaria), utiliza la salida del controlador primario

como referencia y es llamado el lazo esclavo.

Este tipo de esquema es muy común en procesos químicos. El diagrama de bloques del mismo

puede ser resumido como sigue:

+

V Proceso I

Medidor

+

-

Ref

+

Gp2

TR

Proceso II

Gp1

Ti

Medidor

Tc C-1 C-2

Lazo Secundario

Lazo Principal

Fig. 12. Diagrama de Bloques de un controlador en cascada


92


El proceso I (primario) tiene como salida a la variable principal a manipular y como entrada a la

perturbación en TR. El proceso II tiene como salida TR y como entrada FC.

Resumiendo, un esquema de control en cascada tiene como objetivo minimizar las perturbaciones

internas al lazo de retroalimentación simple. Además presenta una mayor rapidez de respuesta

ante dichas perturbaciones que un sistema de control con sólo retroalimentación simple.

12.1 ESQUEMA DE CONTROL EN ALIMENTACIÓN ADELANTADA (FEED- FORWARD). Un esquema de control en alimentación adelantada mide la perturbación y toma acción para

reducir el efecto de dicha variable sobre la variable a controlar. La diferencia entre este tipo de

esquema y el anterior es que la alimentación adelantada se utiliza para minimizar las

perturbaciones externas al lazo de retroalimentación simple. En el siguiente ejemplo se puede

apreciar claramente el efecto que se busca al añadir este tipo de lazo.

En general, se puede mostrar en los siguientes diagramas, la diferencia entre un lazo de

retroalimentación simple y un alimentación adelantada.

Controlador

Proceso Variable Manipulada

VariableControlada

Perturbación

FIG 12.8 ESQUEMAS DE CONTROL EN FEED FORWARD

Controlador

Proceso VariableManipulada

VariableControlada

Perturbación

FIG 12.9 ESQUEMAS DE CONTROL EN

RETROALIMENTACIÓN SIMPLE

FIG 12.7 ESQUEMA DE LA PLANTA

Lazo I: Esquema de retroalimentación simple

en el cual se controla la temperatura T, manipulando

el flujo de vapor. En este lazo de control si se tienen

variaciones de Ti , el controlador no toma ninguna

acción, sino hasta que la temperatura T se vea

modificada.

Lazo II: Este sería un lazo en alimentación

adelantada, el cual toma una acción una vez que

mide una variación en la temperatura (Ti ) a la

entrada.


93


En estos diagramas se puede observar claramente que un esquema en retroalimentación

simple toma acción una vez que se haya modificado la variable a controlar, en tanto que, la

alimentación adelantada toma acción en el momento en que la perturbación presente una

variación.

Entre otras cosas se puede mencionar que en un esquema de control en alimentación

adelantada la variable a controlar no es la variable a medir, además, el controlar debe incluir la

información relativa al sistema, (fundamentada en un modelo del sistema), pues este debe

conocer el efecto que tiene la perturbación sobre la variable a controlar. Esto implica que este

controlador no es convencional, sino, particular según el sistema. A medida que sea mejor el

modelo del sistema, mejor será el controlador en alimentación adelantada. En forma general, se

puede plantear el siguiente procedimiento para el diseño del controlador en alimentación

adelantada.

Gp

Gd

+

+

d (s)Perturbación

Y(s) m(s)

Variable manipulada

Proceso

Salida del proceso

FIG 12.10 ESQUEMAS DEL PROCESO SIN CONTROL

En esta figura se muestra un proceso que no tiene ningún esquema de control, por lo que la

salida y(s) será:

y(s) = m(s)Gp + d(s)Gd

Si el valor de referencia deseado para y(s) fuese yref (s) se puede escribir:

Yref (s) = m(s)Gp + d(s)Gd

A partir de esta ecuación se puede encontrar el valor de m(s) (variable manipulada) tal que,

y(s) = y ref , como:


94


p

d

d

ref

GG

)s(dGy

)s(m ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

de aquí que se definirán las siguientes funciones de transferencia

)s(G)s(G

)s(Gp

dC = → Función de transferencia del controlador en Alimentación

adelantada.

)s(G1)s(Gd

ref = → Función de transferencia del elemento de referencia.

A partir de aquí se puede plantear el Diagrama de Bloques para el esquema planteado:

Retroalimentación adelantada

1/Gd + -

Gd/Gp

yref(s) d (s)

Gp

Gd

+

+

y(s) m(s)

Proceso

FIG 12.11 DIAGRAMA DE BLOQUES CON CONTROL EN ALIMENTACIÓN ADELANTADA

Si se le añaden las funciones de transferencia del medidor y del elemento final de control

entonces el esquema completo será:

Gf

Elemento finalde control

Retroalimentación adelantada

+ -yref(s)

d (s)

Gp

Gd

+

+

y(s)

m(s)

Proceso

Gm/Gd

mp

d

GGG

Gm

FIG 12.12 DIAGRAMA DE BLOQUES CON CONTROL EN ALIMENTACIÓN ADELANTADA COMPLETO


95


RESUMIENDO:

• La señal medida no es la señal controlada

• El controlador no es un controlador convencional (P, PI, PID) sino que depende del modelo

del proceso (Gp, Gd)

• Debido a que no es un modelo perfecto el controlador tendrá allí su mayor debilidad.

Este esquema pareciera perfecto, pues, se adelanta a tomar acciones de control en el

momento en que aparecen perturbaciones, pero, sería necesario identificar todas las

perturbaciones posibles, para así poder implementar tantos lazos como sea necesario, lo que no es

posible. Además, si hubiese algún cambio en un parámetro físico no podrá ser compensado, pues

no sería detectable.

Por todo lo anterior, lo mejor sería introducir un esquema de control que contenga

alimentación adelantada y retroalimentación a la vez cuyo Diagrama de Bloques se muestra

seguidamente:

Alimentación adelantada

Gm/Gd+ -

Gc2

yref (s) d (s)

Gp

Gd

+

+

y(s)

Gm2

Gf

+

Gc1

Gm1

+ -

yref (s)

Retroalimentación Simple

FIG 12.13 DIAGRAMA DE BLOQUES CON CONTROL EN ALIMENTACIÓN ADELANTADA

A partir de dicho diagrama se puede obtener:

y = Gp m(m) + GC⋅d(s) y sustituyendo se tiene:

)s(dGGGG1GGGGG

yGGGG1G

GGGGG

)s(y11

22

11

2

1

mCfp

mCfpdref

mCfp

d

mCCfp

⋅+

−+⋅

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=


96


De allí se observa que la estabilidad del sistema a lazo cerrado depende de la ecuación:

1 + Gp⋅Gf⋅Gc1⋅Gm1 = 0

Siendo esta ecuación dependiente sólo del lazo de retroalimentación, es más, Gp⋅Gf⋅Gc1⋅Gm1

es la función de transferencia de lazo abierto para el lazo de retroalimentación. Por lo que se

puede concluir que la estabilidad del sistema sólo depende del lazo de retroalimentación, y no se

ve alterada al añadir un lazo de alimentación adelantada.

12.3 ESQUEMA DE CONTROL DE RELACIÓN: Se utiliza para controlar la relación entre dos flujos, los dos flujos son medidos, pero sólo uno es

controlado.

Se pueden mostrar dos configuraciones para el control de relación:

ESQUEMA (a): Se miden ambos flujos y se obtiene su relación, se compara con la relación

deseada (referencia) y se manipula uno de los flujos.

ESQUEMA (b): Se miden ambos flujos, se multiplica el flujo no controlado por la relación

deseada y se utiliza como referencia para un controlador de flujo que manipulará el otro flujo

para obtener el resultado deseado.

Este tipo de esquema es muy utilizado en diferentes procesos químicos como, Relación entre dos

reactantes, relación aire (combustible, etc.)

12.4 ESQUEMA DE CONTROL “OVERRIDE”

Este es un tipo de esquema de control selectivo con el cual es posible controlar más de una

variable teniendo una sola variable manipulada, transfiriendo la acción de control de un

controlador a otro según sea la necesidad. Es utilizado para evitar que algunas variables puedan

alcanzar límites peligrosos, inferiores o superiores, que puedan perjudicar el buen funcionamiento


97


de una planta. Para ello se utilizan ciertos tipos de “switches”, el HSS (High Selector Switch) y el

LSS (Low Selector Swich), los cuales se utilizan para evitar que una variable pueda exceder de

un valor máximo o mínimo respectivamente.

Un ejemplo típico para este tipo de esquema de control se puede implementar en una caldera,

donde la presión del vapor de salida es una variable controlada, pero el nivel del líquido dentro de

la caldera debe mantenerse en observación, pues no puede bajar más allá de un valor mínimo. En

la siguiente figura se muestra un esquema de control en “Override”, en el cual el Lazo I se utiliza

para mantener el control sobre la presión de salida y si el nivel presenta un valor menor al

mínimo establecido, el LSS cambia de esquema de control y pone en funcionamiento el Lazo II,

con la intención de controlar el nivel.

Otro ejemplo de aplicación para este tipo de esquema de control se presenta en el sistema de

protección de un compresor, en el cual su descarga es controlada con un sistema de control de

flujo en cascada con un control secundario de la velocidad del motor, tal como se muestra en la

siguiente figura. Para prevenir que la descarga sobrepase ciertos valores de presión se introduce

el esquema de control en “Override” utilizando un HSS (High Switch Selector), que transfiere la

acción de control entre el lazo I y el Lazo II al ocurrir una sobrepresión en la descarga.


98


12.5 ESQUEMA DE CONTROL “SPLIT-RANGE”

Un esquema de control de este tipo es aquel que teniendo solamente una variable medida y

controlada, puede manipular más de una variable para lograr lo establecido. Es decir, se controla

una sola variable coordinando acciones sobre varias variables, que tienen el mismo efecto sobre

la variable controlada.

A continuación se muestra un ejemplo en el cual se implanta un esquema de control de este tipo,

en el cual se desea mantener controlada la presión de una línea de gas producto de la salida de

varias calderas. En este caso, se manipulan los flujos de salida de cada una de las calderas

simultáneamente para lograr la presión de salida deseada.


99

XIII. CONTROL DIGITAL Control de Procesos II PS-2320

XIII. CONTROL DIGITAL En un lazo típico de control, un esquema en retroalimentación simple presenta como elementos

los mostrados en la siguiente figura, el proceso, el medidor, el controlador y el elemento final de

control. Mientras el controlador sea un instrumento analógico, podrá procesar, en forma continua,

las señales generadas por los sensores y enviar señales , de la misma forma, a los elementos

accionadores.

En el caso en que se desee introducir un computador como controlador, el esquema descrito

anteriormente necesita de otros elementos que complementen sus acciones. Más específicamente,

debido a que las señales que maneja el computador son digitales y no analógicas, es decir, señales

discretas en el tiempo, se hacen necesarios componentes que permitan las comunicaciones entre

el controlador y los demás elementos del esquema de control. Dichos componentes, que serán

descritos a continuación son, muestreador (sampler), retenedor (hold element), convertidores

analógico digital (A/D converter) y digital analógico (D/A converter).

El muestreador o “sampler”, es el elemento que convierte las señales continuas, provenientes de

los diferentes medidores, en señales discretas en el tiempo. En otras palabras, el muestreador es

una especie de “switch” recibe señales continuas y produce una secuencia de valores muestreados

en un intervalo de tiempo específico. Por otro lado, la mayoría de los elementos finales de control

deben ser accionados por señales continuas, pero en el caso que el controlador sea un

computador, su salida será una señal discreta que debe ser convertida a continua utilizando un

retenedor o “hold element”.


100

XIII. CONTROL DIGITAL Control de Procesos II PS-2320


101

Finalmente, la información que entra y sale del computador debe estar en forma digital, para lo

cual se utilizan los convertidores de analógico a digital y de digital a analógico. A continuación

se muestra un esquema de control digital directo, en el cual se han incorporado cada una de los

elementos mencionados anteriormente.

En el esquema anterior se podrían manejar más de un lazo de control con el mismo controlador,

para lo cual se añadiría un elemento adicional conocido como “multiplexer” que actúa como un

“switch” con varias puertas, tal como se muestra en la siguiente figura.

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