Cuando al momenta de cerrar el pozo, ya se tiene el periodo seudoestable se puede hacer el siguiente analisis :

Elaborando un grafico de ~P vs t, don de t es el tiempo de producci6n, tanto para periodo transiente como seudoestable se tiene un grafico como el de la pagina siguiente y del cual se puede concluir que

~Pseudoestable =~PTransiente + Z(t) =~Pss

o sea que:

I":,p = 162.6 qf1 B[IOgt + S+ _2 Y(o] (4 .5) " Kh 2.303

Seudoe5t~b~

I I·i

~ /1 Z(t.)~____-~~~ I ......-_---­

I//~ V

l •

don de

Y(t)= .. Z(t) - - P (t141 • 2 q f1 B - /) /) ) ss - Pf) (/ f) ) I

Kh

Z(t) es la diferencia entre la soluci6n para ~P considerando flujo transiente y seudoestable y

K8 = log "' ? - 3.23 + 0.878

¢ f1 Cr"~

y Po(to)ss y Po(to)t son las soluciones de la ecuaci6n de difusividad para los period os seudoestable y transiente respectivamente .

Es obvio que Y(t + ~t) ~ Y(t) Yque Y(~t) ~ 0 para valores pequer'ios de M

206

La caida de presion para un pozo en una prueba de restauracion de presion se puede representar por

donde .1P, es la caida de presion ocasionada por la perturbacion del periodo de flujo y .1P2 es la ocasionada por el periodo de cierre ; si se aplica la ecuacion (4 .5) para obtener .1P, y .1P2 Y se recuerda que el periodo de flujo lieva una duracion t = tp + .1 t Yque el periodo de cierre lieva una duracion de .1t =t - tp , se tiene :

/)'P, = - m[lOg(t - I" ) + S + .- 2 y U- I" )] - 2. 303

=-m[IOg/),I+ S+ 2 .. r (/), /)]2.303

y sumando se tiene

I" + /), 1 2 I ](P, - PHI) = m[ Jog · M . + 2.303 ( y(t + M) - } ( /),/ ))

y como para valores pequenos de .1t se tiene Y(tp + .1t) =Y(tp) YY( .1t) =0, entonces

I " + /),1 2 ]( P - P".J= m log · .. + -YU ,,) (4 .6) I

[ /),1 2 .303

La ecuacion (4 .6) muestra que para valores pequenos de .1t, un grafico de (Pi - Pws) vs log t , + /)' t , es una linea recta de pendiente m. Cuando .1t aumenta, ya no se puede suponer que Y(tp

/),t

+ .1t) =Y(t) Yla linea recta pasa a ser una curva .

Para obtener el dano se procede de manera similar 0 como se obtuvo la ecuacion (4.4) 0 sea

AI momenta de cierre :

( P - PH! ) = m[IOg /" + S + 2 Y( /,, )] I " " 2.303

Ysi a esta ecuacion Ie restamos la ecuacion (46) se tiene

(P." -P"" . )= m[ IOg tp+S_ IOg _t p,-+_ t ] ~, " " /)' t

207

y para valores pequenos de t-t se puede decir que tp +t-t ~ tp y por tanto

p... , - P.."S ,61 =O = mrS + log tll]

Ktll ]=m log -- , 2' - 3.23 + 0.878[ ¢J-l Crw

de donde se puede lIegar final mente a la ecuacion (44) cuando se toma t-t = 1 hora

• Metodo MDH

Otra forma de analizar una prueba de restauracion de presion cuando el pozo se cierra estando fluyendo en el periodo seudoestable, es la propuesta por Miller, Dyes and Hutchinson (MDH) conocida como la propuesta MDH . En este c .aLa el efecto de perturbaCion ocasionado por el periodo de flujo se aplica la so . . de flujo seudoest~ y para el efecto del periodo de cierre se aplica la soluci6n del period transiente esto supone que el t-t es bajo .

. -----'" o sea que las expresiones para t-P 1 y t-P2 son :

• . \ !). tlP. = , q J-l._ [1 In - ,4A + 2;rr I + 8]

'

I 2;rr k h 2 C r 'J. /).1r A ...

M. = 141.2 qJ-l B- * .1 * 2,303[ log _ .. 4A.. +. 4;rr I + 2]8 I kh 2 rCAr} 2.303 /)./ 2.303

qJ-lB[ 4A 4;rr*2.64*10-4 kl ]tlp, = 162 .6 -.. log , ' 1 + .. . . - .. , +0.878 tI

k h re Ar,: 2.303 ¢J-l C.A

y por otra parte , el aporte por la perturbacion de presion debido al cieere es \

'll ~ 'f ,:&i~1S0V'

tlP2 =-162.6 qJ-lB[- - log(t-I, ,)+log · k, ) -3.23+0.878] ~\k h ¢J-l CI"~

Sumando t-P 1, Y t-P2 se tiene:

qJ-lB [ 4A 4;rr*2.64*10-4

kl k]tlP . =162.6 ·.. log + .. _ .. . ·· --·--- - log(/-I ,)-log +3.23 '" k h vC r2 2 303 d" CA ' d, Cr 2 , ,/... . v)j..1 vJj...I ".

Recordando que t = tp + 6t, la ecuacion anterior queda /

qJ-lB[ 4A 0.0014kl k ,,]tlP .. = 162.6- ,' log ._.- + .. - logtll - log + 3.2,.,"' Kh ,/' 2 d, CA d, ( .' r 2

f '-' , / r" vJJ-l - vJJ-l ...

~ t.. '. / I \J' --\ . . \. "~ 208.;- t \ .. 1 ­

.\.. ,

Ahora , cuando t\t = 0 la expresi6n para Pwf es •

qJlB[ 4A 0.0014k* ](P - P ) = 162.6 ··_· 100 + ' .- I , + 0.87S I "'I", " kh b ,/' 2 do C' ,I ' f,-, .,r". .pJl , /1

Y si esta ultima ecuaci6n se Ie resta la anterior y se supone que para valores de 6 t pequenos t= tp + 6 t ~ tp se tiene.

(p _P o ) = 162 .6qj..lB[I00I11+IOg k -3.23+0.87S] (4.7)'" "' ~" kh b do C r 2 .pJl "

La ecuaci6n (4.7) se conoce la ecuaci6n de MDH y en la cual se puede ver que al graficar Pws Y log 6 t se tiene una linea recta, siempre y cuando 6t sea pequeno .

Cuando 6t es grande, no se puede decir que ~tp y la linea recta se convierte en una curva y

cuando 6 t > tpss (tiempo requerido para lIegar al estado seudoestable la Pws se hace igual a P y 6 Pws se hace constante.

EI metoda MDH tambien se puede aplicar cuando el pozo se cierra estando fluyendo en el periodo transiente. En este caso si se aplica el principio de superposicion , se toman valores bajos para 6 t y se supone que se puede aplicar la aproximacion logaritmica se tiene.

P, - Pws = m[log (tp + 6 t) - log 6 t]

Y si 6t « tp entonces

P, - Pws = m[log tp - log 6 t]

y la ecuacion para flujo transiente evaluada en 6 t = 0 queda

( P, - P I ) = m[10g/" + k__ _) - 3.23 + 0.87S] II v " ¢JlC rll~

y restando entre si las dos ecuaciones anteriores

(p,o , - p"" ./I/ :o) = m[IOgM+10g k, 2 - 3.23+0.87S] (48) ¢JlC r,o

que es equivalente ala ecuaci6n (4 .7)

Si en las ecuaciones (4.7) 0 (4 .8) se hace 6t = 0 se puede despejar S obteniendose la misma ecuaci6n (44)

• Metodo MBH

209

Existe otro metodo para obtener la ecuacion para la prueba de restauracion de presion conocido como el MBH (Mathews - Brons and Hazebroek), el cual adem as presenta la ventaja de dar una forma de obtener la solucion general para PD(tD) (en cualquier tipo de area de drenaje y simetria)

MBH parten de la ecuacion (4 .1)

(F: - p"J * 7.08 * J 0-3 kh B- = Po(t " + ~I )I! - P

. I! ( ~f ) n (4 .1 )

qJl

Ysi se toman 6t pequeno entonces

1 4t /)PI> (~t) /J = In -­

2 r I

I I " + ~IY sumando y restando a la anterior expresi6n - Ln se tiene :

2 ~f

* _ ~ k h ( ) 1 I i' + M 1 4 1 I i ' + ~f7.08 10 ·_· P-P . = - Ln . + P (/ , +~/ )- In ~I - Ln q Jl B I " , 2 ~( /) 1/) n 2 r I! 2 ~I

* -.1 ( ) k h 1 I~+ ~( I 4~/ /) * I I' +~I7.08 lOP - P . - - = -In + P (t , + ~/ ) -. In( . I " ., B 2 A /)' 1> ,..., A q Jl 0 1 L. r 01

7.08 * 10-~ kh (p _ p ) = lln ~.t...~/+p(t +~/) _ 1 . ln4(t /'+ ~/) /) qJl B I W, 2 ~( /), ' /) 2 r

y para valores de 6t pequenos entonces

PI> (t " + ~I ) /) ~ PI! (t "I! )

4(t " + ~I ) I! 4{ /)In . --.-.... .. ~ In .. r r

o sea que

* -3 k h ( ) I ( + ~I I 4/ /)7.08 10 - -- P-P , = In --· . + P (/ , )- In - (49)I H.' 2 A I!' /) ,...,qJl B o f L. r

La ecuacion (4 .9) se conoce como la ecuacion de MBH

Para obtener S se hace 10 siguiente:

AI momenta de cerrar el pozo la ecuacion de comportamiento de la presion es

~ ) (t ,» ) + S = 7.08 * I O-J ~ h -(p - P . )qf.l. B I ~U '\ I (I

2 10

Y si a la expresion anterior Ie restamos la ecuacion (4 .9) se tiene •

P -P t+l\t 4ts= ws,," wrAl ," + 1.\ 5 \10 ---1.l 5110 ~

7.08 * 10-1 g ~t g Y

p - p , + ~, k * , ]= \ . \ 5 \ "' ,,,, "I.VII + log - log( 4 *2.64 * \ 0-4 --, )

[ m~' ¢ It e r,,:

t + . t Ysi t » L'. t ~ -- = J Ysi ademas L'.t = 1

t

(' - \ 15 J[P..nlftl. IIi,. - P.../ , /I 1 k 323],) - . . _- - . - og .. ) + . m ¢I' Cr,,­

que es nuevamente la ecuacion (4.4).

4.2.2-Conclusiones y Resumen

• EI metodo de Horner y el metodo MDH se pueden aplicar tanto si el pozo se cierra en el periodo transiente 0 en el seudoestable ambos requieren que L'.t sea pequeno

'I' + /'..,• En el grafico de Horner a valores de L'.t pequenos (valores grandes de ) se tiene una ~,

I ). +~, linea recta cuyo intercepto se tiene cuando == 1 ( 0 sea cuando L'. t es muy grande

~,

comparado con el valor de tp ) y da un valor de presion conocido como P' ; la ecuacion de la recta seria

t p + ~tP = P * -m Iog (4 .10)

\~ "II" ~t

• Por otra parte, cuando los valores L'.t son grandes la ecuacion de Horner (ecuacion (4 .2) 0

ecuacion (4 .6)) se desvia de la linea recta y si se continua graficando para valores cada vez

t r + ~t _ 1 -Pmayores de L'.t se obtiene, cuando - . la . ~t

Otra forma de obtener P' es .

De la ecuacion (4 .6)

t + ~t ]( P - P ,J = m * log P + Y(t p) I \ . [ ~t

2 1\

t + ~t Cuando L'1t ~ 00 ~ Pws =P* Y p = 1 0 sea que

~t

P* =Pi - m * Y(tp) (4 .11 )

Por su parte cuando la ecuacion de Horner es la ecuacion (4 .2)

Pi - P =m log t p + ~t ws

~t

t + ~t Cuando L'1t ~ 00 ~ P ~ 1 0 sea que

~t

P, =P*

esta es una de las razones por las cuales se prefiere la prueba PBU , pues cuando el pozo solo ha producido par un periodo muy corto de tal forma que al cerrarlo esta en el periodo transiente , 9urante el cierre se puede optener la presion inicial del yacimiento .

• La tecnica de Horner en sus dos versiones , ecuaciones (4 .2) y (46) son casos particulares de la ecuacion (4 .9) pues

Cuando el pozo se cierra en el periodo transiente

Pl) ( t PI) ) = ~ In 4t PD

2 Y

y la ecuacion (411) se convierte en

7 08 * 10-' k h _(p _ p ) = 1 *23 031 og 1 + ~I . I "" •

q).l B . 2 ~I

(~ _P..J = 162.6 H).l B log!" ~~l (4 .2) kh ~I

y cuando el pozo se cierra en el periodo seudoestable se tiene:

(P - P )=141.2 * -1 * 2.303 [ log I" +. ~I. + 2 * [ P ( I ) - ..1 In 41 /l ]] I '" 2 ~f 2.303 J) (II> 2 Y

q).l B [ I " + ~I 2 ]= 162.6 -· . log · -- - + . y(t ) (4 .6) k h ~f 2.303

Para valores de L'1t pequenos el comportamiento de la presion del pozo en una prueba de restauracion tambien se puede representar entonces por la ecuacion (4 .9), que es la ecuacion de

212

una linea recta . Cuando se tengan puntos correspondientes a valores de L'1t grandes , estos puntos al graficarlos en el mismo gratico de la ecuacion (4 .9) se saldran de la recta .

4.3 Obtencion de P

Uno de los objetivos de las pruebas de presion es la obtencion de P En el caso de las pruebas de restauracion se sabe que, sin importar el periodo de flujo existente al cerrar el pozo, si los L'1 t son

t + 6 t pequenos un grafico de 6P _= (p - P 's) vs Jog-- es una linea de la cual se puede obtener

'"' '" 6 t P*. EI valor de P* es igual a Pi si el cierre ocurre despues de un periodo corto de flujo , 0 sea cuando la solucion exacta es la ecuacion (4 .2) . Cuando el cierre se hace despues de que el periodo de flujo ha salido del transiente, aunque se tiene la linea recta cuando L'1t es pequeno, ya la extrapolacion no es la Pi sino que se tiene de acuerdo con la ecuacion (411) •

P* =Pi - m Y(tp) (4 .11)

o sea que usando la ecuacion (4 .11) se pod ria obtener P, si se puede calcular Y(tp), siendo Y(tp) la diferencia entre las soluciones para PD(tD) para los periodos transiente y seudoestable .

En una prueba de PBU se pod ria tener la P si el pozo estuviera cerrado hasta alcanzar que t + 6 t -- = 1 0 sea para valores de L'1t tendiendo a infinito, 0 resolviendo la ecuacion general de

6 t restauracion de presion , dada por,

(4 .1 )

pero para hacer esto se requiere tener la solucion para PD(tD) en el periodo seudoestable 10 cual implica conocer CA y A (ver ecuacion (3 .27)) . Ademas esto solo permitiria conocer Pi y este valor solo es la presion promedia del yacimiento cuando este es nuevo.

213

pH<

'~ "-...

-~ iJ.P

~~"

,.....­

log t +..it La.

• Metodo MBH

Una forma de obtener la P del yaclmiento es la propuesta por MBH, la cual hace uso de la ecuacion (4 .9) que ajustada a la linea recta que se obtiene para valores pequenos de ~t queda

2J[ kh ( ) _ 1 ( + /),.I /) f; 1 4 /'. r, - p." - ··· In + ~ ) ( J) ) - In ( I'f) qJL I", 2 /),.1 2 r

II' + /),.( Y si se extrapola pa~ cuando = 1

/),.(

se tiene

kh 1 4 2 J[ - - (~ - p *) = P/J (I I'IJ ) - 2.. In r· II'J) (4 .12)

qJL

Para incluir la presion promedia se debe recordar que durante el periodo de produccion la

produccion la presion del yacimiento cayo de Pi a P y salieron del yacimiento q * t unidades volumetricas de fluido 0 sea que

Vp * C (Pi - P) = q * t = A * h *<1> * C (Pi - P)

de don de

( p _ p) = q *t 0 3'!.kh (p _p) = _ q~ * 2'!. kh = 2J[ k ( = 2m I A *h *J. *el ' c *h * ,f, ,f, C IJ I'l' ql rI 'f' qjJ 'If JL .1

Y si a esta ultima ecuacion se Ie resta la ecuacion (412) se tiene

214

(f) * f)) 2 Tr kh _ 2 * P ) 1 I 4 I - I - Tr t I>.l - IJ (t 1'1) + n t 1'1)

qj.1 2 Y

que puede tambien escribir como:

4Trkh( . ) y el termino P *-P se conoce como PO(MBH) 0 sea que se tiene finalmente

Cfj.1

(4 .13)

Si en la ecuacion (413) se pudiera calcular Po(tpo) se obtendria PO(MBH) y P . Para resolver el problema de Po(tpo), MBH recurre al concepto del pozo imagen que se puede resumir asi :

Cuando un pozo tiene definida su area de drenaje esto es equivalente a tener el pozo en un yacimiento infinito pero rodeado de muchos pozos con los cuales define un area de drenaje. Si el pozo tiene un area de drenaje como se muestra en la figura siguiente, la existencia de esta area se puede simular si se rodea el pozo de pozos imaginarios de forma que al producir, y estar tam bien produciendo el pozo de interes se crea una barrera de no flujo que coincida con el area de drenaje del pozo

Para garantizar la formacion de la barrera de no flujo perfecta se requiere la 6bicacion de pozos en todas las direcciones y a traves de distancias infinitas Aplicando el principio de superposicion para obtener la caida de presion en el punto 1 se tendria

(4 .14)

2 3 ...

1 I-....~ ...----~.I

/"~ / ~~./~.

~-.......l I~-~ ~J!"-~

.,..-~ ./ ~~ ...----/"' / ~

/ ~-....6~ I

10

9

5

2 15

La ecuaci6n (4 .14) me permite calcular Po, simplemente variando la geometria del area de drenaje y la simetria Este fue el proced imiento que api icaron MBH y de esta forma pudieron calcular Po(MBH) . Las soluciones finalmente las presentan en forma grafica en la cual aparece en la ordenada PO(MBH) y en la abscisa tOA; en la grafica aparecen curvas para diferentes factores de forma y cada grafica es para una figura geometrica dada

t

CA ./ ,C " r' / ;' / ~

,/' / .../ / ' / . ,. / t' •

,/ / // // /

,/ /// / ' / .' .'

/ ,/ / / // /' )

.J/',// /'

C7­ __-,-­../ / .r/ //---­ / ' tr ~-~~

Pb "1:>4

t r 'l -+

Las figuras 17-20 muestran cartas de MBH para diferentes geometrias y simetrias .

Las curvas muestran el siguiente comportamiento: para valores bajos de tOA 0 sea cuando se tiene periodo transiente se tiene una curva y para valores altos de tOA se tiene una recta . Este comportamiento se puede predecir usando la ecuaci6n (4 .13) Cuando se,tiene periodo transiente

1 4 Pf) ( t I) ) = -2 1n - t I)

Y

y reemplazando esto en la ecuaci6n (4 .13) se tiene

PO(MBH) = 4rr tOA

Cuando se tiene periodo seudoestable

1 4A Pf) ( t f) ) =­ In ) + 2 7tt DA oseaque

2 yC A r~

la ecuaci6n (4 .13) se convierte en

2 16

(415)

..... .' -~ ---­ -",,;

. ~.-.,-=", •• ,

-­.-­

1

I· Ji I

" ,)(

~--- /'....­ ./

--­

1

i/

/'

,~ I

1 H4

, ,

I 1

, ,

/

I

I

:,1

Figura 17-, Carta de MBH para un Area de drenaje cuadrada

Jr­~ ' /

• ./ / ./ / '

,/ LI / / /" /'I "' / ;-- ­ cl-+--+-+-+-+-H

t ::,;

Figura 18- Carta de MBH para un Area de Drenaje Rectangular 2x1

217

1"

1:?

- -1: _. -

--- -- I I I L -

J I I r-lC

-CL - -

-­ ./ -.­/" J"

/ -' /­.-

./ . - .' ./ --, / . ~ .,

L. .. ' -~--

to"'" - -,:;::<.­..-:-:

~- .-I­

I-­----------~-

C.J[ ~ J :~ 1 C iL_

- .' ;.....,

Figl a 19-. Carta de MBH para Areas de Drenaje Rectangular Variadas.

C­o...

'4

.~

~ ,-­

',:.

,­-

===== 4 C ,:.).

, ,...-.--~

-

c.:n

J

"[

...j , -'=

--~

-~ --...-: t::=

-if

--!.

t 0 .><

Figura 20- . Carta de MBH para Area de Drenaje Rectangular de 4x1

218

:

JJ

• LtL

/' / -

1--1 0

.J.. ~

,

- .!...

/ , II I

,

/ /

/'

~ -L

./ I ~ • :

I 1­I I

] Ctl,

, ,

,

l-::-:'

1.

"L L

--1" ... r-r-­l.Ji r­

4A 4 P II(JIIHII) = 41l1 n.1 -ln , 2 - 41l1 /M +In -tn

r<- 11 r ll r

=In( 4 * t / 4A )= ln CA *r2*t = lnt D* r,: *C y I) yC Ar,: A \V J) A 1\

= In CA * t ()A (4 .16)

Como se puede apreciar de la ecuacion al graficar PO(MBH) vs tOA se tendra una linea recta .

Conociendo (calculando) tOA y haciendo uso de las cartas de MBH se puede obtener PO(MBH) y de la

definicion de PO(MBH) se puede obtener P.

Pero otra aplicacion importante de la ecuacion (4 .13) y de las cartas MBH es la obtencion de Po(to) a cualquier tiempo y para cualquier caso de simetria y area de drenaje. De la ecuacion (4.13) se tiene

41l1 ,) , I 41/) 1P

II (I

/! ) = 2 ' + 2Jn y' - 2P

JJ( MHII)

(4 .17)

De todas maneras, conociendo la geometria del area de drenaje y la simetria , Po(to) para tiempos cortos se puede calcular de:

y para tiempos largos de

1 4A P/) (I /» ) = In ---·- +21l1 ,).,

2 of' r 2 . ('-- :1 \1'

Aun sigue siendo dificilla obtencion de Po(to) 0 PO(MBH) porque se requiere conocer A y CA

• Metodo de Dietz para calcular P

Este metodo no plantea el uso de las cartas MBH para obtener la presion promedia ; se basa en el

t + ~t grafico de Horner y consiste en conocer el valor de --- con el cual entrando a la recta de

~t

t + ~t sHorner se obtiene P . Este valor se conoce como y para encontrar una expresion que

~ts

permita calcularlo se procede de la siguiente manera:

219

l + L1t De acuerdo con la ecuacion de Horner, para S se tiene usando unidades absolutas

L1t s

'"'I Kh *(p p--) _ 11 1+L1I, P ( ) 11 41 1' /1L 1r ..- - . , - - n + f) 11'f) - n (4 .18)

q"p 2 L11, 2 Y

I + i:11" () 1 41 "f)= 1.151 log + Pf) 11'f) --In - ­L11, 2 Y

pero (Pi - p) se puede obtener de:

q * t =A * h * ~ (P, - p) * Ct

- q * t (Pi - p) = A *h *~ * C

1

o sea que

2!fKh (p _ p)= 21rKh * q. ~l .. . = 21r * _._K!.. . = 2m qp' qp A*h*rp*C, rpp('"t n.'

y la ecuaci6n (4 .18) queda

t+L1t s 1 42n:t [)j\ = 1.1151og + Po(l J) ) - - ln­

L1t s 2 Y

Y si porto) en la ecuacion anterior se reemplaza por la ecuacion (4 .17)

1 1 41 Il P I! (t II ) = i P I! ,AIHI/ (t IlA ) + 2m /J,l + 2 In y

se tiene

I + L11 \ 1 1 41 I) 1 41 I)2m 'H =1.1151og - PIlAlIl I/ (t n,,)+2mn , + In - In

L11 , 2 2 Y 2 Y

1+ L11, 1 P ()1.1151og = .. /JAWII f iJI L11 , 2 '

1+ L11, I = log L11, 2.303 P1l,A/HI/ U n , )

220