x

MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS

y sen(t) y cos(t) para un t positivo En dicha

(xy) que mide t radianes es el aacutengulo AOP y las lente cos(t) y sen(t)

(-x -y)

x

FIGURA 38

bull cos(t+n2)=-sent sen(t+n2 ) = cost tER (Verla figura 39 siguiente)

y

( -yx)

i

FIGURA 39

bull cos t = cos(- t) sen(- t) = -sen t para todo tER (Ver la figura 40 siguiente)

te)

FIGURA 40

y

x

Las otras funciones trigonomeacutetricas se definen a partir de seno y coseno como sigue

sen t cost 1 1 tant = -- cott = -- sect = -- csct =- shycost sen t cos t sen t

97

MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS

El dominio de estas funciones queda restringido al conjunto de nuacutemeros reales t para los cuales el denominador no se anula

rr 1nterpretaeioacuten geomeacutetrica de tant see t eot t y ese t para 0lt t lt -

2

y y

xx

FIGURl 41

Aplicando teorema de Pitaacutegoras se deduce de las figuras anteriores que

I + tan 2 t == see 2 t I y I I + eot 2 t = ese 2 t

propiedades estas que son vaacutelidas para todo nuacutemero real t para el cual esteacuten definidas las funciones involucradas en ellas

Observe que cuando t se acerca a rr 2 con valores menores que rr 2 tant toma valores

positivos cada vez maacutes grandes a medida que t se acerca maacutes y maacutes a rr2 anaacutelogamente si

t se acerca a 0 con valores positivos eot t toma valores positivos cada vez mayores

Algunas identidades trigonomeacutetricas baacutesicas

Propiedades como

sen 2 t + eos 2 t = l

eos( t + rr) = - eos t

eos( - t) = eos t

sen(-t)=-sent 2 2I +tan t = see t

21+eot 2 t = ese t

a las cuales ya nos hemos referido son llamadas identidades trigonomeacutetricas A continuacioacuten recordamos otras de tales identidades

J sen(a+~) = senaeos~+sen~eosa I y I eos(a+~)=eosaeos~ - senasen~

98

Prueba Veacutease la figura 42 siguiente

(

2

3

4

5 2

2 1+ eos a = _ ---1

Prueba

miembro

Prueba Se ob

eos( - ~) = eos ~

sen a eos ~ = ~ [ sen

MATEMAacuteTlCAS BAacuteSICAS

Prueba Veacutease la figura 42 siguiente sido al conjunto de nuacutemeros reales t para los

n t t y ese t para O lt t lt -

2

y

FIGURA 4 2

2 22 sen(2a)=2senaeosa 1 y I eos(2a) = eos a-sen a

Prueba sen(2a) = sen(a + a) == sen aeos a + sen aeos a == 2 sen aeos a y 2eos(2a) = eos(a + a) = eosaeosa - sen asen a = eos a - sen 2 a

3 __ _ o=2s a I sen 2 a == _ = (= --J---_eo_s_2 a =_-1 +~-e_ (2==)--J1 y L______-1 -==eo2s2a~)2 2 2Prueba eos a + sen 2 a==1 y eos a- sen a == eos(2a) Sumando miembro a

miembro estas dos igualdades se obtiene 2 eos 2 a = I + eos(2a) de donde

2 1+eos(2a)eos a =

2 La otra identidad se obtiene restando las mismas dos igualdades

4 sen(a-~) = senaeos~-sen~eosa y eos(a - ~) = eosaeos~+senasen~1 1

Prueba Se obtienen de 1 teniendo en cuenta que sen(-~)== -sen~ y

eos( - ~) == eos ~

5 senaeos~==~[sen(a+~)+sen(a-~)] eosaeos~==~[cos(a+~)+eos(a-~)]2 2

~--------------------------~

sen a sen ~ = ~ [ cos( a - ~) - eos( a + ~) ]2

99

MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS

El dominio de estas funciones queda restringido al conjunto de nuacutemeros reales t para los cuales el denominador no se anula

rr 1nterpretaeioacuten geomeacutetrica de tant see t eot t y ese t para 0lt t lt -

2

y y

xx

FIGURl 41

Aplicando teorema de Pitaacutegoras se deduce de las figuras anteriores que

I + tan 2 t == see 2 t I y I I + eot 2 t = ese 2 t

propiedades estas que son vaacutelidas para todo nuacutemero real t para el cual esteacuten definidas las funciones involucradas en ellas

Observe que cuando t se acerca a rr 2 con valores menores que rr 2 tant toma valores

positivos cada vez maacutes grandes a medida que t se acerca maacutes y maacutes a rr2 anaacutelogamente si

t se acerca a 0 con valores positivos eot t toma valores positivos cada vez mayores

Algunas identidades trigonomeacutetricas baacutesicas

Propiedades como

sen 2 t + eos 2 t = l

eos( t + rr) = - eos t

eos( - t) = eos t

sen(-t)=-sent 2 2I +tan t = see t

21+eot 2 t = ese t

a las cuales ya nos hemos referido son llamadas identidades trigonomeacutetricas A continuacioacuten recordamos otras de tales identidades

J sen(a+~) = senaeos~+sen~eosa I y I eos(a+~)=eosaeos~ - senasen~

98

Prueba Veacutease la figura 42 siguiente

(

2

3

4

5 2

2 1+ eos a = _ ---1

Prueba

miembro

Prueba Se ob

eos( - ~) = eos ~

sen a eos ~ = ~ [ sen

MATEMAacuteTlCAS BAacuteSICAS

Prueba Veacutease la figura 42 siguiente sido al conjunto de nuacutemeros reales t para los

n t t y ese t para O lt t lt -

2

y

FIGURA 4 2

2 22 sen(2a)=2senaeosa 1 y I eos(2a) = eos a-sen a

Prueba sen(2a) = sen(a + a) == sen aeos a + sen aeos a == 2 sen aeos a y 2eos(2a) = eos(a + a) = eosaeosa - sen asen a = eos a - sen 2 a

3 __ _ o=2s a I sen 2 a == _ = (= --J---_eo_s_2 a =_-1 +~-e_ (2==)--J1 y L______-1 -==eo2s2a~)2 2 2Prueba eos a + sen 2 a==1 y eos a- sen a == eos(2a) Sumando miembro a

miembro estas dos igualdades se obtiene 2 eos 2 a = I + eos(2a) de donde

2 1+eos(2a)eos a =

2 La otra identidad se obtiene restando las mismas dos igualdades

4 sen(a-~) = senaeos~-sen~eosa y eos(a - ~) = eosaeos~+senasen~1 1

Prueba Se obtienen de 1 teniendo en cuenta que sen(-~)== -sen~ y

eos( - ~) == eos ~

5 senaeos~==~[sen(a+~)+sen(a-~)] eosaeos~==~[cos(a+~)+eos(a-~)]2 2

~--------------------------~

sen a sen ~ = ~ [ cos( a - ~) - eos( a + ~) ]2

99

MATEMAacuteTlCAS BAacuteSICAS

Prueba Veacutease la figura 42 siguiente sido al conjunto de nuacutemeros reales t para los

n t t y ese t para O lt t lt -

2

y

FIGURA 4 2

2 22 sen(2a)=2senaeosa 1 y I eos(2a) = eos a-sen a

Prueba sen(2a) = sen(a + a) == sen aeos a + sen aeos a == 2 sen aeos a y 2eos(2a) = eos(a + a) = eosaeosa - sen asen a = eos a - sen 2 a

3 __ _ o=2s a I sen 2 a == _ = (= --J---_eo_s_2 a =_-1 +~-e_ (2==)--J1 y L______-1 -==eo2s2a~)2 2 2Prueba eos a + sen 2 a==1 y eos a- sen a == eos(2a) Sumando miembro a

miembro estas dos igualdades se obtiene 2 eos 2 a = I + eos(2a) de donde

2 1+eos(2a)eos a =

2 La otra identidad se obtiene restando las mismas dos igualdades

4 sen(a-~) = senaeos~-sen~eosa y eos(a - ~) = eosaeos~+senasen~1 1

Prueba Se obtienen de 1 teniendo en cuenta que sen(-~)== -sen~ y

eos( - ~) == eos ~

5 senaeos~==~[sen(a+~)+sen(a-~)] eosaeos~==~[cos(a+~)+eos(a-~)]2 2

~--------------------------~

sen a sen ~ = ~ [ cos( a - ~) - eos( a + ~) ]2

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MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS

Prueba Como

sen(a + ~) =sen acos ~ + sen ~cosa y sen(a - ~) =sen acos~ - sen acos~

Entonces sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores se obtiene

sen(a +~)+ sen(a - ~) = 2sen acos~

De donde sen acos ~ =~ [sen(a +~)+ sen(a - ~ ) ] Anaacutelogamente se prueban las otras 2

dos identidades

Ejemplo sen( 4x )cos(3x) = ~ [sen(7x) + sen x ] cos( 4x )cos(3x) = ~ [cos(7x) + cos x ]2 2

1sen(4x )sen(3x) = - [ cos x - cos(7x)]

2

Leyes de seno y coseno

Ley de seno En todo triaacutengulo ABC (Vea la figura 43 siguiente)

B

A

se tiene que

sena sen ~ sen y=

a b c

Prueba De la figura 44 siguiente

B

FIGURA 43

A

FIGURA 44

100

b sese tiene que sen a = h = a sen ~ luego shy

Por otra parte de la figura 45 siguiente

J I p

I I

I

180lt

~

I

se tiene que

es decir

csen

De donde

Ley de coseno En todo t

se tiene que

_

a

rr=uumlhrEJcMAbEFE Gu

y sen(a -~) = sen acos~ - sen acos ~

las dos igualdades anteriores se obtiene

l(a - ~) ] Anaacutelogamente se prueban las otras

l

MATEMAacuteT1CAS SAacuteS1CAS

sena sen ~ se tiene que bsena = h = asen~ luego -- = - -o

a b

Por otra parte de la figura 45 siguiente

I

p---- H ---------shy

1800 f --- B

A FIGlJRA45

se tiene que c sen a = H = a sen(1800

- y)

es decir

csena = a[~cosy -senY~l = aseny o - 1

De donde sena sen y

== a c

Ley de coseno En todo triaacutengulo ABe (Vea la figura 46 siguiente)

B

A FIGURA 46

se tiene que

a 2 == b 2 + c 2 - 2bc cos a

b 2 == a 2 + c 2 - 2ac cos ~

c 2 == a 2 + b2 - 2abcosy

1

101

_

a

rr=uumlhrEJcMAbEFE Gu

y sen(a -~) = sen acos~ - sen acos ~

las dos igualdades anteriores se obtiene

l(a - ~) ] Anaacutelogamente se prueban las otras

l

MATEMAacuteT1CAS SAacuteS1CAS

sena sen ~ se tiene que bsena = h = asen~ luego -- = - -o

a b

Por otra parte de la figura 45 siguiente

I

p---- H ---------shy

1800 f --- B

A FIGlJRA45

se tiene que c sen a = H = a sen(1800

- y)

es decir

csena = a[~cosy -senY~l = aseny o - 1

De donde sena sen y

== a c

Ley de coseno En todo triaacutengulo ABe (Vea la figura 46 siguiente)

B

A FIGURA 46

se tiene que

a 2 == b 2 + c 2 - 2bc cos a

b 2 == a 2 + c 2 - 2ac cos ~

c 2 == a 2 + b2 - 2abcosy

1

101