59. T = (~cos t} - (sen t)j + (~cos t)k;

N = (- ~ sen t} - (cos t)j - (Vi ~en 1)k;l' 1 1B = - j - - k K = -' T = O

\12 \12' \12'61. 'Ti/3

63. x = 1 + t,)' = t, Z= -165. 5.971 km, 1,639 X 107km2, 3,21 % visível

Capítulo 10 ExercíciosAdicionais, p. 250-2531. (26,23,-113) 3. IF I= 20 Ib

9. (b) 6\14(b) Sim

15 32. + 23 . - 13k'411 41.1 41

17. (a) IFI = GMm (1 + i 2 )d2 i~1 (i2 + 1)3/2

d:r. . dy. .21. (a) dt= r cos 8 - re sen 8, dt = r sen e + re cos 8

d,.. . de. .(b) -d = x cos (}+ )' sen e". -d

= -x sen e + )' cos et . 1 .

25. (a) v(1) = -U/, + 3un,a(1) = -9u/, + 6un

(b) 6,5 po1.

CAPíTULO11

Seção 11.1, p. 261-264

1. (a) Todos os pontos no plano xy (I» Todos os reais(c) As retas)' - x = c «I) Sem pontos de fronteira

(e) É tanto aberta quanto fechada (f) Ilimitado

3. (a) Todos os pontos no plano xy (h) z.;::::O

(c) Paraf(x, y) = O, a origem; para/(x, y) '* O, elipses com ocentro (O, O) e os eixos principal e secundário ao longo doseixos.x e y, respectivamente

(d) Sem pontos de fronteira (e) É tanto aberta quanto fechada

(n Ilimitado

5. (a) Todos os pontos no plano xy (I» Todos os reais

(c) Paraf(x. y) = O,os eixos x e y; para/(x, y) '* O,as hipér-boles com os eixos .1:e y como assíntotas

(d) Sem pontos de fronteira (e) É tanto abertaquanto fechada(t) Ilimitado

7. (a) Todos os (.:1:,y) satisfazendo x2 + y2< 16 (b) z.2: *(c) Circunferências centradas na origem com raios r < 4

(d) A fronteira é a circunferência X2 + / = 16(e) Aberto (t) Limitado

9. (3) (x, y) '* (O, O) (h) Todos os reais

(c) As circunferências com centro (O, O) e raios,. > O

Respostas 545

(d) A fronteira é o único ponto (O, O)

(e) Aberto (O Ilimitado

11. (a) Todos (x, y) satisfazendo -1 :::;y - x :::; 1

(h) - 11"/2 :::; z. :::; 11"/2

(c) Retas da forma)' - x = c, onde -1 :::;c :::;1

«I) A fronteira é duas retas y = 1 + x e y = -1 + x(e) Fechado (O Ilimitado

13. Gráfico (f) 15. Gráfico (a) 17. Gráfico (d)

19. (a)

21. (a)

23. (a)

25. (a)

~

I, ' ~,'

~,x

;:: ~ _(.\,2 + ."2)

x

(b)

!

(b)

(h)

2 r X

(b) ."

;::~4

546 Respostas

27. (a) z = 1-1)'1

(b)

29. X2 + / ::::; 1031. arc tg y - arc tgx ::::; 2 arc tg V2

33.

$1 1

x ~ yI

/(;0;.y. z) = x2 + y2 + z 2 = I

37.

x tEI

y

39.

y.Y

41. ~ - ln z ::::; 2

45. Sim, 2,000

35.

X+Y43. z--::::; ln 2

47. 63 km

Seção 11.2, p. 269-271

1. 5/2 3. 2\16

7. 1/2 9. 1

13. O 15. - I

19. l/4 21. 19/1225. 3

27. (u) Todos (x, y) (b) Todos (x, y) exceto (O,O)29. (a) Todos (x, y) exceto onde x ::::;O OllY ::::;O

(b) Todos (x, y)31. (u) Todos (x, y, z)

(b) Todos (x, y, z) exceto o interior do cilindro X2 + i ::::; 133. (a) Todos (x, y, z) com z * O

(b) Todos (x, y z) com X2 + Z2 * 135. Considere os caminhos ao longo de y ::::;x, x > Oe ao longo de

y ::::;x, x < 00

37. Considere os caminhos y ::::;kx2, sendo k lima constante,39. Considere os caminhos y ::::;kx, sendo k uma constante, k =1=-1.41. Considere os caminhos y ::::; kX2;sendo k uma constante, k * 0045. 8::::;0,1 47. 8::::;0,005

49. 8::::; \10,015 , 51. 8::::; 0,00555. O 57. Não existe

5. 1

11. O

17. 2

23. 2

_9 'li

~ . 263. Não65. (a) f(x, y)1 )=/lLo;::::;sen 20, onde tg O ::::;l1/67. O limite é 1 69. O limite é O

61. f(O, O) ::::;lu 3

Seção 11.3, p. 281-283aI aI

1 -::::; 4r - ::::;-3. (Jx "üyüf df)3 -::::; 2 \,( ) ' + ') -::::; c - 1. ()x '. - , dy ,

(If df5. -;-::::; 2y(x )' - 1), -;-::::; 2x(x ) ' - 1)

uX' dy

df - x df - Y

7. -;-- ~,-;-- ~-uX X2 + y2 i/y X2 + y2df - 1 df - 1

9. (Ix::::;(x + }f' (IY ::::;(x + y)2

df - / - 1 df - X2 - 111. -;-::::; ), --;;- ::::; . ?

dx c\)' - 1)- o)' (xy - 1)-dF dF dlf' dlf

'

13 2. = ex+y+l2.::::;e\+)+1 15 - = -1- - = ~~. dX ' dY . dX x + y' ay x + y

df af17. - ::::;2 seu (x - 3y) cos (x - 3v), -;- ::::;-6 sen (x - 3) ') cos

dY . . dy(x - 3y)

dl af19 "":""'::::;),\,y-I - ::::; \'Y 111\.. ax . . , dY . .23. L ::::;l,f; ::::;2xy,f~ ::::;-4z

25. f~ ::::;1.,f;'-::::;-y(i + Z2)-1/2,f; ::::;_Z(y2 + Z2)-1I2

27 '::::; yz , ::::; xz ' ::::;~. fo; \I ? ? ?' fI \I ? ? ?' fz / ? ? ?1 - rrz-' 1 - ry-z- \ 1 - .cy-z-

29 f' ::::; 1 f ::::; 2 f' ::::; 3. x x + 2y + 3z' Y x + 2y + 3z' z x + 2y + 3z

31. J~::::;-2xe-(..:-+y'+z'\J; ::::;-2ye-(X'+Y'+z'J,f; ::::;-2ze-(x'+l+z'J

33. f: ::::; sech2 (x + 2y + 3z), f~ ::::;2 sech2 (x + 2y + 3z), f; ::::;3 sech2 (x + 2y + 3z)

af af21. -;-::::; - g(x) -::::; g ( v)

dx ' ay ,

v

02 z=oz= 1

E-I z=-l-2

iJf r7f

35. ar = -211"sen (211"1- 0'), r7~ = sen (21TI - 0')r7h iJh r7h

37. ap = sen cPcos e, acP = p cos cPcos e, = r/e = - p sen 4) sen e8U2

39. Wp(P, V, 8, u, g) = v, Wv(P, V, 8, u, g) = P + 2'. gVU2 V8u

W,)(P, V, 8, u, g) :=:2g' Wv(P, V, 8, u, g) = g'V()U2

W~(P, V, 8, u, g) = -~. 2g

r7/ iJf aY r/:f r7:f iJ:f41. - = 1 + )', - = 1 + x, - = O,- = O,- = - = Iax . ri)' rlX2 ri)'2 r/)'rlX r/XiJ)'

ag r7g r72g43. - = 2xy + )' cos x. - = X2 - sen )' + sen x. - = 2)' - )'ax . r/,}' . . rlx2 . .

a2g r72g iJ2gsen .:r,- 2 = -eos y, --.=;--;-= -;-;- = 2x + eos X

r7y oy (IX riX oy

ar 1 iJ,. 1 ()2,. - 1 ()2,. - 145. -=-,-=-,-=-,-=-.

r7x x + )' ri)' x + )' r7x2 (x + yp r7)'2 (x + y)2a2r - a2,. - -1

a)' (/X - ax d)' - (x + )')2

()I\' 2 aI\' 3 rl2~t' iJ2w -647. -=-,-=-,-=-=-

rlX 2x + 3)' iJ)' 2x + 3)' (/)' ax rlXiJy (2x + 3)')2

iJw 2 :> 2 4 dW 2 2 :> 149. :I = ) ' + 2x) " + 3x v , --:;-=2xv + 3x \' + 4x v' ,(IX . (i)' - - .

a 21\' rl2W- = - = 2)' + 6xy2 + 12x2)dYdX iJxiJy .

51. (a) primeiro x(d) primeiro x

(b) primeiro y(e) primeiro y

(c) primeiro x(O primeiro y

53. f~(1, 2) = -13"f~,(1, 2) = -2

55. 12 57. -2

59 riA = a aA = c cos A - b. da bc sen A' ria bc sen A

ln u61. Ux= (ln u)(ln u) - I

77. Sim

Seção 11.4, p. 289-291

1. ~;' = O,~;'<11")= O

3. (a) ~;' = 1dw

5. (a) ;jf = 41are tg 1+ 1

(b) dll' (3) = 1dI

(b) dw (I) = 11" + 1dI

7 ( )rlZ 4 1 rlZ.. a ~.

= eos l' n (11sen v) + 4 cos 1',~ =0/1 oV

411 eos2 \'-411 sen v ln (11sen v) + --sen:-v

(b) ~z = V2 On2 + 2), ~Z.= -2V2 On 2 - 2)(lU . (lU

()w aI\'9. (a) -;-

.= 2u + 4uu, -;- = -2u + 2U2

(TU oU

(b) iJw= 3. aw = _l(711 . aI' 2

Respostas 547

11. (a) au = °,au= L-, au= ~(7x ay (z - y)2 az (z - y)2

(b) r7/1= O, riu = 1, au = - 2r7x iJy . az

13. dz. = dz. d:r + dZ.dydI dx dI ay dI

ali' dw ax aw r7y aw az dW aw ax aw ay15 - = - - + - - + - - - - - - + - - +. au ax riu (7yau aZ.au' au ax au ay aurlWdz.

rlZ.r7)'

(711' ri\\' rI.r a\\' ay aw ali' ax aw ay17. -=--+--,-=--+--rllI r7xali a)' ali' au rlXau a)' au

x y yx

19 dz. = rlZ.r7x + rlZ ay r7z= az (7x+ az ay. r71 ax (71 rlYr7/'as d:ras ay as

x y yx

21. ri\\! = dw rllI, dw = dw auris du a,,;.dI du (}II\'

I

d\l'

d'l

/I

I

dll

d.<

\I"

I

dI\'

dt

II

I

d/l

dI

23 dw r7\1'dx + a\\' dy aw dx d)' O. ;;;: = r7xdI' (}y d,. = dx d,. uma vez que dr = ,

dll' r7wdx ali' d:r ali' dy dx- = -- + -- = --uma vez que- = Ods ax ds a)' ds ay ds ds

548 Respostas

x yy x

25. 4/3

29 éJz = 1. éJz = -l. éJx 4'éJy 4

éJ7 éJ731.~=-1,::=-1

iJx iJy

33. 12

37. az = 2,~z = 1au iJv

39. -0,00005 amps/s

45. (cos 1,sen 1,1) e (cos(-2), sen (-2), -2)

47 ()M' o

(

V2V2) (

V2 V2)

'o

. a aXlmo em -2' 2 e 2' -2 ;I1UI111nOem

(

V2V2)e(

- V2 - V2

)2 ' 2 2' 2

(b) Máx = 6, ITIÍn = 2

27. -4/5

35. -7

.r ')

f3;c dt

49.2XVX8 + X3+ 2Vt" + X3o

Seção 11.5, p. 303-306

1. y 3.

1y-x-= -1

x

5. \j1= 3i + 2j - 4k

9. -4

13.3

7 \7'1

0- 26. ?3 ?3. v ---1+=-'--

11.31/13 27 54j 54 k

15.2

17. u = - ,,~ i + " ~j, (Duf)p = V2; -u = " ~i - " ~j,v2 v2" v2 v2(D-u/)pu = -V2

19. u = ,,1~i- ,,5~j, - ,,1~k, (Duf)p = 3V3;3v3 3v3 3v3 "

-u= - ,,1~i + ,,5;:;;-j+ ,,1;:;;-k,(D-uf)p= -3V33v3 3v3 3v3 "

21. u = " ~ (i + j + k), (D-uf)p = 2V3;v 3 u

-u= -" ~ (i + j + k), (D-uf)p = -2V3v3 "9

23. dI = 11.830 = 0,0008

27. (a) x + y +z = 3

(b) x = 1 + 2t, Y = 1 + 2r, z = 1 + 2t

29. (a) 2x - 2 - 2 = O

(b) x = 2 - 4r, y = O, 2 = 2 + 2t

25. dg = O

31. (u) 2x + 2y + 7.- 4 = O

(b) x = 2r,y = 1 + 2r,z = 2 + r

33. (a) x + y + Z - I = O

(b) x = t, Y = I + r, 2 = r

35. 2x - z - 2 = O

39. \'

. 'Vf = 2\l2i -t 2,'2j

37. x - y + 2z - 1 = O41.

y= x-4

.~

) , -x- + .1'-'" 4

y '" -x -r2E

43. x = I,y = 1 + 2r,z = 1 - 2r

145. x = 1 - 2r,)' = 1, z = '2 + 2r

47. x = 1 + 90r, y = 1 - 90r, z = 3

49 7. 2. 7. 2.'.U=-I--j,-U=--I+-j

V53 V53 V53 V53

51.Não,a taxa máxima de variação é -vT8S < 147

53. - V5

55. (a) ~ sen V3- t cos \/3 = 0,935°C/pés(b) V3 sen V3 - cos \13 = 1,87°C/s

57. Em -J!.4'- ,,7T;-; em O, O; em J, ?,,7TI)2v2 _VL

x

Seção 11.6, p. 314-3161. (a) L(x, y) = 13. (u) L(x, y) = 3x - 4y + 5

5. (u) L(x, y) = 1 + x

7. L(x, y) = 7 + x - 6y; 0,0611. L(x, y) = 1 + x; 0,022213. Preste mais atenção à menor das duas dimensões. Ela gerará a

derivada parcial maior15. Erro máximo (estimativa) ::; 0,31 em magnitude17. Máximo erro percentual = :t4,83"7ú19. Seja Ix-li::; 0,014,Iy - 1 I::; 0,01421. =0,1%23. (a) L(x, y, z) = 2x + 2y + 2z - 3

(b) L(x,y,z) =y + Z(c) L(x, y, z) = O

25. (a) L(x, y, z) = x1 1

(b) L(x,y,z) = V2x+ V2Y1 ? ?

(c) L(x, y) z) = '3 x + 3y + 3z

(b) Ux,y) = 2.\" + 2)' - 1(b) L(x,y) = 3.\" - 4)' + 5

7T

(b) L(x, y) = -y + "2

9. L(x, y) = x + y + 1; 0.08

27. (a) L(x, y, z) = 2 + x7T

(b) L(x,)',z) = x - y - z + '2 + 17T

(c) L(x, y, z) =x - y - z + 2" + 129. L(x, y, z) = 2x - 6y - 22 + 6, 0,0024

31. L(x, y. z) = x + y - z - 1,0,00135

33. (a) So(1~0 dI' + dx - 5 dI\' - 30 dh)(b) Mais sensível ~lvariação da altura

35. f é mais sensível à variação eled

37 47 ,~

. 24 pes. . ~

39. Magnitude do erro possível::; 4,8

Seção 11.7, p. 324-3271. f(-3, 3) = -5, mínimolocal 3. f(-2, 1),pontodcsela

(13 3

) 31, .

5. f 12' -4 = -] 2' mll1l1nO local

7. f(l. 2), ponto de sela 9. f(O, I) = 4, máximo local11. f(O, O), ponto ele sela;f( -1, -1) = I, mínimo local

(4 4

)64, .

13. f(O. O),ponto de sela;f 9' 3" = - 8] , mll1lmO local

15. f(O, O), ponto de sela; f(l, 1) = 2, f( -1. -1) = 2, máximoslocais

17. f(O, O) = -1, máximo local19. f(11'11',O), ponto de sela;f(l17T, O) = O para todo 1121. Máximo absoluto: 1 em (O, O); mínimo absoluto: - 5 em (1, 2)23. Máximo absoluto: 11 em (O, - 3); mínimo absoluto: -10 em

(4, - 2)

25. Máximo absoluto: 4 em (2, O); mínimo absoluto: 3~ em

(3, -*). (3,*). (1, -*)c(I,*)27. a = - 3, h = 2

. 2 10

(1 V3

) ( 1 V3)

.f

.29. MaISquente: '4 em -2' 2 e -2' -2 ; maIS TIO:

10

(1

)-'4em 2' O

31. (a) f(O, O),ponto de sela(b) f(1, 2), mínimo local(c) f(1, -2), mínimo local;f( -I. -2). ponto de sela

37. (1/6,1/3,3SS136)

41. (a) Sobre a semicircunferência, máx f = 2\1'2 em 1 = J' mínf = -2 em f = 7T;sobre o quarto ele circunferência,

máx/= 2\1'2 em f = ~, mínf = 2 em 1= O'-I

(b) Sobrea semicircunl'erência,máxg = 2 em f =J' míl12 37T 1 I

.i, A' J

g = - em f = 4; so)t'e o quarto c e clrcun °erencla, max

27T J O 0

7T

g = em 1 = 4' mll1 g = . em f = , 2(c) Sobre a semicircunferência, t11<lXh = 8 em f = O,7T; mín

h = 4 em f = -I; sobre o quarto de circunl'erência, máx h = 8

em f = O,mín h = 4em 1 = -I43. O) mínf = -~em 1 = -~; no m,lx

(ii) máxf = Oem f = -I, O;mínf = -~ em 1 = -~(m) máxf = 4 em 1 = 1; mínf = Oem 1 = O

Respostas 549

Seção 11.8, P 335-337

1.(~~,t} (~~, -i)3. 39 5. (3, ~3\1'2)

(b) 647. (a) 8

9. r = 2 em,h = 4 cm 11. f = 4\1'2, H'= 3\1'2

13. f(O, O) = Oé mínimo,.f(2, 4) = 20 é máximo

15. Maisbaixa = 0°;maisalta = 125°

17. (~.2,~)19. 1 21. (O, O, 2), (O, O, - 2)

23. f(l, - 2, S) = 30 é máximo;f( -1,2, -5) = - 30 é minimo

25. 3.3.3 27. ~~por ~ por ~ ~unidadesv 3 \/3 v 3 !

29. (~4/3, -413, -4/3) 31. U(8, 14) = $1284

33. f(2/3, 4/3, -4/3) = "3 35. (2,4,4)37. O máximo é] + 6\13 em (~V6, \13,1); o mínimo é 1 - 6\13

em (~V6, -\13, 1)39. O máximo é 4 em (O,O,~2); o mínimo é 2 em (~\1'2, ~\1'2, O)

Seção 11.9, p. 3421. (a) O

3 ( ) (7U + aU(~ ), . a ap (fT l1R

5. (a) 5

(r7X

)7. - = eos e(7r (I

(ar)

x

(]x y = Yx2 + y2

(b) 1 + 2z (c) 1 + 2z

(b) aU(l1R

)+ auap V aT

(b) 5

Seção 11.10, p. 347

1 Q d" + ' b' 1 ..,

. ua ratlca: x xy; cu Ica: x + .:\)'+ 2:x)'"'

3. Quaelrática:xy;cúbica:xy

5. QlIadrática: y + t (2xy - y2)1 C ' b

'

2" u lca: y + (2x)' - )'2

3xy2 + 2y~)

7. Quaclrática:~ (2X2+ 2y2)= X2 + y2

Cúbica: X2 + y2

9. Quadrática: 1 + (x + y) + (x + y)2;

Cúbica: 1 + (x + y) + (x + y)2 + (x + y)3

11. QlIadrática: 1 - tX2 _~y2; E(x, y) :S 0,00134