HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS DE GRUPOS

Definicion (Homomorfismos)

Dados los grupos (G, ) y (G, ) una funcion f : G G, se dice que f es un homomor-fismo del grupo G en el grupo G si f preserva (conserva) las operaciones de los grupos G y G.

Si ademas f es uno a uno (inyectiva), la funcion f se denomina monomorfismo y si f essobre se llama epimorfismo. Cuando f es una biyeccion se llama isomorfismo y en tal casose dice que los grupos G y G son isomorfos, lo cual se nota G G. En el caso que que G = Gy f sea un isomorfismo, mas generalmente se dice que f es un automorfismo en G (o en G).

Ejemplo 1: Dado los grupos (R,+) y (R, ), la funcion f : (R,+) (R, ) dada por f(x) = exes un homomorfismo.

En efecto, dados x, y R,f(x+ y) = ex+y = ex ey = f(x) f(y)

Ejemplo 2: La funcion

g : (R+, ) (R,+)x g(x) = ln(x)

es un homomorfismo de grupo pues

g(x y) = ln(x y) = ln(x) + ln(y) = g(x) + g(y)

Operacion en R+ Operacion en R

Ejemplo 3: Si (G, ) es un grupo abeliano, entonces la funcionf : G G

x f(x) = x x = x2

es un homomorfismo.

En efecto, dados x, y G se tiene quef(x y) = (x y) (x y)

= x (y x) y = (x x) (y y)= x2 y2 = f(x) f(y)

Ejemplo 4: Si (G, ) es abeliano, entoncesf : G G

x f(x) = x1

es un homomorfismo de grupos. En efecto, dados x, y G,f(x y) = (x y)1 = y1 x1 = x1 y1 = f(x) f(y)

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Algunas Propiedades:

Si f es un Isomorfismo de (G, ) en (G, ) entonces:i) f(eG) = eG donde eG es el modulo de G y eG es el modulo de G

.

ii) f(x1) = [f(x)]1 para cada x GDemostracion:

i) Dado x G, es claro que x eG = x. Luego f(x) = f(x eG) = f(x) f(eG) (1).Por otro lado para cada f(x) G, se tiene que f(x) eG = f(x) (2). Luego, de (1) y (2)f(x) = f(x)f(eG) = f(x)eG y en virtud de la propiedad cancelativa, se sigue que f(eG) = eG .

ii) Para cada x G, se tiene que x x1 = eG. Luego, en virtud del inciso anterioreG = f(e) = f(x x1) = f(x) f(x1)

Lo que significa que f(x) es el inverso de f(x1) y recprocamente, es decir

[f(x)]1 = f(x1)

Definicion (Nucleo o Kernel)

Sea f : (G, ) (G, ) un homomorfismo. EL conjunto Kf o Ker(f) definido porKer(f) = {x G | f(x) = eG}

Se denomina nucleo o kernel del isomorfismo f .Note que Ker(f) 6= pues f(eG) = eG y as eG Kerf(f).

Ejemplo 5: En el caso de la funcion g del ejemplo 2, note que

Ker(g) = {x R+ | g(x) = 0}

Ker(g) = {x R+ | ln(x) = 0}

Ker(g) = {x R | e0 = x} = {1}Ejemplo 6: Considere la funcion

f : (C {0}, ) (R+, )z f(z) = z

Entonces f es un homomorfismo de grupos, pues f(z w) = z w = z w = f(z) f(w)

Observacion: Como z, w C {0}, entoncesz = (a, b) = a+ ib y w = (c, d) = c+ id

donde a, b, c, d no son simultaneamente ceros.

Por otro lado, note que

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Ker(f) = {z C {0} | f(z) = 1}, pues 1 = eR+

= {z C {0} | z = 1}

= {z C {0} | x2 + y2 = 1}, z = (x, y) = x+ iyLo cual indica que Ker(f) esta formado por todos los puntos del plano complejo que se en-cuentran sobre la circunferencia unitaria x2 + y2 = 1

Teorema: La relacion de isomorfismo entre grupos es de equivalencia. Debemos probarlo siguiente:

i) Todo grupo G es isomorfo consigo mismo, es decir G,G G.ii) Si G G, entonces G G.iii) Si G G, y, G G entonces G G.

Demostracion:

i) En efecto, la funcion

IG : (G, ) (G, )x IG(x) = x

Es un homomorfismo, pues

IG(x y) = x y = IG(x) IG(y)Es claro ademas que IG(x) es una biyeccion y asi G G

ii) Si G G entonces existe una funcion f : (G, ) (G, ) que es un homomorfismobiyectivo. Puesto que f es una biyeccion, existe su inversa f1 : (G, ) (G, ) tambienbiyectiva. Veamos que f1 es tambien un homomorfismo. Esto es cierto puesto que

f1(a b) = f1(a) f1(b)Como a, b G y f es sobre (por ser biyectiva), existen x, y G tales que a = f(x) y b = f(y).Luego

f1(a b) = f1(f(x) f(y))= f1(f(x y))= (f1 f)(x y)= I(x y)= x y = f1(a) f1(b)

en consecuencia G G

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iii) Si G G y G G, entonces existen funciones f y g tales quef : (G, ) (G, ), g : (G, ) (G,4)

Homomorfismos biyectivos.

Luego, la compuesta de f con g

g f : (G, ) (G,4)es tambien biyectiva, por ser f y g biyecciones. Veamos que g f es un homomorfismo, es decirque preserva las operaciones de los grupos G y G.

Dados , G,(g f)( ) = g[f( )] = g[f() f()]

= g[f()4f()]

= (g f)()4(g f)()Y en consecuencia G G

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