UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATOFACULTAD DE CIENCIA E INGENIERIA EN ALIMENTOS

LABORATORIO DE ESTADISTICA I

Profesora: Ing. Isabel Tituaña Semestre: Cuarto Alimentos Ayudante: Ma. Daniela Garcés Fecha: 29 de Noviembre del 2012

TEMA:

ESPERANZA MATEMÁTICA Y DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

I. INTRODUCCIÓN

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones.

La distribución binomial ocurre si estamos interesados en el número de veces que sucede un evento A en n ejecuciones independientes de un experimento aleatorio, suponiendo que A tiene probabilidad P(A) = p en un ensayo.

Entonces, 1-p es la probabilidad de que en un solo ensayo no ocurra A, hacemos q = 1-p.

Considérese la variable aleatoria

X = número de veces que ocurre el evento A

Y suponiendo primero que el experimento se efectúa sólo una vez. Entonces, X puede tomar los valores 0 ó 1, dependiendo respectivamente de que A no suceda.

2. OBJETIVO

Familiarizar al estudiante con la distribución binomial y esperanza matemática mediante ejercicios de repaso.

3. FORMULAS

Esperanza Matemática

E = n*p

q=1-p

Distribución binomial

Donde:

P(X) = Probabilidad de X éxitos, dadas y

n = Número de observaciones

p = Probabilidad de éxitos

1-p = Probabilidad de fracasos

X = Número de éxitos en la muestra ( = 0, 1, 2, 3, 4,……… )

E = Esperanza matemática

4. EJERCICIOS

1. Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

2. Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

3. ¿Cuál es nuestra esperanza matemática si ganamos $10000 cuando un dado cae en 1 o 6 y perdemos $5000 cuando cae en 2, 3, 4 o 5?

4. Determine P(X=8) para n = 10 y p = 0,5. Calcule la esperanza matemática.

5. Determinar P(X=3) para n =4 y p = 0,45. Calcule la esperanza matemática.

6. El 60% de profesionales leen su contrato de trabajo, incluyendo las letras pequeñas. Suponga que el número de empleados que leen cada una de las palabras de su contrato se puede modelar utilizando la distribución binomial. Considerando un grupo de cinco empleados:

- Llenar la tabla siguiente tabla.

Cuál es la probabilidad de que:

a) Los cinco lean cada una de las palabras de su contrato

b) Al menos tres lean cada una de las palabras de su contrato

c) Menos de dos lean cada una de las palabras de su contrato

d) Calcule la esperanza matemática.

7. Un examen de estadística de elección múltiple contenía 20 preguntas y cada una de ellas 5 respuestas. Si un estudiante desconocía todas las respuestas y contestó al azar

a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 5 preguntas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a lo más 5 preguntas?

c) Calcule la esperanza matemática.

8. La probabilidad de que cierto antibiótico presente una reacción negativa al administrarse a un ave rapaz en recuperación es de 0.15. Si se les ha administrado dicho antibiótico a 10 aves, calcúlense las probabilidades de que haya reacción negativa:

a. En dos avesb. En ningún avec. En menos de 4 avesd. En más de 3 avese. Entre 2 y 5 avesf. Calcule la esperanza matemática.

9. Un hombre y una mujer, cada uno con un gen recesivo (Azul) y uno dominante (Marrón) para el color de los ojos, son padres de tres hijos. ¿Cuál es la distribución de probabilidades para X, número de hijos con ojos azules? Calcule la esperanza matemática.

10. Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar Si o No. Suponiendo que a las personas que se le aplica el examen no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, contesta al azar, hallar:

a) Probabilidad de obtener cinco aciertosb) Probabilidad de obtener algún aciertoc) Probabilidad de obtener al menos cinco aciertosd) Calcule la esperanza matemática.

5. DEBER

1. Un médico aplica un test a 10 alumnos de un colegio para detectar una enfermedad cuya incidencia sobre una población de niños es del 10%. La sensibilidad del test es del 80% y la especificidad del 75%. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente a cuatro personas les dé un resultado positivo? Si en la muestra hay cuatro personas a las que el test les da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que entre estas, exactamente dos estén sanas? Calcular la probabilidad de que el test suministre un resultado incorrecto para dos personas. Calcular la probabilidad de que el resultado sea correcto para más de 7 personas. Calcule la esperanza matemática.

2. La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de licenciado en Farmacia es 0.3. Hallar la probabilidad de que un grupo de de siete estudiantes matriculados en primer curso finalice la carrera:

a) Ninguno de los 7 finalice la carrerab) Finalicen todosc) Al menos dos acaben la carrerad) Hallar la media y la desviación típica del número de alumnos que acaban la carrera. e) Calcule la esperanza matemática.

3. La probabilidad de que un alumno de 1° de bachillerato repita cursos es de 0.3. Elegimos 20 alumnos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores? Calcule la esperanza matemática.

4. Calcule la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños. Calcule la esperanza matemática.

5. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de  buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de queuna persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese laprobabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

a) Las cinco personasb) Al menos tres personas

c) Exactamente 2 personasd) Calcule la esperanza matemática.

6. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está  comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen10 números de  teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos? Calcule la esperanza matemática.

7. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?b) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?c) Calcule la esperanza matemática.

8. En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica. Calcule la esperanza matemática.

9. Un sistema de comunicaciones recibe mensajes digitales de ceros y unos. Cada digito del mensaje puede ser recibido como correcto o incorrecto. La probabilidad de recibir un digito incorrecto es 0.01 y los dígitos se reciben de manera independiente.

a) ¿Con que probabilidad un mensaje de 10 dígitos binarios se recibe incorrectamente?

b) Si el sistema recibiera 15 mensajes de 10 dígitos cada uno, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 12 de ellos se reciban correctamente?

c) Si un mensaje se recibe de forma incorrecta, se repite el envío hasta que sea recibido correctamente. ¿Con que probabilidad un mensaje de 10 dígitos binarios es correctamente recibido en el cuarto intento?

d) Calcule el costo esperado del número de mensajes de 10 dígitos que se envían al sistema hasta conseguir el mensaje correcto si este proceso se repite tres veces y si el costo de los tres procesos, en décimos de soles, es igual al cuadrado del número de intentos.

e) Calcule la esperanza matemática.

10. Estudios demuestran que en las carreteras del Ecuador el 60% de los conductores emplean el cinturón de seguridad al conducir. Se selecciona una muestra de 10 conductores en una de nuestras carreteras. Determine la probabilidad:

a) Que exactamente 7 lleven el cinturón de seguridad.

b) Que 7 o menos de los conductores lleven puesto el cinturón de seguridad.

c) Calcule la esperanza matemática.