hoja de trabajo n12

8/18/2019 Hoja de Trabajo n12

1/4

____________________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO N°12 (Transformaciones Lineales)

En los ejercicios 1-16 determinar si la función es una transformación lineal. Justificar.

1. 2 2: ;T , definida

por x

u y

; entonces

cos( )

cos

senT u

sen

x

y

=

cos

cos

x ysen

xsen y

2. 2 2:T definida por

( ; ) ( 2 ;3 )T x y x y x y

3.

3 2:T definida por( ; ; ) (2 ; 4 )T x y z x y z y z

4. 22

:T M , donde;

a. 3 4a b

T a b c d c d

b.

2 2a b

T a bc d

5. 2 2:T P P , donde;

a.

2 2

0 1 2 0 1 2( ) ( 1) ( 1)T a a x a x a a x a x

b. 2 2

0 1 2 0 1 2( ) ( 1) ( 1) ( 1)T a a x a x a a x a x


0

x xT

y


1 xT

y y


( ; ) (0; )T x y x


0 x

T y y

z

10.

3 2:T definida por

1 x

T y z

z


x z

T y x

z

12.

2 2:T definida por

( ; ) ( ; )T x y x y x y 13.

2 2:T definida por2 2( ; ) ( ; )T x y x y

14.

2 2:T definida por

x x yT

y y


2

2

x xT

y y

16. n

:lm l

T M M definida por

( )T B BA ; donde A es una

matriz fija de orden m n

Para las siguientes transformaciones lineales : n nT , 17- 18, encontrar una matriz A

tal que ( )T x Ax para todo n x .

17.

2 2:T definida por

1 1

1 2

T

;2 2

3 5

T

18.

2 3:T definida por

34 5

x y x

T y y x y


2/4

____________________________________________________________________________

19. Considere la base 1 2;S v v para2

, donde1

(1;1)v , 2 (1;0)v y sea2 2:T , el operador lineal tal que 1( ) (1; 2)T v y 2( ) ( 4;1)T v . Obtener

una fórmula para ( ; )T x y y encontrar (5; 3)T

.20.

Considere la base 1 2 3; ;S v v v de3

, donde1

(1;2;3)v , 2 (2;9;0)v ,

3 (3;3;4)v y sea la transformación lineal 3 2:T tal que 1( ) (1;0)T v ,

2( ) ( 1;1)T v ,

3( ) (0;1)T v . Obtener una fórmula para ( ; ; )T x y z y encontrar

(7;13;7)T .

21. Sean1 2 3; ;v v v vectores en un espacio vectorial V , 3:T V una transformación

lineal tal que1

( ) (1; 1;2)T v ,2

( ) (0;3;2)T v ,3

( ) ( 3;1;2)T v . Encontrar

1 2 3(2 3 4 )T v v v

22. Determine el núcleo de la transformación lineal3 2:T tal que

( ; ; ) ( ; )T x y z x z y z

23.

Sea2 3:T la transformación definida por ( ; ) ( ; ; 2 )T x y x y x y x y ;

encontrar ker( )T y determinar si la transformación es lineal.

24. Sea2 2:T , la transformación ( ; ) (2 ; 8 4 )T x y x y x y . ¿Cuál de los

siguientes vectores pertenecen a la Im( )T ?

a) (1; 4) b) (5;0) c) (3; 12)

25. Sea2 2:T definida por ( ; ) (2 ; 8 4 )T x y x y y una transformación lineal.

¿Cuál de los siguientes vectores pertenecen a ker( )T ?

a) (5;10) b) (3;2) c) (1;1)

26.

Dado4 3:T , tal que

( ; ; ; ) ( 2 3 ; 4 3 ; 6 6 )T x y z w x y z w y z w x z w . Hallar ker( )T ; Im( )T ;

nulidad( )T y rango( )T .

27. Una transformación lineal3 2:T , está definida por:

( ; ; ) ( 2 ; )T x y z x z y z

a. Hallar la matriz A de T respecto de las bases (1;1;1),(2;2;0),(3;0;0) B

en3

y (2;0),(0;2)C en 2 .

b.

Mediante A , obtener la imagen de3( 2;2; 2)

c.

Determinar la matriz B de T , respecto de las bases canónicas en ambosespacios.

d. Obtener la matriz C de la misma transformación lineal, respecto de la base

canónica en3

y la base C en 2 .

28.

Una transformación lineal3 2

:T P P , definida por2 3 2

0 1 2 3 1 2( )T a a x a x a x a a x . Hallar la matriz asociada a T y el núcleo y la

imagen de T .


3/4


4/4

____________________________________________________________________________

4Ingeniería Civil, Minas y Geológica

Ciclo 2014-2

hoja de trabajo n12

Documents