historia de la matemática

Historia de la Matemática Eliana Lluch y Nelson Valenzuela

�

2


�

3

Este es un aporte a la Enseñanza de la Matemática del Programa MENTES

ACTIVAS HISTORIA DE LA MATEMÁTICA Centro de Investigación y Desarrollo de la educación CIDE ISBN: 956-7241-83-X © Derechos Reservados 1ª Edición: noviembre 2001


�

4

ÍNDICE

Pág.

1. Introducción 5 2. Períodos de la Historia de las Matemáticas. 7 3. Definición de conceptos claves. 11

• Matemática 11 • Número 12 • Aritmética 13 • Geometría 14 • Álgebra. 14 • Geometría analítica 16 • Trigonometría, 17

4. Aporte matemáticos de algunos períodos claves y matemáticos 18 • Egipto 18 • Babilonia 23 • China 26 • India 29 • Grecia 32 • Pueblos Árabes 37 • Siglos XVII al XVIII 40 • Tiempos modernos 54

5. Aportes de Matemáticos 63 6. Conclusiones 88 7. Bibliografía 89


�

5

11.. IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN

l programa MENTES ACTIVAS (Programa de Matemática y Ciencias Aplicadas desarrollado por el Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación, CIDE), ha querido ofrecer este aporte a los profesores de Matemática como una herramienta para el trabajo con los alumnos en la sala de clases por una parte, y por otra como

una manera de reflexionar sobre la historia de esta disciplina.

La idea de esta reflexión es tener una visión mas clara de los períodos de la historia de nuestra civilización, de la importancia de cada uno de ellos y del aporte tan maravilloso que cada matemático, filósofo, científico hizo en cada uno de los tiempos para poder estar hoy en el tiempo tecnológico en que nos encontramos.

Vivimos en una sociedad en que la matemática, la ciencia y la tecnología ocupan un lugar fundamental en el sistema productivo y en la vida cotidiana en general. Parece difícil comprender el mundo moderno sin entender el papel que las mismas cumplen. La población necesita de una cultura científica y tecnológica para aproximarse y comprender la complejidad y globalidad de la realidad contemporánea, para adquirir habilidades que le permitan desenvolverse en la vida cotidiana y para relacionarse con su entorno, con el mundo del trabajo, de la producción y del estudio. La Matemática y las Ciencias de la Naturaleza se han incorporado en la vida social de tal manera que se han convertido en clave esencial para interpretar y comprender la cultura contemporánea.

Por lo tanto, ya no es posible reservar la cultura científica y tecnológica a una elite. La sociedad ha tomado conciencia de la importancia de las ciencias y de su influencia en temas como la salud, los recursos alimenticios y energéticos, la conservación del medio ambiente, el transporte y los medios de comunicación, las condiciones que mejoran la calidad de vida del ser humano. Es necesario que amplios sectores de la población, sin distinciones, accedan al desafío y la satisfacción de entender el universo en que vivimos y que puedan imaginar y construir, colectivamente, los mundos posibles.

El conocimiento del desarrollo de la Ciencia y la Tecnología, la capacidad para analizarla y el darse cuenta de los grandes aportes que hicieron personajes de la historia, destaca este aporte sencillo pero significativo a los maestros.

La Matemática es una de las ciencias más antigua. Los conocimientos matemáticos los adquirieron los hombres desde las primeras etapas de la historia, como una respuesta, principalmente a las actividades productivas.

E


�

6

Desde la antigüedad, muchas respuestas a fenómenos naturales se dieron haciendo uso de la Matemática; es por esta razón que en el progreso de la Matemática influyeron la Astronomía, la Mecánica y la Física entre otras. Es así como la influencia de los problemas de las Ciencias Naturales exactas en el desarrollo de la Matemática se observa en el transcurso del desarrollo de toda la historia.

El campo de aplicación de la Matemática se está ampliando constantemente . Este crecimiento de las aplicaciones es una de las evidencias mas claras de la existencia, de la importancia y el crecimiento de las relaciones de la Matemática con otras Ciencias. La Matemática no se desarrolla sólo a la luz de otras ciencias, sino que ellas a su vez introducen, aplican los métodos matemáticos de investigación y así esta cadena de ayuda entre las ciencias se observa los grandes avances de hoy día.

Mucho más se podría decir sobre esta maravillosa ciencia la MATEMÁTICA.

Formas Geométricas en la Naturaleza

La finalidad de este documento es aportar al maestro desde una mirada pedagógica, la Historia de la Matemática.

Este documento está dividido en 6 capítulos. El primero, esta introducción que nos da una mirada de algunos aportes de la matemática, el segundo nos mostrará los períodos de la historia de la matemática; en el tercer capítulo se mostrará una serie de conceptos claves matemáticos ilustrados con algunas imágenes y como se pueden aplicar en la sala de clases; en el cuarto capítulo daremos una visión de los períodos claves matemáticos que le ayudarán para lograr en los alumnos algunos aprendizajes esperados, como por ejemplo el conocimiento y sus relaciones con los pueblos egipcios, babilonios, griegos, chinos y árabes, el siglo XVII al XVIII y los tiempos modernos, en el quinto capítulo se mostraran algunos matemáticos, su bibliografía y sus aportes y en algunos casos como se pueden analizar estos aportes en la sala de clases, en el sexto capítulo se mostrarán algunas conclusiones de este documento y el último capítulo se encontrará la bibliografía utilizada.


�

7

22.. PPEERRÍÍOODDOOSS DDEE LLAA HHIISSTTOORRIIAA DDEE LLAA MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA

uchos historiadores han dividido los períodos de la matemática desde varios puntos de vista. En este capítulo se presentarán dos visiones. La primera desarrollada por E. T. Belll en su libro Historia de las Matemáticas y el segundo

K. Ribnikov, también en su libro con el mismo nombre. Estas dos visiones nos iluminan la riqueza de esta ciencia y de los diferentes trabajos que han desarrollado algunos matemáticos, historiadores, etc.

Bell en su libro Historia de las Matemáticas, señala siete períodos, considerando esta como una división más convencional de la escala del tiempo. Estos períodos son:

1. De la época más remota a la antigua Babilonia y Egipto inclusive, 2. La contribución griega, desde cerca de los 600 años a.C., hasta

aproximadamente el año 300 de nuestra Era, siendo la mejor en el IV y III siglo a.C.

3. Los pueblos orientales y semíticos – hindú, chino, persa, musulmán, judío, etc- en parte antes y en parte después del segundo período y extendiéndose hasta el cuarto,

4. Europa durante el Renacimiento y la Reforma, aproximadamente los siglos XV y XVI,

5. Los siglos XVII y XVIII. 6. El siglo XIX, 7. El Siglo XX.

M


�

8

En la Historia de la Ciencia Matemática es notable destacar la importancia del aporte de los hindúes y de los babilonios entre dos mil a tres mil años antes de nuestra Era. De los babilonios hemos heredado hasta nuestros días el sistema sexagesimal, cuyo número básico es el 60. Además tanto los babilonios como los hindúes resolvían ecuaciones cuadráticas y otras aplicaciones que fueron divulgándose de Babilonia, India, Arabia y Grecia hasta llegar a Occidente a través de los siglos. Además se dice que los griegos fueron muy buenos sistematizadores de la cultura desarrollada por pueblos que existían entre el Tigres y el Eufrates.

Se dice que los pueblos del Cercano Oriente fueron mas activos que los europeos durante el tercero de los siete períodos. La Matemática como existen hoy, es producto principalmente de la civilización occidental .

Luego del despertar renacentista, Europa se ve convertida en el centro del mundo. De este modo, recoge todo el conocimiento acumulado en las tradiciones griegas, latinas y orientales dando forma a lo que hoy denominamos Civilización Occidental.

Pero este proceso de formación estuvo marcado por una serie de cambios, tanto en la forma de ver el mundo, como en los aspectos científicos, culturales y políticos.

Un motor de este cambio fue el nacimiento del Racionalismo, tendencia filosófica que propugna el conocimiento de las cosas mediante la razón, mas allá de lo que hayan dicho o supuesto los autores antiguos.

Así, el "Pienso, luego Existo", de Descartes acarreó una serie de transformaciones desde el cuestionamiento a las teorías físicas y metafísicas hasta el ordenamiento social imperante.

En el ámbito de la Matemática, con Newton y Leibniz nace el Cálculo Infinitesimal, fundamental para el desarrollo Científico y Tecnológico actual.

Del mismo modo se sistematizan los procesos de investigación dando lugar a una serie de descubrimientos que afectaron la medicina, la química y prácticamente todas las áreas del saber.


�

9

Cada uno de estos períodos está marcado por hechos históricos, y cada uno de ellos aporta a la madurez y una ayuda para el siguiente período que influyen en la creación de este extendido, curioso y entretenido desarrollo del pensamiento matemático.

Las siguientes imágenes nos ayudan a visualizar el aporte de las matemáticas desde los tiempos mas

remotos

Ríbnikov, en su libro nos indica que en la historia de las matemáticas pueden distinguirse períodos aislados diferenciados uno del otro por una serie de particularidades y hace referencia a los períodos indicados por A.N. Kolmogórov, el cual diferencia los siguientes períodos:

1. Nacimiento de las Matemáticas. Este período se prolonga hasta los siglos VI-V antes de nuestra era, es decir hasta el momento cuando las matemáticas se convierten en una ciencia independiente que tiene un objeto y métodos propios.

2. El período de la Matemática Elemental. Se prolonga desde los siglos VI-V antes de nuestra era hasta el siglo XVI de nuestra era inclusive

3. Período de formación de la Matemática de Magnitudes Variables. El comienzo de este período está representado por la introducción de las magnitudes variables en la geometría analítica de Descartes y la creación del cálculo diferencial e integral en los trabajos de Newton y Leibniz.

4. Período de la Matemática Contemporánea. En estos tiempos han aparecido muchas teorías matemáticas nuevas. El contenido del


�

10

objeto de la Matemática se ha enriquecido en tal forma que esto ha llevado a una estructuración y cambio de la totalidad de sus problemas más importantes.


�

11

33.. AALLGGUUNNOOSS CCOONNCCEEPPTTOOSS CCLLAAVVEESS

En este capítulo presentaremos algunas definiciones e ideas sobre algunos conceptos matemáticos.

MATEMÁTICA

Existe consenso en definir la Matemática como una Ciencia, pero al leer las distintas

definiciones se puede apreciar desde las que destacan el aspecto formal, abstracto, puro de esta disciplina, hasta las que solo hacen mención a sus aplicaciones. Algunas de estas definiciones han sido:

GAUSS, Carl F.: Es la reina de las Ciencias, y la Aritmética es la reina de las

Matemáticas

HOGBEN, Lancelot: es un método que permite descubrir y expresar, de la manera más económica posible, reglas útiles de razonamiento correcto sobre cálculos, medidas y formas.

BELL, Eric: Es la ciencia y la sirvienta de la ciencia

ARISTÓTELES : Es la ciencia de la cantidad.

DESCARTES, René: Es la ciencia del orden y de la medida

PIERCE, Benjamin: Es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias

RUSSELL, Bertrand: Es la materia en la que nunca se sabe de qué se habla ni si lo que se dice es cierto.

La Matemática nos permite incluso el acceder a

situaciones imposibles, como la de la figura adjunta.


�

12

NÚMERO

Para el matemático el número es un ente abstracto que nunca terminará de conocerse y para esto cada uno debe profundizar en su conocimiento para que le de un motivo de goce y crecimiento. Pero es importante darse cuenta que el número, para que tenga sentido, se expresa en unidades: metros, habitantes, años, dulces, goles en un partido, etc.

A continuación podemos ver cómo los babilonios, egipcios, griegos, hindúes, árabes y mayas representaban los números.

Números Babilonios

Números Egipcios

Números Griegos

Números Indúes


�

13

Números Árabes

Números Maya

ARITMÉTICA

Tiene su origen en el pueblo griego. Aritmética significa: ARTE DE CALCULAR. Si se analiza el significado de la palabra, se puede decir que deriva del sustantivo “ARITHMOS”, que significa número, modificado por “ TECHNE”, la cual los griegos la utlizaban para denominar al “ ARTE y la TÉCNICA


�

14

GEOMETRÍA

Etimológicamente la palabra

Geometría significa “medida de la tierra”, está formada por dos raíces griegas.

geo = tierra y metrön= medida. Lo que hoy conocemos como

geometría tuvo su origen en Egipto, unos 3.000 años a.C. y se caracterizó por ser una Geometría intuitiva pues los hechos se aceptaban sin demostración: todos eran producto de la práctica y de conocimientos transmitidos de una generación a otra y aplicados en la construcción de grandes monumentos, como las pirámides y en la agricultura.

Estos conocimientos pasaron de Egipto a los griegos, con quienes nace la Geometría demostrativa, es decir, los hechos solo se aceptan si previamente son demostrados por medio del razonamiento.

Hacia el 280 a.C. los griegos dieron gran importancia al desarrollo de esta disciplina que, a menudo se llama Geometría Euclidiana, en homenaje al gran matemático griego

Euclides de Alejandría

Es el más prominente matemático de la antigüedad, conocido por su tratado de

Geometría “Los Elementos”.

ÁLGEBRA

El origen del álgebra es posterior a los primeros trabajos de conteo, de marcas de los pueblos primitivos. Pasaron muchos años para que el hombre alcanzara un concepto abstracto de número, que es la base fundamental para la formación del Álgebra


�

15

El concepto de la cantidad en Álgebra, es mucho más amplio que en Aritmética. En algunos textos de Al-Khowarizmi (principio del siglo IX) se percibe claramente la idea del Álgebra: en sus documentos siempre se expresan los números por medio de palabras; los números hindú-arábicos solo se usan en las figuras y en algunas notas al margen.

En álgebra, para lograr las generalizaciones, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así se puede representar el valor que cada persona le quiere asignar y por lo tanto puede representar 15, menos que 15 o mas que 15, de acuerdo a lo que se eligió. En un problema se asigna a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar en este problema otro valor diferente al que se le asignó.

Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras ; los números se utilizan para representar cantidades conocidas y determinadas, las letras se emplean para representar toda clase de cantidades ya sean estas conocidas o desconocidas.

Por otra parte las fórmulas algebraicas son la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio.


�

16

GEOMETRÍA ANALÍTICA

La geometría llegó a ser analítica a mediados del siglo XVII con la publicación de una de las obras de Descartes, La Géométrie, en la cual insinúa la idea de determinar una ecuación para un lugar geométrico dado.

La esencia de la Geometría Analítica consiste en la aplicación del álgebra al análisis geométrico mediante el establecimiento de ciertos convenios, fundamentalmente la creación de un sistema de coordenadas que permite individualizar cada punto por un par de números para la geometría plana y por tres para la geometría analítica del espacio.

La geometría analítica transformará todo el conocimiento antiguo de forma tal que ramas del conocimiento matemático que parecían diferentes, como la trigonometría, los logaritmos, los absorbió y les dio un alcance completo

René Descartes

Filósofo y Matemático francés (1596-1650), considerado el fundador de la Filosofía Moderna. Es importante para Matemática por su aporte al

origen de la Geometría Analítica. Creó el sistema de Coordenadas llamado Sistema de Coordenadas

Ortogonales o “Sistema Cartesiano”.


�

17

TRIGONOMETRÍA

En su significado literal de medida del triángulo, la trigonometría es tan antigua como Egipto, aunque desde luego en una forma muy rudimentaria. La astronomía griega necesita de la geometría esférica, y esto, combinado con la reducción de las observaciones, requería, a su vez, lo que podríamos llamar cálculo de las funciones trigonométricas.

Ptolomeo, en el siglo II d.C. resumió en su Almagesto, las características principales de la geometría esférica, e indicó un método de cálculo aproximado de senos o semicuerdas.

MENELAUS, trabajó alrededor del año 100 a.C.: en Roma produciendo seis libros de tablas de las cuerdas de un circulo

HIPARCO, trabajó alrededor de 140 d.C. realizando aportes a la matemática griega sobre las cuerdas de un circulo


�

18

44.. AAPPOORRTTEESS MMAATTEEMMÁÁTTIICCOOSS DDEE AALLGGUUNNOOSS PPEERRÍÍOODDOOSS 44..11 EEGGIIPPTTOO

i retrocedemos en el tiempo hacia más de 4.000 años a.C., veremos nacer a la orillas del río Nilo una gran cultura, que hasta nuestros días es sujeto a profundos estudios en los distintos ámbitos y disciplinas conocidas. En sí, Egipto no es mas que un oasis alargado en los desiertos africanos, desde el Mediterráneo, hasta los límites con

Nubia (Etiopía) al llegar a la primera catarata del Nilo que está inmediatamente al sur de la isla de Elefantina.

El proceso de formación de los Conceptos matemáticos y de los procedimientos regulares de solución de determinados tipos de problemas elementales abarcan un gran intervalo de tiempo. Sus comienzos datan de tiempos bien remotos, cuando el hombre pasó a utilizar instrumentos para la obtención de medios de subsistencia y al intercambio de productos de trabajo. Este período concluye con el surgimiento de formas cualitativamente nuevas del pensamiento matemático, es decir, cuando el conjunto de estos conceptos y métodos y su contenido se hicieron lo suficientemente ricos para constituir sistemas lógicamente relacionados, es decir las primeras formas primarias de teorías matemáticas, surgiendo antes del siglo VI, V a.C.

Los testimonios materiales , con los cuales se puede estudiar este período, que es el mas antiguo de historia las matemáticas, están incompletos y son escasos.

S


�

19

Pectoral egipcio Esta joya egipcia fue hallada en la tumba del faraón

Tut Anj Amón, que reinó durante la decimoctava dinastía (1330 a.C.) Es un pectoral con forma de

buitre en oro, esmalte tabicado y piedras semipreciosas

Abu Simbel

Fue construido por mandato de Ramsés II, faraón de Egipto de 1279 a 1212 a.C.. Está tallado en la blanda arenisca de la montaña.

Las formas del desarrollo de los conocimientos matemáticos en los diferentes pueblos son muy variadas, pero a pesar de las diferencias de desarrollo, es común para todos los pueblos que todos los conceptos matemáticos básicos: el concepto de número, figura, área, prolongación infinita de la serie natural, etc, surgieron de la práctica y les tomó un tiempo muy largo para perfeccionarlo.

Por ejemplo, el concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos. Comenzaron contando con la ayuda de los dedos de las manos, de los pies, piedras, etc.

Papiro de Rhind

Papiro de Moscú

El estudio de la Matemática del pueblo egipcio se estructuró principalmente sobre la

base de dos grandes papiros de carácter matemático y en algunos fragmentos pequeños. Uno de los grandes papiros se denomina el papiro matemático de Rhind y se encuentra en Londres; tiene aproximadamente 5.5 metros de largo y 0,32 metros de ancho. El otro papiro de casi la misma longitud pero de 8 cm. de ancho se encuentra en Moscú.


�

20

El papiro de Rhind es tal vez uno de los documentos escritos más antiguos que poseemos, pues tiene cerca de 4000 años. Se le considera como el primer tratado de Matemática que se conoce. El escrito comienza así: "Introducción para llegar al conocimiento de las cosas difíciles, de todos los secretos que están contenidos en las cosas…". Su autor, Ahmes fue un sacerdote que vivió probablemente entre los años 2.000 y 1700 a.C. Se puede considerar este papiro como un tratado de aritmética. Una especie de "Manual del calculista". Tiene partes teóricas, en particular sobre las progresiones, y da ejemplos de problemas algebraicos que llevan a ecuaciones de primer grado.

En buenas cuentas, no da ningún método para resolver los problemas sino que, solamente, se encuentran sus soluciones.

No se ve en ellos un procedimiento deductivo sino, únicamente muestran una especie de tablas o recetas para resolverlos. Así, por ejemplo, aparece en el papiro mencionado la costumbre egipcia de expresar toda fracción en una suma de fracciones de numerador igual a 1. De esta forma, aparece la fracción 2/47 descompuesta de la siguiente forma:

��

�

��

�

��

�

��

� ++++++++==== .

Aparece una serie de fracciones de esta forma, algunas son correctas y otras falsas. No había un procedimiento general para hacer estas descomposiciones sino que se procedía solo por tanteos.

Contiene el papiro una tabla que da la descomposición de todas las fracciones de la

forma ��

�

−−−− siendo 1< n < 49. Es decir todas las fracciones de denominador impar desde

�

�

hasta �

� .

Aparecen también en el papiro, multiplicaciones, pero usando sólo la tabla del dos. Por ejemplo, suponiendo que se trate de multiplicar 15 por 5, el desarrollo egipcio sería el siguiente:

15 · 2 = 30 (15+15) · 2 = 60 (15+15+15)�2= 90

Se observa que esta operación se reduce a una simple duplicación y a adiciones sucesivas.

Por otro lado, presenta una especie de álgebra de aspecto muy pintoresco, existiendo una serie de símbolos para representar a los actuales. En efecto, se encuentra que nuestros signos + y – estaban representados por dos piernas en actitud de caminar y dirigidas hacia la derecha e izquierda, respectivamente. Hay en esto, pues, un principio de dirección, de un sentido geométrico. El signo de la incógnita estaba representado por un montón o bien por un ibis escarbando el suelo. La igualdad estaba representada por un escarabajo, símbolos del devenir.

Si se analiza la historia, ella cuenta que hace 3000. años A.C, encontramos en Egipto un sistema decimal denominado "Sistema de agrupación simple”, el cuál poseía signos especiales para la unidad, decena, centena, unidad de mil, decena de mil, centena de mil y millones. Al parecer no contaban con un símbolo para el cero porque tenían la intuición y dejaban en blanco el lugar donde nosotros escribimos el " 0".

Los egipcios en un período escribían con símbolos y lo repetían tantas veces como fuera necesario y en otro escribieron con jeroglíficos.


�

21

Los jeroglíficos de los años 3500 a.C. registraban cifras del orden de cientos de millar. Este sistema presentaba un gran inconveniente que aunque se quisiera escribir números pequeños de cifras, estos exigen una gran repetición de símbolos, provocando la equivocación repetida de los cálculos de los escribas.

Número 12.345 en numeración jeroglífica

El sistema de numeración jeroglífico egipcio fue descifrado fácilmente; el principio en que se basa, tan antiguo como las pirámides por lo menos data de hace unos 5.000 años y está estructurado en una escala numérica de base 10

Al escribir con símbolos, los egipcios escribían agrupando aditivamente estos símbolos que para la escritura el símbolo se repetía tantas veces como fuera necesario.

Numerales Egipcios que mediante un símbolo

representa un número

Los egipcios solían ser un pueblo notablemente exactos al contar y medir. Las pirámides muestran un grado de precisión, tanto en su construcción como en su orientación.

El sistema de numeración sigue siendo, desde luego, decimal, pero el tedioso principio repetitivo de la numeración jeroglífica se ve reemplazado por la introducción de cifras o signos especiales para representar los dígitos y los múltiplos de las potencias de diez. Este principio de notación cifrada, introducido por los egipcios hace 4000 años y utilizado en el papiro Rhind, representó una contribución importante a los sistemas de numeración y es uno de los factores que hace que el sistema que utilizamos hoy en día sea un instrumento tan eficaz como es.

En el caso de la Geometría entre los egipcios, no tuvo desarrollo teórico, sino que fue más bien empírica; no se aprecia algún tipo de razonamiento deductivo, pero esto no es de ninguna manera criticable puesto que es una etapa natural por la que ha tenido que pasar el intelecto humano.


�

22

Problemas matemáticos planteados en los papiros egipcios

En el papiro de Rhind (siglo XVI a.C.) se incluyen 110 problemas que se refieren a cuestiones de la vida diaria. Mostramos a continuación algunos ejemplos.

1. Se pide repartir 700 panes entre cuatro personas de manera proporcional a

�

�

�

�

�

�

�

� �� .

♦ La solución planteaba la suma de las cuatro fracciones, obteniendo (en notación moderna)

�

� , luego tomaron el inverso multiplicativo, �

� de 700,

o sea 400 y finalmente consideraron los �

�

�

�

�

�

�

� �� de 400,

obteniendo las cantidades �

�

�

�� , valores

efectivos de la repartición.

2. En una pirámide está grabado el número 2.520.

¿Qué característica tiene este número?

♦ Es el menor número natural que es divisible por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 al mismo tiempo.

3. Continuando con el tema de la “reparticiones”, también se pide descomponer un cuadrado cuya área es 100, en dos cuadrados proporcionales a

�

�� .

♦ Considere dos cuadrados de lados 1 y �

� . La suma de sus

áreas es �

��

�

� ====++++ y por lo tanto sus lados miden

�

� . Como los lados del cuadrado mayor miden 10, o sea 8 veces mayor que

�

� , los lados de los otros dos cuadrados también

serán 8 veces mayor, o sea: ��

� ====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ y .

Un par de estos problemas:

� Repartir 100 panes entre 5 personas según una progresión aritmética, de modo que la suma de las dos primeras cantidades sea

�

� de la suma de las últimas tres.

� Repartir 10 partes de cebada entre 10 personas de manera tal que la diferencia entre lo que reciba cada una sea de

�

� .

Y una curiosidad: “siete casas, 49 gatos, 353 ratones, 2.401 espigas y 16.807 granos (note que las cantidades son la potencias �� ) da 19.607 elementos (la potencia � ).


�

23

4.2 BABILONIA

ajo esta denominación se engloban los Estados situados entre el Tigris y el Eufrates y que existieron desde el año 2000 a.C. hasta el año 200 a.C.

Esta tablilla lleva, en columnas alineadas, típicas de una tabla, primero un número N y luego su raíz. Es a todas luces una tablilla escolar; el reverso lleva un

ejercicio literario. (Época prebabilónica, Nippur)

Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto a Matemática se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho más resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillas conservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto. Al igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen únicamente problemas concretos y casos especiales, sin ningún tipo de formulación general, lo que no quiere decir que no existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas no pudieron deberse al azar.

B


�

24

Sistema de numeración usado por los babilónicos. Observe que con dos símbolos forma 59 números

Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, basta como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas.

Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división. Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la solución para ecuaciones de la forma x2 + px = q, p>0, q>0 y también ax2 + bx = c mediante el cambio de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algorítmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas. Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos geométricos, terreno éste, en el que también superaron a la civilización egipcia, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de pi igual a 3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.


�

25

Problemas Matemáticos descubiertos en tablillas babilónicas Los arqueólogos han descubierto más de 500.000 tablillas cuneiformes, entre las

cuales ha sido posible reconocer problemas matemáticos de la vida diaria: préstamos, intereses, geometría, etc. Veamos algunos:

��

��

��

��

1. Se tiene un rectángulo de área 600. Si se multiplica por sí misma la diferencia entre el largo y el ancho, y este resultado se multiplica por 9, se obtiene como producto la superficie de un cuadrado cuyo lado mide el largo del rectángulo. Se pide determinar el largo y el ancho.

♦ Para resolver este problemas se debe plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

(((( )))) ��

��

====−−−−====

El cual da como solución x = 30 e y = 20.

��

��

��

��

2. Una viga de 30 unidades de longitud se apoya verticalmente contra una muralla. Si su extremo superior se ubica a 6 unidades por debajo ¿En cuántas unidades se desplaza el otro extremo de la viga? (Hay que hacer notar que en esta época aún no se había deducido el Teorema de Pitágoras).

♦ Ahora, aplicando este Teorema se obtiene: �� ====++++

�� ====

3. Una cierta región se encuentra formada por dos cuadrados, siendo su área total de 1.000. Se sabe que la longitud del lado de uno de los cuadrados mide 10 unidades menos que

�

� la longitud del lado del otro cuadrado.

Determinar la longitud de los lados de cada cuadrado.

��

��

��

��


�

26

4.3 CHINA

unque la civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los

nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, sistemáticos y ordenados de manera lógica.

Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos.

El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, transformándolos en ceros de manera escalonada.

La invención de la escritura china se

atribuye a Fu-Shi, emperador legendario que vivió hace 5 milenios.

A


�

27

Sistema de numeración decimal chino

Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.

“Espejo precioso” o Triángulo de Pascal

Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la Edad Media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao . El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.

No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.

Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento.

Nueve Capítulos sobre el Arte de las Matemáticas

Este es el nombre de uno de los más

antiguos textos de Matemática, su versión más conocida data del IIº a.C., en él se incluyen 246 problemas prácticos, ecuaciones de dos o más incógnitas y el teorema “Gou – Gu”, conocido en Occidente como Teorema de Pitágoras.

Veamos algunos de estos problemas.

Tapa de la versión más conocida de los “Nueve capítulos sobre el Arte de la Matemática


�

28

1. Una aplicación del Teorema “Gou-Gu” es el problema del bambú quebrado: Una vara de bambú de 10 “chi” de alto de manera tal que su extremo superior toca el suelo a 3 “chi” de la base.

¿Cuál es la altura de la parte de la vara de bambú que queda erguida?

Para solucionar este problema es necesario plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

��

��

====++++

====++++ cuya

solución es

4,55 “chi” de altura ��

�

��

�

2. Se dispone de un cierto número de monedas: si las repartimos de tres en tres nos sobran dos; si las repartimos de cinco en cinco nos sobran 3 y si las repartimos de 7 en 7 nos sobran dos ¿Cuántas monedas son?

Respuesta: 23 monedas

3. Los “cuadrados mágicos” parecen ser una invención de los chinos. En la figura de la izquierda se muestra uno de los más antiguos que se conoce, atribuido al emperador Yu (2200 a.C.), que lo habría visto dibujado sobre la caparazón de una tortuga.

Los círculos negros representan a los números par y los círculos blancos a los impar.

El número mágico es 15, pues se observa que la suma de la cantidad de círculos da esa cifra si se hace en forma vertical, horizontal o en cualquiera de las dos diagonales.


�

29

4.4 INDIA

as civilizaciones de China y de la India son mucho más antiguas que las de Grecia y Roma, aunque no más que las que surgieron en los valles de Mesopotamia y del Nilo; ambas se remontan a la llamada Edad Potámica, mientras que las culturas griega y romana se desarrollaron durante la Edad Talásica. Aunque las civilizaciones que

tuvieron su cuna en las cuencas de los ríos Amarillo y Yangtze son comparables en Edad a las que nacieron a lo largo del Nilo o entre el Eufrates y el Tigris, los registros cronológicos en el caso de China son mucho menos fiables que los que existen para Egipto y Babilonia.

Las excavaciones arqueológicas que se han desarrollado en Mohenjo Daro nos muestran la existencia de una vieja civilización con un alto nivel cultural en la India, contemporánea de los constructores de las grandes pirámides egipcias, pero no ha llagado hasta nosotros ningún documento del tipo matemático de aquella época lejana.

Un milenio más tarde el país fue ocupado por los invasores arios que procedían de las altiplanicies del Irán, los cuales introdujeron el sistema social de castas y desarrollaron la literatura sánscrita.

L


�

30

La caída del Imperio Romano de Occidente se sitúa tradicionalmente en el año 476, que fue precisamente el año en que nació Aryabhata, el autor de uno de los textos matemáticos hindúes más antiguos que conocemos; esta claro, sin embargo, que debió haber actividad de tipo matemático en la India mucho antes de esta época, probablemente incluso antes de la fundación mítica de Roma el 753 a.C.

La India tuvo también, como Egipto, sus ‘tensadores de cuerda’ y los conocimientos geométricos primitivos se fueron decantando de la planificación de templos y de la medición y construcción de altares, adoptando la forma de un cuerpo de conocimiento conocido como los sulvasutras o "reglas de la cuerda".

Imagen del periodo Gupta

Al período de los Sulvasutras, que se cierra hacia el siglo II de nuestra era, le sigue la época de los Siddhantas o sistemas astronómicos.

El Paulisha Siddhanta, utiliza para pi el valor��

�� , que coincide esencialmente con el valor sexagesimal 3º 8’ 30’’ de Ptolomeo.

Aparentemente habría nacido en la India el antepasado de la función trigonométrica moderna que conocemos como el seno de un ángulo. Y la introducción de esta función seno representa probablemente la contribución principal de los Siddhantas a la historia de las Matemáticas.

Durante el siglo sexto, es decir, no mucho tiempo después de la composición de los Siddhantas, vivieron dos matemáticos hindues de los cuales se sabe que escribieron libros sobre el mismo tipo de materias. El más viejo y a la vez el más importante de los dos fue Aryabhata, cuya obra más conocida, escrita hacia el 499 y titulada Aryabhatiya, es un delgado volumen escrito en verso que cubre diversos temas de astronomía y matemáticas. Hay una regla en el Aryabhatiya que señalan con orgullo los historiadores hindues de la matemática, que es la siguiente: Suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62000. El resultado te da aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20000.

No se sabe exactamente de qué manera efectuaba los cálculos Aryabhata, pero hay una clara indicación en sus descripciones de que en su mente estaba de una manera consciente la aplicación del principio posicional. La idea de "valor local o posicional" había sido ya un elemento absolutamente esencial del sistema de numeración babilónico, y quizás lo que los hindues hicieron fue darse cuenta de que esta idea era aplicable también al sistema de notación decimal para los números enteros, que ya se estaba usando en la India. De los numerales cifrados del sistema Brahmi a nuestra notación moderna para los números naturales hay apenas algunos pasos.


�

31

Con la introducción del décimo numeral en el sistema de numeración hindú para representar el cero, en la forma de un redondo huevo de oca, quedaba completo el moderno sistema de numeración para los enteros.

Srinivasa Ramanujan fue uno de los grandes Matemáticos Hindúes. Contribuyó de manera

sustancial al análisis numérico y trabajó en funciones elípticas, fracciones continuas y series infinitas.

Otras múltiples aplicaciones a la Matemática fueron desarrolladas por los hindúes: aplicaciones a la trigonometría, métodos para multiplicar y dividir, soluciones generales de ecuaciones cuadráticas, primera aparición en matemática de números positivos y negativos, etc. Con posterioridad al siglo XII d.C. y durante varios siglos, fueron muy pocos los matemáticos notables, salvo Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920).

Problemas Hindúes

1. A una dama se le cortó un collar de perlas, de las cuales un tercio cayó al suelo, un quinto quedó sobre la cama, ella recuperó un sexto y su sirvienta un décimo. Si en el hilo solo quedaron seis perlas ¿Cuántas perlas había en el collar?

Solución: ��

�

�

�

�

�

�

�� ++++= o sea 30 perlas.

2. El rey llevó un sexto de los mangos que había en una canasta, la reina un quinto del resto y los tres príncipes se llevaron respectivamente un cuarto, un tercio y un medio de los que iban quedando en la canasta. Si al príncipe más joven le correspondieron solo tres mangos ¿Cuántos había en la canasta originalmente?

Solución: 18 mangos


�

32

44..55 GGRREECCIIAA

a actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y Mesopotamia ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con una fuerza indescriptible nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ella, la cultura helénica fue la

principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que las civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas.

El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.

En los matemáticos de esta época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de la matemática que obtuvo la denominación de "logística".

Tales de Mileto (624 – 547 a.C.)

Símbolos numéricos griegos

A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...

Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo,

L


�

33

de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades generales de las operaciones con números naturales. En esta época ya resultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.

Pitágoras de Samos

(569 – 475 a.C.)

En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica.

Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).

Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría de la divisibilidad.

La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita.

Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.


�

34

Construcción axiomática de las Matemáticas. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.

Imagen de “Elementos” de Euclides

El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras una de las obras matemáticas más impresionante de la historia: Los “Elementos” de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.


�

35

Métodos infinitesimales. En la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia Antigua, muy temprano se específico una clase de problemas para la solución de los cuales, era necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad, etc.

Demócrito (460 – 370 a.C.)

Algunas escuelas buscan la salida de estas dificultades en la aplicación a la matemática de las ideas filosóficas atomistas. El ejemplo más notable lo constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a esta concepción. Otro de los métodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo y aplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas, búsqueda de subtangentes...

Durante la época de Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica.

Euclides

(325 – 265 a.C.) Arquímides

(287 – 212 a.C.)

Apolonio

(262 – 190 a.C.)

Euclides, Arquímedes y Apolonio sobresalieron por encima de todos los de su tiempo y sus obras son las que han hecho que se denomine como "Edad de Oro" de la matemática al periodo comprendido entre los años 300 y 200 a.C. Tras ellos se entró en un lento declive de forma que los resultados perdieron generalidad, haciéndose cada vez más particulares y especiales.


�

36

Problemas Griegos

La cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo son los tres problemas clásicos de la Grecia antigua, que aún hoy no encuentran solución:

1. Cuadratura del círculo: se trata de construir, con regla y compás, un cuadrado de área igual a la de un círculo. En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindeman demostró que era imposible construir ππππ

ππππ====��ππππ==== ��

�� ====��====

2. Duplicación del cubo: el rey Minos de Creta, descontento con el tamaño de la tumba de su hijo, de forma cúbica, ordenó que se duplicara su volumen. Este problema consiste entonces en construir, con regla y compás, un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen de un cubo original.

Como se trata de construir un segmento de longitud múltiplo de � � , esto es imposible con los instrumentos propuestos.

3. Trisección del ángulo: La idea consiste en dividir un ángulo en tres partes iguales haciendo uso de la regla no graduada y el compás

�� ∠∠∠∠⋅⋅⋅⋅====∠∠∠∠


�

37

44..66 PPUUEEBBLLOOSS ÁÁRRAABBEESS

a matemática arábica se desarrolla desde Irán e Irak, pero dependió mucho de las conquistas militares. También se extendieron a través del oeste de Turquía y Norte de África, incluyendo parte de España y también parte de los bordes de China.

Este es un período importante, luego de un período brillante para las matemáticas, cuando los griegos dieron los pasos a la fundación de la matemática moderna, siendo el período de estancamiento europeo sobre los griegos hasta comienzos del siglo XVI.

El desarrollo del conocimiento matemático comienza en Baghdad alrededor del año 800. En este período recibieron una fuerte influencia de la matemática hindú, la cuál desarrolla en forma muy temprana el sistema decimal y numeral. El progreso matemático quedó marcado con los aportes de los trabajos de al-Khwarizmi’s, especialmente el trabajo con los textos griegos.

L


�

38

Ellos tradujeron al árabe y al persa el álgebra hindú; y como el árabe era un idioma importante no sólo para los eruditos, sino también en el comercio y en la guerra, el álgebra griega e hindú, simplificada, y en cierto modo sistematizada por los árabes, sirvió para penetrar en Europa.

El más recordado de los matemáticos árabes es Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, conocido también como el padre del álgebra: De su vida se conoce muy poco, se dice que vivió en la primera mitad del siglo IX y que trabajó en la biblioteca del califa al-Mahmum. En uno de los libros que escribió explica la derivación del significado de las palabras “ Algoritmo” y “ Algebra”.

Algunos matemáticos árabes que hicieron grandes aportes y que son desconocidos son los siguientes: al-Haijjaj, al-Kindi, al-Qalasadi, al Banna, al-Karaji, al Haytham.

Numerales de al-Sizji, de 969 d.C.

El segundo de los tres sistemas era el sistema sexagecimal, con números denotados por letras del alfabeto árabe. El origen comienza con los babilonios y fue frecuentemente usado por los matemáticos árabes en los trabajos de astronomía.

al-Banna al-Marrakushi's: forma de los numerales


�

39

Problemas árabes

1. Al-Khwarizmi habría inventado este método geométrico de “Completar Cuadrados”, para resolver ecuaciones de segundo grado.

Por ejemplo, dada la ecuación �� ====++++ la soluciona formando un

cuadrado como el que aparece en la figura de la derecha.

Observe que dicho cuadrado corresponde al trinomio �� ++++++++ .

Por lo tanto, en la ecuación �� ====++++ se debe agregar 25 a cada

miembro de la igualdad: �� ====++++++++ , y así tendremos una igualdad de dos cuadrados:

( ) �� =+

de donde es fácil deducir que �� ====++++ , o sea que la solución (una de ellas) es �� ====

2. “Si me das un camello tendremos igual número de ellos” le dice un camellero a otro.

“Pero si tú me das uno, yo tendré el doble que tú” le responde el otro.

Decidme doctor matemático ¿Cuántos camellos tiene cada uno?

La solución a este problema se obtiene al solucionar del sistema:

( )��

��

−=+−=+

de donde se obtiene que x = 5 e y = 7, o sea que el primer camellero tiene 5 camellos y el otro tiene 7.

3. Ubicados frente a frente, a ambas orillas de un río hay dos árboles. Sus alturas respectivas son de 20 y 30 codos. La distancia entre los troncos es de 50 codos.

Desde lo alto de cada árbol, dos pájaros se lanzan sobre un pez que aparece en la superficie del agua, llegando simultáneamente a alcanzarlo.

¿A qué distancia de cada tronco de árbol apareció el pez?

Solución: 30 y 20 codos respectivamente


�

40

4.7 SIGLOS XVII Y XVIII

urante estos siglos, el mundo va a sufrir una crisis en la que colaboraran, influyéndose mutuamente, factores culturales, biológicos, económicos y políticos.

El aspecto más positivo de estos siglos reside en su aportación científica, aunque no existe especialización. De ahí que una misma persona pueda cultivar diversas ramas del saber.

El conocimiento es racional y desde el punto de vista metódico. Los métodos discursivos y librescos fueron sustituidos por la observación y la experimentación. En efecto, la ciencia se revolucionó con las ideas del inglés Francis Bacon (1581-1627) sobre la adecuada organización de las ciencias. La filosofía se hará en el estricto racionalismo y prescindirá no sólo de las creencias escolásticas, sino también de las opiniones de los antiguos filósofos. Es, pues, una rotura con el sistema escolástico basado en Aristóteles y la Revelación.

El Barroco matemático Se denomina así al período que va desde la muerte de

Viète, acaecida en 1603, hasta la fecha del nacimiento del matemático suizo Leonhard Euler, en 1707.

Durante este período se va a crear la Geometría analítica; los números indo-arábigos desplazarán definitivamente a los números romanos; progresará la notación y se inventarán los logaritmos y el cálculo infinitesimal.

Todos estos progresos harán posibles los de la física.

Progresos científicos Las ideas que detallo el inglés Bacon sobre la adecuada

organización de las ciencias van a ser utilizadas durante este período. Estas ideas consistían básicamente en los pasos siguientes:

1. Había que reunir tantos hechos o datos como fuera posible

2. Disponerlos en orden lógico para formar una hipótesis o teoría

3. La teoría o hipótesis debe comprobarse mediante la experimentación

En 1680, el inglés Isaac Newton enuncia la Ley de Gravitación Universal.

El italiano Galileo Galilei, quien inventó el termómetro y desarrolló el telescopio y el microscopio propone su teoría sobre la caída de los graves.

El francés Blaise Pascal, escribió dos tratados, uno sobre el equilibrio de los líquidos en el cual expone el principio que lleva su nombre y que dice: “Toda presión ejercida sobre un líquido es transmitida íntegramente a todos los puntos de su masa y actúa

D


�

41

perpendicularmente sobre las paredes que lo contienen”; y el otro sobre el peso de la masa de aire.

El inglés Robert Boyle, quien, además de iniciar en química el empleo del tornasol, perfeccionó la máquina neumática y formuló la ley que lleva su nombre unido al del francés Mariotte, y que dice: “La presión de una masa fija de un gas por el volumen que ocupa es una constante para cada valor de la temperatura”.

El alemán Otto von Guericke inventó la máquina neumática, una balanza para pesar el aire, un barómetro, una máquina electrostática y realizó el célebre experimento de acoplar por los bordes dos hemisferios huecos de cobre e hizo el vacío en la esfera resultante intentando separarlos por tracción, lo que no consiguió pese a haber enganchado varios caballos a cada uno. Sin embargo, al abrir la llave para que entrase el aire se separaron ambas piezas sin el menor esfuerzo.

El italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) expuso la regla que lleva su nombre para calcular la velocidad de salida de un líquido por el orificio de un vaso; inventó el barómetro de cubeta, creando por primera vez un vacío absoluto en el tubo barométrico.

Mecánicas para acelerar el trabajo de cálculo

Uno de los medios de que se valió el hombre para hacer sus cálculos fue el ábaco. Desde los tiempos más antiguos esta invención se transmitió de civilización en civilización. Todavía hoy, el ábaco es un computador muy corriente en algunos pueblos de Asia, en donde no es muy difícil encontrar personas que calculan mas de prisa que los oficinistas con las máquinas calculadoras.

Durante el siglo XVII fue muy popular el invento del escocés John Napier (1550-1617) para multiplicar, conocido como rodillos de Napier. Pero mucho más importante para la matemática fue lo que hoy conocemos con el nombre de Logaritmos. Un logaritmo es el exponente a que hay que elevar un número para obtener otro número. Al familiarizarse con ellos se abrevian considerablemente los cálculos de productos, cociente, potencias, raíces y operaciones combinadas de las anteriores. Esta fue la intención de Napier, el mismo que empleó por primera vez la coma decimal.

En esencia, Napier, mostró que todo número puede expresarse en términos del número 10, elevado a tal o cual potencia. Es decir, de la misma manera que 1000 = 103, 2 es 100.3010300.


�

42

Debido a su avanzada edad, no pudo llevar a la práctica sus ideas, que fueron recogidas por Henry Briggs (1561-1639).

Mientras Briggs se ocupaba de dichas tablas, John Speidell calculaba los logaritmos naturales o neperianos de las funciones trigonométricas. Este sistema de logaritmos, que tiene por base el número "e", aparecen publicados en la obra de Speidell titulada Nuevos Logaritmos y que fue publicada en 1619.

Otra de las maravillas mecánicas para acelerar el trabajo del cálculo durante este siglo es la fantástica máquina inventada por Blaise Pascal, quien además hizo algunos aportes importantes a la matemática.

El progreso Notacional El simbolismo matemático ha ido evolucionando a lo largo del

tiempo. La operación de dar el oportuno símbolo a un ente, o una relación o combinación entre ellos se llama Notación.

Durante este siglo XVII, fue introducido el signo de x para la multiplicación por el clérigo inglés William Ouglthed (1574 - 1660) y el flamenco Simon Stevion (1548 - 1620), el mismo que popularizó la utilización de las fracciones decimales mediante su obra Décimo o De Thiende, impresa en 1585, formuló el convenio de que 1/3 dentro de un círculo significaría una raíz cúbica y que 3/5 en un círculo representaría la raíz quinta del cubo.

Descartes popularizó el símbolo = de Recorde y utilizó x2 en vez de xx.

John Wallis utilizó el signo para designar el infinito.

No obstante, el mayor creador de notación es Leibniz, quien propuso el símbolo para la integral. Que es una s alargada inicial de la palabra suma, dx y dy para diferenciales o diferencias más pequeñas posibles. Además es el primer matemático relevante que emplea el signo “�” y “:” para multiplicar y dividir; el signo ~ para designar "semejante a" y para "es congruente con".

Un gran pensador: René Descartes (1596 - 1650) La gran influencia de los jesuitas en el barroco fue muy grande y se manifestó

igualmente en el terreno del pensamiento y la educación que en el del arte y la literatura.

En la enseñanza, los jesuitas no querían formar monjes alejados del mundo, sino laicos que sirvieran fielmente a la Iglesia, lo cual motivó su empeño en instruir las ciencias profanas, adaptándose de esta forma al espíritu de la época.


�

43

En sus cuadros de enseñanza figuraban el estudio fundamental de los idiomas y de los escritores de la antigüedad, la Matemática, la Teología y la Filosofía. Toda esta serie de conocimientos, se armonizaba en los discípulos de los jesuitas. En el colegio de jesuitas de La Flèche, se educó el francés René Descartes, quien en 1616 se licencia en derecho por la Universidad de Poitiers.

No satisfecho con los conocimientos adquiridos e independiente en su posición económica, Descartes cerró los libros para dedicarse el estudio del mundo. Después de probar brevemente la vida en sociedad, concretamente la parisina, se convierte en soldado en 1617.

Mientras fue soldado se convenció de que el mundo necesitaba una fórmula que disciplinara el pensamiento racional y unificara el conocimiento.

En ninguna parte encontraba Descartes la seguridad y certeza de los resultados que perseguía, sólo la matemática colmaban semejante aspiración. Por eso, él mismo dice: "Cuando era soldado, pasaba la mayor parte del tiempo con la cabeza y las orejas en el estudio de las matemáticas."

Esta rama del conocimiento le gustaba, debido a la certidumbre de sus pruebas y a la evidencia de sus razonamientos.

Esta visión de Descartes originó la doctrina de que todo conocimiento, tanto pasado como futuro debía elaborarse en términos de razonamiento matemático. De este modo es como Descartes propone a los intelectuales contemporáneos que dejaran de fiarse tan ciegamente de las ideas antiguas y empezaran de nuevo a tratar de explicar la Naturaleza a través de un esquema científico deductivo.

Esta filosofía la explicitó en una publicación que después la suprimió como deferencia a su fe católica, ya que suscribía con ellas las ideas de Copérnico en torno al Universo. A causa de que París no le ofrecía el reposo necesario para recoger sus pensamientos, en 1629 se traslada a Holanda. Allí vivirá veinte años. En 1637, publicó su Discurso del Método para dirigir correctamente la razón, conocida también como el Método. Esta obra, que será fundamental en la filosofía, lo situará como uno de los grandes pensadores del Barroco. No obstante, su filosofía despertó, en los partidarios de la doctrina medieval un odio que se transformó muy pronto en prohibiciones y persecuciones personales. Debido a ello y a una invitación de la Reina Cristina de Suecia, abandonó su residencia de los países bajos y se trasladó a Estocolmo en 1649.

Debido a la crudeza del clima y a su débil salud, enfermó y falleció en 1650 en esa misma cuidad.


�

44

Las reglas cartesianas para una buen método Los filósofos griegos se habían preguntado por la posibilidad

y naturaleza de nuestro conocimiento, pero predominantemente estas cuestiones tenían para ellos, así como para los filósofos medievales, un matiz ontológico: al preocuparse del problema de conocer, cuyos polos son el sujeto que conoce y el objeto conocido, se fijan más en el segundo que en el primero.

La filosofía moderna se centra en el sujeto cognoscente. Aunque el interés por este problema comienza con Descartes, Leibniz, Loake, Berkeley, Hume y algún otro, solo tomará casi exclusivismo con Immanuel Kant, como veremos más adelante.

Descartes quiere construir una ciencia sobre las cosas que sean absolutamente ciertas, una filosofía en la que no quepa ninguna duda, para ello debe utilizar un método (del griego: camino).

Nosotros la podemos definir, aquí, como el camino que conduce nuestra inteligencia a la verdad. Descartes da cuatro reglas para un buen método :

a) Partir de principios claros y evidentes.

b) Dividir cada una de las dificultades que se examinan, en cuantas partes sea posible.

c) Conducir ordenadamente los pensamientos, empezando por los objetos más simples para ascender hasta el conocimiento de los más compuestos.

d) Hacer revisiones generales para estar seguro de no omitir nada.

La Geometría Descartes concluyó su obra con tres ejemplos concretos sobre como podía ser

aplicado. Los dos primeros pretendían explicar el comportamiento de las lentes y el movimiento de los astros. El tercero, un extenso apéndice de 106 páginas fue La Géométrie.

Aunque La Géométrie es un tratado teórico sin ninguna intención práctica, jugará un papel trascendente en el futuro de la matemática. Su influencia originará la geometría analítica, cuyos problemas fundamentales son:

a) Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico que representa.

b) Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.

En esencia, la geometría analítica consiste en la aplicación del álgebra al análisis geométrico mediante el establecimiento de ciertos convenios, fundamentalmente la creación de un sistema de coordenadas que permite individualizar cada punto por un par de números para la geometría analítica plana y por tres números para la geometría analítica del espacio.

A partir del concepto de coordenadas, esta nueva rama matemática dará a los matemáticos un nuevo enfoque para el tratamiento de la información matemática.


�

45

La geometría analítica transformará todo el conocimiento antiguo de forma tal que ramas del conocimiento matemático que parecían diferentes, como la trigonometría y los logaritmos, las absorbió y les dio un alcance mas completo. Gracias a su desarrollo derivará un concepto fundamental para las matemáticas, como es la idea de funciones y variables, las cuales tendrán, también, una gran utilidad para la experimentación. El científico experimental puede transformar los resultados de una experiencia en una ecuación y después representarla o viceversa. Si después al repetir la anterior experiencia con mucho cuidado para que las condiciones no varíen, obtiene la misma ecuación, puede llegar a formular una ley que puede interpretarse por medio de palabras e ideas.

Una vez enunciada dicha ley, puede combinarla con otras fórmulas para sugerir nuevas posibilidades.

Además, la geometría analítica, al permitir una gran amplitud de puntos de vista, no sólo dará buenos resultados en otras ramas matemáticas, como por ejemplo la geometría proyectiva, sino que será responsable en buena parte del origen de la rama matemática que conocemos hoy con el nombre de análisis, la cual abarca gran parte de las matemáticas inventadas desde la época de Descartes, y que en su aceptación más general comprende la aritmética.

Por último, se debe poner en manifiesto que la Géométrie tenía dos inconvenientes, a saber: Había sido publicada en francés y, además era una obra de difícil comprensión para la mayoría de los contemporáneos de Descartes, debido a que éste omitió en ella muchos detalles elementales.

Evolución de la Geometría Analítica

Los inconvenientes señalados fueron superados cuando el profesor de matemáticas holandés Frans van Schooten (1615 - 1660) hizo imprimir, en 1649 una versión en latín de La Géométrie, ampliada con unas aclaraciones tales como las demostraciones realizadas por Debeaune de que las ecuaciones �� ++++==== ;

��! � � ++++==== ; �� −−−−==== , representan, respectivamente, hipérbolas, parábolas y elipses.

Esta obra titulada Geometría por René Descartes volvió a aparecer en 1659 en una segunda edición nuevamente ampliada con la obra de Jan Witt (1629 - 1673) titulada Elementa curvarum, en la que reduce todas las ecuaciones de segundo grado, x e y a formas canónicas.


�

46

Pero sin lugar a dudas, uno de los que más contribuyeron en la evolución de la geometría analítica fue el mejor discípulo de Schooten, es decir, Christian Huygens (1629 - 1659), el cual al hallar los puntos máximos y mínimos y el punto de inflexión logro ser uno de los primeros en dibujar una curva correctamente.

El interés de Huygens por los relojes de péndulo le condujo a hacer investigaciones sobre la involutas y evolutas. Las cuales aparecen expuestas junto a importantes resultados de mecánica en su obra Horolagium Oscillatorium, publicada en 1673 y que tendrá una cierta influencia en la obra The Principia, de Newton.

Otra contribución muy importante fue la del francés Pierre Fermat (1601 - 1665) con su obra titulada Introducción a los lugares geométricos planos y sólidos, que no fue publicada en vida de su autor, pero que circuló en forma manuscrita.

En ella, emplea Fermat una geometría analítica más próxima a la que utilizamos en la actualidad que a la de Descartes.

No obstante, al igual que Descartes, no utiliza abcisas negativas e intuye la posibilidad de una geometría analítica de más de dos dimensiones.

Si a Schooten se le suele considerar como el impulsor de la geometría analítica en el continente europeo, en Inglaterra lo fue el catedrático de Geometría de Oxford John Wallis (1616 - 1703), quien en 1655 publicó Tractary de Sectionibus Conics, en la que da las definiciones de la elipse y de la parábola como lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación de segundo grado con dos variables y además reemplaza sistemáticamente los conceptos geométricos por los aritméticos.

En 1691, en la revista Acta eruditorum aparece un trabajo del suizo Jacques Bernoulli (1654 - 1705), en el que utiliza las coordenadas rectangulares y polares.

La geometría proyectiva La parte de la geometría que estudia las propiedades que se conservan en una

proyección se denomina geometría proyectiva. El iniciador de esta rama fue el francés Girad Desargues (1591 - 1661), quien en 1639 publica su obra Borrador de un ensayo que trata de los encuentros de un cono con un plano. En esta obra Desargues aceptó la idea de Kepler de que la parábola tiene un foco en el infinito y que dos rectas se cortan en el infinito. Un cilindro, por ejemplo, es para Desargues un cono cuyo vértice está en el infinito.


�

47

Las ideas de Desargues no recibieron una buena acogida y quizá influyo mucho en ello que su alumno con mas porvenir en la matemática, Blas Pascal, abandonó a finales de 1654 las matemáticas por la teología, y sólo volverá a los estudios matemáticos durante un período muy breve, entre 1658 y 1659.

Blas Pascal

Blas Pascal (1623 – 1662), fue un matemático francés muy precoz, ya que a los 16 años había publicado la obra titulada Ensayo de Cónicas, en donde cita a Desargues como fuente de inspiración. A la edad de 18 años cambió de actividad y diseñó su maquina calculadora.

En 1648 trabajó en la hidrostática, posteriormente volvió a escribir una obra completa sobre las cónicas, pero no llego a publicarla.

Además de estas contribuciones, participó en la fundamentación de las bases del cálculo de probabilidades, a tratar posteriormente

Los infinitesimales A finales del siglo XVI y sobre todo durante el siglo

XVII, los matemáticos para resolver problemas prácticos recurren aisladamente al razonamiento sobre lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, pero raras veces a través de las rigurosas pruebas griegas. Así, por ejemplo, el ya citado Stevin, en su obra Estática, publicada en 1586, demuestra donde está situado el centro de gravedad de un triángulo mediante su división en un conjunto de fajas infinitamente estrechas.

A pesar de que Fermat no disponía del concepto de límite, utiliza un camino muy similar al que utilizamos actualmente para este tipo de problemas. Además, Fermat, también utilizó los infinitesimales para calcular el área bajo una curva por medio de la división de la misma en rectángulos.


�

48

El alemán Johan Kepler (1571 -1630) utiliza los infinitesimales no únicamente para calcular el volumen de las cubas de los vinateros, sino también para resolver problemas relativos a áreas.

Para el italiano Galileo Galilei (1554-1642) lo infinitamente pequeño tenía gran importancia, pues lo necesitaba para su dinámica, en sus obras ya sugería el principio general: una ecuación en la que intervienen variaciones infinitesimales, pueden despreciarse porque no afectan al resultado final. Su intención de escribir una obra sobre el infinito en Matemática no lo llevó a cabo él, sino su discípulo Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647), quien publica en 1635 su obra Geometría Indivisibilis Continuorum, en que la idea fundamental es la de considerar el área formada por segmentos rectilíneos o indivisibles y un volumen sólido como un compuesto de secciones indivisibles.

Galileo Galilei

Teoría de Números El fundador de la moderna teoría de números, rama de la matemática que estudia las

propiedades de los números, fue el francés Pierre Fermat, quien no era un matemático profesional, sino un jurista, y su amplia participación en las matemáticas de su tiempo se realizó casi por completo a través de correspondencia con otros estudiosos.

Al estudiar la obra Aritmética de Diofanto, muchos de los aspectos de dicha obra le fascinaron, incluidos los números perfectos y amigos, las ternas pitagóricas, los números primos y la divisibilidad. Esta obra fue comentada por Fermat con numerosas notas al margen y tras su muerte, su hijo publicó una edición de la aritmética, incluyendo las anotaciones de su padre.

Cálculo de Probabilidades

Tartaglia

Hay fenómenos que siempre se repiten de la misma forma, por ejemplo: siempre que se deja caer una piedra desde lo alto de una torre cae al suelo con la misma velocidad. Al calentar una barra de metal, el mismo número de grados aumenta su longitud en igual cantidad.

Estos tipos de fenómenos se llaman deterministas.

En todos estos casos es posible encontrar una ley matemática que relacione las causas con los efectos producidos. Pero hay otros fenómenos que, aún realizándose siempre en las mismas circunstancias, dan lugar a resultados diferentes; por ejemplo, lanzar una moneda al aire o tirar un dado.


�

49

En ninguno de estos casos se ha podido encontrar las causas que determinan el resultado, por lo que se dice que son debidos al azar. A tales fenómenos se les denomina aleatorios, del latín aleaae = suerte, y a cada uno de los resultados posibles que puede tener cada uno de estos fenómenos se le denomina suceso.

El cálculo de probabilidades se inspiro en las preguntas de los jugadores que buscaban información para ganar en las cartas o en los dados.

Tanto Tartaglia como Cardano ya habían hecho un sagaz análisis de los problemas del juego, pero sus obras fueron olvidadas en gran parte.

Alrededor del año 1651, el caballero De Mère propuso a Pascal algunos problemas como el siguiente: En una partida de dados intervienen dos jugadores y apuestan 32 doblones de oro cada uno, así mismo elige cada uno un número distinto.

Gana el juego el primero que le salga tres veces, en tiradas alternativas, el número que previamente ha elegido. Después de un rato de juego, el número elegido por el primer jugador ha salido 2 veces y el del otro solo una vez. En ese instante, la partida debe suspenderse. ¿Cómo dividir los 64 doblones de oro apostados?

En la correspondencia que siguió a este problema, tanto Pascal como Fermat estuvieron de acuerdo en que el primer jugador tiene derecho a 48 doblones.

Precisamente de las investigaciones que Pascal y Fermat hicieron sobre las distintas situaciones del juego de dados, surgirán las bases del cálculo de probabilidades, que tanto va a influir en aspectos muy diversos de la vida moderna.

El holandés Christian Huygens, que publicó en 1657 un breve tratado titulado “Sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados”, fue quien primero se inspiro en la correspondencia de Pascal y Fermat. Sin embargo, el primer tratado importante sobre la teoría de las probabilidades fue el Arte de la Conjetura, de Jacques Bernoulli: en este trabajo se reproduce el tratado de Huygens y además contiene el teorema conocido como teorema de Bernoulli.

Conviene poner de manifiesto que de la misma manera que muchos conceptos, a lo largo de la historia de la matemática, han surgido por la observación de objetos del mundo físico, también en el cálculo de probabilidades, el concepto físico o experimental de frecuencia de un suceso dentro de una experiencia aleatoria le corresponde el concepto teórico de probabilidad de un suceso.


�

50

El análisis combinatorio Actualmente, la combinatoria, o el análisis combinatorio, tiene por objeto el estudio de

los distintos agrupamientos y ordenaciones que pueden recibir los elementos de un conjunto, prescindiendo de la naturaleza de los mismos. Las cuestiones que se suele considerar son las siguientes: Las variaciones, las variaciones con repetición, las combinaciones, las combinaciones con repetición, las permutaciones y las permutaciones con repetición.

El origen de esta rama de las matemáticas se remonta a los trabajos de Pascal y Fermat.

La expresión n! que utilizamos hoy para representar el producto de todos los números naturales desde n hasta 1, ambos incluidos es muy similar a la expresión m!! que empleo John Wallis para representar el producto m(m-1)… que termina en 1 o 2 según sea m impar o par.

De la combinatoria también se ocupo el alemán G. W. Leibniz (1646 - 1716) en su obra Disertatio de Arte Combinatoria, publicada en 1666. Sin embargo, el mayor impulsor de esta rama durante el siglo XVII fue Jacques Bernoulli, quien en su obra, ya mencionada, incluye una teoría general de permutaciones y de combinaciones que viene facilitada por el teorema binomial y multinomial.

Precisamente en esta obra, aparece la primera demostración correcta del teorema binomial para exponentes enteros y positivos: El desarrollo del calculo de probabilidades será decisivo para originar lo que hoy conocemos como Estadística Matemática.

La invención del calculo infinitesimal

Isaac Newton

Ilustre matemático y físico inglés nació en el año 1642 en Woolsthorpe y muerto en1728 en Londres. Al quedar huérfano de padre y volverse a casar su madre, fue criado por su abuela.

En 1661 al salir de la escuela de Grantham, ingresó en el Trinity College de Cambridge, donde en 1665 se gradúo bachiller en artes.

Durante su primer curso en Cambridge, leyó obras de Euclides, Descartes, Kepler, Viète y Wallis. A partir de 1663, asistió a las clases que impartía Isaac Barrow y se va familiarizando con las obras de Galileo, Fermat, Huygens y otros.

A finales de 1664, Newton domina con bastante soltura y detalle los conocimientos matemáticos de la época y está en condiciones de hacer sus propias contribuciones.

Durante los primeros meses de 1665 hace sus primeros descubrimientos sobre las series finitas y empieza a pensar en la velocidad de cambio o fluxión de magnitudes que


�

51

varían de manera continua, tales como longitudes, áreas, distancias, etc. Estos dos tipos de problemas loa asocio bajo el nombre de "Mi método".

Este periodo lo dedicó Newton a pensar, y como consecuencia de ello conseguirá sus principales descubrimientos: El teorema Binomial, el Cálculo, la Ley de Gravitación universal y La naturaleza de las cosas.

Edmund Halley

Newton era poco hablador y además le desagradaban tanto las luchas y las criticas que se originaban inevitablemente en torno de las manifestaciones científicas que, a causa de la controversia que originó, en 1672, un artículo suyo publicado en la Philosophical Transactions sobre la naturaleza de los colores, decidió no publicar nada más, hasta que en una ocasión el astrónomo Edmund Halley fue a preguntarle si sabía qué trayectoria seguiría un planeta alrededor del sol suponiendo que la única fuerza que la influyera fuese una fuerza que disminuye en relación con el cuadrado de su distancia respecto al sol.

La respuesta de Newton fue inmediata "la trayectoria es elíptica". Al explicar newton todos los pormenores sobre el tema en cuestión, Halley le alentó para que volviera a crear sus cálculos originales y los publicase. El resultado fue la obra mas influyente y revolucionaria que jamás apareciera impresa, titulada Philosophie Naturalis Principia Mathematica, mas conocida por Los Principia. En ella no sólo explica y razona físicamente el sistema solar, sino que también establece las leyes de las dinámica por medio del Cálculo. Sin embargo, ni las instigaciones de Halley ni de Wallis pudieron convencer a Newton para que publicase su versión de Cálculo, hasta que otro matemático, el alemán G. W. Leibniz, en 1684, publica en la revista científica Acta Eruditorum un procedimiento que había conseguido independientemente en 1675 para el cálculo de las tangentes a una curva cualquiera. Este procedimiento era análogo al aplicado por Newton en 1665 para el cálculo de velocidades y aceleraciones en movimientos variados y que le habían conducido a inventar el cálculo.

De ahí, que si bien la primera exposición matemática del cálculo la hace Newton en su obra De Analysi, escrita en 1669 y publicada en 1711, su exposición inteligible del cálculo se encuentra en la obra De quadratura curvarum, la cual figura como anexa a otra obra titulada La optiks, impresa en 1704.

El precursor de Newton en el cálculo fue su profesor Isaac Barrow, quien en 1670 publicó la obra Lectiones geometricae, en la que expone un procedimiento para trazar una tangente a una curva, en el cual utiliza por primera vez unas cantidades equivalentes a los términos modernos D x y D y.

Este procedimiento no lo pudo generalizar debido a que carecía de un algoritmo universal para el binomio con exponentes enteros y negativos, y fraccionarios.

Isaac Barrow fue el primer hombre que se dio cuenta de que el problema de la tangente y el problema del área son dos caras de la misma moneda. Sin embargo, fue Newton quien primero calculó un área mediante el proceso inverso de diferenciación.


�

52

Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716), también conocido como barón Gottfried Wilhelm von Leibniz. Filósofo, matemático y estadista alemán, considerado como uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. Nacido en Leipzig, se educó en las universidades de esta ciudad, de Jena y de Altdorf. Desde 1666 (año en que fue premiado con un doctorado en leyes) trabajó para Johann Philipp von Schönborn, arzobispo elector de Maguncia, en diversas tareas legales, políticas y diplomáticas.

En 1673, cuando cayó el régimen del elector, Leibniz marchó a París. Permaneció allí durante tres años y también visitó Amsterdam y Londres, donde dedicó su tiempo al estudio de las matemáticas, la ciencia y la filosofía.

Wilhelm Leibniz Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda

no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diplomacia, política, historia, filología y física. Su primera contribución matemática fue su tesis Desertatio de arte combinatoria, escrita en 1666, en la que expone algunas ideas sobre análisis combinatoria y sobre la lógica formal simbólica.

En 1672 viaja a París, en misión diplomática, y allí estudia álgebra y geometría analítica con Huygens, quien le aconseja que si quiere ser matemático debería leer los tratados de Pascal.

Cuando en 1673 viaja a Londres, compra las obras de Barrow, traba amistad con algunos eruditos e incluso es muy posible que haya visto el tratado De Analysi de Newton, en forma manuscrita. En 1678 publica un descubrimiento del cálculo en la revista Acta eruditorum, en el cual pone énfasis sobre la relación inversa que hay entre la integración y la diferenciación, así como en la importancia del método, ya que tanto el calculus differencialis, como el calculus sumatorius o integralis, podían ser aplicados a las curvas algebraicas y a las no algebraicas o trascendentes.

Aunque Newton llegó mucho mas allá que Leibniz en el cálculo, éste tuvo una notación superior. Mientras Newton escribía la derivada de y como y’, la derivada de x como x’ Leibniz las escribía dy/dx y dx/dy.

Desgraciadamente, Newton y Leibniz, en sus últimos años mantuvieron una disputa en torno a quien fue el primer descubridor del cálculo. Actualmente, esta completamente claro que a Leibniz le corresponde la primacía de la publicación de su versión sobre el cálculo y a Newton la del descubrimiento.

Después de haberse encadenado dicha rivalidad, Leibniz y sus seguidores expusieron problemas con los que esperaban dejar paradifuso a Newton. Uno de estos problemas era el que planteó Jean Bernoulli, cuyo enunciado consistía en hallar la fórmula de la curva sobre la cual se deslizará una partícula, bajo la influencia de la gravedad, para moverse desde un punto superior a otro inferior, no situados en la misma vertical, en el menor tiempo posible. Este problema era uno de los primeros ejemplos de máximos y mínimos. Newton lo resolvió en una noche y llegó a la conclusión de que era la cicloide. Se dice que al recibir la respuesta de Newton, Bernoulli manifestó "Reconozco al león por sus garras".


�

53

Leibniz en el año 1716, el último de su vida, lo volvió a desafiar con el problema de hallar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas planas. También en esa ocasión, Newton resolvió el problema y dio un método general para hallar las trayectorias.

Guillaume de L’Hôpital: Este marqués francés nació en París en 1661 y fue instruido en 1692, en el cálculo, por Jean Bernoulli, quien por esa época residía en París.

L’Hopital pasa a la historia de la matemática por sus obras Análisis de los infinitamente pequeños y Tratado analítico de las secciones cónicas, que contribuían, respectivamente, en el desarrollo del cálculo, que contribuirán, respectivamente, en el desarrollo del cálculo y de la geometría analítica del siglo XVIII.

En el ámbito matemático, se ha podido apreciar que los siglo XVII y XVIII marcaron un verdadero hito, en lo que respecta a desarrollo de "Nuevas Matemáticas". Surge el Calculo, la teoría de Probabilidades y nuevas ramas de la Geometría y el Álgebra. Todo esto motivado por un alejamiento de los cánones antiguos y una creencia cada vez mayor en la capacidad del hombre para conocer por si mismo la realidad.

En este período se debe destacar a cuatro Genios de la Matemática: Descartes, fundador del método racional, origen de las transformaciones del período, Newton y Leibniz, padres del Cálculo Infinitesimal y Euler, uno de los últimos hombres que pudo tener un conocimiento acabado de todas las matemáticas de su época.


�

54

4.8 ÉPOCA MODERNA

l siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro período anterior la edad de Oro de la Matemática. Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tanto en calidad como en cantidad, la producción reunida de todas las épocas anteriores. este siglo fue también, con la excepción de la época Heroica de la Antigua

Grecia, el más revolucionario de la historia de la Matemática.

En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar el concepto de grupo.

El descubrimiento en los años 1820-1830 por Lobachevski y también por J. Bolyai y Gauss de los hechos fundamentales de la geometría hiperbólica no euclideana y en los años 1860-1870 la búsqueda de sus interpretaciones, provocaron en el sistema de ciencias geométricas transformaciones de carácter revolucionario. El sistema de disciplinas que forman parte del análisis matemático, sufrió en sus fundamentos una muy profunda reconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real. A finales de siglo, los recursos del análisis se complementaban con lo que ya se ha venido a llamar aparato epsilon, delta. Junto a este desarrollo del análisis matemático clásico, se separaron de él disciplinas matemáticas independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales, la teoría de funciones de variable real y la teoría de funciones de variable compleja. Antes de estudiar estos aspectos más detalladamente se puede citar tres rasgos que tienen un carácter general para la mayoría de las ciencias matemáticas:

�" En primer lugar debe tenerse en cuenta la ampliación del contenido del objeto de la matemática, debido fundamentalmente a las exigencias crecientes de las ciencias afines.

�" En segundo lugar la necesidad de fundamentar la matemática en su conjunto, produciéndose una revisión crítica de los conceptos primarios y afirmaciones.

�" La tercera particularidad es la ampliación considerable del campo de aplicaciones, condicionado por el aumento de posibilidades del aparato del análisis matemático.

E


�

55

ÁÁllggeebbrraa MMooddeerrnnaa

El álgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio y ramificado en el que se recogen un gran número de disciplinas científicas e independientes cuyo objeto común son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las operaciones del álgebra elemental.

TTeeoorrííaa GGeenneerraall ddee llaass EEccuuaacciioonneess aallggeebbrraaiiccaass Este fue el problema fundamental del álgebra durante el siglo XIX, entendiéndose

como la búsqueda de las raíces de la ecuación con ayuda de operaciones racionales y la operación de la extracción de la raíz.

Evaristo Galois

En este época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo, que yacen en la base del álgebra moderna. Consideremos los trabajos de K.F. Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostración de la no resolubilidad en radicales de las ecuaciones de grado mayor que cinco y la creación de la teoría de Galois.

Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra siendo muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación xn-1=0 y la división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde demostraba el teorema fundamental del álgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones.

Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes. para la demostración de este teorema necesitó construir los campos de desarrollo de los polinomios.

Otro de los notables descubrimientos algebraicos de comienzo de siglo es la demostración de la irresolubilidad en radicales de las ecuaciones de quinto grado. Por este camino llevó P. Ruffini sus investigaciones a finales del siglo XVIII, pero el primer éxito real lo obtuvo Niels Henrik Abel. Tras esto, Abel realizó investigaciones fundamentales en el campo de la teoría de funciones analíticas, e investigó una serie de funciones especiales como las elípticas e hiperbólicas. Pero Abel no pudo dar un criterio general de resolubilidad en radicales de las ecuaciones con coeficientes numéricos. Sin embargo, la solución a este problema no se hizo esperar largamente y se debe a Evaristo Galois.

El objeto fundamental de sus investigaciones fue el determinar cuando son resolubles mediante radicales las ecuaciones polinómicas. El aparato algebraico introducido tuvo, sin embargo, una significación que salía de los marcos del problema indicado. Su idea del estudio de la estructura de los campos algebraicos y la comparación con ellos de la estructura de los grupos de un número finito de sustituciones, fue la base fructífera del álgebra moderna. La teoría actual de Galois, se ha convertido en una disciplina matemática compleja y ramificada, que incluye un amplio material sobre las relaciones entre las propiedades de las ecuaciones, los números algebraicos y los grupos.


�

56

TTeeoorrííaa ddee GGrruuppooss

Galois y Ruffini introdujeron de forma independiente el concepto de grupo. En la primera mitad del siglo XIX, los resultados de la teoría de grupo jugaron un papel auxiliar, especialmente en la teoría de las ecuaciones algebraicas, formándose, predominantemente, la teoría de los grupos finitos.

Posteriormente, ya en los años 50, en trabajos de Cayley y otros, comenzaron a aparecer definiciones abstractas más generales de grupo. Este proceso se aceleró desde el año 1870 con los trabajos de C. Jordan, quien hizo un resumen de los resultados de la teoría de grupos finitos en su aplicación a la teoría de números, teoría de funciones y geometría algebraica.

Paolo Ruffini (1765 – 1822)

Al finalizar el siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de grupo, resolviéndose, por ejemplo, el problema de la clasificación de todas las redes cristalinas espaciales gracias a los trabajos de E.S Fiedorov. Los grupos discretos finitos, a los que pertenecen los grupos de Fiedorov, obtuvieron extensión en la teoría de los espacios multidimensionales en relación con la teoría de los poliedros regulares en éstos. Posteriormente se planteó la investigación de los grupos infinitos, tanto discretos como continuos y también sobre la creación de un aparato de cálculo adaptado a las necesidades de la teoría de grupo. los logros fundamentales sobre estas cuestiones pertenecen a los discípulos de C. Jordan, F. Klein y S. Lie.

En la confluencia de los siglos XIX y XX la teoría de grupos se ramificó desmesuradamente, formando el núcleo del álgebra actual. Ella se compone de una serie de teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie.

Los métodos teóricos de grupos penetraron en una serie de disciplinas matemáticas y sus aplicaciones. Los descubrimientos de De Broglie, Schrödinger, Dirac y otros, en la mecánica cuántica y en la teoría de la estructura de la materia mostraron que la física moderna debe apoyarse en la teoría de los grupos continuos.

En al álgebra comenzó el período de las matemáticas modernas, época en la cual la Matemática aporta a las Ciencias la abstracción, la deducción, etc.

Johann Carl Friedrich Gauss

(1777 – 1855)


�

57

ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaall La historia del álgebra del siglo XIX quedaría incompleta si no atendiésemos a la

formación del álgebra lineal, surgida de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales y relacionada con la teoría de determinantes y matrices. Durante la segunda mitad de siglo se realizaron investigaciones muy importantes de la teoría de los invariantes de las ecuaciones. En este camino del desarrollo, creció la teoría de las formas que encontró aplicación además del álgebra, la teoría de números, la geometría diferencial, la geometría algebraica y la mecánica.

AAnnáálliissiiss MMaatteemmááttiiccoo El análisis matemático, hacia el siglo XIX se convirtió en un sistema de disciplinas

ramificados y siguió ocupando un lugar central en las matemáticas. El flujo inagotable de nuevos resultados teóricos y el campo de aplicaciones el cual se amplía continuamente, condicionaron el que en la estructura general de la matemática ocuparan un lugar especial, principalmente, las disciplinas analíticas.

Las ecuaciones diferenciales se convirtieron en el fundamento del análisis. El aparato del análisis matemático en este siglo era un conjunto de procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales que rápidamente se independizaba de este último. Los contornos de la teoría en formación de funciones de variable compleja, la teoría de las funciones especiales, se delineaban aun lentamente.

TTeeoorrííaa ddee LLíímmiitteess Uno de los lugares centrales del análisis lo ocupa el concepto de límite. Sobre él se

apoya todo el aparato de las demostraciones infinitesimales. Los matemáticos del siglo XVIII probaron un conjunto de procedimientos para fundamentar el análisis infinitesimal, pero la insatisfactorio de casi todos estos métodos se hizo rápidamente evidente.

Agustín Luis Cauchy

(1789 – 1857)

A finales del siglo XVIII y principios del XIX era más que evidente la necesidad de construcción de la teoría de límites como base del análisis matemático y una reconstrucción radical de este último. Este proceso de reconstrucción se reveló claramente en los años veinte de este siglo, sobre todo en los trabajos de Agustín-Luis Cauchy y en sus famosas conferencias, las cuales fueron publicadas en tres libros: "Curso de análisis" (1821); "Resumen de conferencias sobre el cálculo de infinitesimales" (1823) y "Conferencias sobre aplicaciones del análisis a la geometría" (dos tomos 1826,1828). Estos libros tienen una importancia especial, porque en ellos por primera vez, el análisis matemático se construye sucesivamente sobre la teoría de límites.

El primero de los libros está dedicado al estudio de las funciones elementales, tanto de variable real como compleja, incluyendo el estudio de las series infinitas. Asimismo se introduce por primera vez, una magnitud infinitesimal como una variable cuyo límite es igual a


�

58

cero. Expuso también la cuestión de la convergencia de las series, así como sus criterios de convergencia. En el segundo de los libros se expone el cálculo diferencial e integral de función de variable real, destacando la aparición de una demostración analítica de existencia de integral definida de una función continua.

TTeeoorrííaa ddee FFuunncciioonneess En la primera mitad de siglo se realizó una investigación profunda de los fundamentos

del análisis matemático, utilizando los métodos y resultados de la teoría de conjuntos y la teoría de funciones de variable real.

Los méritos principales en esta rama, corresponden a Bernard Bolzano, aunque sus resultados fundamentales vieran la luz después de su muerte. ya en 1817, Bolzano formuló y demostró el teorema de que si un conjunto de números reales está acotado entonces tiene extremo, adelantándose en cuarenta años a Weierstrass.

Igualmente se adelantó a Cauchy en el estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo.

Bernard Placidus Johann

Nepomuk Bolzano ( Nació en1781 y murió en 1848,

en Praga, Austria)

También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la función que no tiene derivada en ningún punto y conocida actualmente como función de Bolzano. En otra de sus obras "Paradoja del Infinito" encontramos las bases de la posterior teoría de conjuntos.

TTeeoorrííaass ddee NNúúmmeerroo RReeaall yy TTeeoorrííaa ddee CCoonnjjuunnttooss

En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind,

K. Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación del análisis.


�

59

Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en forma de línea recta.

Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números racionales. La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenece también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto límite, de conjunto derivado.

La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos.

James Clerk Maxwell

(1831 - 1879)

Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con la investigación de los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la "lógica matemática", la cual forma una parte importante de los fundamentos de las matemáticas modernas.

El campo de aplicación del análisis matemático creció rápidamente merced a un sin fin de investigadores de los métodos matemáticos de la física y la mecánica: Green, Stokes, Thomson, Hamilton, Maxwell, etc. Entre estas aplicaciones cabe destacar la creación del aparato analítico para la investigación de los fenómenos electromagnéticos, la teoría matemática de la conductividad del calor, o la construcción del aparato matemático de la nueva mecánica.

TTeeoorrííaa ddee llaass ffuunncciioonneess ddee VVaarriiaabbllee CCoommpplleejjaa La teoría actual de las funciones de variable compleja abarca un amplio dominio de las

matemáticas, haciéndose difícil enumerar todas sus ramificaciones. Consideremos en primer lugar las premisas acumuladas hasta este momento.

El concepto de número imaginario y después complejo se conocía desde tiempos remotos, introduciendo con posterioridad el conjunto de operaciones.

Durante los siglos XVII y XVIII se establecieron, ya de una forma significativa, un conjunto de importantes aplicaciones de los números complejos en diversas ramas de la ciencia. Sin embargo todos los resultados en esta materia se entremezclaban sin la formulación de una concepción única.

En el siglo XIX llegó el momento de crear la teoría general de las funciones de variable compleja. Esta etapa de la historia, ya en el siglo XIX, se caracterizó por la introducción de definiciones precisadas de los conceptos fundamentales. Ante todo se trató del surgimiento de las interpretaciones geométricas del concepto de número complejo.

Un tratamiento teórico lo suficientemente general de la cuestión surgió inicialmente, en los trabajos de Gauss y después en los de Cauchy. En 1831 Gauss publicó un trabajo sobre la teoría de los residuos bicuadráticos donde expuso la fundamentación teórica y la


�

60

interpretación geométrica de los números complejos, dándoles por primera vez la denominación que se ha conservado hasta nuestros días. En una carta de Gauss al astrónomo y matemático Bessel, escrita en 1811 y publicada en 1880 daba la interpretación precisa de los números imaginarios, la definición de integral en el plano complejo, el teorema integral, (conocido actualmente como teorema de Cauchy) y el desarrollo de una función analítica en series de potencias. de estos aspectos merece especial atención la integración en el plano complejo, ya que la utilización de las variables complejas en los cálculos de integrales definidas difíciles ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja.

Laplace acudió a la interpretación en variable compleja, desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales en diferencias y diferenciales, conocido bajo la denominación de transformada de Laplace. Ésta y otras transformadas similares, permitieron resolver de forma efectiva muchos problemas de electrotecnia, hidrodinámica, mecánica y conductividad térmica entre otros. Fue precisamente esta presión de los problemas prácticos, lo que llevó a la necesidad de elaborar una teoría de funciones de variable compleja y a estudiar sus relaciones con las demás partes del análisis infinitesimal.

El cumplimiento de esta tarea fue realizado fundamentalmente por Cauchy.

Sus primeros trabajos publicados en 1825, tuvieron como objetivo aplicar las magnitudes imaginarias al cálculo de integrales definidas, formulando el teorema integral.

Pierre-Simon Laplace

Nace: 23 Marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge, Normandia, Muere: 5 Marzo de 1827

en Paris,

Durante los años siguientes 1826-1829 creó la teoría de los residuos, desarrollándola en años posteriores y buscando nuevas aplicaciones. Junto a los trabajos de Cauchy surgieron otros muchos sobre la teoría de funciones de variable compleja, entre los que cabe mencionar los realizados por Abel, Jacobi, Laurent y Liouville.

Georg Friedrich Riemann

Nace: 17 Sept 1826 en Breselenz, Hanover Muere: 20 Julio 1866 en Selasca, Italia

En la década de 1840 quedó superado el aislamiento de las ideas sobre funciones de variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de B. Rieman (1826-1866) en los cuales aparecían amplias analogías que vinculaban esta teoría con otros campos de las matemáticas.

Los resultados fundamentales de Rieman aparecen en sus obras "Fundamentos de la teoría general de funciones de variable compleja" (1851) y en "Teoría de las funciones de Abel" (1857). Entre los problemas analizados por Rieman citaremos el de en qué medida las funciones analíticas se determinan por sus condiciones en la frontera.


�

61

Otro punto de desarrollo fue la interpretación geométrica de los números complejos y de las funciones de variable compleja, desarrollando las denominadas "superficies de Rieman". también investigó diversas clases de funciones que satisfacían ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes algebraicos. Partiendo de las ideas de Rieman surgieron gran cantidad de trabajos cuyos autores elaboraron diferentes aspectos de la teoría de funciones de variable compleja.

Otra dirección en el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja, denominada analítica se formó en los trabajos de Weierstrass (1815-1897), quien elaboró un sistema de fundamentación lógica apoyándose en la rigurosa teoría de los números reales, como un medio en el cual funcionan todos los conceptos y métodos fundamentales.

Así, en este época, la mayoría de las investigaciones sobre el tema, se realizaban en el plano de desarrollo de una de las tres direcciones: la teoría de las funciones diferenciales de Cauchy, las ideas geométricas y físicas de Rieman y la dirección analítica de Weierstrass. Fue a finales de siglo y a comienzos del siglo XX cuando se unificaron conceptos, creando una concepción única general de la teoría de funciones de variable compleja.

TTrraannssffoorrmmaacciióónn ddee llaa GGeeoommeettrrííaa La geometría hacia comienzos del siglo XIX representaba ya un amplio complejo de

disciplinas surgidas del análisis y generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se incluyeron en la geometría casi todas aquellas partes que la conforman actualmente.

La geometría analítica realizó un gran camino de desarrollo y determinó su lugar como parte de la geometría que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones algebraicas con ayuda del método de coordenadas utilizando los métodos del álgebra. La geometría diferencial se caracterizó por la utilización de los conceptos y métodos del cálculo diferencial, lo que conllevó relaciones estables con el análisis matemático y con numerosos problemas aplicados.

Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la época de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet.

Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometrías no euclideanas. Podríamos considerar fundador de esta geometría al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856).

Jean Victor Poncelet

Nace: 1 Julio 1788 en Metz, Lorraine, France Muere: 22 Dic 1867 en Paris, France


�

62

Su obra mostraba que era necesario revisar los conceptos fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la matemática, pero ante el rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento.

El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría no euclideana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración durante siglos. Lobachevski, que inicialmente intentó demostrar dicho axioma, rápidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negación: a través de un punto no contenido en una recta se puede trazar más de una paralela que yace en el mismo plano que la primera.

El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando el autor presentó muchos de los trabajos que avalaban la nueva teoría. En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a la misma conclusión a la que había llegado Lobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pública, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos puntos de vista pero los calló por temor a comprometer su reputación científica. La geometría no euclideana continuó siendo durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman.


�

63

55.. AAPPOORRTTEESS DDEE AALLGGUUNNOOSS MMAATTEEMMÁÁTTIICCOOSS ((ppaarraa sseerr ttrraabbaajjaaddoo eenn llaa SSaallaa ddee CCllaassee)) ara trabajar de acuerdo a los programas de estudios, estos hacen referencia a algunos matemáticos que se destacan en el trabajo de cada uno de los distintos contenidos tratados. Así por ejemplo en primero medio, se menciona a Pitágoras, Gauss, Escher, Euclides, etc. En segundo medio a Pascal, Laplace, de Fermat,

Thales de Mileto, Descartes, etc. En tercero y cuarto medio de Fermat, Laplace, Willis, etc. A continuación presentaremos una pequeña bibliografía de cada uno de ellos para

que cada docente pueda utilizar y hacer las conexiones con las otras asignaturas: THALES DE MILETO

Thales de Mileto

Nace alrededor del 624 a.C. Muere el 547 a.C.

Nació y murió en la ciudad de Mileto (en lo que actualmente es Turquía).

La opinión antigua es unánime al considerar a Tales como un hombre excepcionalmente inteligente y como el primer filósofo, el primero de los Siete Sabios Griegos.

El hecho concreto que más aseguró su reputación fue la predicción de un eclipse de sol, que tuvo lugar exactamente en el año que él había predicho. Igualmente fue el primero en mantener que la luna brillaba por el reflejo del sol.

Tomó prestada la geometría de los egipcios y dio en ella un avance fundamental ya que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos.

En otras palabras, inventó la matemática deductiva.

Diferentes textos le asignan, entre otros, los siguientes teoremas:

P


�

64

1. Teorema de Tales: todo ángulo inscrito en un semicírculo es recto.

2. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro.

3. Los ángulos basales en un triángulo isósceles son congruentes.

4. Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas, son congruentes.


�

65

5. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos son semejantes.

PITÁGORAS DE SAMOS

Pitágoras de Samos

Nace alrededor del 569 a.C. Muere el 475 a.C.

Filósofo griego nacido en Samos y muerto en Metaponto ( 582 a.C.- 497 a.C.). Es considerado como uno de los Siete Grandes Sabios de Grecia y su vida estuvo siempre envuelta por la leyenda.. Se piensa que fue discípulo de Thales, que viajó por Egipto, pero cuando regresó estaba su país ocupado por los persas y el decidió irse a las colonias italianas de Grecia donde fundó su famoso escuela pitagórica en Crotona, al sur de Italia En este centro se discutía de filosofía, matemática y ciencias naturales, pero la escuela también tenía influencia religiosa y política.

A continuación mostramos una interesante actividad que puede realizar con sus alumnos y que permite (de)mostrar el Teorema de Pitágoras:

1

Dibuje un triángulo rectángulo cualquiera (recomendamos el “triángulo pitagórico 3, 4 y 5”).


�

66

2

Ahora construya un cuadrado sobre cada uno de los catetos y sobre la hipotenusa. Necesitamos demostrar que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es equivalente (tiene el “mismo valor”) que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

3

Divida los cuadrados menores, mediante la diagonal, en dos triángulos congruentes.

4

Observe que el nuevo triángulo trazado tiene la misma área que el anterior, pues poseen idéntica base y altura.

5

Ahora se gira el triángulo de la figura 4. Compruebe que el área de este nuevo triángulo es equivalente al de la figura 4.


�

67

6

Traza la recta que se muestra en la figura, de manera que sea perpendicular con el lado del cuadrado mayor y coincida con el vértice donde está el ángulo recto del triángulo.

7

Observa el nuevo triángulo de área equivalente a los anteriores.

Su área es también la mitad del rectángulo mayor que se formó en el cuadrado construido sobre la hipotenusa al trazar la recta de la fig. 5.

8

Ahora hagamos los mismos movimientos con el triángulo del cuadrado construido sobre el cateto menor.

9 Nuevamente podemos observar triángulos de áreas equivalentes.


�

68

10

Finalmente hemos observado que la mitad del área del rectángulo más pequeño que se formó en el cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene área equivalente a la del triángulo formado en el cuadrado construido sobre el cateto menor.

11 (Anote una conclusión a la actividad recién planteada)

La tradición le atribuye a la escuela pitagórica la demostración del teorema de Pitágoras y como consecuencia el descubrimiento de los números irracionales que contradecían la doctrina básica de la escuela: es decir descubrieron Números Inexplicables, como es el � que no era ni entero ni fraccionario

Pitágoras pensaba que todo el universo se apoyaba en los números y sus relaciones procediendo a revestir a los números de ciertas propiedades mágicas, lo que llevó de una manera indirecta a la investigación sobre las propiedades matemáticas de aquellos

En la figura de la derecha se muestra una “construcción” de los números reales

� �� haciendo uso del teorema de Pitágoras

El mayor éxito científico que se le atribuye es el estudio del sonido, descubrimiento que las cuerdas de instrumentos musicales producían sonidos de tonos mas agudos cuando se las acortaba. Gracias a sus observaciones, el estudio del sonido ha permanecido inalterable hasta nuestros días.


�

69

ANAXAGORAS DE CLAZOMENAE

Nació: 499 a.C. en Clazomenae

(ahora Turquía) Muere: 428 a.C en Lampsacus,

Mysia (ahora Turquía)

Anaxagoras de Clazomenae fue descrito por Proclus, como el último filósofo griego mayor que vivió a.C. alrededor de 450.

Se conoce pocos detalles de su infancia y juventud: vivió la primera parte de su vida en Jonia donde él el aprendió acerca de los nuevos estudios que estaban teniendo lugar allí en filosofía.

Aunque Jonia había producido a filósofos como Pitágoras, en tiempo de Anaxagoras este nuevo estudio de conocimiento no se había extendido a Atenas. Anaxagoras es considerado como el primero en presentarles la Filosofía a los atenienses, cuando se traslado a vivir allí, aproximadamente 480 a.C. Durante la estancia de Anaxagoras en Atenas, Pericles subió al poder en Atenas. Pericles, que era aproximadamente cinco años más joven que Anaxagoras, era un guerrero y líder político que tuvo éxito en esta democracia en vías de desarrollo y construyó un imperio que convirtió a Atenas en el centro político y cultural de Grecia.

Anaxagoras y Pericles se hicieron amigos pero, esta amistad también tenían sus inconvenientes dado que los enemigos políticos de Pericles se pusieron contra Anaxagoras.

Aproximadamente el año 450 a.C. Anaxagoras fue encarcelado por decir que el Sol no era un dios y que la Luna solo reflejaba la luz del Sol. Esto parece haber sido instigado por antagonistas de Pericles.

Esta visión del Universo es notable. La idea de establecer que los astros como el sol y la luna están formados por materias diferentes juega un papel muy importante en teorías modernas relativas a la creación del sistema solar. Anaxagoras también muestra una comprensión respecto de la fuerza centrífuga, lo que de nuevo muestra la visión científica superior que él poseyó. Hay también evidencias para sugerir que Anaxagoras había aplicado geometría al estudio de astronomía.

Acerca de la estructura de la materia, Anaxagoras postuló un número infinito de elementos, o los ladrillos básicos. Él decía:

“... hay una porción de cada cosa, es decir de cada material elemental, en cada cosa” Podemos obtener algunas pistas respecto a la matemática que Anaxagoras estudió

pero, desgraciadamente, muy poco permanece en los archivos para permitirnos conocer resultados definidos que él puede haber demostrado. Mientras estuvo en prisión intentó resolver el problema de cuadrar el círculo (construyendo con regla y compás un cuadrado con área igual a eso de un círculo dado). Éste es el primer registro de este problema.

Anaxagoras se salvó de la prisión por Pericles pero tuvo que dejar Atenas. Volvió a Jonia, donde fundó una escuela. Anaxagoras murió allí


�

70

EUCLIDES DE ALEJANDRÍA

Desarrolla sus principales aportes, hacia el 300 a.C en Alejandria, y es junto a Arquímedes y Apolonio, posteriores a él, uno de los tres mayores matemáticos de la Antiguedad y también uno de los mayores de todos los tiempos. El nombre de Euclides está indisolublemente ligado a la geometría, al escribir su famosa obra "Los Elementos", prototipo en esta rama de las matemáticas. Sin embargo pocos de los teoremas que aparecen en sus textos son propios. Lo que Euclides hizo fue, en realidad, reunir en una sola obra todos los conocimientos acumulados desde la época de Tales.

Euclides de Alejandría

Nace alrededor del 325 a.C. Muere alrededor del 265 a.C.

El único teorema que la tradición asigna definitivamente a Euclides es el teorema de Pitágoras. Aunque la mayoría de los tratados versan sobre geometría, también prestó atención a problemas de proporciones y a lo que hoy conocemos como teoría de números.

En este último tema, veamos una actividad llamada Algoritmo de Euclides, que permite determinar el Máximo Común Divisor entre cantidades grandes.

¿Podría simplificar la fracción ��

��

de manera rápida? Recuerde que para ello es

necesario hacerlo por el Máximo Común Divisor entre el numerador y el denominador.

Hace más de 2.000 años se descubrió un método, que hoy conocemos con el nombre de Algoritmo de Euclides, por medio del cual se puede hallar fácilmente el MCD de dos números grandes. El Diagrama de Flujo que incluimos a continuación nos orientará en tal sentido:


�

71

Veamos su uso en el ejemplo dada originalmente:

1) Sean 11.220 y 19.635 dos números enteros

2) ¿Es 11.200 > 19.635? ¡No!

3) Dividamos 19.635 por 11.200: ��

�� ====

4) ¿Es el resto igual a acero? ¡No!

5) Dividamos 11.220 por 8.415: ��

�� ====

6) ¿Es el resto igual a cero? ¡No!

7) Dividamos 8.415 por 2.805: �

�� ====

8) ¿Es el resto igual a cero? ¡Si!

9) Tomemos el 2.805

10) ¡Este es el MCD entre 19.635 y 11.220!

11) Por lo tanto la simplificación de la fracción sería: �

�

��

�� ====

12) Observe la interpretación gráfica de este algoritmo:

Representación de la división:

��

�� ====

Y de la siguiente:

��

�� ====

Finalmente:

�

�� ====

Entonces, el MCD entre 19.635 y 11.220 es 2.805


�

72

HIPATIA DE ALEJANDRÍA

Filósofa griega, nacida y muerta en Alejandría. Es la primera mujer de la que se tiene noticia que dedicó su vida a las matemáticas. Su muerte en el año 415 a manos de cristianos fanáticos marcó el ocaso de la escuela de Alejandría que inició sus actividades con Euclides (300 a.C) y continuó con grandes matemáticos como Arquímedes, Apolonio o Pappo.

La obra de Hipatía se centró en los comentarios sobre las obras de los matemáticos anteriormente citados y en trabajos originales sobre curvas cónicas. Hipatía fue la última lumbrera de la Biblioteca de Alejandría y su martirio estuvo muy ligado a la destrucción de la misma.

Hipatía de Alejandría

Nace alrededor del 370 d.C. Muere en marzo del 415 d.C.

Un autor (Charles Kingsley) en su libro llamado “Hipatía, o la nueva enemiga con cara antigua” escribe:

“Cada trabajo hecho, perpetúa la leyenda de que ella fue, no sólo una gran intelectual, sino también bella, elocuente y modesta”.

RENÉ DESCARTES

Nació: 31 de marzo de 1596 en La

Haye,Touraine, Francia, Muere: 11 Feb 1650 en Estocolmo, Suecia

René Descartes fue un filósofo uno de cuyos trabajos, “Géométrie”, incluye su aplicación del álgebra a la geometría a la que nosotros llamamos Geometría Analítica.

Descartes fue educado en la universidad Jesuita de La Flèche en Anjou. Entró en la universidad a la edad de ocho años, sólo unos meses después de la apertura de la universidad en enero de1604. Estudió allí hasta 1612 clasicismo, lógica, filosofía Aristotélica tradicional y matemática de los libros de Clavius. Mientras estuvo en la escuela su salud fue precaria y se le concedió permiso para permanecer en cama hasta las 11 de la mañana, una costumbre que él mantuvo hasta el año de su muerte.


�

73

Recibió un grado de en leyes en la universidad de Poitiers en 1616. En 1618 empezó estudios de matemática y mecánica bajo la tutela del científico holandés Isaac Beeckman; allí inició la búsqueda de una ciencia unificada de naturaleza. Después de dos años en Holanda viajó a través de Europa y en 1619 se unió al ejército bávaro.

Entre 1620 a 1628 Descartes viajó a través de Europa: pasó un tiempo en Bohemia (1620), Hungría (1621), Alemania, Holanda y Francia (1622-23). En 1623 estuvo en París donde hizo contacto con Mersenne, una relación importante, pues lo mantuvo en contacto con el mundo científico durante muchos años.

En 1628 se cansó de la travesía incesante y decidió establecerse. Poco después se estableció en Holanda, donde empezó a trabajar en su primer tratado de las físicas, Le Monde, el ou Traité del la Lumière. Este trabajo lo desarrolló en la misma época en que Galileo fue condenado por la Inquisición. Sabiamente, decidió no arriesgarse a publicarlo y así fue como el trabajo se publicó, sólo en parte, después de su muerte.

Descartes fue presionado por sus amigos para publicar sus ideas y escribió un tratado en ciencia bajo el título “Discours de la méthod pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences”. Tres apéndices de este trabajo fueron “La Dioptrique, Les Météores, y La Géométrie”. El tratado se publicó a Leiden en 1637.

En 1644, el año que sus Meditaciones fueron publicadas, visitó Francia. Volvió de nuevo en 1647, cuando se encontró con Pascal y defendió con él que un vacío no pudiera existir.

En 1649 la Reina Christina de Suecia lo persuadió para ir a Estocolmo. Ella quiso estudiar a las 5 de la mañana y Descartes debió romper el hábito de levantarse a las 11. Después de sólo unos meses en el clima frío norteño, caminando al palacio a las 5 todas las mañanas, murió de pulmonía. Actividad:Ubicación de Pares Ordenados en un Plano de Coordenadas Cartesianas Materiales: Dos tableros perforado (de cholguan) unitarios de 50 cm x 50 cm con los

ejes de las ordenadas y de las abscisas centrados en ellos. Diez alfileres o clavos pequeños Cronómetro Papel y lápiz

En esta actividad, los integrantes de un grupo toman turnos para leer pares ordenados de la forma (x, y) y colocar alfileres según corresponda, en un tablero con un sistema de coordenadas x e y. Cada agujero se cuenta como una unidad en el eje de las abscisas o de las ordenadas.


�

74

a. Un integrante del grupo tiene que poner cinco alfileres en uno de los dos tableros. Los alfileres tienen que situarse de forma que haya por lo menos un alfiler en cada uno de los cuatro cuadrantes. Estos sitios, se mantendrán “ocultos” a los otros miembros del grupo, después se identificarán como pares ordenados y se escribirán en una hoja.

b. Este mismo integrante da el segundo tablero y la hoja con los pares ordenados a otro integrante del grupo y al mismo tiempo pone en marcha el cronómetro. El otro tiene que leer los pares ordenados y poner los alfileres en los lugares correctos del segundo tablero. Cuando todos los alfileres estén en su posición, detiene el cronómetro. Verifica las posiciones de los alfileres en el segundo tablero con los que pusiste en el primero y analiza cualquier diferencia.

c. Repite los pasos a y b hasta que cada integrante del grupo haya completado cada paso.

d. En una hoja de papel escribe tu nombre, tus cinco pares ordenados del paso a, la persona que ha localizado los pares ordenados y el tiempo que la persona necesitó para ubicar los puntos.

e. Haz un dibujo a escala del tablero. Sitúa e identifica tus cinco pares ordenados del paso a en el dibujo a escala.

f. Representa cada punto siguiente y únelos mediante un hilo: (0,0) � (6,24) � (6,39) � (4,39) � (4,24) �

(10,0) � (6,35) � (7,39) � (4,37) � (0,22) � (12,2) � (7,35) � (6,39) � (3,37) � (0,17) � (12,8) � (6,35) � (6,42) � (4,37) � (2,14) � (8,14) � (6,37) � (4,42) � (4,35) � (-2,8) � (10,17) � (7,37) � (4,39) � (3,35) � (-2,2) � (10,22) � (6,37) � (3,39) � (4,35) � (0,0)

¿Qué figura representa?


�

75

Sin dudas que este tablero puede tener muchas otras utilidades: representar rectas, curvas, vectores, etc. PIERRE DE FERMAT

Nacido: 17 de Agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia Muere: 12 de Enero de 1665 en

Echadores, Francia

En la década del 1620 asistió a la Universidad de Toulouse antes de ir a Bordeaux.

En Bordeaux empezó sus primeras investigaciones matemáticas serias. Durante este tiempo produjo trabajos importantes en relación con los máximos y mínimos.

De Bordeaux, Fermat fue a Orléans donde estudió leyes en la Universidad. Para 1631 Fermat era abogado y oficial del gobierno en Toulouse y en esa época cambió su nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat. El resto de su vida vivió en Toulouse.

En 1636 su amigo, el matemático Carcavi fue a París como bibliotecario real donde hizo contacto con Mersenne y su grupo. El interés de Mersenne se despertó por las descripciones de Carcavi de los descubrimientos de Fermat respecto de la caída de los cuerpos, y le escribió.

Fermat contestó haciendo mención acerca de errores que creyó que Galileo había cometido en su descripción de caída libre. Es algo irónico que este contacto inicial entre Fermat y la comunidad científica se originó por su estudio de caída libre, dado que tenía poco interés en aplicaciones físicas de matemática. A pesar de estos resultados estaba mucho más interesado en demostrar teoremas del geometría que en su relación al mundo real. Su reputación como uno de los principales matemáticos de su época vino rápidamente, pero los esfuerzos por conseguir que su trabajo fueran publicados fallaron, principalmente porque Fermat nunca realmente quiso poner su trabajo en una forma pulida. Sin embargo algunos de sus métodos fueron publicados, por ejemplo Hérigone agregó un suplemento que contiene los métodos de Fermat de máximos y mínimos.

A Fermat se le recuerda mejor por su trabajo respecto de la teoría de los números, en particular para el llamado “último Teorema de Fermat”. Este teorema establece que para ecuación: �� # � =+ no tiene solución entera para x, y y z cuando n>2.

Se cree ahora que Fermat estaba equivocado, aunque es imposible estar completamente seguros. La verdad de la aserción de Fermat se demostró en 1993 por el matemático británico Andrew Wiles,

La correspondencia de Fermat con los matemáticos de París se reinició en 1654 cuando Blaise Pascal, le escribió respecto a sus ideas en probabilidad. Su breve correspondencia preparó la teoría de probabilidad y por ello se les consideran ahora a ambos como fundadores de esta parte de la matemática.

El reconocimiento de la importancia del trabajo de Fermat en análisis fue tardío, en parte porque él adhirió al sistema de símbolos matemáticos inventado por François Viète, anotaciones que la Géométrie de Descartes había dado por obsoleto.


�

76

JOHN WALLIS

John Wallis cursó sus primeros estudios

en Ashford, de allí se trasladó a Tenterden donde mostró un gran potencial como estudioso. En 1630 fue a Felsted donde aprendió latín, griego y hebreo. De allí fue a la Universidad de Emmanual Cambridge donde se interesó por primera vez en matemática. Puesto que nadie en Cambridge en este momento podía dirigir sus estudios matemáticos, su tema principal de estudio se volvió hacia la teología. Fue ordenado sacerdote en 1640.

Wallis era experimentado en criptografía y descifró mensajes Realistas para el Parlamento durante la Guerra Civil. Se cree que allí estableció contacto con la geometría en Oxford en 1649. Wallis mantuvo la cátedra de geometría durante más de 50 años, hasta su muerte.

Nació: 23 de Noviembre de 1616 en Ashford, Kent,

Inglaterra, Muere: 28 de Octubre de 1703 en Oxford, Inglaterra

Wallis formó la parte de un grupo que se interesó en la Ciencia Natural y Experimental que empezó a encontrarse en Londres. Este grupo fue el origen de la Sociedad Real, de la que Wallis fue un miembro fundador.

Wallis contribuyó substancialmente a los orígenes del Cálculo y fue el matemático inglés más influyente ante Newton. Estudió los trabajos de Kepler, Cavalieri, Roberval, Torricelli y Descartes e introdujo ideas del cálculo más allá de eso de estos autores.

En “Infinitorum de Aritmética” (1656) Wallis evaluó integrales. Inventó un método de interpolación en un esfuerzo por calcular integrales. Usando el concepto de Kepler de continuidad descubrió métodos para evaluar integrales que fueron usados después por Newton en su trabajo en el teorema del binomio.

Wallis también fue historiador temprano de la matemática y en su “Tratado en Álgebra” tiene gran riqueza de material histórico.

En el “Tratado en Álgebra” Wallis acepta raíces negativas y raíces complejas. Él muestra que ��

� =− tienen tres raíces y que ellas son todas reales. Wallis introdujo el símbolo actual para representar infinito ∞ . También restauró algunos textos griegos antiguos como el Harmonics de Tolomeo, y

textos de Aristarco. Sus trabajos no-matemáticos incluyen muchos trabajos religiosos y un libro en la etimología y gramática (Oxford, 1687).


�

77

BLAS PASCAL

Físico y matemático francés nacido en Clermont-Ferrand y fallecido en París.

Pascal fue un auténtico niño prodigio, que según se cuenta fue capaz, de muy joven, de descubrir por sí solo los treinta y dos teoremas de Euclides y además en el orden correcto.

Con sólo 16 años publicó un artículo "Essay pour les coniques" que trataba de la geometría de las secciones cónicas, dando un primer avance a los que estaba sin tocar desde hacía diecinueve siglos, donde lo dejó Apolonio. En él se describe el teorema de Pascal: "los pares de lados opuestos de un hexágono arbitrario inscrito en una cónica se cortan en tres puntos alineados".

Blas Pascal

Nace en junio de 1623 Muere en agosto de 1662

La Pascalina

Pascal mantuvo correspondencia con Fermat y juntos resolvieron problemas planteados por un jugador profesional, Méré, preocupado en ciertas combinaciones de dados. La correspondencia entre estos dos matemáticos constituyó el verdadero punto de partida de la teoría de probabilidades. También se dedicó a la física, estudiando fundamentalmente el comportamiento de los fluidos.

Otro importante aporte de Pascal a la Matemática fue el desarrollar, en el año 1652 cinco prototipos de calculadoras aritméticas: la Pascalina.

Matemáticos como Pascal, Laplace y Fermat tuvieron una importante influencia en el

desarrollo del cálculo de Probabilidades. A continuación proponemos una actividad para ser trabajada con los alumnos en clase:

Actividad: Tiramos los Dados

Materiales Dos dados, Tiza y pizarrón Calculadora Muchos juegos de mesa, como el Ludo, usan dados para que los jugadores avancen por el tablero de juego. Un dado es un cubo con seis caras iguales. Después de un lanzamiento, es igualmente probable que aparezca cualquier cara del dado. Como solamente una cara mira hacia arriba en cada tirada, los resultados son mutuamente excluyentes. Cuando tiramos dos dados, la suma de los puntos de las caras que miran hacia arriba puede ser cualquier número entre 2 y 12. Estas sumas no son igualmente probables. Mientras por un lado hay solamente una manera de sacar un “2” (1+1), hay seis maneras de sacar un “7” (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 y 6+1), lo cual hace que los eventos “2” y “7” no sean igualmente probables. En esta actividad, examinamos los resultados posibles que ocurren al lanzar un dado y un par de dados.


�

78

a. Cada integrante del grupo tiene que lanzar un dado 12 veces y un par de dados 12 veces. Anota en tu cuaderno el resultado obtenido en cada lanzamiento. Anota el número de la cara que aparece en los lanzamientos del dado. Anota la suma de los números de las dos caras en los lanzamientos de dos dados. Por ejemplo, si un tiro de dos dados da 1 y 2, como se ve más abajo, registra la suma 3.

b. Haz una tabla semejante a la que se ve más abajo para los datos que recojas. Para el lanzamiento de un dado anotamos la cara que apareció y la frecuencia correspondiente, al cabo de los 12 tiros. Para el lanzamiento de los dos dados anotamos la suma de las dos caras y la frecuencia correspondiente, también al cabo de los 12 tiros.

Lanzamiento de un dado Lanzamiento de dos dados Cara Frecuencia Suma de

caras Frecuencia

1 2 2 0 2 3 3 0 3 1 4 3 4 2 5 2 5 2 6 1 6 2 7 2 8 1 9 1 10 1 11 1 12 0

c. Dibuja los histogramas con los datos de ambos casos. d. Haz una tabla semejante a la de más arriba con los datos de tu grupo (60 resultados

con un solo dado y 60 sumas de los dos dados si hay 5 personas en un grupo). Anota esta tabla en el pizarrón. Dibuja los histogramas con los datos de los lanzamientos del grupo con un dado y con los dos dados.

e. Con todos los datos tabulados en el pizarrón, haz una tabla con los datos del curso entero. Dibuja histogramas separados, con los datos de los lanzamientos de uno y dos dados, para el curso entero.

f. ¿Hay semejanzas entre los tres histogramas (el tuyo, el de tu grupo y el del curso) cuando lanzas un solo dado? ¿Hay semejanza entre los tres histogramas de los lanzamientos de dos dados? ¿Qué diferencia hay entre los histogramas con los datos de los lanzamientos de uno y de dos dados?


�

79

PIERRE-SIMON LAPLACE

Nació: 23 de marzo de 1749 en

Beaumont-en-Auge, Normandía, Francia, Muere: 5 de marzo de 1827 en París,

Francia

El padre de Pierre-Simon Laplace, Pierre Laplace, era un acomodado comerciante de sidra. Su madre, Marie-Ana Sochon, procedía de una familia de agricultores bastante próspera que poseía tierra en Tourgéville. Se cuenta de Laplace que su familia eran campesinos pobres, pero éstos parecen ser bastante inexactos aunque hay poca evidencia de logros académicos en su familia, salvo un tío que se piensa que fue profesor secundario de matemática.

Laplace asistió a una escuela del priorato Benedictino en Beaumont-en-Auge, entre los 7 y 16 años de edad. Su padre esperaba que hiciera una carrera en la Iglesia. A los16 años de edad, Laplace ingresa a la Universidad de Caen. Cuando todavía estaba pensando entrar en la Iglesia, entró a estudiar teología. Sin embargo, durante sus dos años en la Universidad de Caen, Laplace descubrió sus talentos y amor por la Matemática.

Una vez supo que la Matemática era su destino, Laplace se fue a París. Enseñando geometría, trigonometría, análisis elemental, y estáticas a los cadetes

juveniles de familiar adineradas, le permitió quedarse en París. Empezó produciendo documentos matemáticos notables, el primero lo presentó a la

Academia de Ciencias en París el 28 de marzo de1770. Este primer documento, fue leído en la Sociedad pero no se publicó; en él se refiere a los máximos y mínimos de curvas, donde mejoró el método de Lagrange. Otro documento presentado a la Academia se refería a las ecuaciones diferenciales.

El año 1771 marca el primer esfuerzo de Laplace por ingresar a la Academia de Ciencias, pero fue preferido Vandermonde. Laplace lo intentó nuevamente en 1772 pero también fue elegido otro. Finalmente, se presentó otra oportunidad para Laplace de ingresar a la Academia de París el 31 de marzo de 1773, oportunidad en que fue elegido.

Ya hemos mencionado alguno de los primeros trabajos de Laplace. No sólo contribuyó en le tema de los máximos y mínimos de curvas y de las ecuaciones diferenciales, también había examinado aplicaciones a la astronomía matemática y a la teoría de probabilidad, dos temas mayores que él trabajaría a lo largo de su vida.

Su trabajo en la astronomía matemática antes de su elección a la Academia, incluyó la inclinación de órbitas planetarias, un estudio de cómo los planetas son perturbados por sus lunas, y en un documento leído a la Academia el 27 de noviembre de 1771 en que hizo un estudio de los movimientos de los planetas que serían el primer paso hacia su obra maestra más tarde en la estabilidad del sistema solar.

Durante la década de1780 fue el periodo en el que Laplace produjo profundos estudios que le han hecho uno de los científicos más importantes y influyentes que el mundo ha visto.


�

80

En 1780, desarrolló junto con el químico Antoine Lavoisier un método cuantitativo aplicado a la Biología: con la ayuda de un calorímetro de hielo que ellos habían inventado, mostraron que la respiración era una forma de combustión.

Aunque Laplace volvió pronto a su estudio de astronomía matemática, este trabajo con Lavoisier marcó el principio de una tercera área importante de investigación para Laplace, a saber su trabajo en física, particularmente en la teoría de calor.

Laplace participó en un comité de investigación en el hospital más grande en París y usó su especialización en probabilidad para comparar proporciones de mortalidad en este hospital con otros hospitales en Francia y en otra parte.

Laplace se promovió a una mayor posición en la Academia des Ciencias en 1785. Dos años más tarde, Lagrange en Berlín, influyó para incorporar a Laplace como un miembro de la Academia de Ciencias en París. Así los dos grandes genios matemáticos entraron París juntos y, a pesar de una rivalidad entre ellos, cada uno era beneficiar grandemente de las ideas que fluyen del otro. Laplace se casó el 15 de mayo de 1788. Su esposa, Marie-Charlotte de Courty de Romanges, era 20 años más joven que él. Ellos tuvieron dos niños, su hijo Charles-Emile quién nació en 1789 siguió a una carrera militar.

También integró un del comité de la Academia de Ciencias para regularizar los pesos y medidas. Este comité trabajó en el sistema métrico y defendió una base decimal.

En 1793 comenzó el Reino de Terror y se suprimieron las Academia de Ciencias, junto con las otras sociedades sabias. Él no volvió a París hasta después de julio de 1794. Aunque Laplace logró evitar el destino de algunos de sus colegas durante la Revolución, como Lavoisier que fue guillotinado en mayo de 1794, tuvo algunos tiempos difíciles. Fue consultado, junto con Lagrange y Laland, acerca del nuevo calendario para la Revolución.

Imagen que representa la hipótesis nebular de Laplace respecto de la formación del Sistema Solar

Laplace presentó su famosa hipótesis nebular en 1796 en la Exposición de Sistemas de Mundos: el sistema solar se habría originado de una gran nube de gas incandescente en el espacio.

La Exposición consistió en cinco libros: el primero estaba en los movimientos claros de los cuerpos celestiales, el movimiento del mar, y también la refracción atmosférica; el segundo estaba en el movimiento real de los cuerpos celestiales; el tercero se refería a la fuerza y velocidad adquirida; el cuarto estaba en la teoría de gravitación universal e incluía una explicación del movimiento del mar y la forma de la Tierra; el libro final daba cuenta de astronomía e incluía su famosa hipótesis nebular.


�

81

En vista de las teorías modernas de impactos de cometas en la Tierra es particularmente interesante ver la notablemente mirada de Laplace de esto:

... la pequeña probabilidad de colisión entre la Tierra y un cometa puede crecer al estudiar una larga sucesión de siglos. Es fácil imaginar los efectos de este impacto en la Tierra. El eje y el movimiento de rotación han cambiado, los mares que abandonan su posición vieja..., gran parte de hombres y animales se ahogó en este diluvio universal, o destruido por el temblor violento impartido al globo terrestre.

La “Exposición de Sistemas de Mundos” se escribió como una introducción no-matemática al trabajo más importante de Laplace, el “Tratado de Mecánica Celeste” cuyo primer volumen apareció tres años después. En 1786 había demostrado que las excentricidades e inclinaciones de las órbitas planetarias siempre permanecen pequeñas, constantes, y corrigiéndose sola. Éstos y muchos otros de sus resultados más tempranos dio la base para su gran trabajo “Tratado de Mecánica Celeste” el que publicó en 5 volúmenes, el primero en dos en 1799.

La primera edición del Théorie de Laplace des de Analytique que Probabilités se publicó en 1812. ¡Esta primera edición se dedicó a Napoleón!

Las siguientes ediciones de Théorie el des de Analytique Probabilités también contiene suplementos a los que consideran aplicaciones de probabilidad: errores en observaciones; la determinación de las masas de Júpiter, Saturno y Urano; métodos del triangulación inspeccionando; y problemas de geodesia, en particular la determinación del meridiano de Francia.

El deseo de Laplace de tomar un papel principal en física lo llevó convertirse en miembro fundador de d'Arcueil de Société en alrededor de 1805. Entre los matemáticos que eran miembros de este grupo activo de científicos estaban Biot y Poisson. El grupo defendió un acercamiento matemático a la ciencia con Laplace que juega el papel principal. Esto marca la altura de la influencia de Laplace, dominante también en el Instituto y teniendo una influencia poderosa en los Ecole Polytechnique y los cursos que los estudiantes estudiaron allí.

Laplace murió la mañana del lunes 5 marzo que 1827.

J. Carl F. Gauss

Nace: abril 1777 en Brunswick Muere: febrero 1855 en Göttingen

JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS Matemático alemán nacido en Brunswick y fallecido en

Gotinga. Gauss fue un niño prodigio en matemáticas y continuó

siéndolo toda su vida. Hay quien le considera uno de los tres mayores matemáticos de la historia junto a Arquímedes y Newton. Su padre era un obrero en Brunswick, obstinado en sus puntos de vista, que intentó evitar que su hijo recibiera una educación adecuada, pero en cambio, su madre, que tampoco había recibido ningún tipo de educación, animó siempre a su hijo en sus estudios.


�

82

Un día, con objeto de mantener la clase atareada y en silencio, el maestro tuvo la idea de hacer sumar a los alumnos todos los números del 1 al 100, ordenándoles además que, según fueran terminando colocaran su pizarra sobre la mesa del maestro. casi inmediatamente Carl colocó su pizarra sobre la mesa afirmando haber realizado la suma. En la pizarra se encontraba la solución correcta 5050 sin ningún cálculo accesorio. Gauss había sido capaz de sumar mentalmente dicha progresión aritmética, utilizando correctamente la fórmula a tal efecto.

Su inteligencia superdotada llamó la atención del duque de Brunswick, quien decidió costearle todos sus estudios, entrando en 1795 en la universidad de Gotinga. Gauss estaba entonces indeciso entre dedicarse a la filosofía o a las matemáticas. Antes de cumplir los veinte años hizo algunos descubrimientos importantes, entre los que se incluye el método de los mínimos cuadrados. Según este método, se puede trazar la ecuación de la curva que más se adapte a un número de observaciones y el error subjetivo es llevado al mínimo.

El día 30 de marzo de 1796 se decidió por fin por la matemática, porque ese mismo día, cuando le faltaba aun un mes para cumplir los diecinueve años, hizo un brillante descubrimiento. Desde hacía más de 2000 años, se sabía como construir con regla y compás el triángulo equilátero, el cuadrado y el pentágono regular (así como algunos otros polígonos regulares cuyos números de lados son múltiplos de dos, de tres o de cinco), pero ningún otro polígono regular con un número primo de lados. Ese día en cuestión Gauss halló un método para construir un polígono equilátero de 17 lados con ayuda de regla y compás, e incluso fue más allá, demostrando que sólo ciertos polígonos equiláteros se podían construir con ayuda de regla y compás.

Hizo una labor importante en la Teoría de Números, sintetizada en su obra "Disquisitiones arithmeticae", famosísima obra responsable del desarrollo del lenguaje y de las notaciones de la rama de la teoría de números conocida como álgebra de congruencias, ejemplo primitivo de las clases de equivalencia. También construyó una geometría no euclídea, basada en axiomas distintos a los de Euclides, pero se negó a publicarla. Lobachevski y Bolyai ostentan el honor de su descubrimiento al publicarla algo más tarde. En 1799 Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra, que afirma que toda ecuación algebraica tiene una raíz de la forma a+bi donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria. También demostró que los números se podían representar mediante puntos en un plano.

El 1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética: todo número natural se puede representar como el producto de números primos de una y sólamente una forma. Fuera del dominio de las matemáticas puras, Gauss ganó gran fama por su labor sobre el planetoide Ceres, del que calculó su órbita, siendo nombrado director del observatorio de Gotinga en 1807.

Durante su estancia en el observatorio, construyó un heliotropo, instrumento que reflejaba la luz solar a grandes distancias y con él los rayos de luz solar se podían emplear como líneas rectas que marcaban la superficie terrestre, pudiéndose obtener así determinaciones trigonométricas más precisas de la forma del planeta. También estudió el magnetismo terrestre, llevando la unidad de flujo magnético su nombre.


�

83

Se levantó una estatua en su honor en su ciudad natal, que descansa sobre un pedestal en forma de estrella de 17 puntas, en celebración de su descubrimiento de la construcción del polígono de 17 lados.

A propósito de la habilidad de Gauss para solucionar problemas, proponemos la solución de los siguientes:

Sombreros de colores. Enunciado

"En una bolsa hay tres sombreros azules y dos blancos; a tres personas se les explica que se les va a colocar uno de ellos en la cabeza a cada una, de forma que cada uno puede ver los de los demás pero no el suyo. Se les pide que intenten adivinar el color de su propio sombrero, y que avisen en cuanto lo consigan. Una de ellas, una vez puesto los sombreros, ve que sus compañeros tienen ambos sombreros azules. Pasa un momento, nadie dice nada, y entonces él, que era un poco más rápido que los demás, adivina el color de su sombrero. ¿De qué color era? ¿Cómo lo sabía?." (Se supone que los participantes son todos muy listos y pueden hacer cualquier razonamiento correcto que a uno se le ocurra.).

El truco de las veintiuna cartas

Hay muchísimos trucos de magia con cartas que usan, de una forma u otra, alguna propiedad matemática, a veces tan simple que parece mentira que el truco pueda pasar desapercibido. Uno de los más famosos es el siguiente:

Se comienza por separar veintiuna cartas de una baraja corriente (española o francesa, da igual), las que sean, y se barajan. Se le dice a alguien que escoja una carta al azar de entre las veintiuna, la recuerde y la devuelva al mazo sin que la vea el mago. Entonces éste le dice “voy a ir poniendo las cartas boca arriba en tres montones; recuerda, sin decirme la carta, en qué montón está”. Un vez hecho esto, el mago pregunta al espectador en qué montón está su carta, las recoge y repite la misma operación tres veces. Después de esto, el mago es capaz de decir cuál era la carta elegida.


�

84

MAURITZ CORNELIUS ESCHER

M. C. Escher nació el 17 de Junio de 1898 en Leeuwarden, Paises Bajos. A temprana edad fue animado por su padre para aprender el arte de la carpintería y la pericia de otros oficios. Aunque Escher no era buen estudiante, su talento artístico surgió pronto en la escuela. Fue entonces cuando sus amigos y familia le alentaron para estudiar Arquitectura. Una vez en la escuela de Arquitectura y Arte Decorativo, sin embargo, se dio cuenta de que su verdadera pasión era el Arte Gráfico. Los siguientes dos años los pasó en la Escuela de Arte, donde aprendió a fondo el arte gráfico y técnicas de tallado de madera.

Mauritz Cornelius Escher Nació el 17 de Junio de 1898 en Leeuwarden

Murió el 27 de Marzo de 1972 en Laren, Países Bajos

Tras la conclusión de sus estudios en la escuela, viajó por muchos países del Sur de Francia, España e Italia. Durante estos viajes, encontró numerosas inspiraciones para su trabajo.

Debido a su carrera como artista, Escher estaba fascinado por el arte de la estructura. Tanto era así que sus primeros trabajos tendían hacia representaciones realistas de paisajes y arquitectura observada durante sus viajes, que reflejaban más una gran fascinación por las estructuras de las construcciones que por los paisajes en si. Escher visitó la Alhambra, sita en Granada (España), varias veces, debido a que estaba cautivado por las ornamentaciones árabes que cubrían todo el espacio de las fachadas y muros. La inspiración obtenida allí fue la fundación de sus trabajos después de 1937, por los cuales es más famoso. Estos trabajos envolvían repetidos dibujos y divisiones regulares del plano, construcciones imposibles y espacios infinitos. Su trabajo desde entonces y hasta su muerte en 1972 fue dirigida por unos únicos conceptos matemáticos incomprensivos. A través de sus magistrales trabajos, Escher fue capaz de tender un puente simbólico entre la esfera del arte y la ciencia.


�

85

Teselaciones Una entretenida actividad que se puede llevar a cabo con los alumnos es la de crear

teselaciones. ¿Qué es una teselación? Según la Real Academia Española, edición XIX del diccionario, la palabra tesela (del

latín, tessella) significa "Cada una de las piezas cúbicas de mármol, piedra, barro cocido o cualquier otra material, con que los antiguos formaban los pavimentos de mosaico". ¿Cómo crear una teselación? Partiendo de un cuadrilátero cualquiera, como se muestra en la figura, se puede teselar un plano, así:

1. Se toma la figura inicial.

2. Se crea una copia de la figura inicial.

3. Se gira sobre una de sus esquinas.

4. Se superpone enfrentado una de sus caras con la misma antes de girarla.


�

86

5. Se hace copia de los cuadrilateros girados en otro sentido.

6. Se copia el restante de la misma manera.

Trate de que sus alumnos formen mosaicos como los que se muestran a continuación


�

87

HISTORIA DEL CERO

Uno de los aportes más importantes de la Matemática es la invención del Cero.

El registro histórico muestra que hay dos usos del cero.

♦ Un uso tiene que ver con el valor de posición en una cifra, o sea, como un indicador del lugar vacío en un número. Por ejemplo, en un número como el 2106 el cero se usa para que las posiciones del 2 y 1 sean correctas. Claramente 216 significan algo diferente, o 2016, 2160.

♦ El segundo uso de cero es como un número cuya propiedad es ser neutro en la adición.

A pesar de la gran importancia que tiene el cero para la matemática, debieron pasar varios siglos antes que la humanidad hiciera uso de este concepto.

En el caso de los griegos la idea de cero solo se “asoma” cuando se trata de representar la “no cantidad”, pues los números griegos solo tenían un sentido de medición: todavía no habían incorporado la idea de valor de posición.

El primer registro del uso del cero como lo entendemos hoy ocurre en la India alrededor del año 876 d.C.

Una inscripción en una lápida de piedra que contiene una fecha que se traduce en 876. La inscripción involucra el pueblo de Gwalior, 400 km sur de Delhi, donde plantaron un jardín de 187 por 270 hastas, que producirían bastantes flores para permitir hacer entrega al templo local de 50 guirnaldas por día. Los dos números que se denotan, 270 y 50, aparecen como actualmente, aunque los 0 son más pequeños y ligeramente levantados.

En 830, el matemático hindú Mahavira escribió más o menos la siguiente sentencia: “... un número multiplicado por cero es cero, y un número permanece el mismo cuando el cero se substrae de él”.

Aproximadamente en el siglo XII d.C. al-Samawal, matemática árabe, escribe: “Si nosotros substraemos un número positivo del cero los mismos restos del número negativos. ... si nosotros substraemos un número negativo del cero los mismos restos del número positivos”.

En esta época, los árabes llevaron su sistema de numeración (indo – arábico) a Europa.

M C D U

•••• •••• •••• ••••

•••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• •••• ••••

•••• Número 4.037

Durante la Edad Media fue conocida la idea de valor de posición. Para ello se hacía uso de “tablas de contar” formadas por columnas que representaban las unidades, decenas, centenas y unidades de mil.

La idea de cero era muy parecida a la que ya tenían los babilonios: dejar un espacio vacío en la posición del cero.


�

88

66.. CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS n los últimos 2.500 años la historia de la enseñanza de la Matemática ha habido grandes cambios, no sólo en lo que se está enseñando, sino también de la manera que esta se enseñanza. Las opiniones de los organismos públicos y académicos hacia una educación predominantemente matemática o científica también ha tenido

cambios respecto a aquellos sostenidos hasta ahora, impuestos por los cambios tecnológicos.

La presencia de la Matemática en la Educación ha variado considerablemente a través de la historia, la época de mayor respeto y devoción ocurrió en Grecia, casi desaparece en la edad Media, y re-emerge en los tiempos modernos. Los más importantes cambios en este desarrollo han sido en respuesta a un número pequeño de eventos históricos y las acciones de personas y organizaciones.

Éstos puede resumirse como sigue: �" El otoño del Imperio romano y la pérdida de conocimiento y la practica educativa, debido

a la sucesión de guerras que siguieron este evento. �" Se destacan los esfuerzos de personajes como Carlomagno y Alcuino durante el siglo VIII

en Europa, para mejorar las normas educativas y el conocimiento del pueblo y el clero. La influencia del Papa Silvestre II (Siglo XII) que contribuyó a mejorar la opinión de la Iglesia respecto de la Matemática en el periodo más tardío de las Edades Oscuras.

�" El aporte al conocimiento gracias a textos propios y textos griegos recuperado por los árabes y traído a Europa en la época de las cruzadas, y el trabajo de Fibonacci introduciendo y promoviendo el nuevo y mejorado sistema de numeración.

�" El incremento del comercio y la navegación durante el Renacimiento permitió que personas con un buen nivel de conocimiento matemático los buscaran como tutores para los individuos, o como profesores para las escuelas de comercio y navegación que estaban empezando a aparecer.

�" La invención de la imprenta que llevó a una diseminación más amplia del conocimiento y de los adelantos matemáticos, gracias al costo reducido de comprar o adquirir libros y textos.

" La fundación de Universidades, como centros de conocimiento y aprendiendo, ayudaron a los matemáticos a dar a conocer su aportes.

�" El efecto de la Reforma de la Iglesia en Escocia e Inglaterra tuvo importantes consecuencias respecto de las normas educativas, entre otras, la creación de escuelas.

�" Y finalmente la revolución industrial aumentó el número de obreros inmigrantes de las áreas rurales, quienes debieron alfabetizarse y aumentar sus habilidades numéricas, para constituir una “fuerza de trabajo” adecuada a los cambios tecnológicos que se están iniciando.

Todos estos factores y eventos influyeron en mejorar la posición de la Matemática en la sociedad, en la educación y en la opinión de pública en general, la cual, el aporte de cada matemático en cada tiempo de la historia ha ayudado a que esta ciencia hay hecho tantos aportes a nuestras vidas y cómo ésta ha influido en todos los cambios tecnológicos que han hecho que hoy día cada país, cada persona pueda estar conectado al instante con otro.

E


�

89

BIBLIOGRAFÍA

1. Argüelles, J. 1989: Historia de las Matemáticas. Editores Akal, España.

2. Enciclopedia Encarta 1999 Microsoft Corporation.

3. Perero, M. 1994: Historia e Historias de Matemáticas. Editorial Latinoamericana. México.

4. Bell, E. T. 1949: Historia de las Matemáticas. Fondo de Cultura Económica. México.

5. Ríbnikov, K. 1987: Historia de las Matemáticas. Editorial Mir. Moscú.

6. CIDE. 2000: Unidad 6 “Nociones de Probabilidades”. Programa MENTES ACTIVAS.

7. CIDE. 2000: Unidad 10 “Funciones y Ecuación de una Recta”. Programa MENTES ACTIVAS.

8. Mercado, C. 1978: Geometría. Editorial Universitaria, Chile.

9. Página Web The “MacTutor History of Mathematics archive” URL: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/

10. Pagina Web : Historia de las Matemáticas. URL: http://almez.pntic.mec.es/~agos0000

11. Página Web: El Paraíso de las Matemátic@s URL: http://matematicas.metropoli2000.com/

��" Página Web interactiva: http://sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html

��" Página Web, Teselaciones http://www.geocities.com/SiliconValley/Vista/2212/tesela.html#definicion

historia de la matemática

Documents