15: HIDROSTTICA

6: HIDRODINMICA6.1 INTRODUCCIN

La hidrodinmica estudia el movimiento de los lquidos y junto con la hidrosttica constituyen la hidrulica. En general, el estudio del movimiento de los lquidos es muy complejo. Sin embargo, en un modelo terico en el cual consideramos el movimiento de un fluido ideal, ste estudio es simple y es el que aqu presentamos. A pesar de ser un modelo vlido para fluidos ideales, en las aplicaciones prcticas existen diversas situaciones fsicas en las cuales ste modelo se cumple con mucha aproximacin.

6.2 FLUIDO IDEAL

Un fluido se puede considerar ideal si presenta las siguientes caractersticas:

FLUIDO INCOMPRESIBLE

La densidad del fluido es constante en el tiempo. Los lquidos presentan sta caracterstica.

FLUJO UNIFORME, ESTABLE O LAMINAR

La velocidad de las partculas y la presin del fluido, presenta el mismo valor al pasar por un punto determinado de la conduccin (tubera, canal, ducto, etc). Esto sucede para valores de velocidad relativamente bajos, dependiendo de la naturaleza del fluido, y en este caso las trayectorias que describen las partculas en su movimiento o lneas de corriente, no se cruzan entre s, ver fig.6.1.

FLUJO NO VISCOSO

En el movimiento de un fluido real, existe una fuerza de friccin interna asociada al desplazamiento relativo entre capas adyacentes. Esto se conoce como viscosidad. Si el flujo es a travs de una conduccin, la friccin del fluido con las paredes del conducto dan como resultado que las capas de fluido prximas a las paredes tengan una menor velocidad, ver fig. 6.2. Si el fluido es no viscoso, la velocidad de sus partculas es la misma sobre toda la seccin transversal de la conduccin.

FLUJO IRROTACIONAL

Si las partculas del fluido en su movimiento no presentan un momento angular resultante. Experimentalmente esto se verifica observando el movimiento de una rueda de paletas ubicada dentro del fluido. Si la rueda no rota, el flujo es irrotacional, ver fig.6.3.

6.3 CAUDAL O GASTO Y LA ECUACIN DE CONTINUIDAD

CAUDAL

Se define como caudal al volumen del fluido que pasa por la seccin transversal de la conduccin en la unidad de tiempo. Expresado matemticamente:

(6.1)

Dnde, V, es el volumen de fluido que atraviesa la seccin transversal de la conduccin en el tiempo t". El gasto se expresa en unidades de volumen por unidad de tiempo. En el S.I., en m3/s.

Se puede demostrar qu, para un fluido ideal, una relacin equivalente para el caudal es:

(6.2)

Donde, A es el rea de la seccin transversal y v, la velocidad del fluido en ese punto de la conduccin.

ECUACIN DE CONTINUIDAD

Si el fluido es ideal, la ecuacin de continuidad establece qu, cualquiera que sea la forma del conducto, el caudal es constante a lo largo de la conduccin, esto es,

G = A1 v1 = A2 v2 (6.3)

Es decir,

G = A v = constante,

Una consecuencia inmediata de la ecuacin de continuidad es que la velocidad del fluido es mayor en los puntos de la conduccin donde la seccin se reduce y es mayor en los ensanchamientos, ver fig.6.4.

6.4 LA ECUACIN DE BERNOULLI

Cuando un lquido que se mueve a travs de una conduccin de seccin transversal y altitud variable, vara la presin a lo largo del mismo. En 1738, El fsico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) dedujo una expresin que relaciona la velocidad, la presin y la altitud en cada punto de la conduccin.

sta relacin se puede obtener aplicando el teorema del trabajo y la energa, el cual relaciona el trabajo neto con la variacin en la energa cintica, al movimiento de una porcin del lquido cuando ste se encuentra en dos posiciones diferentes de la conduccin.

El teorema del trabajo y la energa establece que:

Apliquemos ste teorema al flujo a travs de una conduccin de seccin transversal constante. Consideremos una porcin de volumen del lquido que avanza por la conduccin, como se muestra en la fig.6.5.

El resultado neto de ste movimiento es como si el elemento de volumen, de masa m, cambiara de la posicin con altitud h1 a la posicin h2, respecto al nivel de referencia.

As, el trabajo neto realizado por las fuerzas externas en ste proceso es:

Usando m = (lquidoV = (Ax, en la ec. anterior, simplificando y ordenando trminos con igual subndice, obtenemos:

(6.4)

La cual puede escribirse as:

,

sta relacin se conoce como la Ecuacin de Bernoulli y de modo general nos indica qu, a lo largo de la conduccin, en los puntos donde la velocidad aumenta la presin disminuye y viceversa, de modo que el flujo es desde puntos de mayor presin hacia otros de menor presin.

La ecuacin de Bernoulli, an cuando se ha obtenido para un lquido y una conduccin de seccin constante, es vlida para todo fluido que pueda ser considerado idealy para conducciones de seccin variable.

El trabajo realizado por las fuerzas de presin, es decir, el trabajo realizado por el medio circundante para mover el lquido, es:

(6.5)

Luego, la rapidez con la cual se realiza ste trabajo o potencia, ser:

(6.6)

6.5 ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI

TOREMA DE TORRICELLI

Consideremos un depsito abierto que contiene un lquido, el cual sale a travs de un orificio practicado en l a una cierta profundidad, ver fig.6.6. Si se desea obtener la velocidad de salida del lquido, podemos considerar el caso como el flujo de un lquido a travs de una conduccin en la cual la seccin transversal se reduce considerablemente.

Note qu, el rea de la seccin transversal del orificio es mucho menor que la del depsito (A1(( A2), luego, la aplicacin de la ecuacin de continuidad nos reporta que v2(( v1 ( 0. Luego, al aplicar la ec. de Bernoulli en los puntos 1 y 2, con un nivel de referencia pasando por el punto 1 (h1 = 0), obtenemos:

De donde:

o simplemente,

, (6.7)donde, h, es la profundidad a la cual se ha practicado el orificio. ste resultado se conoce como el Teorema de Torricelli.

MEDIDOR DE VENTURI O VENTURMETRO

Es un dispositivo que sirve para medir la velocidad del flujo de un fluido de densidad conocida. Bsicamente consiste de un tubo en forma de U que generalmente contiene mercurio; una rama se fija al punto donde se desea conocer la velocidad y la otra rama, a un punto cercano donde previamente se ha practicado un estrechamiento, de modo que el rea de las secciones transversales tambin es conocida, ver fig.6.7.

Despus que el mercurio alcanza el equilibrio se registra la diferencia de niveles en las dos ramas (y = ho . ste desnivel se debe a la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2; el flujo es de izquierda a derecha, debido a que p1(p2.

Si hacemos coincidir el nivel de referencia con el eje de la conduccin (h1 = 0 y h2 = 0) y aplicamos la ec. de Bernoulli en los puntos 1 y 2, obtenemos:

De donde:

(A)

sta diferencia de presiones se puede hallar observando que el mercurio se encuentra en equilibrio, luego, aplicando la ec. fundamental de la hidrosttica, obtenemos:

p1- p2 = (mercurio g ho (B)

Igualando (A) y (B), se tiene:

(C)Adems, haciendo uso de la ec. de continuidad, A1v1 =A2v2, tenemos:

Usando ste resultado en la ec. (C) y resolviendo para v1, obtenemos:

(6.8)sta es la velocidad del fluido en se punto de la conduccin.PROBLEMAS PROPUESTOS1. Por una manguera contra incendios de 6,35 cm de dimetro fluye agua a razn de 3 Litros/s. La manguera termina en una boquilla de 2 cm de dimetro interior. A qu velocidad sale el agua de la boquilla?

2. En una tubera horizontal, fluye el agua con una velocidad de 4 m/s bajo una presin de 280000 N/m2. La tubera se estrecha hasta la mitad de su dimetro original. Determinar el valor de la velocidad y de la presin del agua en la parte ms estrecha?

3. Por una tubera horizontal, que tiene un estrangulamiento, fluye agua. La presin es 45 KPa en un punto donde la rapidez es 2 m/s. Encuentre la presin en donde el rea de la seccin se reduce a la cuarta parte.

4. Un tubo horizontal de 10 cm de dimetro tiene una reduccin uniforme que lo conecta con un tubo de 5,0 cm de dimetro. Si la presin del agua en el tubo ms grueso es 8,0 x 104 Pa, y la presin en el tubo ms delgado es 5,0 x 104 Pa. Determnese el caudal del flujo de agua que pasa a travs del tubo de rea mayor.5. En un gran tanque de almacenamiento lleno de agua se forma un pequeo orificio en su costado en un punto 5.0 m debajo de la superficie libre del agua. Si el caudal de agua en la fuga es 2,5 L/s, el dimetro del orificio es:

6. Hallar a la velocidad de salida del agua a travs del orificio. El aire en el recipiente cerrado esta a una presin manomtrica de 1,88 x105 Pa.

7. Por un orificio, en el fondo de un depsito abierto y lleno de agua hasta una altura de 4 m, se escapa un caudal de 50 L/min. Calcular el nuevo caudal si sobre la superficie libre se aplica una sobrepresin de 50 KPa.

8. El tubo de Venturi, ver figura, tiene secciones transversales de reas A en (1) y A/5 en (2), respectivamente. La diferencia de alturas de las columnas de Hg es H = 480/12,6 m. Hallar la velocidad del agua en el estrechamiento (2).

9. En el tubo de la figura pasa aire con una rapidez de 36 litros por segundo. Si las secciones transversales de la parte ancha y estrecha son 2 cm2 y 0,5 cm2, respectivamente. Cul es la diferencia de niveles que tendr el agua en el manmetro insertado? .

10. Se impulsa un gas, que se encuentra a presin atmosfrica, a travs del tubo horizontal que se muestra. Si la densidad del gas es 1,36 Kg/m3, hallar la velocidad del flujo en el punto A. La altura de la columna de mercurio es 16 cm.

11. Un barquillo de helado, en forma de un cono circular, tiene 27 cm2 de seccin en su parte ancha. En el fondo del barquillo se practica un orificio de 1 mm2, por el cual el helado fundido (( =1,2 g/cm3) empieza a salir. Si inicialmente en el barquillo lleno al ras hay 108 gramos de helado, determinar el caudal de salida del helado por el orificio, inmediatamente despus de practicar el orificio. Desprecie la viscosidad.12. En un tubo de Pitot simple para medir la velocidad de un lquido, ver fig. se registra que (h = 10 cm, luego, la velocidad del lquido es:

13. En una tubera de agua se sumergi un tubo doblado, ver fig. La velocidad del agua es 2,0 m/s y el extremo superior del tubo, que se encuentra a ho = 12 cm sobre el nivel de la tubera, tiene un pequeo orificio. Determinar la altura del chorro del agua en el agujero.

14. Por un tubo horizontal que presenta una reduccin en su seccin, fluye agua. Se conectan dos tubitos a los orificios, ver fig. Si la diferencia de niveles del agua en los tubitos es 10 cm y la velocidad en la seccin ancha es (2 m/s, determinar la velocidad en el estrechamiento.

15. El dispositivo de la fig. se utiliza para medir la velocidad de un lquido de densidad relativa ( = 1,6 y el fluido en el manmetro es mercurio. Si la diferencia de niveles en el manmetro es (h = 12 cm, determinar la velocidad del lquido.16. En un recipiente se echa agua a razn de 0,314 L/s. Qu dimetro deber tener el orificio que hay en el fondo del recipiente para que el agua se mantenga constante a un nivel de 20 cm?.

17. Un tubo horizontal de seccin constante conduce agua. En un punto, el rea de su seccin transversal se reduce a la mitad y la presin disminuye en 30 KPa. Determinar la velocidad del agua en el estrechamiento.

18. El dispositivo de la fig. se utiliza para medir la velocidad del fluido en un gasoducto. La densidad del gas es 1,36 kg/m3 y el fluido en el manmetro es mercurio. Si la diferencia de niveles en el manmetro es (h = 2 cm, determinar la velocidad del gas.

19. Por una tubera horizontal fluye agua a una rapidez de 4 m/s. En un cierto punto se conecta un manmetro de mercurio, ver fig. Si la diferencia de niveles del mercurio es h2 = 10 cm, considerando h1 = 20 cm, determinar la presin manomtrica esttica en cualquier otro punto de la tubera.

20. En la fig. se muestra un sifn con el cual se extrae agua de un depsito. La manguera tiene una seccin constante. Si h = 1,0 m, determinar la velocidad de salida del agua en el sifn.

21. En la figura, se muestra un sifn con el cual se extrae agua de un depsito. Determinar la mxima altura del sifn y por encima del nivel de la superficie libre del agua en el depsito. Se sabe que para que haya flujo continuo la presin no debe descender por debajo de la presin de vapor (pv = 0,02 atm a temperatura ambiente).

22. Mediante una fuerza constante F aplicada a un mbolo se expulsa completamente un litro de agua contenida en un cilindro que tiene un orificio de salida, ver fig., en un tiempo de 100 segundos. Si el orificio de salida tiene una seccin transversal de 1 cm2, determinar el trabajo realizado.

23. Un avin de 50 toneladas cuyas alas tienen un rea total de 150 m2 se encuentra volando horizontalmente. Cul es, aproximadamente, la diferencia de presin entre la superficie superior e inferior de las alas?. 24. Cada ala de un avin tiene una rea de 20 m2. Si la velocidad del aire es de 60 m/s en la superficie inferior del ala y de 70 m/s en la parte superior del ala, hallar el peso del avin (Suponga que el avin vuela horizontalmente a una altura donde la densidad del aire es 1 kg/m3. Tambin suponga que toda la sustentacin la proporcionan las alas.1

vsalida

Nivel de referencia

h

Flujo

Nivel de referencia

v2

p2A

h2

mg

x

mg

v1

x

p1A

h1

A2 v2

A1 v1

( ( 0

Flujo

Flujo

(=0

Flujo

Flujo

vsalida

vsalida

Fig. 6.6 Flujo a travs de una conduccin de altitud

variable y seccin constante

Fig. 6.7 Medidor de Venturi o venturmetro

Fig. 6.6 Fuga del lquido de un depsito a travs de un orificio

po

Fig. 6.1 Flujo uniforme y no uniforme

Fig. 6.2 Flujo viscoso y no viscoso

Fig. 6.3 Flujo rotacional e irrotacional

Fig. 6.4 Flujo ideal a travs de una conduccin de seccin variable

2

ho

1

2

Nivel de referencia

EMBED PBrush

(h

h

ho

(h

(h

(h

2

1

h2

h1

h

y

vs

y

vs

F

V

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