hern 0172 a metodos de sintonizacion

Instituto Tecnológico de Celaya

2013

Métodos de Sintonización

Ziegler-Nichols Curva de Oscilación y cuerva de reacción

Hernández Calderón Héctor Alonso

Instituto Tecnológico de Celaya Materia: Control Alumno: Hernández Calderón Héctor Alonso No. Control: 08030172 Tema: Métodos de Sintonización Fecha de entrega: 08 – 03 – 13

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Introducción

Los métodos de sintonización nos permiten asignar valores específicos a los componentes que conforman a los controladores P, PI, PD y PID. El Método de Oscilación se basa en un lazo de control solo con ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a oscilar y al período se esas oscilaciones, se puede establecer las ganancias de los controladores P, PI y PID. El Método de la Curva de reacción consiste en aplicar un escalón unitario a los elementos que forman la trayectoria directa sin incluir al controlador y calcular algunos parámetros como la máxima

pendiente de la curva (m) y el retardo o atraso de tiempo (a), con ello es se establecen las ganancias de los controladores P, PI y PID. Método de Curva de Oscilación

Este método solo es válido para plantas estables en lazo abierto (ver figura 1) y se lleva a cabo siguiendo los siguientes pasos:

1. Aplicar a la planta, sólo control proporcional con ganancia Kp pequeña. 2. Aumentar el valor de Kp hasta que el lazo comience a oscilar. La oscilación debe

ser lineal y debe detectarse en la salida del controlador (u(t)). 3. Registrar la ganancia crítica Kp=Kc y el período de oscilación Pc de u(t), a la salida

del controlador. 4. Ajustar los parámetros del controlador PID de acuerdo a la tabla 1.

Figura 1. Lazo cerrado sólo con ganancia proporcional.

Tabla 1. Parámetros de ajuste.


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La tabla anterior fue obtenida por Ziegler y Nichols quienes buscaban una respuesta al escalón de bajo amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por un modelo de la forma:

Simulación

Aplicar el método de la curva de oscilación al sistema representado en la figura 2 para determinar los valores de los parámetros respectivos para un control P, PI y PID.

Figura 2. Diagrama de bloques.

Primero se procede con obtener la ganancia máxima Kc y la frecuencia ωc correspondiente al punto en el que el lugar geométrico cruza el eje jω, para lo cual se considera el denominador de la función de transferencia de lazo cerrado:

donde se sustituye s por jω:

La espresión anterior puede separarse en partes imaginaria y real:

De la aprte imaginaria se obtiene la frecuencia ωc con la que el sistema cruza el eje jω:

, con lo cual:

De la parte real sale se obtiene el valor de la ganancia máxima Kc, lo cual corresponde a la ganancia que requiere el sistema para que éste se comporte en forma libre oscilatoria:


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A partir de y , es posible cuantificar los parámetros de cada uno de los controladores. Según como se muestra en la tabla 2.

Kp Ti Ki Td Kd

P 30

PI 27 1.5787 17.1024

PID 36 0.9472 38.0054 0.2368 8.5261

Tabla 2. Sintonización de controladores.

Con los datos de la tabla anterior se ilustra en la figura 3 el diagrama a bloques cuando se le aplica una acción de control proporcional a nuestra planta y la figura 4 muestra la respuesta del sistema.

Figura 3. Aplicación de acción P.

Figura 4. Respuesta bajo acción P.


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La figura 5 muestra el diagrama a bloques cuando se le aplica una acción de PI a nuestra planta y la figura 6 muestra la respuesta del sistema.

Figura 5. Aplicación de acción Pl.

Figura 6. Respuesta bajo acción PI.

La figura 7 muestra el diagrama a bloques cuando se le aplica una acción de PID a nuestra planta y la figura 8 muestra la respuesta del sistema.


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Figura 7. Aplicación de acción PlD.

Figura 8. Respuesta bajo acción PID.

Método de Curva de Reacción

Muchas plantas en la práctica pueden describirse satisfactoriamente con un modelo representado por la ecuación 1. Una versión cuantitativa lineal de éste modelo puede obtenerse mediante un experimento a lazo abierto con el siguiente procedimiento:

1. Llevar manualmente la planta a lazo abierto a un punto de operación normal manipulando u’(t). Suponiendo que la planta se estabiliza en y(t)=y0 para u0.


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2. En un instante inicial t0 aplicar un cambio en la entrada escalón, desde u0 a u (el salto debe estar entre un 10 a 20% del valor nominal).

3. Registrar la respuesta de salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operación. La figura 9 muestra la curva típica que se obtiene, ésta curva se llama curva de reacción del proceso. A partir de la curva de reacción, se dibuja una recta tangente en el punto de inflexión de la curva, de tal manera que la intersección de

dicha recta con el eje de tiempo representa el atraso de tiempo .

Figura 9. Curva de reacción en lazo abierto de la planta.

4. Calcular los parámetros del modelo de la ecuación 1 de la siguiente forma:

El modelo obtenido puede ser utilizado para varios métodos de ajuste de controladores PID. El objetivo de diseño es alcanzar un amortiguamiento tal que exista una relación 4:1 para el primer y segundo pico de la respuesta a una referencia escalón. Los parámetros sugeridos por Z-N se muestran en la tabla 3.

Kp Ti Td

P

PI

PID

Tabla 3. Parámetros de ajuste.


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Simulación

Se tiene un sistema (planta) donde su función de transferencia es

y se

desea conocer los parámetros respectivos para sintonizar los controladores P, PI y PID, por lo tanto es necesario utilizar el método de curva de reacción de Ziegler-Nichols.

Aplicando una entrada escalón a la función en trayectoria directa, en éste caso Gp(s), se obtiene la curva de reacción mostrada en la figura 10.

Figura 10. Curva de reacción del sistema.

De la figura anterior o con ayuda del teorema del valor final podemos determinar el valor

de que resulta ser el valor de final de la respuesta en estado estable. Conociendo éste valor y el valor final de la entrada escalón ( ) para la planta

podemos conocer el valor de la ganancia del proceso:

Ahora es necesario obtener el atraso del tiempo , en relación a la curva de reacción. La respuesta del sistema de lazo abierto está dado por Y(s)=U’(s)Gp(s), teniendo:

ʆ-1

Obtenemos la primera y segunda derivada:

Para determinar el punto de inflexión se iguala a cero la segunda derivada, por lo que el punto de inflexión se localiza en . Para obtener la pendiente de la tangente m en dicho punto, se sustituye t en la primera derivada (Ec. 3), lo cual corresponde a:


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Con el cálculo anterior es posible determinar el tiempo de retraso . El valor de la ecuación y(t) en el punto de inflexión es:

El valor de , que corresponde a , donde la pendiente de la tangente corta al eje de tiempo, se obtiene a partir de la tangente m:

Una vez determinados los valores de y , utilizando la tabla 2, es posible cuantificar los diversos parámetros para sintonizar los diferentes tipos de controladores (tabla 4) bajo el método de la curva de reacción.

Kp Ti Ki Td Kd

P 38.841

PI 34.9569 0.462 75.6643

PID 46.6092 0.28 166.461 0.07 3.2626

Tabla 4. Sintonización de controladores.

La figura 11 muestra el diagrama a bloques cuando se le aplica una acción de control proporcional a nuestra planta y la figura 12 muestra la respuesta del sistema.

Figura 11. Aplicación de acción P.


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Figura 12. Respuesta bajo acción P.

La figura 13 muestra el diagrama a bloques cuando se le aplica una acción de proporcional integral a nuestra planta y la figura 14 muestra la respuesta del sistema.

Figura 13. Aplicación de acción Pl.

Figura 14. Respuesta bajo acción PI.


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La figura 15 muestra el diagrama a bloques cuando se le aplica una acción de PID a nuestra planta y la figura 16 muestra la respuesta del sistema.

Figura 15. Aplicación de acción PlD.

. Figura 16. Respuesta bajo acción PID.

Conclusión

El modo integral ofrece una corrección que es proporcional a la integral del error.

Con respecto al modo derivativo, se puede decir que ofrece una cierta

característica predictiva o anticipativa.

La característica principal del control PID es que le da al sistema las mejores

características, tanto del modo integral como del modo derivativo.

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