heliocéntrico, es con las tres leyes de kepler...
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De revolutionibusNicolás Copérnico
astrónomo polaco (1473-1543).
El modelo de Nicolás Copérnico es heliocéntrico, esdecir, el Sol en el centro del Universo y los planetasgirando a su alrededor. Este modelo fue completadocon las tres leyes de Kepler (matemático y astrónomoalemán, 1571-1630).
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El mundo de los modelos matemáticos
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El término modelo no tiene el mismo significado en matemática que en la vida cotidiana.
Un modelo es una representación de la realidad, una expresión simplificada y generalizada de lascaracterísticas de una situación, fenómeno, objeto o sistema del mundo real. Es una abstracción de larealidad, la cual se expresa mediante palabras, números, símbolos especiales, diagramas, iconos, gráficaso semejanza en cuanto a apariencia o comportamiento entre el modelo y la entidad modelada; y se empleapara obtener una imagen conceptual que reduzca la variedad y la complejidad del mundo real a un nivelque podamos entender y especificar.
Maqueta de la reurbanización de“El SIlencio”, 1942.
Modelo de modas.
Pintor y modeloGeorge Apperley, pintor inglés (1884-1960).
Estudios de agitación por mareas enpuertos mediante un modelo matemático.
Las matemáticas son reales en el sentido de que ellas están aún enrelación con el mundo concreto, ... Un criterio importante para la
investigación en matemática ha sido, es, y será, la apreciación de susrelaciones últimas con el mundo real.
Saunders MacLaneMatemático estadounidense (1909 - ).
MODELO MATEMÁTICO
Modelo para el estudio de la cinemática dela columna vertebral humana.
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Representación simplificada del proceso de modelado
REALIDAD MODELO
Discretos
Continuos
Dinámicos
Estáticos
Interesante:Otros tipos son los modelos digitales y los analógicos; los determinísticos y los estocásticos; los borrosos;etc.
La antigua ciudad de Königsberg (hoy Kaliningrado), en lo que era la Prusia Oriental,se encuentra atravesada por el río Pregel (cuyo nombre actual es Pregolya). Laciudad estaba construida tanto en ambas orillas como en una isla en medio del río,estando entrelazada toda ella por 7 puentes como se muestra en el gráfico.Se dice que los habitantes de la ciudad se entretenían tratando de encontrar unaruta para pasear con la condición de cruzar cada uno de los siete puentes y hacerlosólo una vez. Como habían intentado hacerlo infructuosamente la mayoría pensabaque tal paseo era imposible.Le tocó al insigne matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) ponerle punto finala la discusión: probó matemáticamente, en 1736, la imposibilidad de cruzar los sietepuentes y hacerlo sin pasar dos veces por un mismo puente.Euler resolvió el problema representando la situación mediante un modelo gráfico.Este tipo de objeto matemático se conoce con el nombre de grafo: a los puntos rojos seles llama vértices y a las líneas verdes que los unen, aristas.Este problema es el punto de inicio de dos importantes ramas de la matemática: la teoríade grafos y la topología combinatoria.
Río Pregel
Ejemplos de modelos:
Un mapa
Una fotografía
Leyes de Kepler Representación del tiempo
Modelo de azar
Modelo del funcionamiento cardíaco
Algunos tipos de modelos
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Los modelos matemáticosEn diversos textos de matemática, de ciencias, de economía, de arquitectura y de ingeniería, se hacereferencia a los modelos y, en particular a: los modelos matemáticos, los modelos económicos, los modelosen ingeniería, los modelos arquitectónicos, etc.
Para llegar a la noción de modelo matemático presentamos cuatro situaciones que permitirán diferenciarqué es un modelo matemático de aquello que no lo es.
A. Sumar los n primeros términosde la sucesión
1, , , ,...
¿A qué número se aproxima lasuma cuando el número detérminos “crece indefinidamente”?
116
14
164
B. Con un ángulo de elevaciónde 35º miramos la copa de unárbol que está en una colinasituada a nuestra derecha y a lacual no podemos llegar. Despuésnos desplazamos hacia laizquierda unos 100 m y alobservar la copa del árbol lohacemos con un ángulo deelevación de 25º. ¿A qué alturadel piso está situado el punto másalto del árbol?
C. Si tenemos una fruta como lanaranja, ¿cómo podemos calcularel volumen del sólido que elladefine?
Situación ASe trata de calcular la suma Sn = 1 + + + +........+ .
Observa que los términos de la sucesión 1, , , ,... están en progresión geométrica de razón y, además,la gráfica de Sn, para valores n= 1, 2, 3, 4, 5,..., permite calcular “aproximadamente” a que “tiende Sn”.
He aquí dos formas de obtener Sn.
116
14
164
14n-1
Multiplicamos los dos miembros de
Sn = 1 + + + +........+ por la razón116
14
164
14n-1
14
Aplicando la fórmula conocida para sumarlos,resulta:
14n-1
14
Sn=14
-1
-1=
43
-1
3 • 4n-1
Sn = + + +........+ +116
14
164
14n
14
14n-1
Restamos (1) de (2) y cancelamos términos
Sn = 1 + + + +........+116
14
164
14n-1
Sn = + + +........+ +116
14
164
14n
14
14n-1
Sn = 1 -34
14n
de donde Sn=43
- 13 • 4n-1
Observa: a medida que n crece, los números decrecen y cuando “n crece indefinidamente” entonces “tiende a cero”. Por lo tanto, la suma Sn “tiende” a .
Esta situación (A) es un ejercicio rutinario, fácil de resolver al conocer la fórmula que da la suma de losn primeros términos de una progresión geométrica. Tiene una respuesta específica, particular, comoconsecuencia de aplicar esa fórmula, y un enunciado que contiene toda la información necesaria pararesolverlo.
14n-1
14n-1
43
43
1
1 2 3 4 5n
Sn
D. A continuación presentamos unatabla con datos de la poblaciónmundial:
Año Población1950 2 555 360 9721960 3 039 669 3301970 3 708 067 1051980 4 454 389 5191990 5 284 679 123
¿Qué podemos hacer con esosdatos?
Puede haber máscaminos paraencontrar esta suma.
14
116
164
(1)
(2)
14
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35º25º
100 mD C x A
B
M
MB = h
Situación BHagamos una gráfica que ilustre el enunciado dado. Talgráfica se presenta como en el dibujo.
El objetivo es calcular la altura H= AB= h+MA, siendoMA la altura del observador, digamos MA= 1,70 m.
La distancia DC= PN es conocida por estar dada en elenunciado, DC= PN= 100 m. En cambio, la CA= NMes desconocida, la denotamos por x (CA= NM= x).
En los triángulos rectángulos NMB y PMB, se tiene,respectivamente:
tg 35º = , tg 25º =
Despejando h e igualando, resulta:
x tg 35º = (100+x) tg 25º
h100 + x
hx
Este teodolito fueutilizado en el iniciodel siglo XX parala observaciónastronómica y confines didácticos.
De aquí se puede calcular x como solución de esa ecuación de grado uno, siempre que conozcamos losvalores de las tangentes de esos ángulos, lo cual hoy en día es fácil de obtener con una calculadoracientífica.
Así, tg 25º = 0,466 308 ; tg 35º = 0,700 208 (redondeamos con seis decimales), resultando x≈199,362.121.
Con este valor de x determinamos la altura h, pues h = x tg 35º ≈ 139,59 m. En consecuencia,H ≈ 1,70 + 139,59 = 141,29 m.
Esta situación también es la de un problema específico, con un enunciado más complejo que el de lasituación A y requiriendo más pasos para su resolución y no la simple aplicación de una fórmula. Hayque efectuar más cálculos y construir una gráfica como la anterior. Análogamente, como en la situaciónA, tiene una respuesta específica, un enunciado que involucra las variables y constantes a considerar.Puede haber más de una forma de resolverlo y se puede generalizar, al igual que en A, considerandodatos variables y no numéricos.
Interesante
El ángulo de elevación cuando miramos un objetoes el formado por la horizontal y la visual quedirigimos hacia dicho objeto. El mismo sedetermina con un teodolito: instrumento utilizadoen geodesia y topografía para medir ángulos.
También hay los “teodolitos caseros” que unopuede construir manualmente, como éste queilustramos aquí.
RETOCalculando ángulos y aplicando la ley de los senos, puedes calcular h. ¿Cómo? También puedes calcularx. ¿Piensa en otra forma de resolverlo?
515
25
35
45
55
6575
858575
65
55
45
35
2515
5
1020
30
40
50
60
70809080
70
60
50
40
3020
10
Transportador
Pitillo fijado en el origen, con un alfiler,que se utiliza como mira y poder asícalcular la inclinación.
P N
Ojo
2
Situación CLa situación C presenta características distintas de las de A y B.
El enunciado de C es bastante simple, no así su resolución que tiene más deuna respuesta dependiendo de las premisas que utilicemos y, en consecuencia,se requieren diversos métodos para encontrar las respuestas.
Podemos hacer variantes de esta situación utilizando otras frutas: manzanas, limones, peras, piñas,etc., o algunos objetos para los que no existen fórmulas específicas para determinar sus volúmenes.
Comencemos con lo que será el proceso de modelación matemática para esta situación.
Los cálculos son para la naranja de la fotografía.
• Podemos iniciar el cálculo bajo la hipótesis de que casi todas las naranjas tienen, aproximadamente,FORMA ESFÉRICA. Esto es análogo a la forma de la Tierra, donde hay un radio polar y otro radioecuatorial.
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Los modelos matemáticos
RC R’ C’
L=2πR es la longitud deuna circunferencia deradio R.
V=(4/3)πR3 es el volu-men de una esfera deradio R.
V=L3/6π2 es el volumende una esfera enfunción de la longitud Lde cualquier circunfe-rencia máxima.
Utilizamos π≈3,141 6.
El promedio de Vd y Ve es V≈ 238,32 cm3,otro valor próximo al volumen de la naranja.
Con radio R la longitud de C es L = 2 π R.
Para calcular L podemos medir la longitudde la circunferencia C con una cinta flexibleo con un cordel. Se hizo dos o tres vecespara compensar los errores de medicióny para esto tomamos la media de lasmedidas, resultando L≈ 24,03 cm. Dedonde Vd = ≈ 234,32 cm3 (valor pordefecto).
Con radio R’ la longitud de C’ es L’= 2 π R’.
Para calcular L’ podemos medir la longitudde la circunferencia C’ con una cinta flexibleo con un cordel. Se hizo dos o tres vecespara compensar los errores de medicióny para esto tomamos la media de lasmedidas, resultando L’≈ 24,3 cm, luegoVe ≈ 242,31 cm3 (valor por exceso).
Se puede dividir la longitud del segmentoCD (CD ≈ AB) en varias partes iguales.Al efectuar la medición resultó, CD ≈ 7,2cm y lo dividimos en tres partes iguales,cada una de 2,4 cm.
Luego, se puede aproximar el volumen dela naranja considerando los CILINDROSEXTERIORES dibujados.
Se determinan con un vernier, o una cintamétrica flexible, los diámetros o laslongitudes de las circunferencias,respectivamente, a los fines de calcularlos radios de las bases de estos cilindros.
3,092
3,1
2,4
2,4
2,4
C
DA
B
Calculamos el volumen de cadacilindro y los sumamos:
V1 ≈ 2,4 · π (3,092)2 ≈ 72,08 cm3
V2 ≈ 2,4 · π (3,569)2 ≈ 96,04 cm3
V3 ≈ 2,4 · π (3,1)2 ≈ 72,46 cm3,
V1 + V2 + V3 ≈ 240,58 cm3, valorbastante próximo al obtenidoanteriormente de V ≈ 238,32 cm3.
1
V=πR2H es el volumen de un cilindrocircular de altura H y radio de la base R.
3,569
•
3Ahora podemos cortar la naranja por un “plano de simetría” (cortelongitudinal) y calcar la sección plana resultante en un papel
cuadriculado o en un papel milimetrado. Esa forma plana esaproximadamente simétrica respecto del eje dibujado t, en
consecuencia, la naranja se obtiene por rotación, en torno al eje,de la región S situada a la derecha del mismo.
Esto permite calcular el volumen utilizando una propiedad conocida con elnombre de Teorema de Pappus: Si una región plana S está situada a un lado
de una recta t del mismo plano, entonces el volumen del sólido obtenido al girar S en torno de la recta t es igual a 2¹dA (A es el área de S), donde d es la distanciadel centro de masa de S a la recta t.
4
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Para calcular el área de S, lo hacemos poraproximación.
Contando el número de cuadrados interiores y elnúmero mínimo de cuadrados exteriores que cubrena S, se obtienen aproximaciones por defecto Ad y porexceso Ae de dicha área:
Ad ≈ 66 · 0,25 cm2 = 16,5 cm2 ,
Ae ≈ (66 + 36) · 0,25 cm2 = 25,5 cm2 ,
valor promedio ≈ 21 cm2 (el área de S).
La distancia d se calcula por un procedimiento mecánicoo por aproximación con los cuadrados de la región.En nuestro caso resultó d ≈ 1,7 cm o bien 1,8 cm. Supromedio es d = 1,75 cm.
Por lo tanto, por el teorema de Pappus resulta:V ≈ 2 · 3,1416 · 21 · 1,75 cm3 ≈ 230,91 cm3.
• Un procedimiento físico que da una mejor aproximación del volumen V sebasa en la propiedad siguiente: al sumergir la naranja en un recipientecon agua, el volumen de la naranja sumergida es igual al volumen dellíquido desalojado.
Para esto se dispuso de un recipiente graduado y se llevó a cabo laexperiencia unas tres veces, resultando una media de V = 233,11 cm3.
Podemos calcular los errores cometidos por las aproximaciones antes realizadas tomando como valorexacto del volumen 233,11cm3. Por ejemplo, en el primer procedimiento (forma esférica) cuyoresultado fue 238,32 cm3, se tiene el error porcentual
100 ·238,32 - 233,11
233,11≈ 2,23%
lo cual indica que este valor aproximado es bastante aceptable.
• Existen otros procedimientos, para el cálculo de este volumen, que utilizan herramientas de matemáticassuperiores (el cálculo integral) y que requerirían determinar la ecuación de una circunferencia y deuna parábola.
RETO: De manera análoga a lo realizado en este modelo, haz los cálculos con alguna fruta.
0,52cm2 =
0,25 cm2
t
S
•
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Los modelos matemáticosLa situación que venimos de analizar es lo que en matemática se denomina un modelo matemático.
Observa que aquí, a diferencia de las situaciones A y B, no tenemos una respuesta única pues ellodependió de las premisas formuladas: en un caso suponíamos forma esférica, en otro caso calculamosmediante cilindros, luego por intermedio de un área plana (con eje de simetría), y hay otras más que noanalizamos.
Así, en matemática resolvemos ejercicios, problemas, se hacen aplicaciones, se construyen modelosmatemáticos.
¿Qué diferencias hay entre estos conceptos? Oigamos lo que a talrespecto señalan Edwards & Hamsom (1990):
“¿Cuál es la diferencia entre un ‘modelo’ y un ‘problema’? (...)
Un problema, a menudo, tiene una respuesta específica correcta. Un modelo es másgeneral y especulativo. Muy frecuentemente un modelo trata con cantidades de unamanera general, representadas por símbolos sin especificar valores particulares.Modelos diferentes pueden ser desarrollados para la misma situación y se puedenobtener respuestas distintas. No se trata de que una será ‘correcta’ y las otras ‘erradas’,no obstante que algunas pueden ser más útiles que otras. Resolver un problemarequiere, a menudo, perspicacia y el uso de una técnica apropiada. Desarrollar unmodelo requiere de esas cualidades conjuntamente con alguna imaginación creativa.”
A esto se suma la opinión del grupo temático del ICME 6 (Congreso Interna-cional de Educación Matemática, 1988, realizado en Budapest-Hungría):
“Un problema matemático es una situación dando origen a ciertas cuestiones abiertasque son intelectualmente un desafío para alguien que no está en posesión inmediatade métodos, procedimientos o algoritmos directos, etc., el cual puede responder laspreguntas y resolver los problemas. Los problemas son, por lo tanto, diferentes delos ejercicios. Los problemas pueden ser puros ..... o aplicados...
Un modelo matemático es una colección de objetos matemáticos y de relacionesseleccionadas con el objeto de representar y reflejar aspectos de un área extra-matemática dada (denominada “realidad”)...
Cuando la matemática se activa hacia un área extra-matemática, estamos enfrentede una aplicación de la matemática. El término “aplicación” es, por lo tanto, muygeneral...
La Resolución de Problemas, la Modelación Matemática y las Aplicaciones, así sesobrepongan en aspectos importantes, no son simplemente equivalentes, ni encontenido ni en sus aspectos sociológicos.”
Simulación del movimiento demareas en los puertos de España,utilizando el Modelo Hamburg Shelf
Ocean Model.
Afiche del Congreso Internacional deEducación Matemática realizado en
Dinamarca en 2004.
Pappus de Alejandría (ca. 300 d.C.), es el último nombre importante de un matemáticovinculado con la famosa escuela de Alejandría en la que laboraron Euclides, Arquíme-des, Apolonio y otra pléyade de insignes matemáticos de la época. A él se debe unaobra importante, la “Colección matemática”, ocho volúmenes que resumen losconocimientos anteriores, con sus comentarios y agregados. En el libro VII de esaColección, se enuncia el hoy denominado teorema de Pappus de la siguiente forma:“Las figuras engendradas por rotación completa se obtienen como producto de lo quegira por el camino del baricentro móvil.”Este teorema fue olvidado durante cierto tiempo hasta la época de Kepler (1615)quien extendió la teoría para usarlo en la rotación de varias figuras planas (incluyendoel toro como rotación de una circunferencia). En el s. XVII, un estudiante suizo, H.Guldin (1577-1643), lo redescubrió y a veces hoy en día se le llama teorema dePappus-Guldin.
Centímetros