gutierrez 2009

Instituto Politcnico Nacional

Centro de Investigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada del IPN

Programa de Matemtica Educativa

Una secuencia didctica para generar los conceptos de

sucesin y serie en el nivel medio superior

Tesis que presenta

Lic. Norma Gutirrez Rodrguez

Para obtener el grado de Maestra en Ciencias en la especialidad de

Matemtica Educativa

Directores de tesis:

Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza

M. en C. Juan Gabriel Molina Zavaleta

Mxico, D. F. Junio de 2009

AGRADECIMIENTOS

A Rafael, mi esposo Por su amor, comprensin y paciencia.

A Frida Fernanda, Valeria Montserrat y Rafael Uriel, mis hijos Que son mi motivo para superarme

como persona.

A Leonor y Ricardo Rene, mis padres Por su apoyo incondicional.

Al Dr. Alejandro M. Rosas Mendoza Por confiar en m, para la realizacin de este trabajo.

Al M. C. Juan Gabriel Molina Zavaleta Por sus sugerencias hechas en este trabajo.

INDICE GENERAL

Resumen i

Summary ii

Glosario iii

Introduccin iv

CaptuloI.Antecedentes 1

1.1ContextoEscolar 2

1.2LasSeriesInfinitas 7

1.3OrigendelProblemadeInvestigacin 15

1.4EstadodelArte 16

1.5PreguntadeInvestigacin 19

CaptuloII.MarcoTerico 21

2.1IngenieraDidctica 23

2.2TeoradeSituacionesDidcticas 26

CaptuloIII.DiseoyAplicacindelaSecuenciaDidctica 31

3.1DescripcindelaIngenieraDidcticaennuestraInvestigacin 35

3.2AplicacindelaActividad 49

CaptuloIV.AnlisisdeResultados 51

4.1AnlisisdeResultadosdelaActividadGrfica 52

4.2AnlisisdeResultadosdelaActividadNumrica 56

4.3ResultadosdelaActividadGrfica 58

4.4ResultadosdelaActividadNumrica 66

CaptuloV.Conclusiones 74

Bibliografa 77

Una secuencia didctica para generar los conceptos de sucesin y serie en el nivel medio superior.

Resumen.

Se sabe que en el programa de nivel medio superior del IPN no se aborda el tema de series

numricas, pero al hacer una pequea lectura sobre la historia de las series infinitas,

surgieron en civilizaciones que no desarrollaron el clculo como puede verse en Rosas

(2007), esto nos condujo a hacer la pregunta de investigacin. En las investigaciones de

Albert (1996), Douglas (1992), Moreno (1999) y Prez (1991) lo trabajaron con alumnos de

nivel superior y medio superior respectivamente pero que ya haba cursado clculo

diferencial e integral.

En este trabajo nuestro objetivo es mostrar los resultados que se obtuvieron durante el

desarrollo del problema de investigacin que hemos establecido. Para responder esto, nos

basamos en el diseo y aplicacin de secuencias didcticas, es por ello que esta

investigacin su marco de referencia gira alrededor de la lnea de investigacin denominada

Teora de Situaciones Didcticas e Ingeniera Didctica, buscando que los estudiantes

construyan ese objeto matemtico por medio de representaciones numricas y grficas por

medio de un esquema experimental basado en las realizaciones didcticas en clase, es decir,

sobre la concepcin, realizacin, observacin y anlisis de situaciones didcticas basadas

en la confrontacin entre el anlisis a priori y a posteriori. (Artigue, 1995).

Por esta razn el trabajo de campo realizado, en la parte grfica se ha desarrollado en un

escenario natural con un grupo de alumnos de tercer semestre de bachillerato formado en

equipos. Estos estudiantes solo han cursado las materias de lgebra, geometra,

trigonometra y geometra analtica. La secuencia didctica consiste en lograr que los

alumnos trabajen grficamente con series infinitas usando un paquete simulador graficador

Graphmatica para el ambiente Windows. En la etapa numrica se escogieron a estudiantes

de tal manera que tuvieron que hacer comparaciones entre la funcin exponencial y la suma

de funciones polinomiales usando su calculadora cientfica. Los resultados alcanzados

muestran que el desempeo es semejante al de los estudiantes que conocen clculo.

i

Abstract

It is known that in the program at a pre University level of the IPN there is not approached

the topic of numerical series, but on having done a small reading on the history of the

infinite series, they arose in civilizations that did not develop the calculation since it can it

turns in Rosas (2007), this led us to do the question of investigation. In the investigations of

Albert (1996), Douglas (1992), Moreno (1999) and Perez (1991) it worked with pupils of

top and a half top level respectively but that already they had dealed differential and

integral calculation.

In this work our aim is to show the results that were obtained during the development of the

problem of investigation that we have established. To answer this, we base on the design

and application of didactic sequences, it is for it that this investigation his frame of

reference turns about the line of investigation called Theory of Didactic Situations and

Didactic Engineering, looking that the students construct this mathematical object by means

of numerical and graphical representations by means of an experimental scheme based on

the didactic accomplishments in class, that is to say, on the conception, accomplishment,

observation and analysis of didactic situations based on the confrontation between the

analysis to priori and to posteriori. (Artigue, 1995).

For this reason the work of realized field, in the graphical part it has developed in a natural

stage with a group of pupils of the third semester of baccalaureate formed in equipments.

These students only have dealed the matters of algebra, geometry, trigonometry and

analytical geometry. The didactic sequence consists of achieving that the pupils work

graphically with infinite series using a package malingerer graficador Graphmatica for the

environment Windows. In the numerical stage students were chosen in such a way that they

had to do comparisons between the exponential function and the sum of functions

polinomiales using his scientific calculator. The reached results show that the performance

is similar to that of the students who know calculation.

ii

Glosario.

Acercamiento Sistemtico El objetivo principal de estudio de la Didctica de la Matemtica est constituido por los

diferentes tipos de sistemas didcticos formados por los subsistemas: enseantes,

alumnos y saber enseado que existan actualmente o que puedan ser creados, por

ejemplo, mediante la organizacin de un tipo especial de enseanza. Hay dos conceptos que

vienen a integrarse: la transposicin didctica y el contrato didctico.

Contrato Didctico Comprende el conjunto de comportamientos que el profesor espera del alumno y el

conjunto de comportamientos que el alumno espera del docente.

Saber erudito Es aquel saber reconocido como tal por una comunidad cientfica, aunque no se ensea bajo

esa forma.

Serie numrica En matemticas una serie es la suma de los trminos de una sucesin. Se representa una

serie con trminos an como donde N es el ndice final de la serie. Las series infinitas

son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los nmeros naturales, es

decir, .Las series convergen o divergen. En clculo, una serie diverge si

no existe o si tiende a infinito; converge si para

algn .

iii

iv

Situacin A-Didctica Es el proceso en el que, una vez que el estudiante ha recibido (o construido) el

conocimiento, se le plantea un problema fuera de lo que trabaj en la situacin didctica,

que que debe afrontar y resolver sin la intervencin del docente. Entonces, Situacin A-

Didctica se puede ver como una validacin del proceso de enseanza-aprendizaje.

Situacin Didctica Es un conjunto de relaciones explicita y / o implicitamente establecidas entre un alumno o

un grupo de alumnos, algn entorno (incluyendo instrumentos o materiales) y el profesor

con un fin de permitir a los alumnos aprender esto es, reconstruir algn conocimiento.

Software Graphamatica Hoy gracias a internet podemos disponer de Software en muchos casos gratuitos, como por

ejemplo GRAPHMATICA, recomendado en los Programas Oficiales. Es realmente

impactante como los alumnos comprenden rpidamente su uso y lo ms importante es la

ayuda real que presta en todo lo referente a graficacin de funciones, inecuaciones,

derivadas y algunas funciones ms complejas.

Transposicin Didctica (Chevallard, 1985). Es la adaptacin del conocimiento matemtico para transformarlo en conocimiento para ser

enseado.

Introduccin

Introduccin

La matemtica educativa ha llegado a formular preguntas acerca del conocimiento

educativo, stas entorno a la naturaleza, sus formas y condiciones de construccin que

deben hacer los individuos para que se d tal conocimiento. Por otro lado, la didctica de la

matemtica no solo atiende la enseanza sino tambin el aprendizaje, adems estudia las

actividades didcticas, es decir, actividades que tienen por objeto la enseanza,

evidentemente en lo que ellas tienen de especfico de la matemtica.

Los resultados, en este dominio, son cada vez ms numerosos; tratan los comportamientos

cognitivos de los alumnos, pero tambin los tipos de situaciones empleadas para ensearles

y sobre todo los fenmenos que generan la comunicacin del saber, por ello se requiere de

un acercamiento sistemtico que abarque lo anterior (Artigue, 1992). Este enfoque se

encuentra sustentado en la teora de la transposicin didctica de Chevallard y la teora de

las situaciones didcticas de Brousseau.

En este trabajo nos interesa saber si el alumno es capaz de construir el concepto de

convergencia de una serie numrica infinita, sin usar clculo diferencial e integral, as como

el decir que debido a que se ha hecho cambios en los programas de estudio a nivel

bachillerato, qu tan viable sera introducir este objeto matemtico a nivel de enseanza en

el nivel medio superior?

Las series numricas no se abordan en el nivel medio superior actualmente, sin embargo, en

algunos libros de texto de lgebra de este nivel que revisamos, se menciona pero de manera

muy simple aunque sabemos que en algunos planes de estudio del nivel superior

(Licenciatura) y en el aula de clase se ensean con mtodos muy complejos, esto nos

conlleva a preguntarnos porqu esperar hasta el nivel superior para ensear series

numricas?, el concepto de serie se puede abordar con alumnos del nivel medio, en

particular, que no hayan cursado Clculo Diferencial e Integral?

v

Introduccin

Es por ello que en nuestra tesis se diseo una ingeniera didctica, en la que se contempla

un panorama visual y aritmtico, que para su aplicacin se tiene que hacer una

familiarizacin con el graficador Graphmatica para el ambiente Windows, para que ellos

puedan mirar sus caractersticas comunes de las grficas y as hacer conclusiones

pertinentes a nuestra hiptesis.

Este trabajo de investigacin comprende cuatro captulos y una introduccin. La

introduccin explica aspectos primordiales muy sintticos.

En el captulo 1, Antecedentes, presentacin y planteamiento del problema de

investigacin, indagamos sobre la problemtica actual de las series numricas en la

enseanza y posteriormente planteamos nuestra pregunta de investigacin, sealamos la

metodologa de investigacin, revisamos el plan de estudio del Instituto Politcnico

Nacional (IPN) y libros de lgebra de nivel medio superior.

En el captulo 2, Se presenta el Marco Terico que sirvi de apoyo para el desarrollo de la

Ingeniera Didctica utilizada en este trabajo.

En el captulo 3, Diseo y Aplicacin de la Secuencia Didctica, se explicita la metodologa

utilizada, el anlisis preliminar y anlisis a priori de la secuencia didctica.

En el captulo 4, Anlisis de Resultados, se desarrolla y se hace un anlisis a posteriori de

los resultados.

Por ltimo, en el captulo 5, se exponen las conclusiones.

vi

Antecedentes Captulo I

Captulo I. Antecedentes

La presente investigacin encuentra su marco de referencia en la Teora de Situaciones Didcticas e Ingeniera Didctica. Su inters principal se enfoca en el estudio y diseo de ingenieras didcticas para matemticas, en busca de favorecer el desarrollo de habilidades y la adquisicin de saberes por parte del alumno en un esquema experimental basado en las realizaciones didcticas en clase, es decir, sobre la concepcin, realizacin, observacin y anlisis de situaciones didcticas basadas en la confrontacin entre el anlisis a priori y a posteriori. (Artigue, 1995).

El IPN tiene como funcin hacer nuevos planteamientos con respecto al nuevo modelo de

educacin, con la renovacin de los contenidos, mtodos, prcticas y medios de transmisin del saber, que han de basarse en nuevos tipos de vnculos y en la colaboracin con la comunidad y con amplios sectores de la sociedad.

La Direccin de Educacin Media Superior est implementando un proyecto de aula cuyo objetivo es desarrollar una cultura de trabajo en el interior del aula que incorpore procesos centrados en el aprendizaje, lo que representa modificar las acciones de intervencin del docente, de participacin del alumno y un cambio en las formas tradicionales de

evaluacin, fomentando la enseanza orientada al desarrollo de habilidades, actitudes y conocimientos en el alumno.

El objetivo fundamental es la construccin de los aprendizajes a partir de lo que el sujeto ya conoce, por lo tanto el aprendizaje significativo ocurre cuando una persona recibe y aplica estos conceptos y los relaciona con otros.

En el programa del bachillerato del IPN en ningn momento se desarrolla el tema de sucesiones ni mucho menos series numricas. Pero nosotros sabemos que surgieron 2000 aos antes de nuestra era con la aparicin de los primeros conceptos que dan origen a las series infinitas, las sucesiones en la cultura hind (De Mora y Ludwika, 2003). Las

1


progresiones aritmticas y geomtricas tambin aparecieron en un libro chino llamado Jiuzhang suanshu o Nueve Captulos sobre el Arte Matemtico, escrito aproximadamente

alrededor del 200 a.C. Pero los hindes vuelven a aparecer 700 aos despus con avances en las series y son quienes dominarn el desarrollo de esta rea de las matemticas hasta que en Europa surja el clculo.

Algunas investigaciones que se han realizado acerca de las series infinitas, se han dado tanto aqu en Mxico como en otros pases. Se har una breve descripcin de estas y la forma en que surgi nuestra inquietud por este tema.

1.1 EL CONTEXTO ESCOLAR

En las aulas escolares aparecen muchos fenmenos didcticos, pero cuntos de ellos son

provocados por el programa escolar? No planeamos resolver esta pregunta en este trabajo pero s pretendemos estudiar un tema que no est incluido en el currculo de la escuela

vocacional.

Los estudiantes de nivel medio superior del Instituto Politcnico Nacional cursan las

materias de matemticas lgebra, Geometra y Trigonometra, Geometra Analtica, Clculo Diferencial, Clculo Integral y Probabilidad y Estadstica. A continuacin detallamos algunos de los programas de estudio con la intencin de clarificar el prrafo anterior.

RESUMEN DE APRENDIZAJES

ALGEBRA

UNIDAD 1. NUMEROS REALES

En esta unidad el alumno emplea las operaciones aritmticas y sus propiedades, en los diferentes conjuntos de nmeros, para la solucin de problemas relacionados con su entorno acadmico, personal y social.

2


UNIDAD 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

En esta unidad el alumno utiliza conceptos, propiedades y relaciones algebraicas en la solucin de ejercicios de su entorno acadmico.

UNIDAD 3. ECUACIONES Y FUNCIONES LINEALES

En esta unidad el alumno emplea las funciones y ecuaciones lineales en la solucin de problemas que se presentan en situaciones de su entorno acadmico, personal y social.

UNIDAD 4. ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRATICAS

En esta unidad emplea las funciones y ecuaciones cuadrticas en la solucin de problemas que se presentan en situaciones de su entorno acadmico, personal y social.

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA

UNIDAD 1. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS. El alumno aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logartmicas en la resolucin de problemas tericos y de la vida cotidiana.

UNIDAD 2. GEOMETRA EUCLIDIANA. El alumno aplicar los postulados, teoremas y el mtodo axiomticodeductivo de la geometra euclidiana, en particular de los tringulos, polgonos y circunferencias, para resolver problemas disciplinarios y cotidianos.

UNIDAD 3. TRIGONOMETRA. El alumno aplicar las funciones trigonomtricas, las leyes de los senos y los cosenos, as como las identidades y ecuaciones trigonomtricas, en la resolucin de problemas tericos y de la vida cotidiana.

GEOMETRIA ANALITICA

UNIDAD 1. CONCEPTOS BSICOS En esta unidad reconoce los elementos, los conceptos y las propiedades de pares ordenados y su representacin en el plano cartesiano. Aplica el concepto de distancia para hallar

3


permetro y rea de polgonos y resuelve problemas en general aplicando procedimientos relativos a propiedades geomtricas y analticas de la divisin de un segmento en una

razn dada.

UNIDAD 2. LUGAR GEOMETRICO

En esta unidad encuentra el lugar geomtrico de una ecuacin y viceversa.

UNIDAD 3. LA RECTA

En esta unidad el alumno debe diferenciar entre la pendiente y el ngulo de inclinacin de

una recta, saber aplicar las diferentes formas de la ecuacin de una recta a la resolucin de problemas prcticos y de las ciencias.

UNIDAD 4. ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES

En esta unidad el alumno aplicar el concepto y las ecuaciones de la circunferencia,

parbola, elipse e hiprbola en la solucin de problemas dentro de la matemtica y otras disciplinas. Identificar una cnica.

UNIDAD 5. COORDENADAS POLARES

El alumno identificar los elementos, la representacin de curvas en coordenadas polares y la relacin que existe entre las coordenadas polares y cartesianas y cules son las ecuaciones paramtricas para as resolver problemas.

CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 1. FUNCIONES, LMITES Y CONTINUIDAD El alumno utilizar las propiedades de funciones, definir el lmite de una funcin y que determine la continuidad o discontinuidad de diversos tipos de funciones.

UNIDAD 2. DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS.

El alumno obtendr y aplicar la derivada de funciones algebraicas, para resolver

problemas en diferentes reas del conocimiento.

4


UNIDAD 3. DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

OBJETIVO: Aplicar la derivacin de funciones trascendentales, para resolver problemas de

las diferentes reas del conocimiento.

CALCULO INTEGRAL

UNIDAD 1. DIFERENCIALES

En esta unidad el alumno debe aplicar el concepto de la diferencial de una funcin en la solucin de problemas.

UNIDAD 2. INTEGRAL DEFINIDA

En esta unidad el alumno debe obtener antiderivadas de funciones, resolver integrales inmediatas mediante frmulas y calcula la constante de integracin.

UNIDAD 3. METODOS DE INTEGRACIN En esta unidad el alumno resuelve integrales por el mtodo de cambio de variable, sustitucin trigonomtrica, de integracin por partes y resuelve integrales con integrando

racional por el mtodo de fracciones parciales.

UNIDAD 4. INTEGRAL DEFINIDA

En esta unidad el alumno comprender los problemas que dieron lugar al clculo integral y su teorema fundamental, resuelve problemas geomtricos y de otras reas utilizando la integral definida.

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

UNIDAD 1. ESTADISTICA DESCRIPTIVA.

El alumno organizar en forma tabular y grafica los datos obtenidos de una muestra o una poblacin, determinando sus medidas de tendencia central y de dispersin, para el anlisis de su comportamiento; as como el estudio de la regresin y correlacin lineal entre dos conjuntos de datos, en el contexto de la resolucin de problemas de diversas reas de conocimiento.

5


UNIDAD 2. PROBABILIDAD. El alumno aplicar los conceptos y leyes de la probabilidad para la toma de decisiones,

cuando prevalecen condiciones de incertidumbre, en el contexto de la resolucin de problemas de diversas reas del conocimiento.

UNIDAD 3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

El alumno aplicar las distribuciones de probabilidad, de variables aleatorias discretas y continuas, para predecir resultados y estimar la media de una poblacin, en el contexto de la resolucin de problemas de diversas reas del conocimiento.

En relacin con estos cursos, no se tiene la oportunidad de ensear el tema de series

numricas, mucho menos con el tema de convergencia de series a nivel medio superior, porque no viene incluido en el temario de cada materia que se imparte.

Con respecto a los libros que se usan en nivel medio superior y nivel superior Clculo Diferencial e Integral de Granville (Granville, 1990), Clculo con Geometra Analtica de Swokowski (Swokowski, 1993) y Clculo con Geometra Analtica de Zill (Zill, 1995), si se aborda el tema de series y sucesiones as como los criterios de convergencia de las series, con una fuerte influencia formalista y algortmica de las matemticas.

Adems sabemos que el lgebra aparece como una herramienta importante en la

manipulacin de las series y de los criterios de convergencia, pero no es vital para comprender el concepto de serie infinita. Y aparentemente cuando se necesita estudiar la convergencia o divergencia de la serie, tampoco es necesario el uso o conocimiento del

lgebra para elegir el criterio de convergencia a utilizar en cada caso especfico. Sin embargo, podemos observar que poseen conocimientos suficientes para obtener la

expansin de algunas series (geometra) y para operar con ellas (lgebra).

6


1.2 Las series infinitas

Aunque la historia de las sucesiones y series infinitas puede dividirse de muchas maneras como en (Smith, 2005) y (Rosas, 2007), nosotros slo vamos a hacer una breve revisin de los desarrollos alcanzados por civilizaciones previas a la aparicin del clculo en Europa.

Las primeras progresiones aritmticas y geomtricas, tanto en Egipto como en la India, aparecieron alrededor del siglo XVI a. C. la aparicin de los primeros conceptos que dan origen a las series infinitas, son las sucesiones, stas estn en forma de versos como aparecen en el Mandala II del g Veda en el himno 18 y cuyo origen est calculado entre los aos 2000 a. C. al 1750 a. C.

Indra, ven hacia aqu con dos corceles castaos, Ven con cuatro, con seis cuando se te invoca.

Ven t con ocho, con diez, para beber el Soma. He aqu el jugo, valiente guerrero, no lo desdees Oh Indra!, ven t aqu habiendo enganchado a tu carro veinte, treinta, cuarenta caballos. Ven t con cincuenta corceles bien adiestrados, Indra,

sesenta o setenta, para beber el Soma. (De Mora y Ludwika, 2003, p. 28).

Sin embargo, su uso parece estar restringido solamente a la resolucin de problemas aritmticos, como lo hicieron los egipcios.

Una poca simultnea a la hind, en Rhind (2006) aparecen en el Papiro de Rhind progresiones aritmticas en donde se busca calcular las proporciones en que se van a

repartir panes o medidas de cebada u otro grano, por ejemplo:

Problema 63. Repartir 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes proporcionales a 2/3, 1/2, 1/3 y 1/4.

7

Antecedentes

Problema 64. Divide 10 hekat de cebada entre 10 hombres de manera que la diferencia entre cada hombre y el siguiente sea 1/8 de hekat. Qu parte le corresponde a cada hombre?

El siguiente paso que se da es cuando se empieza a calculsucesin aritmtica o geomtrica, como lo hicieron

sucesiones infinitas, a citar a

aparecan 40 paradojas acerca del movimiento y el anlisis del continuo, y tambin Aristteles (384 a.C. 322 a.C.) hace mencin de cuatro de ellas Dicotoma, Aquiles, La flecha y el Estadio.

As mismo se da el clculo de la

sucesin; esto marca el inicio del clculo de sumas finitas (o series finitas como algunos lo llaman). La primera mencin que se tiene de una serie infinita aparece alrededor del 230 a.C. en los trabajos de Arqumedes(1921) adems se sabe que la que actualmente usamos

pero se dice que lo que hizo fue mostrar que esta suma siempre es menocualquier valor de n que se utilice

De los chinos, se tiene tambin ejemplos deaparecen en un libro chino llamadoCaptulos sobre el Arte Matemtico, escrito aproximadamente alrededor del 200 a.C. y al cual a lo largo del tiempo se le van agregando comentarios de diversos matemticos.

En el captulo 3 Cui fen resolucin involucra el uso de progresiones aritmticas y geomtricas.

Zhang Qiujian (Chang ChiuQiujian suanjing (Manual Matemtico de Zhang Qiujian) entre los aos 468 d. C. y 486

. Divide 10 hekat de cebada entre 10 hombres de manera que la diferencia entre cada hombre y el siguiente sea 1/8 de hekat. Qu parte le

hombre?

El siguiente paso que se da es cuando se empieza a calcular elementos especficos de una sucesin aritmtica o geomtrica, como lo hicieron los griegos, ellos hicieron ejemplos de

a citar a Zenon de Elea (490 425 a.C.) escribi una obra en la que aparecan 40 paradojas acerca del movimiento y el anlisis del continuo, y tambin

322 a.C.) hace mencin de cuatro de ellas Dicotoma, Aquiles, La

el clculo de la suma de un nmero determinado de elementos de una

sucesin; esto marca el inicio del clculo de sumas finitas (o series finitas como algunos lo La primera mencin que se tiene de una serie infinita aparece alrededor del 230

Arqumedes al querer calcular la cuadratura de una curva,adems se sabe que Arqumedes encontr la expresin pero con notacin diferente a

pero se dice que lo que hizo fue mostrar que esta suma siempre es menoque se utilice.

De los chinos, se tiene tambin ejemplos de progresiones aritmticas y geomtricas bro chino llamado Jiuzhang suanshu ( Chu Chang Suan Shu)

Captulos sobre el Arte Matemtico, escrito aproximadamente alrededor del 200 a.C. y al cual a lo largo del tiempo se le van agregando comentarios de diversos matemticos.

o Distribucin por Proporcin, se encuentran prresolucin involucra el uso de progresiones aritmticas y geomtricas.

Chang Chiu-Chin o Chang Chiu-chien) escribi una obra llamada (Manual Matemtico de Zhang Qiujian) entre los aos 468 d. C. y 486

Captulo I

. Divide 10 hekat de cebada entre 10 hombres de manera que la diferencia entre cada hombre y el siguiente sea 1/8 de hekat. Qu parte le

ar elementos especficos de una los griegos, ellos hicieron ejemplos de

escribi una obra en la que aparecan 40 paradojas acerca del movimiento y el anlisis del continuo, y tambin

322 a.C.) hace mencin de cuatro de ellas Dicotoma, Aquiles, La

suma de un nmero determinado de elementos de una

sucesin; esto marca el inicio del clculo de sumas finitas (o series finitas como algunos lo La primera mencin que se tiene de una serie infinita aparece alrededor del 230

al querer calcular la cuadratura de una curva, en Knopp pero con notacin diferente a

pero se dice que lo que hizo fue mostrar que esta suma siempre es menor que 4/3 para

progresiones aritmticas y geomtricas Chu Chang Suan Shu) o Nueve

Captulos sobre el Arte Matemtico, escrito aproximadamente alrededor del 200 a.C. y al cual a lo largo del tiempo se le van agregando comentarios de diversos matemticos.

o Distribucin por Proporcin, se encuentran problemas cuya

) escribi una obra llamada Zhang (Manual Matemtico de Zhang Qiujian) entre los aos 468 d. C. y 486 d.

8


C. que consta de 98 problemas divididos en tres captulos. En esta obra resuelve y calcula la suma de progresiones aritmticas.

Los hindes vuelven a aparecer con avances en las series con problemas geomtricos y son quienes dominarn el desarrollo de esta rea de las matemticas, pues ellos encontraron muchas frmulas, hasta que en Europa surja el clculo citare a:

Aryabhata escribi la obra Aryabhatiya fechada en el 499 d. C. cubre temas como:

Mtodos de inversin Operadores aritmticos

Frmulas para encontrar la suma de diferentes tipos de series

Reglas para encontrar el nmero de trminos de una progresin aritmtica

Tablas de valores del seno

El trabajo de Aryabhata fue continuado por Brahmagupta (598 d. C. 670 d. C.) quien escribi la obra Brahmasphutasiddhanta (La comprensin del Universo) en la cual aparecen reglas para sumar series, tambin aparecen reglas para sumar los cuadrados de los n primeros enteros y la suma de los cubos de los primeros n enteros, tambin se utilizaron frmulas tan avanzadas como las que casi 1000 aos despus descubriran los matemticos europeos y seran nombradas frmulas de interpolacin de Newton-Stirling y frmulas iterativas de Newton-Raphson; Adems Brahmagupta fue el primero en intentar asignar valores a fracciones como .

Alrededor del ao 850, Mahavira (o Mahaviracharya ~Mahavira el maestro) escribi la obra Ganitasar Sangraha considerada como brillante. l proporcion muchas frmulas para trabajar con progresiones geomtricas, Pearce (2002).

Los trabajos de Sridhara se consideran realizados alrededor del ao 900, en particular en su obra Patiganita aparecen secciones del libro dedicadas al clculo de progresiones aritmticas y progresiones geomtricas, adems de frmulas para calcular la suma de algunas series finitas que se vuelven una referencia estndar para obras posteriores.

9


Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji naci en 953 en Bagdad, obtuvo los siguientes resultados (en prosa)

La suma de los cuadrados de los nmeros que se siguen uno al otro en orden natural desde el uno es igual a la suma de esos nmeros y el producto de cada uno de ellos por su predecesor.

1

(En notacin actual)

Tambin proporcion las siguientes frmulas

1 2 3 4 12 2

Hacia el ao 1100 d. C. el desarrollo de la matemtica hind recae en Bhaskaracharya o Bhaskara II, considerado el ms grande matemtico hind de la antigedad. En su obra Lilavati (La hermosa) puede verse en el captulo 5 la resolucin de problemas sobre progresiones aritmticas y progresiones geomtricas.

Hacia el 1200 Ibn Yahya al-Maghribi Al-Samawal nace en Bagdad. Su obra ms importante es al-Bahir fil-jabr (The brilliant in algebra), dividida en cinco libros en los que incluye el resultado que aparece en el libro 2:

1 2 3 12 16

Al-Marrakushi Ibn Al-Banna hacia el 1256 naci en Marruecos, escribi 82 obras. Sus obras ms famosas son Talkhis amal al-hisab (Resumen de operaciones aritmticas) y Raf

10


al-Hijab que es un comentario que hizo a la primera. En Raf al-Hijab, Al-Banna hace uso de fracciones continuas y da la suma de las siguientes series finitas

1 3 5 2 1 2 1

1 3 5 2 1 2 122 16 Zhu Shijie tambin conocido como Chu Shih Chieb naci alrededor del ao 1260 cerca de Pekin, China, escribi dos obras, la primera Suan xue qi meng (Introduccin a los Estudios Matemticos) publicada en 1299 trata sobre lgebra polinomial y ecuaciones polinomiales, reas, volmenes, regla de tres y un mtodo equivalente al de Eliminacin Gaussiana. El segundo libro publicado en 1303 es Siyuan yujian (Reflexiones Verdaderas de las Cuatro Incgnitas) en el que aparece el Tringulo de Pascal hasta las octavas potencias. Resuelve polinomios en 1, 2, 3 y 4 incgnitas. Present 288 problemas divididos en tres volmenes de veinticuatro captulos. Entre las frmulas que presenta estn

1 2 3 4 12 1 3 6 10 12

1 26 1 4 10 20 1 26

1 2 324

Entre otras tambin dio la suma de las siguientes series:

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 +...

1 + 5 +14 + 30 + 55 + 91 +

1 + 6 + 18 + 40 + 75 + 126 +

1 + 8 + 30 + 80 + 175 + 336 +

En el ao 1350 d. C. el matemtico Narayana pandit, escribi la obra Ganita Kaumudi de 14 captulos. El captulo 13 de esta obra (llamado Red de nmeros), dice sobre las sucesiones de nmeros y algunos problemas relacionados con las progresiones aritmticas,

11


en el captulo 14, discute cuadrados mgicos, utiliza frmulas y reglas para trabajar las relaciones entre los cuadrados mgicos y las series aritmticas.

En el ao 1350 d.C. nace el matemtico Madhava de Sangamagramma. En sus trabajos aparecen expresiones que siglos despus fueron descubiertas por los matemticos europeos. Madhava calcula la expansin en serie infinita de la funcin arctang.

El primer trmino es el producto del seno dado y el radio del arco deseado por el coseno del arco. Los siguientes trminos son obtenidos por un proceso de iteracin cuando el primer trmino es repetidamente multiplicado por el cuadrado del seno dividido por el cuadrado del coseno. Todos los trminos son entonces divididos por los nmeros impares 1, 3, 5, El arco es obtenido al sumar y restar respectivamente los trminos de rango impar y aquellos de rango par. Se toma como condicin que el seno del arco o el de su complemento cualquiera de ellos sea el ms pequeo sea tomado aqu como el seno dado. De otra manera los trminos obtenidos por la iteracin anterior no tendern a la magnitud que se desvanece.

En verso (The MacTutor History of Mathematics Archive).

!"# # #3 #$

5 #%

7 (notacin actual)

Madhava tambin conoci las siguientes expresiones:

' 3! $

5! %

7!

redescubierta por Newton, en el tema IV del captulo 9 de Pearce (2002) y The MacTutor History of Mathematics Archive es llamada Serie de potencias de Madhava-Newton.

De la misma manera conoci *' 1 +! ,-! tambin es llamada Serie de potencias de Madhava-Newton. Esta tambin se le conoce como Serie de MacLaurin.

12


Madhava sustituy el valor de # .- en # /01 2 /0132 /0142$ /0152% y obtuv la serie .- 1 $ % . redescubierta por Leibniz (casi 300 aos despus).

Pero es sorprendente que Madhava adems proporcion un trmino de correccin para esta serie. En su trabajo tambin se encuentran las expresiones que se consideran casos especiales de la Serie de Taylor:

cos;

Antecedentes

El alemn Michael Stifel (1487

Divisio in Arethmeticis progressionibus respondet extractionibus radicum en progresssionibus GeometricisCossische Progres auch also verzychnet verden

Expresando las potencias de la cantidad o cosa (lugar de nuestro A3 actual.

En 1593, Francois Viete que utiliza funciones trigonomtricas y funciejemplo los problemas de duplicacin del cubo, triseccin del tringulo, la construccin de la tangente a la espiral arquimediana, calculade la forma:

Que es la primera vez que aparece pi en forma de producto infinito.

En conclusin, las sucesiones y series infinitas siempre se ocupaban para resolver problemas aritmticos y geomtricos, pero poniendo nfasis en

ellos nunca utilizaron Clculo Diferencial e Integral, al menos no como el que usamos en la actualidad.

(1487-1567) entre 1543 y 1544 utiliza expresiones como:

Divisio in Arethmeticis progressionibus respondet extractionibus radicum en progresssionibus Geometricis (Miller, 2006). Tambin encuentra Cossische Progres auch also verzychnet verden

0 1 2 3

(Cajori, 1993, p.144)

tencias de la cantidad o cosa (cossishe) A con los trminos 1AAA en

Francois Viete que utiliza funciones trigonomtricas y funciones

ejemplo los problemas de duplicacin del cubo, triseccin del tringulo, la construccin de la tangente a la espiral arquimediana, calcula con 10 decimales exactos y representa

Que es la primera vez que aparece pi en forma de producto infinito.

En conclusin, las sucesiones y series infinitas siempre se desarrollaron en verso y las ocupaban para resolver problemas aritmticos y geomtricos, pero poniendo nfasis en

ellos nunca utilizaron Clculo Diferencial e Integral, al menos no como el que usamos en la

Captulo I

liza expresiones como:

Divisio in Arethmeticis progressionibus respondet extractionibus radicum en Tambin encuentra Es mag aber die

(Cajori, 1993, p.144)

) A con los trminos 1AAA en

ones geomtricas, por

ejemplo los problemas de duplicacin del cubo, triseccin del tringulo, la construccin de con 10 decimales exactos y representa

desarrollaron en verso y las ocupaban para resolver problemas aritmticos y geomtricos, pero poniendo nfasis en que

ellos nunca utilizaron Clculo Diferencial e Integral, al menos no como el que usamos en la

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1.3 Origen del Problema de Investigacin

Durante los cursos de la Maestra en Ciencias con Especialidad en Matemtica Educativa se realiz la lectura de diversas teoras como la de las Situaciones Didcticas y a partir de lo cual se pudo ver que su metodologa, la Ingeniera Didctica, es utilizable en dos sentidos, por un lado permite hacer investigacin sobre fenmenos de la enseanza- aprendizaje de la matemtica, o proponer diseos didcticos para favorecer aprendizajes matemticos, como lo menciona Douady (1996, p. 241):

Para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientos cientficos de su dominio y acepta someterse a un control de tipo cientfico. Sin embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho ms complejos que los depurados por la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prcticamente, con todos los medios disponibles, problemas de los que la ciencia no quiere o no puede hacerse cargo.

Al mismo tiempo, como resultado de las investigaciones previas realizadas por (Prez, 1991), (Moreno, 1999) y (Rosas, 2007) surgi la pregunta el concepto de serie se puede abordar con alumnos que no hayan cursado Clculo Diferencial e Integral?

Al observar los desarrollos mencionados en el apartado anterior, se tiene la hiptesis de que es posible comprender algunos conceptos relacionados con las sucesiones y series infinitas, solamente con conocimientos de aritmtica y lgebra, es por ello que se quiere probar si obtienen los mismos resultados con alumnos de nivel medio superior que no hayan cursado las materias de Clculo Diferencial y Clculo Integral.

Este es un esquema nuevo, como se menciono anteriormente, se pretende trabajar con alumnos de bachillerato sin conocimientos de clculo, para tratar de averiguar si ellos pueden construir trminos de una serie infinita (no necesariamente utilizando la notacin formal) pues se sabe que ellos no tienen conocimiento de los conceptos de sumatoria, factorial, etc., as como tambin se espera que ellos puedan desarrollar conceptos y hacer aplicaciones importantes con las series infinitas.

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Al hacer una pequea lectura sobre la historia de las series infinitas y sabiendo que estas surgieron mucho antes del clculo, entonces nos condujo a decir el por qu? se reduce a establecer nociones acerca de este concepto, dentro del nivel medio superior. Se sabe que al paso de los aos los planes de estudio, han sido modificados, se omiti este concepto y se ensea hasta el nivel superior (Licenciatura). Esto nos conduce a ver si nuestros alumnos de nivel medio son capaces de construir el concepto matemtico y adems el saber cmo lo abordan solamente con nociones de lgebra?

1.4 Estado del Arte

Realizando una consulta de investigaciones sobre el tema de las sucesiones y series infinitas se encontraron diversos trabajos como los de Robert (1982), Mamona (1990), Albert (1996), Douglas (1992), Flores (1992), slo mencionaremos las dos ms vinculadas con nuestras hiptesis:

I) Sobre la nocin de convergencia en los polinomios de Taylor en estudiantes de bachillerato. Anlisis de las estrategias que posibilitan la construccin del concepto. Estudio de casos.

En su obra Prez (1991), utiliza un marco terico dentro del Discurso Matemtico Escolar y lo utiliza para disear lo que ella llama una experiencia.

En esta investigacin presenta un caso mediante un ambiente grfico y numrico, la autora intenta averiguar las condiciones o estrategias que les permitan a los alumnos de bachillerato, que ya cursaron Clculo Diferencial e Integral a construir el concepto de convergencia de una serie de Taylor.

En la primera etapa la autora proporcion a los estudiantes un ambiente grfico, donde se hicieron pruebas sobre la funcin exponencial y de los polinomios de grado finito que proporciona la expansin en serie de Taylor de la funcin exponencial.

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Antecedentes

En este ambiente, los alumnoscaractersticas comunes ent

papel y a lpiz; y por otra

observar que son parecidas las

En la segunda etapa de la investigacin, los estudiantes clculos numricos para que

indica el ambiente que utiliz para operar los clculos numricos.

Consisti en evaluar

los puntos x=0.05, 0.75 y 3, evaluar los polinomios que surgen de la expansin en serie de Taylor de cada una de esas funciones.

En el anlisis de resultados, se observa que puntos en la serie que las funcione

igual que aceptan la aproximacin de los polinomios condicin de que se cumple

1.70; y finalmente logran encontrar que

el dominio (-0.9, 0.9).

II) Estudio de la nocin de convergencia de series trigonomtricas en un ambiente de simulacin.

El marco terico en que desarroll su trabajo de Situaciones Didcticas y lo concluye m

El autor realiza un anlisis deasociadas a los conceptos necesarios entrabajos realizados con la serie de Taylor y la convergencia de series,

os alumnos experimentaron con diversas grficas, ellos no detectan las caractersticas comunes entre las grficas y no aceptan que hacer las grficas

por otra con un graficador (no se menciona cul usaron)parecidas las curvas, adems que se tiene la intervencin de la autora

En la segunda etapa de la investigacin, los estudiantes se dispusieron clculos numricos para que experimenten la convergencia en forma numrica,

indica el ambiente que utiliz para operar los clculos numricos.

evaluar en las funciones

los puntos x=0.05, 0.75 y 3, y que comparen esos valores con los resultados que obtienen al evaluar los polinomios que surgen de la expansin en serie de Taylor de cada una de esas

En el anlisis de resultados, se observa que los estudiantes logran decir que las funciones polinomiales aproximan a la funcin exponencial, al

aproximacin de los polinomios a la funcin se cumple aproximadamente entre los valores de x = 0 y cerca de

n encontrar que la funcin es vlida al

Estudio de la nocin de convergencia de series trigonomtricas en un ambiente de

El marco terico en que desarroll su trabajo de investigacin es Situaciones Didcticas y lo concluye mediante la construccin de una Ingeniera D

realiza un anlisis de algunos obstculos epistemolgicos, de asociadas a los conceptos necesarios en el clculo y las series para despus analizar los trabajos realizados con la serie de Taylor y la convergencia de series,

Captulo I

ellos no detectan las ficas por un lado en l usaron), se puede

intervencin de la autora.

se dispusieron a realizar los convergencia en forma numrica, pero no

;

esultados que obtienen al

evaluar los polinomios que surgen de la expansin en serie de Taylor de cada una de esas

logran decir que al evaluar los s polinomiales aproximan a la funcin exponencial, al

indicando la x = 0 y cerca de x =

al sustituir valores en

Estudio de la nocin de convergencia de series trigonomtricas en un ambiente de

el de la Teora de ediante la construccin de una Ingeniera Didctica.

nos obstculos epistemolgicos, de las dificultades para despus analizar los

trabajos realizados con la serie de Taylor y la convergencia de series, as como la

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realizacin de un anlisis de libros de texto y sobre concepciones que presentan los profesores en relacin a la enseanza y el aprendizaje acerca de esos temas.

Su proyecto de investigacin inicia con una actividad exploratoria dividida en dos problemas: el primero se genera una serie geomtrica y el segundo se presenta mediante una serie trigonomtrica.

Los obstculos epistemolgicos que se presentaron fueron el infinito potencial y el principio de permanencia de Leibniz.

El escenario que disea el autor consiste en representar los trminos de la serie trigonomtrica mediante un software graficador; los trminos de la serie estn representados mediante crculos cuyo radio depende del ndice del trmino de la serie que se est considerando, de esta manera, conforme se toman ms trminos de la serie, el radio del crculo que lo representa decrece.

La ingeniera didctica consiste en un conjunto de secuencias de clase que son diseadas, organizadas y manipuladas, para poder lograr el aprendizaje de un conocimiento en un grupo de alumnos en particular; es por ello que una vez que es proporcionada una serie trigonomtrica, los estudiantes deben encontrar ms trminos de la serie y graficar sumas parciales de esta serie.

Con respecto a lo anterior, analizando la tesis de Prez (1991), se consider la construccin del concepto de convergencia de una serie en especfico, la serie de Taylor en estudiantes

de bachillerato, pero se tomaron algunas consideraciones de sta a mencionar: la secuencia didctica est dividida en dos partes la del mbito grfico y mbito numrico.

En el mbito grfico, solamente aborda funciones polinomiales que se aproximan a la funcin exponencial. De la secuencia de Prez (1991) es lo que se considero, ella mostr otras funciones. De est se considero que a los alumnos se les muestra la grfica de la funcin exponencial junto con la grfica de la suma de los dos primeros trminos,

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posteriormente con la suma de los tres primeros trminos de la funcin polinomial y ellos hallarn sus caractersticas entre las grficas y proporcionarn lentamente la posibilidad de

la convergencia de las grficas, sin ninguna intervencin del profesor y el medio donde se desarrolla esta actividad es el sofware Graphmatica.

En el mbito numrico solamente se har que experimenten la convergencia en forma numrica de la funcin ex en los puntos x=1/2, , 5, 0, -1 y -5. Se les pide que comparen esos valores con los resultados que obtienen al evaluar los polinomios que surgen de la expansin en serie de Taylor de la funcin exponencial. La diferencia de la tesis de Prez es que ella considera otras dos funciones a evaluar.

Respecto al trabajo de Moreno (1999), se tomar en cuenta el marco terico que desarroll y sus conclusiones; construccin de una ingeniera didctica donde permite los estudiantes encontrar ms trminos de la serie y graficar sumas parciales de esta serie. Las secuencias difieren en todos los aspectos, en cuanto al diseo y l como se aborda la construccin del

conocimiento matemtico a investigar.

Para nuestro proyecto, las secuencias se disearon y aplicaron a alumnos que son de nivel medio superior que no han cursaron Clculo Diferencial e Integral.

1.5 Pregunta de Investigacin

Despus de las anteriores secciones podemos establecer nuestra pregunta de investigacin de la siguiente manera:

Pueden los alumnos de nivel medio superior, que no han cursado clculo, construir el concepto de serie infinita?

Para responder esta pregunta, se opt por utilizar dos situaciones de aprendizaje que se encuentra en nuestro captulo 4, la primera actividad grfica, fue tomada de la tesis de

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Rosas (2007, pp. 258), y la segunda actividad numrica fue tomada como referencia de la tesis de Prez (1991, cap. 3, pp. 11).

Se pretende lograr que en la primera actividad grfica, los alumnos usen un graficador Graphmatica para el ambiente Windows, donde van a interactuar entre las graficas y las

caractersticas que se tienen de ellas, posteriormente se tiene que ver si ellos pueden encontrar los trminos de una serie numrica y la notacin que usan.

En la segunda actividad numrica, ellos hacen uso de una calculadora cientfica para poder decir si hay un cierto acercamiento en valor entre la funcin ex y la suma de los trminos, nuestro objetivo es determinar si los alumnos pueden concluir que la funcin ex y la suma de trminos de la serie alcanzan los mismos valores, conforme se toman ms trminos de la serie de Taylor.

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Marco Terico Captulo II

Captulo II. Marco Terico

En nuestra investigacin utilizaremos la Ingeniera Didctica la utilizaremos como metodologa de investigacin. Sin embargo, en este trabajo nos interesa esclarecer consecuentemente los patrones para poder as elaborar el diseo de situacin didctica en torno a las series numricas, que tuvieron un auge, desarrollo y aplicacin solamente usando la aritmtica y el lgebra. Es decir, el cmo las series numricas son presentadas en el mbito escolar, y el por qu estas en el ambiente alico, se da posterior a la enseanza de la asignatura de Clculo Diferencial e Integral.

En este captulo discutiremos las ideas que sostienen la metodologa elegida en este trabajo. Es por ello que la utilizamos como produccin de situaciones de enseanza-aprendizaje, desarrollada por Guy Brousseau.

Segn Douady (1995), una Ingeniera Didctica es un conjunto de secuencias de clase, diseadas, organizadas y manipuladas debidamente por un profesor-ingeniero, para poder lograr el aprendizaje de un conocimiento en un grupo de alumnos en particular. En otras palabras nos da una mejor organizacin sobre el sistema educativo. Fundamentalmente los productos son construidos a partir de experimentaciones didcticas realizadas en un medio.

La Ingeniera Didctica se elabora fundamentalmente por cuatro fases a mencionar: un

anlisis preeliminar que considera las dimensiones cognitiva, didctica y epistemolgica del conocimiento a impartir; de un anlisis a priori y diseo de una situacin didctica, se

determinan qu variables didcticas son pertinentes y sobre cules se actuar, se establece las hiptesis de trabajo; y una vez que se establecen se disea la situacin didctica; la experimentacin es una puesta de escena de la situacin didctica, donde es un proceso en el cual el profesor implementa el producto y realiza los ajustes y adaptaciones necesarias segn la dinmica de clase lo exija y finalmente el anlisis a posteriori y validacin que consiste en la revisin de los resultados, en las observaciones que se tuvo en la resolucin de los estudiantes. Estos se confrontan el anlisis a priori.

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La Teora de las Situaciones Didcticas es una de las teoras de la Matemtica Educativa y surge de la necesidad de disponer de un modelo de la enseanza y del aprendizaje de las matemticas en el que se encuentren debidamente representadas todas las relaciones y las operaciones que intervienen en el proceso de enseanza y aprendizaje de esta disciplina, tambin hay una inquietud por hacer extensiva esta nueva propuesta a todos los profesores, y de que experimenten la vivencia de la puesta en escena de situaciones didcticas en un ambiente propicio de trabajo para poder reconocer con esto que es un instrumento valioso para la enseanza de las matemticas y para su propia formacin.

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2.1 Ingeniera Didctica

La Ingeniera Didctica es una forma de trabajo didctico equiparable con el trabajo del ingeniero quien, para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientos cientficos de su dominio y acepta someterse a un control cientfico. Sin embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho ms complejos que los objetos depurados de la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prcticamente, con todos los medios disponibles, problemas de los que la ciencia no quiere o no puede hacerse cargo" (Artigue, p. 34). La ingeniera didctica, desarrollada especficamente en el rea de la educacin matemtica, tiene una doble funcin. "Ella llega a significar tanto unas

producciones para la enseanza, basadas en resultados de investigaciones que han utilizado metodologas externas a la clase, como una metodologa de investigacin especfica" (p. 36).

En nuestro trabajo, estableceremos la Ingeniera Didctica como metodologa de investigacin. Nuestro inters es que al saber el cmo se desarroll, nuestro ente matemtico: las series numricas, para as posteriormente crear el diseo de nuestra secuencia didctica.

Sabemos que por el capitulo anterior, que las series numricas tuvieron un auge, desarrollo

y aplicacin usando solo la aritmtica y el lgebra. Es por ello que se hizo el diseo de la secuencia, para una seleccin de alumnos que tuvieran solamente nociones de estas

materias, en especfico a nivel medio superior.

Por otro lado, la ingeniera didctica, nace a principios de la dcada de los ochentas, y

constituye una metfora de la actividad de los ingenieros, quienes para desarrollar sus proyectos hacen uso de los conocimientos cientficos de su dominio y ponen a prueba sus

resultados al control de la ciencia de referencia.

Segn Douady (1996), una Ingeniera Didctica es un conjunto de secuencias de clase, diseadas, organizadas y manipuladas debidamente por un profesor-ingeniero, con el fin

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de realizar un proyecto de aprendizaje de un conocimiento en un grupo de alumnos en particular. As tambin es a la vez, un producto, resultante de un anlisis a priori, y un

proceso en el transcurso del cual el profesor ejecuta el producto adaptndolo a la dinmica de la clase.

Una descripcin grosso modo de esta metodologa es la siguiente: en esencia se contemplan cuatro grandes fases:

Anlisis preliminar.

Diseo de la situacin didctica y su anlisis a priori.

Experimentacin.

Anlisis a posteriori y validacin.

En detalle, cada una de las fases mencionadas establecen:

- Un anlisis preliminar de la situacin est integrada por tres componentes: la componente didctica, asociada a las caractersticas del funcionamiento del sistema de enseanza; la componente epistemolgica da la explicacin del devenir del contenido matemtico en juego, as como su funcionamiento y diversas formulaciones; y la componente cognitiva, es decir, las concepciones de los

estudiantes, las dificultades y obstculos que deben de enfrenar para apropiarse de las nociones puestas en juego en la secuencia implementada.

- En la segunda fase se eligen las variables didcticas que se van a controlar y se define la forma en que las mismas sern gestionadas. Tambin en esta instancia se

establecen las hiptesis de trabajo, sobre lo que harn los estudiantes con la situacin diseada, qu avances se consideran dentro de las expectativas, qu errores se perciben persistentes, qu mecanismos se prev sern utilizados, en fin, todo lo inherente a las hiptesis de trabajo y expectativas del investigador. Una vez determinadas las variables didcticas y establecido el objetivo, es decir, caracterizado el obstculo que se desea confrontar, se pasa al diseo de la situacin didctica en s misma, la cual debe crear un medio propicio para que el alumno

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acepte la investigacin al juego, se sienta desafiado a apropiarse del saber puesto sobre la mesa.

- En la etapa de experimentacin se procede a la puesta de escena de la secuencia realizada, es decir, se la implementa en condiciones controladas estrictamente por el investigador. las formas en las cuales se recopilar la informacin son decisin del

investigador. Es importante el control de las actividades y el registro de los sucesos, pues el conocimiento y caracterizacin de los mismos redundar en la calidad y fidelidad de la siguiente etapa.

- En la ltima etapa, el anlisis a posteriori consiste en una exhaustiva revisin de los sucesos acaecidos durante la puesta en escena de la situacin diseada, es en esta

etapa que se confrontan las hiptesis definidas en el anlisis a priori y se determina en qu medida las expectativas fueron alcanzadas o cuanto se desvan los resultados de lo que se esperaba.

De esta confrontacin entre los anlisis a priori y a posteriori surge la fase que caracteriza a

esta metodologa de investigacin, esto es, la validacin de la misma. Esta validacin, se comporta como un instrumento que impulsa el ciclo entre lo que se quiere y lo que sucede, entre las intenciones del diseo y la puesta en escena de ste. Buscamos la estabilidad de los diseos, en caso de no alcanzar los objetivos se ajusta, bien el diseo o bien el anlisis predictivo.

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2.2 Teora de Situaciones Didcticas

Una situacin didctica es un conjunto de relaciones explcita y/o implcitamente establecidas entre un alumno o un grupo de alumnos, algn entorno (incluyendo instrumentos o materiales) y el profesor con el fin de permitir a los alumnos aprender - esto es, reconstruir - algn conocimiento. Las situaciones son aquellas donde el alumno

desarrolla un trabajo sabio semejante, a la actividad cientfica, es decir, donde acte, formule, pruebe y construya modelos de lenguaje, conceptos y teoras que intercambie con los dems, donde reconozca aquellos que estn conformes a la cultura y donde recoja aquellos que le son tiles y pertinentes. Son situaciones de creacin y no de redescubrimiento.

Como se menciono anteriormente hay dos teoras que dan sustento terico a la Ingeniera Didctica, a mencionar, la teora de transposicin didctica de Chevellard, y la teora de situaciones didcticas de Brousseau. Para nuestro trabajo nos enfocaremos en esta ltima.

La Teora de Situaciones Didcticas fue establecida en Francia por G. Brousseau a finales de los aos sesenta del siglo XX, esta teora busca las condiciones para una gnesis artificial de los conocimientos matemticos; l afirma:

Una nocin aprendida no es utilizable sino en la medida en la que ella es relacionada con otras, esas relaciones constituyen su significacin, su etiqueta, su mtodo de activacin. Empero, no es aprendida si no es utilizable y utilizada efectivamente, es decir, slo si es una solucin de un problema. Tales problemas, junto con las restricciones a las que la nocin responde, constituyen la significacin de la nocin.... (Brousseau, 1983, pp. 169-171).

En la modelizacin de Brousseau puede identificarse la influencia de Piaget, considera que el alumno aprende de sus experiencias, es por ello que el discurso del profesor debe ser vital, sin errores; para que el alumno construya su conocimiento.

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La Teora de Situaciones est sustentada en una concepcin constructivista en el sentido piagetiano- del aprendizaje, concepcin de Brousseau (1986) de esta manera:

El alumno aprende adaptndose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptacin del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje.

En torno a esta adaptacin, nos dice cul es la actitud del estudiante frente a una situacin

didctica, es decir, el conocimiento proviene en buena parte del hecho que el alumno lo adquiera en su adaptacin a las situaciones didcticas que le son propuestas (Brousseau, 1986, p. 67). Por otra parte, aunque la situacin didctica es propuesta por el profesor, para que se pueda adquirir un conocimiento, tal conocimiento puede confirmarse verdaderamente en su adquisicin, cuando pueda ponerlo en accin en un contexto ajeno de toda intencionalidad didctica. Tal situacin es denominada a-didctica, la cual se especifica del saber aunque carece de la intencin de ensear.

La importancia y el significado de la no intervencin del maestro en la situacin a-didctica, queda an por comprender que la entrada en una fase a-didctica es algo que debe gestionar el mismo maestro. Esto dio lugar al concepto de devolucin desarrollado por Brousseau (1988):

La devolucin es el acto por el acto por el cual el enseante hace aceptar al alumno la responsabilidad de una situacin de aprendizaje (a-didctica) o de un problema y acepta l mismo las consecuencias de esta transferencia.

La situacin propuesta por el profesor al alumno, es aquella que le permita dotar al conocimiento que se desea impartir, de un significado propio y plausible de serle til y de que reconozca su utilidad en la resolucin de otro problema. La situacin planteada debe tener por objeto que el alumno interacte con el saber, es decir, que acte, formule, pruebe,

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construya modelos, lenguajes, conceptos, teoras, que intercambie con otros, que reconozca los que estn conformes con la cultura, que tome los que le sean tiles (Lezama, 1999).

La perspectiva de disear una situacin por parte del profesor, para ofrecerla al alumno y se pueda construir un conocimiento, da lugar a la existencia de momentos de aprendizaje, concebidos como momentos en los cuales el alumno se encuentra solo frente a la resolucin de cualquier problema, sin alguna intervencin del profesor en las cuestiones relativas del saber en juego.

Esto muestra que existen caractersticas de la situacin, que el docente puede variar de manera tal que se modifiquen las estrategias posibles de resolucin y en consecuencia el conocimiento a construir, y hacer que el alumno, segn su nivel acepte el problema como suyo y as pueda reproducir sus propias respuestas. A estas interacciones entre el docente y el alumno con los problemas que l ha propuesto, es la situacin didctica.

Aunque la situacin didctica es propuesta por el profesor para que el alumno adquiera un conocimiento, este conocimiento puede confirmarse verdaderamente en su adquisicin,

cuando pueda ponerlo en accin en un contexto ajeno a toda intencionalidad didctica. Tal situacin es denominada a-didctica, la cual se especifica del saber aunque carece de la intencin de ensear.

Se distinguen tres tipos de situaciones a-didcticas:

- Situacin a-didctica de accin. El alumno debe actuar sobre un problema, la situacin requiere solamente la puesta en acto de conocimientos implcitos, construidos de nociones protomatemticas, son aquellas que son utilizadas en la prctica para resolver problemas, pero no son reconocidas ni como objeto de estudio ni como instrumento til para el estudio de otros objetos.

- Situacin a-didctica de formulacin. Un alumno (o grupo de alumnos) emisor debe formular explcitamente un mensaje destinado o otro alumno (o grupo de alumnos) receptor que debe comprender el mensaje y actuar en base al conocimiento contenido en el mensaje.

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Surgen las nociones paramatemticas, son utilizadas como instrumento til para describir objetos matemticos, pero no son considerados como objetos de estudio en la cultura matemtica.

- Situacin a-didctica de validacin. Dos alumnos deben enunciar un modelo explicito y ponerse de acuerdo sobre la verdad o falsedad de las mismas. Surgen las nociones

matemticas, objetos de conocimiento, susceptibles de ser enseados y utilizados en aplicaciones prcticas.

- Situacin de institucionalizacin. Es aquella donde se establece la relacin que hay entre

las producciones de los alumnos y el saber cultural. En ella se produce el reconocimiento del objeto de enseanza por parte del alumno, por medio de intervenciones, pruebas, formulaciones, construccin de modelos, lenguajes, conceptos, teoras, su interaccin con otros, reconocimiento de la veracidad de sus conjeturas y razonamientos, etc., por medio de una actividad matemtica y del aprendizaje del alumno por parte del profesor, en una situacin de accin, formulacin y validacin.

En resumen, una situacin a-didctica son aquellas en la cual el profesor no interviene dentro del escenario dejando que el alumno viva esta situacin como investigador de un problema matemtico, independiente del sistema educativo (Margolinas, 1993). Cada conocimiento tiene situaciones a-didcticas que preservan su sentido, estas situaciones son denominadas situaciones fundamentales (Situacin didctica) por Brousseau.

La teora de las situaciones forma parte de la matemtica educativa y se apoya en la tesis de que el alumno construya un conocimiento matemticos, mediante un proceso similar al que realizaron los productores originales del conocimiento que se quiere ensear. El diseo de las situaciones didcticas relativas a un concepto matemtico dado se orienta a la construccin de su gnesis artificial, que simulara los diferentes aspectos actuales del concepto para los estudiantes y que sin producir el proceso histrico, conducira no obstante, a resultados similares.

29


Es por ello, que surge de la necesidad de disponer de un modelo de la enseanza y del aprendizaje de las matemticas, en el que se encuentren debidamente representadas todas las relaciones y las operaciones que intervienen en el proceso de enseanza y aprendizaje de esta disciplina, tambin hay una inquietud por hacer extensiva esta nueva propuesta a todos los profesores, y de que experimenten la vivencia de la puesta en escena de situaciones didcticas en un ambiente propicio de trabajo para poder reconocer con esto que es un instrumento valioso para la enseanza de las matemticas y para su propia formacin.

En resumen, la teora de situaciones permite disear y explorar un conjunto de secuencias de clase concebidas por el profesor con el fin de disponer de un medio para realizar un cierto proyecto de aprendizaje.

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Diseo y Aplicacin de la Secuencia Didctica Captulo III

Captulo III. Diseo y Aplicacin de la Secuencia Didctica

En este captulo vamos a mostrar la forma en que se dise la secuencia didctica que se aplic a los estudiantes. Como sealamos anteriormente, en el diseo de la secuencia didctica se plantea incorporar, la metodologa planteada anteriormente - La Ingeniera

Didctica-.

La ingeniera didctica (Artigue, 1989), surge en Francia, tiene un doble objetivo: uno, la intervencin crtica en los sistemas didcticos (los saberes didcticos fundamentados cientficamente acotan la accin); otro, la prueba de la contingencia (contraste de las propuestas tericas elaboradas).

De esta forma, la ingeniera didctica pretende controlar a priori la puesta en escena de proyectos de enseanza. En una segunda fase, llamada anlisis a posteriori, el anlisis a

priori se compara con la realizacin efectiva y se busca lo que rechaza o confirma las hiptesis sobre las cuales est basado. Esta comparacin se realiza distinguiendo tres dimensiones (cognitiva, epistmologica e didctica) y, por supuesto, teniendo en cuenta los objetivos especficos de la investigacin.

Esta metodologa de investigacin Ingeniera Didctica -, su sustento terico proviene de

la teora de situaciones didcticas (Brousseau, 1997) y la teora de la transposicin didctica (Chevallard, 1991), que tienen una visin sistmica al considerar a la didctica de las matemticas como el estudio de las interacciones de PROFESOR, ALUMNO y SABER ENSEADO.

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Lezama y Farfan (2001) resumen esta metodologa de la siguiente manera:

Ingeniera Didctica Metodologa de investigacin e instrumento para la

elaboracin de productos para la enseanza

Fase de planeacin

Fase de diseo

Anlisis preliminar

Enfoque sistmico Hace consideraciones de tipo: Epistemologico Cognitivo Didctico

Anlisis de restricciones

Determinacin de las variables de control

(variables didcticas)

Anlisis a priori

Fase Experimental

Puesta en escena de la situacin didctica

Observacin y recoleccin de informacin

Fase de validacin

Anlisis a priori Anlisis a priori

Anlisis a priori Anlisis a posteriori

Confrontacin

Polo Psicolgico

Alumno

Saber a ensear Profesor

Polo epistemolgico

Polo pedaggico

Saber erudito

Representaciones, concepciones

Contrato didctico

Transposicin didctica

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En especfico, se necesita intervenir los sistemas didcticos para lograr un mayor aprendizaje (producto de la existencia de un orden), adems de elaborar y contrastar teoras que expliquen los procesos de aprendizaje de los estudiantes.

Considero adems, que la importancia de la ingeniera didctica para el aprendizaje, pues implica que el profesor trabaja de acuerdo con los conocimientos cientficos que se encuentran respecto a un tema, lo cual a su vez es fundamentado con la teora, cuya rea se restringe a un problema que debe resolver (el ingeniero). Ahora, para resolver estos problemas es que existen dos caminos: el de la investigacin y el de la produccin.

El diseo de situaciones didcticas, tiene la intencin de que sea tratado con un orden especfico, los temas y unidades especificas de los planes de estudio y el de los libros de texto. En el capitulo anterior, se mostro el temario de NMS y a continuacin los temas de un texto analizado de Algebra, a mencionar lgebra con aplicaciones de Elizabeth P. Phillips, Thomas Butts y Michael Shaughnessy (Phillips, Butts y Shaughnessy; 1988),

Captulo 10 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

10.1 FUNCIONES EXPONENCIALES

- Definicin y grficas de la funcin exponencial.

- Evaluacin de funciones exponenciales.

- Crecimiento y decaimiento exponenciales.

- La base natural.

10.2 FUNCIONES LOGARITMICAS

- Definicin de la funcin logaritmo.

- Grfica de la funcin logaritmo.

- Evaluacin de funciones logaritmo: logaritmos comunes y logaritmos naturales.

- Principios de los logaritmos.

- Crecimiento logartmico.

10.3 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

- Antilogaritmos.

- Otras ecuaciones exponenciales y logartmicas.

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- Determinacin de una funcin de crecimiento o decrecimiento.

- Resumen del captulo.

- Ejercicios de repaso. CAPITULO 11 SUCESIONES, SERIES Y LA FORMULA BINOMIAL

11.1 SUCESIONES Y SERIES

- Sucesiones.

- Sucesiones recurrentes.

11.2 SUCESIONES Y SERIES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS

- Sucesiones aritmticas.

- Sucesiones geomtricas.

- Series aritmticas y series geomtricas.

- Otras series (opcional). 11.3 FORMULA BINOMIAL

- Resumen del captulo.

- Ejercicios de repaso.

Se observa que en el captulo 10, se estudia a las funciones exponenciales y logartmicas y en el captulo 11; las sucesiones, series y la frmula binomial. Es por ello que este tema de

inters si se aborda en algunos libros de lgebra, pero que en la actualidad, debido a los nuevos diseos de temarios de estudio del NMS los han omitido y de nuestro inters (Series Numricas) es uno de ellos, ya que este objeto matemtico se enseaba y se aprenda, no a grandes rasgos pero, al menos se trataba de dar sus definiciones y sus aplicaciones, en el aula de clases.

Actualmente, la enseanza de las series numricas es posterior al bachillerato, y por lo

anterior se muestra, que no hay relacin entre ellos (Temario-Libros de Texto), es por ello que se quiere hacer el diseo de una secuencia didctica, en nuestra investigacin, para contribuir en el aprendizaje de las series numricas, en el nivel bachillerato, mediante la graficacin de las funciones y con solo hacer operaciones aritmticas.

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De acuerdo con las dimensiones descritas anteriormente, el diseo de la ingeniera didctica, toma en cuenta, que el aprender series numricas, de acuerdo a la historia y

evolucin, estas surgieron con solo el uso de aritmtica y algebra, es por ello que en el diseo de la secuencia, se considera solamente operaciones aritmticas y algebraicas. Se har uso de la visualizacin, donde los alumnos podrn hacer sus conjeturas con respecto a la similitud de las graficas de las series numricas.

3.1 Descripcin de la Ingeniera Didctica en nuestra Investigacin

ANLISIS PRELIMINAR

Se considero las siguientes componentes para la investigacin:

- En la componente epistemolgica hay evidencia de que los matemticos hindes y rabes hicieron sus primeros descubrimientos de sucesiones que dieron origen a las series, quienes solamente usaron conceptos aritmticos, es por ello que hay necesidad de crear escenarios que hagan posible el desarrollo de la convergencia de series numricas.

- En la componente cognitiva, al elaborar la Ingeniera Didctica, basada en la visualizacin e intuicin de las grficas de funciones, los alumnos puedan describir el comportamiento

grfico y distingan las similitudes entre ellas, particularmente de BC , CF! .

- La componente didctica, como menciona Moreno (1999) muestra que los textos abordan normalmente el tema series en general y su convergencia desde un enfoque formalista, en el que enfatizan la algoritmia y le conceden poca importancia a la visualizacin. Los profesores repiten el esquema de los textos y aunque consideren importante la visualizacin, tienen limitaciones para implementarla en el aula, con respecto a que no se

tiene computadoras o que el profesor no tiene una actualizacin docente. Es por ello que como hay ciertas dificultades en la enseanza, porque ya no est involucrado en el temario

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de matemticas, procuraremos que para el diseo de la secuencia se tenga un ambiente que permita la accin, enfatice la visualizacin y la asignacin de significados.

Debido a que en nuestros cursos de nivel bachillerato, solo se define las funciones, realizando la grafica de la funcin exponencial, esto nos conlleva a que esta se la nica representacin grficas. No se explica que esta funcin exponencial se puede elaborar su desarrollo mediante la serie de Taylor, aunque se tendra que ensear, cuando el alumno ya haya cursado clculo.

DISEO DE LA ACTIVIDAD ESCOLAR

La ingeniera didctica que aplicamos para nuestra investigacin fue diseada para alumnos

de nivel medio superior, especficamente del Cecyt Carlos Vallejo Mrquez. En la primera actividad se trabajar con la dos funciones BC , CF! a fin de que por medio de la visualizacin de grficas puedan dar ciertas caractersticas comunes, harn la construccin del ltimo trmino del desarrollo en funciones polinomiales de la serie numrica de la funcin y = ex.

En la segunda actividad trabajar con las mismas funciones, donde ellos dirn si existen o no similitudes entre ellas, de acuerdo a los puntos que se les proporcione. Por lo anterior, decidimos que nuestra Ingeniera Didctica estuviera constituida por 2 actividades, donde sobresalen las dos funciones importantes, mencionadas anteriormente.

En la actividad numrica, elegimos a tres grupos de estudiantes del bachillerato. La edad usual de los alumnos oscila entre 15-18 aos de edad. La nica condicin que pusimos para su eleccin, consisti en restringir su conocimiento del clculo como disciplina escolar de modo que no hubiesen tenido ningn contacto previo con el Clculo Diferencial e Integral.

La puesta en escena, cont con 2 fases, la fase de preparacin const solamente de una pltica del manejo del software graficador Graphmatica para el ambiente Windows. La

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siguiente fase, desarrollo de la experiencia, estuvo dedicada al desarrollo de los diseos de la ingeniera. Se tomaron 7 alumnos de tercer semestre, donde ellos actualmente no han

cursado la materia de Clculo, se formaron 3 equipos, un equipo de 3 personas y dos equipos de 2 personas. En esta fase a los alumnos se los dej que contestaran libremente y en grupo hicieron sus propias conclusiones. El profesor que aplic la ingeniera no

intervino dando indicaciones ni sugerencias de ningn tipo por lo que las respuestas representan exclusivamente las opiniones de los alumnos.

En la actividad numrica, elegimos a 2 personas, aqu no nos importaron sus estudios actuales, su edad al momento de la investigacin era de 17 aos. Ellos tendrn que decir

valindose de su Calculadora Cientfica, qu pasa con la igualdad de las funciones por

separado: BC 1 C C+! C3! CF! ; tampoco hubo alguna intervencin del profesor y cada equipo trabaj con un instrumento e hicieron sus conclusiones individualmente.

La hiptesis de nuestra investigacin, como se describi anteriormente, en el discurso escolar las series numricas, ha perdido el contexto que le dio origen de este objeto, sin embargo, trataremos que con el diseo de esta secuencia didctica, se valore este origen, es

por ello que por medio de la visualizacin y con la realizacin de operaciones aritmticas, puedan concluir que la convergencia de la funcin exponencial.

DISEO

A continuacin, mostraremos la secuencia aplicada a los alumnos y enunciamos el

propsito de cada pregunta que conform la actividad de la ingeniera didctica. Posteriormente, daremos a conocer el anlisis de los datos que arroj la aplicacin de la secuencia.

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Diseo y Aplicacin de la Secuencia Didctica

PRIMERA ETAPA (GRFICA)

A continuacin aparecen unas de la siguiente manera:

Grafica xey = con la funcin 1.

Grafica xey = con la funcin 2.

De la misma manera con todas las funciones hasta la 6.

Por ejemplo, en la primera grfica vas a comparar la grfica de eve a continuacin:


PRIMERA ETAPA (GRFICA)

A continuacin aparecen unas funciones que debers graficar por parejas de la siguiente manera:

con la funcin 1.

con la funcin 2.

De la misma manera con todas las funciones hasta la 6.

primera grfica vas a comparar la grfica de e

Captulo III

funciones que debers graficar por parejas

primera grfica vas a comparar la grfica de ex que se

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39


con la grfica de la funcin lineal y = 1 + x lo cual se ver como

Aprovecha para observar las grficas y su comportamiento.

En la segunda grfica se compara e

cuadrtica es una parbola en rojo.

(En graphmatica se escribe y = 1 + x + x^2 / 2, es preferible hacer la operacin 1*2)


on la grfica de la funcin lineal y = 1 + x lo cual se ver como


En la segunda grfica se compara ex y 211

12

++=xxy . La grfica de la

cuadrtica es una parbola en rojo.

n graphmatica se escribe y = 1 + x + x^2 / 2, es preferible hacer la

Captulo III

on la grfica de la funcin lineal y = 1 + x lo cual se ver como


. La grfica de la

n graphmatica se escribe y = 1 + x + x^2 / 2, es preferible hacer la

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Algo semejante con la tercera grfica, aparecern e

3212111

32

+

++=xxxy . (E

/6, otra vez es mejor escribir 6 en lugar de 1*2*3, en las dems funciones calcula el producto y sustityelo para graficar, es decir 1*2*3*4 = 24, 1*2*3*4*5 = 120, etc.)


lgo semejante con la tercera grfica, aparecern e

(En graphmatica se escribe y = 1 + x + x^2 / 2 + x^3

/6, otra vez es mejor escribir 6 en lugar de 1*2*3, en las dems funciones calcula el producto y sustityelo para graficar, es decir 1*2*3*4 = 24,

120, etc.)

Captulo III

lgo semejante con la tercera grfica, aparecern ex y

graphmatica se escribe y = 1 + x + x^2 / 2 + x^3

/6, otra vez es mejor escribir 6 en lugar de 1*2*3, en las dems funciones calcula el producto y sustityelo para graficar, es decir 1*2*3*4 = 24,

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Sigue observando lo que sucede

Contina graficando las funciones de esta misma forma en parejas.

Responde:

1. Se parecen las grficas de e

tanto?


diferentes? Qu tanto?




Sigue observando lo que sucede con las grficas de las funciones.


Se parecen las grficas de ex y 211

12

++=xxy o son diferentes? Qu


12

++=xxy



132

+

++=xxxy


Captulo III

con las grficas de las funciones.


o son diferentes? Qu

3212

32

+x

o son

43213

4

+x

o son

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4. Se parecen las grficas de ex y

6543215432143213212111

65432

+

+

+

+

++=xxxxxx

y o son


5. Qu crees que pase con las grficas si sigues aumentando la potencia de x?

6. Si se necesita encontrar la funcin 7, qu trmino agregas al ltimo? Cmo queda la funcin?

7. Si se necesita encontrar la funcin 8, qu trmino agregas al ltimo? Cmo queda la funcin?

8. Si se te pide el ltimo trmino de la funcin 20, Cmo lo escribes?

9. Si se te pide una frmula para el ltimo trmino de cualquier funcin, Cmo la escribes?

10. Dibuja las grficas de ex y la funcin 10, cmo son las grficas? Se parecen?Qu tanto?

11. Si se te pide que inventes un nombre para lo que observaste con las grficas, Qu nombre le inventaras?

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SEGUNDA ETAPA (NUMRICA)

Si tenemos la siguiente igualdad:

1=xe

xex +=1

21

2x

xex ++=

3221

32

+++=x

xex x

4323221

432

+

+++=xxx

xex

54324323221

5432

+

+

+++=xxxx

xex

6543254324323221

65432

+

+

+

+++=xxxxx

xex

7654326543254324323221

765432

+

+

+

+

+++=xxxxxx

xex

Evala para ambos lados, los siguientes valores de x con la ayuda de una calculadora cientfica:

x=

x=3/4

x=5

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x=0

x=-1

x=-5

1. Qu puedes decir acerca de los valores que obtuviste a la izquierda y a la derecha de todas las igualdades para el valor x= ?

2. Algo semejante para x= 3/4,

3. Observas alguna relacin entre los valores que obtienes y el nmero de sumandos que tiene la igualdad en el lado derecho?

4. Pasar algo si aumentas ms sumandos a la derecha? Qu crees que pase?

5. Para x=1/2 calcula la igualdad final pero con otros tres trminos. Coincide con lo que dijiste en 4? Por qu si/no?

El diseo de la actividad, se tomo como referencia, la actividad que elabor Prez (1991), surge la posibilidad de disear un escenario diferente para que los alumnos del nivel medio superior que no han cursado Clculo Diferencial e Integral desarrollen sus habilidades para la adquisicin de la nocin de convergencia.

Para la actividad grfica y numrica el diseo de la secuencia tiene ciertas modificaciones con respecto a la tesis mencionada. En la secuencia grfica a los estudiantes se les mostrar algunas grficas que se hicieron en el paquete Graphmatica y posteriormente ellos tendrn que realizar algunas grficas utilizando ese mismo programa, en la tesis de Prez (1991) se les iba cuestionando de modo que eran conducidos a la respuesta que se buscaba, en contrasentido nuestra tesis contiene un cuestionario que los estudiantes respondern sin

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monitoreo y la seleccin de los alumnos que es una clave muy importante en nuestra tesis son alumnos que no tienen nociones del Calculo diferencial e integral.

En la actividad numrica Prez (1991) consider tres funciones con su respectiva serie de Taylor para ser evaluados con solo tres valores, y despus de sus conclusiones ellos usaron

la computadora para modificar sus respuestas. En nuestra tesis solamente consideramos la funcin exponencial ex con su respectiva serie de Taylor, se le agregan ms valores para

evaluar, se dise un cuestionario para as poder dar conclusiones pertinentes.

En la primera parte del diseo de la ingeniera didctica se tom en cuenta las grficas de la

funcin exponencial ex con los trminos de su serie convergente, donde se espera que puedan escribir un ltimo trmino de la serie y donde desde un punto visual tendrn que abordar el comportamiento de varias parejas de grficas y decidir si existe una semejanza creciente entre ellas. En la segunda parte se toma la funcin exponencial con varios trminos de su serie para que al evaluar los puntos que se utilizarn puedan predecir la igualdad numrica entre ellas.

ANLISIS A PRIORI

PRIMERA ETAPA (GRFICA) PREGUNTA 1, 2, 3 Y 4. En estas preguntas suponemos que va a haber ciertas dificultades en que vean las similitudes entre las grficas, sabemos que por no tener buenos conocimientos de grfica de funciones, ellos tendrn problemas en decir en que intervalos hay similitud entre las grficas, pero consideramos suficiente que digan que hay una interseccin en un punto (que se ve claramente), es decir, que a partir de este punto continan juntas las grficas conforme se aumenta los trminos de la serie.

PREGUNTA 5. Ellos tendrn que graficar, solamente se requiere que introduzcan adecuadamente los datos, para ello tendrn que hacer uso del paquete Graphmatica que es

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muy accesible. Tendrn que ver si hay similitudes o no, entre las grficas de BC , CF! .

PREGUNTA 6-9. Se espera que ellos tengan buena intuicin para poder explicitar ms trminos de la serie numrica, por no tener nociones de Clculo Diferencial e Integral se espera que ellos puedan desarrollar sin ninguna dificultad o

gutierrez 2009

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