guías de ondas ignacio flores llamas 1. la propagación de las ondas electromagnéticas en las...

Guías de ondas

Ignacio Flores Llamas 1

La propagación de las ondas electromagnéticas en las guías de ondas se analiza por medio de la solución de las ecuaciones de Maxwell:


0

B

D

JDH

BE

t

tE: Intensidad de campo eléctrico [V/m]H: Intensidad de campo magnético [A/m]D: Densidad de flujo eléctrico [C/m2]B: Densidad de flujo magnético [Wb/m2]J: Densidad de corriente eléctrica [A/m2]: Densidad de carga eléctrica [C/m3]

Se tienen las relaciones constitutivas: B = H y D = E.

Una onda TEM (transversal electromagnética) es aquella cuyos campos E y H son perpendiculares entre sí, y ambos también son perpendiculares a la dirección de propagación (z).

3Ignacio Flores Llamas

Ambos campos están en fase, pues alcanzan sus valores máximos al mismo tiempo.

Si la magnitud y fase de los campos son iguales en todos los puntos de un plano, con z constante, entonces la onda es plana.

En el espacio libre se puede considerar que y J valen cero, así que las ecuaciones de Maxwell se simplifican.


Fasores Suponiendo que los campos E y H tienen

variación senoidal con respecto al tiempo, entonces

E0: magnitud de campo eléctrico, H0: magnitud de campo magnético, : fase.


)](cos[)(),(

)](cos[)(),(

0

0

rrHrH

rrErE

tt

tt

Fasores Utilizando la identidad de Euler

obtenemos:

donde se definen los fasores de E y H como


tjte tj sencos

jtj

jtj

eet

eet

)(Re),(

)(Re),(

0

0

rHrH

rErE

j

j

e

e

)()(

)()(

0

0

rHrH

rErE

Sustituyendo en las ecuaciones de Maxwell, considerando las relaciones constitutivas, y dado que derivar con respecto al tiempo equivale a multiplicar por j, se obtienen las ecuaciones fasoriales:

En general E tiene componentes Ex, Ey y Ez, y H tiene componentes Hx, Hy y Hz.


EH

HE

j

j

Para la onda plana:

Así que las ecuaciones de Maxwell se convierten en un sistema de ecuaciones simultáneas, del cual se puede obtener la ecuación de segundo orden


0H,0,0,0E,0,0

zz yxyx

HHEE

0EE 22

2

x

x

z

Las soluciones de la ecuación anterior son

donde A y B son constantes, es la constante de fase.

También se puede encontrar que


zjx

zjx ee BE,AE

zjy e

A

1H

/ es la impedancia de la onda (intrínseca delmedio).

Las expresiones completas (no en fasores) de los campos de una onda plana que viaja en la dirección positiva de z, quedan

La velocidad de fase se obtiene considerando que

derivando con respecto al tiempo


1

dt

dzv

constantefaseciertazt

y

x

zttz

zttz

aH

aE

)cos(A1

),(

)cos(A),(

Los modos TE (transversales eléctricos) tienen un campo eléctrico transversal a la dirección de propagación z (Ez = 0) y una componente Hz ≠ 0.

Del sistema de ecuaciones simultáneas se obtiene la ecuación:

donde es la constante de propagación.


j

0H)(HH 22

2

2

2

2

zzz

yx

Una vez resuelta la ecuación anterior, las demás componentes del campo electromagnético se encuentran con


yz

y

HH

22

xz

x

HH

22

yx

jHE

xy

jHE

Los modos TM (transversales magnéticos) tienen un campo magnético transversal a la dirección de propagación z (Hz = 0) y una componente Ez ≠ 0.

Con un procedimiento similar, del sistema de ecuaciones simultáneas se obtiene la ecuación:


0E)(EE 22

2

2

2

2

zzz

yx

Una vez resuelta la ecuación anterior, las demás componentes del campo electromagnético se encuentran con


yz

y

EE

22

xz

x

EE

22

yx

jEH

xy

jEH

En una guía de ondas metálica rectangular sólo se pueden propagar los modos TE y TM, no hay propagación del modo TEM.

La ecuación para cada tipo de modos se resuelve con las condiciones de frontera apropiadas: el campo eléctrico tangencial debe ser cero y el campo magnético normal también debe ser cero.


Modos TE La solución general de la ecuación para los modos

TE es

Al diferenciar y sustituir en la ecuación original se obtiene la relación

Los valores discretos p y q definen el orden del modo TE.


zz eqyqypxpx ]senDcosC][senBcosA[H

2222 )( qp

Modos TE

Las condiciones de frontera exigen que Hx = 0 en x = 0 y x = a. También que Hy = 0 en y = 0 y y = b.

Aplicando estas condiciones se puede llegar a las ecuaciones


,...3,2,1,0 nb

nq

,...3,2,1,0 ma

mp

Modos TE Así que la solución final queda de la forma:

A partir de esta ecuación se pueden encontrar las demás componentes de los campos E y H.


zjmnz ey

b

nx

a

m

coscosAH 0

Modos TE Se puede encontrar una expresión para la constate

de propagación

Para que el modo TE se propague, debe ser imaginaria pura, es decir, 2 > (m/a)2 + (n/b)2.


222

b

n

a

m

2222

b

n

a

m

Modos TE Entonces, para un modo específico existe una

frecuencia de corte, a la cual inicia la propagación


22

2

b

n

a

mvf

mnc

222 1

b

n

a

mmnc

1

vporque

Modos TM La solución general de la ecuación para los modos

TM es

Al diferenciar y sustituir en la ecuación original se obtiene la relación (igual que para modos TE)

Los valores discretos p y q definen el orden del modo TM.


zz eqyqypxpx ]senDcosC][senBcosA[E

2222 )( qp

Modos TM

Las condiciones de frontera ahora exigen que Ez = 0 en x = 0, x = a, y = 0 y y = b.

Aplicando estas condiciones se puede llegar a las ecuaciones


,...3,2,1 nb

nq

,...3,2,1 ma

mp

Modos TM Así que la solución final queda de la forma:

A partir de esta ecuación se pueden encontrar las demás componentes de los campos E y H.

Se observa que las distribuciones de los modos TM son distintas a las de los modos TE.

Es evidente que en este caso m y n no pueden valer cero.


zjmnz ey

b

nx

a

m

sensenAE 0

Modos TM La constante de propagación resulta ser la misma

que para los modos TE, para valores idénticos de m y n, ya que p y q se determinan de la misma manera.

Por lo tanto, la frecuencia de corte también es la misma para estos modos TM.


Modo dominante La frecuencia de corte más baja para una guía

rectangular en donde a > b, siempre es la frecuencia de corte del modo TE10.

Después sigue la de los modos TE20 o TE01 o TE11 y TM11, dependiendo de las magnitudes de a y b.

Por lo tanto, siempre hay un rango de frecuencias en el que solamente se propaga el modo TE10. Por esta razón se le llama modo dominante.


Para analizar la propagación de los modos en una guía de ondas circular, es conveniente emplear un sistema de coordenadas cilíndricas.

Modos TE Al transformar la ecuación diferencial que se debe

resolver para los modos TE a coordenadas cilíndricas se obtiene


0H)(H1H1 22

2

2

2

zzz

rrr

rr

Modos TE La solución general de esta ecuación es de la forma

donde A, B, C y D son constantes, Jm(hr) y Ym(hr) son las funciones de Bessel de primera y segunda clase respectivamente, y de orden m.

B debe ser cero porque Ym(hr) → -∞ cuando r → 0. Sólo es necesario utilizar alguna de las funciones

cosm o senm, según la referencia para = 0.


zmmz emmhrhr ]senDcosC)][(YB)(JA[H

Modos TE Utilizando cosm, la solución final es

Además se obtiene la relación . Las demás componentes se determinan con


mhrmz cos)(JAH 0

222 h

rr

jh

zr

H1E

2

r

jh

zH1E

2

r

jh

zr

H1H

2

z

rj

h

H1H

2

Modos TE Aplicando las condiciones de frontera tenemos que

E = 0 en r = a. Esto conduce a que se debe cumplir con

Si designamos a las raíces de la ecuación anterior como smn, entonces ha = smn, es decir, h = smn/a.


0)(J ' ham

Modos TE Por lo tanto, la constante de propagación se

obtiene con

Habrá propagación en la guía a partir de la frecuencia en la que sea imaginaria pura, es decir,

22

222

a

sh mn


a

vsf mn

mnc 2

a

smnmnc

Modos TE Raíces de

El primer modo TE que se propaga es el TE11.


0)(J ' ham

n = 1

n = 2

n = 3

m = 0

3.832

7.016

10.173

m = 1

1.841

5.331

8.536

m = 2

3.054

6.706

9.969

Modos TM Al transformar la ecuación diferencial que se debe

resolver para los modos TM a coordenadas cilíndricas se obtiene


0E)(E1E1 22

2

2

2

zzz

rrr

rr

Modos TM La solución general es de la forma

Nuevamente B debe ser cero porque Ym(hr) → -∞ cuando r → 0.

De la misma manera, sólo es necesario utilizar alguna de las funciones cosm o senm, según la referencia para = 0.


zmmz emmhrhr ]senDcosC)][(YB)(JA[E

Modos TM Utilizando cosm, la solución final es

Las demás componentes se determinan con


mhrmz cos)(JAE 0

r

jh

zr

E1E

2

z

rj

h

E1E

2

zr r

jh

E1H

2

r

jh

zE1H

2

Modos TM Aplicando las condiciones de frontera tenemos que

Ez = 0 en r = a. Esto conduce a que se debe cumplir con

Si designamos a las raíces de la ecuación anterior como tmn, entonces ha = tmn, es decir, h = tmn/a.


0)(J ham

Modos TM Por lo tanto, la constante de propagación se

obtiene con

Habrá propagación en la guía a partir de la frecuencia en la que sea imaginaria pura, es decir,

22

222

a

th mn


a

vtf mn

mnc 2

a

tmnmnc

Modos TM Raíces de

El primer modo TM que se propaga es el TM01.


0)(J ham

n = 1

n = 2

n = 3

m = 0

2.405

5.520

8.654

m = 1

3.832

7.016

10.173

m = 2

5.136

8.417

11.620

¿Cuál es el modo dominante en una guía circular?

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