INDICE

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REALIZA LO QUE SE PIDE EN CADA NMERO:

I. Encontrar la primera derivada [ y l o f l ( x ) o ] y la segunda derivada [ y ll o f ll ( x ) o ] de las funciones que se plantean:

a) y = 2x2 - x4 ;b) f (x) = (x2 - 4)2 ;

c) f (x) = x4 - 4x2 + 4 ;d) y = 3x5 - 20x3 ;

e) f (x) = x2 9;f) y = 3 + 2x - x2 ;g) f(x) = ln ( x2 ) h) y = sen x + x2

II. Resolver las ecuaciones que en cada caso se proponen:

a) 2x2 - x4 = 0b) 4 x 4 x 3 = 0

c) 4x3 - 8x = 0 d) 15x4 - 60x2 =0e) 2 x = 0f) 2 - 2x = 0g) 12 x2 8 = 0 h) x2 - 5 x + 6 = 0

III. Evaluar la funciones que se proponen en cada inciso con:

X = -2;

x = -1;

x = o;

x = 1;

x = 2;

x = 3.

a) y = 2x2 - x4 ;b) f (x) = (x2 - 4)2 ;

c) f (x) = x4 - 4x2 + 4 ;d) y = 3x5 - 20x3 ;

e) f (x) = x2 9;f) y = 3 + 2x - x2 ;IV. Mediante tabulacin, traza la grfica de cada funcin de los siguiente incisos:

a) y = 2x2 - x4 ;b) f (x) = (x2 - 4)2 ;

c) f (x) = x4 - 4x2 + 4 ;d) y = 3x5 - 20x3 ;

e) f (x) = x2 9;f) y = 3 + 2x - x2 ;

I. FUNCIONES

Problema 1. El gallinero

Doa Josefa, habitante de Ures, ha criado gallinas sin necesidad de tenerlas cautivas. Esto le ha ocasionado una serie de problemas, por lo que decide construr un gallinero en la parte posterior de su casa. Sus ahorros slo le alcanzan para comprar 50 metros lineales de tela ciclnica para cercarlo. Si el terreno donde desea construirlo es de 20 por 40 metros, qu dimensiones deber tener un gallinero de forma rectangular (que utilice todo el material que compr) para que ste abarque la mayor rea posible y as encerrar la mayor cantidad de gallinas?

I.2.DEFINICIONES

(1) Variable.-

Variable independiente o argumento.-

Variable dependiente o funcin.-

(2) Constante.-

Constante numrica o absoluta.-

Constante arbitraria o parmetro .-

(3) Intervalos.-

NOTACIN DE

INTERVALOSNOTACIN DE

DESIGUALDADREPRESENTACION GRAFICA

[ a , b ]a ( x ( b

( a , b ) a( x ( b

( a , b ]a( x ( b

[ a , b )a ( x ( b

( a , +( )a( x

( -(, b )x ( b

[ a , +()a ( x

( - (, b ]x ( b

(4) Conjunto solucin.- (5) Relacin.-

Ejemplo 1 de relaciones:

Sea U = { 0, 1, 2, 3, ............, 9, 10,......, n, n + 1 }

Si R1 = { (x, y) / x y = 2 }

El conjunto solucin ser: R1 = { }

Si R2 = { (x, y) / 2x + y = 7, x + y = 4 }

El conjunto solucin ser: R2 = { }

Sea U = { 1, 2, 3 }

Si R3 = { (x, y) / y = x }; entonces R3 = { }

Si R4 = { (x, y) / y ( x }; entonces R4 = { }

Dominio.-

Contradominio ( Rango ).-

En los ejemplos vistos, llamando D al dominio y C al rango se tienen los siguientes conjuntos:

D1 = { }

D2 = { }

D3 = { }

D4 = { }

C1 = { }

C2 = { }

C3 = { }

C4 = { }

EJERCICIOS I

1.-Si U = { 0, 1, 2, 3, 4,5 }; escribir los elementos de cada relacin:

R1 = { (x, y) / x + y = 4 }

R2 = { (x, y) / x2 + y2 = 5 }

R3 = { (x, y) / y = 2x }

R4 = { (x, y) / y - x = 0 }

R5 = { (x, y) / x - y ( 0 }

2.-Escribe con notacin de intervalos y grficamente las desigualdades que se proporcionan en cada inciso:

a) - 4( x ( 8

b) - 6 ( x ( 7

c) - 3 ( x ( 3

d) x ( - 3

e) - 9 ( x ( 6

f) x > 3

3.-Escribe como desigualdad y grficamente los intervalos que se proporcionan en cada inciso:

a) [ - 7 , 5 ]

b) ( - 4 , 4 ]

c) ( - 6 , 8 )

d) [ - 4 , ( )

e) ( - 5, 5 )

f) ( -(, 3 )

4.-U = { x / x es un nmero real }; determinar cinco elementos de cada relacin y trazar su grfica correspondiente.

R6 = { (x, y) / y = 4x + 3 }

R7 = { (x, y) / y = x2 + 1 }

R8 = { (x, y) / x2 + y2 = 25 }

R9 = { (x, y) / x2 + y2 ( 1 }

R10 = { (x, y) / x - y = 1; x ( 2 }

3.-Determinar el dominio D y el rango C da cada relacin del ejercicio anterior.

I.3.FUNCIONES

(1) Definicin.-

(2) Notacin de funciones.- .

(3) Clasificacin de funciones.- A. Funciones algebraicas.-

B. Funciones trascendentes.-

FUNCION TRASCENDENTE

NOMBRE

f ( x ) =

Funcin circular o trigonomtrica

f ( x ) =

Funcin circular inversa o trigonomtrica inversa

f ( x ) =

Funcin exponencial

f ( x ) =

Funcin logartmica

Algunas de las funciones algebraicas mas comunes son:

a) Funcin lineal.- b) Funcin cuadrtica.- c) Funcin escaln unidad.- d) Funcin par.-

e) Funcin impar.-

f) Funcin implcita.- g) Funcin explcita.- h) Funcin algebraica simple.- i) Funcin polinomial.- j) Funcin racional.- (4) Evaluacin de funciones.- Si f(x) = x3 4x + 2;

determinar:f(1),f(-2),f(a)yf(0)

f(1) = (1)3 4(1) + 2 = 1 4 + 2 = -1

f(-2) = (-2)3 4(-2) + 2 = -8 +8 + 2 = 2

f(a) = (a)3 4(a) + 2 = a3 4a + 2

f(0) = (0)3 4(0) + 2 = 0 0 + 2 = 2

EJERCICIOS III

1.-Sif(x) = ,

determinar:

f(-1)=?,f(0) =?,f(2a) =?,f(1/x) =? yf(x + h) =?

2.-Si f(x) = 2x,demostrar que:

f(x + 3) f(x 1) = f(x);

= f(4);

f(x + 1) = 2 f(x)

3.-Sif(x) = x2 x,

demostrar que:

f(x + 1) = f (-x),

4.-Si f(x) = ,encontrar:

f(0) =?,f(1) =?,f(-2) =?;adems, demostrar que:

f(1/x) = -f(x),

f(-) = -

5.-Sif(x) = x2 4x + 6;

encontrar:

f(0) =?,f(-2) =?,f(h) =?;adems, demostrar que:

f(1/2) = f(7/2),

f(2 - h) = f(2 + h)

6.-Si f(x) = ;demostrar que:

f(a) f(b) = f;

f(2) f(b) = f

7.- Sif(x) = ;

encontrar:

f ()=?,

8.- Si f(x) = 3x ;demostrar que:

f (0) = 1;f (x + 1) f (x ) = 2 f (x );f ( y ) f ( z ) = f (y + z)

9.- Si f(() = sen ( + cos 2(;

encontrar:

f ( ) = ?;

f ( ) = ?;

f ( ( ) = ?;

f ( 2() = ?

II. LIMITES Y CONTINUIDAD

II.1.LIMITE

(1) Propiedades de los lmites.- A continuacin se mencionan algunas propiedades sobre los lmites de funciones que se pueden emplear en el calculo de estos:

a. x = a

b. c = c

si c es una constante

c.Si

f(x) = L y

g(x) = M, se tiene:

1. [ f(x) ( g(x) ] = L (M

2. [ f(x) g(x) ] = L M

3. =

( si g(x) 0 )

4. =

EJERCICIOS IV

1.-Calcula el lmite de los problemas de cada inciso ( CASO I ):

a) (x2 + 4x )

b) 4x

c) x2

d) (3x2 + 5 )

e)

f)

g)

EMBED Equation.3 h)

i) ( x2 + 2x 1 )

j)

2.-Calcula el lmite de los problemas de cada inciso( CASO II ):

a)

EMBED Equation.3 b)

EMBED Equation.3 c)

EMBED Equation.3 d)

EMBED Equation.3 e)

f)

EMBED Equation.3 g)

EMBED Equation.3 h)

EMBED Equation.3 i)

EMBED Equation.3 j)

EMBED Equation.3 k)

EMBED Equation.3

3.-Calcula el lmite de los problemas de cada inciso ( CASO III ):

a)

EMBED Equation.3 b)

EMBED Equation.3 c)

d)

e)

f)

g)

h)

EMBED Equation.3 i)

EMBED Equation.3 j)

EMBED Equation.3 k)

EMBED Equation.3 4.-Calcula el lmite de los problemas de cada inciso ( CASO IV ):

a)

EMBED Equation.3 b)

EMBED Equation.3 c)

EMBED Equation.3 d)

EMBED Equation.3 e)

EMBED Equation.3 f)

EMBED Equation.3 g)

EMBED Equation.3 h)

EMBED Equation.3 i)

EMBED Equation.3 j)

EMBED Equation.3

5.-Calcula

EMBED Equation.3 para la funcin proporcionada en cada inciso:

a) f ( x ) = ax3

b) f ( x ) =

c) f ( x ) = ax2 + bx + c

d) f ( x ) = 5x3

e) f ( x ) =

f) f ( x ) =

g) f ( x ) =

h) f ( x ) =

i) f ( x ) = 3x2 - 5x

j) f ( x ) = 2x2 + 7x - 1

k) f ( x ) =

III. DERIVACIN DE FUNCIONES

III.1.INCREMENTOS

(1) Definicin.- (2) Notacin usual en las derivadas.- }(3) Regla general de derivacin.- Para encontrar la derivada de una funcin conforme a la definicin anterior, se recomiendan los pasos siguientes:

EJERCICIOS VI

Encuentra la derivada de cada funcin que se proporciona.

a) y = 2 3x

b) f(x) = mx + b

c) y = x4d) ( =

e) s = at2 + bt +c

f) y =

g) f(x) = cx3h) y = 3x x3i) y = x2 + 2x

j) s = ( a + bt )2k) y =

l) y = x2 + 2

m)

n)

o)

EJERCICIOS VII

Encuentra la pendiente m , el ngulo de inclinacin ( y la ecuacin de la recta tangente en cada caso:

a) y = x2 2

( 1, -1 )

b)y = 2x - x2

( 3, y )

c)y =

x = 2

d)y = 3 + 3x x3 x = -1

e) y = x3 x2

( -1, -2 )

III.4.DERIVACIN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIOS VIII

Encontrar la derivada de la funcin en cada inciso:

a) y = x5 + 5x4 - 10x2 + 6

b) f(x) = 3x1/2 - x3/2 + 2x-1/2

c) y = +

d) y =

e) f(t) = +

f) y = ( 1 5x )6

g) f(x) = ( 3x x3 + 1 )4

h) f(z) =

i) y = 2x2

j) ( =

k) y =

l) y =

m) z =

n) s =

o) s = t

p) f(t) = ( 2 3t2 )3

q) y = x ( a + bx )1/2

r) y =

s) s =

t) r =

u) y =

v) f(x) =

w) f(t) = at5 5bt2

x) s = 2t4/3-3t2/3

III.5.DERIVADAS SUCESIVAS

EJERCICIOS IX

Calcular las derivadas indicadas en cada problema:

a) y = 3x4 2x2 + x 5

y((( = ?

b) y =

y(IV) = ?

c) f(x) =

f (((x) = ?

d) y =

y(( = ?

e) y =

y(V) = ?

f) y =

y(( = ?

g) y = x2 4x + 8

y((( = ?

III.7.DERIVACIN DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

EJERCICIOS XI

Calcula la derivada de cada funcin indicada:

a) y = ln ( x2 + a )

b) y = x2 ln x2

c) y = b

d) f(x) =

e) y = ln ( 3x2 + 5 )

f) f(x) = ln ( ln x )

g) s = e-th) y =

i) y = ex ln x

j) y = ln ( x2 ex )

k) f(x) =

l) f(x) =

m) y =

n) y = ( ln x2 )3

o) y = ln

p) y =

q) f( x) =

r) s = t et

s) f(()=b2(

t)

EJERCICIOS XII

1) Encuentra la derivada de cada funcin que se proporciona:

a) y = sen 3x2

b) f(x) = 3x2 4 cos x

c) s = tg 3t

d) y = 4 ctg

e) f(t) = + 7 cos t

f) y = sen ax2

g) f(() = 3 cos 2(h) y = tg 3 4x

i) f(() = cos3 (j) y = sen 2x cos 2x

k) y = a csc bx

l) s = tg ( - (m) f(() =

n) g(x) = sec x tg x

o) y =

p) sen x + cos y = 0

q) f(() =

r) s =

s) y = x sen x

t) y =

IVANLISIS DE FUNCIONES.

IV.2.MXIMOS Y MINIMOS.

(1) Definicin.- (2) Primer mtodo para calcular mximos y mnimos.- En la aplicacin de este mtodo, se recomiendan los pasos siguientes:

EJERCICIOS XV

Calcula los mximos y mnimos en la funcin que se proporciona en cada inciso:

a) f(x) = 10 + 12x 3x2 - 2x3b) y = 2x3- 9x2 + 12x 3

c) f (x) = x3 + 2x2 - 15x 20

d) y = 2x3 + 3x2 + 12x 4

e) f (x) =

f) y = x4+ 2x3 - 3x2 - 4x + 4

g) f(x) = (x-1)2 (x+1)3h) y = x2 + 2x 3

i) f ( x ) = 2x3 + 3x2 - 12x

j) f ( x ) = 3x4 - 4x3 - 12x2

k) y = ( 2 + x )2 ( 1 x )2

l) f (x) = x3 +

(3) Segundo mtodo para determinar mximos y mnimos.- EJERCICIOS XVI

Calcula los mximos y mnimos de las funciones de cada inciso:

m) y = 3 + 2x - x2

n) f (x) = x3 - 6x2 + 9x 8

o) f(x) = (x2 - 4)2

p) y = x4 - 4x2 + 4

q) y = 3x5 - 20x3

IV.4.APLICACION DE MXIMOS Y MINIMOS

EJERCICIO XVIII

Resuelve, aplicando mximos y mnimos, los problemas que en cada inciso se plantean.

a) Se desea conocer las dimensiones del rectngulo inscrito en un crculo de cinco centmetros de radio y que sea de mayor rea.

b) Se desea construir un depsito rectangular de base cuadrada abierto por arriba. Debe tener ciento veinticinco metros cbicos de capacidad, si el costo de las caras laterales es de dos mil pesos por metro cuadrado y el fondo es de cuatro mil pesos por metro cuadrado. Determinar las dimensiones del depsito que den el menor costo de fabricacin.

c) Hallar dos nmeros cuya suma sea ciento veinte y de forma que el producto p de uno de ellos por el cuadrado del otro sea mximo.

d) Se desea construir una caja rectangular de base cuadrada abierta por arriba. Calcular las dimensiones que debe tener si se quiere que su volumen sea mximo y se construye con mil doscientos centmetros cuadrados de material

e) Se quiere construir un recipiente cilndrico y de sesenta y cuatro centmetros cbicos de volumen. Encontrar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material usado en su construccin sea mnima.

f) Un mayorista vende zapatos para correr a veinte pesos el par si le piden menos de cincuenta pares. Si le piden mas de cincuenta ( hasta seiscientos ), el precio por par se reduce en .02 pesos multiplicado por el volumen del pedido. Cul es el pedido que produce el mayor ingreso para el mayorista?

g) Un arquitecto desea disear cierto tipo de ventana de tal manera que la parte inferior sea rectangular y la superior sea un tringulo equiltero ( ver figura ). Si cada ventana tiene un rea de tres metros cuadrados, Cules deben ser sus dimensiones para que el permetro sea el menor posible?

h) Una fbrica de margarina vende su producto en barras que tienen forma de prisma de base cuadrada cuyo volumen es de ciento ocho centmetros cbicos. Determina las dimensiones de la barra que minimizan la cantidad de papel de la envoltura ( las dimensiones con que se gastara menos papel ).

i) Para que un paquete pueda enviarse por correo es necesario que la suma de su longitud con el permetro de su base no exceda de ciento ocho pulgadas. Encuentre las dimensiones de la caja con la base cuadrada de mayor volumen que se pueda enviar por correo.

EMBED PBrush

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