guia

Cálculo II - Análisis Matemático IIGuía de Trabajos Prácticos 2012

Departamento de Matemática. U.N.S.L.Prof. Hugo Alvarez

Recuerdos de Algebra Lineal

El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, digamos m � n;8>><>>:a11x1 + a12x2 + � � � + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + � � � + a2nxn = b2� � � � � � � � � � � � ��am1x1 + am2x2 + � � � + amnxn = bm

(1)

se reescribe matricialmenteAx = b;

donde A 2 Rm�n; x 2 Rn�1 y b2 Rm�1: Será habitual en este curso identi�car al vectorx = (x1; x2; � � �; xn) 2 Rn con la matriz

x =

2664x1x2�xn

3775 2 Rn�1;de manera que la operación matricial Ax = y se puede ver como una aplicación (lineal) desdeel espacio euclídeo Rn al espacio euclídeo Rm : x 7! y = l (x) = Ax:

Si la matriz A tiene rango m, la aplicación lineal l es sobreyectiva y, para cada b 2 Rm,el conjunto S de soluciones del sistema (1) es una variedad lineal de dimensión k = n�m enRn: Recordemos que una variedad lineal es un subespacio trasladado, que no necesariamentepasa por el origen. Las variedaes lineales de dimensión 1 se llaman rectas, las de dimensión 2planos y las de dimensión n� 1 hiperplanos. La solución de cada una de las ecuaciones (1) esun hiperplano, de modo que la variedad de dimensión n�m; solución del sistema, se realizacomo intersección de m hiperplanos. El sistema (1) son las ecuaciones implícitas de S.

Otra manera de representar una variedad lineal de dimensión k en Rn es como grá�code una función afín f de Rk en Rm (m = n� k). Tal grá�co, vive en el producto cartesianoRk � Rm.

S = Grf = f(x;y) : y = f (x)g :

Si f (x) = Ax + b con A 2 Rm�k y b 2Rm, la condición para que (x;y) 2 S seráAx� y = �b, lo cual, escrito como sistema da8>><>>:

a11x1 + � � � + a1kxk � y1 = �b1a21x1 + � � � + a2kxk � y2 = �b2� � � � � � � � � � � � � � �am1x1 + � � � + amkxk � ym = �bm

: (2)

Este sistema es del mismo tipo del (2). Ahora la matriz, también de m� (m+ k) = m� n; es2664a11 � � � a1k �1 0 � � � 0a21 � � � a2k 0 �1 � � � 0� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �am1 � � � amk 0 0 � � � �1

3775 :

GTP Cálculo II - 2012 Cap. 1.- Diferenciación

Esto muestra que una representación explícita, en la que un grupo de variables están dadasen función de las otras, se puede llevar a la forma implícita con facilidad. Pasar de la formaimplícita a la explícita es resolver el sistema de ecuaciones.

Una tercera manera de describir una variedad lineal es la forma paramétrica. Si f : Rk ! Rnes una función afín, digamos f (x) = Ax+b con A 2 Rn�k de rango k y b 2 Rn, la imagende f es una variedad de dimensión k en Rn. En este caso, las ecuaciones paramétricasy = f (x) no dan una condición que cumple el punto para pertenecer a la variedad, sino quegenera todos los puntos y de la variedad cuando x recorre todos los puntos del dominio.

En cada uno de los casos descritos, cuando se reemplazan las funciones lineales `j (x) =aj1x1 + aj2x2 + � � � + ajnxn por funciones su�cientemente regulares fj (x) se obtienen, bajocondiciones que intentaremos encontrar, conjuntos llamados variedades (no lineales). Los dedimensión 1 son curvas, los de dimensión 2 son las super�cies y los de dimensión n� 1 sellamarán hipersuper�cies. El primer trabajo práctico trata de enseñarnos a imaginar este tipode conjuntos en dimensiones chicas.

1 Diferenciación

Práctico 1. Geometría de las funciones con valores reales

1. En un sistema plano dibujar curvas de nivel para las siguientes funciones y, sobre esa base,esbozar sus grá�cos en un sistema tridimensional.

a. f (x; y) = x� y + 2b. f (x; y) = �xy

2. Sea S� el plano f(x; y; z) : y = x tan �g. Se trata de obtener grá�cas de las funciones quese detallan abajo a partir de sus intersecciones con planos S�. Para ello se recomiendaexpresar z como función de r, poniendo x = r cos � y y = r sen �.

a. (x; y) 7�! x2 + y2

b. (x; y) 7�! x2 � y2

En los ejercicios 3 y 4 trazar las curvas de nivel f (x; y) = c(en el plano xy) para las funciones f dadas y valores dec especi�cados. Con esos datos, esbozar la grá�ca de f .

3. f (x; y) =�100� x2 � y2

� 12 , c = 0; 2; 4; 6; 8; 10

4. f (x; y) = tan�1 yx , c = 0; �3 ;�4 ;�2 ;�

�3 ;�

�4 ;�

�2 :

En los ejercicios 5 y 6 describir la grá�ca de cada funcióncalculando algunas secciones y curvas de nivel

5. f (x; y) = jyj

6. f (x; y) = max fjxj ; jyjg

2


En los ejercicios 7 a 11 esbozar o describir las super�cies enR3 descriptas por las ecuaciones dadas.

7. z2 = y2 + 4 8. y2

9 +z2

4 = 1 +x2

16

9. z = x2 10. 4x2 � 3y2 + 2z2 = 0

11. x2

9 +y2

12 +z2

9 = 1

12. Usando coordenadas polares, describir las curvas de nivel de la función

f : R2 ! R; (x; y) 7!

8<:2xyx2+y2

si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0; 0)

x

y

z

ϑ

r

z

Coordenadas cilíndricas

x

y

z

ϑ

ϕ

ρ

Coordenadas esféricas

13. a) Los siguientes puntos están dados en coordenadas cilíndricas ((r; �; z)). Hallar su expre-sión en coordenadas rectangulares y esféricas: (1; 45o; 1) ;

�2; �2 ;�4

�;�1;��

6 ; 0�;�2; 3�4 ;�2

�:

b) Cambiar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a esféricas y a cilíndricas:(2; 1;�2) ; (0; 3; 4) ;

��2p3;�2; 3

�:

14. Describir las super�cies r = constante, � = constante y z = constante en coordenadascilíndricas. Lo mismo para % = constante, � = constante y ' = constante en coordenadasesféricas.

15. Describir las siguientes super�cies paramétricas:

a) 8<:x = 2 cos �y = 2 sen � 0 � � < 2�;�2 � z � 2z = z

b) 8><>:x =

p22 r cos �

y =p22 r sen � 0 � � < 2�; 0 < r < 1

z =p22 r

3


c) 8<:x = cos � sen'y = sen � sen' 0 � � < 2�; 0 � ' < �

4z = cos'

Práctico 2. Límites y continuidad

1. Demostrar quelim

(x;y)!(a;b)f (x) = lim

x!af (x)

2. Calcular, si es que existen, los siguientes límites

a) lim(x;y)!(0;1) x3y b) lim(x;y)!(0;1) exy c) lim(x;y)!(0;0)

�x2 + y2 + 3

�d) lim(x;y)!(0;0)

xyx2+y2+2

e) lim(x;y)!(0;0)exy

x+1 f) lim(x;y)!(0;0)cosx�1�x2=2

x4+y4

g) lim(x;y)!(0;0)(x�y)2x2+y2

h) lim(x;y)!(0;0)xy

x2+y2

3. Calcular limx!xo f (x), si es que existe

a) f : Rn ! R;x 7! kxk ; cualquier x0:b) f : R! R2; x 7!

�x2; ex

�; x0 = 1

c) f : R2� f(0; 0)g ! R2;x0 = (0; 0)

(x; y) 7!�sen (x� y) ; e

xy � 1k(x; y)k

�4. Usando que composición de funciones continuas es continua, probar que

lim(x;y)!(0;0)

senxy

xy= lim(x;y)!(0;0)

sen (x+ y)

x+ y= 1

Práctico 3. Diferenciación

1. Hallar @f=@x y @f=@y para

a) f (x; y) = exy b) f (x; y) =�x2 + y2

�ln�x2 + y2

�2. Evaluar las derivadas parciales @z=@x y @z=@y para las funciones dadas en los puntos

indicados.

a) z =pa2 � x2 � y2 en (0; 0) y en (a=2; a=2)

b) z = eax cos (bx+ y) en (2�=b; 0)

3. Hallar las derivadas parciales @w=@x y @w=@y:

a) w = x2+y2

x2�y2 b) w = exy ln�x2 + y2

�

4


4. Para las siguientes funciones, estudiar su diferenciabilidad en todo el dominio (incluidos lospuntos donde no estén formalmente de�nidas pero se puedan extender continuamente).Indicar en qué puntos son C1.

a) f (x; y) = xy +

yx b) f (r; �) = 1

2r sen 2�; r > 0

c) f (x; y) = xypx2+y2

d) f (x; y) = x2yx4+y2

5. Comprobar que la función z = 3px2y tiene derivadas en el origen en todas las direcciones

pero no es diferenciable. Muestre una función diferenciable que no sea C1.

6. Hallar la ecuación del plano tangente a la super�cie z = x2 + y3 en el punto (3; 1; 10) :

7. Hallar la ecuación del plano tangente a la grá�ca de las funciones del ejercicio 1. en lospuntos que están exactamnte por encima del punto (0; 1)

8. Calcular f 0 para f de�nida por

a) f (x; y) = (xey + cos y; x; x+ ey)

b) f (x; y; z) = (x� y; y + z)

9. Calcular los gradientes de las siguientes funciones:

a) f (x; y; z) = x exp��x2 � y2 � z2

�b) f (x; y; z) = z2ex cos y

Calcular las siguientes derivadas direccionales en los puntos y direcciones indicadas.

c) f (x; y; z) = z2x+ y3 en (1; 1; 2) en la dircción v =�1=p5�i+

�2=p5�j

d) f (x; y) = x+ 2xy � 3y2 en (1; 2), v =35 i+

45 j

e) f (x; y) = lnpx2 + y2, en (1; 0), v =

�1=p5�(2i+ j)

10. Hallar la ecuación del plano tangente a z = x2 + 2y3 en (1; 1; 3) :

Si f : Rn ! Rm es una función diferenciable, denotamosf 0 (x0) a la matriz derivada,

f 0 (x0) 2 Rm�n;

y con Df (x0) a la transformación lineal de Rn en Rmdiferencial de f en x0:

11. Si f : U � Rn ! R es diferenciable, probar que x 7!f2 (x) + 2f (x) también lo es ycalcular su derivada en términos de f 0 (x)

12. Probar que las siguientes funciones son diferenciables y calcular sus derivadas en un puntogenérico (x; y).

a) f : R2 ! R; (x; y) 7! 2

b) f : R2 ! R; (x; y) 7! x+ y

c) f : R2 ! R; (x; y) 7! 2 + x+ y

d) f : R2 ! R; (x; y) 7! x2 + y2

5


e) f : R2 ! R; (x; y) 7! exy

f) f : U � R2 ! R; (x; y) 7!p1� x2 � y2; U =

�(x; y) : x2 + y2 < 1

g) f : R2 ! R; (x; y) 7! x4 � y4

Regla de la cadena. Si g : Rn ! Rm y f : Rm ! Rp son ambasdiferenciables, entonces h = f � g también es diferenciable y

(f � g)0 (x) = f 0 (g (x)) :g0 (x) (producto de matrices)

O sea, si y = g (x) ;264@f1@y1(y) � � � @f1

@ym(y)

�� @fp@y1(y) � � � @fp

@ym(y)

375264 @g1

@x1(x) � � � @g1

@xn(x)

�� @gm@x1

(x) � � � @gm@xn

(x)

375 =264

@h1@x1

(x) � � � @h1@xn

(x)

�� @hp@x1

(x) � � � @hp@xn

(x)

375Esto implica que:

@ (h)i@xj

(x) =

mXk=1

@fi@yk

(y)@gk@xj

(x) ; i = 1; :::; p; j = 1; :::; n

13. Escribir una expresión para las derivadas parciales siguientes, justi�cándose en la regla dela cadena.

a) @h=@x donde h (x; y) = f (x; u (x; y))

b) dh=dx donde h (x) = f (x; u (x) ; v (x))

c) @h=@x donde h (x; y; z) = f (u (x; y; z) ; v (x; y) ; w (x))

14. Veri�car la regla de la cadena para @h=@x donde h (x; y) = f (u (x; y) ; v (x; y)) y

f (u; v) =u2 + v2

u2 � v2 ; u (x; y) = e�x�y; v (x; y) = exy:

15. Veri�car la regla de la cadena para df=dt en los siguientes casos:

a) f (x; y) = xy; (t) =�et; cos t

�b) f (x; y) =

�x2 + y2

�logpx2 + y2; (t) =

�et; e�t

�:

16. ¿Cuál es el vector velocidad para cada curva del ejercicio anterior?

17. Si en R3 adoptamos coordenadas esféricas y f : R3 ! R, encontrar las derivadas parcialesde f : @f=@%; @f=@�; @f=@� en función de las derivadas parciales @f=@x; @f=@y; @f=@z:

18. La temperatura en el punto (x; y; z) en el espacio es T (x; y; z) = x2 + y2 + z2: Unapartícula reliza un movimiento helicoidal, ocupando en el instante t la posición � (t) =(cos t; sen t; t). Si llamamos T (t) a la temperatura de la partícula en el instante t;

a) Calcular T 0 (t) :

b) Hallar un valor aproximado para la temperatura en t = �=2 + 0:01

19. Sea f : R2 ! R2 la transformación (x; y) 7! (ex+y; ex�y). Sea (t) una curva con (0) = (0; 0) y 0 (0) = (1; 1). Calcular el vector tangente a la imagen de la curva bajo f cuando t = 0:

6

GTP Cálculo II - 2012 Cap. 2.- Derivadas de orden superior

20. Hallar los planos tangentes a las siguientes super�cies en los puntos indicados.

a) x2 + 2y2 + 3xz = 10 en�1; 2; 13

�b) xyz = 1 en (1; 1; 1)

21) Para las siguientes funciones f : R3 ! R, hallar la dirección de máximo crecimiento en elpunto (1; 1; 1)

a) f (x; y; z) = 1px2+y2+z2

b) f (x; y; z) = xy + yz + zx

c) f (x; y; z) = 1x2+y2+z2

2 Derivadas de orden superior

Práctico 4. Derivadas de orden superior

1. Calcular las derivadas parciales

@2f

@x2;@2f

@x@y;@2f

@y@x;@2f

@y2:

a) f (x; y) = 2xy

(x2+y2)2; (x; y) 6= (0; 0) b) f (x; y) = 1

x + xe�y; x 6= 0

c) f (x; y) = cos�xy2

�d) f (x; y) = e�xy

2+ y3x4

e) f (x; y) = 1cos2 x + e�y

2) Sea

f (x; y) =

(xy(x2�y2)x2+y2

; (x; y) 6= (0; 0)0 (x; y) = (0; 0)

a) Calcular @f=@x y @f=@y para (x; y) 6= (0; 0)b) Mostrar que @f=@x (0; 0) = 0 = @f=@y (0; 0)

c) Mostrar que�@2f=@x@y

�(0; 0) = 1;

�@2f=@y@x

�(0; 0) = �1

7

GTP Cálculo II - 2012 Cap. 2.- Derivadas de orden superior

d) Qué hipótesis del teorema de igualdad de las derivadas mixtas falla?

x

y

z

z =xy(x2�y2)x2+y2

3. Determinar la fórmula de Taylor de segundo orden para la función dada alrededor delpunto (x0; y0) especi�cado.

a) f (x; y) = (x+ y)2 ; (x0; y0) = (0; 0)b) f (x; y) = ex+y; (x0; y0) = (0; 0)c) f (x; y) = sen (xy) + cos (xy) ; (x0; y0) = (0; 0)

Práctico 5. Extremos de funciones reales

1. Hallar los puntos críticos de las funciones dadas y determinar cuáles son máximos locales,mínimos locales o puntos de silla.

a) f (x; y) = x2 � y2 + xyb) f (x; y) = x2 + y2 � xyc) f (x; y) = x2 + y2 + 2xy

d) f (x; y) = x2 + y2 + 3xy

e) exp�1 + x2 � y2

�f) f (x; y) = x2 � 3xy + 5x� 2y + 6y2 + 8g) f (x; y) = sen

�x2 + y2

�(Considerar sólo el punto crítico (0; 0))

8

GTP Cálculo II - 2012 Cap. 3.- Funciones Implícitas e inversas

h) f (x; y) = cos�x2 + y2

�(Considerar sólo los puntos críticos (0; 0) ;

�p�=2;

p�=2

�y

(0;p�))

i) f (x; y) = x sen y

2. Mostrar que una caja rectangular (con tapa) de volumen dado tiene super�cie mínima cuandoella es un cubo.

3. Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función f (x; y) =�x2 + y2

�4 en eldisco x2 + y2 � 1:

4. Hallar los valores mínimo y máximo absolutos para f (x; y) = senx+cos y en el rectánguloR = [0; �=2]� [0; �=2] :

5. Hallar los extremos de f bajo las restricciones dadas.

a) f (x; y; z) = x� y + z; x2 + y2 + z2 = 2b) f (x; y) = x� y; x2 � y2 = 2c) f (x; y) = x; x2 + 2y2 = 3

d) f (x; y) = 3x+ 2y; 2x2 + 3y2 = 3

6. Hallar los extremos relativos de f jS

a) f (x; y) = x2 + y2; S = f(x; 2) : x 2 Rgb) f (x; y) = x2 + y2; S = f(x; y) : y � 2gc) f (x; y) = x2 + y2; S = f(x; cosx) : x 2 Rg

7. Considerar la función f (x; y) = x2+xy+y2 en el disco unitario D =�(x; y) : x2 + y2 � 1

.

Usar el método de Lagrange para encontrar los puntos máximo y mínimo para f en elcírculo unitario. Usar este resultado para determinar los extremos absolutos de f en eldisco.

8. Diseñar una lata cilíndrica con tapa que contenga 1 litro de agua y gaste la menor cantidadposible de metal.

9. Un canal de riego tiene lados y fondo de concreto con sección transversal trapezoidal de áreaA = y (x+ y tan �) y perímetro húmedo P = x+ 2y= cos �; donde x = ancho del fondo,y = profundidad del agua y � = inclinación lateral respecto de la vertical. El mejordiseño para una inclinación �ja � se halla resolviendo P = mínimo sujeto a la condiciónA = constante. Mostrar que y2 = (A cos �) = (2� sen �) :

ϑ

x

y

10. Hallar los extremos de f (x; y; z) = x+ y + z sujeto a las restricciones�x2 � y2 = 12x+ z = 1

9

GTP Cálculo II - 2012 Cap. 3.- Funciones Implícitas e inversas

3 Funciones implícitas e inversas

Práctico 6. Diferenciación implícita

1. a) Sea y (x) de�nida implícitamente por G (x; y (x)) = 0, donde G es una función dadade dos variables. Probar que si y y G son diferenciables y si @G=@y 6= 0, entonces

dy

dx= �@G=@x

@G=@y:

b) Obtener una fórmula análoga a la de la parte a) si y1; y2 están de�nidas implícita-mente por

G1 (x; y1 (x) ; y2 (x)) = 0;

G2 (x; y1 (x) ; y2 (x)) = 0:

c) Sea y de�nida implícitamente por

x2 + y3 + ey = 0:

Calcular dy=dx en términos de x y y:

2. a. Mostrar que el conjunto C de�nido por las ecuaciones8<:xy2 � yz2 = 0

x2 + y2 + z2 = 3

es, en las cercanías del punto p = (1; 1; 1), una curva capaz de ser parametrizadacon la variable x en un intervalo (1� "; 1 + ").

b. Calcular un vector tangente a C en el punto p.

3. a. Probar que el sistema 8<:y2 + z2 � x2 + 2 = 0

yz + xz � xy � 1 = 0

de�ne dos funciones implícitas y = y(x), z = z(x) en un entorno del punto (x; y; z) =(2; 1; 1):

b. Sea � la curva parametrizada por � (x) = (x; y (x) ; z (x)). Hallar la variación de lafunción F (x; y; ) = xz � z2 � xyz + y2 en el punto (2; 1; 1) según �.

c. Comprobar que la ecuación F (x; y; z) = 0 de�ne una función implícita z = z (x; y)en un entorno del punto (2; 1; 1):

4. a. Probar que el sistema 8<:y2 + z2 � x2 + 4 = 0

ey�1 + x� z2 = 0

de�ne dos funciones implícitas y = y(x); z = z(x) en un entorno del punto (x; y; z) =(3; 1; 2).

b. Sea � la curva parametrizada por � (x) = (x; y (x) ; z (x)). Calcular el vector tangentey el plano normal a � en el punto x = 3.

10

GTP Cálculo II - 2012 Cap. 4.- Funciones con valores vectoriales

5. a) Si las coordenadas polares de un punto de R2 vienen dadas por las fórmulas�x = r cos �y = r sen �

;

calcular, sin despejar r y �, 264 @r@x

@r@y

@�@x

@�@y

375 ;en términos de r y �:

b) Calcular@r@x (1; 2) ; @�

@y

��p22 ;

p22

�:

c) Veri�car que el operador Laplaciano (�u = @2u@x2

+ @2u@y2), en coordenadas polares toma

la forma

�u =1

r2

�r@

@r

�r@u

@r

�+@2u

@�2

�:

d) Comprobar que las funciones

u (x; y) = lnpx2 + y2 y u (x; y) = arccos

xpx2 + y2

satisfacen la ecuación de Laplace �u = 0:

4 Funciones con valores vectoriales

Práctico 7. Velocidad y longitud de arco

1. Para cada una de las siguientes curvas determinar los vectores velocidad y aceleración parael valor especi�cado de t:

a) r (t) = 6ti+ 3t2j+ t3k; en t = 0

b) � (t) =�cos2 t; 3t� t3; t

�; en t = 0

2. Hallar los vectores velocidad y aceleración y la ecuación de la recta tangente para cada unade las siguientes curvas en el valor dado de t:

a) r (t) = cos t i+ sen 2t j; en t = 0

b) r (t) =p2t i+ et j+ e�t k; en t = 0

3. Probar que si � es una trayectoria con aceleración nula entonces � es una recta o unpunto.

4. Hallar trayectorias � (t) cuyas imágenes sean las curvas dadas. Gra�car.

a) f(x; y) : y = exgb)

�(x; y) : 4x2 + y2 = 1

c) Una recta en R3 que pasa por el origen y el punto a

11

GTP Cálculo II - 2012 3.2 Campos vectoriales

d)�(x; y) : 9x2 + 16y2 = 4

5. Probar las siguientes reglas para trayectorias diferenciables en R3

a) ddt [� (t) � � (t)] =

d�dt � � (t) + � (t) �

d�dt

b) ddt [� (t)� � (t)] =

d�dt � � (t) + � (t)�

d�dt

c) ddt f� (t) � [� (t)� � (t)]g =

d�dt �[� (t)� � (t)]+� (t)�

hd�dt � � (t)

i+� (t)�

�� (t)� d�

dt (t)�

6. Sea � (t) una trayectoria, v (t) la velocidad y a (t) la aceleración. Supongamos queF : R3 ! R3, que m > 0 y que F [� (t)] = ma (t). Probar que

d

dt[m� (t)� v (t)] = � (t)� F [� (t)]

(Tasa de cambio del momento angular igual a torque). ¿Qué se puede concluir si F [� (t)]es paralelo a � (t)?

7. Calcular la longitud de arco de la curva dada en el intervalo propuesto.

a) � (t) = (sen 2�t; cos 2�t; 2�t) en el intervalo [0; 1]

b) s (t) = ti+ t (sen t) j+ t (cos t)k en el intervalo [0; �]

c) ti+ tj+ 23 t3=2k en el intervalo [t0; t1]

d) s (t) = (cosh t; sinh t; t) en el intervalo [0; t] 1

8. Sea c (t) ; a � t � b; una trayectoria. Sea s = ' (t) una nueva variable de�nida por lafunción ' estrictamente creciente de clase C1 en [a; b] ; con '0 libre de ceros. Se de�ned : [' (a) ; ' (b)] ! R3 por d = c� '�1. La trayectoria d es una reparametrización dec:

a) Ver que las curvas imágenes de c y d son las mismas.

b) Probar que c y d tienen la misma longitud.

c) Si la función ' (t) se elige como

s = ' (t) =

Z t

a

c0 (�) d� ;la curva d se dice parametrizada por la longitud de arco. Ver que en ese caso lalongitud de d es la longitud del intervalo de parametrización de la variable s yque ddsd (s)

= 1:Práctico 8. Campos Vectoriales

1Existiendo programas de cálculo simbólico y numérico, no está entre los intereses centrales de este curso lahabilidad para el cálculo de integrales. Pero si no se tiene acceso a esas facilidades, cualquier tabla de integralesle dirá que Z p

x2 + a2dx =1

2

nxpx2 + a2 + a2 ln

�x+

px2 + a2

�o+ C

12

GTP Cálculo II - 2012 3.2 Campos vectoriales

1. Una partícula de masa m se mueve sobre una trayectoria r (t) de auerdo con la ley deNewton, en un campo de fuerza F = �rV en R3, donde V es una función dada deenergía potencial.

a) Probar que la energía

E =1

2m r0 (t) 2 + V (r (t))

es constante en el tiempo. (Idea: calcular dE=dt).

b) Probar que si la partícula se mueve sobre una super�cie equipotencial entonces surapidez es constante.

2. Suponer que las isotermas en una región son esferas centradas en el origen. Probar que elcampo vectorial de �ujo de energía actúa sobre rayos con centro en el origen.

3. Mostrar que � (t) =�e2t; ln jtj ; 1=t

�, para t 6= 0; es una línea de �ujo para el campo de

velocidad F (x; y; z) =�2x; z;�z2

�:

4. Calcular el rotacional, r� F, de los siguientes campos vectoriales.

a) F (x; y; z) = xi+ yj+ zk

b) F (x; y; z) = yzi+ xzj+ xyk

c) F (x; y; z) =�x2 + y2 + z2

�(3i+ 4j+ 5k)

d) F (x; y; z) = yzi+xzj+xykx2+y2+z2

5. Calcular la divergencia r � F de cada uno de los campos del ejercicio 4.

6. Veri�car que el campoV (x; y) =

y

x2 + y2i� x

x2 + y2j

es incompresible.

7. Sea F (x; y; z) = 3x2yi+�x3 + y3

�j

a) Veri�car que rotF = 0

b) Hallar una función f tal que F = rfc) ¿Es cierto que a) es condición necesaria para la existencia de la f de b)?

8. Probar las siguientes identidades.

i) r (f + g) = rf +rgii) r (cf) = crfiii) r (fg) = frg + grfiv) div (F+G) = divF+ divG

v) rot (F+G) = rotF+ rotG

vi) div (fF) = f divF+ F � rfvii) div (F�G) = G� rotF� F� rotGviii) div rotF = 0

ix) rot (fF) = f rotF+rf � Fx) r � (frg � grf) = fr2g � gr2f (usar xi).

13

GTP Cálculo II - 2012 Cap 5.- Integrales múltiples

9. Sean r (x; y; z) = (x; y; z) y r =px2 + y2 + z2 = krk : Probar las siguientes identidades.

a) r (1=r) = �r=r3 si r 6= 0b) r2 (1=r) = 0 si r 6= 0:(r2 =

�@2=@x2 + @2=@y2 + @2=@z2

�= �, el "laplaciano")

c) r ��r=r3

�= 0

d) r� r = 0

5 Integrales múltiples

Práctico 9. Integrales dobles

1. Evaluar las siguientes integrales iteradas.

a)R 1�1R 10

�x4y + y2

�dydx b)

R �=20

R 10 (y cosx+ 2) dydx

c)R 10

R 10 (xye

x+y) dxdy d)R 0�1R 21 (�x ln y) dydx

2. Un leñador corta una pieza en forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r mediante doscortes de sierra hacia el centro del árbol, uno horizontal y otro a un ángulo �. Calcularel volumen de la cuña usando el principio de Cavalieri.

3. Demostrar informalmente que el volumen de un sólido de revolución generado por el giroalrededor del eje x del grá�co de una función positiva f de�nida en el intervalo [a; b]es

V = �

Z b

a[f (x)]2 dx

4. Hallar el volumen comprendido entre la grá�ca de la función f (x; y) = 1 + 2x + 3y y elrectángulo [1; 2]� [0; 1], acotado lateralmente por los planos verticales determinados porlos lados del rectángulo.

5. Evaluar las siguientes integrales, si R = [0; 1]� [0; 1] :

a)RR

�x3 + y2

�dA b)

RR ye

xydA

c)RR (xy)

2 cos�x3�dA d)

RR ln [(x+ 1) (y + 1)] dA

6. Sea f continua, f � 0 en el rectángulo R: Probar queRR fdA = 0) f = 0 en R:

7. Calcular el volumen del sólido en el primer octante acotado por los planos x = 1; y = 1, yla super�cie z = x2 + y4:

8. Sea f continua en [a; b]� [c; d] : para a < x < b; c < y < d; de�namos

F (x; y) =

Z x

a

Z y

cf (u; v) dvdu: (3)

Mostrar (usando el teorema de Fubini) que

@2F

@y@x=@2F

@x@y: (4)

Si F es una función de clase C2, poniendo f (u; v) = @2F@y@x (u; v), el teorema fundamental

del Cálculo determina la validez de la fórmula (3). Entonces (4) demuestra el teorma delas derivadas mixtas.

14

GTP Cálculo II - 2012 Cap 5.- Integrales múltiples

9. Evaluar las siguientes integrales iteradas y trazar las regiones determinadas por los límitesde integración.

a)R 10

R x20 dydx b)

R 10

R ex1 (x+ y) dydx

c)R 2�3R y20

�x2 + y

�dxdy d)

R 10

R yy2 (x

n + ym) dxdy

10. EvaluarR 10

R x20

�x2 + xy � y2

�dydx. Describir esta integral iterada como una integral

doble sobre cierta región D del plano xy.

11. Hallar el volumen de la región entre la super�cie z = x2 + y2 y el plano z = 10:

12. Calcular el volumen de un cono de base de radio r y altura h:

13. CalcularRD f (x; y) dA, donde f (x; y) = y

2px y

D =�(x; y) : x > 0; y > x2; y < 10� x2

:

14. EvaluarRD e

x�ydA, donde D es el triángulo con vértices (0; 0) ; (1; 3) y (2; 2) :

15. Proar que 2R ba

R bx f (x) f (y) dydx =

�R ba f (x) dx

�2. Ayuda: Notar que

�R ba f (x) dx

�2=R

[a;b]�[a;b] f (x) f (y) dydx

Práctico 10. Integrales triples.

1. EvaluarRW x

2dV , donde W = [0; 1]� [0; 1]� [0; 1] :

2. EvaluarRW e

�xydV , donde W = [0; 1]� [0; 1]� [0; 1] :

3. EvaluarRW x

2 cos z dV , donde W es la región acotada por los planos z = 0; z = �; y =0; y = 1; x = 0 y x+ y = 1:

4. Hallar el volumen de la región limitada por z = x2 + 3y2 y z = 9� x2:

5. Evaluar Z 1

0

Z 2x

0

Z x+y

x2+y2dzdydx

y esbozar la región de integración.

6. Cambiar el orden de integración enZ 1

0

Z x

0

Z y

0f (x; y; z) dzdydx

de varias maneras. Esbozar la región de integración.

Práctico 11. Cambio de variables

1. EvaluarRD

�x2 + y2

�3=2d (x; y) ; donde D es el disco x2 + y2 � 4:

2. Integrar zex2+y2 sobre el cilindro x2 + y2 � 4, 2 � z � 3:

15

GTP Cálculo II - 2012 Cap. 6.- Integrales sobre variedades

3. Sea D el disco unitario. ExpresarRD

�1 + x2 + y2

�3=2d (x; y) como una integral sobre el

rectángulo [0; 1]� [0; 2�] y evaluar.

4. Rehacer el ejercicio 11 del práctico 9.

5. Integrar x2 + y2 + z2 sobre el cilindro x2 + y2 � 2; � 2 � z � 3:

6. Sea B la bola unitaria en R3: EvaluarZB

d (x; y; z)px2 + y2 + z2

haciendo un cambio de variables adecuado.

7. Calcular ZS

d (x; y; z)

(x2 + y2 + z2)3=2;

donde S es el sólido acotado por las dos esferas x2 + y2 + z2 = a2 y x2 + y2 + z2 = b2,con 0 � a � b:

6 Integrales sobre variedades

Práctico 12. Integrales de trayectoria e integrales de línea

1. Evaluar las siguientes integrales de trayectoriaR� f (x; y; z) ds, donde

a) f (x; y; z) = x+ y + z y � : t 7! (sen t; cos t; t) ; t 2 [0; 2�]b) f (x; y; z) = cos z, y � como en la parte a)

c) f (x; y; z) = x cos z y � : t 7! ti+ t2j; t 2 [0; 1]d) f (x; y; z) = yz y � : t 7! (t; 3t; 2t) ; t 2 [1; 3]

2. Reparametrizaciones. Supongamos que � : I1 ! R3 es una trayectoria y que h :I ! I1 es una biyección de clase C1. Si I = [a; b] y I1 = [a1; b1], necesariamente seráh (a) = a1; h (b) = b1 (caso crec.), o bien h (a) = b1; h (b) = a1 (caso decrec.). Si de�nimos� = � � h, � es una trayectoria de la cual se dice que reparametriza a la curva ��. Enel caso crec. decimos que � conserva la orientación y en el caso decrec. que la invierte.Nótese que k�0 (t)k = k�0 (h (t))k jh0 (t)j

a) Probar que en ambos casosR� fds =

R� fds:

b) Sl la longitud de la curva �� es `, y k (s) es la función longitud de arco: k (s) =R sa1k�0 (�)k d� , la inversa h = k�1 : [0; `] ! [a1; b1] da, con el procedimiento

descripto, una reparametrización � llamada parametrización con la longitud dearco. Pruebe que k�0 (t)k = 1 para todo valor de t y que, por lo tanto,Z

�fds =

Z `

0f [� (t)] dt:

16


a b a b

1b

a1a 1

1b

t t

s s

σ

ρ

a

b

a

b

σ

ρ

La �echa sobre la curva indica el sentido en que es recorrida por �

3. Sea F (x; y; z) = xi + yj + zk. Evaluar la integral de F a lo largo de cada una de lastrayectorias siguientes.

a) � (t) = (t; t; t) ; 0 � t � 1 b) � (t) = (cos t; sen t; 0) ; 0 � t � 2�

c) � (t) = (sen t; 0; cos t) ; 0 � t � 2� d) � (t) =�t2; 3t; 2t3

�;�1 � t � 2

4. Evaluar las siguientes integrales.

a)R� xdy � ydx; � (t) = (cos t; sen t) ; 0 � t � 2�:

b)R� xdx+ ydy; � (t) = (cos�t; sen�t) ; 0 � t � 2:

c)R� yzdx+ zxdy + xydz; donde � es la poligonal (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1) :

d)R� x

2dx� xydy + dz;donde � es la parábola z = x2; y = 0, desde (�1; 0; 1) hasta(1; 0; 1) :

5. Considerar la fuerza F (x; y; z) = xi + yj + zk: Calcular el trabajo realizado al mover unapartícula a lo largo de la parábola y = x2; z = 0, desde x = �1 hasta x = 2:

6. Sea � una trayectoria suave

a) Suponer que F es perpendicular a �0 (t) en � (t) : Probar queZ�F � ds = 0:

b) Si F es paralelo a �0 (t) en � (t) (esto es, si F [� (t)] = � (t)�0 (t) con � (t) > 0),probar que Z

�F � ds =

Z�kFk ds

17


7. Sea � una trayectoria y T el vector tangente unitario (T = �0= k�0k). ¿Qué esR�T � ds

?

8. Probar que si C es una curva cerrada y F un campo gradiente, entonces la integral deF a lo largo de C no depende de la particular trayectoria � con que se parametrice lacurva. ¿Cuánto vale esa integral?

9. Evaluar ZC2xyz dx+ x2z dy + x2y dz;

cuando C es una curva simple que conecta (1; 1; 1) con (1; 2; 4) :

10. Suponer que rf (x; y; z) = 2xyzex2i+ zex2j+ yex2k. Si f (0; 0; 0) = 5, hallar f (1; 1; 2) :

11. Consideremos el campo gravitacional (r = (x; y; z) ; r = krk)

F (r) =�rr3; r 6= 0:

Mostrar que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre una partícula que semueve desde r1 hasta r2 a lo largo de cualquier trayectoria sólo depende de los radiosr1 y r2:

Práctico 13. Super�cies parametrizadas. Area

1. Hallar una expresión para el plano tangente a la super�cie dada en el punto indicado.

a) x = 2u; y = u2 + v; z = v2; en (0; 1; 1)

b) x = u2 � v2; y = u+ v; z = u2 + 4v, en��14 ;12 ; 2�

2. Hallar una expresión para un vector unitario normal a las siguientes super�cies.

a) x = 3 cos � sen�; y = 2 sen � sen�; z = cos�para � 2 [0; 2�] y � 2 [0; �] :

b) x = sen v; y = u; z = cos vpara 0 � v � 2� y �1 � u � 3:

3. Considerar la super�cie en R3 parametrizada por

� (r; �) = (r cos �; r sen �; �) ; 0 � r � 1; 0 � � � 4�:

a) Esbozar y describir la super�cie.

b) Hallar una expresión para una normal (unitaria) a la super�cie.

c) Hallar una expresión para el plano tangente a la super�cie en un punto genérico(x0; y0; z0) :

4. Dada una esfera de radio 2 con centro en el origen hallar la ecuación para el plano que estangente a ella en el punto

�1; 1;

p2�, considerando a la esfera como:

a) Una super�cie parametrizada por � (�; �) = (2 cos � sen�; 2 sen � sen�; 2 cos�) ;

b) Una super�cie de nivel de f (x; y; z) = x2 + y2 + z2;

c) La grá�ca de g (x; y) =p4� x2 � y2:

18


*5. Sea � una super�cie suave; esto es, � es de clase C1 y Tu �Tv 6= 0 en (u0; v0).

a) Usar el teorema de la función implícita para mostrar que la imagen de � cerca de(u0; v0) es la grá�ca de una función C1 de dos variables, digamos z = f (x; y) (estose cumplirá si la componente z de Tu �Tv es distinta de cero).

b) Mostrar que el plano tangente en � (u0; v0) generado por Tu y Tv coincide con elplano tangente a la grá�ca de z = f (x; y) en ese punto.

6. Hallar el área de la esfera unitaria S representada paramétricamente por

x = cos � sen�; y = sen � sen�; z = cos�:

7. Sea � (u; v) = (u� v; u+ v; uv) y sea D el disco unitario en el plano uv. Hallar el áreade � (D) :

8. Hallar el área de la parte de la esfera unitaria cortada por el cono z �px2 + y2:

9. Mostrar que si T (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v) ; z (u; v)), entonces para los vectores Tu y Tvvale la fórmula

kTu �Tvk =

s�@ (x; y)

@ (u; v)

�2+

�@ (y; z)

@ (u; v)

�2+

�@ (x; z)

@ (u; v)

�2:

10. Hallar el área de la porción de esfera unitaria que queda fuera del cilindro x2 + y2 = 1=2:

Práctico 14. Integrales de funciones escalares y vectoriales

1. CalcularRS xy dS cuando S es la super�cie del tetraedro con lados z = 0; y = 0; x+z = 1

y x = y

2. Sea � : D � R2 ! R3 una super�cie parametrizada y llamemos

E =

@�@u 2 ; F =

@�

@u� @�@v; G =

@�@v 2 :

a) Mostrar que kTu �Tvk =pEG� F 2 y deducir fórmulas para el área A (S) y para

integrales de escalares sobre S:RS f dS

b) En qué se convierte la fórmula si Tu ? Tv?c) Usar lo anterior para calcular la super�cie de una esfera de radio R.

3. CalcularRS z dS, donde S es el hemisferio superior de radio a, esto es, el conjunto de los

(x; y; z) con z =pa2 � x2 � y2:

4. EvaluarRS xyz dS, donde S es el triángulo con vérices (1; 0; 0) ; (0; 2; 0) y (0; 1; 1) :

5. EvaluarRS z dS, donde S es la super�cie z = x2 + y2; x2 + y2 � 1:

6. Una super�cie metálica S tiene la forma de un hemisferio z =pR2 � x2 � y2; 0 �

x2 + y2 � R2: La densidad de masa en (x; y; z) 2 S está dada por m (x; y; z) = x2 + y2:Hallar la masa total de S:

7. Sea S la esfera de radio R.

19

GTP Cálculo II - 2012 Cap. 7.- Teoremas integrales

a) Usar argumentos de simetría para probar queZSx2 dS =

ZSy2 dS =

ZSz2 dS:

b) Usar este hecho para evaluar con muy pocos cálculosRS x

2 dS:

c) Ayuda esto en el ejercicio anterior?

8. Se de�ne el promedio de la función f sobre la super�cie S por

fS =1

A (S)

ZSf dS:

(El nümero fS es el que provoca queRS

�f�(x; y; z)� fS

��dS = 0)

a) Hallar el promedio de z2 sobre la esfera unidad.

b) Se de�ne el centro de gravedad (x; y; z) de una super�cie S tomando como co-ordenadas los valores promedio de las funciones coordenadas. Por ejemplo, x =1

A(S)

RS x dS: Calcular el centro de gravedad del triángulo de vértices (1; 0; 0) ; (0; 1; 0)

y (0; 0; 1) :

9. Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer octante de la esfera de radio R

10. Supongamos que la temperatura en un punto de R3 está dada por T (x; y; z) = 3x2+3z2.Calcular el �ujo de calor a través de la super�cie x2 + z2 = 2; 0 � y � 2: ConsiderarF = �rT:

11. Calcular el �ujo de calor a través de la esfera unidad S si T (x; y; z) = x. Puede interpretarfísicamente su respuesta?

12. Sea S la super�cie cerrada formada por el hemisferio x2 + y2 + z2 = 1; z � 0 y su basex2 + y2 � 1; z = 0. Sea E el campo eléctrico de�nido por E (x; y; z) = 2xi+ 2yj+ 2zk:Calcular el �ujo eléctrico a través de S.

13. El campo de velocidad de un�uido está descripto por F =pyj (medido en metros

por segundo). Calcular cuántos metros cúbicos de �uido por segundo están cruzando lasuper�cie x2 + z2 = y; 0 � y � 1, en la dirección en que y crece.

14. EvaluarRS (r� F) � dS, donde S es la super�cie x2 + y2 + 3z2 = 1; z � 0 y F =

yi� xj+ zx3y2k: Tomar la normal unitaria n apuntando hacia arriba.

15. EvaluarRS (r� F) � dS, donde F =

�x2 + y � 4

�i + 3xyj +

�2xz + z2

�k y S es la

super�cie x2+y2+ z2 = 16; z � 0. Tomar la normal unitaria n apuntando hacia arriba.

7 Teoremas integrales del Análisis Vectorial

Práctico 15. Teorema de Green

1. EvaluarRC y dx� x dy, donde C es la frontera del cuadrado [�1; 1]� [�1; 1] orientada

positivamente.

20


2. Hallar el área del disco de radio R usando el teorema de Green.

3. Veri�car el teorema de Green para el disco de centro (0; 0) y radio R y las funciones:

a) P (x; y) = x+ y; Q (x; y) = y b) P (x; y) = 2y; Q (x; y) = x

4. Hallar el área encerrada entre un arco de cicloide: x = a (� � sen �) ; y = a (1� cos �)(a > 0; 0 � � � 2�) y el eje x:

3 6 9 12 15 18 21

3

6

x

y

5. Sea D una región para la que se cumple el teorema de Green y sea f una función armónicaen D. Probar que Z

@D

@f

dydx� @f

@xdy = 0:

6. Demostrar que las siguientes formas diferenciales son exactas y encontrar una función po-tencial.

a) y dx+ x dy b) yex dx+ [ex + (y + 1) ey] dy

c) coshx cos y dx� senhx sen y dy d)�cot y + x2

�dx� x csc2 y dy

7. Resolver los siguientes problemas con valores iniciales.

a) (y � 1) dx+ (x� 3) dy = 0; y (0) = 2=3

b) x dy + y2dx = 0; y (1) = 0:2

8. a) Veri�car el teorema de la divergencia para F = xi+ yj y el disco unitario.

b) Evaluar la integral de la componente normal de 2xyi� y2j alrededor de la elipse

x2

a2+y2

b2= 1:

Práctico 16. Teorema de Stokes

1. Veri�car el teorema de Stokes para el hemisferio superior z =p1� x2 � y2; z � 0, y el

campo vectorial radial F (x; y; z) = xi+ yj+ zk

21


Ley de FaradaySi E (t; x; y; z) y H (t; x; y; z) representan los campos eléctrico y magnético en el tiempot y S es una super�cie a la que se aplica el teorema de Stokes, entoncesZ

@SE � ds = � @

@t

ZSH � dS

2. Sea S una super�cie con frontera @S y supongamos que E es un campo eléctricoperpendicular a @S. Mostrar que el �ujo magnético inducido a través de S es constanteen el tiempo.

3. Sea S la super�cie cilíndrica con tapa formada por el cilindro

S1 =�(x; y; z) : x2 + y2 = 1; 0 � z � 1

y la tapa

S2 =n(x; y; z) : x2 + y2 + (z � 1)2 = 1; z � 1

oy sea F (x; y; z) =

�zx+ z2y + x

�i+

�z3yx+ y

�j+ z4x2k. Calcular

RS (r� F) � dS:

4. Sea S el triángulo con vértices (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) y (0; 0; 1). Veri�car el teorema de Stokespara F (x; y; z) = yzi+ xzj+ xyk en esta super�cie.

Práctico 17. Teorema de Gauss

1. Sea S una super�cie cerrada. Usar el teorema de Gauss para mostrar que si F es uncampo vectorial C2, entonces

RS (r� F) � dS = 0:

2. Sea F = x3i+ y3j+ z3k. Evaluar la integral de super�cie de F sobre la esfera unitaria.

3. EvaluarR@F �dS; donde F = xi+yj+zk y es el cubo unitario (en el primer octante).

Realizar los cálculos directamente y veri�car usando el teorema de la divergencia.

4. Repetir el ejercicio 3. para

a) F = i+ j+ k

b) F = x2i+ y2j+ z2k

5. EvaluarRS F � dS, donde F = 3xy

2i+ 3x2yj+ z3k y S es la esfera unitaria.

6. Probar las identidades de GreenZ@frg � n dS =

Z

�fr2g �rf � rg

�dVZ

@(frg � grf) � n dS =

Z

�fr2g � gr2f

�dV

22

guia

Documents