Capítulo 1

Estimación puntual y por intervalo

1. En un experimento binomial se observan x éxitos en n ensayos

independientes. Se proponen las siguientes estadísticas como estimadores

del parámetro de proporción p: T1 = X/n y T2 = (X + 1)/(n+ 2)

a) Obtener y comparar los errores cuadráticos medios de T1 y T2.

b) Hacer una grá�ca del ECM de cada estadística como funciones de p

para n=10 yn=5. ¾ Es alguno de estos estimadores uniformemente

mejor que el otro?.

2. Sea X1, X2, X3 y X4 una muestra aleatoria de tamaño cuatro de una

población cuya distribución es exponencial con parámetro θ desconocido.

De las siguientes estadísticas, ¾Cuales son estimadores insesgados?

T1 =16(X1 +X2) +

13(X3 +X4)

T2 = (X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4)/5

T3 = (X1 +X2 +X3 +X4)/4

3. Demostrar que la estadística T1 del ejercicio 1, es un estimador consistente

del parámetro binomial p.

4. Mediante el uso del teorema de Tchebyshe�, demostrar que la estadística

T2, en el ejercicio 1 es un estimador consistente del parámetro binomial p.

1

CAPÍTULO 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO

5. De los estimadores insesgados de θ dados en el ejercicio 2, determinar cual

es el que tiene varianza mas pequeña. ¾Cuales son las e�ciencias relativas

de los demás estimadores insesgados con respecto al que tiene varianza más

pequeña?

6. Sea X1, X2, X3, X4 y X5 una muestra aleatoria de una población cuya

distribución es normal con media µ y varianza σ2. Considérense las

estadísticas T1 = (X1+X2+ · · ·+X5)/5 y T2 = (X1+X2+2X3+X4+X5)/5

como estimadores de µ. Identi�car la estadística que tiene la varianza mas

pequeña.

7. Mediante el uso de la cota inferior de Cramér-Rao determinar la varianza

del estimador insesgado de varianza mínima de cuando se muestrea

una población cuya distribución es exponencial con densidad f(x|θ) =

(1/θ) exp(−x/θ), x > 0. Deducir que el estimador e�ciente de θ es la media

muestral.

8. Sea X1, X2, . . . , Xn una muestra aleatoria cuya distribución es gama y

densidad f(x|θ) = 1θαΓ(α)

xα−1 exp(−x/θ),x > 0, α, θ > 0 con parametro

de forma conocido. demostrar que el estimador de maxima verosimilitud del

parámetro de escala esta dado por:

θ̂ =1

αX

9. SeaX1, X2, . . . , Xn una muestra aleatoria de una población cuya distribución

es Poisson con parámetro λ. Obtener el estimador de maxima verosimilitud

de λ.

10. Sea X1, X2, . . . , Xn una muestra cuya población tiene distribución es

exponencial con parámetro de escala θ. Obtener el estimador de maxima

verosimilitud de θ y demostrar que éste es un estimador su�ciente para θ

11. SeaX1, X2, . . . , Xn una muestra aleatoria de una población cuya distribución

es la de Rayleigh, con densidad f(x|σ2) = (x/σ2) exp(−x2/2σ2), x > 0.

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CAPÍTULO 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO

Obtener el estimador de maxima verosimilitud de σ2.¾Es ésta una estadística

para σ2?.

12. La Tabla 13 es una distribución de frecuencia para accidentes

automovilísticos recabada para un estudio en california. Asumiendo que el

numero de accidentes es una variable aleatoria binomial negativa, úsese el

método de los momentos para estimar los parámetros binomiales negativos k

y p. Comparar las frecuencias que se observaron con aquellas que se obtienen

mediante el empleo de los valores estimadores de k y p.

13. Los siguientes datos son una muestra aleatoria de duración en horas, que se

observaron para un determinado componente eléctrico: 142.84, 97.04, 32.46,

69.14, 85.67, 114.43, 41.76, 163.07, 108.22, 63.28. Supóngase que la duración

de un componente es una variable aleatoria de Weibull con parámetro de

forma α = 2.

a) Obtener un estimador de máxima verosimilitud para el parámetro de

escala θ.

b) El método de los momentos, ¾ daría un estimador de θ diferente al que

se obtuvo en 13a?

c) Mediante el uso de su respuesta al inciso 13a, estimar la con�abilidad

de este componente para t= 150 horas.

14. Mediante el resultado del inciso 13a del ejercicio 13, obtener el tiempo para

el cual la con�abilidad es de 0.95.

15. Los siguientes son tiempos de falla, ordenados en horas de diez componentes

que fallarán de un total de 40 en una prueba de duración: 421, 436, 448, 474,

496, 499, 510, 525, 593, 675. Supóngase que el tiempo de falla es una variable

exponencialmente distribuida.

Obtener un estimador de máxima verosimilitud para el parámetro θ

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CAPÍTULO 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO

Número de accidentes Número de conductores

0 35068

1 13411

2 4013

3 1184

4 353

5 93

6 29

7 8

8 4

9 o más 2

Cuadro 1.1: Accidentes en California

Use la respuesta dada en 15 para estimar la con�abilidad de este

componente en t=4000 horas.

16. Una prueba de duración termina cuando fallen m < n unidades. Si el

tiempo de falla es una variable aleatoria de Weibull con parámetro de forma

conocido, obtener el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro

de escala θ.

17. Se desea obtener un indicador del éxito �nanciero de ciertas tiendas que

venden artículos especiales en centros comerciales de una gran ciudad.

Se selecciona una muestra aleatoria de 30 tiendas ubicadas en distintos

centros comerciales y en donde el interes recae en el tiempo que éstas

permanecen en operación. Se tendra un dato signi�cativo cuando se observan

las primeras 8 tiendas que dejen de funcionar. Los siguientes datos son el

tiempo ascendente, de operación en meses: 3.2, 3.9, 5.9, 6.5, 16.5, 20.3, 40.4,

50.9. Supóngase que el tiempo en que permanece operando una tienda de

esta clase es una variable aleatoria Weibull con α=0.8.

a) Usando el resultado del ejercicio 16, obtener el estimador de maxima

verosimilitud para θ.

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CAPÍTULO 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO

b) Con base a la respuesta del inciso 17a, ¾cual es la probabilidad de que

una tienda permanezca en operación después de haber transcurrido dos

años de su apertura?. ¾Después de diez años?.

18. El tiempo total de procesamiento para programas con tarjetas perforadas

de computadora se de�ne como el tiempo que transcurre desde que se lee la

primera tarjeta hasta que se lee se imprime la ultima linea, y está constituido

por tres componentes; el tiempo de espera de entrada, el tiempo utilizado por

el procesador central y el tiempo de espera de salida. Los siguientes datos

son los tiempos totales de procesamiento, en minutos, para una muestra

aleatoria de 15 programas similares: 15.5, 5.2, 6.8, 3.6, 10.9, 12.8, 7.8 8.6, 6.3,

6.9, 18.2, 15.4, 9.2, 10.3, 7.3. Supóngase que el tiempo total de procesamiento

está modelado, en forma adecuada por una distribución gama con α=3.

a) Obtener un estimador de máxima verosimilitud para el parámetro de

escala θ.

b) El método de los momentos ¾daría un estimador diferente de θ al

determinado en el inciso 18a?

c) Mediante la respuesta del inciso 18a, calcular la probabilidad de que el

tiempo de procesamiento sea mayor a 20min.

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