ESCUELA DE FARMACIADEPARTAMENTO DE ANLISIS Y CONTROLCATEDRA DE MATEMATICAS

GUIA 1. ALGEBRA(REPASO DE CONCEPTOS ELEMENTALES)

Prof. Enoch Vsquez

Nota PreviaEstos apuntes son un resumen de algunos de los conceptos bsicos necesarios para seguir la asignatura de Matemticas en la Carrera de Bioanlisis. En particular, se revisan conceptos de Algebra elemental, que han sido tratados en los niveles de bachillerato segn los programas vigentes. Este material no pretende reemplazar la lectura imprescindible de los textos de matemticas, sino ofrecer una revisin rpida de conocimientos previos para refrescar y facilitar el seguimiento del resto de la asignatura.

ndice

1. lgebra Smbolos matemticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2. Teora de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.Correspondencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.Nmeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. La recta real. Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Algunas propiedades de los nmeros reales 4.Potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Propiedades de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Propiedades de los radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Expresiones Algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Trminos Semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Tipos de Expresiones Algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Caractersticas de un polinomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Reglas de los Signos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Productos Notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Notacin Cientfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Descripcin Verbal y Lenguaje Matemtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Sistema de Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Distancia entre dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Punto medio de un segmento de recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Resolucin de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1 Resolucin de ecuaciones cuadrticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Sistemas de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134568999101010101111111215161718181921

1. lgebra y Smbolos matemticosEl lgebra clsica se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza smbolos en vez de nmeros especficos y operaciones aritmticas para determinar cmo usar dichos smbolos. El lgebra moderna ha evolucionado desde el lgebra clsica al poner ms atencin en las estructuras matemticas y se considera al lgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Por ello, en su forma ms general se dice que el lgebra es el idioma de las matemticas.En matemticas es preciso utilizar una buena nomenclatura para que los conceptos puedan ser manejados de forma clara, precisa y concisa. Aqu adquiere gran importancia los signos o smbolos matemticos, que estn constituidos por figuras, seales y abreviaturas utilizados en matemticas para denotar entidades, relaciones y operaciones.En la siguiente tabla se proporcionan los smbolos matemticos ms utilizados:

=igual

distinto

, mayor, mayor o igual

,incluido o contenido

, que contiene o incluye

pertenece

no pertenece

equivalente

aproximadamente igual a

para todo, para cualquier, para cada

existe

no existe

/, :tal(es) que

ABsi ocurre A entonces ocurre B

ABsi ocurre B entonces ocurre A

ABsucede A si y solo si (siempre y cuando) suceda B

conjunto de nmeros naturales

conjunto de nmeros enteros

conjunto de nmeros racionales

conjunto de nmeros reales

2. Teora de conjuntosUn conjunto es un grupo de elementos que poseen una cierta propiedad. Si el conjunto no contiene elementos es llamado conjunto vaco y se denota por , se tiene que el conjunto vaco est incluido en cualquier conjunto.Los conjuntos se denotan con letras maysculas y sus elementos se escriben en minsculas, se incluyen entre llaves y separados por comas:A = {a, b, c}, B = {x}, C = {6, 30}.Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto de A o que B est incluido en A si todos los elementos de B pertenecen a A. Se escribeB A x A, x BEjemplo 2.1 Sea el conjunto A = {x, y, z, w}, que est constituido por cuatro elementos: x, y, z, w. Entonces se tiene que:1. x A, y A, z A, w A. 2. a A. 3. B = {y, z} B A. Se dice que dos conjuntos, A y B, son iguales si ambos estn formados por los mismos elementos:A = B [x A x B]Tambin se tiene que el conjunto vaco est incluido en cualquier conjunto.

Entre conjuntos se pueden realizar operaciones como la unin (), la interseccin () y la diferencia (). As, si A y B son dos conjuntos cualesquiera tendremos que: A B: es el conjunto constituido por los elementos de A y de B: A B = {x : x A, y/o x B}. A B : es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B:A B = {x : x A, x B}.Diremos que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando A B = . A B: es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B:A B = {x A : x / B}.Si B A, se define el conjunto complementario de B en A como Bc = {x A : x / B}.

Ejemplo 2.2. Sea los conjuntos A = {a, b, c, d, f } y B = {x, y, s}, como se muestra en la figura 1.

Figura 1.abcstuwzABEntonces, se tiene que:A B = {a, b, c, s, t, u, w, z} ; A B = {s, t, u},A B = {a, b, c}; B A = {w, z}.

Ahora, dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de A y B como el conjunto de pares ordenadosA B = {(a, b) : a A, b B} .Ejemplo 2.3. Si A = {a, b, c} y B = {1, 2}, el producto cartesiano de ambos conjuntos ser: B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} . 2.1 Correspondencias. Dados dos conjuntos cualesquiera, A y B, se pueden establecer relaciones entre los elementos del conjunto A con los del conjunto B. As, se llama correspondencia de A en B a cualquier criterio que asigne elementos de B a elementos de A. Una correspondencia f de A en B se denota porf : A B,Donde A es el conjunto inicial y B el conjunto final, la imagen de un elemento de A es el elemento o elementos de B que se le asignan, y la antiimagen de un elemento de B es el elemento o elementos de A a los que es asignado. De este modo, si b B es imagen de a A, se escribir:f (a) = b.Ejemplo 2.1.1. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d}. Entre ambos puede establecerse una correspondencia f mediante la figura que sigue:

123bcdABafFigura 2.e

Donde:1. La imagen de 1 es a y b, 2. El elemento 2 no tiene imagen, 3. La antiimagen de c es 3, 4. El elemento e no tiene antiimagen.

Una aplicacin o funcin es una correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto inicial un nico elemento del conjunto final.

aybcdABxfFigura 3. Funcinw

Se tiene que f : A B es una aplicacin:

Inyectiva si elementos distintos de A tienen imgenes distintas, es decir, sia1, a2 A, a1 a2 f (a1) f (a2),o equivalentemente:a1, a2 A, f (a1) = f (a2) a1 = a2; Sobreyectiva o suprayectiva si todo elemento de B tiene antiimagen, esto es, sib B, a A : f (a) = b,o lo que es lo mismo, si f (A) = B; Biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, o sea, sib B, !a A : f (a) = b

abcd12345AfBAplicacin Inyectivaabcd123AfBAplicacin Sobreyectivaabcd1234AfBAplicacin biyectivaFigura 4. Tipos de AplicacionesSi A, B y C son tres conjuntos, y f: A B y g: B C son dos aplicaciones, podemos definir una aplicacin de A en C haciendo uso de f y g, la composicin de f con g, que se denota por g o f:

3. Nmeros Reales Los nmeros 1,2,3 son usados para contar. Normalmente se los conoce como el conjunto de los nmeros naturales, dicho conjunto se lo denota normalmente con la letra N, as: N = {1,2,3 }Al sumar dos nmeros naturales el resultado es otro natural, pero al restar el resultado no necesariamente ser un nmero natural. El conjunto de los nmeros enteros se define como:Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }Al realizar las operaciones de suma, resta y multiplicacin entre dos nmeros enteros el resultado es un nmero entero. Pero si dividimos dos nmeros enteros el resultado no necesariamente es un nmero entero. Los nmeros racionales, Q, son el conjunto de nmeros fraccionarios y nmeros enteros representados por medio de fracciones, de la forma , donde m, n son nmeros enteros con n distinto de cero. Asimismo existe una clasificacin de los nmeros racionales dependiendo de su expresin decimal, estos son: Los nmeros racionales limitados, cuya representacin decimal tiene un nmero determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125. Los nmeros racionales peridicos, de los cuales sus decimales tienen un nmero ilimitado de cifras, pero de esas cifras se puede descubrir un patrn definido. Por ejemplo 0,6363636363 y 5,48176363636363 En las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin entre dos nmeros racionales se obtiene como resultado un nmero racional. Sin embargo no todos los nmeros decimales pueden ser representados como una fraccin, a estos se les denomina irracionales y tienen como definicin que son nmeros que poseen infinitas cifras decimales no peridicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Ejemplo, Pi es un nmero irracional y su valor es:3,1415926535897932384626433832795 ...Existen otros nmeros irracionales famosos como el nmero e llamado tambin nmero de Euler, y de l tambin se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repeticin peridica. Sus primeros decimales son 2,718281828459Otro nmero irracional conocido es el ureo o razn de oro, representado con la letra griega o phi tambin es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximacin es 1,618033988749 En matemticas, los nmeros reales (designados por ) incluyen tanto a los nmeros racionales (positivos, negativos y el cero) como a los nmeros irracionales.

3.1 La Recta Real y los IntervalosLos nmeros reales pueden ser representados en la recta real, como se muestra en la figura 5. Para ello se traza una lnea recta y se escoge arbitrariamente un punto en ella, l cual representar el nmero 0. Se escoge una unidad de medida y a partir del 0 se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como a la derecha, los puntos medidos representan los nmeros enteros en el orden dado en la figura. Los puntos a la derecha del 0 representarn los nmeros positivos y a la izquierda estn representados los nmeros negativos.

0123456-5-4-3-2-1-7-6-6-0,5Figura 5. Recta RealTambin es posible representar los denominados intervalos en la recta real; para ello, considrense dos nmeros cualesquiera a, b R tales que a < b. Se tienen los siguientes tipos de intervalos: Intervalo abierto de extremos a y b: (a, b) = {x R : a < x < b}. Intervalo cerrado de extremos a y b: [a, b] = {x R : a x b}. Intervalos semiabiertos o semicerrados de extremos a y b:(a, b] = {x R : a < x b} ; [a, b) = {x R : a x < b} Intervalos infinitos:

(a, +) = {x R : x > a} ; (, a) = {x R : x < a} ,[a, +) = {x R : x a} ; (, a] = {x R : x a}En la figura 6 aparecen representados sobre la recta real los intervalos anteriores. Obsrvese que en dicha figura aparecen puntos representados como crculos huecos o crculos rellenos; esta es la notacin habitual para representar el extremo abierto del intervalo, en el primer caso, y el extremo cerrado del intervalo, en el segundo.

(a) Intervalos (a, b) y [a, b], respectivamente.

(b) Intervalos (a, b] y [a, b), respectivamente.

(c) Intervalos (a, +), [a, +), (, a) y (, a].

Figura 6. Intervalos en la recta real.

2.2. Algunas propiedades de los nmeros reales A continuacin se enuncia las propiedades ms importantes de los nmeros reales, para ello se asumir en esta seccin que a, b, c y d son nmeros reales, entonces tenemos: Ejemplo

Propiedad conmutativa de la sumaa + b = b + a 3 + 5 = 5 + 3

Propiedad conmutativa de la multiplicacina . b = b . a 4 . 5= 5 4

Propiedad asociativa de la suma( a + b) + c = a + ( b + c) (3 + 5)+2 = 3+(5+2)

Propiedad asociativa de la multiplicacina (b c) = ( a b) c 4 . (5 . 3)= (4 . 5) . 3

Elemento neutro de la sumaa + 0 = a 5+0 = 5

Elemento neutro de la multiplicacina 1 = a 5.1=5

Propiedad del inverso de la sumaa + ( a) = 0 2 + (-2) = 0

Inverso de la multiplicacin

Propiedad distributivaa (b + c) = a b + a b3 (2 + 5) = 3 2 + 3 5

Propiedad distributiva(b + c) a = b a + c a (2 + 5). 3 = 2. 3 + 5 . 3

a b = a + (- b ) 5 - 9 = 5 + (-9)

a = ( 1). a -4 = (-1) . 4

( a) . b = ( a b) = a(- b)(-7).2 = -(7 . 2) = 7. (-2)

(-a).(-b) = a.b

-(a + b) = -a -b

Propiedades del ceroa . 0 = 012 . 0 =0

Propiedades del ceroa . b =0 entonces a=0 b=0x . y =0 x=0 y =0

La divisin entre 0, no est definida. La divisin tampoco est definida.

En el siguiente recuadro se presenta las propiedades ms importantes de fracciones: PropiedadesEjemploObservaciones

El signo menos se puede colocar tanto el numerado como en el denominador.

Suma o diferencia con igual denominador

Suma o diferencia con diferente denominador usando el mtodo de suma en cruz.

Multiplicacin de fracciones

El factor c existe en el numerador y el denominador por lo que se pueden cancelar

Multiplicacin de un nmero entero por una fraccin

Divisin de fracciones aplicando la doble C

Divisin de un nmero por una fraccin

Divisin de una fraccin por un nmero

4. Potencias La potenciacin con exponente natural es un caso particular del producto en R; en efecto, si a R y n N entonces:

esn vecesSe lee como elevado a la n, donde n es un entero positivo y a 0, es llamada la base y n el exponente o potencia e indica el nmero de veces que se repite el factor . Por ejemplo: 1. Si es negativo entonces es positivo si n es par y negativo si n es impar.2. En una expresin como , primero se ejecuta la potencia y luego la multiplicacin por a. 3. - Observaciones: La potencia es la primera operacin que se ejecuta frente a multiplicaciones, divisiones, sumas, restas o cambios de signos.

4.1 Propiedades de los exponentesEn la siguiente tabla se presentan las propiedades ms importantes de los exponentes:PropiedadEjemplo

5. RadicalesSe llama raz nsima de un nmero a R, a otro numero b R, si existe, que elevado a la potencia n sea igual al radicando, esto es:

El numero n es el ndice del radical, a es el radicando y el signo se denomina signo radical. Cuando n = 2 se escribe y se llamar raz cuadrada de a, si n = 3 se denomina raz cubica de a. En cuanto a la notacin, se puede escribir tambin:

Las propiedades de los radicales son las mismas que las de las potencias con exponente entero.Si el radicando es positivo y el ndice n es un nmero par, entonces existen dos races de de ndice n, que se escriben y , por ejemplo las races cuartas de 1296 ( son +6 y -6, porque 64 = 1296 y (-6)4 = 1296

5.1 Propiedades de los radicalesEn la siguiente tabla se presentan las propiedades ms importantes de los radicales:PropiedadEjemplo

6. Expresiones AlgebraicasEs la combinacin de constantes, variables y signos de operacin que, entre otras cosas, pueden definir una regla o principio general. Donde: Variable: es aquella (letra) sobre la cual se define el trmino o expresin algebraica e indica que su valor va variando. Exponente: Es el nmero que se encuentra en la parte superior derecha de la variable. Signo: Precede al trmino, puede ser positivo (+) o negativo (-), si se omite el signo del trmino es positivo. Coeficiente: Es el factor que acompaa a la parte variable, y su valor no cambia, es constante.Una expresin algebraica est compuesta por trminos de la forma: , donde a es un coeficiente, x es una variable y n es el exponente de la variable.6.1 Trminos Semejantes.Son trminos cuya parte variable son iguales y adems tienen el mismo exponente. Observa los siguientes ejemplos:1. Son trminos semejantes ya que todos contienen

2. No son trminos semejantes ya que

3. Son trminos semejantes ya que todos contienen

4. Son trminos semejantes ya que todos contienen

5. Son trminos semejantes ya que todos contienen

6.2 Tipos de Expresiones AlgebraicasHay distintos tipos de expresiones algebraicas.1. Enteras o polinmicas. Se definen como toda expresin algebraica en donde las potencias son nmeros enteros positivos. Ejemplo: Las expresiones algebraicas enteras se clasifican en: Monomios: cuando consta de un solo trmino, por ejemplo: Polinomio: cuando consta de ms de un trmino, como: : llamado tambin binomio. : llamado tambin trinomio.2. Dos expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuacin. 3. Un caso particular de ecuacin es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.

6.3 Caractersticas de un Polinomio.1. Todo polinomio es una expresin algebraica. Tiene la forma:

2. El Grado de un Polinomio, se define como el mayor exponente que tiene la variable. 3. Los trminos de un polinomio se clasifican en: 4. Trmino Independiente, es aquel que no est acompaado de la variable. Por ejemplo: 1; 6; 100.5. Trmino Dependientes, son aquellos que estn acompaados de la variable. Ejemplo:

7. Regla de los signosEn el producto y en el cociente de nmeros positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:

8. Productos Notables.

9. Notacin Cientfica.La notacin cientfica consiste en expresar nmeros decimales haciendo uso de potencias de 10, teniendo en cuenta que:=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Un nmero escrito en notacin cientfica debe tener un nico nmero como parte entera y el resto debe ser decimal. As, para expresar un nmero cualquiera en notacin cientfica habr que tener en cuenta si el nmero, en valor absoluto, es mayor o menor que uno: Si es mayor que uno, se correr la coma hacia la izquierda dejando una nica cifra entera no nula, y se multiplicar por una potencia positiva de 10 cuyo exponente es el nmero de lugares que se ha corrido la coma. Ejemplo: 621=621,0=6,21. 102 ; 2452,65 = 2,45265. 103 ; -31453= -3,1453 . 104 Si es menor que uno, se correr la coma hacia la derecha dejando una nica cifra entera no nula, y se multiplicar por una potencia negativa de 10 cuyo exponente es el nmero de lugares que se ha corrido la coma.Ejemplo: 0,00045 = 4,5 . 10-4; 0,06597 = 6.597 . 10-2 10. Descripcin Verbal y Lenguaje MatemticoLas matemticas se expresan en un lenguaje especial, que es un dialecto o jerga del lenguaje natural y no es ms que una forma de traducir a smbolos y nmeros lo que normalmente conocemos como lenguaje natural. De manera que es posible manipular cantidades desconocidas con smbolos fciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cmo resolverlas.

En los siguientes ejemplos se dan expresiones verbales que son llevadas a una expresin matemtica. En este caso la expresin algebraica puede ser parte de una formula y la variable en esta situacin es lo que hay que determinar y que tambin recibe el nombre de incgnita. Expresiones en Lenguaje AlgebraicoSmbolos Matemticos

Un nmero cualquiera x, y, z, m, n

El doble de un nmero 2x, 2y, 2m, 2n, 2t

El triple de un nmero 3r, 3u, 3z

La mitad de un nmero ; ;

El cuadrado de un nmero x2, y2

La diferencia entre dos nmeros c d; a b; x - y

El cociente entre dos nmeros a/b, c/d, e/f

Un nmero par 2n

Un nmero impar 2n - 1

El doble de m aumentado en n 2m + n

El sucesor de un nmero n + 1

El producto entre un nmero y su antecesor k(k 1)

La dosis se aumenta en 2 unidades.d+2

La dosis se aumenta un 25%. El aumento es .d+0,25d= 1,25d

Se venden una docena de artculos.12 p

El doble de un nmero menos el triple de otro.2x 3y

Las tres cuartas partes de un nmero3x/4

El producto de dos nmerosxy

11. Sistema de Coordenadas Cartesianas Un par ordenado de nmeros reales (x, y) se puede representar en el plano en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares o plano xy. Este sistema est constituido por dos rectas perpendiculares orientadas, llamadas ejes coordenadas y la interseccin de ellas se llama origen. En la figura x, el eje horizontal es llamado eje x y el eje vertical es el eje y. Estos ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas primer (I), segundo (II) , tercer (III) y cuarto cuadrante (IV).

P(x,y)I x>0, y >0II x0III x