7/23/2019 Guia Unidad II Teoremas de La Probabilidad

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UNIDAD II

PRINCIPIOS ESTADSTICOS APLICADOSEN CONTROL DE CALIDAD

Por: Prof. Gastn A. Prez U.

MATERIAL COMPLEMENTARIO

TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD

(1) INTRODUCCIN A LA PROBABILIDADDefinicin: En trminos de calidad es la posibilidad de que algo ocurra.

Probabilidad es sinnimo de posibilidad, azar, tendencia y propensin.

Ejemplo:En una moneda, la posibilidad de que salga cara es de: 1 / 2 (una entre 2 posibles).

+ = 1

En un dado, la posibilidad de que salga 6 es de 1 / 6 posibles.

La probabilidad se expresa en forma decimal.

Un Evento es un conjunto de resultados.

En el ejemplo de los dados, sacar un 2 o un 4 (llammosle evento A) en una tirada, tiene dosresultados y la cantidad total de resultados es de 6, por lo que la probabilidad es de

= 0.333

Podemos concluir que la probabilidad de que suceda el evento es:

P(A) =

Dnde:P(A) = probabilidad de que suceda un evento A, con tres cifras decimales.NA = # de resultados exitosos del evento A.N = # total de resultados posibles.

Ej. Se selecciona una parte al azar de un recipiente con 50 partes que se sabe contiene 10 partes

no conformes. La parte seleccionada se regresa al recipiente, se mezcla con las dems y semantiene un registro de cantidad de intentos y cantidad de partes no conformes que salen.

Despus de 90 intentos, se anotaron 16 partes no conformes. Cul es la probabilidad, de

acuerdo con los resultados conocidos y con los resultados experimentales?

Resultados conocidos (reales):

P(A) = NA/N = 10/50 = 0.200

Resultados experimentales (aleatorios):

P(A) = 16/90 = 0.178

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La definicin anterior es til para casos finitos, o sea, cuando se conocen N(A) y N.

Para casos infinitos (N=),la definicin siempre conducir a una probabilidad igual a cero. Enconsecuencia, en el caso infinito, la probabilidad de que ocurra un evento es proporcional a ladistribucin de la poblacin.

(2) TEOREMAS DE LA PROBABILIDADLos siguientes teoremas son tiles para la solucin de problemas:

TEOREMA 1:

La probabilidad se expresa como un nmero entre 1.00 y 0.0, donde un valor de 1.00 es una certezade que suceda un evento, y un valor de 0 es una certeza de que no suceder.

TEOREMA 2:

Si P(A) es la probabilidad de que suceda un evento A, entonces la probabilidad de que no suceda A esP(A), es = 1.000 - P(A).

Ej.- Si la probabilidad de encontrar un error en una declaracin de impuestos es 0.04 Cul es laprobabilidad de encontrar una sin errores o conforme?

P(A) = 10.04 = 0.960

TEOREMA 3: (Ley Aditiva de la probabilidad)

Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que suceda el evento A o eevento B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas. Mutuamente excluyente quiere decir que la ocurrencia de un evento hace que la del otro evento

sea imposible.

P(A o B) = P(A) + P(B)

Siempre que se verbaliza una o, la operacin matemtica suele ser adiccin o sustraccin. El teorema 3 puede aplicarse para varios eventos.

Ej.- Si las 261 partes que aparecen en la siguiente tabla estn dentro de una caja Cul es laprobabilidad de seleccionar al azar una parte producida por el proveedor X o por el proveedor Z?

Inspeccin por Proveedor

Proveedor # conformes # no conformes Total

X 50 3 53

Y 125 6 131

Z 75 2 77Total: 250 11 261

P(X o Z) = P(X) + P(Z) =

= 0.498

Cul es la probabilidad de seleccionar una parte no conforme del proveedor X o una parte conformedel proveedor Z?

P(ncX o coZ)= P(ncX) + P(coZ) =

= 0.299

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TEOREMA 4:

Si el evento A y el evento B no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que suceda el eventoA o el evento B, o ambos es:

P(A o B o ambos) = P(A) + P(B)P(ambos)

Los eventos que no son mutuamente excluyentes son los que tienen algunos resultados en comn. Ej.- De la tabla anterior Cul es la probabilidad de que una parte seleccionada al azar sea de

proveedor X, o que sea una parte no conforme?

P(X o nc o ambos) = P(X) + P(nc)P(X y nc) =

= 0.234

Diagrama de Venn: Se utiliza para describir un evento no mutuamente excluyente.

TEOREMA 5:

La suma de las probabilidades de los eventos en una situacin es igual a 1.000.

P(A) + P(B) + + P(N) = 1.000

Ej.- Un inspector sanitario examina 3 productos de un subgrupo para determinar si son aceptables. De

acuerdo con su experiencia, la probabilidad de no encontrar unidades no conformes en la muestra de 3es 0.990, la de encontrar 1 unidad no conforme en la muestra de 3 es 0.006, y la probabilidad deencontrar 2 unidades no conformes en la muestra de 3 es 0.003 Cul es la probabilidad de encontrar3 unidades no conformes en la muestra de 3?

P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 1

P(3) = 1 [P(0)+P(1)+P(2)]

P(3) = 1 - (0.990+0.006+0.003) = 0.001

P(3) = 0.001 es la probabilidad de encontrar 3 unidades no conformes.

TEOREMA 6: (Ley Multiplicativa de Probabilidad)

Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto de susprobabilidades respectivas.

Siempre que se verbaliza y, la operacin matemtica es la multiplicacin.

P(A y B) = P(A) x P(B)

NoConformes

Probabilidad

0 0.9901 .0006

2 0.003

3 ?

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Ej.- De la tabla del ejercicio sobre los proveedores: Cul es la probabilidad que 2 partesseleccionadas al azar sean del proveedor X y del proveedor Y? Suponer que se regresa laprimera parte a la caja, antes de seleccionar la segunda (esto se llama con sustitucin o conremplazo).

P(X y Y) = P(X) x P(Y) =

= 0.102

TEOREMA 7:

Si A y B son eventos dependientes, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto de laprobabilidad de A por la probabilidad de que si sucede A suceda tambin B.

P(A y B) = P(A) x P(B/A)

P(B/A) = Probabilidad del evento B, siempre que haya ocurrido el evento A.

Ej.- Del ejercicio anterior, suponer que no se haya regresado la primera parte a la caja, antes deseleccionar la segunda parte Cul es la probabilidad?

P( X y Y) = P(X) x P(Y/X) =

= 0.102

Cul es la probabilidad de seleccionar ambas partes del proveedor Z?

P(Z y Z) = P(Z) x P(Z/Z) =

= 0.086