Guía Tercer Examen Cálculo II

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL ORIENTE ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

GUÍA PARA EL TERCER EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO II. Abril de 2016 INTEGRACIÓN POR PARTES. Como se ha visto en clase la fórmula de integración por partes es:

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢

Esta fórmula expresa u dv∫ en términos de otra integral, a saber, vdu∫ y sabiendo elegir

apropiadamente a u y dv , esperamos que la segunda integral sea más sencillas que la original. Encuentra las integrales indefinidas siguientes.

1. ( )x sen x dx∫ 2. 2 xx e dx∫ 3. 2 ( )x sen x dx∫ 4. ( )xe sen x dx∫

5. ( )cos( )sen x x dx∫ 6. cos(2 )x x dx∫ 7. 4xxe dx∫ 8. 2sec ( )x x dx∫

9. (ln( ))sen x dx∫ 10. ( )xe cos x dx∫ 11. 2 ln( )x x dx∫ 12. 2 xx e dx∫

13. ∫ − dxxe x 14. lnx x dx∫ 15. ∫ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ dxxsenx2

16. ∫ dxxx cos217.

x2 1− x dx∫ 18. ∫ dxxx 2sec 19. ( )∫ − dxexx x52 20. ∫ dxx2cos

En los ejercicios 21 al 23, aplica a la integral las integraciones que sean necesarias.

21. ∫ − dxex x32 22. ∫ dxsenxx 3 23. ∫ dxex x5

SUMAS DE RIEMANN. En los ejercicios 1 a 6, calcula primero (en términos de 𝑛, donde 𝑛 es el número de partes iguales en que se ha dividido el dominio de la función) la suma

𝑓(𝑥!)∆!

!

!!!

donde 𝑥! es el extremo derecho de cada subintervalo y ∆𝑥 = !!!!

, para aproximar el área 𝐴 de la región

bajo la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) sobre el intervalo 𝑎, 𝑏 . Determina después 𝐴 exactamente mediante el límite cuando 𝑛 → ∞. 1. xxf =)( en [0,1] 2. 2)( xxf = en [0,2] 3. 2)( += xxf en [0,2] 4. xxf 35)( −= en [0,1] 5. 29)( xxf −= en [0,3] 6. xxxf += 3)( en [0,1].

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En los ejercicios 7 a 12, expresa el límite dado como una integral definida en el intervalo indicado 𝑎, 𝑏 . Supón que 𝑥!!!, 𝑥! denota el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 subintervalo de una subdivisión de 𝑎, 𝑏 en 𝑛 subintervalos de igual longitud, ∆𝑥 = !!!

!, y que

𝑚! =!!𝑥!!!, 𝑥! es el punto medio del 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 subintervalo

7. ∑=∞→

Δ−n

iin

xxlím1

)12( en [1,3] 8. ∑=

−∞→Δ−

n

iin

xxlím1

1)32( en [-3,2]

9. límn→∞

25− xi2Δx

i=1

n

∑ en [0,5] 10. ∑=

−∞→Δ

n

iin

xxlím1

1)2cos( en 0, π2

!

"#$

%&.

11. ∑=∞→

Δn

iinxxlím

1

tan en 0, π4

!

"#$

%&. 12. lím

n→∞

11+mi

Δxi=1

n

∑ en [3,8]

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. En los ejercicios 1 a 8 evalúa la integral dada usando los resultados siguientes:

2,23,3

0

2

1

2

1

2 === ∫∫∫ −−

πdxsenxdxxdxx

.21,0cos

0

2

0π

ππ== ∫∫ dxxsendxx

1. ∫− −2

1

2)8( dxx 2. ∫− +−2

1

2 )2/52( dxxx 3. ∫ ++π

0)1cos32( dxxsenx

4. ∫ −0 2)2(π

dxsenx 5. ∫π

0

2cos3 dxx 6. ∫− +2

1

2)12( dxx

7. ∫− +−2

1)32)(1( dxxx 8. ∫

−−

1

2)4(3 dxxx

CÁLCULO DE ÁREAS. Determina las áreas de las regiones mostradas en los ejercicios del 1 al 4.

1

1 3

1.

2

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Determina el área de las regiones descritas en los ejercicios 5 a 9. 5. La región acotada por abajo de la gráfica 𝑦 = 𝑥 y arriba de la gráfica de 𝑦 = 𝑥!, en el intervalo

0,1 . 6. La región R acotada por abajo de la gráfica de 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥! y por arriba del eje 𝑥. 7. La región R entre las gráficas de 𝑦 = 𝑥! − 4, 𝑦 = 3𝑥!.

4

0 2

3.

(2,2)

4.