Guía Teoría II Corte.

Variables Aleatorias y sus Distribuciones

PLANIFICACIÓN II CORTE.

Evaluación II Corte. Porcentaje Fechas

Secc 13 Secc 31

Distribuciones Discretas. Quiz = 40 % Lunes 08 de Febrero Martes 09 de febrero

Distribuciones Continuas. Parcial = 60 % Lunes 22 de Febrero Martes 23 de febrero

Universidad Nacional Experimental

“Francisco de Miranda”

Área de Tecnología

Unidad Curricular: Estadística

Profesor(a): Ing. Merly Rojas

TEORÍA.

VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.

Indica toda parte de valores que pueden representarse como resultado de un experimento.

Describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, con ello se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos.

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA.

Es una función de X, que designa un número real a cada uno de los elementos que conforman el espacio muestral, transforma los eventos o sucesos en eventos numéricos.

Ejemplo: El experimento aleatorio, lanzamiento de dos monedas, cuantas caras se podrán observar.

Respuesta:

Variable aleatoria = X

Entonces:

X = Nº de caras que se puedan observar.

CLASIFICACIÓN VARIABLE ALEATORIA.

La variable aleatoria se clasifica en dos, según como pueda representarse:

a.- Variable Aleatoria Discreta: Es aquella que toma a lo más una cantidad numerable de valores distintos, se expresa en números enteros.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado.

Se tiene ; S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

b.- Variable Aleatoria Continua: Es aquella cuyo rango es infinito. Es aquella que puede tomar cualquier valor de entre todos los contenidos en un intervalo.

Ejemplo: Presión, Temperatura.

Distribución Probabilística.

Es un conjunto de pares [Xi; P(xi)], bien definido, asociado a un experimento aleatorio, donde :

X o Xi = representa los valores que asume la variable aleatoria.

P(Xi) = frecuencia relativa con que ocurren dichos valores ( función de probabilidad puntual ).

Ejemplo: La siguiente tabla muestra el número de empleados ausentes en una fábrica durante 212 días, construya la distribución de probabilidad para el número de empleados ausentes esos días.

X 1 2 3 4 5 6 7 8

F 18 25 39 46 27 25 22 10

P(Xi) 18 43 82 128 155 180 202 212

[Xi,P(xi)] (1;18) (2;43) (3;82) (4;128) (5;155) (6;180) (7;202) (8;212)

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD.

a.- Para Variable Discreta.

Es la frecuencia relativa con que ocurren los valores que asumen las variables aleatorias y debe cumplir las siguientes condiciones:

P(xi) ≥ 0 , para toda i.

ΣP(xi) = P(S) = 1

Es la asignación a cada valor de la variable de la probabilidad que corresponde.

b.- Para Variable Continua (Función de Densidad).

Es la frecuencia relativa con que ocurren los valores que asume la variable aleatoria continua, la cual debe satisfacer, las siguientes propiedades:

f(x) ≥ 0 ; para toda X.

∫ f(x)dx = 1 ; donde -∞ < x < ∞

P(a ≤ x ≤ b) = P(a < x < b ) = ∫ f(x)dx

c.- Distribución Acumulada Variable Discreta.

Es aquella función denotada por F(xi), que se determina sumando la frecuencia relativa de cada uno de los valores que asume la variable aleatoria y se calcula:

F( xi ) = P ( X ≤ xi ) = Σf(t) ; para -∞ < x < ∞

Propiedades:

F ( -∞ ) → 0 ; para P(xi) = 0

F ( ∞ ) → 1 ; puesto que P(xi) = P ( S ) = 1 ; 0 ≤ F ( xi ) ≤ 1.

d.- Distribución Acumulada Variable Continua.

Es aquella función definida por:

P( X ≤ Xi ) = F ( X = Xi ) = ∫ f(x)dx ; -∞ < x < ∞

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA.

Son funciones que indican el comportamiento de los valores que asume la variable aleatoria discreta en un experimento aleatorio, puede tomar un número determinado de valores. Esta indica todos los posibles valores de la variable ( x ), con su respectiva probabilidad de ocurrencia P (xi ). Entre ellas están:

a.- Distribución Uniforme.

Es aquella que se utiliza cuando los valores que asume la variable aleatoria discreta, tiene la misma probabilidad de ocurrencia en el experimento aleatorio, es decir, su función de probabilidad puntual se expresa:

P ( X ) = 1 / n .

Donde:

P(xi)= P(x1) = P(x2) = P(x3) = ………………..= P(xn)

Sus Parámetros:

E ( x ) = µ ( x ) = a + b / 2

donde : a ≤ x ≤ b → x € Ζ

V(x) = σ2(x) = ( b –a + 1 )2 -1 / 12

Ejemplo:

Un experimento consiste en lanzar un dado, donde la variable aleatoria discreta representa observar un número entero, verificar si esta variable tiene una distribución uniforme, además calcule sus parámetros.

b.- Distribución Hipergeométrica.

Se utiliza cuando el muestreo se realiza sin repetición y la probabilidad de éxito no permanece constante de un ensayo a otor. Se utiliza cuando se tiene una población finita de tamaño N, de la cual K representa el éxito de la población, y N-K el fracaso de la misma; donde se selecciona una muestra al azar y sin reemplazo de tamaño n, donde xi representa el éxito de la muestra y n-xi el fracaso. Su función de probabilidad puntual:

P(X=Xi) = [( K/ xi) ( N-K/ n-xi )] / ( N/n)

Ejemplo:

Un cargamento de 20 bombas contiene 5 defectuosas. Si de 10 de ellas aleatoriamente seleccionadas para una revisión. Cuál es la probabilidad de que:

a.- Ninguna este defectuosa.

b.- Una esta defectuosa.

c.- Dos estén defectuosas.

c.- Distribución Binomial.

Se aplica cuando se realiza un número “n” de veces un experimento, siendo cada ensayo independiente del anterior, la variable puede tomar valores entre:

0 = si todos los experimentos han sido fracaso.

n = si todos los experimentos han sido éxitos.

S

Donde: p + q = 1 = P(s)

Entonces:

P( Xi ) = nCx * p x * q n-1

nCx = n! / x!*( n – x )!

Donde:

p = Probabilidad de éxito.

q = probabilidad de fracaso.

nCx = Coeficiente binomial.

n = tamaño de muestra.

X = Valor que toma la variable.

p

q

P = 1 - q

q = 1 - p

c.1.- Distribución acumulada de la Binomial.

P( x ≤ xi ) = ΣnCxi * pxi * q n – xi

c.2.- Propiedades de la Binomial.

1.- P(x≤c) = F(x=c) = ctte

2.- P(x<C) = P(x≤c-1) = F(x=c)

3.- P(x>c) = 1-P(x≤c) = 1-F(x=c)

4.- P(x≥c) = 1-P(x≤c-1) = 1-F((x=c-1)

5.- P(a ≤ x ≤ b )=P(x ≤b) – P(x ≤ a-1) = F(X=b) – F(x=a-1)

6.- P(a < x < b )=P(x ≤b-1) – P(x ≤ a) = F(X=b-1) – F(x=a)

7.- F( -∞ )→0

8.- F( ∞ ) → 1

Parámetros:

E(x) = µ(x) = n * p

V(x)=σ 2 = n * p * q

Ejemplo 1 :

Suponga que la probabilidad de que un automóvil robado se recupere es de 0,60. Calcule la probabilidad de que al menos 8 de 10 carros robados se recuperen.

Ejemplo 2 :

La probabilidad de que un alumno de estadística apruebe un examen es de 0,6. Para un grupo de 4 amigos, calcule:

a.- De que los 4 aprueben el examen.

b.- De que ninguno apruebe.

c.- De que a lo sumo dos aprueben el examen.

d.- Distribución Poisson.

Describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado ( tiempo, volumen, temperatura ), y los valores que asume:

P(X≤ xi )=( ℮ -µ * µ xi) / Xi !

Donde:

X = valor que asume la variable.

µ = promedio poblacional por unidad de tiempo.

℮ = 2,71828

d.1.- Distribución acumulada de Poisson

P(X≤ xi )= Σ( ℮ -µ * µ xi) / Xi !

Parámetros:

E(x) = µ(x) = µ

V(x)=σ 2 = µ

Ejemplo 1 :

El número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4.¿ Cual es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo determinado?

Ejemplo 2 :

Se certifica la calidad de discos de computadora pasándolos por un certificador que cuenta el número de sectores defectuosos. Una determinada marca de discos tiene un promedio de 0,1 sectores defectuosos por disco. Calcular la probabilidad de que:

a.- Un disco que se inspeccione no tenga sectores defectuosos.

b.- Un disco que se inspeccione tenga más de un sector defectuoso.

c.- Dos discos que se inspeccionan no tengan sectores defectuosos.

e.- Aproximación Poisson – Binomial.

La distribución de Poisson produce una buena aproximación a la distribución Binomial, cuando el tamaño de la muestra es muy grande cuando ( n → ∞ ), y la probabilidad de éxito es muy pequeña ( p → 0 ), entonces la distribución de Poisson proporciona una buena aproximación a la Binomial, esto sucede si se cumplen las siguientes condiciones:

n > 20

µ = n * p ≤ 5

Ejemplo:

Un proceso produce un 0,02 % de artículos defectuosos, si se seleccionan del proceso 100 artículos aleatoriamente. Cuál es la probabilidad de que el número de defectuosos:

a.- Exceda de 5.

b.- Sea menor de 5.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA.

Es el conjunto formado por los valores que asume la variable aleatoria continua, conjuntamente con sus probabilidades de ocurrencia entre ellas.

a.- Distribución Normal.

Llamada también distribución Gaussiana, cuya gráfica tiene forma de campana, la cual está representada por su media y su varianza.

Donde:

µ=es el valor medio de la distribución donde se sitúa el centro de la curva.

σ= indican si los valores están más o menos alejados del valor central.

Su función de densidad:

F(x) =( 1/ σ*√2∏) *℮ ( x-µ/σ)2

Donde:

-∞ < x < ∞ ℮= 2,71828

σ>0

x = Valor que asume la variable. ∏= 3,141516

µ= promedio.

σ= varianza.

a.1.- Característica de la curva de la normal.

1.- Mesocúrtica.

2.- Tiene un máximo en el punto x = µ.

3.- Es simétrica con respecto al eje y.

4.- Es asintótica con respecto al eje x.

5.- Tiene dos puntos de inflexión en el punto x = µ +-σ.

6.- El área bajo la curva es igual a 1.

a.2.- Distribución Normal Estándar.

Se origina cuando µ = 0 y σ = 1.

Entonces:

Z= x - µ/ σ = x - µ/ √σ = x - µ/ σ2

P( x1 ≤ x ≤ x2 ) = P( Z1 ≤ Z ≤ Z2)

Donde: Z1 = X1 - µ/ σ ; Z2 = X2 - µ/ σ

Valor Z:

Es una medida estadística que representa el número de desviaciones estándar entre la medida y un valor de interés de la variable aleatoria.

a.3.- De ella su distribución acumulada.

P( Z ≤ Zo ) = Ф ( Zo )

Donde:

Ф = se obtiene por tabla.

a.4.- Propiedades.

1.- P( Z1 ≤ Z ≤ Z2) = Ф ( Z2 ) - Ф ( Z1 )

2.- P( - Z0 ≤ Z ≤ Zo) = D (Zo )

3.- Ф ( Zo ) + Ф ( - Zo ) = 1

4.- Ф ( Zo ) = 1 - Ф ( - Zo )

5.- Ф ( - Zo )= 1 - Ф ( Zo )

6.- P( X > c ) = 1 - P( X ≤ c ) = 1 - Ф ( Zo )

7.- P( X ≥ c ) = 1 - P( X ≤ c ) = 1 - Ф ( Zo )

8.- P( X ≤ c ) = - Ф ( Zo )

Ejemplo 1:

Dada la distribución normal con µ = 50 y σ = 10, encuentre la probabilidad de que X asuma un valor entre 45 y 62.

Ejemplo 2:

Ciertas probetas preparadas en el taller para una práctica tienen una longitud de 30 cm, y σ = 2 cm. Suponiendo que las longitudes están normalmente distribuidas, que porcentaje de las piezas son:

a.- De más de 31,7 cm de longitud.

b.- Entre 29,3 y 33,5 cm de longitud.

c.- De una longitud menor que 25,5 cm.

Ejemplo 3:

Una cierta máquina produce resistencias eléctricas que tienen valor medio 40 ohms y una varianza de 2 ohms. Suponiendo que los valores de las resistencias siguen una distribución normal y que pueden medirse con cualquier grado de precisión. Qué porcentaje de las resistencias tendrá un valor que exceda de 43 ohms.

a.5.- Aproximación de la Normal a la Binomial.

La distribución normal proporciona una buena aproximación a la binomial cuando el tamaño de la muestra es muy grande ( n → ∞ ), y la probabilidad de éxito tiende a un valor cercano a 0,5 ( P →0,5 ), donde P es el éxito. Esta aproximación es apropiada cuando:

n > 20

µ = n * p > 5.

Se tiene una distribución normal:

Z = X - µ/ σ = x - µ/ √σ

Entonces:

µ = n * p

σ2 = n * p * q Z = x – (n * p ) / √ n * p * q

σ = √ n * p * q

a.5.1.- Transformación de Binomial a Normal

Binomial Normal

1.- P( X = c ) P( c – 0,5 < X < c + 0,5 )

2.- P( X ≤ c ) P( X ≤ c + 0,5 )

3.- P( X < c ) P( X ≤ c - 0,5 )

4.- P( X > c ) P( X ≥ c + 0,5 )

5.- P( X ≥ c ) P( X ≥ c - 0,5 )

6.- P( a < X < b ) P( a + 0,5 < X < b – 0,5 )

7.- P( a ≤ X ≤ b ) P( a – 0,5 < X < b + 0,5 )

Ejemplo 1:

La probabilidad de que una empresa se recupere de cierto problema en el departamento de seguridad e higiene es de o,9. De las siguientes 100 empresas que estén expuestas a este tipo de problema en el departamento de seguridad e higiene, cual es la probabilidad de que:

a.- Entre 84 y 95 inclusive logren solventar el problema.

b.- Logren solventar el problema menos de 86.

Ejemplo 2:

Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas cada una con 4 posibles respuestas de las cuales solo una es la correcta. Cuál es la probabilidad de que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de los 200 problemas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimiento.