guia teoria prac 9

Facultad de Ingeniería Matemática II

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES

AREA BAJO UNA CURVA

1.5 2 2.5 3 3.5 4

1

2

3

4

1.5 2 2.5 3 3.5 4

1

2

3

4

a A(R) b

Veamos algunos ejemplos para entender mejor estos nuevos conceptos.

Ejemplo1. Obtener el área limitada por la gráfica de con el eje x

Solución

-3 -2 -1 1 2

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 1 2

1

2

3

4

5

6

1

Guia de Teoría y PrácticaMatemática I Semana Nº 9

Si en entonces

es igual al área de la gráfica

de f en

Ver fig.

Primero veremos los límites de integración

por lo tanto .

Como: , entonces

podemos aplicar nuestra definición


Es decir:

Por lo tanto

Ejemplo2.Obtener el área limitada por la gráfica de , el eje x con

Solución

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Por lo tanto

Una aplicación muy importante de la integral definida lo constituye el encontrar el área de la región

comprendida entre dos curvas. Para esto consideraremos lo siguiente.

Sean y , funciones continuas en y además , entonces

.

Geométricamente podemos observar que:

2.5 3 3.5 4 4.5

5

10

15

20

25

2.5 3 3.5 4 4.5

5

10

15

20

25

a b

Ejemplo1. Hallar el área limitada por las curvas: , y

Solución

2

Podemos ver que los límites de integración son , , además

,

entonces:


El área de la región estará dada por:

Por lo tanto

Ejemplo 2.

y

Solución

entonces tomaremos a=1 , b=3 y ademas como , el área de la región será:

Por lo tanto

Ejemplo 3.

3

Encontraremos en primer lugar los límites de integración:

, resolviendo tenemos:

Solamente calcularemos el área en el primer cuadrante

Encontraremos en primer lugar los límites de integración:Es decir

entonces se tiene que además ,


y

Solución

Por lo tanto

Ejercicios Propuestos

Dibuja un esbozo de la región limitada por las gráficas de las funciones dadas y calcular su área

011) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

021) , 2) ,

3) , , 4) , , x=0, x=2

5) , ,x=-1, x=1 6) , , x=1, x=2

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

MÉTODO DEL DISCO

Definición. Sea continua en y sea la región acotada por la gráfica de , el eje y

las rectas verticales . El volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje esta dado por:

4

Encontremos los límites de integración , resolviendo

tenemos: . Luego las gráficas se cortan en los puntos

, .En la gráfica nos damos cuenta que no siempre la misma función es mayor que la otra en todo su dominio, por eso tomaremos dos


Geométricamente.

En genera para una función arbitraria l se vería de la siguiente forma.

Ejemplo 01. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje la región acotada por y las rectas.

SoluciónGráficamente tenemos.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Aplicando en nuestra formula se tiene:

donde , se tiene:

Ejemplo 02- Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje la región acotada por

y las rectas.

n

k

b

a

kkn

dxxfxxfLimV1

22 )()(

5




donde , se tiene:

Ejemplo 03- Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje la región acotada por y las rectas.

Solución

Gráficamente tenemos.


donde , se tiene:

METODO DEL DISCO O DE LAS ARANDELAS.

6


Definición. Sean y dos funciones continuas en y sea una región acotada por

las gráficas de las funciones y , el eje y las rectas verticales . El volumen

del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje esta dado por:

Geométricamente

Que girando al eje x se tendría.

Ejemplo 04. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje , la región acotada por y

Solución

Calcularemos los límites de integración.

Entonces nuestros límites de integración son a = 0 y a=1.Reemplazando en nuestra formula se tiene.

=

2 2( ( ) ( ) )b

aV f x g x dx

7

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Teorema. Sean y funciones continuas en y sea una región acotada por las

gráficas de las funciones y , el eje y las rectas verticales . El volumen del

sólido de revolución generado al girar alrededor de la recta esta dado por:

Ejemplo 02

Hallar el sólido de revolución generado al rotar al región formada por la grafica de las curvas: y , alrededor de la recta

Solución

En nuestro caso tenemos que Gráficamente.

Aplicando nuestra formula tenemos:

MÉTODO DE LAS CORTEZA CILINDRICA

Definición. Sea continua y no negativa en para , el volumen del sólido de

revolución generado al girar la región acotada por la gráfica de , el eje y las rectas ,

alrededor del eje esta dado por :

Gráficamente se observa lo siguiente:

2 2( ( ) ) ( ( ) ) )b

aV f x c g x c dx

8

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Ejemplo03.

Demostrar empleando el método de la corteza cilíndrica, que el volumen de un cono de altura h y con radio r está dado por:

SoluciónPara comenzar, observemos que este cono puede ser visto como el sólido que se produce al hacer girar, alrededor del eje y, la región triangular cuyos vértices son: (0,0), (r,0) y (0,h), donde h y r son números reales positivos.La ecuación de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,h) está dada por:

Puesto que su pendiente es m = − h/r y su intercepto con el eje y es el punto (0,h).Ahora bien, para aplicar el método que nos ocupa tendremos:

Ejemplo 04

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola , por la cúbica y por las verticales x = 1 y x = 3.

Solución

Gráficamente tenemos.

En este caso tenemos dos funciones, calculemos entonces:

9


. , para de ese modo calcular la altura de las cortezas cilíndricas.

Por lo tanto, el volumen de este sólido de revolución está dado por la integral

Teorema. El volumen del sólido de revolución generado al rotarla región limitada por las gráficas de las

funciones y , desde hasta , alrededor de la recta ; donde

, y además para es igual a:

Ejemplo 05.

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la región que está comprendida entre el eje x, las rectas verticales , , y la curva:


Reemplazamos nuestros dados , , , se tiene en nuestro caso que nuestro radios de las cortezas cilíndricas formados ahora son (x-1) y reemplazando en nuestra formula se tiene.

Esta integral puede descomponer en dos integrales, así:

3 33 2

1 1

35 4 334 3 2 2

11

35 4 3 2

1

2 ( ) ( ) 2 5 8 2

5 82 5 8 2 2

5 4 3

29212 75 160 60 .

30 15

x g x f x dx x x x x dx

x x xx x x x dx x

x x x x

32

22 ( 1) 2 2V x x x dx

10


La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la sustitución , por lo cual y, respecto de los límites de integración, si x = 2, entonces

u = 0 y si x = 3, entonces u = 3. Luego.

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS 1

I- Calcúlese el volumen del sólido generado al girar la región dada en torno al eje x1) 2) 3) , x=1 4)

5) 6)

7) 8) 9)

II- Calcúlese el volumen del sólido generado al girar la región dada en torno al eje y

1) 2) 3)

4) 5) 6)

III.- Calcule el volumen engendrado por la función , entre , y Al girar alrededor del eje Al girar alrededor del eje la recta

IV- Calcular el volumen del área plana comprendida entre y engendrado al girar: Alrededor de Alrededor del eje

V. Calcular el volumen engendrado por la revolución alrededor del eje del área plana comprendida

entre , , ,

EJERCICIOS 2I. Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por : ,

, alrededor de:

La recta La recta

II. Calcular el volumen engendrado por la revolución alrededor de la recta del área plana

comprendida entre .

III. Hallar el volumen del sólido generado al rotar y , alrededor de la recta

3 32

2 24 ( 1) 2 ( 1) 2V x dx x x x dx

11


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