guia sesion 13 apa f

PENSAMIENTO LÓGICO 2014 - I

PENSAMIENTO

LÓGICO

Área de Formación General

Guía de

Clase

CICLO 2014

COMPETENCIA INDICADORES Aplica contenidos conceptuales y procedimentales

de la Lógica Matemática para solucionar

problemas de la realidad, de manera acertada,

responsable y proactiva.

Resuelve problemas aplicando funciones cuadráticas

En nuestra vida cotidiana existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse, por ejemplo la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial. Por este motivo, muchos hombres de ciencias han

utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática.

En la actualidad los estudiosos hacen uso de ella para explicar situaciones de economía como por ejemplo saber sobre las ganancias que podrían tener un negocio, o el hecho de minimizar sus costos de producción.

Pero no son los únicos campos estudios donde este tema encuentra aplicaciones, pues puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos.

Todas estas situaciones se representan con la función cuadrática que a continuación veremos.


Función1313131313 Cuadrática

Introducción

I DEFINICIÓN:

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

y = f(x) = ax 2 + bx + c ; con a , b , c lR y a 0

En la expresión anterior:

Ejemplo:

f (x) = 4x2 – 2x + 5

4x2 es el término cuadrático,

– 2x es el término lineal, y

5 es el término independiente

El dominio de la función es lR y su gráfica es una curva llamada

parábola. En su gráfica identificamos los siguientes elementos:


II ASPECTOS IMPORTANTES:

Sea f: A B; f(x) = ax2 + bx + c,

Donde: A y B son subconjuntos de lR; a, b, c lR , y a 0.

2.1. Co ncavi dad

Si a > 0 cóncava hacia arriba.

Si a < 0 cóncava hacia abajo.

2.2. I nt ers ecci o nes c on el eje x

Para encontrar las intersecciones con el eje x debemos resolver f(x) = 0,

es decir, se resuelve: ax2 + bx + c = 0

la cual sabemos que tiene como solución:

x=−b±√b2−4 ac2a

La cantidad de intersecciones depende del valor de discriminante: = b2 − 4ac


Si 0: Corta en dos puntos al eje x : x1=−b+√b2−4 ac

2a

y x2=−b−√b2−4ac

2 a

Si = 0: Corta en un punto al eje x:

x=−b2 a

Si 0: La gráfica de la parábola NO CORTA al eje x

Así, las intersecciones corresponden a (x1, 0) y (x2, 0) ó únicamente (x1, 0)

2.3. I nt ers ecci o nes c on el eje y

Para encontrar la intersección con el eje y basta calcular la imagen de 0, es decir,

f(0). Así, si f(x) = ax2 + bx + c entonces f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c

Siempre es el punto (0, c)

Ejemplo: Grafique f(x) = x2 − 2x − 3

Solución.

1. Como a = 1, sabemos que la parábola es cóncava hacia arriba.

2. La intersección con el eje y

es f(0) = 02 – 2(0) − 3 = -

3

La intersección con el eje y es (0,−3)

3. Para encontrar las intersecciones con el eje x resolvemos f(x) = 0. Podemos verificar que 0, por lo tanto, corta al eje x en dos puntos.

f(x) = 0 x2 − 2x − 3 =

0 (x + 1)(x − 3) =

0

es decir, x = −1 y x = 3.

Luego, las intersecciones con el eje xcorresponden a (−1; 0) y (3; 0).

De aquí podemos ver que la gráfica def(x) = x2 − 2x – 3 corresponde a:


x -1 0 1 2 3 4 5

y -11 -6 -3 -2 -3 -6 -11

2

2.4. Ej e d e Si m etrí a

Es la línea vertical que divide la parábola a la mitad. La ecuación del eje de simetría está dada

por: x=−b2 a

2.5. Vé rtic e

Puede ser un punto máximo (cuando es cóncava hacia abajo) o punto mínimo (cuando es cóncava hacia arriba).

V=(−b2a

; f (−b2 a ))

Toda ecuación cuadrática de coeficientes reales f (x) = ax 2 + bx + c se puede escribir comof (x) = a(x - h) 2 + k; siendo el par (h, k) el vértice de la parábola.

h b2a

; k 4ac b

4ao también k = f(h)

Ejemplo:

Estudia y representa la gráfica de la parábola de ecuación y = -x2 + 4x - 6

1. Como a = -1 a < 0, la parábola está abierta hacia abajo.

2. Calculamos las coordenadas del vértice.

3. Construimos una tabla de valores

Hallando puntos simétricos respecto del eje de simetría.

x=h=−b2a

= −42(−1)

=2


4. El eje de simetría es la recta de ecuaciónx = 2.

5. Hallamos los puntos de corte con los ejes.

6. El punto de corte con el eje Y es

(0, f (0)) = (0, c) = (0, -6).

7. Para hallar los puntos de corte con el Eje X resolvemos la ecuación de segundo grado: -x2 + 4x - 6 = 0

x=−4 ±√42−4(−1)(−6)

2(−1)=

−4 ±√−8−2

La ecuación no posee soluciones reales, por tanto, la gráfica no corta al eje X.

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 1: Grafica la función: f(x) = x2 – 4x + 6

Como a = 1 a > 0

b = -4

c = 6

V = (h, k)

Su gráfica es:

Donde:

h=−b2 a

=−(−4)2(1)

=2

k=f (2 )=(2)2−4 (2 )+6=2

Luego las coordenadas serán: (2;

2) Dom = lR Rango = 2;


Ejemplo 2: Grafica la función: f(x) = -2x2 + 4x + 1

Como a = -2 a < 0

b = 4

c = 1

Hallando V = (h, k)

Su gráfica es:

Donde:

h=−b2 a

=−(4)2(−2)

=1

k=f (1 )=−2 (1 )2+4 (1 )+1

k=3

Luego las coordenadas serán: (1;

3) Dom = lR Rango = -; 3

Ejemplo 3: Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, e indica cuál es el vértice de cada parábola:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

a) y = x2 + 3 b) y = x2 – 4 c) y = 2x2 d) y = 0,5x2


Ejemplo 4: Grafica la función cuadrática

y 2x 2 6x 2 ; para x 1 ; 3.

Determina el dominio y el rango.

Solución:

Los valores de los coeficientes son: a = –2, b = 6 y c = 2

Hallamos el vértice de la parábola:

Reemplazamos en la fórmula

h=−b2 a

= −62(−2)

=32

Hallando el eje de simetría:

x=32 es el eje de simetría es la recta

Hallando los interceptos con los ejes:

Intercepto en “y” es el punto (0; c) que al reemplazar el valor de “c” se obtiene: (0,2).

El intercepto en “x” se obtiene cuando el valor de y es cero (y = 0).

Para hallar los interceptos en “x”, si es que los hay, debemos verificar que:

(6) 2 4(2)(2) 0


eje

de s

imet

ría

x 1 3y 4 2

Como: (6)2 4(2)(2) 52 , eso quiere

decir que sí hay intercepto en el eje “x”.

Hallemos entonces las soluciones de la ecuación

Resolvemos la ecuación con la fórmula: 2x 2 6x 2 0

x=−b±√b2−4 ac2a

x=−(6)±√(6)2−4(−2)(2)

2(−2) x=−6 ± 7,21

−4

Tenemos:

x1 = –0,30

x2 = 3,30

El máximo de la función es 13/2 y el mínimo es 2.

Ob s e r v a c i ón :

Los números que hemos obtenido no pertenecen al dominio de la función.

Es decir: –0,30 1 ; 33,30 1; 3

Entonces NO hay interceptos en “x”

Como el dominio es un subconjunto de R, hallamos los puntos para sus valores

extremos. Utilizamos la tabla de valores:

Dominio y rango de la función:

Del grafico podemos obtener:

D f = 1 ; 3R f = 2 ; 6,5


III. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRATICAS:

Las funciones cuadráticas son de mucha utilidad para resolver los problemas de la vida cotidiana, en especial para maximizar y minimizar situaciones. Esto significa que podemos encontrar el valor máximo o mínimo a partir de las condiciones del problema o situación. Para ello, es necesario utilizar las coordenadas del vértice.

Ejemplo 1.

La altura en metros de un objeto lanzado desde el suelo hacia arriba después de t

segundos está dada por la ecuación: h (t )=16 t (6−t)

a. Calcule el tiempo en que vuelve al suelo.b. Calcule la altura máxima.Resoluci ó n:

1° Si el objeto vuelve al suelo es porque h(t) = 0.

Sustituyendo la ecuación: h (t )=16 t (6−t )=96 t−16 t 2→−16 t2+96 t=0

Resolviendo obtenemos t = 0 y t = 6. Pero t = 0 representa el momento en que fue lanzado el objeto, así que esa no es una solución válida. El objeto vuelve al suelo después de 6 segundos.

2° Para la altura máxima se puede calcular la coordenada en y del vértice de la función:

h (t )=16 t (6−t )=96 t−16 t 2

Se tiene que:a = −16, b = 96, c = 0 = (96)2 − 4(−16)(0) = 9216

V 9216

144

4(-16)

Por lo tanto la altura máxima es 144m.

Ejemplo 2.

El número de personas atacadas cada día por una determinada enfermedad viene dado por la función: f (x) =–x2 + 40x + 84, donde “x” representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad.a) ¿Cuántas personas enferman el quinto día?b) ¿Cuándo deja de crecer la enfermedad?c) ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad?

Resolu ción:

1° La función que representa el número de personas

atacadas cada día por una determinada enfermedad


es: f (x) = –x2 + 40x + 84; el número de personas que enferman el quinto día es:

f (5) = – (5)2 + 40(5) + 84 f (5) = – 25 + 200 + 84 = 259 personas

2° El vértice de la función cuadrática es: V (h; k), siendo “h” el número de días que crece la enfermedad y “k” el número de enfermos que hay hasta dicho tiempo transcurrido. Para averiguar cuando deja de crecer la enfermedad hallamos “h”:

h ( 40)

20 días 2(–1)

3° Para saber el tiempo que durará dicha enfermedad hacemos: f (x) = 0, luego: –x2 + 40x + 84 = 0 x2 – 40x – 84 = 0

(x + 2)(x – 42) = 0 x = 2 x = 42

Rpta: La enfermedad desaparecerá a los 42 días.

Ejemplo 3.

El administrador de un minimarket observa que tiene 200 kg de naranjas que hoy se venderían a 0,40 soles el kilogramo. Cada día que pasa se estropea 1 kg y el precio aumenta en 0,01 soles cada kilogramo. ¿Cuándo se debe de vender las naranjas para obtener el máximo beneficio?¿Cuál será ese beneficio?

Resoluci ó n:Si x es el número de días transcurridos, entonces 200 – x es el nuevo peso de las naranjas que no se estropearon. Además el nuevo precio por kilogramo de naranja sería: 0,40 + 0,01x, con lo que el nuevo Ingreso sería:P(x) =(200-x)(0,40+0,01x), que al efectuarlo sería equivalente a: −0,01 x2+1,6 x+80. Luego:

1° Sea V (h; k) el vértice de la función cuadrática P (x) = – 0,01x2 + 1,6x + 80, donde al aplicar la forma general se tiene que: a = –0,01 b = 1,6

2° Además “h” representa el número de días

transcurridos y “k” es el máximo beneficio

obtenido al vender dichas naranjas, luego:

h=−b2 a

=−(1,6)

2(−0,01)=80 dias

3° El beneficio máximo que se obtiene por la venta de naranjas es:

k = f (80) = –0,01(80)2 + 1,6(80) + 80 = S/.144


PRECIO PESO INGRESO

140,00 1,00 140,00

135,00 1,05 141,75

130,00 1,10 143,00

125,00 1,15 143,75

120,00 1,20 144,00

115,00 1,25 143,75

110,00 1,30 143,00

105,00 1,35 141,75

100,00 1,40 140,00

95,00 1,45 137,75

Ejemplo 4.

Los estudiantes de Turismo y Hotelería plantean realizar una capacitación sobre “Representante comercial de una o muchas firmas que deseen operar en el extranjero y/o en el país”. Para llevar adelante el desarrollo de esta capacitación, determinan que los costos fijos es S/.1 000 y el costo variable que pagará cada participante será S/.50.a) Determine la función costob) Si el ingreso está dado por la función I (x) = -5x2 + 200x + 2000, determine el número de participantes que deberán asistir para maximizar la ganancia. Indicar dicha ganancia.

Resoluci ó n: Sea “x” el número de participantes, por dato se tiene: CF = 1 000 CV = 50xLuego:a) Sabemos que: CT = CF + CV La función costo será:C (x) = 50x + 1 000

b) La función Ingreso está dado por la función: I (x) = -5x2 + 200x + 2000; entonces como: U (x) = I (x) – C (x). Reemplazando se tiene: U (x) = -5x2 + 200x + 2000 – (50x + 1 000) U (x) = -5x2 + 150x + 1 000

Sea (h; k) el vértice de la función cuadrática: U (x) = -5x2 + 150x + 1 000 donde a = -5 b = 200

siendo “h” el número de participantes y “k” la ganancia máxima, luego:

h=−b2 a

=−(150)2(−5)

=15

K = f (15) = -5(15)2 + 150(15) + 1 000 k = S/.2125

Rpta: El número de participantes que deben asistir a dicha capacitación debe ser de 15 para que la ganancia máxima sea de S/.2125.


Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo

RESUMEN

Su gráfica es una parábola

a, b y c R y a ≠ 0

DONDE

Es una expresión de la

forma: f(x)= ax2+bx + c

Función cuadrática

HOJADETRABAJO# 13

I. Grafica las siguientes funciones, indicando el máximo o mínimo según sea el caso:


Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo

Vérticeh=−b

2 a;k=f (h)

a) ) f (x) =x2-3x- 10

b)f (x) = -4x2+ 4x+ 15


c) f (x) =(x+1)(5 -x)

d) f (x) = - x2+9


e) f (x) = 4x2+4x+ 1

f) f (x) = 0,9x2– 3x+2,5


g) f (x) = 4(x+4)(0,6x - 1)

h) f (x) = -(x-2)2–x(1+x) + 5


II. Resuelve las siguientes situaciones problemáticas haciendo uso de las funciones cuadráticas.

El administrador de un equipo profesional de fútbol desea maximizar sus ingresos, para ello modela el ingreso por ventas de boletos mediante la función:

I ( x )=1000 x (23,5−x)¿Cuál es el precio que maximiza el ingreso por la venta de boletos? ¿Cuál es este ingreso máximo?

El costo promedio por unidad (en dólares) para producir x unidades de papel para realizar trabajos de Arquitectura, está dado por la función:

C ( x )=0,0002x2−0,06 x+20 ¿Qué cantidad de

papel se deberá producir para minimizar el costo promedio? ¿Cuál es dicho costo promedio mínimo por unidad?

Un Ingeniero de Sistemas realiza el control de calidad de nuevos cartuchos de tinta para impresora, encontrando que la demanda del mercado de x unidades de cartuchos de tinta al precio de p dólares por unidad está dado por: x+7,5 p=360.¿Qué precio por unidad p maximiza la utilidad, sabiendo que los costos fijos son de $250 y el costo del material con que se fabrica la tinta es de $ 4 por unidad?

Un Ingeniero Civil al inspeccionar el avance del tren eléctrico en la zona de San Juan de Lurigancho, observó desde el piso como un remache salió disparado desde lo alto de la estructura. Si él modeló la altura h (en pies) desde la cual cayó el remache por:

h=1,5+1,8 x−0,015 x2 ,siendo “x” la distancia horizontal (en pies) desde el punto en el que el remache salió disparado. ¿Desde qué altura máxima salió disparado el remache? ¿Qué distancia horizontal recorrió el remache?


Rpta: Rpta:

Rpta:Rpta:

0403

0201

05 Las funciones de Oferta O(p) y Demanda D(p)en dólares, para un producto en miles de unidades son respectivamente:

O ( p )=−20+0,16 p2

D ( p )=−0,8 p+0,12 p2+40Donde “p” representa el precio de venta del producto, en dólares. Determine la cantidad y el precio de equilibrio del mercado.

06Un nutricionista proporciona cierto tipo de vitaminas a un grupo de deportistas que van a participar en los juegos Inter universitarios del presente año. Su concentración t minutos

después en mg/lt es: C (t )= t5000

(300−t );

donde : 0 ≤t ≤ 240. Se desea maximizar

laconcentración, ¿qué tiempo deberá transcurrir desde que la vitamina ingresa a su organismo? ¿Cuál es dicha concentración máxima?

07 Un Ingeniero Industrial analiza y evalúa el proceso de producción de rasuradoras eléctricas, que tienen costos fijos mensuales de S/. 1800 y costo variable por unidad de S/. 12,80. Si el ingreso obtenido por vender x rasuradoras está dado por :

I ( x )=−0,4 x2+84,8x .Halle:

a) El número de rasuradoras eléctricas que deben venderse al mes para maximizar el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo?b) ¿Cuántas rasuradoras eléctricas deben producirse y venderse al mes con tal de obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es esta utilidad máxima?

08 Un estudiante de Enfermería de la Facultad de Ciencias Médicas realiza una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre, en cierto tiempo t en horas. Si la cantidad de azúcar en la sangre está dada por:

A ( x )=−0,1 ( t−1 )2−3,8¿Cuál era la cantidad de azúcar en la sangre al iniciar la prueba? ¿Al cabo de ¾ horas? ¿Y 75 minutos después de iniciada?


Rpta: Rpta:

Rpta:

Rpta:

09 10 Un grupo de estudiantes de la Escuela de Negocios

Internacionales piensan invertir dinero en importaciones de paneles solares que se instalarían en las azoteas de casas residenciales, para extraer energía de los rayos solares. Si la función que modela el consumo de Kilowatt – hora (en millones) está dado por:

S (t )=2,7+15,8 t+0,73 t2 ;0≤t ≤20Si t=0 para inicios del 2 000, ¿cuál fue el consumo de Kilowatt – hora a principios del 2 010? ¿Y a principios del 2015?

11 Charles David Keeling descubrió que el incremento del bióxido de carbono en la atmósfera es la causa más importante del calentamiento global, para ello ideó un modelo matemático que da la cantidad aproximada de CO2 en la atmósfera, medida en volumen de partes por millón (vppm), desde 1958 hasta 2 007 dada por la función:

A (t )=0,010716 t 2+0,8212t +313,4donde : 1≤ t ≤ 50. ¿Cuál fue la cantidad promedio de C02 atmosférico a inicios de 1978 y 2008?

El administrador de un concesionario de automóviles que participará en el EXPOMOTOR 2014 sabe que la utilidad diaria por la venta de cierto modelo de minivan está dada por:

P ( x )=−x2+2x+399, donde x es el número

deminivans vendidas. Determine el número de minivans que hace máxima la utilidad diaria. Diga cuál es esa utilidad.


Un estudiante de la Escuela de Turismo y Hotelería, administra la empresa “Lumix accesorios S.A.C” que fabrica accesorios de iluminación de todo tipo. Si su costo diario de producción está dado por la función:

C ( x )=0,25 (x−20 )2+700, siendo C el costo total en dólares y “x” el número de unidades producidas. Determine cuál debe ser la producción diaria de accesorios por día, para que el costo sea el menor posible. ¿Cuál es dicho costo?

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13 Un grupo de Arquitectos analizan la rentabilidad de un complejo de departamentos económicos como Proyecto Social a presentar en la Municipalidad de San Juan de Lurigancho, el cual consta de 100 departamentos con dos dormitorios. Sabiendo que la utilidad mensual está dada por

P ( x )=−10 x2+1760 x−50000 dólares.

¿Cuántos departamentos se deben rentar para maximizar la utilidad mensual?

¿A cuánto asciende la utilidad mensual?

14 Un administrador del Hotel Costa de Sol desea incrementar sus utilidades, para ello analiza la relación entre la utilidad trimestral del servicio P(x) y la suma del dinero x en publicidad por trimestre:

p ( x )=−0,2 x2+7 x+30,0≤ x≤ 50

Donde tanto x como P(x) están en miles de dólares. Determine la suma de dinero que debe gastar en publicidad por trimestre para maximizar sus utilidades.

15 Una profesora de Educación inicial desea poner a la venta un texto elaborado por ella, de actividades lúdicas para niños de 4 años; y sabe que en este rubro la función demanda para la línea de libros educativos es: p=6−0,003 q ,donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (por día). Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total de la venta de los libros por día y determine su ingreso.

En un estudio contable realizado a un Spa de Miraflores, se estima que el ingreso promedio en miles de soles es de:

I ( x )=−4 x2+8 x+7por atención x en el rubro de teñidos de cabello, al mes expresado en unidades de millar. ¿Cuál debe ser el nivel de atención en este Spa para que el ingreso promedio sea máximo?¿Cuánto sería el ingreso máximo?


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Un ingeniero de sistemas propone a una empresa distribuidora de discos duros, incrementar los ingresos de la venta de discos duros en el mercado, tomando en cuenta la función de la demanda

p=400−q, en donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (semanales). Determine el número de discos duros que debe vender la empresa para maximizar sus ingresos. Halle dicho ingreso.

La comisión medio ambiental de la Municipalidad de San Juan de Lurigancho cuenta con varios viveros a nivel de todo el distrito, y así como se agencia para sembrar sus propios arboles ornamentales, también pone en venta otros. La utilidad diaria de la venta de estos árboles está dada por:

P ( x )=−x2+18 x+144, en donde x es el número de árboles vendidos. Determine la utilidad máxima obtenida ¿Cuántos árboles deberían venderse diario?

19 Un grupo de investigadores efectúa un estudio de los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía un 10% de proteína (levadura y harina de maíz), estimaron que al variar el porcentaje P de levadura en la mezcla de proteína, el peso promedio ganado (en gramos) por una rata en un período fue:

f ( p )=−12

p2+50 p+500 ,0 ≤ p ≤ 100

Encuentre el peso máximo ganado.

20 Un estudiante de Ingeniería Civil realiza un experimento de su proyecto de física. Supone que la altura “s” de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso está

dada por: s(t )=−0,1 t2+1,2 t Donde s(t) está en metros y t es el tiempo

transcurrido en segundos. ¿Al cabo de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima?,¿Cuál es la altura máxima de la pelota?


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17 18

21 Un grupo de estudiantes de Ciencias de la Comunicación adquieren varios equipos celulares de última generación marca SAMSUNG GALAXY NOTE 3, cuya demanda ha sido modelada por la función:

D ( p )=−0,025 p2+1,125 p+56,25 ,donde p es el precio unitario de venta al por mayor en dólares y D(p) la cantidad demandada por mes, medida en millares. ¿Cuál es la cantidad mensual máxima demandada?

22 En una campaña dental “Dientes sanos, dientes fuertes” organizada por estudiantes de Educación Inicial en un pueblo joven de San Juan de Lurigancho, un Odontólogo estudió el efecto de la anestesia bucal (en porcentaje), en niños infantes; luego de t minutos de ser inyectado un fármaco es modelado por la función: A (t )=25 t−1,5625 t2. ¿En qué instante se produce el grado máximo de adormecimiento? ¿Después de cuánto tiempo no hay efecto de la anestesia?

23 Un estudio de Mercado modela el costo de fabricación de un producto por:

C=f ( x )=100 (x2+18 x+48), donde x representa el número de unidades producidas (en miles) y C representa el costo total (en miles de dólares). Si cada unidad de producto se vende en $1 000, formule la función del ingreso total (en miles de dólares) y determine:a) El nivel de producción requerido para lograr el punto de equilibrio del mercado.b) El nivel de producción que da como resultado la utilidad máxima.c) La máxima utilidad esperada.

Un administrador de Negocios Internacionalesmodela el beneficio obtenido en un estudio sobre Rentabilidad de una inversión en publicidad mediante la función:

G ( x )=0,5 x2−4 x+6; siendo “x” la inversión en publicidad, en miles de euros, con

x en el intervalo [ 0,10 ]. ¿Para qué valores

de la inversión la empresa tiene pérdidas? ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?


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24

25 Un estudiante de Ingeniería Ambiental se intoxicó al ingerir accidentalmente un medicamento vencido. Si al realizarse un análisis serológico resultó que su sangre estaba contaminada y se estima que el porcentaje de sangre contaminada “t” horas después de ocurrida la intoxicación ha sido modelada por la

función: P (t )=18 t−t2+6. Si se considera que

el paciente en riesgo vital cuando el porcentaje de sangre contaminada es más de un 62%. ¿En qué intervalo de tiempo ocurre esta situación?

26 En 1975 se hicieron estudios a la población estadounidense sobre el diagnóstico de cáncer a personas mayores de 50 años, el número de sobrevivientes al cáncer (en miles) entre los años 1985 y 2010 ha sido modelado aprox.

por la función: N (t )=0,015 t2+0,8 t +0,36 Si t = 0 correspondiente a la edad de 50 años,

¿A cuántos estadounidenses vivos le diagnosticaron cáncer a los 66 años? ¿A qué edad se diagnosticó cáncer a 28200 personas estadounidenses vivas?

27 Un epidemiólogo observa la variación de temperatura en °C que experimenta cierto cultivo de bacterias y encuentra que es modelado por la

función: T ( x )=1−(x−2)2, siendo x el tiempo

de exposición a fuentes de energía calórica. ¿En qué intervalo de tiempo la temperatura del cultivo se mantiene positiva?¿Después de qué tiempo la temperatura es máxima?

Una empresa quiere construir un área de estacionamiento. Se determinó que dicha área sea rectangular y que uno de los lados del rectángulo sea una de las paredes del edificio. Para los otros lados del rectángulo se dispone de material suficiente para construir una reja de 800 metros.

¿Cuáles es el área máxima que puede tener el rectángulo?


Rpta: Rpta:

Rpta:

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS


30Las funciones de la oferta y la demanda para un producto son respectivamente:

O( x )=x2−400

D ( x )=2600−40 x+ x2

Donde O(x) y D(x) están en dólares. Determinar el precio y la cantidad de equilibrio del mercado.

29Un granjero tiene 240 m de malla para encerrar un área rectangular y dividirla en tres corrales, colocando cercas paralelas a uno de los lados. ¿Cuál es el área máxima posible de los tres corrales?

Rpta:Rpta:

32 Si las plantas de trigo se siembran con una densidad de x plantas por pie2, la producción de trigo ha sido modelada por la función:

P ( x )=10 x (1−0 ,05 x ) bushels por acre.

¿Para qué valor de x , la producción de trigo será máxima?

31 Un Ingeniero Civil estima que la utilidad mensual en la producción y venta de Cementos TLV es:

D ( x )=10000−240 x+0,04 x2. ¿Qué

cantidad de producción mínima le rendirá utilidades?

Rpta:Rpta:

Código de biblioteca

TEXTO

519 A79 Arya J, Lardner R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Prentice Hill.

519 B92 Budnick, F. (2007) Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. (4.a ed.). México: Mc Graw Hill

650.0151H13 Haeussler, E. (2008). Matemáticas para administración y economía. (10.ª ed.) México: Pearson.

519 T16M Soo T., T. (2 011). Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la vida. s.n.


guia sesion 13 apa f

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