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GUA DE SEALES YSISTEMAS

ContenidosArtculosGENERALIADADES 1

Identidad de Euler 1

TIPOS DE SEALES 4Seal analgica 4Seal digital 6Seal de audio 8

SISTEMAS LTI 9Sistema LTI 9Convolucin 11Deconvolucin 16

SERIE DE FOURIER 18Espectro de frecuencias 18Serie de Fourier 20Identidad de Parseval 24Fenmeno de Gibbs 25

TRANSFORMADA DE LAPLACE 27Transformada de Laplace 27Transformada inversa de Laplace 32Transformada de Laplace en circuitos 32

TRANSFORMADA DE FOURIER 36Transformada de Fourier 36

TRANSFORMADA Z 41Transformada Z 41

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA 48Transformada de Fourier discreta 48

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artculo 49

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 50

Licencias de artculosLicencia 51

1

GENERALIADADES

Identidad de EulerSe llama identidad de Euler a un caso especial de la frmula desarrollada por Leonhard Euler, notable porrelacionar cinco nmeros muy utilizados en la historia de las matemticas y que pertenecen a distintas ramas:

donde: (pi) es el nmero ms importante de la geometra e (nmero de Euler o constante de Napier) es el nmero ms importante del anlisis matemtico i (imaginario) es el nmero ms importante del lgebra 0 y 1 son las bases de la aritmtica por ser los elementos neutros respectivamente de la adicin y la multiplicacinEsta identidad se puede emplear para calcular :

Derivacin

Frmula de Euler para un ngulo general.

La identidad es un caso especial de laFrmula de Euler, la cual especifica que

para cualquier nmero real x. (Ntese que los argumentos para las funciones trigonomtricas sen y cos se toman enradianes.) En particular si

entonces

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_pihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_ehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_imaginariohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Elemento_neutrohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Adici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_pihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Euler's_formula.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%B3rmula_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funciones_trigonom%C3%A9tricashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Radianes

Identidad de Euler 2

y ya que

y que

se sigue que

Lo cual implica la identidad

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

en la expansin polinomial de e a la potencia x:

para obtener:

simplificando (usando i2 = -1):

Al separar el lado derecho de la ecuacin en subseries real e imaginarias:Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

Logaritmos de nmeros negativosDurante la historia ha habido disputas sobre cmo calcular los logaritmos de nmeros negativos. Gracias a laidentidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, podemos procederde la siguiente manera:

Sabiendo que :

Identidad de Euler 3

Referencias Crease, Robert P., "The greatest equations ever [1]", PhysicsWeb, October 2004 (registration required). Crease, Robert P. "Equations as icons [2]," PhysicsWeb, March 2007 (registration required). Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New

York: Penguin, 2004). Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949). Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7 Nahin, Paul J., Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills (Princeton University Press, 2006),

ISBN 978-0691118222 Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions). Sandifer, Ed, "Euler's Greatest Hits [3]", MAA Online, February 2007. Jayadev, C, "The Greatest equation ever [4]" Weisstein, Eric W.. Euler Formula [5] (en ingls). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado el

15-05-2009.

Vase tambin Leonhard Euler Frmula de Euler

Referencias[1] http:/ / physicsweb. org/ articles/ world/ 17/ 10/ 2[2] http:/ / physicsweb. org/ articles/ world/ 20/ 3/ 3/ 1[3] http:/ / www. maa. org/ editorial/ euler/ How%20Euler%20Did%20It%2040%20Greatest%20Hits. pdf[4] http:/ / www. dontforgettothink. com/ 2010/ 04/ 18/ the-greatest-equation-ever/[5] http:/ / mathworld. wolfram. com/ EulerFormula. html

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4

TIPOS DE SEALES

Seal analgica

Ejemplo de seal analgica.

Una seal analgica es un tipo de seal generada por algn tipo defenmeno electromagntico y que es representable por una funcinmatemtica continua en la que es variable su amplitud y periodo(representando un dato de informacin) en funcin del tiempo.Algunas magnitudes fsicas comnmente portadoras de una seal deeste tipo son elctricas como la intensidad, la tensin y la potencia,pero tambin pueden ser hidrulicas como la presin, trmicas como latemperatura, mecnicas, etc. La magnitud tambin puede ser cualquierobjeto medible como los beneficios o prdidas de un negocio.

En la naturaleza, el conjunto de seales que percibimos son analgicas,as la luz, el sonido, la energa etc, son seales que tienen una variacin continua. Incluso la descomposicin de laluz en el arcoiris vemos como se realiza de una forma suave y contina.

Una onda senoidal es una seal analgica de una sola frecuencia. Los voltajes de la voz y del video son sealesanalgicas que varan de acuerdo con el sonido o variaciones de la luz que corresponden a la informacin que se esttransmitiendo.

Seal elctrica analgicaSeal elctrica analgica es aquella en la que los valores de la tensin o voltaje varan constantemente en forma decorriente alterna, incrementando su valor con signo elctrico positivo (+) durante medio ciclo y disminuyndolo acontinuacin con signo elctrico negativo () en el medio ciclo siguiente.El cambio constante de polaridad de positivo a negativo provoca que se cree un trazado en forma de onda senoidal.

Seal Digital como una seal Analgica CompuestaBasndose en el anlisis de Fourier, una seal digital es una seal analgica compuesta. El ancho de banda esinfinito, como se podra intuir. Se puede llegar a este concepto si se estudia una seal digital. Una seal digital, en eldominio del tiempo, incluye segmentos horizontales y verticales conectados. Una lnea vertical en el dominio detiempo significa una frecuencia infinita. Mientras que el tramo horizontal representa una frecuencia cero. Ir de unafrecuencia cero a una frecuencia infinito (y viceversa) implica que todas las frecuencias en medio son parte deldominio. El anlisis de Fourier se puede usar para descomponer una seal. Si la seal digital es peridica, lo que esraro en comunicaciones, la seal descompuesta tiene una representacin en el dominio de frecuencia con un ancho debanda infinito y frecuencias discretas. Si la seal digital es aperidica, la seal descompuesta todava tiene un anchode banda infinito, pero las frecuencias son continuas.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Seal_Continua.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Se%C3%B1alhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Electromagnetismohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Continuidad_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Continuidad_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Amplitud_%28f%C3%ADsica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Per%C3%ADodo_de_oscilaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Magnitudes_f%C3%ADsicashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Magnitudhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Naturalezahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Luzhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sonidohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Energ%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Luzhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ondahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Frecuenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Voz_%28fonolog%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Videohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sonidohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Luzhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Voltajehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Corriente_alternahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Polaridadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Onda

Seal analgica 5

Desventajas en trminos electrnicos

Ejemplo de ruido en seal analgica.

Las seales de cualquier circuito o comunicacin electrnica sonsusceptibles de ser modificadas de forma no deseada de diversasmaneras mediante el ruido, lo que ocurre siempre en mayor o menormedida. Para solucionar esto la seal suele ser acondicionada antes deser procesada.

La gran desventaja respecto a las seales digitales es que en las sealesanalgicas cualquier variacin en la informacin es de difcilrecuperacin, y esta prdida afecta en gran medida al correctofuncionamiento y rendimiento del dispositivo analgico. Un sistema de control (ya pueda ser un ordenador, etc.) notiene capacidad alguna para trabajar con seales analgicas, de modo que necesita convertirlas en seales digitalespara poder trabajar con ellas. (Vase Conversin analgica-digital)

Ejemplo de un sistema analgicoUn ejemplo de sistema electrnico analgico es el altavoz, que se emplea para amplificar el sonido de forma que stesea odo por una gran audiencia. Las ondas de sonido que son analgicas en su origen, son capturadas por unmicrfono y convertidas en una pequea variacin analgica de tensin denominada seal de audio. Esta tensinvara de manera continua a medida que cambia el volumen y la frecuencia del sonido y se aplica a la entrada de unamplificador lineal. La salida del amplificador, que es la tensin de entrada amplificada, se introduce en el altavoz.ste convierte, de nuevo, la seal de audio amplificada en ondas sonoras con un volumen mucho mayor que elsonido original captado por el micrfono.

Ejemplos de aquellos sistemas analgicos que ahora se han vuelto digitalesFotografas: La mayora de las cmaras todava hacen uso de pelculas que tienen un recubrimiento de haluros deplata para grabar imgenes. Sin embargo, el incremento en la densidad de los microcircuitos o "chips" de memoriadigital ha permitido el desarrollo de cmaras digitales que graban una imagen como una matriz de 640 x 480, oincluso arreglos ms extensos de pixeles donde cada pixel almacena las intensidades de sus componentes de colorrojo, verde y azul de 8 bits cada uno. Esta gran cantidad de datos, alrededor de siete millones de bits en este ejemplopuede ser procesada y comprimida en un formato denominado JPEG y reducirse a un tamao tan pequeo como elequivalente al 5% del tamao original de almacenamiento dependiendo de la cantidad de detalle de la imagen. Deeste modo las cmaras digitales dependen tanto del almacenamiento como del procesamiento digital.Grabaciones de video: Un disco verstil digital de mltiples usos (DVD por las siglas de digital versatile disc)almacena video en un formato digital altamente comprimido denominado MPEG-2. Este estndar codifica unapequea fraccin de los cuadros individuales de video en un formato comprimido semejante al JPEG y codifica cadauno de los otros cuadros como la diferencia entre ste y el anterior. La capacidad de un DVD de una sola capa y unsolo lado es de aproximadamente 35 mil millones de bits suficiente para grabar casi 2 horas de video de alta calidady un disco de doble capa y doble lado tiene cuatro veces esta capacidad.Grabaciones de audio: Alguna vez se fabricaron exclusivamente mediante la impresin de formas de onda analgicassobre cinta magntica o un acetato (LP), las grabaciones de audio utilizan en la actualidad de manera ordinaria discoscompactos digitales (CD. Compact Discs). Un CD almacena la msica como una serie de nmeros de 16 bits quecorresponden a muestras de la forma de onda analgica original se realiza una muestra por canal estereofnico cada22.7 microsegundos. Una grabacin en CD a toda su capacidad (73 minutos) contiene hasta seis mil millones de bitsde informacin.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Imagen_3.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruido_%28f%C3%ADsica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conversi%C3%B3n_anal%C3%B3gica-digitalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sonidohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sonidohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Audiohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Volumenhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Frecuenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sonidohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Linealhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=JPEGhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Videohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Digitalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=DVDhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=MPEG-2http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Videohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Doble_capahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Audiohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=LPhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Disco_compactohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Bits

Seal analgica 6

Sistemas que utilizan mtodos digitales y analgicosExisten sistemas que utilizan mtodos digitales y analgicos, uno de ellos es el reproductor de disco compacto (CD).La msica en forma digital se almacena en el CD. Un sistema ptico de diodos lser lee los datos digitales del discocuando ste gira y los transfiere al convertidor digital-analgico (DAC).El DAC transforma los datos digitales en una seal analgica que es la reproduccin elctrica de la msica original.Esta seal se amplifica y se enva al altavoz. Cuando la msica se grab en el CD se utiliz un proceso que,esencialmente, era el inverso al descrito, y que utiliza un convertidor analgico digital (ADC, analog-to-digitalconverter).

Vase tambin PAL NTSC SECAM Electrnica analgica Modulacin de seales en telecomunicaciones Conversin analgica-digital Conversin digital-analgico Ordenador analgico Seal digital

Seal digitalLa seal digital es un tipo de seal generada por algn tipo de fenmeno electromagntico en que cada signo quecodifica el contenido de la misma puede ser analizado en trmino de algunas magnitudes que representan valoresdiscretos, en lugar de valores dentro de un cierto rango. Por ejemplo, el interruptor de la luz slo puede tomar dosvalores o estados: abierto o cerrado, o la misma lmpara: encendida o apagada (vase circuito de conmutacin). Estono significa que la seal fsicamente sea discreta ya que los campos electromagnticos suelen ser continuos, sino queen general existe una forma de discretizarla unvocamente.Los sistemas digitales, como por ejemplo el ordenador, usan lgica de dos estados representados por dos niveles detensin elctrica, uno alto, H y otro bajo, L (de High y Low, respectivamente, en ingls). Por abstraccin, dichosestados se sustituyen por ceros y unos, lo que facilita la aplicacin de la lgica y la aritmtica binaria. Si el nivel altose representa por 1 y el bajo por 0, se habla de lgica positiva y en caso contrario de lgica negativa.Cabe mencionar que, adems de los niveles, en una seal digital estn las transiciones de alto a bajo y de bajo a alto,denominadas flanco de bajada y de subida, respectivamente. En la figura se muestra una seal digital donde seidentifican los niveles y los flancos.

Seal digital: 1) Nivel bajo, 2) Nivel alto, 3)Flanco de subida y 4) Flanco de bajada.

Es conveniente aclarar que, a pesar de que en los ejemplos sealados eltrmino digital se ha relacionado siempre con dispositivos binarios, nosignifica que digital y binario sean trminos intercambiables. Porejemplo, si nos fijamos en el cdigo Morse, veremos que en l seutilizan, para el envo de mensajes por telgrafo elctrico, cincoestados digitales, que son:

punto, raya, espacio corto (entre letras), espacio medio (entrepalabras) y espacio largo (entre frases)

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%BAsicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Digitalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Disco_compactohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Diodoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%A1serhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Se%C3%B1alhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%BAsicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%BAsicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Disco_compactohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=PALhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=NTSChttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=SECAMhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Electr%C3%B3nica_anal%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Modulaci%C3%B3n_%28telecomunicaci%C3%B3n%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conversi%C3%B3n_anal%C3%B3gica-digitalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conversi%C3%B3n_digital-anal%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ordenador_anal%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Se%C3%B1alhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Electromagnetismohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Discretohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Circuito_de_conmutaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_digitaleshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ordenadorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tensi%C3%B3n_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_binariahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritm%C3%A9tica_binariahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Flancohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:S_digital.PNGhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%B3digo_Morsehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tel%C3%A9grafo_el%C3%A9ctrico

Seal digital 7

Seal digital con ruido

Referido a un aparato o instrumento de medida, decimos que es digitalcuando el resultado de la medida se representa en un visualizadormediante nmeros (dgitos) en lugar de hacerlo mediante la posicin deuna aguja, o cualquier otro indicador, en una escala.

Ventajas de las seales digitales

1. Ante la atenuacin, puede ser amplificada y reconstruida al mismotiempo, gracias a los sistemas de regeneracin de seales.

2. Cuenta con sistemas de deteccin y correccin de errores, en la recepcin.3. Facilidad para el procesamiento de la seal. Cualquier operacin es fcilmente realizable a travs de cualquier

software de edicin o procesamiento de seal.4. Permite la generacin infinita sin prdidas de calidad. Esta ventaja slo es aplicable a los formatos de disco

ptico; la cinta magntica digital, aunque en menor medida que la analgica (que slo soporta como mucho 4 o 5generaciones), tambin va perdiendo informacin con la multigeneracin.

5. Las seales digitales se ven menos afectadas a causa del ruido ambiental en comparacin con las sealesanalgicas.

Inconvenientes de las seales digitales1. Necesita una conversin analgica-digital previa y una decodificacin posterior en el momento de la recepcin.2. Requiere una sincronizacin precisa entre los tiempos del reloj del transmisor con respecto a los del receptor.3. Prdida de calidad del muestreo.4. La seal digital requiere mayor ancho de banda que la seal analgica para ser transmitida.5. Respecto al instrumental de vdeo y sonido, las maquinas digitales muestran una calidad inferior a las analgicas.

Vase tambin ATSC DVB ISDB DTMB Electrnica digital Televisin digital Procesamiento digital de seales Modulacin de seales en telecomunicaciones Seal analgica Conversin analgica-digital

Enlaces externos Definicin de seales digitales y ejemplos [1]

Referencias[1] http:/ / www. scribd. com/ doc/ 2540938/ Tratamiento-De-Senales-Digitales

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Seal de audio 8

Seal de audioUna seal de audio es una seal analgica elctricamente exacta a una seal sonora; normalmente est acotada alrango de frecuencias audibles por los seres humanos que est entre los 20 y los 20.000 Hz, aproximadamente (elequivalente, casi exacto a 10 octavas).Dado que el sonido es una onda de presin se requiere un transductor de presin (un micrfono) que convierte lasondas de presin de aire (ondas sonoras) en seales elctricas (seales analgicas).La conversin contraria se realiza mediante un altavoz tambin llamado altoparlante en algunos paseslatinoamericanos, por traduccin directa del ingls loudspeaker, que convierte las seales elctricas en ondas depresin de aire.Un slo micrfono puede captar adecuadamente todo el rango audible de frecuencias, en cambio para reproducirfidedignamente ese mismo rango de frecuencias suelen requerirse dos altavoces (de agudos y graves) o ms.Una seal de audio se puede caracterizar, someramente, por su dinmica (valor de pico, rango dinmico, potencia,relacin seal-ruido) o por su composicin espectral (ancho de banda, frecuencia fundamental, armnicos, distorsinarmnica, etc.).As, por ejemplo, una seal que represente voz humana (seal vocal) no suele tener informacin relevante ms allde los 10 kHz, y de hecho en telefona fija se toman slo los primeros 3.8 kHz. Con 2 kHz basta para que la voz seacomprensible, pero no para reconocer al hablante.

Vase tambin Audio digital. Ingeniera de audio. Lnea de audio. Nivel de lnea. Historia del registro del sonido. Seal de voz.

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9

SISTEMAS LTI

Sistema LTIEn procesamiento de seales, un sistema LTI (Linear Time-Invariant) o sistema lineal e invariante en el tiempo, esaquel que, como su propio nombre indica, cumple las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo.Sistema Lineal Un sistema es lineal si satisface el principio de superposicin, que engloba las propiedades deescalado (homogeneidad) y aditividad.Si y1(t), y2(t), ... yn(t) son las salidas del sistema para las entradas x1(t), x2(t), ... xn(t)y a1, a2, ... an son constantescomplejas, el sistema es lineal si:

a1x1(t) + a2x2(t) + ... + anxn(t) a1y1(t) + a2y2(t) + ... + anyn(t)

En un sistema lineal, si la entrada es nula, la salida tambin ha de serlo.Un sistema incrementalmente lineal es aquel que, sin verificar la ltima condicin, responde linealmente a loscambios en la entrada.

y(t) = 2x(t) + 2 no es lineal puesto que y(t) 0 para x(t) = 0, pero s es incrementalmente lineal.

Representacin de un sistema incrementalmente lineal utilizando un sistema lineal.[1]Sistema Invariante. Un sistema es invariante con el tiempo si su comportamiento y sus caractersticas son fijas.Un sistema es invariante con el tiempo si un desplazamiento temporal en la entrada x(t-t0) ocasiona undesplazamiento temporal en la salida y(t-t0).

si x(t) y(t), entonces x(t - t0) y(t - t0) sistema invariante

[2]Que un sistema sea lineal (L) significa que cuando la entrada de un sistema es escalada por un valor, la salida delsistema tambin es escalada por la misma cantidad. Por otro lado, un sistema lineal tambin obedece el principio desuperposicin. Esto significa que si dos entradas son sumadas juntas y pasadas a travs del sistema lineal, la salidaser equivalente a la suma de las dos entradas evaluadas individualmente.[3] [4]Principio de Superposicin con Escalado Lineal

[5]A su vez, que un sistema sea invariante en el tiempo (TI) significa que los parmetros del sistema no vancambiando a travs del tiempo y que por lo tanto, una misma entrada nos dar el mismo resultado en cualquiermomento (ya sea ahora o despus).[6] [7]Sistemas LTI

[8] [9]Principio de Superposicin con LTI

[10]

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Procesamiento_de_se%C3%B1aleshttp://img339.imageshack.us/img339/7300/sistemalineal.jpghttp://img248.imageshack.us/img248/2751/sistemainvariante.jpghttp://img146.imageshack.us/img146/8959/xlyjz8.pnghttp://img181.imageshack.us/img181/1725/axlayqq0.pnghttp://img237.imageshack.us/img237/994/ax1bx2lay1by2cn6.pnghttp://img237.imageshack.us/img237/2858/xttiytya9.pnghttp://img237.imageshack.us/img237/76/xttotiyttond9.pnghttp://img132.imageshack.us/img132/4809/xtltiytym3.pnghttp://img353.imageshack.us/img353/4081/axttoltiayttoqw3.pnghttp://img149.imageshack.us/img149/3784/superltiog7.png

Sistema LTI 10

Una caracterstica muy importante y til de este tipo de sistemas reside en que se puede calcular la salida del mismoante cualquier seal mediante la convolucin, es decir, descomponiendo la entrada en un tren de impulsos que sernmultiplicados por la respuesta al impulso del sistema y sumados.

Sistemas LTI en Series/Paralelo SERIE: Si dos o ms sistemas estn en serie uno con otro, el orden puede ser intercambiado sin que se vea

afectada la salida del sistema. Los sistemas en serie tambin son llamados como sistemas en cascada. Un sistemaequivalente es aquel que est definido como la convolucin de los sistemas individuales.

Esquema sencillo Sistema LTI Serie [11]

PARALELO: Si dos o ms sistemas LTI estn en paralelo con otro, un sistema equivalente es aquel que estdefinido como la suma de estos sistemas individuales.

Esquema sencillo Sistema LTI Paralelo [12]

Vase tambin Convolucin

Referencias[1] http:/ / img339. imageshack. us/ img339/ 7300/ sistemalineal. jpg[2] http:/ / img248. imageshack. us/ img248/ 2751/ sistemainvariante. jpg[3] http:/ / img146. imageshack. us/ img146/ 8959/ xlyjz8. png[4] http:/ / img181. imageshack. us/ img181/ 1725/ axlayqq0. png[5] http:/ / img237. imageshack. us/ img237/ 994/ ax1bx2lay1by2cn6. png[6] http:/ / img237. imageshack. us/ img237/ 2858/ xttiytya9. png[7] http:/ / img237. imageshack. us/ img237/ 76/ xttotiyttond9. png[8] http:/ / img132. imageshack. us/ img132/ 4809/ xtltiytym3. png[9] http:/ / img353. imageshack. us/ img353/ 4081/ axttoltiayttoqw3. png[10] http:/ / img149. imageshack. us/ img149/ 3784/ superltiog7. png[11] http:/ / cnx. org/ content/ m12826/ latest/ cascade. png[12] http:/ / cnx. org/ content/ m12826/ latest/ parallelsystem. png

http://cnx.org/content/m12826/latest/cascade.pnghttp://cnx.org/content/m12826/latest/parallelsystem.pnghttp://img339.imageshack.us/img339/7300/sistemalineal.jpghttp://img248.imageshack.us/img248/2751/sistemainvariante.jpghttp://img146.imageshack.us/img146/8959/xlyjz8.pnghttp://img181.imageshack.us/img181/1725/axlayqq0.pnghttp://img237.imageshack.us/img237/994/ax1bx2lay1by2cn6.pnghttp://img237.imageshack.us/img237/2858/xttiytya9.pnghttp://img237.imageshack.us/img237/76/xttotiyttond9.pnghttp://img132.imageshack.us/img132/4809/xtltiytym3.pnghttp://img353.imageshack.us/img353/4081/axttoltiayttoqw3.pnghttp://img149.imageshack.us/img149/3784/superltiog7.pnghttp://cnx.org/content/m12826/latest/cascade.pnghttp://cnx.org/content/m12826/latest/parallelsystem.png

Convolucin 11

Convolucin

Convolucin en un dispositivo ptico (microscopio de fluorescencia,corte longitudinal de una imagen 3D).

Convolucin de dos Pulsos Cuadrados (La funcin resultante termina siendo unPulso Triangular).

En matemticas y, en particular, anlisisfuncional, una convolucin es un operadormatemtico que transforma dos funciones fy g en una tercera funcin que en ciertosentido representa la magnitud en la que sesuperponen f y una versin trasladada einvertida de g. Una convolucin es un tipomuy general de promedio mvil, como sepuede observar si una de las funciones latomamos como la funcin caracterstica deun intervalo.

Definicin

La convolucin de y se denota. Se define como la integral del

producto de ambas funciones despus dedesplazar una de ellas una distancia .

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Convolution_Illustrated.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Convolucion_Funcion_Pi.gifhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_funcionalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_funcionalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operadorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Promedio_m%C3%B3vilhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_caracter%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Intervalo_%28matem%C3%A1ticas%29

Convolucin 12

Convolucin de un Pulso Cuadrado (como seal de entrada) con larespuesta al impulso de un condensador para obtener la seal de

salida (respuesta del condensador a dicha seal).

El rango de integracin depender del dominio sobre el que estn definidas las funciones. En el caso de un rango de integracin finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, peridicamente en ambas direcciones, tal que el trmino g(t-) no implique una violacin en el rango. Cuando usamos estos dominios peridicos la convolucin a

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Convolucion_de_entrada_con_respuesta_al_impulso.gifhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Convolution3.PNGhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dominio_de_definici%C3%B3n

Convolucin 13

veces se llama cclica. Desde luego que tambin es posible extender con ceros los dominios. El nombre usadocuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolucin lineal,especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo.Si e son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g,respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendr dada por la convolucin f * g.Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolucin. Esto es:

Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes del producto estn dados por la convolucin de lassucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aqu (usando extensiones con ceros como hemosmencionado).Generalizando los casos anteriores, la convolucin puede ser definida para cualesquiera dos funcionescuadrado-integrables definidas sobre un grupo topolgico localmente compacto. Una generalizacin diferente es laconvolucin de distribuciones.

UsoLa convolucin y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniera y matemticas. En estadstica, como un promedio mvil ponderado. En teora de la probabilidad, la distribucin de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes

es la convolucin de cada una de sus distribuciones de probabilidad. En ptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa

cuando tenemos la mano entre sta y la fuente de luz) es la convolucin de la forma de la fuente de luz que crea lasombra y del objeto cuya sombra se est proyectando. Una fotografa desenfocada es la convolucin de la imagencorrecta con el crculo borroso formado por el diafragma del iris.

En acstica, un eco es la convolucin del sonido original con una funcin que represente los objetos variados quelo reflejan.

En ingeniera elctrica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante oespacio-invariante) es la convolucin de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).

En fsica, all donde haya un sistema lineal con un "principio de superposicin", aparece una operacin deconvolucin.

Tipos de ConvolucinConvolucion Discreta

Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de seal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicandoestrictamente la definicin ya que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues,una aproximacin numrica. Para realizar la convolucin entre dos seales, se evaluar el rea de la funcin :

. Para ello, disponemos de muestreos de ambas seales en los instantes de tiempo , quellamaremos y (donde n y k son enteros).El rea es, por tanto,La convolucin discreta se determina por un intervalo de muestreo :

Convolucin Circular

Cuando una funcin gT es peridica, con un periodo de T, entonces las funciones, f, tales como f*gT existentes, suconvolucin es tambin peridica i igual a:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Independencia_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_densidad_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomiohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuadrado-integrablehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupos_topol%C3%B3gicoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Compacidad_localhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribuci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_la_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Variables_aleatoriashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Independencia_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%93pticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Formahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ac%C3%BAsticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_linealhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Invariantehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_linealhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Principio_de_superposici%C3%B3n

Convolucin 14

Donde se escoge arbitrariamente. La suma es llamada como una extensin periodica de la funcin f.Si gT es una extensin periodica de otra funcin, g, entonces f*gT se sabe que es circular, cclica, o periodica de unaconvolucin de f i g.Mtodo para calcular la convolucin circular:Tenemos 2 circulos, uno exterior y otro interior. Vamos girando el crculo interior i sumando sus valores. Si los doscrculos tienen diferentes tamaos, entonces el ms pequeo le aadimos "0" al inicio, al final o al inicio y final.[L >= L1 + L2-1]

PropiedadesLas propiedades de los diferentes operadores de convolucin son 12

Conmutatividad

Nota: esta propiedad se puede perder si no se pide que "demos la vuelta" a una funcin.f1(t)*(f2(t)*f3(t))=(f1(t)*f2(t))*f3(t)

Asociatividad

Distributividad

Asociatividad con multiplicacin escalar

para todo nmero complejo o real .

Regla de derivacin

donde Df denota la derivada de f o, en el caso discreto, el operador diferencia

.

Teorema de convolucin

donde denota la Transformada de Fourier de f. Este teorema tambin se cumple con la Transformada de Laplace.

Matriz de convolucinA veces es til ver a la convolucin como un producto matricial, sea una funcin discreta de elementos, sea

un sistema discreto de elementos y sea la respuesta a la convolucin de elementos,entonces se puede expresar por el siguiente producto matricial.Ejemplo:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conmutatividadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Asociatividadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Propiedad_distributivahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivadahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_convoluci%C3%B3n

Convolucin 15

Sea [4 5 1 7] y sea [1 2 3 1]

entonces la matriz de convolucin ser

Podemos observar como se aaden ceros a ambos lados. Esto se hace para poder igualar y as poder hacer laconvolucin. Esta tcnica es conocida como zero-padding.

Zero PaddingConsiste en aadir 0 en una convolucin o en el espectro de una seal, en este ltimo caso aumentamos el dominiofrecuencial de la seal pero no se mejora la resolucin.

Convoluciones de gruposSi G es. cierto grupo dotado de una medida m (por ejemplo, un grupo topolgico localmente compacto Hausdorffcon la Medida de Haar) y si f y g son funciones real -o complejo- valuadas y m-integrables de G, entonces podemosdefinir su convolucin como

En este caso tambin es posible dar, por ejemplo, un teorema de convolucin, que sin embargo es mucho ms difcilde presentar y que requiere de la teora de la representacin para estos tipos de grupos as como el Teorema dePeter-Weyl del Anlisis armnico. Es muy difcil hacer dichos clculos sin ms estructura, y los grupos de Lie sonlos marcos donde se deben hacer las cosas.

Convoluciones con deltas de Dirac

Vase tambin Deconvolucin

Enlaces externos Informacin sobre zero-padding. [1]

Ejemplos de convolucin. [2]

Referencias[1] http:/ / books. w3k. org/ html/ mdft/ Zero_Padding. html[2] http:/ / www. cidse. itcr. ac. cr/ cursos-linea/ EcuacionesDiferenciales/ EDO-Geo/ edo-cap5-geo/ laplace/ node7. html

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Deconvolucin 16

DeconvolucinLa deconvolucin se refiere a las operaciones matemticas empleadas en restauracin de seales para recuperardatos que han sido degradados por un proceso fsico que puede describirse mediante la operacin inversa a unaconvolucin. Desarrollada por la necesidad de conocer qu es lo que ocurre en un sistema, por vez primera se veplasmada en el anlisis de medidas ssmicas, y encuentra en la actualidad una amplia aplicacin en muchos otroscampos, tales como el control automtico, el filtrado digital de sistemas, los sistemas computacionales a prueba defallos, etc.

Aplicaciones de la deconvolucin

Control AutomticoLa excitacin que se brinda a un sistema, permitir dar una respuesta de ste en un intervalo de tiempo adyacente alde la excitacin, ya que sufre un pequeo retardo, al ser procesada y en la mayora de los casos, transformada deacuerdo a las operaciones que el sistema requiera hacer. El proceso para conocer cmo opera el sistema dada lasseales de entrada y salida, se le conoce, como deconvolucin; descrito en muchos casos como la funcin detransferencia.

pticaEn dispositivos pticos 2D (como los telescopios) o 3D (como los microscopios confocales de fluorescencia) laconvolucin modeliza matemticamente el proceso de formacin de una imagen que sufre degradacin pordesenfoque y ruido. El desenfoque aparece inevitablemente en el lmite de resolucin del dispositivo debido a ladifraccin en las lentes. El ruido es cuando menos ruido fotnico, un trmino que se refiere a las variaciones de flujoinherentes a las propiedades estadsticas de los fotones. Puede haber otros ruidos superpuestos, pero este esinevitable, sobre todo en los lmites de baja intensidad.La formacin de la imagen se puede describir mediante la convolucin de la seal original con la funcin dedispersin del punto (PSF). Esta funcin no es ms que la imagen de un objeto luminoso puntual tal y como seregistrara en el dispositivo que, si bien resulta difcil de adquirir, se puede conseguir mediante procedimientos decalibrado o calcular tericamente.En sistemas incoherentes como estos dispositivos (en los que la luz de distintas fuentes no genera interferencias), elproceso de formacin de la imagen es lineal, y se puede describir mediante teora de sistemas lineales. Esto significaque cuando las imgenes de dos objetos A y B se registran simultneamente, el resultado es equivalente a la suma desus imgenes registradas independientemente. En otras palabras: la imagen de A no se ve afectada por la de B, yviceversa.Debido a esta propiedad de linealidad la imagen de cualquier objeto complejo se puede "calcular" cortando el objetoen partes pequeas, registrando sus imgenes independientemente, y despus sumando todos los resultados. Cuandose divide el objeto en partes extremadamente minsculas, en partculas puntuales de diferentes intensidades, laimagen se puede concebir como la suma de muchas PSF, cada una situada en la posicin de cada partcula original yajustada su intensidad de acuerdo con la del punto correspodiente.Resumiendo: la formacin de la imagen en un dispositivo ptico queda descrita por completo mediante su PSF.Podemos por lo tanto imaginar que la imagen se forma en el microscopio o en el telescopio reemplazando cadafuente de luz puntual (o al menos de tamao menor que la resolucin del aparato) por su PSF, multiplicada por laintensidad correspondiente. Este proceso se describe matemticamente con una ecuacin de convolucin:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sismolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Control_autom%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Filtrado_digital_de_sistemashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_computacionales_a_prueba_de_falloshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_computacionales_a_prueba_de_falloshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Control_Autom%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Telescopiohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Microscopio_confocalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Difracci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruido_fot%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Fot%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_dispersi%C3%B3n_del_puntohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_dispersi%C3%B3n_del_puntohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Lineal

Deconvolucin 17

donde la imagen surge de la convolucin de las fuentes reales de luz (el objeto) y la PSF . El operador deconvolucin implica una integral en todo el espacio:

Se puede interpretar esta ecuacin como sigue: la imagen registrada se compone de vxeles (en el casogeneral tridimensional) o de pxeles (en el caso 2D de la imagen de un telescopio) situados en diversas coordenadas

. La intensidad registrada en cada vxel se debe a las distintas contribuciones de todos los puntosluminosos del objeto , estando ponderadas sus intensidades por la PSF en funcin de la distancia al puntoconsiderado. Cuanto ms lejos est la fuente luminosa, menor ser su contribucin a la intensidad registradalocalmente.En la realidad la situacin es algo ms compleja: si tenemos en cuenta el ruido, la formacin de la imagen se expresamediante

en donde es el ruido que se introduce en la imagen registrada.Si la convolucin implica reemplazar cada fuente luminosa puntual original por su correspondiente PSF paraproducir una imagen borrosa, el proceso de restauracin sigue el camino inverso, recolectando toda la luz dispersa yponindola en su sitio original de nuevo. Esto produce una mejor representacin del objeto real, ms clara a nuestrosojos.En trminos matemticos, la deconvolucin es simplemente la resolucin de la ecuacin de convolucin anterior,donde conocidas la imagen convolucionada y la PSF , ms un modelo fsico del ruido , se obtendra ladistribucin de luz original . Pero la resolucin de esta ecuacin puede ser un complejo problema inverso en laprctica, debido a una dificultosa estimacin de la PSF o a los efectos del ruido. Para ello se suelen emplearalgoritmos iterativos, como el de estimacin de mxima verosimilitud en microscopa, o la deconvolucin ciega enastronoma, que sucesivamente van mejorando una estimacin inicial del objeto real hasta alcanzar cierto criterio decalidad preestablecido.

Vase tambin Convolucin

Enlaces externos Convolucin ilustrada [1]

Unshake, programa de deconvolucin escrito en Java para imgenes terrestres (gratuito). [2]

Informacin sobre Deconvolucin. [3]

Referencias[1] http:/ / support. svi. nl/ wiki/ DeConvolucion[2] http:/ / www. hamangia. freeserve. co. uk/[3] http:/ / www. svi. nl/ support/ wiki/ DeconvolucionHuygens

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=V%C3%B3xelhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=P%C3%ADxelhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_inversohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estimaci%C3%B3n_de_m%C3%A1xima_verosimilitudhttp://support.svi.nl/wiki/DeConvolucionhttp://www.hamangia.freeserve.co.uk/http://www.svi.nl/support/wiki/DeconvolucionHuygenshttp://support.svi.nl/wiki/DeConvolucionhttp://www.hamangia.freeserve.co.uk/http://www.svi.nl/support/wiki/DeconvolucionHuygens

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SERIE DE FOURIER

Espectro de frecuencias

Espectro de frecuencias de la luz emitida por tomos de hierro libres en la regin visibledel espectro electromagntico.

El espectro de frecuencia de unfenmeno ondulatorio (sonoro,luminoso o electromagntico),superposicin de ondas de variasfrecuencias, es una medida de ladistribucin de amplitudes de cadafrecuencia. Tambin se llama espectro de frecuencia al grfico de intensidad frente a frecuencia de una ondaparticular.

El espectro de frecuencias o descomposicin espectral de frecuencias puede aplicarse a cualquier concepto asociadocon frecuencia o movimientos ondulatorios como son los colores, las notas musicales, las ondas electromagnticasde radio o TV e incluso la rotacin regular de la tierra.

Espectro luminoso, sonoro y electromagnticoUna fuente de luz puede tener muchos colores mezclados en diferentes cantidades (intensidades). Un arcoiris, o unprisma transparente, deflecta cada fotn segn su frecuencia en un ngulo ligeramente diferente. Eso nos permite vercada componente de la luz inicial por separado. Un grfico de la intensidad de cada color deflactado por un prismaque muestre la cantidad de cada color es el espectro de frecuencia de la luz o espectro luminoso. Cuando todas lasfrecuencias visibles estn presentes por igual, el efecto es el "color" blanco, y el espectro de frecuencias es uniforme,lo que se representa por una lnea plana. De hecho cualquier espectro de frecuencia que consista en una lnea planase llama blanco de ah que hablemos no solo de "color blanco" sino tambin de "ruido blanco".De manera similar, una fuente de ondas sonoras puede ser una superposicin de frecuencias diferentes. Cadafrecuencia estimula una parte diferente de nuestra cclea (caracol del odo). Cuando escuchamos una onda sonoracon una sola frecuencia predominante escuhamos una nota. Pero en cambio un silbido cualquiera o un golperepentino que estimule todos los receptores, diremos que contiene frecuencias dentro de todo el rango audible.Muchas cosas en nuestro entorno que calificamos como ruido frecuentemente contienen frecuencias de todo el rangoaudible. As cuando un espectro de frecuencia de un sonido, o espectro sonoro. Cuando este espectro viene dada poruna lnea plana, decimos que el sonido asociado es ruido blanco.Cada estacin emisora de radio o TV es una fuente de ondas electromagnticas que emite ondas cercanas a unafrecuencia dada. En general las frecuencias se concentrar en una banda alrededor de la frecuencia nominal de laestacin, a esta banda es a lo que llamamos canal. Una antena receptora de radio condensa diferentes ondaselectromagnticas en una nica seal de amplitud de voltaje, que puede ser a su vez decodificada nuevamente en unaseal de amplitud sonora, que es el sonido que omos al encender la radio. El sintonizador de la radio selecciona elcanal, de un modo similar a como nuestros receptores de la cclea seleccionan una determinada nota. Algunoscanales son dbiles y otros fuertes. Si hacemos un grfico de la intensidad del canal respecto a su frecuenciaobtenemos el espectro electromagntico de la seal receptora.

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Espectro de frecuencias 19

Anlisis espectral

Ejemplo de forma de onda de la voz y su espectrode frecuencia.

Una onda triangular representada en el dominiotemporal (arriba) y en el dominio frecuencia

(abajo). La frecuencia fundamental est en tornoa 220 Hz.

Anlisis se refiere a la accin de descomponer algo complejo en partessimples o identificar en ese algo complejo las partes ms simples quelo forman. Como se ha visto, hay una base fsica para modelar la luz, elsonido o las ondas de radio en superposicin de diferentes frecuencias.Un proceso que cuantifique las diversas intensidades de cadafrecuencia se llama anlisis espectral.

Matemticamente el anlisis espectral est relacionado con una herramienta llamada transformada de Fourier oanlisis de Fourier. Ese anlisis puede llevarse a cabo para pequeos intervalos de tiempo, o menos frecuentementepara intervalos largos, o incluso puede realizarse el anlisis espectral de una funcin determinista (tal como ).

Adems la transformada de Fourier de una funcin no slo permite hacer una descomposicin espectral de losformantes de una onda o seal oscilatoria, sino que con el espectro generado por el anlisis de Fourier incluso sepuede reconstruir (sintetizar) la funcin original mediante la transformada inversa. Para poder hacer eso, latransformada no solamente contiene informacin sobre la intensidad de determinada frecuencia, sino tambin sobresu fase. Esta informacin se puede representar como un vector bidimensional o como un nmero complejo. En lasrepresentaciones grficas, frecuentemente slo se representa el mdulo al cuadrado de ese nmero, y el grficoresultante se conoce como espectro de potencia o densidad espectral de potencia.Es importante recordar que la transformada de Fourier de una onda aleatoria, mejor dicho estocstica, es tambinaleatoria. Un ejemplo de este tipo de onda es el ruido ambiental. Por tanto para representar una onda de ese tipo serequiere cierto tipo de promediado para representar adecuadamente la distribucin frecuencial. Para sealesestocsticas digitalizadas de ese tipo se emplea con frecuencia la transformada de Fourier discreta. Cuando elresultado de ese anlisis espectral es una lnea plana la seal que gener el espectro se denomina ruido blanco.

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Espectro de frecuencias 20

Vase tambin Analizador de espectro Espectro electromagntico Anlisis armnico Acstica Transformada de Fourier

Serie de FourierUna serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una funcin continua y peridica. Las seriesde Fourier constituyen la herramienta matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado para analizar funcionesperidicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinitesimal de funciones senoidales muchoms simples (como combinacin de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemticofrancs Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarroll la teora cuando estudiaba la ecuacin del calor. Fue el primeroque estudi tales series sistemticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta rea deinvestigacin se llama algunas veces Anlisis armnico.Es una aplicacin usada en muchas ramas de la ingeniera, adems de ser una herramienta sumamente til en lateora matemtica abstracta. reas de aplicacin incluyen anlisis vibratorio, acstica, ptica, procesamiento deimgenes y seales, y compresin de datos. En ingeniera, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y atravs del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una seal dada, se puede optimizar el diseo de unsistema para la seal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la funcin

DefinicinSi es una funcin (o seal) peridica y su perodo es , la serie de Fourier asociada a es:

Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:Por la identidad de Euler, las frmulas de arriba pueden expresarse tambin en su forma compleja:

Los coeficientes ahora seran:

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Serie de Fourier 21

Teorema de Dirichlet: Convergencia a una funcin peridicaSupongamos que f(x) es una funcin peridica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un nmero finitode mximos y mnimos locales y un nmero finito de discontinuidades, de perodo 2p. Sean

y

entonces la serie converge a

En donde , y

Forma exponencialPor la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

la serie de Fourier se la puede expresar como la suma de dos series:

En forma ms compacta:

Ejemplos de series de Fourier

Grafico de una funcin peridica.

Animacin de la suma de los 5 primeros armnicos.

Nosotros estamos utilizandoformulario sobre como hacer una seriede Fourier en expansin muysimplificada.

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

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Serie de Fourier 22

Si la serie de Fourier converge hacia: (x) de cada punto x donde es diferenciable:

IngenieraEl anlisis de seales en el dominio de la frecuencia se realiza a travs de las series de Fourier, por cuanto es muycomn, reemplazar la variable x por t, resultando las componentes:

Por lo tanto:

Aplicaciones Generacin de formas de onda de corriente o tensin elctrica por medio de la superposicin de senoides

generados por osciladores elctrnicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya estn determinadas. Anlisis en el comportamiento armnico de una seal. Reforzamiento de seales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital elctrica donde la seal de entrada no es senoidal o

cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solucin en regimen permanente senoidal en eldominio de la frecuencia.

La resolucin de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en formade series de Fourier fcilmente computables, y que obtener soluciones prcticas, en la teora de la transmisin delcalor, la teora de placas, etc.

Formulacin modernaRealmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funcionesque cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denota con . Esteconjunto, tiene definido un producto interno dado por:

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de puedandesarrollarse en series de Fourier. As,el conjunto de funciones exponenciales es una baseortonormal del espacio .El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.

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Serie de Fourier 23

Por ltimo, la identidad de Parseval dice que dada una funcin de cuadrado integrable y los coeficientes deFourier , se verifica que:

En lenguaje tcnico, podramos decir que hay una isometra entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y elespacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos trminos tienen cuadrados sumables.es muy util lasseries de furier al la hora de visualizar una funcion periodica no senoidal mediante esta herramienta

Formulacin generalLas propiedades tiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad dehomomorfismo de las funciones ei n x.Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades tiles,concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirn cumplindose si se pierde la "propiedad dehomomorfismo".Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones seobtienen normalmente como soluciones de una ecuacin diferencial; una gran clase de tales sucesiones tiles sonsoluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

Vase tambin Transformada de Fourier Anlisis armnico Fenmeno de Gibbs Identidad de Parseval

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Identidad de Parseval 24

Identidad de ParsevalEn anlisis matemtico, la identidad de Parseval, tambin conocida como la igualdad de Parseval, es unageneralizacin del teorema de Pitgoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal enun espacio vectorial, entonces

El nombre procede de la relacin de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en foma complejacomo real.Forma compleja (o exponencial):

Forma real (o trigonomtrica):

Siendo el semiperiodo y , , los coeficientes de Fourier complejo y reales respectivamente.

Vase tambin Serie de Fourier Desigualdad de Bessel

Referencias Johnson & Riess, Numerical Analysis. ISBN 0-201-10392-3.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacios_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_separablehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_ortonormalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Relaci%C3%B3n_de_Parsevalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Series_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Riesz-Fischerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Series_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Desigualdad_de_Bessel

Fenmeno de Gibbs 25

Fenmeno de Gibbs

Este artculo o seccin sobre matemticas necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo.Por favor, edtalo [1] para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso puesto el 28 de August de 2009.Tambin puedes ayudar wikificando otros artculos.Atencin: Por ahora no estamos clasificando los artculos para wikificar por matemticas. Por favor, elige una categora de artculos porwikificar de esta lista.

Fenmeno de Gibbs en Honor a J. Willard Gibbs fue el primero en explicar este fenmeno en 1899.

En que consiste el fenmeno de GibbsCuando la funcin que se esta desarrollando en Serie de Fourier tiene discontinuidades no es posible que haya unabuena convergencia en los entornos de las discontinuidades.En tales entornos las sumas parciales muestran sobre Y subvalores alrededor del valor real de la funcin que puedenllegar a un 17% del salto en la discontinuidad.Si es un punto de discontinuidad, la sucesin de sumas parciales converge al valor:

Representacion de la Onda Cuadrada en Serie DeFourier para un termino de la sumatoria.

Representacion de la Onda Cuadrada en Serie DeFourier para diez terminos de la sumatoria.

Como se puede apreciar, a medida que se adhieren ms trminos alas series, sta se va aproximando a la onda cuadrada dado que lasoscilaciones se vuelven ms rpidas y ms pequeas, pero lospicos no disminuyen. Estos picos en la series de Fourier de lafuncin cuadrada nunca desaparecen; son llamados el fenmenode Gibbs nombrado por el fsico Americano Josiah Willard Gibbs.Ocurren cada vez que las seales tienen discontinuidades de salto(generalmente en los extremos), y siempre estarn presentescuando la seal tiene brincos fuertes como en este caso de uno amenos uno.

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Fenmeno de Gibbs 26

Representacion de la Onda Cuadrada en Serie DeFourier para cien terminos de la sumatoria.

Animacin de la Onda Cuadrada en Serie De Fourierpara treinta terminos de la sumatoria.

Referencias[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Fen%C3%B3meno_de_gibbs

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SerierFOndakcien.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SquareWave.gifhttp://en.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B3meno_de_gibbs

27

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Transformada de LaplaceLa Transformada de Laplace de una funcin f(t) definida (en matemticas y, en particular, en anlisis funcional)para todos los nmeros reales t 0, es la funcin F(s), definida por:

siempre y cuando la integral est definida.Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versin unilateral. Tambin existe latransformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) tpicamente existe para todos los nmeros reales s > a, donde a es una constanteque depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Perspectiva histricaLa transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemtico francs Pierre-Simon Laplace, que lapresent dentro de su teora de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler haba investigado un conjunto de integralesde la forma:

como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundiz en ellas y pronto abandon su investigacin.Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, tambin investig ese tipo de integrales, y las lig a la teora de laprobabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

que algunos historiadores interpretan como autnticas transformadas de Laplace.Este tipo de integrales atrajeron la atencin de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trat deemplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso ms all, yreenfoc el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a lastransformadas de Laplace tal y como hoy en da se entienden. Us una integral de la forma:

anloga a la Transformada de Mellin, con la que transform una ecuacin diferencial en una ecuacin algebraicade la que busc su solucin. Plante alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna formareconoci que el mtodo de Joseph Fourier para resolver por medio de Series de Fourier la ecuacin de difusinpodra relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones peridicas.Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en elcampo de la probabilidad ajeno a su moderna aplicacin en la fsica y la ingeniera, y ser tratadas sobre todo comoobjetos matemticos meramente tericos.

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Transformada de Laplace 28

La moderna aplicacin de las transformadas de Laplace y toda su teora subyaciente surgen en realidad en la segundamitad del siglo XIX. Tratando de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teora de vibraciones, elingeniero ingls Oliver Heaviside (1850-1925) descubri que los operadores diferenciales podan tratarseanalticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "clculo operacional", si se tiene una ecuacindiferencial de la forma:

donde D es el operador diferencial, esto es, , entonces la solucin general a dicha ecuacin es de laforma:

.

Heaviside observ que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente lasolucin de toda ecuacin pareja a la de arriba. En efecto, segn la solucin general, se cumple que:

Entonces, si se considera una ecuacin diferencial de segundo orden como la siguiente:

sta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendra que:Sustituyendo las fracciones en D por la expresin integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solucin dela ecuacin diferencial:

Heaviside public sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la fsica y la ingeniera hizo quepronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las crticas de algunosmatemticos puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no podan surgir de talforma. No obstante, el xito del mtodo hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y fsicos de todo el mundo, demanera que al final atrajo la atencin de cierto nmero de matemticos tratando de justificar el mtodo de manerarigurosa. Tras varias dcadas de intentos, se descubri que la Transformada descubierta por Laplace haca un siglono slo ofreca un fundamento terico al mtodo de clculo operacional de Heaviside, sino que adems ofreca unaalternativa mucho ms sistemtica a tales mtodos.Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirti en una herramienta comn de la teora devibraciones y de la teora de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con ms xito. En general, latransformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en elorigen. Una de sus ventajas ms significativas radica en que la integracin y derivacin se convierten enmultiplicacin y divisin. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinmicas,mucho ms fciles de resolver.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Oliver_Heavisidehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Divisi%C3%B3n

Transformada de Laplace 29

Propiedades

Linealidad

Derivacin

Integracin

Dualidad

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal

Nota: es la funcin escaln unitario.

Desplazamiento potencia n-sima

Convolucin

Transformada de Laplace de una funcin con periodo p

Condiciones de convergencia

(que crece ms rpido que ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , no es unafuncin de orden exponencial de angulos.

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Transformada de Laplace 30

Tabla de las transformadas de Laplace selectasLa siguiente tabla provee la mayora de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:La transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada trmino.

La transformada de Laplace es nicamente vlida cuando t es mayor a , lo que explica por qu en la tabla deabajo todo es mltiplo de u(t). Aqu est una lista de las transformadas ms comunes:

ID Funcin Dominio en el tiempo Dominio en la frecuencia Regin de laconvergencia

para sistemas causales

1 retraso ideal

1a impulso unitario

2 ensima potencia retrasada ycon

desplazamiento en lafrecuencia

2a n-sima potencia

2a.1 q-sima potencia

2a.2 escaln unitario

2b escaln unitario con retraso

2c Rampa

2d potencia n-sima con cambiode frecuencia

2d.1 amortiguacin exponencial

3 convergencia exponencial

3b exponencial doble

4 seno

5 coseno

5b Seno con fase

6 seno hiperblico

7 coseno hiperblico

8 onda senoidal conamortiguamiento exponencial

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_causalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_delta_de_Dirachttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_escal%C3%B3n_unitariohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Amortiguaci%C3%B3n_exponencialhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Senohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cosenohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Seno_hiperb%C3%B3licohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coseno_hiperb%C3%B3lico

Transformada de Laplace 31

9 onda cosenoidal conamortiguamiento exponencial

10 raz n-sima

11 logaritmo natural

12 Funcin de Besselde primer tipo,

de orden n

13 Funcin de Bessel modificadade primer tipo,

de orden n

14 Funcin de Besselde segundo tipo,

de orden 0

15 Funcin de Bessel modificadade segundo tipo,

de orden 0

16 Funcin de error

Notas explicativas:

representa la funcin escalnunitario.

representa la Delta de Dirac. representa la funcin gamma. es la constante de Euler-Mascheroni.

, un nmero real, tpicamente representa tiempo, aunque puede representar cualquier variableindependiente.

es la frecuencia angular compleja. , , , y son nmeros reales. es un nmero entero.

sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causalesno es el mismo que el ROC para sistemas anticausales. Vase tambin causalidad.

Relacin con otras transformadasLa transformada de Laplace est estrechamente relacionada con la Transformada de Fourier y la Transformada Z.

Vase tambin Transformada de Mellin.

Enlaces externos C. Fernndez, Transformada de Laplace y Ecuaciones de Volterra, Licenciatura en Educacin Matemtica y

Computacin, USACH, 2006. [1]

C. Gabriel Alberto Ventura Garcia, Demostracion matematica de la Transformada de Laplace,IngenieriaMecanica Electrica, FIME XALAPA, 2010. [2]

La transformada de Laplace [3] Richard Baraniuk

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo_naturalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_Besselhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_Besselhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_Besselhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_Besselhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_errorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_escal%C3%B3n_unitariohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_escal%C3%B3n_unitariohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Delta_de_Dirachttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_gammahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Constante_de_Euler-Mascheronihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Frecuencia_angularhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_enterohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_causalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Respuesta_al_impulsohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_anticausalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Causalidad_%28f%C3%ADsica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Transformada_de_Mellinhttp://netlizama.usach.cl/tesis%20final%202006%2007%2026%20version%20para%20pdf.pdfhttp://www.ilustrados.com/documentos/notas-sobre-transformada-04032010.pdfhttp://cnx.org/content/m12978/latest/

Transformada de Laplace 32

Referencias[1] http:/ / netlizama. usach. cl/ tesis%20final%202006%2007%2026%20version%20para%20pdf. pdf[2] http:/ / www. ilustrados. com/ documentos/ notas-sobre-transformada-04032010. pdf[3] http:/ / cnx. org/ content/ m12978/ latest/

Transformada inversa de LaplaceEn matemtica, la transformada inversa de Laplace de una funcin F(s) es la funcin f(t) que cumple con lapropiedad

donde es la transformada de Laplace.La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un nmero de propiedades que lashacen tiles para el anlisis de sistemas dinmicos lineales.

Forma integralUna frmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral deFourier-Mellin o frmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:

donde la integracin se realiza a lo largo de la lnea vertical Re(s) = en el plano complejo tal que es mayor que laparte real de todas las singularidades de F(s).

Transformada de Laplace en circuitosLa Transformada de Laplace es una herramienta muy poderosa para la resolucin de circuitos RCL. La ecuacindiferencial que esta en el dominio del tiempo mediante la Transformada de Laplace pasan al dominio de lafrecuencia, efectuando las respectivas operaciones algebraicas y si es necesario operar por Thvenin o Nortonordenar el circuito luego aplicando la Transformada Inversa de Laplace obtenemos la respuesta en el domino deltiempo.Las tcnicas de Transformada de Laplace son muy tiles para resolver ecuaciones con condiciones iniciales.

http://netlizama.usach.cl/tesis%20final%202006%2007%2026%20version%20para%20pdf.pdfhttp://www.ilustrados.com/documentos/notas-sobre-transformada-04032010.pdfhttp://cnx.org/content/m12978/latest/http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemas_din%C3%A1micos_linealeshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_linealhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plano_complejohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Singularidadeshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Frecuenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9veninhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Norton

Transformada de Laplace en circuitos 33

DefinicinPara un la Transformada de Laplace se define como:

Funcin

TransformacionesAplicando la Transformada de Laplace se puede mostrar la equivalencia de una resistencia una bobina y uncondensador en funcin de sus condiciones iniciales

Resistencia

Bobina

es la corriente de la bobina en el instante

Condensador

es el voltaje en el condensador en el instante

AplicacinPara analizar un circuito RCL usando la transformada de Laplace hay dos mtodos:1 Escribir las ecuaciones temporales, aplicar la transformada de Laplace, resolver en el dominio de Laplace yfinalmente volver al dominio del tiempo usando la transformada inversa.2 Escribir el circuito equivalente en el dominio de Laplace y resolver directamente en l (con atencin a lascondiciones iniciales).Si el objetivo es conocer la respuesta en frecuencia no es necesario volver al dominio temporal.

Ejemplo 1

Hallar ; para , cuyas condiciones iniciales son Solucin

Mediante Fracciones Parciales se tiene:

Desarrollando

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Transformada de Laplace en circuitos 34

Entonces

Aplicando la Transformada Inversa de Laplace obtenemos la solucin del problema en el dominio del tiempo

Ejemplo 2: reparto de carga entre dos condensadores

Enunciado: supongamos dos condensadores: C1 y C2 que contienen una carga inicial expresada por los voltajes y . Los condensadores estn conectados a travs de una resistencia R y un interruptor ideal (sin resistencia y queconmuta instantneamente). Si el interruptor se cierra en el instante t=0, calcular: la corriente mxima y el voltajefinal.Solucin:

La suma de los voltajes a lo largo de la malla ha de ser nula:

Las condiciones iniciales establecen que:

y

Al aplicar Laplace se obtiene:

Despejando la corriente I(s) resulta:

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Transformada de Laplace en circuitos 35

Donde , es decir el equivalente serie de los dos condensadores. Note que los condensadores estn

conectados en serie a travs de masa.

Utilizando una tabla de transformadas inversas se puede volver al dominio del tiempo: .

Ahora ya podemos responder a la primera pregunta: la corriente en el instante t=0 es , es decir: la

diferencia de voltajes iniciales entre la resistencia.El voltaje final puede calcularse por el principio de conservacin de la carga. Sin embargo, aqu lo vamos a obtenerutilizando Laplace. Ntese que la corriente final es cero, es decir, despus de un cierto tiempo los voltajes v1 y v2convergen. As que podemos calcular el voltaje final a travs de v1 o v2 indistintamente. La ecuacin para es:

Para calcular la transformada inversa hace falta descomponer la primera fraccin como se explica en el ejemplo 1.Sin embargo no es necesario para calcular el valor final de puesto que podemos aplicar el teorema del valor final

. Al resolver el lmite el voltaje final queda:

que es el mismo resultado que se obtiene aplicando el principio de conservacin de la carga.

Vase tambin Transformada de Laplace Transformada de Fourier Transformada Z Pierre Simon Laplace

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TRANSFORMADA DE FOURIER

Transformada de FourierEn matemtica, la transformada de Fourier es una aplicacin que hace corresponder a una funcin f con valorescomplejos y definida en la recta, otra funcin g definida de la manera siguiente:

Donde f es , o sea f tiene que ser una funcin integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, queacompaa la integral en definicin facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada deFourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la ms comnmente adoptada, no esuniversal. En la prctica las variables x y suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-,frecuencia -segundos^-1-,...) y entonces es correcto utilizar la frmula alternativa:

de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponenteadimensional.La transformada de Fourier as definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puedeextenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.Adems, tiene una multitud de aplicaciones en muchas reas de la ciencia e ingeniera: la fsica, la teora de losnmeros, la combinatoria, el procesamiento de seales (electrnica), la teora de la probabilidad, la estadstica, laptica, la propagacin de ondas y otras reas. En procesamiento de seales la transformada de Fourier sueleconsiderarse como la decomposicin de una seal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g correspondeal espectro de frecuencias de la seal f.La rama de la matemtica que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada anlisisarmnico.Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aqu algunas de ellas:

.

Definicin intuitivaLa transformada de Fourier es bsicamente el espectro de frecuencias de una funcin. Un buen ejemplo de eso es loque hace el odo humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposicin en distintasfrecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El odo humano va percibiendo distintas frecuencias a medida quepasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos lostiempos en que existi la seal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un slo espectro de frecuenciaspara toda la funcin.

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Transformada de Fourier 37

Definicin formalSea f una funcin Lebesgue integrable:

o La transformada de Fourier de f es la funcin

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una funcin integrable. Una estimativa simple demuestra que latransformada de Fourier F(f) es una funcin acotada. Adems por medio del teorema de convergencia dominadapuede demostrarse que F(f) es continua.La transformada de Fourier inversa de una funcin integrable f est definida por:

Ntese que la nica diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signonegativo en el exponente del integrando. El teorema de inversin de Fourier formulado abajo justifica el nombre detransformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica latraspolacin de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a travs de la aplicacin dela Varianza para cada funcin.

Propiedades bsicasLa transformada de Fourier es una aplicacin lineal:

Valen las siguientes propiedades para una funcin absolutamente integrable f: Cambio de escala:

Traslacin:

Traslacin en la variable transformada:

Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

Derivada de la transformada: Si f y t f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable

Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integracin por partes.En lo que sigue, definimos la convolucin de dos funciones f, g en la recta se define de la manera siguiente:

Nuevamente la presencia del factor delante de la i