guia practica no. 5 programacion lineal problema de transporte
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7/26/2019 GUIA PRACTICA No. 5 PROGRAMACION LINEAL Problema de Transporte
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INVESTIGACION DE
OPERACIONES
EL MODELO DEL
TRANSPORTE
Gua de Prctica No.5
Mg Gregorio Cisneros Santos
Profesor Asociado de la EAP de Ingeniera Agroindustrial
Universidad Nacional Hermilio Valdizn - Hunuco
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN
FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS
EAP DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
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La modelizacin es una de las reas ms atractivas de la ingeniera y las ciencias
aplicadas. De hecho, los ingenieros necesitan construir modelos para resolver problemas
de la vida real.
El objetivo de un modelo consiste en reproducir la realidad de la forma ms fiel posible,
tratando de entender cmo se comporta el mundo real y obteniendo las respuestas que
pueden esperarse de determinadas acciones. En la prctica se utilizan muchos tipos de
modelos, tales como modelos de ecuaciones diferenciales, modelos de ecuaciones
funcionales, modelos en diferencias y de elementos finitos, y modelos de programacin
matemtica.
La seleccin del modelo adecuado para reproducir la realidad es una etapa crucial para
obtener una solucin satisfactoria a un problema real. Las estructuras matemticas
asociadas no son arbitrarias, sino una consecuencia de la realidad misma. En el cursoInvestigacin de Operaciones, se hace un esfuerzo importante por conectar las realidades
fsica y matemtica. Se muestra al estudiante el razonamiento que conduce al anlisis de
las diferentes estructuras, modelos y conceptos. Esto se pone de manifiesto en los
ejemplos ilustrativos, que muestran la conexin entre modelo y realidad.
En este curso se tratan los modelos de programacin matemtica, incluyendo los de
programacin lineal y no lineal.
Los problemas de programacin matemtica son problemas particulares a los que uno se
enfrenta con cierta frecuencia. Uno est preparado para resolverlos usando muchas de
las herramientas disponibles, procedimientos o paquetes de software. De hecho, estos
problemas se estudian en detalle en los estudios de grado y postgrado. Sin embargo, uno
puede no estar preparado para resolver otros problemas muy frecuentes como:
1. Problemas de programacin lineal con muchas variables y/o restricciones.2. Problemas de programacin no lineal.3. Tcnicas de descomposicin para problemas a resolver con herramientas de
programacin matemtica.4. Reglas para transformar otros problemas en problemas de programacin
matemtica.
En este curso se dan mtodos que permiten resolver una amplia coleccin de problemas
prcticos interesantes.
Cuando se analiza y discute la programacin matemtica, una posibilidad es la de dar un
profundo anlisis terico del problema y una discusin de los diferentes problemas y
mtodos. Esta opcin tiene algunos riesgos. Aunque a veces, inicialmente, el tratamiento
parece ser ms riguroso y profundo, el lector es conducido a ser demasiado curioso y
cuidadoso con los detalles matemticos pero sin preocuparse ni entender a dnde
conducen estos o de dnde proceden.
Presentacin
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Por ejemplo, no es infrecuente dar a una persona que ha estudiado durante aos
programacin lineal, un dibujo bidimensional sencillo en el que aparece el conjunto
factible, y preguntarle que marque la secuencia de puntos extremos asociada al mtodo
simplex, sin obtener una respuesta correcta. Ntese que esto significa que no se
comprende la esencia misma del mtodo simplex y de las ideas en que ste se basa.
Alternativamente, uno puede tratar este tema con la ayuda de ejemplos ilustrativos, y
tratar de transmitir al lector la profundidad y el ingenio que hay detrs de estos mtodos,
con lo que se hace el tema ms legible y atractivo.
No tratamos con mtodos o soluciones estndar. El lector que busque mtodos estndar
o referencias de trabajos con esta orientacin debera consultar uno de los muchos libros
sobre este tema que se encuentran en el mercado. Por el contrario, en este libro se
discuten los problemas antes mencionados desde otro punto de vista.
Adems de obtener soluciones, matemticos e ingenieros estn interesados en analizar
las condiciones que conducen a problemas bien definidos. En este contexto, los
problemas de compatibilidad y unicidad de solucin juegan un papel central. De hecho,
conducen a conclusiones fsicas e ingenieriles muy interesantes, que relacionan las
condiciones fsicas, obtenidas de la realidad, con las correspondientes condiciones que
hay tras los modelos matemticos. Los mtodos a desarrollar en este curso tambin
permiten concluir si el conjunto de restricciones conducen a la existencia de al menos una
solucin.
Mg. Gregorio Cisneros Santos
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Actividad Inicial:
Toda actividad propuesta se inicia con la formacin de grupos: El trabajo grupal siempre ser una
forma de potencial el aprendizaje; debern formar grupos que permanecern durante el desarrollo
de todo el curso, con la finalidad de poder compartir experiencias, tomar decisiones y sacar
conclusiones sobre los diferentes temas que se vayan abordando en el curso.
Objetivo:
Al culminar la presente prctica los alumnos habrn obtenido los conceptos bsicos de la
programacin lineal en el problema del transporte y estarn en condiciones de poder resolver
problemas de optimizacin relacionados con el algoritmo del transporte. De igual manera los
alumnos se conocern e intercambiarn ideas de cmo aprender mejor los temas.
Recomendaciones:
Recuerden que es importante conocernos para poder trabajar en grupos o en equipos. Es
necesario para nosotros los docentes y tambin para los alumnos. Para hacer posible este
acercamiento es necesario contar con un espacio de integracin y tiempo suficiente.
Cada grupo se organizar internamente y establecer su cdigo de tica. Este ser de
cumplimiento obligatorio de cada integrante. Se trata de formar una sociedad de trabajo, por lo
tanto, todos deben tener claras las reglas y posibles sanciones que hay en ellas. El docente
brindar las pautas para el desarrollo de sta importante actividad previa al aprendizaje.
Actividad Principal:
En cada prctica se tocar un tema del contenido del curso, para complementar los conocimientos
tericos de las clases dictadas previamente y se presentan los ejercicios y casos resueltos y casos
propuestos, que debern ser tratados por el grupo.
Tema 5:
PROBLEMA DEL TRANSPORTE
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MODELO DE TRANSPORTE
La empresa TRANSCEREAL transporta grano desde tres silos hasta tres molinos.
La oferta (en camionadas) y la demanda tambin en camionadas se resume en el
modelo de transporte que se presenta junto con los costos unitarios de transportepor camionada en las distintas rutas. Los costos unitarios estn en cientos de
soles. Se debe determinar el programa de transporte entre silos y molinos que
tenga costo mnimo.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
MODELO DE TRANSPORTELa empresa TRANSCEREAL transporta grano desde tres silos hasta tres molinos. La oferta (en
camionadas) y la demanda tambin en camionadas se resume en el modelo de transporte que sepresenta junto con los costos unitarios de transporte por camionada en las distintas rutas. Los
costos unitarios estn en cientos de soles. Se debe determinar el programa de transporteentre silos y molinos que tenga costo mnimo.
ai
10 2 20 11
15
12 7 9 20
25
4 14 16 18
10
bj
Molino 1
Silo 1
X21
X31
5
Molino 2 Molino 3 Molino 4
X11 X12 X13 X14
X22 X23 X24Silo 1
X32 X33 X34Silo 3
15 15 15
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PASOS DEL ALGORITMO DEL TRANSPORTE
MODELO DE TRANSPORTE
PASO 1: Determinar una solucin bsica factible de i n ic io y seguir con el PASO 2.
PASO 2: Usar la condicin de OPTIMALIDAD del mtodo simplex para determinar la VARIABLE DE
ENTRADA entre todas las variables no bsicas. Si se satisface la condicin de optimalidad,
detenerse. En caso contrario seguir con el PASO3.PASO 3: Usar la condicin de FACTIBILIDAD del mtodo simplex para determinar la variable de salida
entre todas variables bsicasen ese momento y determinar la nueva solucin bsica.
Regresar al PASO 2.
PASO 1: SOLUCION FACTIBLE INICIAL: METODO ESQUINA NOR OESTE
10 2 20 11
15
12 7 9 20
25
4 14 16 18
10
5 10
5 15 5
10
5 15 15 15
Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4
Silo 1
Silo 1
Silo 3
Z = 5x10 + 10x2 + 5x7 + 15x9 + 5x20 + 10x18 = 520
PASOS DEL ALGORITMO DEL TRANSPORTEMODELO DE TRANSPORTE
PASO 2: METODO DE LOS MULTIPLICADORES (Condicin de Optimalidad)
10 2 20 11
15-16 4
12 7 9 20
25
3
4 14 16 18
10
-9 -9 -9
5 15 15 15
5u1= 5
10u3= 3
u1= 0
5 15
5 10
v1 = 10 v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15
9
SOLUCION
BASICA
SOLUCION
NO BASICA
X11 = 5
X12 = 10
X22 = 5
X23 = 15
X24 = 5
X34 = 10
X13 = 0
X14 = 0
X21 = 0
X31 = 0
X32 = 0
X33 = 0
VARIABLE
BASICAECUACION SOLUCION
X11
X12
X22
X23
X24
X34
u1
+ v1
= 10u1 + v2 = 2
u2 + v2 = 7
u2 + v3 = 9
u2 + v4 = 20
u3 + v4 = 18
u1
= 0 entonces v1
= 10u1 = 0 entonces v2 = 2
v2 = 2 entonces u2 = 5
u2 = 5 entonces v3 = 4
u2 = 5 entonces v4 = 15
v4 =15 entonces u3 = 3
ui + vj = Cij : para cada xij bsica
VARIABLE
NO BASICASOLUCION
X13
= 0X14 = 0
X21 = 0
X31 = 0
X32 = 0
X33 = 0
u1
+ v3
- C13
= 0 + 4 - 20 = -16u1 + v4 - C14 = 0 + 15 - 11 = 4
u2 + v1 - C21 = 5 + 10 - 12 = 3
u3 + v1 - C31 = 3 + 10 - 4 = 9
u3 + v2 - C32 = 3 + 2 - 14 = -9
u3 + v3 - C33 = 3 + 4 - 16 = -9
ui + vj - Cij : para cada xij No bsica
Variable
que entra
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PASOS DEL ALGORITMO DEL TRANSPORTEMODELO DE TRANSPORTE
10 2 20 11
15
-16 4
12 7 9 20
25
3
4 14 16 18
10
9 -9 -9
5- 15 5+
5- 10-u1= 0
u1= 5
u3= 3
v1 = 10
v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15
5 15 15 15
10-
X11 riable que
sale
X31Variable que
entra
10 2 20 11
15
12 7 9 20
25
4 14 16 18
10
5 15 15 15
10u1= 5
5 5u3= 3
u1= 0
0 15
15
v1 = 10 v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15
Nueva solucin:
Z = 15x2 + 0x7 + 15x9 + 10x20 + 5x4 + 5x18 = 475
520 - 475 = 45 (9x5)
PASO 2: METODO DE LOS MULTIPLICADORES (Condicin de Factibilidad)
PASOS DEL ALGORITMO DEL TRANSPORTEMODELO DE TRANSPORTE
10 2 20 1115
-9 -16 4
12 7 9 20
25
-6
4 14 16 18
10
-9 -9
0 15 10
15u1= 0
u1= 5
u3= 3
v1 = 1
5
v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15
5 15 15 15
5
PASO 2: METODO DE LOS MULTIPLICADORES (Condicin de Optimalidad)
VARIABLE
BASICAECUACION SOLUCION
X12
X22
X23
X24
X31
X34
u1 + v2 = 2
u2 + v2 = 7
u2 + v3 = 9
u2 + v4 = 20
u3 + v1 = 4
u3 + v4 = 18
u1 = 0 entonces v2 = 2
v2 = 2 entonces u2 = 5
u2 = 5 entonces v3 = 4
u2 = 5 entonces v4 = 15
u3 = 3 entonces v1= 1
v4 =15 entonces u3 = 3
ui + vj = Cij : para cada xij bsica
VARIABLE
NO BASICASOLUCION
X11 = 0
X13 = 0
X14 = 0
X21 = 0
X32 = 0
X33 = 0
u1 + v1 - C11 = 0 + 1 - 10 = -9
u1 + v3 - C13 = 0 + 4 - 20 = -16
u1 + v4 - C14 = 0 + 15 - 11 = 4
u2 + v1 - C21 = 5 + 1 - 12 = -6
u3 + v2 - C32 = 3 + 2 - 14 = -9
u3 + v3 - C33 = 3 + 4 - 16 = -9
ui + vj - Cij : para cada xij No bsica
Variable
que entra
SOLUCION
BASICA
SOLUCION
NO BASICA
X12 = 15
X22 = 0
X23 = 15
X24 = 10
X31 = 5
X34 = 5
X11 = 0
X13 = 0
X14 = 0
X21 = 0
X32 = 0
X33 = 0
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PASOS DEL ALGORITMO DEL TRANSPORTEMODELO DE TRANSPORTE
Nueva solucin:
10 2 20 11
15
-9 -16 4
12 7 9
25
-6
4 14 16 18
10
-9 -9
0+ 15 10-
15- u1= 0
u1= 5
u3= 3
v1 = 1
5
v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15
5 15 15 15
5
X11Variable que
sale
X31Variable que
entra
10 2 20 11
15
12 7 9
25
4 14 16 18
10
10 15
5 10u1= 0
u1= 5
u3= 3
v1 = 1
5
v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15
5 15 15 15
5
Z = 5x2 + 10x11 + 10x7 + 15x9 + 5x4 + 5x18 = 435
PASO 2: METODO DE LOS MULTIPLICADORES (Condicin de Factibilidad)
475 - 435 = 40 (10x4)
PASOS DEL ALGORITMO DEL TRANSPORTEMODELO DE TRANSPORTE
Solucin Optima: Z = 5x2 + 10x11 + 10x7 + 15x9 + 5x4 + 5x18 = 435
10 2 20 11
15
-13 -16
12 7 9
25
-10 -4
4 14 16 18
10
-5 -5
10 15
5 10u1= 0
u1= 5
u3= 7
v1 = -3
5
v2 = 2 v3 = 4 v4 = 11
5 15 15 15
5
PASO 2: METODO DE LOS MULTIPLICADORES (Condicin de Optimalidad)
VARIABLE
BASICAECUACION SOLUCION
X12
X13
X22
X23
X31
X34
u1 + v2 = 2
u2 + v3 = 20
u2 + v2 = 7
u2 + v3 = 9
u3 + v1 = 4
u3 + v4 = 18
ui + vj = Cij : para cada xij bsica
VARIABLE
NO BASICASOLUCION
X11 = 0
X13 = 0
X21 = 0
X24 = 0
X32 = 0
X33 = 0
u1 + v1 - C11 =
u1 + v3 - C13 =
u1 + v2 - C12 =
u2 + v4 - C24 =
u3 + v2 - C32 =
u3 + v3 - C33 =
ui + vj - Cij : para cada xij No bsica
SOLUCION
BASICA
SOLUCION
NO BASICA
X12 = 5
X13 = 10
X22 = 10
X23 = 15
X31 = 5
X34 = 5
X11 = 0
X13 = 0
X21 = 0
X24 = 0
X32 = 0
X33 = 0
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PROBLEMAS PROPUESTOS PARA RESOLVER APLICANDO EL ALGORITMO DEL
TRANSPORTE:
1. Cierto o Falso?
a) Para balancear un modelo de transporte se puede necesitar agregar tanto una
fuente ficticia como un destino ficticio?b) Las cantidades transportadas hasta un destino ficticio representan sobrantes
en la fuente de transporte?c) Las cantidades transportadas desde una fuente ficticia representan carencias
en los destinos receptores?
2. En cada uno de los siguientes casos determine si debe agregarse una fuente o undestino ficticio, para balancear el modelo
a) Oferta: a1= 10; a2= 5; a3= 4; a4= 6Demanda: b1= 10; b2= 5; b3= 7; b4= 9
b) Oferta: a1= 30; a2= 44Demanda: b1= 25; b2= 30; b3= 10
3. Compare las soluciones de inicio, obtenidas con los mtodos de esquina noroeste,de costos mnimos y de Vogel, en cada uno de los modelos siguientes:
5 1 8 12 0 2 1 6 1 2 6 7
2 4 0 14 2 1 5 7 0 4 2 12
3 6 7 4 2 4 3 7 3 1 5 11
9 10 11 5 5 10 10 10 10
4. En tres centros de distribucin se embarcan lotes de 50 cajas de conserva defrutas a cinco agencias. El costo de transporte se basa en la distancia entre lasfuentes y los destinos, y es independiente de si los camiones van con carga parcialo completa. En la tabla se ven las distancias entre los centros de distribucin y lasagencias, junto con las ofertas y demandas, expresadas en nmero de lotes. Uncamin puede transportar 18 lotes. El costo de transporte por kilmetro de camines $25.
AgenciaOferta
1 2 3 4 5
Centro1Centro 2Centro 3
100 150 200 140 35 40050 70 60 65 80 20040 90 100 150 130 150
Demanda 100 200 150 160 140
Formule el modelo de transporte y resuelva con el algoritmo.
Cada grupo deber presentar la solucin de la prctica en un informe fsico o virtual, de acuerdo alas instrucciones del docente.
Mg. Gregorio Cisneros SantosDocente del Curso
Email: [email protected]