Números complejosLos números complejos son unidad imaginaria y es el valor √−1 de denota: √−1=i

EJ: √−4=√4×√−1=2 i

También abarca a los números imaginarios y se denota como bi, donde b es el número real e i es la unidad imaginaria y con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

Potencias de unidad imaginaria

i0 = 1, i1 = i , i 2 = −1, i3 = −i, i 4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i , se divide el exponente entre 4 , y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

EJ: i22→224

=5 , sobran 2→i22=( i4 )5× i2=i2=−1

EJ2: i27→274

=6 , sobran3→i27=(i4 )6×i3=i3=−i

Números complejos en forma binomicaAl número a + b i le l lamamos número complejo en forma binómica.Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0 i = a .Si a = 0 el número complejo se reduce a b i , y se dice que es un número imaginario puro.El conjunto de todos números complejos se designa por

∁={a+bi /a ,bϵ IR }

Los números complejos a + bi y -a -b i se l laman opuestos . Los números complejos z= a + b i y z = a − b i se l laman conjugados .Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Suma y diferencia de números complejos(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

(a + b i) − (c + d i) = (a − c) + (b − d) i

EJ: (5 + 2 i) + (− 8 + 3 i) − (4 − 2 i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i= −7 + 7 i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se real iza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + b i) · (c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i

EJ: (5 + 2 i) · (2 − 3 i) = 10 − 15 i + 4 i − 6 i2 = 10 − 11 i + 6 = 16 − 11 i

Division de números complejos

a+bic+di

=(a+bi )∗(c−di )(c+di )∗(c−di )

=(ac+bd )+ (bc−ad ) i

c2+d2=( ac+dbc2+d2 )+( dc−adc2+d2 ) i

EJ:

Números complejos conjugadosForma binómica: Los números complejos z = a + b i y z = a − bi se l laman conjugados .

Forma polar: Dos números complejos son conjugados s i tienen el mismo módulo y opuestos su argumento .

Ejercicios:

6. Calcula k  para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

7.  Halla el valor de k  para que el cociente   sea:

1 Un número imaginario puro.

2 Un número real.