INSTITUCIÓN EDUCATIVA MUNICIPAL JUAN XXIII

TECNICO EN ADMINISTRACIÓN AGROPECUARIA Y PROCESOS INDUSTRIALES

LA ORGANIZACIÓN DEL CONOCIMIENTO Y LA AUTONOOMÍA: UN ESTILO DE VIDA

Guía de taller No. _________ Asignatura________________________ Grado______________________

Nombre_______________________________________ Fecha________________ Semana No. _______

Orientado por______________________________________

TEMA: MATRICES

JUSTIFICACIÓN: Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos.

OBJETIVOS

  . Deducir la estructura, elementos y dimensiones de una matriz.

. Deducir los algoritmos para realizar operaciones entre matrices.

. Realizar con exactitud operaciones de suma, resta y multiplicación entre matrices.

RECURSOS: lápiz, cuaderno y guía de taller.

INSTRUCCIONES GENERALES

Desarrolle cada actividad de manera individual, posteriormente en grupos de a 3 socializan respuestas y por último pasar a las conclusiones generales.

ACTIVIDADES

1. CONCEPTO DE MATRIZ - Veamos el siguiente ejemplo: consideremos los cursos 8°, 9°, 10° y 11° de la IEM Juan XXIII y

analicemos las asignaturas de matemáticas, español, sociales y deportes en cuanto al número de estudiantes que aprobaron en un examen.

M E S D

Filas 1 8° 20 30 40 50

2 9° 32 25 30 35

3 10° 50 50 35 50

4 11° 15 20 18 18

1 2 3 4

Columnas

Como eres un estudiante de 10° observa que la intersección de la fila 3 con la columna 1, nos dice que so 50 estudiantes de 10° que aprobaron matemáticas.

A los números dispuestos horizontalmente los llamamos FILAS y a los números dispuestos verticalmente lo llamamos COLUMNAS.

Así la fila 4 es: 15, 20, 18, 18 y la columna 4 es: 50, 35, 50, 18.

Tales disposiciones de elementos se llaman matrices.

Teniendo en cuenta lo anterior construye el concepto de matriz: __________________________________

________________________________________________________________________________

- Dada la matriz:

[1 2 3 45 6 7 89 10 11 12 ]

Observemos que tiene 3 filas y 4 columnas o sea que sus dimensión es de 3x4. A partir de esto escriba las dimensiones de las siguientes matrices:

A=[ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]

Q = I 2 4 7 -9 I

3 filas

4 columnas

La matriz es 3 x 4

En la siguiente matriz indica la posición del número circulado.

A=[ 1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

13 14 15 16]

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes :

FILAAquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n

   COLUMNA

Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1

   RECTANGULAR

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n ,

2 __________

7 __________

9 __________

S=

   TRASPUESTA

Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por  At  ó  AT

   OPUESTA

La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es   -A.

   NULA

Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

   CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de orden n.Diagonal principal : son los elementos  a11 , a22 , ..., ann  Diagonal secundaria : son los elementos  aij con   i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

Diagonal principal :

Diagonal secundaria :

SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At  , aij = aji  

ANTISIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At  , aij = -aji   Necesariamente  aii = 0  

DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible :  A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada  A   tiene inversa, A-1, si se verifica que :A·A-1 = A-1·A = I

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES

Analice cada ejemplo:

A=|1 35 7

| B=|5 74 8

| |1 35 7

|+|5 74 8

|=|6 |

|1 35 7

|+|5 74 8

|=|6 10|

|1 35 7

|+|5 74 8

|=|6 109

|

|1 35 7

|+|5 74 8

|=|6 109 15

|

Ahora busca la solución de:

En conclusión. Cómo sumamos matrices? __________________________________________________________________________________________________________________________________________

ACTIVIDAD 2.

DIFERENCIA DE MATRICES

Suma a1 1 + b1 1

3 + 7 = 10

Suma a1 2 + b1 2

5 + 4 = 9

Suma a2 1 + b2 1

7 + 8 = 15

Suma a2 2 + b2 2

Veamos el ejemplo

A=|2 −34 −1

| B=|−4 5−1 2

|

Opera A – B

A−B=|2 −34 −1

|−|−4 5−1 2

|=|6 −85 −3

|

Realizar el siguiente ejercicio:

A - B = ¿Cómo lo realizaron?______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

ACTIVIDAD 3.PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Leamos el ejemplo con mucha atención: una compañía constructora de apartamentos de tres tipos diferentes T1, T2 y T3 que difieren en el número de alcobas y de patios dadas por la siguiente tabla:

T1 T2 T3

Número de alcobas 5 4 3

Número de patios 3 2 1

Obtenemos la matriz C = 5 4 3

3 2 1

Además la compañía en el año 2009 realizó contratos de 4 apartamentos del tipo T1, 5 del tipo T2 y 10 del tipoT3 y durante el transcurso del presente año ha construido del tipo T1 5, T2 10 y T3 15. Podemos disponer los datos en la siguiente tabla:

2009 2010

T1 4 5

T2 5 10

T3 10 15

Obtenemos la matriz R = 4 5

5 10

10 15

Para determinar el número de alcobas y de patios construidos por la compañía en cada año debemos emplear las matrices C y R.

Así para calcular el número de alcobas que construyó la compañía en 2009 se multiplica cada elemento de la primera fila de C por el elemento correspondiente de la primera columna de R y luego sumamos los productos obtenidos.

Cuál es el número de alcobas en 2009?__________

Para determinar el número de patios construidos en 2009 se multiplica cada elemento de la segunda fila de C por el elemento correspondiente de la primera columna de R y luego sumamos los productos obtenidos.

Cuál es el número de patios en 2009? ___________

Ahora puede construir la matriz completa de los dos años que es la matriz producto de:

CxR =

Ejemplo 2.

 

ACTIVIDAD 4.

HOJA DE TRABAJO

I. En cada ejercicio realiza: a) A + B b) B – A c) 2 A + 3 B d) 5 A - 4 B

1)

A=|1 23 4

−1 0| B=|

−1 32 60 4

|

2) A=|5 −2

3 8|B=|6 −3

4 9|

3)

A=|−2 5 6−4 7 −13 −4 2

|

B=|−5 −2 7−3 4 −8−2 −9 −7

|

4) A=| 3 0 1

−2 −1 2|B=| 0 2 1

−1 −2 3|

5) A=|1 0|

6)

A=|

1 2 3 4−2 −3 −4 −50 3 2 1

−1 2 −2 0

|

B=|

5 7 −9 40 3 1 −14 6 −8 75 0 3 4

|

7) A=|0| B=|−1|

8) A=|2 −5| B=|5 7 9|

9)

A=|−5 −3−2 −8

|

B=| 2 −1−7 3

|

10) .

ii. Encuentra AB y BA, si es posible.

1) A=[3 5

2 −6 ] B=[5 −21 7 ]

2) A=[ 4 −3

−2 1 ] B=[2 14 2 ]

10 B

3)

A=[3 0 −10 4 25 −3 1 ] B=[1 −5 0

4 1 −20 −1 3 ]

4)

A=[5 0 00 −3 00 0 2 ] B=[3 0 0

0 4 00 0 −2 ]

5)A=[ 4 −3 1

−5 2 2 ] B=[ 2 10 1

−4 7 ]6)

A=[1 23 45 6 ] B=[ 0 2

−1 −23 4 ]

7)

B=[123 ]8)

A=[1 2 34 5 0 ] B=[1 5 7

2 3 0 ]Iii Resolver problemas:

1) Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a destajo para una compañota de muebles .Por cada juego de alcoba en caoba les pagan $500; si es de cedro les pagan $400 y si es de pino tratado les pagan $100. A continuación están las matrices A y B que representas sus producciones en enero y febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad.

JoséPedroArturo

[Caoba Cedro Pino2 0 31 1 41 2 3

] [Caoba Cedro Pino1 2 32 0 32 1 4

]Caoba 500Cedro 400Pino 100

Producción

enero

A

Producción

febrero

B

Salario/

Unidad

X

Calcule las siguientes matrices y decida que representan.

a) AX b) BX c) A+B D) ( A+B ) X

2. Evalúa la expresión matricial

A=[3 −3 72 6 −24 2 5 ] y B=[-9 5 -8

3 -7 1-1 2 6 ]

3. Evalúa:

a) A2+B2

b) 3 A−BA c) A2−5 B d) A+ A2+B+B2

 4.    Una fábr ica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres

terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la

terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la

terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la

terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la

terminación S. La terminación N l leva 25 horas de ta l ler y 1 hora de

administración. La terminación L l leva 30 horas de ta l ler y 1.2 horas

de administración. La terminación S l leva 33 horas de ta l ler y 1.3

horas de administración.

1.Representar la información en dos matr ices.

2.Hal lar una matr iz que exprese las horas de ta l ler y de

administración empleadas para cada uno de los modelos.