GUÍA “INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS”

OBJETIVO:

Aprender a usar el método de sustitución trigonométrica para resolver

integrales en que aparezcan lo radicales

Capacidad de plantear opciones de solución a diferentes tipos

de problemas de aplicación del cálculo Integral.

Son los casos de integrales de la forma:

∫ ∫ ∫ dx

1. ∫

a. impar positivo

El que tenga potencia impar se descompone en la máxima potencia par

Si es

Si es

El objetivo es transformar esa potencia par en términos de la otra función

trigonométrica

Usando la identidad ; el término de potencia 1 que queda

servirá como diferencial en una integración por sustitución.

EJEMPLO 1: ∫

∫ = ∫

= ∫( ) ( ) multiplicando los dos términos

= ∫ ∫

Remplazando en la integral

tenemos:

= ∫ ( ) ∫ ( ) integramos

=

EJEMPLO 2: ∫

En este caso ,

: ∫ = ∫

= ∫ x ( )

=∫ ( )

Se desarrollan los productos que se forman dentro de la integral y se separan

las integrales:

: ∫ = ∫ ( )

= ∫ ∫ ∫

Dónde:

∫ = ∫ ∫ ∫

=

Con lo cual se observa que si ambas funciones tienen potencia impar es más

corto trabajar con la que este elevada a la potencia menor.

b. pares positivas

Para ambas se usan las identidades: ( )

( )

Con este procedimiento se pasa del cuadrado al argumento doble

EJEMPLO 3: ∫

∫ = ∫( )

( )

=

∫( ( ))

=

∫ ∫

( )

=

(

( ))

=

( )

EJEMPLO 4: ∫

∫ ∫(

)

=

∫( ( ) ( ))

=

( )

∫ ( )

=

( )

∫( ( ))

=

( )

( )

=

( )

( )

∫

a. es impar positiva

S e toma la máxima potencia par, para transformarla en términos de

utilizando

EJEMPLO 5: ∫

∫ = ∫

= ∫( ) ( )

= ( ) ∫ ( )

Donde remplazamos en

términos de

= ∫ ∫

=

EJEMPLO 6: ∫

∫ = ∫

∫( )

= ∫( )

= ∫ ∫ ∫

= ∫ ( ) ∫ ( ) ∫

Donde y

Remplazando tenemos:

= ∫ ∫ ∫

(con z= cosx )

=

=

| |

b.

Se aísla el resto que tiene potencia par se pone en función de con

Para usar en una integral por sustitución

EJEMPLO 7: ∫

∫ = ∫

∫( )

∫ ∫

= ∫

=

=

EJEMPLO 8: ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( ) =∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( ( )) ( )

∫ ( ) ( ( )) ( )) ( )

∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) +∫ ( ) ( )

( ) ( )

( )

=

∫ ∫

∫

=

( )

( )

( )

c.

Se pasan las potencias pares de tangente a potencias de secante; si llegan a

quedar potencias impares de secante se reduce al caso siguiente.

EJEMPLO 9: ∫

∫ ∫( ) =

EJEMPLO 10: ∫

∫ ∫( ) = ∫ ∫

d.

Se hace por partes

EJEMPLO 11. ∫

∫ ∫

( )

= ∫

= ∫ ( )

= ∫ + ∫

∫ | |

=

[ | |]

3 ∫

a. Si

Ejemplo: 12 ∫

∫ = ∫

Aplicando la identidad:

∫( )

Tenemos:

= ∫ ( ) ∫ ∫

= -

= = -

b. Si

Ejemplo 13: ∫

: ∫ = ∫

Aplicando la identidad

Tenemos:

= ∫ ( )

= ∫ ( ) ∫ ∫

=

=