UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE SAN LUIS POTOSÍ“Ciencia, tecnología y cultura al servicio del ser humano”

Guía de ejercicios primera unidadMATEMÁTICAS IVPrimavera 2015

1. Clasifica por tipo, orden y linealidad las siguientes ecuaciones diferenciales dadas:a)d2 yd x2

−(1− y2 ) dydx

+9 y=0

b)

√1− y d2 ydx2

+2x dydx

=0

c)dydx

=y (2−3 x)x (1−3 y)

d)∂2u∂ x2

+ ∂2u∂ y2

=0

e)d zd x

=k z (C−z )

f)d wdt

=(1−w)(2+w)

g)

y (1+( dydx )2)=C

h)d2 ydx2

−2 x dydx

+2 y=0

i)

xd2 ydx2

+ dydx

+ xy=0

j)

−2 d3 yd t 3

=t (3−t )

k)∂N∂t

=∂2N∂ t 2

+1r∂ N∂r

+kN

l)d2 xdt2

+8 t dxdt

+9 x= tan (3 t )

2. Determina si las siguientes funciones constituyen soluciones de las ecuaciones diferenciales correspondientes:

a)

y=ex−xdydx

+ y2=e2x+ (1−2 x ) ex+x2−1

b)

y=sen ( x )+x2

d2 yd x2

+ y=x2+2

c)y=sin (x )+A cos (x )

cos (x ) dydx

+ y sin ( x )=1

d)

y2=e2 x+cyy ´=e2 x

e)

y=3 sen (2 x )+e−x

y ' '+4 y=5 e−x

f)x2 y2+x3=c

(2 y2+3 x )dx+2 xy dy=0g)

x y3−x y3 sen (x )=1dydx

=(xcos ( x )+sen ( x )−1) y

3( x−xsen(x ))

h)x2=2 y2 ln ( y )dydx

= xy

x2+ y2

i)

y=sin x3x

xdydx

+ y=cos x

3. Soluciona las ecuaciones diferenciales de variables separables en los casos indicados, utiliza las condiciones iniciales dadas:

a)dydx

=xex2− y

b)x y'=(1−2 x ) tan ( y )

Sol.

c)y '=x3(1− y ) y (0 )=3

Sol. y=2e− x4

4 +1

Sol. e y=1

2ex

2

+C ln (sin ( y ) )=ln ( x )−x2+C

d)dxdt

=4 (x2+1 ) x ( π4 )=1Sol. x= tan (4 t−3π4 )

e)dxdt

+x2=x

Sol. x= C e t

Ce t−1 con x≠1

f)dydθ

= ysen (θ) y (π )=−3

Sol. y=−3e−1−cos (θ )

g)dydx

=2√ y+1cos ( x )

y (π )=0Sol. y=sen2 ( x )+2 sen (x)

h)d ydx

=2 x cos2( y ) y (0 )= π4

Sol. y=arctan (1+ x2)

i)dydx

=x2(1+ y) y (0 )=3

Sol. y=4e x3 /3−1

4. Soluciona las ecuaciones diferenciales lineales en los casos indicados, utiliza las condiciones iniciales dadas:

a) xdydx

+2 y=3

Sol. y=32+C x−2

b) x2 y ´+xy=x3

Sol. y= x

2

3+Cx

c) ( t+ y+1 )dt−dy=0Sol. y=−t−2+c et

d) dxdt

+x tan (t)=sec(t)

Sol. x=sen(t )+C cos (t)

e) (x2+1 ) dydx

+xy=x

Sol. y=1+c (x2+1)−1 /2f) dydx

− yx=x ex ;x (1 )=e−1

Sol. y=x ex−x

g) t3 dxdt

+3 t 2 x= t ; x (2 )=0

Sol. x=12t

− 2t3

h) dTdt

=k (T−40 )T (0 )=100

Sol. T=40+60ekti) dydt

+2 y=50 e−10 t ; y (0 )=40

Sol. y (t )=1854e−2 t−25

4e−10t

5. Soluciona las ecuaciones diferenciales exactas en los casos indicados, utiliza las condiciones iniciales dadas:

a)

Sol.

b) (e xsen y−2 y sen x )+(e xcos y+2cos x ) y '=0

Sol. ex sen y+2 y cos x=c

c) Sol.

d) (cos x cos y+2 x )dx−(sen x sen y+2 y )dy=0

Sol. sen xcos y+x2− y2=c

e) ( t / y )dy+ (1+ ln y )dt=0Sol.

t ln y+ t=cf) (2 x+ y

1+x2 y2 )dx+( x

1+x2 y2−2 y )dy=0

Sol.x2− y2+arc tan xy=c

g) (1/ x+2 y2 x )dx+(2 y x2−cos y )dy=0; y (1 )=πSol.

h) (e t y+t et y )dt+(t et+2 )dy=0 ; y (0 )=−1

ln x+x2 y2−sen y=π2 Sol.y=−2/ (t e t+2 )i) ( y2 cos x−3 x2 y−2x )dx+(2 y sen x−x3+ ln y )dy=0 ; y (0 )=e

Sol.y2 sen x−x3 y−x2+ y ln y− y=0

6. Soluciona las ecuaciones diferenciales por ecuación de Bernoulli:

a) xdydx

= 1

y2− y

Sol. y3= x3+cx3

b) dydx

=2 yx

−x2 y2

Sol. y= 5x2

x5+c

c) dxdt

+t x3+ xt=0

Sol. x−2=2 t 2 ln|t|+c t 2

d) drdθ

= r2+2 rθθ2

Sol. r= θ2

c−θ

e) y1 /2 dydx

+ y3 /2=1 y (0 )=4

Sol. y3 /2=1+7 e−3 x/2

f) x y'+x5 y=x5 y1 /2

Sol. y1 /2=1+ce−110x5

7. Realiza la gráfica en Maple de la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales. Indica la condición inicial en cada ejercicio. Utiliza un intervalo apropiado dentro del dominio de la solución.i) Ejercicio 3: d), f), g)ii) Ejercicio 4: g), h) utiliza k=−1/2, i)iii) Ejercicio 5: g), h), i)iv) Ejercicio 6: e)

Solución al ejercicio 73d) 3f) 3g)

4g) 4h) Utiliza k=−1/2 4i)

5g) 5h) 5i)

6e)