guia ejercicios n°12 aplicaciones progresion geometrica
DESCRIPTION
matesTRANSCRIPT
![Page 1: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/1.jpg)
TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios
Título Actividad: Aplicaciones de Progresión Geométrica
Nombre Asignatura: Álgebra Sigla MAT200
Semana Nº: 14 Actividad Nº 12 Lugar Sala de clases
APRENDIZAJES ESPERADOS:
Aprendizaje 1
Resolver problemas de fenómenos modelados con progresiones
geométricas en contextos de educación superior, cotidianos o
simulaciones de situaciones laborales.
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 1
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
RECUERDA:
a) El primer término de la progresión es a1.
b) La razón R, se puede obtener de la siguiente manera:
, o , o ……, etc.
c) El término de lugar n es: 1
1
n
n Raa
d) La suma de los n primeros términos es:
)1(
11
R
RaS
n
n ; 1R .
![Page 2: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/2.jpg)
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 2
EJEMPLO 1
Cuenta la leyenda que el rey Shirham, rey de la India, estaba muy deprimido por haber
perdido a su hijo en una batalla. Un sabio de su corte llamado Sissa Ben Dahir le llevó el
juego del ajedrez para animarlo y le enseñó a jugar. El rey Shirham, quedó tan
impresionado con el juego que se ofreció a regarle a su inventor lo que pidiera como
recompensa. Así, el inventor para darle una lección de humildad, le pidió lo siguiente: un
grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera,
ocho por la cuarta... y así sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad anterior
hasta llegar a la última.
a) Determine la cantidad de granos que se debieran colocar en la casilla 10.
b) ¿Cuál será la cantidad total de granos que debió recibir el sabio Sissa Ben Dahir?
DESARROLLO
El primer término de la progresión a1, corresponde a la cantidad de granos de trigo que se
deben colocar en la casilla 1 del ajedrez, y la razón R, corresponde al valor por la cual se
debe ir multiplicando la cantidad de granos de trigo de la casilla anterior.
a1 = 1 R = 2
a) Determinar la cantidad de granos de trigo que se deben colocar en la casilla 10,
corresponde a calcular el décimo término de la progresión (a10).
1
1
n
n Raa
9
110 Raa
9
10 21a
51210 a
Respuesta: En la casilla 10 del tablero de ajedrez, se deben colocar 512 granos de trigo.
b) Determinar la cantidad total de granos que debió recibir el sabio, corresponde a calcular
la suma de todos los términos de la progresión, es decir la suma de los primeros 64
términos de la progresión (S64), ya que el tablero de Ajedrez tiene 64 casillas.
1
)1(1
R
RaS
n
n
![Page 3: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/3.jpg)
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 3
1
)1( 64
164
R
RaS
12
)12(1 64
64
S
19
64 10844674407,1 S
Respuesta: El sabio debió recibir un total de 1910844674407,1 granos de trigo.
Ejemplo 2
En un laboratorio de inmunología se tiene un cultivo de células, donde la población inicial es
de 2 células. Este cultivo se comporta de tal manera que la población se triplica cada hora.
Determine:
a) ¿Cuál será la población de células al cabo de 4 horas?
b) ¿Cuál será la población de células al cabo de 2 días?
DESARROLLO
El primer término de la progresión a1, corresponde a la población inicial de células del
cultivo, y la razón R, corresponde al valor por la cual se debe ir multiplicando la cantidad de
células de la hora anterior.
a1 = 2 R = 3
a) Determinar la población de células al cabo de 4 horas, corresponde a calcular el quinto
término de la progresión, ya que el segundo término corresponde a la población de
células al cabo de una hora.
1
1
n
n Raa
4
15 Raa
4
5 32 a Þ a5 =162
Respuesta: Al cabo de 4 horas la población de células será de 162.
b) Determinar la población de células al cabo de 2 días (48 horas), corresponde a
calcular el término de posición 49 de la progresión.
![Page 4: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/4.jpg)
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 4
an = a1 × Rn-1
48
149 Raa
48
49 32 a 23
4910595328862,1 a
Respuesta: Al cabo de 2 días la población de células será de 2310595328862,1 .
I. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.
1. La tasa de crecimiento de una población es del 2% anual. Si la población actual es de
600.000 habitantes, determine:
a) ¿Cuántos habitantes aprox. tendrá dentro de doce años?
b) ¿Cuántos habitantes aprox. tendrá dentro de veinte años?
2. Diego, decide ahorrar dinero durante un año y medio. Si el primer mes ahorra $1.000, el
segundo mes $2.000, el tercer mes $4.000, determine:
a) ¿Cuánto dinero ahorra el décimo mes?
b) ¿Cuál es el ahorro total que tendrá Diego?
3. Víctor trabaja en una empresa eléctrica durante ocho horas diarias. Su trabajo consiste
en solucionar problemas eléctricos de diferentes hogares chilenos. Si en la primera hora
de trabajo se registraron 4 solicitudes, y las solicitudes registradas durante un día se
cuadruplican cada hora, determine:
a) ¿Cuántas solicitudes se registran en la quinta hora de jornada laboral?
b) ¿Cuántas solicitudes registró Víctor en su día de trabajo?
![Page 5: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/5.jpg)
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 5
II. RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA.
4. Una población de moscas, aumenta cada día a una razón constante. Se sabe que el
séptimo día la población es de 3.200 moscas y el décimo día 25.600 moscas. Determine
la población de moscas al cuarto día.
5. La altura de un árbol de rápido crecimiento aumenta cada año a una razón constante. Si
en el segundo año tiene una altura de 1,125 metros y el quinto año mide exactamente
3,796875 metros. ¿Cuántos metros de altura aproximadamente, tendrá el árbol al noveno
año? (aproxime el resultado).
6. Héctor, padre de Matías, decidió ahorrar dinero desde el primer cumpleaños de su hijo. Si
el primer año ahorró $100, el segundo año $210, el tercer año $441 y así durante los
demás cumpleaños. ¿Cuánto dinero en total tendrá guardado Héctor al otro día del
cumpleaños número 18 de Matías? ( Aproxime su resultado a un número entero)
![Page 6: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/6.jpg)
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 6
ANEXO DE EJERCICIOS
GUIA N°12
APLICACIONES PROGRESION
GEOMETRICA
![Page 7: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/7.jpg)
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 7
Con los siguientes ejercicios de aplicaciones de la progresión
geométrica, podrás seguir practicando, para abordar los
aprendizajes esperados de la Guía, relacionados al cálculo de
términos de una progresión o sumas de una progresión geométrica
en ejercicios aplicados.
III. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.
7. En un estudio realizado a una empresa, se observó que debido a un gran virus, el primer
día se infectaron cuatro computadores, el segundo día seis computadores, el tercer día
nueve computadores. Si el virus se sigue propagando de igual forma, determine:
a) ¿Cuál es la cantidad aproximada de computadores infectados el vigésimo día?
b) ¿Cuál es aproximadamente el total de computadores infectados los 20 primeros días?
8. Tamara deposita $1.500.000 en una cuenta de ahorro en el Banco Vida Segura, a una
tasa de interés del 1,2% mensual. Determine:
a) Al cabo de dos años, ¿cuál es el monto aproximado que se acumuló?
b) Al cabo de tres años, ¿cuál es el monto aproximado que se acumuló?
9. Joaquín compró en una automotora un auto cero kilómetro marca Toyota Yaris a un
precio de $6.500.000. Sabiendo que al final de cada año de uso, sufrirá una depreciación
del 10% del valor que tenía al principio de ese año, determine:
a) ¿Cuál será el valor del auto al cabo de 3 años?
b) ¿Cuál será el valor del auto al cabo de 5 años?
![Page 8: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/8.jpg)
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 8
IV. RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA.
10. Una empresa constructora tomó la decisión de comprar una nueva máquina excavadora.
Se calcula que al final de cada año sufrirá una depreciación porcentual con respecto al
valor del principio del año. Si el valor de la máquina, al cabo de 4 años es de
$52.488.000 y al cabo de 7 años es de $38.263.752. Determine el valor de la
excavadora al final de 12 años. (Aproxime su resultado a un número entero).
11. Para construir un complejo turístico, una empresa compra un terreno de 100 hectáreas,
las que se pagarán en 15 abonos bajo una progresión geométrica. Se sabe que el
décimo primer abono es de $6.246.400 y el décimo cuarto abono es de $49.971.200.
Determine el valor del terreno.
12. Una empresa de publicidad ofrece para un puesto de trabajo un salario inicial, y un
aumento anual en un porcentaje constante. Javier se presenta a la entrevista y el
encargado del departamento de recursos humanos le explica que en el segundo año de
trabajo su sueldo será de $463.050 y que en el cuarto año de trabajo será de
$510.512,625. Determine el salario aproximado que Javier recibiría en el décimo año de
trabajo en la empresa.
![Page 9: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/9.jpg)
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 9
LISTA DE COTEJO GUÍA N°12:
APLICACIONES DE LA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
A continuación se te presenta una lista de actividades que debes llevar a cabo, para poder
completar todos los pasos del desarrollo de un ejercicio.
Esta lista, te permitirá revisar si lo que estás generando como desarrollo tiene todos los
pasos que serán considerados en la evaluación:
Calcula el n-ésimo término de una Progresión Geométrica:
Identifica de la PG los valores asociados a “a1” y “R”.
Reemplaza en la fórmula del n-ésimo término los datos de la PG.
Obtén el valor del n-ésimo término.
Interpreta el valor del n-ésimo término de la progresión geométrica.
Redacta una respuesta escrita, que permite identificar a que corresponde el valor obtenido
de la PG.
Calcula el lugar de una Progresión Geométrica dado el término:
Identifica del enunciado los datos relevantes.
Reemplaza en la fórmula del término de la progresión geométrica los datos obtenidos del
enunciado.
Despeja la potencia que contiene a la incógnita.
Resuelve la ecuación logarítmica.
Obtén el valor de n.
Interpreta el valor de n de la progresión geométrica en el contexto del problema dado.
Calcula la suma de los n-ésimos primeros términos de una
Progresión Geométrica:
Identifica los datos necesarios “a1” y “R” del enunciado.
Identifica el valor de “n”.
![Page 10: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/10.jpg)
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 10
Reemplaza los valores en la fórmula de la suma de los “n” primeros términos de la
progresión geométrica.
Interpreta el valor de la suma de los “n” primeros términos de una progresión geométrica.
Redacta una respuesta escrita.
Calcula un término de una PG, teniendo información de otros
términos de la misma progresión:
Identifica información en el enunciado de la progresión geométrica.
Reemplaza los datos obtenidos en sus respectivas fórmulas de la progresión geométrica.
Despeja de ambas expresiones el término “a1”.
Iguala las expresiones despejadas.
Calcula el valor de “r”.
Identifica el primer término y la razón de la progresión geométrica.
Calcula el valor numérico del término pedido.
Interpreta el valor del término de la progresión geométrica en el contexto del ejercicio en
el contexto del problema dado.
Redacta una respuesta verbal, que permita interpretar el valor de la progresión geométrica
en el contexto del ejercicio.
![Page 11: GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081802/563dbb25550346aa9aaa9e51/html5/thumbnails/11.jpg)
AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 11
SOLUCIONES
1. a) Dentro de 12 años tendrá 760.945 habitantes.
b) Dentro de 20 años tendrá 891.568 habitantes.
2. a) El décimo mes ahorra $512.000.
b) El ahorro total de Diego será de $262.143.000.
3. a) Víctor en la quinta hora recibe 1.024 solicitudes.
b) Víctor recibe en el día 87.380 solicitudes.
4. La población de moscas al cuarto día será de 400 moscas.
5. Al noveno año el árbol tendrá una altura aproximada de 19,22 metros.
6. En 18 años tendrá ahorrado aproximadamente $57.352.708.
7. a) El vigésimo día se infectaron aproximadamente 8.867 computadores.
b) En los veinte días habrá aproximadamente 26.594 computadores infectados.
8. a) Al cabo de dos años se acumuló aproximadamente $1.997.209.
b) Al cabo de tres años se acumuló aproximadamente $2.304.569.
9. a) Al cabo de 3 años el valor del auto será $4.738.500.
b) Al cabo de 5 años el valor del auto será $3.838.185.
10. Al final del año 12 la excavadora tendrá un valor de $22.594.363.
11. El valor del terreno es de $199.878.700.
12. Al llevar 10 años en la empresa, recibirá el décimo año de trabajo un sueldo de
$684.136.