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BACHARELATO SEMIPRESENCIAL E A DISTANCIA

GUÍA DO ALUMNADO

SEGUNDO CURSO

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

MATERIAS PROPIAS DE MODALIDADE

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INTRODUCCIÓN 0. AUTORAS Paula Blanco Mosquera y Delia Labraña Roselló. 1. LA MATERIA La asignatura de Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales tiene un papel fundamentalmente instrumental, orientado a la resolución de problemas relacionados con la economía, demografía,... Estos problemas se abordan aquí con el rigor, precisión y abstracción propias de las matemáticas, lo que permite desarrollar la capacidad de razonamiento y la actitud crítica del alumno. 2. EL LIBRO DE TEXTO El libro de texto que se ha utilizado para la elaboración de esta guía y recomendado para el estudio de la asignatura es: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Autores: J. Cólera, R. García y M. J. Oliveira Editorial: Anaya Madrid, 2003, ISBN 84-667-2164-9 3. MÉTODO DE TRABAJO RECOMENDADO 1º) Leer las indicaciones de la guía correspondientes a una unidad (comentarios, objetivos y enunciados de los ejercicios). Esto ayuda a centrar el estudio de la unidad en las partes más relevantes. 2º) Leer la introducción a la unidad que aparece en el libro de texto recomendado (en las dos primeras hojas de cada unidad). Esto ayuda a: - ubicar el tema en su contexto - entender las principales ideas - tener una visión de la estructura de la unidad. 3º) Leer cada apartado de teoría intentando entender las ideas que se exponen y los ejercicios que aparecen resueltos a modo de ejemplo. Es muy importante dedicar el tiempo suficiente a este punto y asegurarse de que se han entendido bien, por ejemplo, repitiendo, sin mirar las soluciones hasta el final, los ejercicios anteriores. 4º) Resolver el mayor número posible de ejercicios propuestos. Es conveniente empezar por aquéllos de los que se conoce la solución. Los ejercicios del libro de texto del apartado “ejercicios y problemas propuestos” que aparecen marcados con un rombo amarillo están resueltos al final del mismo y los “ejercicios de autoevaluación” de la guía están resueltos al final de ésta. 5º) Resolver dudas: - preguntando personalmente al profesor del centro de EPA más cercano - llamando al IES San Clemente en el correspondiente horario de atención telefónica 6º) Resolver los “ejercicios para enviar” y remitirlos al tutor/a de Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II del IES San Clemente. Se devolverán corregidos y comentados si se reciben con la antelación suficiente al examen de evaluación que corresponde a la unidad. El envío de estos ejercicios no es imprescindible para aprobar la asignatura, pero reportará los siguientes beneficios: - ayudar a mantener un adecuado ritmo de estudio - mejorar en el aprendizaje de la materia con las indicaciones sobre los ejercicios remitidas por el tutor/a.

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4. DISTRIBUCIÓN TEMPORAL DE LOS CONTENIDOS La materia está agrupada en tres bloques temáticos con un total de 11 unidades didácticas. La distribución temporal de estas unidades a lo largo del curso será la siguiente: Primera evaluación: Bloque de álgebra: unidades 1, 2 y 4 (Tiempo de preparación recomendado: un mes para cada una de las unidades) Segunda evaluación: Bloque de análisis: unidades 5, 6, 7, 8 (Tiempo de preparación recomendado: una quincena para la unidad 5, un mes para la unidad 6, un mes para la unidad 7 y una quincena para la unidad 8) Tercera evaluación: Bloque de probabilidad y estadística: unidades 10, 11,12 y 14 (Tiempo de preparación recomendado: un mes para la unidad 10, una quincena para la unidad 11, un mes para la unidad 12 y una quincena para la unidad 14) Nota: La numeración de las unidades que aparece en esta guía se corresponde con la del libro de texto recomendado. 5. EVALUACIÓN La evaluación está encaminada a saber hasta qué punto se alcanzaron los objetivos marcados para cada una de las unidades. El examen consistirá en resolver una serie de ejercicios de características similares, en cuanto a contenidos, a los que figuran en la guía como actividades de autoevaluación y actividades de enviar. En la corrección de los ejercicios se valorará positivamente: - La coherencia ordenada y razonada de la respuesta. - La claridad de la exposición. - La utilización de una adecuada terminología y notación matemática. - Si en el desarrollo de un ejercicio, bien por un mal planteamiento o por errores de cálculo, el alumno obtiene un resultado absurdo (la probabilidad de un suceso mayor que uno, por ejemplo), se valorará positivamente que el alumno se percate de este hecho y lo ponga de manifiesto. - La explicación de cada uno de los pasos que se da en la solución de los ejercicios. Los alumnos que aprueben las tres evaluaciones, tienen aprobada la asignatura. Si no las aprobasen todas, en la convocatoria final del mes de junio tendrán que examinarse de las evaluaciones suspensas. De no aprobar en esta convocatoria, en septiembre deberán examinarse de toda la materia aunque tuviesen aprobada alguna de las evaluaciones.

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UNIDAD 1 : SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE

GAUSS Posiblemente ya conoces algunos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales (sustitución, igualación, reducción). Ahora debes aprender el método de Gauss, que sistematiza los anteriores y te aportará nuevos beneficios, especialmente cuando el número de incógnitas sea grande y cuando se trate de calcular matrices inversas (unidad 2). El dominio de este tema te resultará imprescindible para afrontar los demás temas del curso, especialmente los del bloque de álgebra. Te será útil repasar el cálculo (fracciones, decimales, jerarquía de las operaciones, manejo de porcentajes) además de tus conocimientos de resolución de sistemas lineales de años anteriores.

Objetivos Resolver problemas con enunciados relativos a las ciencias sociales y a la

economía que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones lineales de dos o tres incógnitas.

Utilizar el método de Gauss en la discusión y resolución, si procede, de un sistema de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas.

Actividades de autoevaluación

1. Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas:

a)

=++=++=+−

54332132

zyxzyxzyx

b)

−=−+−=+=++

33132

232

zyxyx

zyxc)

=+=+=+

42832

52

yxyx

yx d)

−=+−=−+−

=+−

132552

623

zyxzyx

zyx

2. Clasificar y resolver, cuando sea posible, el siguiente sistema

−=+−=+

122

mmyxmymx

dándole previamente a m los valores que se indican

a) m=1 b) 1−=m c ) m=2

3. Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones de euros. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente, con lo que su beneficio total sería de 600000 €. Pero consigue más, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del 85%, respectivamente, lo que le da un beneficio total de 1’7 millones de euros. ¿Cuánto le costó cada objeto?

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Actividades para enviar 1. Clasificar y resolver cuando sea posible, el sistema siguiente, dándole previamente

a k el valor: a) k=8 b) k= 2

=++=−+=−+

102641432

kzyxkzyx

zyx

2. Una sociedad dispone de 2 millones de euros para invertir en bonos, fondos de inversión y acciones. La rentabilidad media de esos activos es de un 6%, 10% y 12%, respectivamente. Los inversores quieren que un 30% del total de su capital se invierta en acciones y que se alcance una rentabilidad final del 9%. ¿Cuánto ha de invertir en cada uno de esos bienes?

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UNIDAD 2 : ÁLGEBRA DE MATRICES.

Objetivos Utilizar las matrices para organizar y codificar información; operar con matrices

e interpretar los resultados obtenidos. Emplear el método de Gauss para calcular las inversas de matrices cuadradas y

para discutir y resolver, si procede, sistemas lineales con dos o tres incógnitas. Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales sencillos.

Nota: no es estrictamente necesario estudiar el concepto de rango, aunque aparece en el libro de texto recomendado

Actividades de autoevaluación 1. Calcula, utilizando el método de Gauss, la inversa de esta matriz o averigua, en su caso, que no la tiene:

−−

103121031

2. Resuelve la ecuación matricial:

IX =

−

2410

.1031 2

3. Resuelve el sistema matricial:

=+

−

=−

307110

32

211301

2

BA

BA

4. Una fábrica produce dos modelos de coches A y B, en tres acabados: D (diesel),TDi (turbo diesel) y GTi (gasolina). Produce, al mes, del modelo A: 200, 100 y 50 unidades en los acabados D, TDi y GTi, respectivamente. Produce del modelo B: 150, 50 y 10 unidades de análogos acabados. El acabado D lleva 25 horas de taller de chapa y 10 horas de montaje. El acabado TDi lleva 28 horas de taller de chapa y 12 de montaje y el acabado GTi lleva 28 y 15 horas de chapa y montaje, respectivamente.

a) Elabora dos matrices que contengan la información dada. b) Calcula las horas de taller de chapa y de montaje que son necesarios para cada

uno de los modelos

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Actividades para enviar

1. Resuelve la ecuación matricial:

−

=

−

−+

− 21

111100

225132

. XX

2. La siguiente matriz refleja la emigración anual en el año 1995 entre las comunidades autónomas de Galicia (GA), Castilla-León (CL), Comunidad Valenciana (CV) y resto del Estado Español (RE):

982'17'01'08'2972'005'42935'04'22'14'096

RECVCLGA

RECVCLGA

donde se indica, en cada fila, qué tanto por ciento de la población respectiva ha emigrado a cada uno de esos territorios. Además, la población, en el año 1995, de esas comunidades está dada por la siguiente matriz fila (en millones):

( )8'3045'27'2RECVCLGA

Suponiendo que la población total y las tasas de emigración se mantienen constantes, halla la distribución de la población en los años 1996 y 1997.

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UNIDAD 4 : PROGRAMACIÓN LINEAL.

Te será útil repasar la representación de rectas en el plano, y las inecuaciones con una o dos incógnitas.

Objetivos Interpretar y resolver gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones

lineales con dos incógnitas. Resolver problemas de programación lineal bidimensional.

Actividades de autoevaluación. 1. Representa gráficamente el conjunto de los puntos del plano que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes:

≥−≥+≥+

≥+

03164

363214

yxyxyx

yx

2. Para la región representada en el problema anterior, y con ayuda de las rectas de nivel, halla el máximo y mínimo que toma la función f(x,y)=3x+4y 3. Una empresa fabrica dos tipos de vajillas: tradicionales y modernas. Por cada vajilla tradicional gana 400 € y por cada moderna 250 €. Para hacer una vajilla tradicional se necesitan 5 horas en el taller de cerámica y 3 en el de decoración. Para hacer una vajilla moderna se necesitan 2 horas en el taller de cerámica y 5 en el de decoración. Sólo disponemos de 60 horas de trabajo diario en el taller de cerámica y 55 en el de decoración. ¿Cuántas vajillas de cada tipo debemos producir diariamente para que el beneficio sea máximo?

Actividades para enviar. 1. Disponiendo de 37 médicos, 58 ATS y de un presupuesto de 1,8 millones de euros se pretende crear centros médicos en dos tipos de zona de una región. Los recursos que se necesitan en cada zona son distintos: Zonas Médicos ATS € Valle 3 3 180.000 Montaña 2 4 60.000

Si las autoridades consideran prioritario prestar atención sanitaria al mayor número de personas y, además, si en cada centro del valle se proporciona asistencia a una media de 1.500 personas, y cada centro de la montaña puede atender a una media de 600 personas, ¿cuántos centros y en qué zonas pueden ponerse en funcionamiento?, ¿a cuanta gente se lograría atender? (Razonar la contestación, ya que tanto número de centros como nº de personas atendidas tienen que ser números naturales. Ver en pág 112 el ejercicio nº 3 y en pág 118 el ejercicio 22 con soluc.en pg 330 del libro de texto Anaya.) 2. Una persona quiere invertir 100.000 € en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% de beneficio anual. Decide invertir como máximo 60.000 € en la compra de acciones A y, por lo menos, 20.000 € en la compra de acciones B. Además, quiere que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir los 100.000 € para que el beneficio anual sea máximo?

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UNIDAD 5: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. Aunque las asíntotas en general se estudiarán en el tema 8, se puede aprovechar el cálculo de límites de este tema para ir determinando posibles asíntotas horizontales o verticales en casos sencillos. Te será útil repasar en el libro del curso pasado los tipos de gráficas que corresponden a funciones lineales, afines, cuadráticas, 1/x, x , ex, lnx, senx, cosx, tgx. Estas gráficas te proporcionarán información que luego podrás utilizar para analizar el comportamiento de funciones más complicadas. Fíjate sobre todo en la forma de la curva, el dominio y las asíntotas.

Objetivos Calcular límites de funciones polinómicas, racionales y de funciones que

contengan términos con raíces, exponenciales o logarítmicos, en puntos concretos o en el infinito, resolviendo indeterminaciones, si fuera necesario.

Utilizar el cálculo de límites y la definición de continuidad en un punto para analizar la continuidad de funciones definidas a trozos.

Calcular asíntotas horizontales y verticales de funciones racionales y de funciones en las que intervengan términos exponenciales y logarítmicos.

Resolver problemas de contexto socioeconómico que requieran interpretación y cálculo de límites, asíntotas y discontinuidades de funciones.

Actividades de autoevaluación 1. Calcula estos límites observando cuál es el infinito de orden superior:

a) )xe(lím 3x

x−

∞→; b) xx e

xlím 12 +∞→

; c) ( )xxxlímx

+−+∞→

27 ; d) ( )1xlnxlím 2x +∞→

.

2. Estudia la continuidad de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro a :

a)

>−≤+

=22

)( 2

2

xsixaxsiaxx

xf b)

>+≤

=020

)(xsiaxxsie

xfax

3. Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de euros) en relación con el valor x (en cientos de euros) de lo vendido por cada uno. Dicho

incentivo sigue la función:

>+

≤≤= 100

2300230

100001'0)( xsi

xx

xsixxI

a) Estudia la continuidad de I(x). Indica si el incentivo recibido por un empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a 10.000 €.

b) ¿Cuál es la cantidad máxima que un empleado podría recibir como incentivo si sus ventas fueran muy grandes?

Actividades para enviar

1. Calcula:

−

−−→ )1(

1)1(

221 xxx

límx

; x

x xxlím

−

∞→

−+ 1

312 ;

++

−∞→ 12

xxlím

x

2. a)Calcula los límites laterales de la función xx

xy39

2

2

−−

= en aquellos puntos en los

que no está definida. b)¿Cuáles son los puntos de discontinuidad?. c)Halla su límite cuando ∞→x y cuando −∞→x . d) Escribe las ecuaciones de sus asíntotas a partir de

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los resultados anteriores y representa su gráfica.

UNIDAD 6: DERIVADAS Y TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. Para obtener los conocimientos necesarios sobre el concepto y las técnicas de cálculo debes practicar mucho: haz todos los ejercicios resueltos del libro, pues los cálculos son a veces complicados y las confusiones iniciales son frecuentes. Presta especial atención a las funciones compuestas.

Objetivos

Calcular funciones derivadas de funciones polinómicas, racionales, con radicales y funciones que contengan términos exponenciales, logarítmicos o trigonométricos.

Calcular derivadas laterales para decidir sobre la derivabilidad de funciones definidas a trozos.

Resolver problemas de contexto socioeconómico que requieran interpretación y cálculo de derivadas.

Actividades de autoevaluación 1. Comprueba que )(xf es continua, pero no derivable en 2=x :

≥−<−

=2632)1ln(

)(xsixxsix

xf

2. La función cbxaxxxf +++= 23)( pasa por (1,1) tiene tangente horizontal en x=1

y un punto de inflexión en x=1.

Calcula a, b, c.

3. Se estima que si se gastan en publicidad x miles de euros, se venderán aproximadamente xexQ 1'04050)( −⋅−= millones de unidades de un cierto artículo. a)Halla la tasa de variación media de las ventas para los primeros 10.000 € invertidos. b)Halla el valor de las derivadas de la función para 10x,9x,1x === . c)Interpreta los resultados obtenidos.

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Actividades para enviar

1. Calcula a, b y c para que la función cbxax)x(f 2 ++= pase por el punto (0,3) y verifique que 2)1(f ' −= y tenga tangente horizontal en x = 2. 2. Deriva las siguientes funciones:

)1(4 −= xey x ; );2ln( 2 −= xy xy −= 1ln ; xexy ln

= ; 22 xseny =

UNIDAD 7: APLICACIONES DE LA DERIVADA Para determinar los máximos, mínimos y puntos de inflexión y los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad, hay unos criterios o reglas muy concretos. Para trabajar con seguridad te será muy útil conocer no sólo las reglas, sino también su explicación: son importantes los razonamientos de tipo gráfico que se hacen en el libro. No olvides que para aplicar estos criterios es necesario que la función sea derivable. Cuando no lo es, puede ser creciente/decreciente o tener un máximo/mínimo igualmente, pero has de averiguarlo por otros métodos. Normalmente te dan pistas en el enunciado del problema: en las soluciones de los ejercicios de autoevaluación se detallan algunos de estos casos. Nota: En el libro de texto se dice que una función derivable es cóncava en un punto cuando en los alrededores del punto las tangentes quedan “por debajo de la curva” y convexa en caso contrario. Según esto, en los intervalos de concavidad la curva tendría forma de copa, y, en los de convexidad, forma de montaña. Es así porque consideran que se mira la curva “desde arriba”. Sin embargo, quizá veas que en otros libros definen la concavidad y convexidad justo al contrario, y no debe extrañarte, ya que estos conceptos son relativos. Para evitar confusiones, llamaremos a las curvas que están por encima de sus tangentes (con forma de copa), cóncavas hacia arriba, y a las que tienen forma de monte, cóncavas hacia abajo.

Objetivos Resolver problemas que requieran relacionar fórmulas de funciones, o sus gráficas,

con las ecuaciones o las pendientes de sus rectas tangentes en distintos puntos. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de

una función por el método de derivadas sucesivas. Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de una

función por el método de derivadas sucesivas. Resolver problemas de optimización. Resolver problemas de ámbito socioeconómico que requieran analizar derivadas,

derivabilidad, crecimiento o puntos singulares de ciertas funciones.

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Actividades de autoevaluación

1. Halla los puntos de la función 1

2)(−

=x

xxf en los que la pendiente de la recta

tangente es igual a –2. 2. Un comerciante compra artículos a 350 € la unidad, y sabe que, si el precio de venta es 750 €, vende 30 unidades al mes; y que, por cada descuento de 20 € en el precio de venta, incrementa las ventas en 3 unidades cada mes. Determina el precio de venta que hace máximos los beneficios.

3. (Selectividad 96) Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Su precio )t(P , en miles de euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que éste llevaba en el

mercado, por la función:

≤<+−≤≤+

=8t2si25t)2/5(2t0si4t4

)t(P2

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de P(t) b) Calcula el precio máximo que alcanzó el artículo. c) Calcula la tasa de variación media del precio durante los últimos 6 años

4. Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la función 2

ee)x(fxx −−

=

Actividades para enviar 1. Se sabe que el rendimiento )t(r en tanto por ciento, en cada momento, de un estudiante que realiza un examen de una hora viene dado por )t1(t300)t(r −= , siendo

1t0 ≤≤ , t en horas. ¿En qué intervalos la función rendimiento crece o decrece? ¿Cuándo el rendimiento es nulo? ¿En qué momento el rendimiento es máximo? ¿Cuál es el rendimiento máximo? 2. Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de dicha pista sea de 200 metros, halla las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular.

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UNIDAD 8: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. Para representar una función no es necesario normalmente seguir toda una cadena de pasos: por la forma de la ecuación, con la experiencia que ya tienes, puedes hacerte una idea del tipo de gráfica que va a salir. Por ejemplo, si es polinómica, ya sabes que está definida en toda la recta, que es continua y no tiene asíntotas, así que debes centrarte en calcular los máximos, mínimos y puntos de inflexión. Si es racional, seguramente tiene asíntotas, y debes empezar por ahí, etc. Para conseguir un buen dominio del tema deberías analizar al menos un ejemplo de cada tipo, por eso es necesario que hagas todos los ejercicios resueltos de la lección. Como verás, el ejercicio 2 de la autoevalución es una ampliación del 4 de la unidad 7. No te extrañes al ver que algunos cálculos se repiten de otra forma: debes verlo como una comprobación de que normalmente, y más en estos temas de Análisis, caben distintos enfoques para una misma cuestión.

Objetivos Analizar características de funciones de ecuación dada (dominio, continuidad,

asíntotas, puntos singulares, intervalos de crecimiento-decrecimiento, intervalos de concavidad-convexidad, simetrías y periodicidad).

Representar gráficas de funciones a partir del estudio previo de sus características.

Interpretar las características y las gráficas de funciones dadas en contextos socioeconómicos.

Actividades de autoevaluación 1. La función

1x1x)x(f 2 −

+= no está definida en x = 1 ni en x = -1, sin embargo tiene

sólo una asíntota vertical. Justifica esta afirmación. 2. Estudia los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la siguiente función y

represéntala gráficamente: 2

ee)x(fxx −−

= .

3. La recta y = 2x + 6 es una asíntota oblicua de la función kx

1x2)x(f2

−+

= .

Halla el valor de k. 4. (Selectividad 98) Una empresa obtuvo la siguiente función de coste:

)x

144x9100(100)x(C ++= donde C(x) es el coste total en euros del almacenaje y

transporte durante tres meses de x toneladas de materiales. a)¿Qué cantidad de material hace que el coste sea mínimo? b)¿Cuáles son las asíntotas de esta función? c)Representa la función para valores de 0x ≥ .

Actividades para enviar

1. Dada la función p(x) = x3-3x + 1 , se pide : Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad, puntos de inflexión y dibujar la gráfica. ¿Cuántas raíces tiene el polinomio p(x)? 2. Representa las siguientes funciones, después de analizar la ecuación y obtener la información necesaria.

a) 2x41y−

= b) ( )2

2

3xxy−

= c) x

1xy2 +

= d) xln

xy2

=

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UNIDAD 10: CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Debes utilizar la regla de Laplace cuando los sucesos elementales sean equiprobables y no sea muy complicado contarlos. En otros casos utiliza la probabilidad de la unión o la intersección y a veces tendrás que usar el Teorema de Bayes. Conviene que trabajes mucho los ejercicios resueltos del libro, intentando enterarte bien del motivo por el que se usa un método y no otro. Practica también las formas de organizar los datos (diagramas de árbol y tablas de contingencia), que te serán muy útiles para enfocar el problema y hacer comprobaciones.

Objetivos Asignar probabilidades a sucesos utilizando la Ley de Laplace. Utilizar tablas de contingencia y diagramas de árbol para calcular probabilidades

compuestas, totales y condicionadas. Calcular probabilidades “a posteriori” a partir del Teorema de Bayes

Actividades de autoevaluación

1.Un aparato eléctrico está constituido por dos componentes A y B. Sabiendo que hay una probabilidad de 58'0 de que no falle ninguno de los componentes y que en el 32 % de los casos falla B no habiendo fallado A, determina la probabilidad de que en uno de tales aparatos no falle el componente A.

2.Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos 2 bolas, que resultan ser blancas. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la A. 3. (Selectividad 2001) Cuando los motores llegan al final de una cadena de producción, un inspector escoge los que deben pasar una inspección completa. Supongamos que se producen un 10% de motores defectuosos y que el 60% de todos los motores defectuosos y el 20% de los buenos pasan una inspección completa. Calcula:

a) Probabilidad de que un motor elegido al azar sea defectuoso y haya sido inspeccionado.

b) Probabilidad de que sea bueno y haya sido inspeccionado. c) Si sabemos que el 24% de los motores son inspeccionados ¿qué porcentaje de

los mismos son defectuosos?

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Actividades para enviar 1.En tres máquinas A, B y C se fabrican piezas de la misma naturaleza. El porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es respectivamente 1%, 2% y 3%. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina y se elige una pieza al azar.

Se pide :

a) Probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa

b) Probabilidad de que sea defectuosa y fabricada por la máquina A

c) Probabilidad de que sabiendo que es defectuosa , haya sido fabricada por la

máquina A

2. Se lanzan tres dados y se suman los puntos de las tres caras superiores.

La experiencia nos dice que es más fácil obtener suma 9 que suma 10 ¿Por qué?

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UNIDAD 11: LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS

Objetivos

Escoger, en distintos supuestos, el método de muestreo (aleatorio simple, sistemático o estratificado) que más convenga.

Aplicar algunas técnicas para extraer muestras por los métodos anteriores para casos sencillos.

Actividades de autoevaluación 1. En un conjunto de 1000 conductores hay

- 50 taxistas - 75 camioneros - 25 conductores de autobús.

El resto son conductores de vehículos corrientes y se reparten así: - 250 con más de 20 años de experiencia - 425 con una experiencia de entre 5 y 20 años - 175 con una experiencia de 0 a 5 años.

Para confeccionar una muestra de 40 individuos mediante muestreo aleatorio estratificado proporcional, ¿cuántos hay que seleccionar de cada uno de los seis estratos?

Actividades para enviar

1. En determinada provincia hay cuatro comarcas con un total de 1500 000 personas

censadas. De ellas 300 000 residen en C1 , 450 000 en C2 y 550 000 en C3 . Se quiere

realizar un estudio sobre las costumbres alimenticias de esa provincia basado en una

muestra de 3 000 personas.

¿Qué tipo de muestreo debemos realizar si queremos que en la muestra resultante

haya representación de todas las comarcas?

¿Qué número de personas habría que seleccionar en cada comarca atendiendo a

razones de proporcionalidad?

¿Cómo se seleccionarían las personas de cada comarca?

Justificar las respuestas.

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UNIDAD 12: INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE

LA MEDIA. Te será imprescindible para comprender este tema el dominio previo de la distribución normal (concepto, cálculo de probabilidades, manejo de tablas, cálculo de intervalos con una determinada probabilidad) y del cálculo de la media y la desviación típica de un conjunto de datos muestrales (agrupados o no). En el libro de texto se hace un breve repaso de la distribución normal, pero no así del cálculo de la media ni de la desviación típica, por lo que se recomienda utilizar los libros de años anteriores si no se tienen claros esos conceptos.

Objetivos Estimar la media poblacional y la desviación típica a través de las técnicas de

muestreo simple. Conocer la distribución de la media muestral y el teorema central de límite. Utilizando los dos apartados anteriores, determinar intervalos de confianza para

la media y discutir los errores y tamaños de las muestras, analizando de forma crítica los resultados.

Actividades de autoevaluación 1. La desviación típica de una variable estadística es σ=5. Para estimar la media de dicha variable, extraemos una muestra aleatoria de tamaño n=100 y obtenemos 8'2=x . Obtén un intervalo de confianza del 95 % para estimar la media de la población, µ. 2. Para estimar la estatura media de los jóvenes entre 15 y 25 años de una localidad, se ha medido a 40 de estos jóvenes, obteniéndose los siguientes resultados: ESTATURA (cm) [148, 153) [153, 158) [158, 163) [163, 168) [168, 173) [173, 168) Nº DE JÓVENES 2 4 11 14 5 4

Estima, con un nivel de confianza del 99%, el valor de la estatura media de los jóvenes entre 15 y 25 años de dicha localidad. 3. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110mg/cm3. Se sabe que la desviación típica de la población es de 20mg/cm3. a ) Obtén un intervalo de confianza, al 90%, para el nivel de glucosa en sangre de la población. b) ¿Qué error máximo se comete en a)?

Actividades para enviar 1. Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una universidad se distribuye según una ley normal de media 100 y varianza 729. a) ¿Cómo se distribuye el cociente intelectual medio de 36 alumnos? b) Halla la probabilidad de que una muestra de 36 alumnos tenga un cociente intelectual medio superior a 109. 2. El tiempo de vida de una clase de depuradoras de agua utilizadas en una planta industrial se distribuye normalmente, con una desviación típica de 2 000 horas. En un ensayo realizado con una muestra aleatoria de 9 depuradoras, se obtuvieron los siguientes tiempos de vida en miles de horas: 9’5, 10, 7’5, 10’5, 16’5, 10, 12, 32, 18 a) Halla un intervalo de confianza al 99% para la vida media de las depuradoras. b) ¿Cuál es el error máximo que se comete con la estimación anterior para la media? c) Calcula el tamaño mínimo que debería tener la muestra, en el caso de admitir un error máximo de 500 horas, con un grado de confianza del 95%.

18

SOLUCIONARIO

UNIDAD 1. 1. a)

−−

−→

−−

−−

−−→

−→

−

15

3

000150121

ª2ª3ª2ª1

45

3

150150121

ª1.3ª3ª1.2ª2

ª1

513

413312121

ª3ª1ª2

531

413121312

(3ª) 0=1 Ecuación imposible. El sistema es incompatible (no tiene solución). b)

−−−

−→

−−

−−−−

−−→

−−

− 05

2

000610

321

ª2ª3ª2ª1

55

2

610610

321

ª1ª3ª1.2ª2

ª1

31

2

311032321

(3ª) 0=0 La tercera ecuación no aporta información alguna. Podemos prescindir de ella. El sistema es compatible indeterminado. (2ª) 5656 +−=→−=−− zyzy (3ª) 8923)56.(2232 −=→=++−+→=++ zxzzxzyx Soluciones: (9λ-8, -6 λ+5, λ) λ ℜ∈ c)

−−

−→

−−

−−

−−→

02

5

0010

21

ª2.3ª3ª2ª1

62

5

3010

21

ª1.2ª3ª1.2ª2

ª1

485

123221

(3ª) 0=0 No aporta información. (2ª) 22 −=→=− yy (1ª) 15452 =→=+→=+ xxyx d)

−

−−−

−

+−→

−

−−−−

→

−−−−

−

420001

ª1.2ª3ª1.3ª2

ª1

56

512123

1

ª2ª1ª3.

156

312512

123

215

21

27

21

23

21

21

23

21

21

(3ª) 242 −=→=− zz (2ª) 115141572

1527

21 −=→−=−→−=+→=−− yyzyzy

(1ª) 23 21

21

21

23

21 =→−=−+→−=+− xxzyx

19

2. a) Si m=1 el sistema queda:

=+=+

00

yxyx

el sistema se reduce a una ecuación con dos

incógnitas. Despejando y = - x vemos que para cada valor de x obtenemos un valor de y .El sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado. Si lo estudiamos por Gauss:

1111

00

2ª-1ª

0011

00

2ª 0 = 0 ; Sistema compatible indeterminado.

Solución 0y=0 ⇒ cualquier valor de y verifica la igualdad . Si y =λ ( x=-y ) entonces

λ−=x

b) Si 1−=m el sistema es

−=−=+−

24

yxyx

La segunda ecuación se podría escribir

=+− yx 2 Con lo que el sistema quedaría

=+−=+−

24

yxyx

Evidentemente esto no puede

ocurrir por lo que se deduce que el sistema es incompatible.

Si lo estudiamos por Gauss

−

−11

11

− 24

2ª+1ª

−0011

24

2ª 0=2 Sistema

incompatible.

c) Si m=2 el sistema a estudiar es:

=+−=+1222

yxyx

2112

−12

2ª- 2·1ª

− 03

12

−52

El sistema es compatible determinado, hay un

único valor de x e y que son solución del sistema. En efecto :

En la 3ª 3553 −=⇒=− xx

En la 1ª 34

35.2222 =⇒

−−−=⇒−−= yyxy

3. Sean x, y, z los valores de los objetos de arte en millones de euros

=++=++

=++→

=++=++

=++

34171816125104

2

ª3.20ª2.20

ª1

7'185'09'08'06'025'05'02'0

2

zyxzyx

zyx

zyxzyx

zyx

−−−→

→

−−→

222

200120111

ª2.3ª3ª2ª1

422

160120111

ª2ª3ª1

242

120160111

ª1.16ª3ª1.4ª2

ª1

34122

1718165104111

(3ª) 122 =→−=− zz (2ª) 2

11222 =→=→=+ yyzy (1ª) 2

121 212 =→=++→=++ xxzyx

20

UNIDAD 2. 1.

−−−=→

−−−+

−→

→

−−−

−→

−−−

−−

+

−→

→

−−

−−−−→

−−

−−−

−−→

−−

−

145

149

146

141

141

144

143

143

142

1

145

149

146

705

705

7020

7015

7015

7010

5153

145

149

146

51

51

53

52

51

53

145

59

56

51

51

53

52

51451

53

51

51

51

51

100010001

ª3ª3.ª2ª3.ª1

00

1001001

ª3ª2ª1

100

001001

ª2.9ª3ª2

ª2.3ª1

1030001

19010

031

ª3ª2

ª1

103011001

190150031

ª1.3ª3ª1ª2

ª1

100010001

103121031

A

2.

3,4,17,233

164

163411

.1061

3411

.1061

2410

1001

.1061

1001

2410

1031

.1031

==−=−=→

==+

==+

→

=

→

→

=

→

+

=

→

=

−

dcbad

dby

cca

dcba

XXX

Por tanto

−−=

341723

X

Nota: En lugar de resolver el sistema podríamos haber multiplicado convenientemente

por la inversa de la matriz

1061

3.

−−−

=

−

=−

−

125512

7

211301

2

ª1.2ª2ª1

B

BA

(2ª)

−−−

=71

72

75

75

71

72

B

(1ª)

−

=→

→

−−−

+

−

=→

−

=

−−−

−→

−

=−

712

73

717

711

72

73

72

74

710

710

72

74

71

72

75

75

71

72

211301

211301

.2211301

2

A

AABA

21

4. a) La matriz N que nos informa del número de coches fabricados al mes, según modelo

y acabado, es:N

BA

GTiTDiD

=

105015050100200

La matriz que nos da las horas de chapa y montaje, por cada acabado, es:

HGTiTDiD

MonCha

=

152812281025

b) Las horas de taller de chapa empleadas al mes para el modelo A, cualquiera que sea el acabado, son: 200 . 25+100 . 28+50 . 28 = 9200, que es el producto de la primera fila de N por la primera columna de H. De modo semejante se obtendrían las horas para el modelo B. Por tanto, el producto de las matrices N.H nos suministra las horas pedidas.

N.H

=

152812281025

105015050100200

=2250543039509200

BA

MonCha

22

UNIDAD 4.

1. Tras dibujar cada una de las rectas asociadas a las inecuaciónes y estudiar qué semiplano representa su solución, la región obtenida como intersección de todos los semiplanos y por tanto solución del sistema es: 2. Las rectas de nivel asociadas a f son de la forma 3x+4y=k. Represento un par de ellas, por ejemplo, 3x+4y=12 y 3x+4y=24 (todas son paralelas). Es fácil observar que ,en este caso, a medida que crece k (es decir, a medida que la función f toma valores más altos) la recta de nivel está situada más arriba. Por tanto, como las rectas de nivel pueden ir aumentando indefinidamente y seguirían cortando la región factible, la función no alcanza el máximo en esa región. El mínimo lo alcanza en el punto B.

Podemos calcular las coordenadas de B como intersección de las rectas x+y=14 y 2x+3y=36:

)8,6(86

814

363214

Byx

yyx

yxyx

→

==

→

==+

→

=+=+

El mínimo de la función será: f(6,8)=3.6+4.8= 50

14 18

A

C

B

2 6 10

2

6

10

14

18

14

A

C

B

2

2

10

3x+4y=12

3x+ 4y=24

3x+ 4y=50

23

3. Sean x e y el número de vajillas tradicionales y modernas, respectivamente. Debemos maximizar la función: f(x,y)=400x+250y sujeta a las restricciones:

≥≥

≤+≤+

00

55536025

yx

yxyx

La región factible correspondiente es: Es cerrada y tiene 4 vértices: O(0, 0): intersección de las rectas x=0 e y=0 A(0, 11): intersección de las rectas x=0 y 3x+5y=55

==

→

=

=→

==

→

==+

→

==+

05

01155

0555

05550.3

05553

xy

x

yx

yx

yx

yx

B(12, 0): intersección de las rectas y=0 y 5x+2y=60

==

→

==

→

==+

→

==+

012

0605

0600.25

06025

yx

yx

yx

yyx

C(10, 5): intersección de las rectas 3x+5y=55 y 5x+2y=60

==

→

==+

→

→

==+

→

==+

+→

−=−−=+

−→

=+=+

105

1030010250

103001025

190193001025

ª1ª2ª1

1101063001025

ª1.2ª2.5

60255553

xy

xy

xyx

xyx

yxyx

yxyx

Por tanto la función alcanza el máximo y el mínimo en uno de esos vértices: f(0,0)=0, f(0, 11)=2750, f(12, 0)=4800, f(10,5)=5250 Alcanza el máximo cuando x=10 e y=5, es decir, debemos producir 10 vajillas tradicionales y 5 modernas para que el beneficio sea máximo.

10

30

10

20

40

20 30 40

A

O

C

B

24

UNIDAD 5 1. a) ∞=−

∞→)x(elím 3x

x

Se trata de una diferencia de funciones que tienden a ∞ cuando x tiende a∞ . El cálculo de este límite produce una indeterminación del tipo ∞−∞ . Si se tratase de fracciones algebraicas, efectuaríamos la resta para evitar la indeterminación, pero en este caso no es posible efectuarla. Sin embargo, podemos comparar los dos infinitos. En la página 132 del libro te explican cómo puedes hacerlo: las funciones exponenciales de base mayor que 1 “son infinitos” de orden superior a cualquier potencia de x, y por tanto ∞=−

∞→)( 3xelím x

x

1. b) 0e

1xlím x

2

x=

+∞→

Igual que antes, aplicando sin más las propiedades de los límites llegamos a la

indeterminación∞∞ y tampoco podemos efectuar la operación, el cociente en este caso.

También como antes, vemos que el infinito del denominador es de orden superior al del numerador, así que el cociente tiende a 0.

1. c) −∞=

+−+∞→

x2x7xx

lím

En este caso el segundo radicando es un polinomio de mayor grado que el primero y dado que las raíces tienen el mismo índice, se mantiene el orden de los infinitos, así que ahora el sustraendo es de orden superior.

1.d) ( ) ∞=+∞→ 1ln 2x

xlímx

Cualquier potencia de x es de orden superior a cualquier logaritmo. El infinito del numerador es de orden superior. También puedes usar este tipo de razonamiento para calcular límites en el infinito más frecuentes, de cocientes de polinomios de distinto grado, por ejemplo:

1.e) ∞=+−

∞→ 212

2

3

xxlím

x, ya que el grado del numerador es mayor y por tanto el numerador

es un “infinito” de orden superior al del denominador.

25

2.a) En primer lugar, la función es polinómica hasta 2 y después de 2 también. Lo que ocurre es que los polinomios son distintos y puede ser que en x=2, que es donde se produce el cambio, haya algún salto o discontinuidad. Fuera de este punto, para todos los 2≠x , la continuidad está asegurada por tratarse de funciones polinómicas. Veamos entonces qué pasa en 2x = : Para que la función sea continua en 2x = hace falta que )2(f)x(flím

2x=

→.

El valor del límite (si lo hay) tenemos que calcularlo a partir de los laterales, pues la ecuación a la izquierda de 2 es distinta de la de la derecha:

( ) 42)( 2

22+=+=

−→−→aaxxlímxflím

xx; ( ) 4)( 2

22−=−=

+→+→axalímxflím

xx.

Si queremos que haya límite, los laterales tienen que coincidir y eso nos llevará a una ecuación: 442 −=+ aa . Esta igualdad se cumple para 8a −= (es la solución de la ecuación), y efectivamente, si 8a −= , 12)x(flím)x(flím

2x2x−==

+→−→

Por otra parte, si 8a −= , 12)8.(22)2(f 2 −=−+= , así que si 8a −= , la función es continua en 2x = y por tanto, en toda la recta. Para cualquier otro 8−≠a , los límites laterales ya no coincidirían, así que justo en

2=x habría un salto en la gráfica que es lo que se conoce como una discontinuidad. 2.b) El razonamiento es el mismo que en el apartado anterior. La única complicación en este caso puede ser el primer trozo, que es exponencial en vez de polinómico. Conviene saber que las funciones exponenciales simples también son continuas, están definidas en toda la recta, etc.(Repasa estas gráficas en el libro del año pasado). Dado que los dos trozos son continuos (el segundo es una recta), la única posible discontinuidad estaría en 0=x .

=+

===

+→

−→a2)a2x(lím

1eeelím

0x

00.aax

0x Para que exista límite, 21a1a2 =⇒= ; entonces 1)x(flím

0x=

→ y

1)0(0.

21

== ef )()0(0

xflímfx→

=⇒ , cumpliéndose así la definición de función continua

en 0=x cuando 21a = ; Para cualquier valor de

21

≠a hay una discontinuidad en 0=x .

(Por ejemplo, si tomamos 1=a los límites laterales ya no coinciden. Puedes comprobarlo y ver como te quedaría la gráfica). 3.a)

Como en los casos anteriores: ⇒

==+

==

+→

−→

56

25003000

2300x2x30lím

1100.01'0x01'0lím

100x

100xlos límites laterales no

coinciden ⇒ la función es discontinua en 100=x . Tanto x como )x(I vienen dados en cientos de euros, por tanto x=100 se corresponde con 10.000 €, y los valores de los límites son 100 € y 120 €. La interpretación es que cualquier pequeña diferencia en las ventas que suponga traspasar la barrera de 10.000 €, supone que el incentivo salta de algo menos de 100 € a algo más de 120 €. Esto es lo que significa la discontinuidad.

26

3.b) Aquí nos están pidiendo el límite de la función cuando “x es muy grande”, cuando

tiende a ∞ ; 152

3023002

30)( ==+

=∞→∞→ x

xlímxIlímxx

; Esto quiere decir que la función de

los incentivos está preparada de tal forma que por mucho que se venda nunca se va a llegar a 1500 € de incentivo. Observa que gráficamente esto significa que y=15 es asíntota horizontal de esta función.

27

UNIDAD 6 1. La función xlny = es continua pero no está definida para los negativos ni el cero. Por ejemplo, para 1x = nuestro )1xln( − no existe, porque 0ln no existe. Habría que tener esto en cuenta si quisiéramos hacer un estudio global de la situación. Sin embargo aquí sólo nos piden el estudio en 2x = . Continuidad: 01ln)12ln()1xln(lím

2x==−=−

−→

0)6x3(lím2x

=−+→

062.3)2(f =−= , luego sí es continua en 2x =

Derivabilidad: [ ] 112

11

1)1ln()2(2

'

2

' =−

=

−=−=

−− →→

−

xlímxlímfxx

3)6x3(lím)2(f '

2x

' =−=+→

+

Las derivadas laterales no coinciden, hay un cambio de pendiente muy brusco (salta de 1 a 3 ) y aunque sí es continua, no es derivable en 2x = . Aquí hay lo que llaman en el libro un punto “anguloso”, una especie de vértice. En estos puntos no hay tangente.( En la pág. 155 del libro puedes ver unos ejemplos gráficos) 2. Si la función pasa por (1,1) quiere decir que f(1)=1 Si tiene tangente horizontal en x=1 la pendiente es 0 y como la pendiente de la tangente en un punto es la derivada de la función en ese punto , f´(1)=0 Si tiene un punto de inflexión en x=1 quiere decir que f´´(1)=0 (Los puntos de inflexión se encuentran entre los valores que anulan la segunda derivada) Sabiendo que

axxfbaxxxf

cbxaxxxf

26)´´(23)´(

)(2

23

+=++=+++=

Como:

0260)1´´(

0230)1´(111)1(

=+⇒==++⇒==+++⇒=

afbafcbaf

Resolviendo el sistema

−=−=+=++

62320

aba

cbaEn la 3ª ecuación

a=-3 que sustituyendo su valor en la 2ª se obtiene b=3 y sustituyendo los valores de a y b en la 1ª ecuación se obtiene c=0 La función es por tanto xxxxf 33)( 23 +−=

28

3. 104050e4050)0(Q 0.1'0 =−=−= − ⇒ se venden 10.000.000 unidades sin gastar nada en

publicidad. 284822'35e.4050e.4050)10(Q 110.1'0 =−=−= −− ⇒ se venden 35.284.822 unidades si se

gastan 10.000 € en publicidad. El incremento de ventas es 822.284.25000.000.10822.284.35Q =−=∆ unidades.

La tasa de variación media es: 528.2.000.10

822.284.25xQ

≅=∆∆ unidades vendidas a mayores

por cada euro gastado ( 528.2 unidades/euro), o bien 528'2≈ millones de unidades por cada 1000 euros. Sin embargo, esta relación es por término medio, como su nombre indica. Podemos afinar más, utilizando derivadas:

x1'0x1'0'x1'0'x1'0'x1'0' e.4)1'0.(e.40)x1'0.(e.40)e.(400)e.4050()x(Q −−−−− =−−=−−=−=−= . 619349'3e.4e.4)1(Q 1'01.1'0' === −− ¿qué significa este número?. Dado que la derivada es

el límite del cociente de incrementos , mantiene el significado de tasa de variación y serían 619349'3 millones de unidades por cada 1000 euros, o bien 619.3 unidades/euro. Esta es la tasa que tenemos después de haber gastado los primeros 1000 euros (la derivada se calculó para 1x = ).

626278'1e.4)9(Q 9.1'0' == − La tasa, después de gastar 000.9 euros es mucho más baja, de 626.1 unidades /euro.

471518'1e.4)10(Q 10.1'0' == − Alrededor de los 000.10 euros gastados, la relación es sólo de 472.1 unidades/euro aproximadamente. Puede decirse que a medida que los gastos en publicidad de este artículo crecen, resultan relativamente menos productivos .

29

UNIDAD 7

1. Al tratarse de una curva, la pendiente de las rectas tangentes va cambiando (observa el gráfico de la pág. 152 del libro de texto), y te piden el punto en el que esta pendiente toma un valor determinado. A veces te dicen que la tangente debe ser paralela a otra de pendiente conocida, o puede que te den la ecuación de la tangente (para este caso, recuerda que si pones la ecuación en la forma bmxy += , la pendiente es m ). En cualquier caso, hay que saber que la pendiente de la recta tangente a una gráfica en un punto es precisamente el valor de la derivada de la función en ese punto. La derivada de nuestra función es (para cualquier x) :

222

'''

)1(2

)1(2)1(2

)1()1(2)1()2()(

−−

=−−−

=−

−−−=

xxxx

xxxxxxf

¿en qué valor de x la derivada vale –2?

==

⇔

+−+

=⇔±=−⇔=−⇔=−⇔−=−−

02

1111

111)1(1)1(2)1(

2 22 x

xxxxx

x

Comprobación: 2)12(

2)2( 2' −=

−−

=f y 2)10(

2)0( 2' −=

−−

=f

2. Si hay que hacer máximos los beneficios, lo primero es encontrar la función que da los beneficios, que llamaremos B. Si no tenemos claro cuál debe ser la variable independiente x , podemos tomar algunos ejemplos para ver cómo funciona la relación entre los descuentos, las ventas y los beneficios:

Número de descuentos (x)

Precio por unidad

Beneficio por unidad Unidades vendidas

Beneficios totales B(x)

0 750 750-350 = 400 30 400⋅30=12000 1 (-20 €) 730 730-350=380 33 380⋅33=12540 2 (-40 €) 710 710-350=360 36 360⋅36 = 12960

5 (-100 €) 650 650-350=300 45 300⋅45 = 13500 6 (-120 €) 630 630-350=280 48 280⋅48 =13440 x (-20⋅x €) 750-20⋅x 750-20⋅x-350=400-20⋅x 30+3⋅x (400-20x)⋅(30+3⋅x)

Tomamos )330)(20400()( xxxB +−= (estamos tomando x como el “número de descuentos”) Para maximizar la función Beneficios calculamos 'B y vemos dónde se anula, porque en os máximos la derivada vale 0 .

600120)(1200060060)( '2 +−=⇒++−= xxBxxxB ; 506001200)(' =⇔=+−⇔= xxxB , por tanto 0)5(B' =

Comprobamos con la segunda derivada que efectivamente se trata de un máximo (podría ser un mínimo u otra cosa):

120)5(120)( '''' −=⇒−= BxB La primera derivada en 5=x vale 0 y la segunda derivada en 5=x es negativa, por tanto en 5=x la función )(xB tiene un máximo. Además es el único máximo, porque la ecuación 0)x(B' = sólo tiene 1 solución. Finalmente, determinamos el precio óptimo, que será 6501007505.20750 =−=− €. Se venderían a este precio 455330 =⋅+ unidades. El beneficio máximo será de 13.500 €.

30

3. Se trata de una gráfica muy sencilla (un trozo de parábola y un trozo de recta) y la representamos rápidamente para tener una idea general.

Fig. 1:Gráfica del ejercicio 3.

3.a) Parece claro en la gráfica que en 2t = la función es continua y hay un máximo pero no es derivable (hay un “punto anguloso” o de esquina). Crecimiento, Decrecimiento: Vamos a comprobar que en [ )2,0 crece y en ( ]8,2 decrece utilizando el criterio de la derivada (si la derivada en un punto es positiva, entonces la función es creciente en ese punto, y si es negativa, es decreciente).

t8)4t4( '2 =+ . Para 2t0 << , f0t8 ⇒> es creciente en ( )2,0 ; en t=0 la derivada vale 0, no tenemos criterio. Sin embargo, por la gráfica sabemos que es creciente también en ese punto.

25)25t

25( ' −=+−

Para ( ]8t2 ≤< , f025

⇒<− es decreciente en ( ]8,2

Para 2t = la función no crece ni decrece ( en todo caso, crece por la izquierda y decrece por la derecha). Cuando pasa esto, si la función es continua, hay un máximo. Fíjate que normalmente utilizamos el criterio de las derivadas para determinar si en un punto hay un máximo, sin embargo en este caso no podemos ya que aquí la función no es derivable. 3b) Si la función es continua en 2t = , el precio máximo es 20)2(P = . Aunque la gráfica parece continua, podemos asegurarnos comprobando que se cumple

la definición:

=+−=

=+=

=

++

−−

→→

→→

20)25t25(lím)t(Plím

20)4t4(lím)t(Plím20)2(P

2x2x

2

2x2x

3c) La tasa de variación media en los últimos 6 años es:

5'2615

6

20)258.25(

6)2(P)8(P

tP

−=−

=−+−

=−

=∆∆ miles de euros. Este valor de la tasa

significa que el precio disminuyó a un ritmo medio de 500.2 euros/año durante los últimos 6 años.

31

4. En primer lugar, observamos que la función es derivable en todo R (se trata de una diferencia de funciones continuas partida por un número), por tanto podemos utilizar los criterios de la derivada, en este caso la derivada segunda. El método es calcular la segunda derivada y ver en qué puntos se hace positiva o negativa:

)ee(21))1(ee(

21)ee(

21)x(f xxxx'xx' −−− +=−−=−= .

)ee(21)x(f xx'' −−=

0xxxee0)ee(210)x(f xxxx'' >⇔−>⇔>⇔>−⇔> −− (ya que los positivos son

mayores que los negativos). Acabamos de obtener que la función es cóncava hacia arriba en todos los x∈ ( 0,∞ ).

0xxxee0)ee(210)x(f xxxx'' <⇔−<⇔<⇔<−⇔< −− (ya que si x es negativo, x−

es positivo). Por tanto, la función es cóncava hacia abajo en todos los x ∈ ( -∞,0 ). Nota: El paso “ xxee xx −>⇔> − ” puede hacerse porque las bases de las potencias( e ) son iguales y mayores que 1. En otros casos no sería así. El paso “ 0xxx >⇔−> ” también puede justificarse con el método estándar de

resolución de inecuaciones: 0x20x0x2xx >⇔>⇔>⇔−>

Falta por ver cómo es la curva en 0x = , que no salió en los cálculos anteriores:

0)11(21)ee(

21)0(f 00'' =−=−= . Si la derivada que nos da el criterio se anula, no nos

proporciona la información que estamos buscando (por ahora, en 0x = la curva puede ser cóncava, convexa o ninguna de esas cosas. En estos casos, se busca información en la siguiente derivada. Sabemos que si la segunda se anula en un punto y la tercera no, en ese punto hay una inflexión.

012.21)0(f)ee(

21)x(f '''xx''' ≠==⇒+= −

En x = 0 hay un punto de inflexión .

32

UNIDAD 8 1. Se refieren a que muchas veces las asíntotas verticales aparecen en todos los valores de x que hacen cero el denominador, pero en esta ecuación por lo visto no es así. Veamos cuáles son esos valores: 1x1x1x01x 22 ±=⇒=⇒=⇒=−

En

+∞==−+

−∞==−+

=

+→

−→

+

−

02

1x1xlím

02

1x1xlím

:1x

21x

21x ⇒ la recta vertical 1x = es asíntota.

En

=−+

=−+

−=

+

−

−→

−→

00

1x1xlím

00

1x1xlím

:1x

21x

21x

Para resolver estas indeterminaciones podemos simplificar la fracción

1x1

)1x)(1x(1x

1x1x

2 −=

−++

=−+ (Esta fracción es igual a la primera en todos los puntos

excepto en 1x −= ). Para este valor de x , la primera no está definida mientras que la

segunda sí y vale 21

− .

21

1x1lím

1x1xlím

1x21x−=

−=

−+

−→−→, sin embargo )1(f − no existe, por lo que la función es

discontinua en 1x −= , pero aquí no tiene asíntota porque los límites laterales no son infinitos (se trata de una discontinuidad “evitable”, la gráfica salta un punto y continúa) En la página 146 del libro encontrarás un caso parecido. De este ejercicio puedes sacar una conclusión: Los valores de x que hacen 0 el denominador, indican asíntotas verticales, siempre que no hagan 0 también al numerador( en ese caso, al intentar calcular el límite aparece una indeterminación del

tipo 00 , y la existencia de asíntota dependería de si el límite finalmente da ∞± o no).

2. Conviene antes que nada recordar la gráfica de las exponenciales

Figura 2: Funciones e-x y ex

33

Máximos / mínimos:

2)(

2)1.()(

42.)()(

2)( ''

''

xxxxxxxx eexfeexfeexfeexf−−−− +

=⇒−−

=⇒−

=⇒−

=

10101)(01002

0)( 222

' −=⇔=+⇔=+

⇔=+⇔=+⇔=+

⇔= −−

xxx

x

xxxx

xx

eee

ee

eeeeexf

Para resolver la última ecuación podemos pensar en la gráfica de xe , que se mantiene siempre por encima del eje X, y por tanto no toma valores negativos en ningún caso. Otra forma es utilizar el método estándar de resolución de ecuaciones exponenciales: tomar logaritmos.

)1ln(x21e x2 −=⇒−= , que no existe. Por tanto, no es posible que la primera derivada se anule y esto quiere decir que la función no tiene máximos ni mínimos. Puntos de Inflexión:

2ee)

2ee()x(f

xx'

xx''

−− −=

+=

0021ln210102

0)( 2'' =⇔=⇔=⇔=⇔=−⇔=−

⇔=−

xxxee

eeexf xx

xxx

El único posible punto de inflexión estaría en 0x = . Analizamos la tercera derivada en

ese punto: 2

ee)2

ee()x(fxx

'xx

'''−− +

=−

= (es igual a la primera derivada, que ya vimos

antes que no podía valer 0 en ningún x ). Por tanto, 0)x(f ''' ≠ en todos los x y concretamente en 0x = . En x = 0 la función tiene un punto de inflexión, ya que aquí la derivada segunda se anula y la tercera no. Como la información que tenemos hasta el momento no es suficiente para hacernos una idea de la gráfica, seguimos buscando datos, por ejemplo cortes con los ejes, continuidad y límites en el infinito. Cortes con los ejes: Al eje de abscisas lo cortará en puntos que tengan la coordenada y igual a 0 , y al eje de ordenadas en los que tengan la coordenada x igual a 0 .

0x02

ee0yxx

=⇒=−

⇒=−

(La ecuación está resuelta más arriba)

Por tanto la curva corta a los ejes en el origen Continuidad: La función es una combinación de funciones continuas ( xe es continua, ya la conocemos, y xe− es su simétrica, por tanto también lo es ) Las sumas , restas y productos de funciones continuas resultan ser también funciones continuas, así como el cociente entre números, por tanto nuestra función es continua en todo R.

34

Límites en el infinito: Mirando las gráficas de la Fig. 2, vemos que

∞→xe cuando ∞→x 0e x →− cuando ∞→x

Por tanto, ∞=− −

∞→ 2eelím

xx

x

Las gráficas también nos indican que 0e x → cuando −∞→x

∞→− xe cuando −∞→x

Por tanto, −∞=− −

−∞→ 2eelím

xx

x

Resumiendo, la gráfica sube desde ∞− hasta ∞ de forma continua. Corta a los ejes solamente en el origen )0,0( , en donde tiene un punto de inflexión. No tiene máximos, mínimos ni asíntotas. Sólo nos falta encontrar algunos puntos concretos para determinar su curvatura, así que hacemos una tabla de valores y representamos. (Observa en la gráfica cómo en los puntos de inflexión la recta tangente “atraviesa” la curva) x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -10 -3’63 -1’18 0 1’18 3’63 10

Figura 3: Gráfica de 2ee xx −−

35

3. Esta función tiende a ∞ cuando ∞→x , pero nos dicen que tiende “asintóticamente”, acercándose cada vez más a la recta 6x2y += . Una buena forma de determinar asíntotas oblicuas para cocientes de polinomios (funciones racionales), es escribir la expresión de la siguiente forma:

divisorrestocociente

divisorDividendo

+= . Esto es lo que hacemos cuando dividimos números y

queremos aproximar con decimales: seguimos dividiendo el resto. En el caso de polinomios, no podemos sacar decimales, pero podemos dejar esa última parte indicada. En nuestro caso, si efectuamos la división, nos da k2x2cociente += y 2k21resto += ,

por tanto podemos poner kxk21)k2x2(

kx1x2 22

−+

++=−+

El segundo sumando tiende a 0 cuando ∞→x (queda un límite del tipo ∞a con 0a ≠ ),

por tanto )k2x2(límkx

1x2límx

2

x+=

−+

∞→∞→. Esto quiere decir que la curva se aproxima más y

más a la recta k2x2y += a medida que x se hace muy grande: la recta es una asíntota de la función. Para que 6x2 + coincida con k2x2 + , k debe valer 3.

Comprueba que efectivamente 6x2y += es asíntota de 3x

1x2)x(f2

−+

= , utilizando el

criterio general de la pag. 190 del libro.

4a) )1449(100)1449100(100)( 2''

xxxxC −=++=

49

1449

1441449014490)1449(1000)( 2222

' ±=⇔=⇔=⇔=⇔=−⇔=−⇔= xxxxxx

xC

Por el contexto, no es posible que x sea negativo (son toneladas de material), por lo que el posible mínimo sólo puede estar en 4x = . Que la derivada se anule en 4x = no nos garantiza que aquí haya un mínimo (podría ser un máximo u otra cosa), por lo que nos aseguramos con la derivada segunda, que tendrá que tomar un valor positivo para 4x =

34'' 288100288100)(

xxxxC == . Evidentemente, 0)4('' >C

Los costes son mínimos para 4=x toneladas de material. 4b) El único valor de x para el que la función no está definida es 0=x , ya que se anula el denominador: Podría haber una asíntota vertical.

∞=+++→

)1449100.(1000 x

xlímx

ya que 09 →x y ∞→x

144 . ( No consideramos el

límite por la izquierda porque tampoco consideramos valores de x negativos). Que la función tienda a ∞ cuando x tiende a 0 quiere decir que la recta x = 0 es asíntota (vertical).

36

Asíntotas horizontales:

∞=+∞=++=++∞→∞→∞→

0400.14)900000.10()1449100.(100x

límxlímx

xlímxxx

, por tanto no

hay asíntotas horizontales, pero esta forma de obtener el límite es del mismo tipo que la del ejercicio anterior, y en definitiva lo que se tiene es que

∞=+=∞→∞→

)900000.10()( xlímxClímxx

. Esto quiere decir que y = 10.000 + 900⋅x es asíntota

(oblicua) de C (x) 4c) gráfica: hay que poner la asíntota vertical, el mínimo en 4x = , y trazar la asíntota oblicua, procurando que la curva se aproxime a ella. Buscamos algunos puntos:

x 1 4 6 8 15 C(x) 24.300 17.200 17.800 19.000 24.460

Figura 4: Gráfica del ejercicio 4.

Seguramente habrás observado que la escala del eje de ordenadas empieza en 000.15 . Esto puede hacerse a veces, cuando las escalas de los ejes son muy dispares. En este caso se hizo para poder dar una visión amplia de la gráfica y sus asíntotas.

37

UNIDAD 10

1. Llamaremos A: falla A; B: falla B; A’: no falla A; B’: no falla B. Nos piden la probabilidad de A’: P(A’)? Los datos son: P(A’ y B’) =0’58 ( o bien P(A’∩B’) = 0’58 ) P(B/A’) = 0’32 Utilizaremos básicamente dos resultados:

La probabilidad de una unión de sucesos incompatibles es la suma de las probabilidades de ambos. (Sería la probabilidad total)

La probabilidad de una intersección de sucesos es el producto de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad del otro, condicionada a que se cumpla el primero.(Es una probabilidad compuesta pues que se cumpla una intersección quiere decir que se cumplan los dos a la vez).

Se trata de descomponer el suceso A’ en una unión de sucesos incompatibles de los que tengamos datos: A’ = (A’∩B) ∪ (A’∩B’). (Estamos diciendo con esto que para que se cumpla A’ tiene que cumplirse A’ con B o bien A’ con B’, porque más posibilidades para A’ no hay). Además, estas dos partes son incompatibles, porque B y B’ lo son. (Puedes verlo gráficamente con un diagrama de Venn como los que usan en la página 241 del libro) . P(A’) = P(A’∩B) +P(A’∩B’) = P(A’)⋅P(B/A’) + 0’58 = P(A’)⋅0’32 + 0’58. Nos queda: P(A’) = 0’32⋅P(A’) + 0’58 y se trata de resolver la ecuación: P(A’) – 0’32⋅P(A’) = 0’58 ⇒ 0’68⋅P(A’) = 0’58 ⇒ P(A’) = 0’58/0’68 ⇒ ⇒ P(A’) = 0’8529. 2. Llamamos bb al suceso extraer 2 bolas blancas. Suponemos que la extracción se hace sin reemplazamiento, por ejemplo (el enunciado no especifica). Nos piden P(A/bb). Se trata de conocer la probabilidad de una “causa” a partir de un cierto resultado: Hay que aplicar el Teorema de Bayes. En el libro está enunciado para varios sucesos pero aquí sólo tenemos dos. Podemos ayudarnos con un diagrama:

Como las urnas se eligen al azar, le asignamos una probabilidad de ½ a cada una.

P(bb/A) = 31

95.

106

= (con la condición de estar en A, la probabilidad de que la 1ª sea

blanca y la 2ª también. Las fracciones las obtenemos por la ley de Laplace)

P(bb/B) = 9110

134.

145

= 1/3

AbbA → P(A∩ bb) = 0’5⋅1/3

10/91

BbbB → P(B∩ bb) = 0’5⋅10/91

P(bb) = 0’5⋅1/3 + 0’5⋅10/91 ≈ 0’2216

0’5

0’5

38

La probabilidad P(A∩ bb) también puede escribirse : P(A∩ bb) = P(bb)⋅P(A/bb))

752'02216'0

16666'0

9110.5'0

35'0

35'0

)()(31.5'0

)()()( ≈≈

+=

∩+∩=

∩=

BbbPAbbPbbPbbAP

bbAP

(si repetimos la prueba muchas veces, en un 75’2% de los casos aproximadamente, la urna elegida habrá sido la A) 3.

a) P (D∩ I) = 0’06 b) P (D∩ I) = 0’18

c) P (D/I) = )I(P

)ID(P ∩ = 25'024'006'0

= . Son defectuosos un 25% de los motores que

son inspeccionados. Como ves, se repite el esquema del ejercicio anterior (en este caso nos dan la probabilidad del denominador, lo que hace el problema más fácil). Las tablas de contingencia también son útiles. Haremos una para comprobar que resolvimos bien el problema: Suponemos que tenemos un grupo de 100 motores en el que se cumplirían exactamente los porcentajes . Vamos colocando en cada casilla los datos correspondientes a las intersecciones. La suma final tiene que dar 100, tanto en filas como en columnas. Hay que recordar que las probabilidades de dos sucesos complementarios suman 1.

I I’ D 6 4 Total 10D’ 18 72 Total 90

Total 24 Total 76 100

0’9 D’

0’1 D

0’2 I P (D’∩ I) = 0’9⋅0’2 = 0’18

I’

0’6 I P (D∩ I) = 0’1⋅0’6 = 0’06

I’

39

UNIDAD 11

1. estratos taxistas camioneros autobús. exp>20 5<exp<20 0<exp<5 total población 50 75 25 250 425 175 1000 muestra 2 3 1 10 17 7 40 Establecemos la proporción :

175425250257550100040 654321 nnnnnn

======

Resolvemos comparando la primera fracción con cada una de las demás :

204'050 1

1 =⇒= nn ; 304'075 2

2 =⇒= nn ; 104'025 3

3 =⇒= nn ;

1004'0250 4

4 =⇒= nn ; 1704'0425 5

5 =⇒= nn ; 704'0175 6

6 =⇒= nn ;

40

UNIDAD 12

1.

21

105

1005100,5

96'1025'005'02

2

===→==

=→=→=

nn

Z

σσ

α αα

El intervalo de confianza pedido, con una significación del 5% es: )78'3,82'1()5'0.96'18'2,5'0.96'18'2( =+−

2. Tomando la marca de clase de los intervalos: xi 150’5 155’5 160’5 165’5 170’5 175’5 fi 2 4 11 14 5 4

164.

== ∑n

fxx ii , ( ) 24'6.

2

=−

=n

fxxs ii , n=40,

58'2005'001'02

2 =→=→= ααα Z

El intervalo de confianza pedido, con una significación del 1%, es:

( ) )55'166,45'161(55'2164,55'21644024'6.58'2164,

4024'6.58'2164 =+−=

+−

3.

65'105'01'02

2 =→=→= ααα Z

El intervalo de confianza pedido, con una significación del 10%, es:

( ) )3'113,7'106(3'3110,3'311010020.65'1110,

10020.65'1110 =+−=

+−

Error máximo: 3’3

41