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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

Guía didáctica: Trigonometría

Curso de Extensión

PARTE E SESIONES 17 - 20

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.

MATERIAL EN REVISIÓN

Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

CURSO DE EXTENSIÓN

TRIGONOMETRÍA

MODALIDAD: NO PRESENCIAL

DURACIÓN: 5 SEMANAS

FACILITADORES

MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.

2:00 P.M. – 5:00 P.M.

CONSULTAS

SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4

SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007

SESIONES 5 - 8


SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007

SESIONES 14 - 16


1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.

Curso Básico de Nivelación en el área de

Trigonometría

Contenidos desarrollados por: Prof. Asdrúbal Canache

Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares geométricos”

Sesión 1: Preliminares geométricos…………1 Problemas propuestos……………………… 10 Autoevaluación 1…………………………..... 11 Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15 Problemas propuestos……………………… 24 Autoevaluación 2…………………………..... 27 Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30 Problemas propuestos……………………… 38 Autoevaluación 3…………………………..... 43 Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47 Problemas propuestos……………………… 57 Autoevaluación 4…………………………..... 63 Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67 Problemas propuestos……………………… 75 Autoevaluación 5…………………………..... 77

Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:

Datos de Identificación Profesores del área:

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache

Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.


Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo”

Sesión 6: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo………………….……... 81 Problemas propuestos……………………… 85 Autoevaluación 6……………………………. 88

Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo”

Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……... 92 Problemas propuestos……………………… 98 Autoevaluación 7…………………………….101 Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..104 Problemas propuestos……………………… 124 Autoevaluación 8…………………………….131 Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..134 Problemas propuestos……………………….146 Autoevaluación 9…………………………….149 Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..152 Problemas propuestos……………………….158

Autoevaluación 10…………………………161 Tema 4 “Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios”

Sesión 11: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios………..………..…165 Problemas propuestos……….……………..171 Autoevaluación 11..…………………..…….174 Sesión 12: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…178 Problemas propuestos……………………..183 Autoevaluación 12 …………………..…….187 Sesión 13: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…191 Problemas propuestos……………………..203 Autoevaluación 11 …………………..…….205

Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos” Sesión 14: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………208 Problemas propuestos……………….…… 217 Autoevaluación 14……………………… 218 Sesión 15: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………221




Problemas propuestos……………….…… Autoevaluación 15………………………

Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas”

Sesión 16: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 230 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 16………………………… Sesión 17: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 238 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 17………………………… Sesión 18: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 245 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 18…………………………

Tema 7 “Resolución de triángulos”

Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluaión 19…………………………

Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 20…………………………

Respuestas a las Autoevaluaciones.

Tema 1 Sesión 1……………………………..…………14

Sesión 2……………………………..………...29 Sesión 3……………………………..………...46

Sesión 4……………………………..…………66 Sesión 5…………………………………….....80

Tema 2 Sesión 6…………………………………..…...91 Tema 3 Sesión 7………………………………………103 Sesión 8…………………………………..…..133 Sesión 9……………………………………....151 Sesión 10…………………………………..…164 Tema 4 Sesión 11………………………………..……177 Sesión 12………………………………..……190 Sesión 13………………………………..……207 Tema 5 Sesión 14………………………………..……220 Sesión 15……………………………………




Tema 6 Sesión 16…………………………………… Sesión 17…………………………………… Sesión 18…………………………………… Tema 7 Sesión 19…………………………………… Sesión 20……………………………………




Introducción

Este curso está orientado hacia la capacitación del

estudiante para el uso de herramientas básicas de

trigonometría. Esta área, como parte de las

matemáticas trata del cálculo de los elementos de los

triángulos planos y esféricos, siendo las funciones

trigonométricas parte fundamental del análisis y del

cálculo desempeñando un importante papel tanto en las

matemáticas puras, como en las aplicadas.

Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los

estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de

trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones

prácticas en su quehacer profesional.

El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones

Trigonométricas, Suma y Diferencia de Ángulos, Identidades

Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones

trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes

de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de

Los Andes.

Objetivos

Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas

básicas de trigonometría.

Objetivos específicos

* Tema 1: Preliminares geométricos

Formular los conceptos básicos de la trigonometría.

* Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo

rectángulo.

* Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo

Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.

* Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos

suplementarios

Resolver problemas aplicados.




* Tema 5: Suma y diferencia de ángulos

Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de

problemas.

* Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.

* Tema 7: Resolución de triángulos

Resolver problemas de triángulos.

Estrategias

Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,

voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes

satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta

modalidad le permitirá:

1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la

comodidad de su domicilio.

2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador,

M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.

están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL

CURSO:

Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada

tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.

Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser

analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse

en un tiempo determinado.

Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se

lograrán durante la interacción con cada sesión.

Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los

diferentes temas que comprende cada sesión.

Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben

seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje

de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los

contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes

(críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos

y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te




permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada

sesión.

Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el

autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario

empleado.

Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de

finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te

sientas preparado para presentar la evaluación final.

Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se

encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.

Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:

• Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión

• Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el

transcurso de 10 semanas.

• Leer pausadamente cada sesión de clase

• Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y

verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran

al final de cada unidad

• Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con

la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en

cada sesión de clases

• No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran

al final de la unidad, antes de realizar las mismas.

• Es importante consultar a través del correo electrónico

[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.



238 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas

Tema 6/ Sesión 17

Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas

Sesión 17


* Formular y aplicar ecuaciones trigonométricas.

Actividades

* Leer apuntes sesión 17. * Realizarlos ejercicios de la sesión 17. * Realizar la autoevaluación de la sesión 17.

Recursos

* Apuntes sesión 17. * Ejercicios sesión 17.

Ecuaciones Trigonométricas

Una ecuación trigonométrica contiene expresiones trigonométricas;

por ejemplo la igualdad,

2 cos2x – sen2x -1 = 0

es un ejemplo de una ecuación trigonométrica. Podemos observar

que esta ecuación no es una identidad ya que no es verdadera

para todos los valores de x. Por ejemplo, no es verdadera cuando

x=0. En efecto, como sen (0)=0 y cos (0)=1 entonces vemos que el

lado izquierdo de la ecuación es igual a 1 y no a 0.

Por lo tanto, una ecuación trigonométrica difiere de una identidad

en que nos es verdadera para todos los valores del ángulo

desconocido que se tratan.

Resolver una ecuación trigonométrica consiste en encontrar los

valores del ángulo desconocido que satisfacen a la ecuación

dada; recordemos que estos valores también pueden ser números

reales.

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.



Tema 6/ Sesión 17

1. ¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica?

No hay ningún método general para resolver dichas ecuaciones

que se pueda seguir en todos los casos; pero se pueden seguir los

pasos presentados a continuación para tratar de encontrar una

solución.

1.1. Primer paso: expresar todas las funciones trigonométricas que

entran en la ecuación, en términos de funciones de un mismo

ángulo, aprovechando las identidades conocidas.

1.2. Segundo paso: expresar todas las funciones en términos de la

misma función.

1.3. Tercer paso: resolver algebraicamente considerando como

incógnita la única función que entra ahora en la ecuación.

Los números ó valores de los ángulos obtenidos en tales casos, que

no satisfacen la ecuación dada, deben ser descartados. También

hay que ser cuidadoso para no perder ninguna raíz al extraer raíz

cuadrada a ambos miembros de la ecuación, o al dividirlos por un

factor.

Ejemplo 17.1

Resolver la ecuación cos2x cosecx + cosecx + cotagx = 0 con

x [ ]π2,0∈

Solución:

Primer paso: como cos2x = cos2x – sen2x, obtenemos sustituyendo

en la ecuación dada,

(cos2x – sen2x) cosecx + cosecx + cotagx = 0 (6.2.1)

Segundo paso: como cosecx = senx

1 y cotagx =

senxcosx

,

sustituyendo en la ecuación anterior 6.2.1 resulta,

0senxcosx

senx1

senxxsenxcos 22

=++−

Y por lo tanto, efectuando la suma, y con la igualdad acero se

obtiene:

cos2x – sen2x +1 + cosx = 0

Como sen2x = 1 – cos2x, sustituyendo tenemos que:




Tema 6/ Sesión 17

cos2x - 1 + cos2x +1 + cosx = 0

2cos2x + cosx = 0 (6.2.2)

Hasta aquí se ha logrado llevar la ecuación en términos de una

misma función (cosx).

Tercer paso: para resolver la ecuación 6.2.2 se puede observar que

factorizando la expresión (extrayendo como factor común la

función cosx), se llega a,

cosx (2cosx +1) = 0

de donde se obtiene que:

cosx =0 o bien 2cosx + 1 = 0

cosx = 21

−

En el intervalo [ ]π2,0 se tiene que:

a) Las soluciones de la ecuación

cosx = 0 son x=2π

(ó 90º) y x=2

3π (ó 270º).

b) Las soluciones de la ecuación

cosx = 21

− son x=3

2π (ó 120º) y x=

34π

(ó 240º)

En conclusión, las soluciones de la ecuación dada son:

x1=2π

x2=2

3π

x3=3

2π

x4=3

4π

Ejemplo 17.2

Resolver la ecuación senθ tagθ = senθ

Solución:

Para resolver el problema no indican el cuadrante en el cual hay

que encontrar las soluciones de θ, luego hay que encontrarlas

todas.

Las siguientes ecuaciones son equivalentes a la que se quiere

resolver:




Tema 6/ Sesión 17

senθ tagθ – senθ = 0

senθ (tagθ – 1) = 0 (6.2.3)

La ecuación 6.2.3 es igual a cero si cada factor del lado izquierdo se

anula, de la siguiente manera:

senθ = 0 (6.2.4)

tagθ – 1 = 0 o bien, tagθ = 1 (6.2.5)

a) Las soluciones de la ecuación 6.2.4, senθ = 0, son:

θ = .....,3,2,,0 πππ ±±±

Es decir, θ = nπ, en donde n es cualquier número entero.

b) Las soluciones de la ecuación 6.2.5, tagθ = 1, se encuentran de la

siguiente forma:

La función tagθ es π periódica, basta encontrar las soluciones en el

intervalo (0, π), y una vez que estas son conocidas, se determinan las

otras soluciones de θ sumándole múltiplos de π.

En el intervalo (0, π), la única solución de la ecuación 6.2.5 es: θ =

π/4; por tanto, cada valor de θ que satisface la ecuación tiene la

forma:

θ = ππ n+4

donde n es un número entero.

En conclusión, las soluciones de la ecuación dada son todos los

valores de θ que tienen la forma:

nπ ó ππ n+4

en donde n es cualquier número entero.

Algunas soluciones particulares son:

0, π± , π2± , π3± , 4π

, 4

5π,

43π

− y 4

7π

Note que es incorrecto dividir la ecuación 6.2.3 entre senθ, ya que

no se encontrarían las soluciones de senθ=0.

Ejemplo 17.3

Al resolver la ecuación 2sen2t – cost -1 = 0, con π2t0 ≤≤ , las

soluciones son:




Tema 6/ Sesión 17

a) 3

5,,3

πππ c) πππ 2,

4,

6

b) 3

2,2

,4

πππ d) ππ 2,,0

Solución:

En este ejemplo se indica el intervalo de solución para t (que debe

estar en los 4 cuadrantes). Luego, con el objeto de obtener una

ecuación que contenga sólo funciones cost, factorizamos la

ecuación dada de la siguiente manera:

2(1-cos2t) – cost -1 = 0

2 – 2cos2t – cost -1 = 0

-2cos2t – cost +1 = 0 (Ecuación de 2do. grado en cost)

2cos2t + cost +1 = 0 (cambio de signo)

(2cost – 1)(cost + 1) = 0 (factorización) (6.2.6)

Luego, las soluciones de la ecuación 6.2.6 se obtienen cuando:

2cost – 1 = 0 y cost + 1 = 0

o equivalentemente, cost = ½ (6.2.7)

y cost = -1 (6.2.8)

a) Las soluciones de cost = ½ se encuentran en el 1er y IV

cuadrante, donde la función coseno es positiva; luego, los

ángulos cuyo coseno tienen valor de ½ son:

t = 3π

(ó 60º) y t = 3

5π (ó 300º)

b) La solución para la ecuación 6.2.8, cost = -1 es:

t = π (ó 180º)

Luego, la respuesta es la selección a) donde las soluciones de la

ecuación dada son: 3π

, π y 3

5π

Ejemplo 17.4

Resolver la ecuación 2sen2y + 3 cosy + 1 = 0, con y en el II

cuadrante

Solución:

Colocamos la ecuación dada en función del cos y utilizando la

identidad sen2y = 1 – cos2y, obteniéndose que:




Tema 6/ Sesión 17



2(1 – cos2y) + 3 cosy + 1 = 0

2cos2y - 3 cosy - 3 = 0 (6.2.9)

La ecuación 6.2.9 es de 2do grado en cosy; en efecto, si hacemos el

cambio u=cos y obtenemos:

u2 - 3 u + 1 = 0

La cual al resolverla produce los valores siguientes:

2a

4acbbu2 −±−

= , con u=1, b=- 3 y c=1

u = 3 y u = -23

o bien,

cos y = 3 y cos y = -23

a) Ningún valor de y satisface la igualdad cos y = 3 , ya que el

valor del coseno no puede exceder a 1.

b) De la igualdad cosy = -23

, se tienen las soluciones:

y = 6

(ó 150º) y y = 5π

6 (ó 21

7π0º),

que están en los cuadrantes donde la función coseno es negativa.

Luego, la solución única en el segundo cuadrante es:

y = 6

5π ó y = 150º

luciones de la ecuación cosec42u – 4 = 0, con <u<π/2

Solución:

Podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación, con lo cual

(cosec22u – 2)(cosec22u + 2) = 0

e donde,

cosec22u – 2 = 0 ec22u = 2 (6.2.10)

cosec22u + 2 = 0 22u = -2 (6.2.11)

Ejemplo 17.5

Obtener las so

obtenemos:

(cosec22u)2 – 22 = 0

d

⇒ cos

y ⇒ cosec


Tema 6/ Sesión 17



a) La ec n 6.2.11, cosec22u = , no tiene solucion eales. uació -2 es r

es:

b) La ecuación 6.2.10, cosec22u = 2, tiene las siguientes solucion

cosec2u = 2 y cosec2u = - 2

b Cuando osec2u = 1) c 2 , las soluciones son:

2u = 4π

2u = y 4

3π

vidi o en m la uaciones, se tiene que: Di end tre 2 a bos lados de s ec

u = 8π

y u = 8

3π (6.2.12)

b2) Cuando cosec2u = - 2 , las soluciones son:

2 =u 4

5π y 2u =

47π

Dividiendo entre 2 ambos lados de las ecuaciones se tiene que:

u =

8

5π y u =

87π

(6.2.13)

De las soluci se ncluye e en el 1er

uadrante tenemos:

ones 6.2.12 y 6.2.13 co qu

c

u = 8π

(ó 22,5º) y u = 8

3π (ó 67,5º)


Tema 6/ Sesión 18

Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas

Sesión 18


* Formular y aplicar las funciones trigonométricas inversas.

Actividades


Recursos


Funciones trigonométricas inversas

El valor de una función trigonométrica de un ángulo depende del

valor del ángulo, y recíprocamente, el valor del ángulo depende

del valor de la función. Si se da un ángulo se puede hallar el seno

de ese ángulo; si se da el valor del seno de un ángulo, se puede

hallar el valor del ángulo al cual corresponde. Sin embargo, en el

segundo caso cuando estamos haciendo la operación “inversa”, el

ángulo que se puede hallar no es único, por ejemplo, si sen π=1/2

entonces π puede ser igual a π/6, 5π/6, -7 π/6, etc. Esto se debe a

que las funciones trigonométricas, como funciones, no son

inyectivas ó 1-1 (revisar el breve repaso de funciones en el

Apéndice A), y en consecuencia no tienen funciones inversas que

puedan determinar estos ángulos de forma única. Sin embargo, al

restringir los dominios, por ejemplo limitándose solo a un cuadrante

en especial, es factible obtener funciones (definidas sobre dominios

más reducidos) con el mismo comportamiento de las funciones

trigonométricas que sean inyectivas y por tanto tengan funciones

trigonométricas inversas o arco funciones.

1. Inversa de la función seno ó arcoseno

Si restringimos el dominio de la función seno al intervalo [-π/2, π/2],

entonces como se ilustra en la figura 18.1.(a), se obtiene una




Tema 6/ Sesión 18

función creciente que toma todas las imágenes de la función seno

una única vez (es inyectiva).

De esta forma ya podemos definir la función inversa del seno o

arcoseno cuyo dominio es el intervalo [-1,1] y el rango ó

contradominio, el intervalo [-π/2, π/2].

Figura 18.1. Gráfica de la función y=sen(x) restringida al dominio [-π/2, π/2] y su inversa y=arcsenx

Definición 6.3.1. La función inversa del seno, denotada por sen-1 ó arcoseno (arcsen), se define como:

y = sen-1x si y solo si seny = x

ó,

y = arcsenx si y solo si seny = x

La gráfica de esta función se aprecia en la figura 18.1 (b) la cual se

obtiene reflejando sobre la recta y=x la gráfica de la función seno

de la figura 6.3.1 (a).

Observación: en la notación sen-1x, el -1 significa “inversa”, no

recíproca, es decir,

sen-1x 1(senx)−≠

Aquí la recíproca de la función seno = cosecx, que es

diferente a la inversa.

1(senx)−

Cuando se tratan funciones de la forma y=f(x) y su inversa , las siguientes relaciones de composición entre ellas son válidas:

(x)f 1−

y)(ff (y)1 =− y (6.3.1) x)f(f (x)

-1 =

y al aplicarlas a la función seno nos lleva a las siguientes

identidades:

sen-1(seny) = y si 22ππ

≤≤− y

sen(sen-1x) = x si 11 ≤≤− x

-π/2 π/2

1

-1

x

y

Función y = sen(x) restringida

(a)

y

-π/2

Función y = arcsen(x) Inversa de la función seno

π/2

x1-1

(b)




Tema 6/ Sesión 18

Estas ecuaciones también pueden escribirse de la siguiente forma:

arcsen(seny) = y y sen(arcsenx) = x

siempre que y y x se restrinjan adecuadamente.

Ejemplo 18.1 Despajar x de la ecuación y = sen2x

Solución:

Como sen2x = y, se tiene por la definición de inversa del seno que

2x = arcseny, lo cual implica que:

x = 21

arcseny

Ejemplo 18.2

Calcular sen-1(22

)

Solución:

Por la definición 6.3.1 tenemos que:

y = sen-1(22

) si y solo si sen y = 22

para 22ππ

≤≤− y

El único valor de y en el intervalo [-π/2, π/2] que satisface la

ecuación sen y = 22

es y = 4π

(ángulo cuyo seno es 22

). Por lo

tanto:

sen-1(22

) = 4π

Observación: es esencial elegir el valor de y en el intervalo [-π/2,

π/2]. Un valor como 3π/4 no es correcto, aún cuando sen(3π/4) =

22

Ejemplo 18.3 Determinar arcsen(tag3π/4)

Solución:

Como tag(3π/4) = -1 se tiene que;

y = arcsen(tag3π/4) = arcsen(-1)




Tema 6/ Sesión 18

y por la definición de inversa:

seny = -1

Luego, como las soluciones de y deben estar en el intervalo [-π /2,

π /2], se deduce que:

y = 2π

−

También se pueden determinar las funciones inversas o

arcofunciones de las demás funciones trigonométricas. El

procedimiento para su obtención consiste en elegir un subconjunto

adecuado del dominio, de tal forma que la función sea inyectiva

para poder definir su inversa.

2. Inversa de la función coseno ó arcocoseno

Definición 6.3.2. La función inversa del coseno o arcocoseno,

denotada por cos-1 ó arccos, se define como:

Y = cos-1x = arccosx si y solo si cosy = x

donde, y 11 ≤≤− x π≤≤ y0

Usando las propiedades generales de las funciones inversas

(ecuaciones 6.3.1) se obtiene:

cos(cos-1x) = cos(arccosx) = x

cos-1(cosy) = arccos(cosy) = y

para 11 ≤≤− x y π≤≤ y0

La gráfica de la función coseno restringida y su inversa cos-1 ó

arcocoseno se muestran en la figura 18.2., por reflexión de la

función coseno a través de la recta y=x.

Figura 18.2. Gráfica de la función y=cos(x) restringida al dominio [0,π], y su inversa y=arccos(x) obtenida por reflexión sobre la recta y=x

π/2 π

1

-1

x

y

Función y = cos(x) restringida

(a)

y=x

0

y

π

π/2

1-1

y = arccos(x)

(b)

y=x

x 0

y = cos(x)




Tema 6/ Sesión 18

3. Inversa de la función tangente ó arcotangente

Definición 6.3.3. La función inversa de la tangente ó arcotangente,

denotada por tag-1 ó arctag, se define como:

y = tag-1x = arctagx si y solo si tagy = x

donde x es cualquier número real y:

2

y2

ππ<<−

La gráfica de la función tangente y su inversa se puede apreciar en

la figura 18.3.

Figura 18.3. Gráfica de la función tangente restringida al dominio (-π/2, π/2) y su inversa y = arctag(x) obtenida por reflexión sobre la recta

y=x

Note que el dominio de la función arco tangente es toda la recta

real y el rango ó contradominio es el intervalo (-π/2, π/2).

Se puede llevar a cabo un procedimiento análogo para la inversa

de las otras funciones trigonométricas. No hay una aceptación

general acerca de los dominios de las funciones secante,

cosecante y cotangente.

y

y=x

π/2 y = arctag(x)

x π/2 -π/2

-π/2

y = tag(x)




Tema 6/ Sesión 18

4. Inversa de las funciones secante cosecante y cotangente

Definición 6.3.4. Las funciones inversas de la secante o arco secante,

la inversa de la cosecante o arco cosecante, y la inversa de la

cotangente o arco cotangente; denotadas respectivamente por

sec-1 o arcsec, cosec-1 o arccosec y cotag-1 o arctag, se definen

como:

a. y = sec-1x = arcsecx si y solo si secy = x

donde, ),1[]1,(x ∞+∪−−∞∈ y ],2

()2

,0[y πππ∪∈

b. y = cosec-1x = arccosecx si y solo si cosecy = x

donde, y ),1[]1,( ∞+∪−−∞∈x ]2

,0()0,2

[ ππ∪−∈y

c. y = cotag-1x = arccotagx si y solo si cotagy = x

donde x toma el valor de cualquier número real y ),0(y π∈

Las gráficas de estas funciones se aprecian en las figuras 18.4., 18.5.

y 18.6.

Figura 18.4. Gráfica de la función secante restringida al dominio

],2

()2

,0[ πππ∪ y su inversa y = arcsecx

0 π π/2

1

-1

x

y y=x

y = secx restringida

0

π

π/2

1-1

y

x

y=x

y = arcsecx




Tema 6/ Sesión 18



Figura 18.5. Gráfica de la función cosecante restringida al dominio

]2

,0()0,2

[ ππ∪− , y su inversa la función y = arccosecx

Figura 18.6. Gráfica de la función cotangente restringida al dominio ),0( π y su inversa la función y = arccotagx

Ejemplo 18.4

Hallar las funciones cos α, tag α, sec α, cosec α y cotag α si

α=arcsen32

Solución:

Por la definición 6.3.1 se tiene que α = arcsen32

si y solo si

sen α = 32

. Pero,

Sen α = hipotenusaladeLongitud

opuestocatetodelLongitud

Utilizando esta información construimos un triángulo rectángulo

donde se refleja a α como un ángulo agudo; siendo el cateto

opuesto de longitud 2 unidades y la hipotenusa de longitud 3 (ver

figura 18.7.). La longitud del tercer lado (cateto adyacente al

ángulo) la podemos hallar por el Teorema de Pitágoras, para

completar la información de las funciones trigonométricas que

queremos extraer de la figura.

Longitud del cateto adyacente que falta

0 π/2 −π/2

1

-1

x

y y=x

y = cosecx restringida

0

−π/2

π/2

1-1 x

y y=x

y = arccosecx

0 π π/2 x

y y=x

y = cotagx restringida

0

π

π/2

x

y y=x

y = arccotagx


Tema 6/ Sesión 18

AB = 523 2222 =−=− BCAC

Figura 18.7. Triángulo rectángulo

De los datos de la figura obtenemos que:

a) cosα = 35

hipotenusaadyacentecateto

=

b) tagα = 5

2adyacente cateto

opuestocateto=

c) secα = 5

3cos

1=

α

d) cosecα = 23

sen1

=α

e) cotagα = 25

tag1

=α

Ejemplo 18.5

C

Al calcular el valor de la expresión sen (arctag125

), el resultado es: 3 2

a) 125

c) 135

α

A B 5

b) 1312

d) 1213

Solución:

En este ejemplo se esta pidiendo el seno del ángulo cuya tangente

es 5/12. Sea x el ángulo buscado, luego por definición se tiene:

Arctag (125

) = x si y solo si tag(x) = 125

Tomando en cuenta esta información construimos el triángulo de la

figura 18.8., recordando que tag(x) = Longitud del cateto

opuesto/cateto adyacente; y la longitud de la hipotenusa por

Teorema de Pitágoras.




Tema 6/ Sesión 18

Figura 18.8.(a) Triángulo

Longitud e la hipotenusa AC = 13512BCAB 2222 =+=+

y en consecuencia,

sen(arctag125

) = sen(x) = 135

ACHipotenusaBCopuestocatetodelLong.

=

Luego la selección correcta es la c) 5/13

Ejemplo 18.6 Evaluar sen[arctag(1/2) – arccos(4/5)]

Solución:

Si definimos, α = arctag(1/2) y β = arccos(4/5)

Entonces, tagα = 1/2 y cosβ = 4/5

Por tanto lo que se quiere encontrar es sen(α – β).

Como en los ejemplos anteriores, podemos considerar a α y β como

los ángulos agudos interiores de dos triángulos rectángulos

respectivamente, como se muestra en las figuras 18.8.(a) y 18.8.(b).

Figura 18.8.(b) Triángulos construidos con la información de las funciones tagα= 1/2 y cosβ = 4/5

C

13 5

x A B 12

A B

C C

5 5 1 3

α β A B 4

2

(a) (b)




Tema 6/ Sesión 18



De la figura 6.3.8 (a) y (b) obtenemos que:

senα = 51

, cosα = 5

2, senβ =

53

, cosβ = 54

Finalmente,

sen(α – β) = senα cosβ – cosα senβ

= 53

52

54

51

−

= 25

52552

5564

−=−

=−

Ejemplo 18.7

Calcular x de la ecuación sec[tag-1(x/3)] = 5/3

Solución:

Calcularemos primeramente el lado izquierdo de la ecuación dada.

Si definimos θ = tag-1(x/3) entonces tagθ = x/3 ; y la ecuación dada

cambia a secθ = 5/3.

Nuevamente, visualizamos a θ en un triángulo rectángulo

construido con esta información como se muestra en la figura 18.9.,

aplicando el teorema de Pitágoras para la hipotenusa AC.


De la figura obtenemos que:

Sec θ =

3=

ABadyacenteCatetoACHipotenusa 92 +x

Luego, Sec θ = 5/3

33

=592 +x

A B

C

θ

x

3

9+2x

tagθ=3x


Tema 6/ Sesión 18



592 =+x

2592 =+x

4162 ±=⇒= xx

Las soluciones son: x1 = 4 y x2 = -4

256 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos

Tema 7/ Sesión 19

Tema 7: Resolución de Triángulos

Sesión 19


* Resolver problemas con triángulos rectángulos.

Actividades


Recursos


Preliminares

En el capítulo I se señalaron las partes y clasificación de los

triángulos. Luego, “conocer” un triángulo implica conocer la

longitud de sus tres lados, así como la medida angular de cada uno

de sus tres ángulos interiores.

Ahora bien, para conocer los seis elementos del triángulo (3 lados y

3 ángulos) basta con conocer tres de dichos elementos, siempre y

cuando entre los elementos conocidos se incluya al menos uno de

los lados del triángulo; los otros elementos se calcularán utilizando

las técnicas vistas en capítulos anteriores (para triángulos

rectángulos) y otras que se señalarán en este capítulo como la Ley

de los senos y de los cosenos.

En el Capítulo I y II se han calculado los lados y ángulos de

triángulos rectángulos, en este capítulo revisaremos la resolución de

éstos, y de otros triángulos de características mas complicadas.

Definición 7.1.1. El proceso de calcular los elementos restantes de

un triángulo conociendo tres de ellos recibe el nombre de

resolución de un triángulo.




Tema 7/ Sesión 19

Resolución de triángulos rectángulos

En los triángulos rectángulos uno de sus ángulos es conocido de

antemano (el ángulo recto = 90º), luego, para su resolución es

suficiente conocer dos de sus elementos, a saber:

a. Los catetos.

b. Un cateto y la hipotenusa.

c. Un cateto y un ángulo agudo.

d. La hipotenusa y un ángulo agudo.

Se debe recordar el Teorema de Pitágoras para triángulos

rectángulos y el teorema 1.3 del capítulo I referente a la suma de los

ángulos interiores de un triángulo igual a 180º (π radianes).

Ejemplo 19.1 En el triángulo rectángulo de la figura 19.1., la longitud de los catetos son AB=5 cm. y BC= 62 cm. Determine los demás elementos del triángulo

C

β

62 cm.

α A B 5 cm.


Solución:

Por el teorema de Pitágoras la longitud de la hipotenusa AB será:

AC = 2425)62(5 2222 +=+=+ BCAB

AC = 49 =7 cm




Tema 7/ Sesión 19



Ya se tienen todos los lados del triángulo. Para calcular los ángulos

recordamos la definición de las funciones trigonométricas en un

triángulo rectángulo, donde:

cos α = 75

=ACHipotenusa

ABadyacenteCateto

Luego, por la definición de inversa de la función coseno se tiene:

α = arccos75

Y de tablas trigonométricas, α 44.4º ≈

Además, α + β + 90º = 180º

De donde, β = 180º - 90º - α

β = 180º -90º - 44.4º = 180º - 134.4

β = 45.6º

Ejemplo 19.2

En el triángulo rectángulo de la figura 19.2., la longitud BC = 10 y el

ángulo α = 75º. Determine el área de dicho triángulo.


Solución:

El área de un triángulo definida en el capítulo I, se presenta como:

A = 2

)()( triángulodelAturabaseladeLongitud ∗

A = 2. ACAB (7.2.1)

Luego, necesitamos determinar la base (cateto AB) y la altura

(cateto AC) del triángulo rectángulo; para ello disponemos de la

longitud de la hipotenusa BC = 10 y el ángulo adyacente al lado

AB, α = 75º. Ver figura 19.3.

A B

C

α

β


Tema 7/ Sesión 19




a) Cálculo de la base

Por las definiciones trigonométricas,

cos α = BCAB

hipotenusaadyacenteCateto

=

cos 75º =10AB

de donde, AB = 10 cos75º (7.2.2)

Para calcular cos75º podemos utilizar las identidades y propiedades

trigonométricas definidas en el capítulo V, donde:

cos(α+β) = cosα cosβ – senα senβ

Luego,

cos 75º = cos(30º + 45º)

cos 75º = cos30º cos45º - sen30º sen45º

= 22

21

22

23

−

= 4

)13(24

26 −=

−

Y la base del triángulo en la ecuación 7.2.2 será:

AB = 2

)13(254

)13(2.10 −=

−

b) Cálculo de la altura del triángulo

A B

C

75º

β

10


Tema 7/ Sesión 19



Por el teorema de Pitágoras, AC = 22 ABBC − , luego,

AC =

2

2

2)13(25)10( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

4)13(50100

2

= 2

)1323(25100 +−−

= )32(251002

)324(25100 −−=−

−

= 32532550 +=+

c) Finalmente el área de dicho triángulo en la ecuación 7.2.1 es:

A =2

325.2

)13(25

2. +

−

=ACAB

A =4

.32)13(225 +− unidades2


Tema 7/ Sesión 20

Tema 7: Resolución de Triángulos

Sesión 20


* Resolver problemas con triángulos rectángulos.

Actividades


Recursos


Ley de los senos y ley de los cosenos

Los siguientes resultados dados como teoremas son válidos, se

aceptarán y se utilizarán como resultados preliminares. Estos

resultados están relacionados con el tema de vectores que no se

tratará en este texto; pero cuando se dice “proyección del lado de

un triángulo sobre el otro” se esta señalando un producto escalar

de dos vectores donde estos vectores son dos lados consecutivos

de un triángulo, y este producto involucra el coseno del ángulo

entre ellos.

Definición 7.3.1. Longitud de proyección de un segmento sobre

otro.

De la definición de funciones trigonométricas en un triángulo

rectángulo la longitud de proyección de un segmento AB sobre

otro segmento AC, y que forman un ángulo de α grados o radianes,

viene dada como:

AC = AB cos α

Análogamente, la longitud de proyección del segmento AB sobre

BC se define como:




Tema 7/ Sesión 20

BC = AB cosβ

En la figura 20.1. se señala la proyección trigonométrica del lado AC

sobre el lado AB y la proyección del lado AB sobre AC, en un

triángulo rectángulo.

Si las longitudes de la hipotenusa y los catetos son: AB = a, BC = b y

AC = c, entonces,

c = a cos α Proyección de AB sobre AC

b = a cos β Proyección de AB sobre BC

Figura 20.1. Los catetos de un triángulo rectángulo definidos como longitudes de proyección de la hipotenusa

Teorema 7.3.1. En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de la

longitud del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los

cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, más el doble de

la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección

del otro.

Teorema 7.3.2. En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de la

longitud del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de

los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el

doble del producto de la longitud de uno de estos lados por la

longitud de la proyección del otro.

En la figura 20.2. se muestra un triángulo oblicuángulo (no tiene

ningún ángulo interior recto), con un ángulo obtuso y dos agudos y

las ecuaciones resultado de los teoremas 7.3.1 y 7.3.2.

B

A C

a

c = a cosα

β

b = a cosβ

α




Tema 7/ Sesión 20

Figura 20.2. Triángulo oblicuángulo

En la figura 20.2., α y γ son ángulos agudos (menores de 90º) y β es

obtuso (mayor de 90º); luego, si las longitudes de los lados del

triángulo son:

Longitud del lado AB AB→ = a

Longitud del lado BC BC→ = b

Longitud del lado AC AC→ = c

Los teoremas 7.3.1 y 7.3.2 señalan que:

c2 = a2 + b2 - 2a.(proyección de BC sobre AB) (7.3.1)

b2 = a2 + c2 + 2a.(proyección de AC sobre AB) (7.3.2) A β a2 = b2 + c2 – 2b.(proyección de AC sobre BC) (7.3.3) a

c

Observación: si el ángulo α es obtuso, la proyección trigonométrica

será negativa por lo que el signo – del doble producto cambiaría a

+ como lo señala el teorema 7.3.1. En el siguiente teorema se

considera este caso.

α γ B C b

Teorema 7.3.3. Ley de los cosenos

Cualquiera sea el triángulo ABC de longitudes AB, AC y BC, se tiene

que:

AB2 = AC2 + BC2 – 2 (AB) (BC) cos α

o,

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α

donde α puede ser un ángulo agudo u obtuso.

Demostración:

Para comprobar la afirmación del teorema 7.3.3 vamos a

considerar los dos tipos de ángulos que puede ser α.




Tema 7/ Sesión 20

Caso i: α es un ángulo agudo (0<α<90º)

Considere el triángulo ABC de la figura 20.3. donde se tiene a α

como ángulo agudo y se quiere determinar la longitud del lado AB;

para ello trazamos la altura AD para lograr la proyección CD en el

triángulo rectángulo ADC.

De acuerdo al teorema 7.3.2 y la ecuación 7.3.3, se tiene que:

a2 = b2 + c2 – 2b. (proyección de AC sobre BC) (7.3.4)

Pero la longitud de proyección del lado AC sobre BC es el segmente

CD, y de la definición 7.3.1

CD = c cos α

Luego, sustituyendo en la ecuación 7.3.4,

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α

A

a c

α B C D b

Figura 20.3. Triángulo ABC

Caso ii: α es un ángulo obtuso (90º<α<180º)

Considere el triángulo ABC de la figura 20.4. donde α es obtuso y se

quiere determinar el lado opuesto AB. Trazamos la altura AD, de

manera de construir el triángulo rectángulo ABD.




Tema 7/ Sesión 20

A


Nuevamente, por el teorema 7.3.1, y la ecuación 7.3.2:

a2 = b2 + c2 + 2b (proyección de AC sobre BC)

Pero la proyección del lado AC sobre BC es el segmento DC, y por la definición de funciones trigonométricas (ecuación 7.3.1) se tiene que:

DC = AC cos θ

DC = c cos θ

Como el ángulo θ es suplementario al ángulo α se sigue que,

cos α = -cos θ porque α está en el II cuadrante

Luego,

DC = -c cos α

Es decir,

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α

Note que si α es 90º (ángulo recto), el triángulo es rectángulo y

como cos90º=0 lo que resulta es el Teorema de Pitágoras a2 = b2 +

c2.

Teorema 7.3.4. Ley de los senos

Cualquiera sea el triángulo ABC se tiene que:

AB

senAC

senBC

sen γβα==

ó,

c

senb

sena

sen γβα==

También de la forma:

γβα sen

csen

bsen

a==

C

α

c

a

b D

θ

B




Tema 7/ Sesión 20

Siendo α, β y γ, ángulos agudos u obtusos.

Demostración:

Para comprobar el teorema 7.3.4 vamos a construir un triángulo

cualquiera ABC, asumiendo que todos los ángulos internos α, β y γ

son agudos (la demostración es análoga para ángulos obtusos); y

trazamos dos de sus alturas CD y BE. Ver figura 20.5.


a. Con la altura CD, los triángulos ACD y BCD son rectángulos

cuyas hipotenusas son AC y BC respectivamente; por tanto,

por la definición de la función seno en un triángulo rectángulo,

se tiene:

sen α = c

CDACCD

= (7.3.5)

sen γ = a

CDBCCD

= (7.3.6)

Despejando CD de las ecuaciones 7.3.5 y 7.3.6 resulta:

CD = c sen α C

CD = a sen γ

Igualando nos queda, c sen α = a sen γ

es decir, c

sena

sen γα= (7.3.7)

b. Con la altura BE los triángulos BCE y ABE son rectángulos;

realizando un razonamiento análogo al anterior se obtiene

que:

sen α = bBE

ABBE

= y sen β = aBE

BCBE

=

A B α

c a

b D

γ

β

E




Tema 7/ Sesión 20

Despejando BE de ambas ecuaciones e igualando se llaga a:

b sen α = a sen β

de donde,

b

sena

sen βα= (7.3.8)

Comparando las ecuaciones 7.3.7 y 7.3.8 observamos que:

c

senb

sena

sen γβα==

Análogamente se obtiene la misma ecuación si el triángulo ABC

tiene un ángulo interno obtuso.

1. Resolución de triángulos oblicuángulos

Las leyes de los senos y de los cosenos son de gran utilidad en la

resolución de triángulos oblicuángulos. A continuación se resolverán

ejemplos que muestran la aplicación de estas leyes.

Ejemplo 20.1

Resolver el triángulo ABC de la figura 20.6. si las longitudes de sus

lados son AB = 6, AC = 4 y BC = 3

A


Solución:

Resolver el triángulo dado significa hallar la medida de sus ángulos

interiores, pues se conocen las longitudes de sus lados; luego, por la

ley de los cosenos se tiene:

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α

Sustituyendo las medidas dadas se llega a:

C

α

c = 4

a = 6

b = 3 B

β

γ




Tema 7/ Sesión 20

62 = 32 + 42 – 2.3.4 cosα

36 = 9 + 16 – 24 cosα

Cos α = -2411

luego, α = arccos(-2411

)

α 117.28º ≈

α 117º 17’ ≈

Análogamente, con el ángulo γ:

c2 = a2 + b2 – 2 a b cosγ

42 = 62 + 32 – 2.6.3 cosγ

16 = 36 + 9 – 36 cosγ

cosγ = 3629

361645

=−

Luego,

γ = arccos3629

γ = 36.34º

γ = 36º 20’

Finalmente, como la suma de los ángulos internos de un triángulo

rectángulo es igual a 180º, podemos determinar la medida del

ángulo faltante β como sigue:

α + β + γ = 180º

β = 180º – α – γ

β = 180º – 117.28 º – 36.34 º

β = 26.38º = 26º 23’

Ejemplo 20.2 En el triángulo ABC de la figura 20.7. la longitud de los lados AC y

BC son AC = 3 cm. y BC = 5 cm., y forman un ángulo de 120º.

Determine la longitud del lado AB


A

Solución:

Por la ley del coseno,

AB2 = AC2 + BC2 – 2 AC.BC cos120º

C

120º

c = 3

a = ?

b = 5 B

β

γ




Tema 7/ Sesión 20

AB2 = 32 + 52 – 2(3)(5) (-21

)

AB2 = 9 + 25 + 15 = 49

AB = ⇒ 49 = 7 cm.

Ejemplo 20.3

En el triángulo de la figura 20.8., determine el ángulo βy la longitud

de los lados AC y AB

Figura 20.8. Triángulo

Solución:

Por la suma de los ángulos interiores de un triángulo se tiene que:

β = 180º - 60º - 45º = 75º

Por la ley de los senos se tiene que:

º45sen

ACº75sen

8º60sen

AB== (7.4.1)

De tablas se encuentra que,

sen60º = 23

y sen45º = 22

y

sen75º = sen(30º+45º) = sen30º cos45º + cos30º sen45º A

= 21

22

+ 23

22

= 4

)31(2 +

De la ecuación 7.4.1 obtenemos que:

AB = º75sen

sen60º8 =

)31(2316

4)31(2

238

+=

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

racionalizando el denominador, se llega a,

C B 60º

8 cm.

β

45º




Tema 7/ Sesión 20

AB = )33(24)13(324 −=− cm

y,

AC = º75sen

sen45º8 =

)31(16

4)31(2

228

+=

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= )13(8 − cm



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