guía de trabajo de cálculo integral

1

1. CONDUCTA DE ENTRADA

1.1. TALLER.

PARTE A. Responda falso (F) o verdadero (V) frente a cada una de las afirmaciones siguientes y justifique.

1. ____ El )()(lim 00

yfaigualessiempreyfyy→

.

2. ____ Si )()(lim 00

yfaigualessiempreyfyy→

decimos que la función f es continua en 0y .

3. ____ Las funciones polinómicas son continuas en todo número real.

4. ____ Las funciones racionales son continuas en todo número real.

5. ____ Las funciones irracionales son continuas en todo número real.

6. ____ Las funciones logarítmicas son continuas en todo número real.

7. ____ La definición de derivada de la función g en el punto z0 es k

zgkzgk

)()(lim 00

0

−+→

.

8. ____ La derivada de la función 1' )()( −== zz ezzgesezg .

9. ____ La derivada de la función z

ezgesezg

zz

2)()( ' == .

10. ____ La derivada de la función )()()()()()( ''' ugufuhesugufuh == .

PARTE B.

1. Determine la ecuación de la recta paralela a la recta con ecuación 0632 =+− yx y que pasa por el

punto P (4, 3). Resp. 0132 =+− yx

2. Determine la ecuación de la recta perpendicular a la recta con ecuación 0634 =++ yx y que pasa por

el punto P (−2, 3). Resp. 01843 =+− yx

♦ La distancia d de una recta ,0=++ CByAx a un punto ),( 111 yxP viene dada por: 22

11

BA

CByAxd

+

++=

3. Determine la distancia al origen de la recta con ecuación .634 =− yx Resp. 5/6

4. Los vértices de un triangulo son A (1,1), B (−1,2) y C (−2,−1). Obtenga el valor de la altura del triangulo

sobre el lado AC. Resp. 13/7

5. Determine la ecuación de la circunferencia en la cual los puntos A (2, 5) y B (6, −3) es uno de sus

diámetros. Resp. 032822 =−−−+ yxyx

6. Determine la ecuación de la parábola con foco en F (0,2), directriz la recta .02 =+y Resp. yx 82 =

7. Dibuje la parábola cuya ecuación viene dada por .025682 =+−+ yxy Determine el vértice y el foco.

Resp. (−2, 3); (−4,3)

8. Grafique la elipse con ecuación 7202036 22 =+ yx y la hipérbola con ecuación .1961649 22 =− xy

2

PARTE C. Verifique que:

A. xxx

xyx

xxySi52

1

9

2)(

5

13)(

3

,3 2 +=⇒−=

B. 322

,222 )(

12)(

)(

3)(

ya

yyz

yayzSi

−=⇒

−=

C. 2

,

)23(

12)(

23

23)(

xxy

x

xxySi

+−=⇒

+−=

D. 2/32

3,

2

2

)4(

8)(

4)(

x

xxxy

x

xxySi

−−=⇒

−=

E. 2

, )/2cos(2)(

2)(

x

xxy

xsenxySi

−=⇒

=

F. [ ]xpsenxsenpxyxsenpxsenxySi pp )1(..)().()( 1, +=⇒= −

G. xsenxyxsentgxxySi 22)(2.)( , =⇒=

H. xxxysenxxxsenxxxySi cos.)(2cos.2.)( 2,2 =⇒−+=

I. 22,222 2)()/(.)( xaxyaxarcsenaxaxxySi −=⇒+−=

J. xsenbxa

xyab

tgxa

barctg

xySi2222

,

cos

1)(

)()(

+=⇒=

K. 3

2)()3ln()( ,2

+=⇒+=

xxyxxySi

L. 3

)3ln(2)()3(ln)( ,2

++=⇒+=

x

xxyxxySi

M. xxytgxxxySi sec)()ln(sec)( , =⇒+=

N. 22

2)()( , xx xexyexySi =⇒=

O. axaxyaxySi xx ln.6)()(22 3,3 =⇒=

P. )23ln.(3.)(3.)( ,2 +=⇒= xxxyxxySi xx

Q. )(, )()(

xx exe exyexySi +=⇒=

R. )ln1()()( , xxxyxxySi xx +=⇒=

S. xxxyxxySi xx ln.2)()( )1(ln,ln −=⇒=

T. yx

yxxyyxyxSi

2

2)(3 ,22

−−=⇒=+−

U. 1´,1233 −===+ yxparaxyyxEn

V. La curva 53 22 =++ yxyx en el punto A (1, 1), tiene como tangente la recta 2=+ yx y como normal la

recta .xy =

3

2. INCREMENTOS/DIFERENCIALES

�� En la función :)(xfy =

• El incremento de una variable x, es el cambio en x, cuando x pasa del valor inicial x0 al valor final

x1, (creciendo o decreciendo): Incremento en x: :01 xxx −=∆ ∆∆∆∆x (“delta x”).

• Si x experimenta un incremento ∆x = x1 − x0, entonces y presentará un cambio o incremento

(positivo o negativo) :)()()()( 0001 xfxxfxfxfy −∆+=−=∆ ∆∆∆∆y (“delta y”).

�� Graficar en ,4,22 2xyx −=≤≤− determinar ∆∆∆∆y si:

a. x0 = 1, ∆x = 0.2. b. x0 = −1, ∆x = −0.2.

c. Determinar en los casos anteriores el valor de la razón xy ∆∆ / e interpretar geométricamente.

2.1. TALLER.

Graficar en .2

,20x

yx =≤p Determine el valor de ,x

y

∆∆

si x cambia de 0.75 a 0.5. Resp. 3

16−

2.2. TAREA.

1. Graficar en .32,41 −=≤≤ xyx Determine el valor de ,x

y

∆∆

si x cambia de 3.3 a 3. Resp. 2

2. Graficar en .4,10 2 xxyx +=≤≤ Determine el valor de ,x

y

∆∆

si x cambia de 0.7 a 0.85 Resp. 5.55

�� En la función :)(xfy =

• dx, se llama la diferencial de x, viene dada por la relación .xdx ∆=

• dy, se llama la diferencial de y, viene dada por la relación .)(' dxxfdy =

4

�� Dada ,32

2

xx

y += verificar que para x = 2, dx = 0.5, ∆y = 2.625, dy = 2.5. Interpretar gráficamente.

�� El área A de un cuadrado de lado L está dada por

A = L2. Suponga que L tiene un incremento ∆L.

Ilustre gráficamente ∆A, dA, ∆A − dA.

2.3. APROXIMACIÓN POR LA RECTA TANGENTE

�� Como puede verse en la gráfica, la tangente a una curva se aproxima a la curva cerca del punto P de

tangencia: La recta tangente puede proporcionar una aproximación para la curva.

• f(x0 + ∆∆∆∆x) ≈≈≈≈ f(x0) + dy = f(x 0) + f´(x 0).dx

�� Aproximar mediante diferenciales 3 124 , para obtener 4.9867

�� La arista de un cubo es de cm6 con un posible error en su medida de .05.0 cm Determinar que

34.5 cm es el error posible en el cálculo de su volumen.

� Se define el error porcentual aproximado de una fun ción f como: %100*f

df

�� El radio de un círculo se incrementa de 10 mts a 10.1 mts. Determine que 2% es el cambio porcentual

aproximado en la medida del área.

2.4. TALLER.

I. Aproximar mediante diferenciales ,46°sen para obtener 0.7194.

II. Supóngase que la tierra es una esfera perfecta y que su radio es .1.03959 millas± Determinar que

29950millas , sería la aproximación en el cambio del área de la superficie de la tierra.

III. La arista de un cubo se mide con un error del 1%. Determine que 3% es el cambio porcentual

aproximado en la medida del volumen.

5

2.5. TAREA.

1. Si ,32 −= xy encuentre los valores ∆y, dy si � x = 2, ∆x = 0.2 � x = 1.5, ∆x = −0.1.

Interprete estos resultados en una gráfica ampliada. Resp. 0.84, 0.8 ; −0.29, −0.3.

2. Aproxime por diferenciales:

� 4 17 Resp. 2.03125

� 5 1020 Resp. 3.99688

� °59cos Resp. 0.5151

� °44tan Resp. 0.9651

3. Una placa circular se dilata bajo el efecto del calor de manera que su radio pasa de 5 a 5.06 cm. Halle

el crecimiento aproximado del área. Resp. 1.88 cm2

4. Una esfera metálica de radio exterior 1 mt, se cubre con una película protectora de espesor 0,01 cm.

Calcular el volumen de protector anticorrosivo de la película. Resp. 1256,63 cm3

5. La arena que sale de un recipiente forma un montículo cónico cuya altura siempre es igual al radio.

Estime el incremento del radio correspondiente a un cambio de 2 cm3 en el volumen del montículo,

cuando el radio mide 10 cm. Resp. 0.00637

6. Determine el incremento de la recta tangente para los cambios dados en el volumen de:

� Una esfera cuando el radio cambia una cantidad ∆r. Resp. 4πr2∆r

� Un cubo cuando la longitud de la arista cambia una cantidad ∆a. Resp. 3a2∆a

� Un cilindro circular recto cuando el radio cambia una cantidad ∆r y la altura permanece constante. Resp. 2πrh∆r

� Un cono circular recto cuando el radio cambia una cantidad ∆r y la altura permanece constante. Resp. 2πr h∆r /3

7. Determine el origen de las fórmulas aproximadas: 2

3 32

3;

2 a

baba

a

baba +≈++≈+ , donde

b es un número pequeño en comparación con a. 8. Determine en forma aproximada el cambio en el área de la superficie de un cubo, cuando la longitud de

su arista L cambia de Lo a Lo + dL. Resp. 12LdL

9. Con que precisión debe medirse el lado de un cuadrado, para estar seguro de calcular el área con un

margen de error del 2%. Resp. 99%

10. Hay un tanque en forma cónica de 1 mt de radio superior y 4 mt de altura, estando el nivel de agua que

contiene el tanque a la altura de 3 mt, se vierten en el tanque 2 cm3 de agua. Calcular

aproximadamente el incremento de la altura. Resp. El nivel del agua sube 0,0001132 cm.

11. Un tanque tiene la forma de un cilindro con el extremo superior esférico. Si su altura es de 5 mt. y con un

radio de 1 mt. Determine en forma aproximada la pintura necesaria para pintar la parte exterior del tanque

con un espesor de 2mm. Resp. 0.028π m2

12. Con un alambre metálico de 2 mm. de diámetro, se dobla para formar una circunferencia de 2 mt. de

diámetro interior. El alambre así doblado se coloca sobre una superficie plana horizontal. Calcular el

área cubierta por el metal. Resp. 125,663 cm2

6

3. FORMAS INDETERMINADAS

�� En la función )2(,2

4)(

2

fx

xxf

−−= da como resultado ,

0

0 una expresión sin sentido, una forma

indeterminada , es necesario determinar que 4)(lim2

=→

xfx

. GRAFIQUE.

� Otras formas indeterminadas: .1,,0,.0,, 00 ∞∞∞∞−∞∞∞

Estos símbolos son sólo notaciones

para expresiones que carecen de sentido.

♦ Regla De L’Hôpital. (Guillaume de L’Hôpital , matemático francés 1661 − 1704)

•••••••• Si las funciones )(),( xgxf son ambas derivables en el intervalo abierto ),( ba que contiene a c

y si ,0)()( == cgcf si además ),,(0)(' baencg ≠ excepto quizás en c , entonces:

)´(

)´(

)(

)(

xg

xflim

xg

xflim cxcx →→ =

Si este límite existe o es infinito.

3.1. TALLER. Analizar la demostración:

)(

)(lim

)()(

)()(lim

)()(

)()(

lim)()(

)()(lim

)('

)('

)('

)('lim

xg

xf

cgxg

cfxf

cx

cgxgcx

cfxf

cx

cgxgim

cx

cfxf

cg

cf

xg

xfcxcxcx

cx

cx

cx →←→

→

→

→ =−−=

−−−−

=

−−−−

==

�� Verificar:

A. 01

lim2

0=

−→ xx e

x B. 0

cos1lim

20=

+−

→ xx

xx

3.2. TALLER. Verificar:

A. 1lim0

=

→ x

xsenx

B. 2

11lim

20=

−−→ x

xex

x

7

� La regla de L’ Hôpital se aplica también a la forma .∞∞

�� Verificar:

A. ∞=

∞→ x

ex

xlim B. 0

csc

lnlim

0=

+→ x

xx


A. 0lim2

=

∞→ xx e

x B. 0

lnlim =

∞→ x

xx

� Formas indeterminadas: .1,,0,.0,, 00 ∞∞∞∞−∞∞∞

�� Verificar:

A. 2

11

)1ln(

1lim

0=

−

++→ xxx

B. 0lnlim 31

=

−

∞→xx

x

C. ( ) 1lim0

=+→

x

xxsen

D. ( ) 11lim2

=+∞→

x

xx

E. ( ) ex x

x=−

→ +1

1

1lim


A. ( ) 0tanseclim

2

=−−

→

xxx

π

B. ( ) 0lnlim0

=+→

xxx

C. ( ) 1lim0

=+→

x

xx

D. 11

lim0

=

+→

x

x x

E. ( ) 4cot

041lim exsen x

x=+

+→

�� Determinar el error en el procedimiento: 2

1

2lim

2lim

1lim 0020 ===−

→→→

x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

e

3.5. TALLER. Determine el error en el procedimiento:

16

6lim

66

26lim

363

123lim

233

2lim 222

2

223

23

2 ==−−=

+−−−=

−+−−−−

→→→→ xxxx x

x

xx

xx

xxx

xxx (La respuesta es 7/3).

8

3.6. TAREA. Verificar:

1. 0sen 2

0=

→ x

xlimx

2. 2

1

)12ln(lim

0=

−→ xx e

xsen

3. 2cos1

tg 1

0=

−

−

→ x

xxlimx

4. 4/14

cos222

=−

−→ x

xxlimx

π

5. 3/211 33

0=−−+

→ x

xxlimx

6. 1lim11

1

=−→∞x

x

x tg

sen

7. 2/1sec

11lim

220=

−→ xxxx

8. 3ln13

lim0

=−→ x

senx

x

9. ( ) exsenx tgxx /1coslim 2/ =−→π

10. ( ) 8

1

2

)ln(lim

2

2

−=−→ x

xsen

x ππ

11. 21

lim2

2

0

2

=−→ xsen

e x

x

12. 3

13

1lim

1

=−

−∞+→

x

e x

x

13. 1)5ln(

5

5

5lim

0 −=

−→ xxx e

x

14. 21

1tan2

1

lim

12

−=

− −

∞+→

x

xxx

15. 1cos.sen 1

0=−

→ecxxlim

x

16. ∞=→ 20

coslim

x

xx

17. 01

lim1

=−→ xsen

xx

18. 0lim3

=∞→ xx e

x

19. 11

lim0

=−→ x

ex

x

20. 0ln

lim2

=∞→ x

xx

21. 0cot

lnlim

0=

+→ x

xx

22. ∞=++→

)1

(lnlim0 x

xx

23. 0,lim faaq

p

ax

ax qp

qq

pp

ax

−

→=

−−

24. 2)(

)(tanlim

0=

−−

→ xsenx

xxx

25. 1

2 2

2lim −

→=

−− n

nn

tnt

t

t

26. 6

1

tanlim

30=−

→ x

xsenxx

27. 1)ln(tan

)ln(coslim

2

−=−

→ x

x

xπ

28. 1lim2

2

0=

→ xsen

xsenx

29. 5

3

11

11lim

33

55

0=

−−+−−+

→ xx

xxx

30. 21

2cos1lim =

−+

→ xsen

xx π

9

4. LUGARES GEOMÉTRICOS

�� Si F(x, y) = 0 es una ecuación de dos variables, al conjunto de puntos P(x, y) y solamente de aquellos

puntos que satisfacen la ecuación, se denomina la gráfica de F(x, y) = 0, ó su LUGAR GEOMÉTRICO.

�� Si un punto P(x, y) se mueve de tal forma que sus coordenadas deban siempre satisfacer una ecuación

dada (una condición), la curva trazada por P se denomina el LUGAR GEOMÉTRICO de la ecuación.

�� Determine la ecuación y dibuje el conjunto de puntos (x, y), tales que:

1. El cuadrado de su distancia a (4,1) es siempre igual a su distancia al eje Y.

Resp. 172922 −=−−+ yxyx

2. Su distancia a (2,4) es siempre igual a su distancia al eje Y aumentada en 3.

Resp. 111082 −=−− xyy

3. El producto de las pendientes de las rectas que los unen a (−2,1) y a (6,5) es siempre − 4.

Resp. 436164 22 =−−+ yxyx

4. Su distancia a (−1,2) es el doble de su distancia al eje X. Resp. 5423 22 −=−+− yxyx

4.1. TALLER. Determine la ecuación y dibuje el conjunto de puntos (x, y), tales que:

A. Que equidisten de los puntos fijo (−3, 1) y (7, 5). Resp. 1625 =+ yx

B. La suma de distancias a los ejes coordenados es igual al cuadrado de sus distancias al origen.

Resp. Circunferencia con centro en C (½, ½) y radio 2

2

4.2. TAREA. Determine la ecuación y dibuje el conjunto de puntos (x, y), tales que:

1. La suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (3,5) y (−4,2) es siempre 30.

Resp. 12722 −=−++ yxyx

2. Su distancia a la recta x + 3 = 0, es siempre 2 unidades mayor que su distancia al punto (1,1).

Resp. 1242 −=−− yxy

3. Su distancia a (3,2) es la mitad de la distancia a la recta x + 2 = 0.

Resp. 48162843 22 −=−−+ yxyx

4. Su distancia a (0,6), sea 3/2 de su distancia a la recta y = 8/3. Resp. 8045 22 =− xy

5. El producto de las pendientes de las rectas que los unen a (−2,1) y a (3,2) es. siempre 4.

Resp. 26344 22 =+−− yxyx

6. Dos de los vértices de un triangulo son los puntos fijos A (−1,3) y B (5,1). Determine la ecuación del

lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es

siempre el doble de la del lado BC. Resp. 177 =++ yxxy

10

5. ROTACIÓN DE EJES

♦ Sean X, Y un conjunto de ejes coordenados con origen en (0, 0), y sea U, V un segundo conjunto de

ejes coordenados con el mismo origen pero girados o rotados un ángulo θθθθ alrededor del origen.

�� Mostrar que todo punto P en el plano tendrá dos pares de coordenadas: (x, y), (u, v), relacionados

entre sí por: θθθθ cos,cos vusenyvsenux +=−=

�� Transformar a ,02 22 =+− yxyx por rotación de los ejes un ángulo de °= 45θ .

Resp. 0=V

5.1. TALLER.

Transformar la ecuación ,76 =xy por rotación de los ejes un ángulo de .45°=θ

Resp. 733 22 =− VU

5.2. TAREA.

Halle la ecuación de las siguientes curvas si los ejes coordenados giran el ángulo indicado. DIBUJE:

A. °==+− 45,22 22 θyxyx Resp. 12 =V

B. °==+− 30,125323 22 θyxyx Resp. 63 22 =+ VU

C. )5.2(tan,0352 1−==−+ θyx Resp. 329 =U

11

5.3. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

�� Determinar que la ecuación ,022 =+++++ FEyDxCyBxyAx puede transformarse en otra de la

forma ,0''''' 22 =++++ FvEuDvCuA donde VU , es el sistema de ejes obtenido al rotar los ejes YX ,

un ángulo positivo agudo θθθθ, tal que:

CAsiCAsiCA

B o ==≠−

= ,45;,2tan θθ

�� Clasificación:

= 0, la gráfica de la ecuación es una parábola

Si el discriminante B2 −−−− 4AC < 0, la gráfica de la ecuación es una elipse

> 0, la gráfica de la ecuac ión es una hipérbola

�� Clasificar la gráfica de la ecuación. Rote / Traslade / Grafique:

I. 02602910816 22 =+−− yxyx

Resp. 2045 22 =− VU

II. 01243413367 22 =−−−+− yxyxyx

Resp. 44 22 =+ VU

12

5.4. TAREA. Clasificar la gráfica de la ecuación. Rote / Traslade / Grafique:

1. 04872104737252 22 =−+−+− yxyxyx

Resp. 44 22 =+ VU

2. 339356661610829 22 =−−−+ yxyxyx

Resp. 2045 22 =− VU

3. 444565 22 =+−++ yxyxyx

4. 3001402092416 22 =−++− yxyxyx

Resp. UV 42 =

5. 6318122 22 =−++− yxyxyx

Resp. Dos rectas paralelas

6. 333232 =−+− yxxyx

13

6. CÓNICAS

�� Definición : Sea D una recta fija (directriz) y F un punto fijo (foco), en el plano XY. Al conjunto de todos

los puntos P(x, y) del plano tales que la razón de la distancia al foco y a la directriz es una constante

positiva e (excentricidad), se denomina cónica .

�� Determinar que la ecuación de la cónica con directriz el eje Y, foco en F(a, 0) y excentricidad la

constante positiva e es:

( ) .021 2222 =++−− ayaxxe

6.1. TALLER.

Determine que la ecuación de la cónica con directriz el eje X, un foco en el punto con coordenadas F (0, a) y

la excentricidad la constante positiva e, es:

( ) .021 2222 =++−− axayye

�� Si ( ) ,01,1 2 =−= ee la ecuación representa una __________________

�� Si ( ) ,01,1 2fp ee − los coeficientes de las variables cuadráticas son ambos

positivos y diferentes, la ecuación representa una _________________

�� Si ( ) ,01,1 2pf ee − los coeficientes de las variables cuadráticas son de signos

opuestos, la ecuación representa una __________________

14

�� Determinar el valor de la excentricidad, el tipo de cónica, la directriz y el foco y determinado por:

• .0256128167 22 =+−+ xyx Resp. 4

3

• .016164 22 =−+− xyx Resp. 2

5

6.2. TALLER. Determinar la excentricidad y el tipo de cónica determinado por .0442 =+− xy Resp. 1

6.3. TAREA.

1. Determinar el valor de la excentricidad, el tipo de cónica, la directriz y el foco determinado por:

A. .0142 =++ xy Resp. 1, parábola

B. .0161643 22 =+−+ xyx Resp. 2

1, elipse

C. .01447279 22 =+−− yyx Resp. 3

4 , hipérbola

� En el caso donde e ≠≠≠≠1 la excentricidad es equivalente a la razón: a

ce=

�� La excentricidad e, en la elipse, a

ba 22 −; en la hipérbola ,

a

ba 22 +

2. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol. Si el semieje mayor tiene un valor de

1.485 x 108 kilómetros y la excentricidad vale 1/62, determine que la máxima distancia de la tierra al sol es

1.508 x 108 Kilómetros y que la mínima distancia es 1.461 x 108 Kilómetros.

�� Determine la ecuación de la cónica:

A. .3

2.),3,4(,1 =−−= eexcentricFfocoxDirectriz Resp. 0221548095 22 =++−+ yxyx

B. .3

5.),2,1(,2 =−= eexcentricfocoyxDirectriz Resp. 0453618548 22 =++−++ yxyxyx

6.4. TAREA. Determine la ecuación de la cónica:

A. .1,022),0,0( ==++ eyxdirectrizFoco Resp. 048444 22 =−−−+− yxyxyx

B. .2,033),3,3( ==−+ eyxdirectrizFoco Resp. 07261813123 22 =++−−− yxyxyx

15

7. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

♦ El símbolo ∑=

n

kkx

1

, denotará la suma de todos los ,kx desde k = 1, 2, 3,....... hasta k = n:

........43211

n

n

kk xxxxxx +++++=∑

=

♦ Los kx son los términos de la suma, la variable k es el índice de la sumatoria y es “ficticia”, sirve

cualquier letra. 1 es el límite inferior y n es el límite superior.

�� Desarrollar: ∑∑∑===

+10

4

6

2

8

1

5),2(,)12(kji

jseni π . Resp. 80, 0, 35

7.1. TALLER.

1. Si ,6,10,8,3,8,4,5,2 43214321 ==−=−=−==−== yyyyxxxx verifique que:

35,26.,209)(,109)(,5,74

1

4

1

4

1

4

1

24

1

24

1

4

1

−=====−= ∑∑∑∑∑∑∑ iiiiiiii yxyxyxyx

2. Determine si es falso (F) o verdadero (V):

∑ ∑ ∑= = =

=n

i

n

i

n

iiiii yxyx

1 1 1

_____________

3. Expresar con notación sigma:

A. ( ) ( ) ( ) =++++++ 15155544 yxyxyx K

B. ( ) ( ) ( ) =+++ 1005050

1266

1055 yfyfyf K

7.2. TAREA.

1. Si ,6,1,4,5,2,3 321321 =−=−==−== VVVUUU verifique que:

6.,12/25/,226)(,20.23

1

3

1

3

1

3

1

23

1

=

=== ∑ ∑∑∑∑ iiiiiiii VUVUVUVU

2. Expresar con notación sigma. (Las respuestas pueden no ser únicas)

A. 199.....131197531 ++++++++

B. 200.....1412108642 ++++++++

C. 200.....1412108642 −−+−+−+−

D. 625

25.........

9

3

4

2 αααα sensensensen ++++

E. 50

2...........

3

2

2

2

1

2 5032

++++

F. 100.......321

1...........

321

1

21

11

xxxxxxx++++

G. 222

71

35............

7

3

5

2

3

1

++

+

+

H. 55

1..........

5

1

3

11 ++++

I. 10010000

1.........

39

1

24

1 ππππ sensensensen ++++

16

�� LINEALIDAD: Verificar que ∑∑ ∑== =

+=+n

kk

n

k

n

kkkk YbXabYaX

11 1

)( con a, b constantes reales.

�� Verificar que 1

n

i

k nk=

=∑ , con k cualquier constante real.

�� Verificar que ( )1 01

j j

n

j

X X Xn X−=

− = −∑ , aplicar en: ∑ =

−−+

100

1 101

1001

1 k

k

k

k


A. 3

319

3

1571

253

=

∑

B. ∑ =

++−

+

100

1 5151

2575

)2)(1(

1

)1(

1

kkkk

�� Si n es un entero positivo: 2 2

2 3

1 1 1

( 1) ( 1)(2 1) ( 1); ;

2 6 4

n n n

i i i

n n n n n n ni i i

= = =

+ + + += = =∑ ∑ ∑

�� Calcule:

A. ∑=

+20

1

2 )2(3i

ii

B. 505010099.....654321 22222222 =+−−+−+−+−

7.4. TALLER. Verificar: 147)1(7

1

2 =+∑=i

i

7.5. TAREA. Calcule:

A. ∑=

−25

1

)1(2i

ii Resp. 104000

B. ∑=

−n

i

ii1

2 )2(4 Resp. 3

43

3

2 23

4 nn

nn −−−

17

8. ÁREA BAJO UNA CURVA

8.1. Regla del punto medio.

( ) 11 2

1

( ) ( ) ( ) .... ( ) ,2

Ni i

i i n iI

x xb aA f c x f c f c f c con c

n−

=

+−≈ ∆ = + + + + =∑

�� Aproximar el valor del área bajo la curva ,3 2xy = las rectas x = 0, x = 1. Utilizando la regla del

punto medio con n = 4. Resp. 0.984375

8.2. Regla del Trapecio.

0 1 2 1( 2 2 ....... 2 ), int2 n n

b aA y y y y y n sub ervalos de igual longitud

n −−≈ + + + + +

�� Aproximar el valor del área bajo la curva ,3 2xy = las rectas x = 0, x = 1. Utilizando la regla

trapezoidal con n = 4. Resp. 1.03125

�� Aproximar el valor del área bajo la curva ,3 2xy = las rectas x = 0, x = 1. Utilizando la regla de

Simpson (Thomas Simpson matemático inglés 1720 − 1761) con n = 4. Resp. 1

ci a b

f(ci)

f(x)

a b

yn-1

f(x) yn

Xn-1 Xn

18

8.3. Regla de Simpson.

Nota: El área bajo la parábola ).62(3

,,, 22 CAhh

eshxhxrectaslasxejeelCBxAxy +=−=++=

0 1 2 3 4 2 1( 4 2 4 2 ......... 2 4 ), n par3 n n n

b aA y y y y y y y y

n − −−≈ + + + + + + + +

�� Aproximar el valor del área bajo la curva ,1

xy = las rectas x = 1, x = 3. Utilizando la regla del punto

medio, trapezoidal, Simpson, con n = 4. Resp. 1.089, 1.116, 1.1 8.4. TALLER.

Aproximar el valor del área bajo la curva 12 += xy las rectas x = 0, x = 1. Utilizando la regla del punto medio, trapezoidal, Simpson, con n = 4. Resp. 1.328, 1.343, 1.333

8.5. TAREA.

A. Aproximar el área bajo la curva 41

1

xy

+= , las rectas x = 0, x = 3. Utilizando la regla del punto

medio, trapezoidal y Simpson , con n = 6. Resp. 1.098004, 1.098709, 1.109031

B. Aproximar el área bajo la curva xy += 35 , las rectas x = 1, x = 5. Utilizando la regla del trapecio y Simpson , con n = 4. Resp. 24.654, 24.655

C. Utilizando la regla Simpson , con n = 4 aproximar el área bajo las curvas:

a) senxy = , las rectas x = 0, x =π. Resp. 2.2845

b) 2xey −= , las rectas x = 0, x = 2. Resp. 0.881

19

9. INTEGRAL DEFINIDA

♦ Sea f una función sobre [a, b], no necesariamente continúa ni positiva en él.

•••••••• Una partición P de [a, b] es una colección de sub-intervalos:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] .,,,,,,,,,,, 210143322110 bxxxxaconxxxxxxxxxx nnn ==− pKpppK

♦ Cada sub-intervalo [ ],,1 ii xx − tiene por longitud ,1 iii xxx ∆=− − y sea ∗ix un punto cualesquiera en él.

(llamado punto de evaluación).

� La suma de RIEMANN, ( Bernhard Riemann matemático alemán 1826 – 1866) para la función

)(xf determinada por la partición P de [ ]ba, es: ∑=

∗ ∆=n

iii xxfR

1

)(

� Si f definida en [a, b] es continua no negativa , el área A bajo la curva )(xfy = en [a, b] es el límite

de sus Sumas de Riemann: ∑=

∗∞→ ∆=

n

iiin xxflimA

1

)(

•••••••• Use sumas de Riemann, utilizando los puntos extremos de la derecha de cada subintervalo [xi−1, x i],

como puntos de evaluación ∗ix y determínese el valor del área pedida:

�� Bajo la curva .2,0,3 === xxrectaslasxy

�� Bajo la curva .2,1,4 2 ==−= xxrectaslasxy

9.1. TALLER. Determine el valor del área bajo la curva .1,0,2 === xxrectaslasxy Resp. 1

9.2. TAREA. Determine el valor del área bajo la curva:

1. Bajo la curva .2,0,2 === xxrectaslasxy Resp. 3

8

2. Bajo la curva ( ) .3,1,1)( 2 ==+= xxrectaslasxxxf Resp. 3

124

DEFINICIÓN: La integral definida de la función f desde a hasta b es el número ∑=

∗∞→ ∆=

n

iiin xxfI

1

)(lim ,

Siempre que exista , entonces se dice que f(x) es integrable en [a, b], y se nota ∫=b

adxxfI )(

♦ Si f(x) es continua y f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces ∫=b

adxxfI )( = Área bajo la curva en [[[[a, b]]]].

�� Use sumas de Riemann, utilizando los puntos extremos de la derecha de cada subintervalo [ ],,1 ii xx −

como puntos de evaluación ∗ix , verificar que: ∫ −=−

3

0

3 75.6)6( dxxx

20

9.3. TALLER. Verificar que:

∫ −=−2

0

2

3

4)2( dxxx

9.4. TAREA. Verificar que:

A. ∫ =−3

2

2

3

4)2( dxxx

B. ∫ =−3

0

2 0)2( dxxx

TEOREMA. Si f y g son integrables en [a, b], y k una constante real se satisface:

∫ =a

adxxf 0)( ∫ ∫−=

b

a

a

bdxxfdxxf )()(

∫ −=b

aabkdxk )( ∫∫ =

b

a

b

adxxfkdxxfk )()( ∫∫ ≤

b

a

b

adxxfdxxf )()(

� Si en [ ] :)()(,, xgxfba ≤ ∫ ∫≤b

a

b

adxxgdxxf )()(

� Si en [ ] :)(,,, MxfmquetalesnúmerossonMmba ≤≤ ∫ −≤≤−b

aabMdxxfabm )()()(

� Si f es continúa en [ ] ,,, byaentrenúmerounescyba ∫∫ ∫ +=b

c

b

a

c

adxxfdxxfdxxf )()()(

9.5. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Si f es continúa en [ ] :,, quetalbyaentrecnúmerounexisteba ∫ −=b

aabcfdxxf )).(()( .

�� Ilustrarlo en ∫2

0

3 dxx .

� Sea f continúa en [a, b]:

� Si ∫=x

adttfxI )()( , se verifica la igualdad I’(x) = f(x)

•••••••• Un Teorema Fundamental Del Cálculo

[ ] ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

21

10. INTEGRAL INDEFINIDA

�� Si en todos los puntos del intervalo [a, b] se verifica que la función f(x) es la derivada de la función F(x),

es decir se verifica la ecuación F´(x) = f(x), F(x) se denomina la PRIMITIVA de f(x) sobre ese intervalo.

•••••••• Si )()( 21 xFyxF son dos primitivas de [ ],,)( baenxf su diferencia es una constante.

Si F(x) es una función primitiva de f(x) la expresión F(x) + C se llama la INTEGRAL INDEFINIDA de f(x) .

♦ Se nota ∫ += CxFdxxf )()( , corresponde a un conjunto de funciones representada en una

familia de curvas paralelas desplazadas verticalmente y satisface:

�� Hallar la Familia de curvas correspondientes a: ∫ dxx2

� Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene una función primitiva.

� No toda función primitiva puede expresarse mediante funciones elementales, algunos

ejemplos son:

∫ ∫∫∫ ∫ ≠−− .1,1,cos

,,ln

1, 22

kcondxsenxkdxx

xdx

x

senxdx

xdxe x

10.1. TALLER. Complete la siguiente TABLA:

)(xf

)(' xf

∫ dxxf )(

1,1

)(1

−≠+

=+

nn

xxf

n

nxxf =)(' =∫ dxxn

xxf cos)( −= xsenxf =)(' ∫ =dxxsen

xsenxf =)( xxf cos)(' = ∫ =dxxcos

xxf tan)( = xxf 2sec)(' = ∫ =dxx2sec

xxf cot)( −= xxf 2csc)(' = ∫ =dxx2csc

xxf sec)( = xxxf tansec)(' = ∫ =dxxx tansec

xxf csc)( −= xxxf cotcsc)(' = ∫ =dxxxcotcsc

xexf =)(

xexf =)(' ∫ =dxex

a

axf

x

ln)( =

xaxf =)(' ∫ =dxax

xxf ln)( =

xxf

1)(' =

∫ =dxx

1

xarcsenxf =)( 21

1)('

xxf

−= ∫ =

−dx

x21

1

xxf arctan)( =

21

1)('

xxf

+= ∫ =

+dx

x21

1

22

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

11. INTEGRACIÓN DIRECTA

�� Evaluar:

I. ( )∫ +− dxxx .352 2 II. ( )∫ − dxxx .1 III. ∫−+

dxx

xx2

23 45 IV. ( )∫ + dss .33 2 V. ( )∫ + dsx 1

11.1. TALLER.

1. ( ) Cxxx

dxxx ++−=−∫ 23

2

4.1

2342

2. ( ) Csss

dss ++−=−∫ 3

2

5.1

3522

3. Cxxx

dxx

xx ++−=

+−∫2/1

22/3

443

2.

2

2

4. ∫ ++−=

+− −− Cxxxdxxx

4125

2724

7

5. ( ) Cxa

dxxa ++=+∫ 3

)(.

32

6. ∫ +−+=−+Cxxxdx

x

xx8

3

8

5

244 23

252

7. ∫ +−=−Cxxdx

x

x 33 2

3 2

3

92

33

8. ∫ +−+−=++− − Cxxxdxx

xx 223

24

2

3ln

3

4

3

938

�� Evaluar: I. ∫ − 32x

dx II. ∫ − 3

.2x

dxx III. ∫ +

+dx

x

x

1

2

11.2. TALLER.

1. Cx

dxx

x +−

−=−∫ 3

1ln

1

3

3

2

2. Cx

x

x

dx

x

dx ++−=

+−

−∫ 12

12ln

1212

3. Cxx

dxxx

x +++

=++

+∫ 2

22ln

22

12

2

4. Cxx

dxx

xx +++=+

++∫ 2ln2

22

22 22

23

�� Evaluar:

I. ∫ dxx.10 II. ( )∫ + dxex .12

III. ( )∫ ++− dxee xxx .323 IV. ∫ +dx

e

ex

x

10

11.3. TALLER.

1. ( ) Ca

aedxae

xxxx ++=+∫ ln44

.44

44

2. ( ) Ce

xedxxe

exex +

+−=−

+

∫ 1

1

3. Ce

dxexx

x +−=+−

+−∫ 2

22

2

2

4. Ce

dxe

ex

x

x

++

=+∫ 2

2ln

2

2

2

2

�� Evaluar:

I. ( )∫ −+ dxxsenx .)62(7cos II. ∫ dxtgx. III. ∫ dxx.sec IV. ( )∫ − dxxsenx .cos 22

V. ∫ dxax.2sec2 VI. ∫+

dxx

xsenx

cos

cos VII. ∫ dx

y

seny2cos

VII. ∫ dyy

seny2cos

VIII. ∫ +dy

y

ysen2cos1

2

11.4. TALLER.

1. Csenxdxx +=∫ ln.cot

2. Cxecxdxecx +−=∫ cotcosln.cos

3. 2(1 ) . 2 ln sectgx dx tgx x C+ = + +∫

4. Ca

axaxdxsenax +−=∫ 4

2coscos.

5. ∫ +−=+

Cxdxxx

xcos

cottan

sec

6. Cb

xbadx

xba

tgxx ++

=+∫

secln

sec

.sec

7. Ca

axbtgaxdxaxb +=∫

sec.sec

8. Cx

xdxsenxx ++=−∫ 2

2cos.)(cos 2

9. ( ) Cxdxxx +−=+∫ cottan1cot 22

24

12. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

�� Evaluar:

I. ( )∫ + dxxx .3.2 253 II. ∫ + dxxx .2. 32 III. ( )∫ +dx

x

x.

2

833

2

IV. ∫ +dx

x

x.

24 3

2

V. dxx

e x

∫ 2

1

12.1. TALLER.

1. Cxx

dxxx

x ++=+

+∫ 4

)6(3

6

)3( 3/22

3 2

2. Cx

dxxx +−−=−∫ 6

)21(.2

2/3242

3. Cxxdxxx

x +−+=−+

+∫ 42

42

1 2

2

4. Cx

dxx

x ++=+∫ 5

)1(2)1( 54

5. ( ) ( )∫ +−=+− Cxdxxx 3113

42 2

11

344

6. ( )

Cxxdxxx

xx +++=++

+∫ 13

3

2

13

2 23

23

2

�� Evaluar:

I. ∫ dxee xx .cos. II. ∫ dxxxsen .cos.2 III. ∫ dxxsen

x.

cos2

IV. ∫ dxsenxx ..cos4 V. ∫ + )13(cos2 tgxx

dx

VI. En C

xdxxsendxxsenxC

xsendxxsenx +−==+= ∫∫∫ 2

2cos.2.cos.2;

22.cos.2

2

, EXPLIQUE, el

porque de las respuestas “diferentes”, si los dos procedimientos son correctos.

12.2. TALLER.

1. Cx

dxx

senx +=∫ 23 cos2

1

cos

2. Cxtg

dxx

tgx +=∫ 2cos

2

2

3. Cx

dxx

xsen ++

=+∫ )2cos1(2

1

)2cos1(

22

4. Csenxdxsenx

x ++=+∫ 12

12

cos

5.2

2 1cos 1

dxtgx C

x tgx= − +

−∫

6. Cxsendxxsen

xsen ++=+∫

2

212

1

2

7. Cx

dxx

xsen +=∫ 33 4 3cos

1

3cos

3

8. Cxsensenx

dxxsen

x +−=∫ 34

3

3

11cos

9. Cxdxxsen

xx +−−=−−

∫ )2csc(3

1

)2(

)2cos( 332

32

25

�� Evaluar:

I. ∫ dxxesenx .cos. II. ∫ +−

dxe

ex

x

.1

1 III. ∫ − )1( xx

dx IV. ∫ xx

dx

ln. V. ∫ dx

x

x.

)(lncsc2

12.3. TALLER.

1. Ca

adxxa

xx +=∫ ln2

.2

2

2. Ce

dxexx

xx ++

=∫ 5ln1

.5..5

3. Cxedxe

e xx

x

+−+=+−

∫ 3/)3ln(.3

1 3/222

2

4. 2( ) ( / ) ( / )

. 2ln ln

x x x x

x x

a b a b b adx x C

a b a b

− −= − +−∫

5. Cetgxdxx

ex senxsenx

++=+∫ sec

sec3

6. ∫ +

+−=+ Cxx

dx

x

23

2 3

112

3

11

7. 3 2

3

3 ln(1 )

2

dx xC

x x

+= ++∫

8. Cx

dxx

x ++

=+∫ 3

)ln1(2ln1 3

9. Cx

dxx

x ++

=+∫ 3

)1(41 3

10. Cxxx

dx ++=+

∫ 141

11. ∫ +

+=

−

+ Ct

tdtt

t

tt

25

2

223

1

5

211

12. Cdxexx exeex +=∫ 6ln632

13. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

�� Evaluar:

I. ∫ − 24 x

dx II. ∫

− 21625 x

dx III. ∫ − 6

2

1 x

dxx IV. ∫ + 249 x

dx V. ∫ + 43 x

xdx VII. ∫ +

dxx

tgxx2sec49

.sec

13.1 TALLER.

1. Carcsenxxdxx

x ++−−=−

+∫ 31

1

)3( 2

2

2. Cxarctg

xdxx

x +−+=+−

∫ 3

)3/(7)9ln(

9

)72( 22

3. Cearctg

dxe

e x

x

x

+=+∫ 2

)(

1

2

4

2

4. 2

4

8 ( 4 / 3)

9 4 12

sen x arctg sen xdx C

sen x= +

+∫

5. Ctgxarcsen

dxxtg

x +=−∫ 2

)2(

41

sec2

2

6. Cxarcsen

xx

dx +=−∫ 3

)(ln

ln94

2/3

2

26

14. HIPERBÓLICAS INVERSAS

Recuerde que:

x

xsenhx

eex

eexsenh

xxxx

coshtanh,

2cosh,

2=+=−=

−−

�� Verifique que:

( ) .,1ln 21 realcualquierxconxxxsenh ++=− Y que su derivada es 12 +x

dx

14.1. TAREA. Verifique que:

( ) .1,1lncosh 21 ≥−+=− xconxxx Y que su derivada es 12 −x

dx

.1,1

1ln

2

1tanh 1

pxconx

xx

−+=− Y que su derivada es

21 x

dx

−

De lo anterior determinar: A. ∫ =−12x

dx B. ∫ =

− 21 x

dx

�� Evaluar:

I. ∫ − 42x

dx II. ∫

+ 94 2x

dx III. ∫ − 259 2x

dx IV. ∫ +

+dx

x

x

9

22

14.2. TALLER.

1. Cx

x

x

dx ++−=

−∫ 43

43ln

24

1

169 2

2. Cxxx

dx +−+=−∫ 2542ln

2

1

254

2

2

3. Cx

x

x

dxx +−+=

−∫ 5

5ln

56

1

5 3

3

6

2

4. Caxbbxbaxb

dx +−+=−∫

222

222ln

1

5. Cxabaxaxab

dx +++=+∫

222

222ln

1

6. Ccax

cax

accxa

dx ++−=

−∫ ln2

1222

27

15. CONTIENEN TRINOMIO DE LA FORMA AX 2 + BX + C

�� Evaluar:

I. ∫ ++ 30102 xx

dx

II. ∫ −+ 2820 xx

dx

III. ∫ −+−

dxxx

x

844

22

IV. ∫ −−

+dx

xx

x245

3

15.1. TALLER.

1. Cx

arcsenxx

dx ++=−−∫ 8

6

1228 2

2. Cx

arctgxx

dx ++=++∫ 3

12

3

1

522 2

3. Cx

arctgxxdxxx

x +−++−=+−

+∫ 2

23

18

13)8129ln(

9

1

8129

32 22

4. Cx

arcsenxxdxxx

x +−+−−=−

+∫ 2

244

4

2 2

2

5. Cxxxxxdxxx

x +−++++−+=−+

+∫ 321ln32

32

2 22

2

6. Cx

xxxdx

xx

x ++−+−+−=

−+−

∫ 32

12ln

16

5344ln

8

1

344

2 22

28

16. INTEGRACIÓN POR PARTES

� Sean u, v funciones derivables de x:

duvdvuvud ..).( += ⇒ duvvuddvu .).(. −= ∴ ∫ ∫−= duvvudvu ...

�� Evaluar:

I. ∫ dxsenxx .. II. ∫ dxex x. III. ∫ dxsenxx .2 IV. ∫ dxx.sec3 V. ∫ dxarcsenx. VI. ∫ dxxxn .ln.

VII. Determine una formula de recurrencia para ,ln dxxn∫ y aplíquela a .ln3 dxx∫

16.1. TALLER.

1. Cxxsenxdxxx ++=∫ cos.cos.

2. ∫ ++−= Cxxarctgxdxarctgx 21ln.

3. ∫ +−+= Cxarctgxxdxarctgxx 2/)1(2

1.. 2

4. ∫ +−+= Cx

arcsenxxdxarcsenxx2

1

2

1..

4222

5. ∫ ++−= Cxxxxxdxxx tanseclnsectansec

6. ∫ ++= Cxxsenxdxx2

1cos

2

1cos2

7. ∫ ++−+=+ Carctgxxxxdxx 22)1ln().1ln( 22

8. Cxxsenx

dxxsen +−=∫ 2

))ln(cos)(ln().(ln

9. ∫ +++

= Cba

bxabsenbxedxbxe

axax

22

)cos(.cos

10. ∫ ++

−= Cba

bxbsenbxaedxsenbxe

axax

22

)cos.(.

11. Cxxsenxdxx ++=∫ cos22cos

12. ( ) ( )∫ ++−= Cxxxxxdxx 2ln2lnln 22

13. Muestre que ∫∫ −≠+

−+

= −+

1,ln.11

ln.ln. 1

1

mcondxxxm

n

m

xxdxxx nm

nmnm

•••••••• Aplicarla parar calcular Cxxxdxxx +

+−=∫ 18

1ln

3

1ln

6

1ln 2625

29

17. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

�� Evaluar:

I. ∫ −++

dxxxx

x

6

123

II. ∫ +−−+

dxxxx

x

1

5323

III. ∫ −−−−

dxxx

xxx23

34 1

IV. ∫ +++++

dxxx

xxx

23

224

23

17.1. TALLER.

1. 42

1ln ( 1)( 4)

3 4 5

xdx x x C

x x= + − +

− −∫

2. Cxx

xxx

dxx

x +−

+−

−−−−−=−∫ 2

62

3

4

)1(2

1

1

4)1ln(3

2)1(

3. ∫ ++−

+=+−

+−+−C

xx

xxdx

xxx

xxxx

32ln

232

3322

2

23

234

4. ( )

Cx

xxdx

xx

xx +

−++=

−−−

∫ 4

3

3

2

12

12lnln

4

126

5. ∫ +−+=−

Ce

e

eee

dxx

x

xxx

3ln

9

1

3

1

32

6. ∫ ++

++=+

Cx

xx

dxx

1

1)1ln(

)1(

22

2

22

3

7. ( ) ( )∫ +−++=−−

Cxxdxx

x2ln22ln3

4

252

8. ∫ ++=+

Cx

x

xx

dxsenx

cos

cos1ln

)cos1(cos

. 2

2

30

18. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES

�� Evaluar:

I. ∫+

dxx

x 4 II. ∫ + xx

dx32

III. ∫ +−

2.

1

1

x

dx

x

x

18.1. TALLER.

1. Cxx

dxx

x ++−=+

∫ 3

)1ln(44

1

4 34 3

4 3

2. ( ) ( )∫ +−+−−=−

Cxxdxx

x 23

221

2

2

3

2112

121

4

1

21

3. ∫ ++−

−=− Cxx

dxxx45

)32()1(21

32 3335

4. ∫ +++−+=

+−C

x

x

xx

dx

22

22ln

2

1

2)2(

5. ∫ +++++−+=+++

Cxxxxx

dx)11ln(41412

1144

4

6. ∫ +−+−−++

+−=

+−

Cxx

xx

x

xarctg

x

dx

x

x

11

11ln

1

12.

1

1

7. ( )∫ +−−=− Cydyy 23

416

141

8. ( ) ( )∫ ++−+=+ Cxxdxxx 23

25

13

21

5

21

9. ( )

( )( ) ( )∫ +−−−=

−+

Cyydyy

y3

13

4

32 3183

4

3

3

3

10. ( )

( ) ( )∫ +−−−=−

Crrdrr

r3

13

4

32 161

2

3

1

2

11. ( ) ( ) ( ) Cxxxdxxx +−−−+−−=−∫ 272

5

232 23

28

123

10

323

4

323

31

19. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA

I. Productos de senos y cósenos

♦ ∫ dxxxsen nm .cos.

�� Con m ó n impar. ∫ dxxxsen .cos. 52

�� Con m y n ambos pares.

∫ dxxxsen .cos. 22 , ∫ dxxxsen .cos. 24

19.1. TALLER.

5 73 4 cos 2 cos 22 .cos 2 .

10 14

x xsen x x dx C= − + +∫

II. SIGUIENDO INSTRUCCIONES:

De:

�� ABsenBAsenBAsen coscos)( +=+

ABsenBAsenBAsen coscos)( −=−

BsenAsenBABA −=+ coscos)(cos

�� BsenAsenBABA +=− coscos)(cos

Realice:

�� + , y obtenga [ ] 2/)()(cos BAsenBAsenBAsen −++=

�� −−−− , y obtenga [ ] 2/)()(cos BAsenBAsenBsenA −−+=

+ ��, y obtenga [ ] 2/)cos()(coscoscos BABABA −++=

−−−− ��, y obtenga [ ] 2/)cos()(cos BABAsenBAsen +−−=

�� ∫ dxnxmxsen ).cos().( Con m ≠≠≠≠ n

19.2. TALLER. Cxsensenx

dxxsenxsen +−=∫ 10

5

2.2.3

III. OTRAS POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS

�� dxxdxxtg mm

∫∫ .cot,.

�� ∫ xdxtg 6

19.3. TALLER. 3

4 cot 3 cot 3cot 3 .

9 3

x xx dx x C= − + + +∫

�� dxxecdxx mm

∫∫ cos,.sec

�� Con m par ∫ xdx4sec

�� Con m impar 5sec xdx∫

19.4. TALLER. Cxx

xdxxec +−−−=∫ 5

cot

3

cot2cot.cos

536

32

�� ∫∫ dxecxdxxxtg nmnm .cos.cot,.sec.

�� Con n par ∫ dxxxtg .sec. 45

�� Con m y n impares ∫ dxxxtg .sec. 35

�� Con m par y n impar ∫ dxxxtg .sec.2

19.5. TALLER. Cxecxec

dxxecx ++−=∫ 5

cos

7

cos.coscot

5753

19.6. TAREA.

1 121. cos 2

2 4

1 13 32. 2 cos 2 cos2

6 2

3 1 143. 2 4 8

8 8 64

1 2 12 5 3 5 74. cos

3 5 7

1 13 2 5 35. cos cos cos

5 3

1 14 46. cos 3 4 8

128 8

xdx x sen x C

sen x dx x x C

sen x dx x sen x sen x C

sen x x dx sen x sen x sen x C

sen x x dx x x C

sen x x dx x sen x sen x

= + +∫

= − +∫

= − + +∫

= − + +∫

= − +∫

= − +

( ) ( )( )

1 17. 2 cos4 cos2 cos6

4 12

1 18. cos3 cos2 5

2 103

cos 1 29.

1 2

3cos 1 3

10. csc csc4 3

13 2 3 2 2 2 211. cos cos 4 2

12

13 212. tan tan l

2

C

sen x x dx x x C

x x dx senx sen x C

xdx senx sen x C

senx

xdx x x C

sen x

x x sen x dx senx x sen x C

x dx x

+∫

= − +∫

= + +∫

= + +∫−

= − +∫

− = + + +∫

= +

( )n cosx C+∫

( )

1 14 4 7 513. tan sec tan tan

7 5

1 14 314. csc 2 cot2 cot 2

2 6

13 215. cot cot ln

24

sec 1 116.

3tan tan3tan

1 13 3 5 317. cot csc csc csc

5 33

cot18. csc

csc

19. t

x x dx x x C

x dx x x C

x dx x senx C

xdx C

x xx

x x dx x x C

xdx sen x x C

x

= + +∫

= − − +∫

= − − +∫

= − − +∫

= − + +∫

= − − +∫

an sec 2 sec

20. Aplicar la integracion por partes para deducir las formulas

de reduccion

1 22 2. sec sec tan sec

1 1

1 22 2. csc csc cot csc

1 1

21. Aplicar las fo

x x dx x C

mm mma u du u u u du

m m

mm mmb u du u u u du

m m

= +∫

−− −= +∫ ∫− −

−− −= − +∫ ∫− −

rmulas de reduccion por partes del problema 20

para resolver

1 13. sec sec tan ln(sec tan )

2 2

1 3 35 3. csc csc cot csc cot ln(csc cot )

4 8 8

a x dx x x x x C

b x dx x x x x x x C

= + + +∫

= − − + − +∫

33

IV. SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Expresiones de la forma Sustitución Ejemplo

22 xa − tsenax =

�� ∫ − dxx 26

22 xa + tax tan= �� ∫

+ 422 xx

dx

22 ax − tax sec=

�� ∫−

dxx

x 92

19.7. TALLER.

A. 2

2

1 9 4 3ln

3 29 4

dx xC

xx x

+ −= ++∫ B.

( ) ( )C

x

xdx

x

x+

−−=

−∫ 5

52

6

32

80

916916

19.8. TAREA.

( )

( )

( )

3 / 2 22

2 22

2 2

22 2 2

2 2 2

2

3 / 2 2 22 2

2 2 2

2 2 2 22 2

2 2

1 .4 44

2 5 5 2 52 . 5 ln 2 5

3 .

14 . 4 4 2 ln 4

2

5 .

16 . 4 4 2 ln 4

2

7 . ln2

d x x

xx

x xd x x C

x x

a xd xC

a xx a x

x d x x x x x C

x x xd x a rc sen C

aa xa x

x d x x x x x C

x a a x aad x x a

x a x a

=−−

− − −= + − +

−= − +

−

+ = + + + + +

= − +−−

− = − − + − +

+ + −= + +

+ +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

2 3

5 / 2 3 / 22 2

3 / 2 2 2 22 2

2

2 2

22 2

2

25 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2 2

2

2

3 / 22

8 .4 1 2 4

9 .

91 0 .

99

11 1 . 1 6 8 ln 1 6

21 6

11 2 .

5 3

1 3 . ln 2 4 1 34 1 3

21 4 .

4 44

C

x xd x C

x x

d x xC

a a xa x

xd xC

xx x

xd x x x x x C

x

ax a x d x a x a x C

d xx x x C

x x

d x x

x x

+

= +− −

= +++

−= − +

−

= − + + − +−

− = − − − +

= − + − + +− +

−=−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2C

x x+

−∫

34

V. Si el integrando contiene expresiones racionales de :cos, xxsen ∫ dxxsenxR )cos,( , la sustitución

,arctan2 zx = la convierte en una integral de una función racional de la forma:

∫ +

+−

+ 22

2

2 1.

1

1,

1

22

z

dz

z

z

z

zR

�� ∫ + x

dx

cos21 �� ∫ −+

dxxtgx

x

1sec2

sec

19.9. TALLER. Cxtg

xtg

xsenx

dx ++

=−+∫ )2/(1

)2/(ln

cos1

19.10. TAREA.

tan 2 33 21. ln1 2 3 tan 2 3

2

3 tan 11 22. ln3 5 4 tan 3

2

5 tan 31 23. tan

5 3 2 4

4. ln 1 tan1 cos 2

xdx

Cxsen x

xdx

Cxsen x

xdx

arc Csen x

dx xC

sen x x

− −= +

− − +

+= +

+ +

+= +

+

= + ++ +

∫

∫

∫

∫

2

22

5. ln tan 1cos 1 2

tan 3 2 22 26. ln41 tan 3 2 2

2

27. tan 3 tan

2 cos 23

dx xC

sen x x

xsen x

dx Cxsen x

dx xarc C

x

= − +− −

+ −= +

+ + +

= + −

∫

∫

∫

35

20. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

� Sea f continúa en [a, b]:

� Si F(x) es una antiderivada de f(x): ba

b

axFaFbFdxxf∫ =−= )()()()(

•••••••• Un Teorema Fundamental Del Cálculo

�� Evaluar: ∫ −2

0.12 dxx Resp. 5/2

�� Si ∫ +−=x

dtttxF1

2 )32()( , determine F’(x). Resp. x2 − 2x + 3

�� Si ∫=2

1.cos)(

xdttxF , determine F’(x). Resp. 2x.cosx2

20.1. TALLER. Si ∫ +=2

2

2 .1)(x

xdttxF , determine F’(x). Resp 14212 24 +−+ xxx

20.2. TAREA.

1. Evaluar ∫ +−4

0

2 .34 dxxx Resp. 4

2. Evaluar ( )∫ −−8

026 dxx Resp. 28

3. Hallar la ecuación de la recta tangente a ∫ +=2

4

3 )4ln()(x

dttxF , en x = 2. Resp. y = 4.ln68. (x − 2)

20.3. DETERMINAR EL ÁREA DE LAS REGIONES LIMITADAS POR:

�� 3/1.Re;, 2 spxyxy ==

36

�� [ ] 2.Re;,0, spenxxseny π=

� Determine c en [0, π], que satisfaga el T.V.M para integrales. Resp. ≈ 0.690 , ≈ 2.451

�� 3/32.Re;6,23 2 spxyxy −=−=

�� 22.Re;2

,,6 3 spx

yxyxy −==+=

37

�� 3/32.Re;4 2 spxejeelyxy −=

�� 2/1.Re;,3 spxyxy ==

20.4. TALLER . 20/1.Re,, 43 spxyxy ==

�� 3/32.Re,,42 22 spyxyx =−=

20.5. TALLER. 6/5.Re,,2, spxejeyxyx −==

38

�� 2.Re,4,3, spyxxyxy =+==

�� ( ) 4/1.Re,1,1,12 π−−=+==

−espxxyey x

20.6. TALLER. A. ./12.Re,1,, eespxeyey xx ++−=== −

B. ( ) .3/16.Re,4 21

2 spxejeelyxxy −=

39

20.7. TAREA.

1. Determine el área que queda definida entre las curvas 2( ) 6 1h x x x= − − y 2( ) 6 11m x x x= − − .

Resp. 64/3

2. Determine el área que queda definida entre las curvas 2( )f x x x= − y ( )g x x= − . Resp. 4/3

3. Determine el área de la región que queda definida entre las dos curvas con ecuaciones

.2)(103)( 223 xxxgyxxxxf +−=−−= Resp. 24

40

4. Determine el área que queda definida entre las curvas ( ) 222

21 1;

1x y y

x+ − = =

+. .2/2.Re π−sp

5. Calcular el área de la región R que se encuentra dentro de la circunferencia unitaria 2 2 1x y+ = , y

bajo la recta 1y x= − . .2/14/.Re −πsp

6. Encontrar el área encerrada por las gráficas de 2 4y x x= − y 3 26 8y x x x= − + . Resp. 71/ 6

41

20.8. TAREA.

Determine el área de la región indicada

1. .2/1.Re,01 spejeslosyyx =++

2. 3/4.Re,,1 2 spyejeelyx −=

3. 3/8.Re,2, 22 spyxyx −==

4. .2.Re,4,1,0,/1 spxxyxy ====

5. ( ) .3/2.Re,12,122 −+==

− πspxyxy

6. ( ) .620.0.Re,1,0,1/ spxxeey xx ==+=

7. .6/.Re,32 πspxsenydearcoUn =

8. .2.Re,0, 2 ππ spxconxseny ≤≤=

9. ..Re, 2rsprradiodecirculoUn π

10. 12/37.Re,2, 23 spxxyxy −==

11. .4.Re,23, 22 spyxyx −==

12. ( ) 151.1.Re,3,0,12

spxxx

xy ==

+=

20.9. VOLUMEN DE SÓLIDOS CON SECCIÓN CONOCIDA

Determine:

�� Que el volumen de una pirámide cuya altura es h y su base un cuadrado de lado a es 3/2ha .

�� Que el volumen del sólido que tiene base circular de radio 4 y toda sección perpendicular a su base

es un triángulo equilátero es 3/256 unidades cúbicas.

�� Que el volumen del sólido que tiene como base un triángulo equilátero de lado 10 unidades con

vértice en el origen, una altura sobre el eje X y toda sección perpendicular a su base es un cuadrado

con uno de sus lados en la base del sólido es 3/500 unidades cúbicas.

�� Que el volumen de la cuña que se forma al cortar un cilindro circular recto de radio 1 y altura 1, por

un plano que pasa por un diámetro de la base del cilindro y por un punto de la circunferencia de su

tapa es 2/3 unidades cúbicas.

42

�� El volumen del sólido que tiene como base la región en el primer cuadrante formada por la parábola

axyaxy == 42 y toda sección perpendicular su base son semicírculos.

�� El volumen del sólido que tiene como base la región formada por 0,0,4/,sec ==== yxxxy π y

toda sección perpendicular a su base son cuadrados.

�� El volumen del sólido que tiene como base la región triangular limitada por ,2

1,2

1x

yx

y +−=−= el

eje Y y toda sección perpendicular a su base es un triángulo equilátero, con un lado en la base del

sólido.

20.10. TALLER.

1. Verifique que el volumen del sólido que tiene como base la región situada entre el eje X y la curva

π=== xxentrexseny ,0, y toda sección perpendicular a su base es un triángulo equilátero

con un lado en la base del sólido, es 8/3π unidades cúbicas.

2. Determine el volumen del sólido que tiene como base la región situada en el primer cuadrante de

la curva 2

14

xy = − , el eje x y el eje y. Toda sección perpendicular a su base son cuadrados.

Resp. 16/15 unidades cúbicas.

43

20.11. TAREA.

1. Determine el volumen del sólido cuya base está limitada por el círculo ,422 =+ yx usando las

secciones perpendiculares a su base indicadas: Resp. a) 128/3 b) 3/32 c) 3/16π d) 32/3

2. Determine volumen del sólido que tiene como base la región:

A. Triangular, con vértices en (0,0), (2,0) y (0,1) y toda sección perpendicular al eje X son triángulos isósceles con altura igual a la base. Resp. 1/3

B. Elíptica, 3649 22 =+ yx y toda sección perpendicular al eje X son triángulos rectángulos isósceles

con al hipotenusa en la base. Resp 24

C. Elíptica 1// 2222 =+ byax y toda sección perpendicular al eje X son triángulos equiláteros.

Resp. 3/34 2ab

D. Parabólica ( ){ }1/, 2 ≤≤ yxyx y toda sección perpendicular al eje Y son cuadrados. Resp. 2

E. Entre 32, 22 +−== yxyx y toda sección perpendicular al eje X son cuadrados. Resp. 6

3. Determine que ( ) ( )αtan3/2 3R es el volumen de la cuña que se forma al cortar un cilindro circular

recto de radio R por dos planos, uno perpendicular al eje del cilindro y el otro que forma un ángulo α

con el primero y lo corta en el centro del cilindro.

44

20.12. VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

� DISCOS

Determine el volumen del sólido obtenido al hacer g irar :

�� El segmento de recta ,3/1 xy += x ε [0, 12] alrededor del eje X. Resp. π124

�� El arco de parábola ,4/2 2xy −= en el primer cuadrante alrededor del eje Y. Resp. π8

�� El arco de parábola ,82 xy = en el primer cuadrante alrededor de la recta x = 2. Resp. 15/128π

�� El arco de 3y x= en el primer cuadrante, x = 0, y = 3, alrededor del eje y. Resp. 39 9

5π

20.13. TALLER . Determine el volumen del sólido obtenido al hacer g irar :

1. El arco de parábola ,xy = x ε [0, 4] alrededor del eje X Resp. π8

2. La región R limitada por 2 1y x= + , x ε [– 1, 1] alrededor del eje X. Resp. 15/56π

45

20.14. TAREA.

Determine el volumen del sólido obtenido al hacer g irar:

1. La región R limitada por 24 xy −= , y = 0, entre x = −1, x = 2, alrededor del eje X. Resp. π9

2. La región R limitada por 14 += xy , y = 0, x = 0, x = 2, alrededor del eje X. Resp. π10

� Determine el volumen de: Un cono circular recto de radio r y altura h

20.15. TALLER. Una esfera de radio R

20.16. TAREA. Un cilindro circular recto de radio r y altura h.

� ARANDELAS


�� La región R limitada por xyxy 8, 2 == alrededor del eje X. Resp. 5/48π

46

�� La región R limitada por el eje y, 1,2,022 2 =+==−− xxyxy alrededor del eje X.

Resp. 20/79π

�� La región R limitada por 8/,2 3xyxy == alrededor del eje Y. Resp. 15/512π

20.17. TALLER. Determine el volumen del sólido obtenido al hacer g irar:

1. La región R limitada por 2, xyxy == alrededor del eje X, alrededor de y = 2.

Resp. 15/8,15/2 ππ

2. La región R limitada por 2, xyxy == alrededor del eje X. Resp. 10/3π

20.18. TAREA. Determine el volumen del sólido obtenido al hacer g irar:

1. La región R limitada por 4/2,2 3xyxy −=−= alrededor del eje Y. Resp. 15/64π

2. La región R limitada por ,12 += xy x = 0, x = 2, y = 0, alrededor de x = −1 Resp. 3/64π

47

� CILINDROS


�� La región R limitada por 22 xxy −= y por el eje x, alrededor del eje Y. Resp. 3/8π

�� La región R limitada por ,2,2 +== xyxy alrededor de x = 3. Resp. 2/45π

�� La región R limitada por ,, 2xyxy == alrededor del eje X. Resp. 15/2π

�� La región R limitada en el primer cuadrante por 22 2, xyxy −== alrededor del eje Y. Resp. π

48

�� La región R limitada por ,2 43 yyx −= y є [0, 2] , alrededor del eje x. Resp. 15/64π

�� El círculo 422 =+ yx alrededor de la recta x = 3 (TORO). Resp. 224π

20.19. TALLER. Determine el volumen del sólido obtenido al hacer g irar:

1. La región R limitada por 4/4/,2,sec ππ ≤≤−== xyxy alrededor del eje X.

Resp. ππ 22 −

2. La región R limitada por ,2 32 xxy −= x = 0, x = 2, alrededor del eje Y. Resp. 5/16π

20.20. TAREA. Determine el volumen del sólido obtenido al hacer girar:

1. La región R limitada por ,xy = y = 1 alrededor del eje X. Resp. 3/4π

2. La región R limitada por ,4/0,cos, π≤≤== xxyxseny alrededor del eje X. Resp. 2/π

49


�� La región R limitada por 0,4 2 =−= yxy

A. Alrededor del eje Y. Resp. π8

B. Alrededor de y = −3 Resp. 15/1472π

C. Alrededor de la recta y = 7 Resp. 5/576π

D. Alrededor de la recta x = 3 Resp. π64

20.21. TALLER .

La región R limitada por 1,0,2 === yxxy

� Alrededor del eje Y Resp. 2/π

� Alrededor del eje X Resp. 5/4π

� Alred. de la recta y = 2 Resp. 15/28π

20.22. TAREA.

I. Plantee una integral para el volumen del sólido obtenido cuando la región R gira entorno a cada recta:

A.

� El eje de las X

� El eje de las Y

� La recta x = a

� La recta x = b

B.

� El eje de las Y

� El eje de las X

� La recta y = 3

II. Obtenga el volumen de:

1. Un tronco de cono que se obtiene al girar el segmento rectilíneo que va de (0, b) a (h, a) alrededor

del eje X. Resp. ( ) 3/22 babah ++π

2. Del giro alrededor del eje X de la región en el cuadrante Ι acotada por 4/,sec π== xxy . Resp.π

3. Del giro alrededor de X de la región acotada por la mitad superior de 1// 2222 =+ byax y el eje X

Resp. 3/4 2abπ 4. Del giro alrededor de y = 1, de la región en el primer cuadrante acotada por π== xxseny ,

Resp. 2/4 2ππ −

5. Del giro alrededor de x = −4, la región acotada por x = − 4, .264 2yyx −+= Resp. 3/1250π

6. Del giro alrededor de y = −3, de la región acotada por .1, 22 xxyxy −+== Resp. 32/261π

7. Del giro alrededor de x = p (p>0), de la región acotada por .4, 2 pxypx == Resp. 15/32 3pπ

8. Del giro alrededor de X de la región en el primer cuadrante acotada por .32/, 3yxyx ==

Resp. 5/64π 9. Del giro alrededor del eje X de la región en el cuadrante Ι acotada por la curva

ππ === xxxseny ,2/,2 . Resp. ( ) 2/22 π+

10. Del toro resultante del giro alrededor de x = a, de la región circular ,222 ryx =+ a > r.

Resp. 222 arπ

50

20.23. LONGITUD DE ARCO L

�� Determinar que la longitud del arco de una trayectoria es ( ) ( )22, dydxdsdondedsL +== ∫

� Si )),(,())(,( bfbByafaA son dos puntos sobre )(')(),( xfyxfconxfy = continuas en [ ],, ba

la longitud del arco AB viene dada por: ∫ +=b

adxxfL 2))('(1

�� Verifique que la longitud de 32

xy = entre x = −1 y x = 8 es ≈ 10.4 unidades.

� Si ),),(()),(( ddgDyccgC son dos puntos sobre )(')(),( ygyygconygx = continuas en [ ],, dc

la longitud del arco CD viene dada por: ∫ +=d

cdyygL 2))('(1

�� Verifique que la longitud de ,13 23

−= yx entre y = 0 y y = 4 es ≈ 24.41 unidades.

20.24. TALLER. Verifique que:

La longitud de 1=yx entre x = 1 y x = 2 es ≈ 1.1321 unidades. (Aplicar la Regla de Simpson).

20.25. TAREA. Determine la longitud del arco indicado:

A. ,36 4 += xyx x ε [1, 2] Resp. 17/12

B. [ ]22,1,ln enxxy = Resp. ≈ 2.1205

C. [ ]exxxy ,1,ln4

1

2

1 2 ∈−= Resp. 4

1

2

1 2 −e

D. ( )

∈=4

,6

,coslnππ

xxy Resp. ≈ 0.33

51

20.26. ÁREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN S

�� Determinar que si ρρρρ es la distancia entre el eje de revolución y la curva generadora, el área de

superficie S, del sólido de revolución es ∫ ds.2πρ .

� Si )),(,())(,( bfbByafaA son dos puntos sobre )(')()(),( xfysignodecambianoquexfconxfy =

continuas en [ ],, ba el área de la superficie generada al hacer girar el arco AB en torno al eje X viene

dada por: ∫ +=b

adxxfyS 2))('(12π

�� Verifique que el área de la superficie del paraboloide obtenido al hacer girar ,20, ≤≤= xxy

alrededor del eje X es 3/13π unidades cuadradas.

20.27. TALLER.

Verifique que el área de la superficie del sólido obtenido al hacer girar la curva ,10,3 ≤≤= yyx alrededor

del eje Y es ≈ 3.563 unidades cuadradas.

20.28. TAREA.

Determine el área de la superficie generada en la rotación del arco dado, alrededor del eje que se indica:

A. [ ] .;2,0, xejexmxy ∈= Resp. ( ) 21

214 mm +π

B. 3/3xy = , x ε [0, 3]; eje X. Resp. 258.84

C. [ ] .1;3,1,4

1

3

3

−=∈+= yejexx

xy Resp.

18

1823π

D. [ ] .;7,1,ln yejexxy ∈= Resp. ≈ 156.58

E. ;64164 22 =+ yx eje X. Resp. ≈ 85.9

F. ( ) [ ] .;3,0,23

1 23

2 yejexxy ∈+= Resp. 2

99π

52

20.29. INTEGRALES IMPROPIAS

�� Determinar el valor del área entre la curva dada el eje X y las rectas indicadas.

A. 21

1

xy

−= ; x = 0, x = 1 . B.

1

1

−=

xy ; x = 1 , x = 2 C.

3 1

1

−=

xy , x = 0 , x = 4

♦ Si f(x) tiene puntos de discontinuidad en a ≤ x ≤ b, la integral definida f x dxa

b( )∫ se dice impropia

� f(x) es discontinua en x = b, continua en a ≤ x < b,

,)(lim)(∫ ∫−→=

b

a

t

abtdxxfdxxf si este limite

existe, la integral es Convergente.

� f(x) es discontinua en x = a, continua en a < x ≤ b,

,)(lim)(∫ ∫+→=

b

a

b

tatdxxfdxxf si este limite

existe, la integral Converge

� f(x) es discontinua en el punto x = c, continua en a < c ; c < b

∫∫ ∫ +− →→+=

b

tct

b

a

t

actdxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)( , si estos limites existen, la integra Converge

20.30. TALLER. Determinar que divergex

dx∫ −

2

0 2 y que 2

1

0∫ =x

dx

♦ Si por lo menos uno de los límites de integración es infinito , también es integral impropia.

∫∞

adxxf )( Converge si ∫∞→

b

ab dxxf )(lim

existe y el valor de la integral es el valor de este

límite.

∫ ∞−

bdxxf )( Converge si ∫−∞→

b

aa dxxf )(lim

existe y el valor de la integral es el valor de este

límite.

Determinar que:

�� ∫∞

1 x

dx, diverge y que

2

10 2

∫ ∞−=dxe x

20.31. TALLER.

∫∞

=+0 2 4)4(

πx

dx y que divergex

dx∫

−

∞−

1

53

♦ ( ) lim ( ) lim ( )c b

a ba cf x dx f x dx f x dx

∞

→−∞ →∞−∞= +∫ ∫ ∫ ,

si estos límites existen.

�� Determinar que: ∫∞

∞−=

+ 212

πx

x

e

dxe

20.32. TALLER. Verificar que:

2xe dx−∞

− ∞=∫

20.33. TAREA.

1. Verifique que:

a. ∫ =−

4

04

4 x

dx g. div

x

dx∫

∞

−0 2)1(

b. ∫− =−

2

2 24π

x

dx h. 3

3

0233

)1( 32 +=

−∫ x

dx

c. ∫−1

1 4, div

x

dx i. 1,

1

11

fpsipx

dxp −

=∫∞

d. 4/1.ln.1

0−=∫ dxxx j. 1,

1≤∞=∫

∞psi

x

dxp

e. ∫∞

∞−

− = 0.2

dxex x k. 121

11

0+=

−+

∫π

dxx

x

f. divx

dx∫

∞

−0 2)1( l. divdxx∫

2

0tan

π

2. Determine que el área en el primer cuadrante limitada por xey 2−= , es ½ y que el volumen al rotarla

alrededor del eje X es 4/π .

3. Hállense los valores de p para los cuales convergen las integrales siguientes:

( ) ( )∫∫∞

2

2

1.

ln.,

ln.

pp xx

dxb

xx

dxa Resp. a. p < 1 b. p > 1.

4. Hállese el volumen obtenido al girar alrededor del eje Y, la región en el primer cuadrante limitada por el

eje X, y la curva .xey −= Resp. π2

5. Determine que el volumen al rotar alrededor del eje X, el área limitada por ,9=xy y a la derecha de la

recta x = 1 es π81 y que el área de la superficie es infinita. (La trompeta de Gabriel )

54

21. COORDENADAS POLARES

�� El marco de referencia en el plano consiste en un punto fijo O (polo) y una recta dirigida (eje polar ).

�� La posición de un punto P está determinada por una dirección (θθθθ, respecto al eje polar) y una distancia

(r, respecto al polo): P(r,θθθθ).

�� Representar en el plano: P (2,2π/3), Q (−2, 5π/3), R (−2,−π/3), S (2,−4π/3).

�� Determinar la distancia entre los puntos ).,(),( 222111 θθ rPyrP

�� Hallar el área del triángulo con vértices (0,0), (6,π/6), (9,π/3).

21.1. TALLER.

A. Determine otros tres pares de coordenadas polares con ,2πθ p y que representen el mismo

punto: P (6, 7π/6).

B. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el polo y (−5,−120º), (4,150º). Resp. 10

21.2. COORDENADAS POLARES Y COORDENADAS CARTESIANAS

2 2 2

cos ,

, tan 0

x r y r sen

yr x y con x

x

θ θ

θ

= =

= + = ≠

�� Transformar:

I. θcos5=r , a una ecuación en coordenadas cartesianas.

II. 82 22 =+ yx , a una ecuación en coordenadas polares.

55

21.3. TALLER.

Halle una ecuación X - Y correspondiente a θsenr 3= y una r - θθθθ correspondiente a .422 =− xy

Resp. ,322 yyx =+ θ2sec2 −±=r

21.4. TAREA.

1. Determine otros tres pares de coordenadas polares con ,2πθ p y que representen el mismo punto:

Q (−4, −4π/3).

2. Exprese las siguientes ecuaciones:

1. En forma polar

2. En forma cartesiana

A. .232 =+ yx Resp. θθ sen

r3cos2

2

+= A. .2 θsenr = Resp. yyx 222 =+

B. .4xy = Resp. 4tan =θ B. .

2

12

θsenr = Resp. 12 =xy

C. .42 xy = Resp. θθ csccot9=r C. .2tan2 θ=r Resp. xyyx 244 =−

D. .122 =− yx Resp. θ2sec2 =r D. .24 θsenr = Resp. ( ) 22322 64 yxyx =+

E. .74 22 =++ yxyx Resp. θ221

72

senr

+= E. .cos θθ bsenar += Resp byaxyx +=+ 22

F. .922 =+ yx Resp. 3=r F. θsen

r32

1

+= Resp. 1654 22 =+− yyx

21.5. ECUACIÓN POLAR DE UNA RECTA

L es una recta a una distancia ρ del polo y α el ángulo que forma el eje polar con una perpendicular a ella

desde el polo. Su ecuación viene dada por: ( ).cos αθρ

−=r

56

En particular:

�� si α = 0, :cosθ

ρ=r recta perpendicular al eje polar. Ubicada a la derecha del polo.

�� si α = π, :cosθ

ρ−=r recta perpendicular al eje polar. Ubicada a la izquierda del polo.

�� si α = π/2, :θ

ρsen

r = recta paralela al eje polar. Ubicada arriba del polo.

�� si α = 3π/2, :θ

ρsen

r −= recta paralela al eje polar. Ubicada abajo del polo.

�� θθθθ = β, donde β es un ángulo en radianes: recta que pasa por el polo.

�� Determinar las ecuaciones de las siguientes rectas:

I. Pasa por (2,π/6) y es perpendicular al eje polar.

II. Paralela al eje polar y 4 unidades por debajo de él.

III. Pasa por (4,π/6) y forma un ángulo de 5π/6 con el eje polar.

21.6. TALLER.

Halle la ecuación de la recta que pasa por (4, 2π/3) y es perpendicular a la recta que une dicho punto con el

origen. Resp. ( ) .43/2cos =− πθr

21.7. TAREA. Determine las ecuaciones polares de las siguientes rectas:

1. Pasa por (4,2π/3) y es perpendicular al eje polar. Resp. .2cos −=θr

2. Pasa por (3,−π/6) y es paralela al eje polar. Resp. .32 −=θrsen

3. Pasa por (2,2π/3) y por el polo. Resp. .3/2πθ =

4. Pasa por (3,0) y forma un ángulo de 3π/4 con el eje polar. Resp. ( ) .34/cos2 =−πθr

57

21.8. ECUACIÓN POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA

�� Determinar la ecuación polar de la circunferencia con centro en C (3, 2π/3) y radio 2.

21.9. TALLER.

Hallar la ecuación de la circunferencia con Centro en C (r1,α) y radio a.

�� ( ) .cos2 211

22 rrrra +−−= αθ

�� Si ,01 =r entonces el Círculo tiene centro en el polo, y la ecuación queda :ar = Circulo con centro en

el polo y radio a.

�� Si ,1 ar = entonces el Círculo pasa por el polo , y la ecuación adopta la forma más sencilla :

( ):cos2 αθ −= ar Circunferencia de radio a y centro en C (a,α).

�� Hallar ecuación circunferencia con centro en C (a, 0) y radio a.

21.10. TALLER. Hallar ecuación circunferencia con:

1. Centro en C (a, π/2) y radio a.

2. Centro en C (a, π) y radio a.

3. Centro en C (a, 3π/2) y radio a.

21.11. TALLER . Determinar las ecuaciones polares de las siguientes circunferencias:

A. Centro en el polo y radio 5. Resp. 5=r

B. Centro en (4,0) y radio 4. Resp. θcos8=r

C. Centro en (4, 30º) y radio 5. Resp. ( ) 96/cos82 =−− πθrr

21.12. TAREA. Determine las ecuaciones polares de las siguientes circunferencias:

1. Centro en (5,0) y radio 5. Resp. θcos10=r

2. Centro en (−4,0) y radio 4. Resp. θcos8−=r

3. Centro en (5,0) y radio 4. Resp. 09cos102 =+− θrr

4. Centro en (5,π/4) y radio 4. Resp. 09)4(cos102 =+−− πθrr

58

21.13. ECUACIÓN POLAR DE UNA CÓNICA DE EXCENTRICIDA D e

�� Determinar la ecuación de la cónica con foco en el polo, excentricidad e, y directriz la recta L con

ecuación ( ).cos αθρ

−=r

La ecuación de la cónica viene dada por: ( )αθρ

−+=

cos1 e

er

En particular:

�� Si α = 0, ( ) ,cos1 θρ

e

er

+= eje polar el eje focal, directriz

θρ

cos=r ubicada a la derecha del polo.

�� Si α =π, ( ) ,cos1 θρ

e

er

−= eje polar el eje focal, directriz

θρ

cos−=r ubicada a la izquierda del polo.

�� Si α = π/2, ( ) ,1 θ

ρsene

er

+= eje focal el eje perpendicular al polar en el polo, directriz

θρ

senr = ubicada

arriba del eje polar.

�� Si α = 3π/2, ( ) ,1 θ

ρsene

er

−= eje focal el eje perpendicular al polar en el polo, directriz

θρ

senr −=

ubicada debajo del eje polar.

�� Identificar y dibujar: A. θcos3

4

−=r B.

θsenr

−=

1

4

21.14. TALLER. Identificar y dibujar: θcos23

6

+=r

59

21.15. TAREA.

1. Determine que clase de cónica representa la siguientes ecuaciones y dibújelas:

A. θcos2

3

+=r Resp. Elipse

B. θcos32

12

+=r Resp. Hipérbola

C. θcos1

5

−=r Resp. Parábola

2. El foco de una parábola está en el polo y su directriz es la recta .cos

4

θ−=r Hallar la ecuación polar

de la parábola. Resp. θcos1

4

−=r

3. Un foco de una elipse de excentricidad ,4

1=e está en el polo. La directriz es .cos

8

θ=r Hallar las

coordenadas del otro foco, la ecuación de la elipse y dibújela. Resp. (−16/15, 0), θcos4

8

+=r

4. Escriba la ecuación polar de una elipse con un foco en el polo, el otro foco en F (2, 0) y un vértice en

V (4, 0). Resp. θcos3

8

−=r

21.16. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN POLAR

�� La gráfica de una ecuación )(θfr = es SIMÉTRICA con respecto:

�� Al eje polar, si la ecuación no varía al cambiar θθθθ por (−−−− θθθθ).

�� Al polo, si la ecuación no varía al cambiar r por (−−−−r), o también θθθθ por (ππππ + θθθθ).

�� Al eje de π/2, si la ecuación no varía al cambiar θθθθ por (ππππ −−−− θθθθ), ó también r por (−−−−r) y θθθθ por (−−−− θθθθ).

�� Graficar: A. θsenr 4= Circunferencia B. θ=r Espiral de Arquímedes. .

�� Hallar el lugar geométrico de los puntos P(r,θ) cuyo producto de sus distancias a dos puntos fijos A(−a, 0)

y B(a, 0) sea siempre a2. Resp. .2cos2 22 θar = (Lemniscata).

�� Determine el Dominio, Valores Máximos, Simetrías. Elabore en Coordenadas Rectangulares la gráfica de

un Ciclo y con base en esto obtenga la gráfica en Coordenadas Polares de:

•••• θcos22+=r Cardioide.

•••• θsenr += 2 Fríjol

•••• θcos21+=r Limaçons con rizo

•••• θ2cos92 =r Lemniscata.

60

Algunas Curvas: Si b > a, con rizo

�� θcosbar ±= y θbsenar ±= . Limaçons Si b = a, cardioide

Si b < a, fríjol

�� θ2cos2 ar ±= y .22 θsenar ±= Lemniscatas (forma de ocho).

�� θnar cos= y .θnasenr = Rosas con n pétalos si n es impar y 2n pétalos si n es par.

�� .θkr = Espiral de Arquímedes.

�� .θk

r = Espiral recíproca.

�� .θker = Espiral logarítmica.

21.17. TALLER.

Determine el Dominio, Valores Máximos, Simetrías, Elabore en Coordenadas Rectangulares la gráfica de un

Ciclo y con base en esto obtenga la gráfica en Coordenadas Polares de la curva θ2senr = .

21.18. TAREA. Dibuje las siguientes curvas.

1. .0,2 ≥= θθer Espiral logarítmica

2. ).cos1(2 θ−=r Cardioide

3. ).1(3 θsenr += Cardioide

4. .42 θsenr += Limaçon con rizo

5. .cos2 θ−=r Fríjol

6. .2cos4 θ=r Rosa de cuatro pétalos

7. .33 θsenr = Rosa de tres pétalos

8. .2162 θsenr −= Lemniscata

21.19. PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE LAS GRÁFICAS EN PO LARES

Para hallar todos los puntos de intersección de las gráficas de )(θfr = y ),(θgr = se deben seguir los pasos:

1. Se fija )()( θθ gf = y se resuelve para .θ Esto podría dar todos los puntos de intersección.

Ciertamente, producirá aquellos puntos ),( θrP que son iguales para las dos gráficas.

2. Si ambas curvas pasan por el polo, entonces aquél será un punto de intersección.

3. Se hace la gráfica de ambas ecuaciones y se observa que no se haya omitido ningún punto.

�� Hallar todos los puntos de intersección de:

a. θsenr 2= y .cos2 θ=r Resp. ( ) .4/,2 Poloelyπ

b. )cos1( θ−= ar y ).1( θsenar += Resp. ( ) .4/3),2/21( Poloelya π+

21.20. TALLER. Hallar todos los puntos de intersección de:

1. 1=r y .222 θsenr = Resp. (1, π/12), (1, 5π/12), (1, 13π/12), (1, 17π/12).

2. θsenr = y .1 θsenr −= Resp. (1/2, π/6), (1/2, 5π/6) Y el Polo.

61

21.21. RECTAS TANGENTES

La pendiente m de la recta tangente a la gráfica de )(θfr = en el punto ),( θrP es:

'

'tangente( )cos ( )

( ) cos ( )

dy f sen f

dx f sen fm θ θ θ θ

θ θ θ θ+= =

− +

�� Determinar la ecuación de la recta tangente a la rosa de tres pétalos θ3senr = en θ = π/6.

�� Hallar los puntos donde )cos1( θ+= ar tiene tangentes horizontales y verticales. (OJO con θ =π). 21.22. TALLER.

1. Hallar la pendiente de la tangente a la limaçon con rizo θcos1−=r en P (2, 2π/3). Resp. 9

3−

2. Hallar los puntos donde θsenr +=1 tiene tangentes horizontales y verticales. (OJO con θ = 3π/2).

Resp. Tangentes Horizontales en (2, π/2), (1/2, 7π/6), (1/2, 11π/6)

Tangentes Verticales en (3/2, π/6) (3/2, 5π/6) y el Polo.

21.23. TAREA.

1. Halle los puntos de corte de .cos2,21 θθ =−= rsenr

Resp. (0,0), (0.3386, -0.75), (1.6614, -0.75) 2. Halle la pendiente de la recta tangente a θ2cos=r en θ = 0. Resp. Indefinida

3. Halle los puntos donde en que |r| es máximo en θ242 senr −= y muestre que allí la tangente es perpendicular a r.

Resp. ( ) ( ).23,23,23,23 −−

Ejercicio 1

.cos2,21 θθ =−= rsenr

Ejercicio 2

θ2cos=r

Ejercicio 3

θ242 senr −=

62

ÁREA, LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE SUPERFICIES EN COO RDENADAS POLARES

21.24. ÁREA DE REGIONES

♦ Si )(θfr = es continúa y no negativa en

el intervalo [α,β], el área de la región

limitada por la gráfica de la función y las

rectas θθθθ = αααα y θθθθ = ββββ, es:

A = [ ]21( )

2f d

β

αθ θ∫

�� Verificar que el área interior del círculo con ecuación θcos2ar = es π a2.

�� Verificar que el área interior de la rosa con ecuación θ2senr = es π / 2.

�� Verificar que el área interior a la Circunferencia

θcos6ar = y exterior a la Cardioide con

ecuación ( )θcos12 += ar es 4πa2.

�� Verificar que el área interior del rizo de la curva

θcos21+=r es 3 3

2π − .

63

21.25. TALLER.

1. Verificar que el área interior de la circunferencia 3=r y exterior a la cardioide θsenr +=1 es 15π/2.

2. Verificar que el área de un pétalo de θ3senr = es π / 12.

21.26. TAREA.

1. Calcular el área de la región encerrada por las

curvas θsenr 4= y .cos4 θ=r

Resp. 2(π - 2).

2. Calcular el área de la región R que esta

encerrada por la curva θ2cos22 =r y fuera del

circulo .1=r Resp. .3/3 π−

3. Calcular el área de la región R que se encuentra

fuera de la curva θcos3=r y dentro de la curva con

ecuación .cos1 θ+=r Resp. π/4.

4. Determinar el área común de la limaçon o fríjol con

ecuación θcos23+=r y el circulo .2=r

Resp. 11 319

3 2

π − .

64

21.27. LONGITUD DE ARCO L

♦ Si )(θfr = es continúa y su derivada

también en el intervalo [α,β], la longitud

de arco de la gráfica de la función

desde el ángulo θθθθ = αααα a θθθθ = ββββ es:

[ ] [ ]2 2( ) '( )L f f d

β

αθ θ θ= +∫

�� Verificar que la longitud de la cardioide θcos22−=r es 16.

21.28. TALLER. Verificar que la longitud de la espiral ( ) .2/15,20, 42 −≤≤= πθ πθ eeser

21.29. ÁREA DE SUPERFICIE S

El área superficial S, del sólido de revolución es ∫ ds.2πρ . Pero, en coordenadas polares viene dada por:

�� ( ) ( )2 22 ( ) ( ) ´( )S f sen f f d

β

απ θ θ θ θ θ= +∫ . Con rotación alrededor del eje polar.

�� ( ) ( )2 22 ( )cos ( ) ´( )S f f f d

β

απ θ θ θ θ θ= +∫ . Con rotación alrededor del eje π/2.

�� Verificar que el área e la superficie al girar la mitad superior de la cardioide θcos1−=r alrededor del

eje polar es 32π/5.

21.30. TALLER.

Verificar que el área de la superficie al girar θcos4=r alrededor del eje polar es 16π.

21.31. TAREA.

1. Determine el valor del área de la región:

A. Una hoja de .3cos θ=r Resp. π/12

B. Limitada por .cos2 θ=r Resp. π

C. Interior a la cardioide ( ).cos1 θ−= ar Resp. 3πa2/2

D. Del rizo interior de .cos21 θ+=r Resp. 2/33−π

E. Común a θcos3=r y .cos1 θ+=r Resp. 5π/4

F. Interior a θ22senr = y exterior a .1=r

Resp. 33

2 +π

2. Determinar la longitud de la curva:

A. .320,2 ≤≤= θθr Resp. 56/3

B. .22 θsenr −= Resp. 16

C. .0,2

2 πθθ ≤≤

= senar Resp. 2a

3. Determine el área e la superficie al girar la

lemniscata .2cos2 θ=r

A. Alrededor del eje polar

B. Alrededor del eje transverso

Resp. ( ) ππ 22,222 −

65

22. SUCESIONES INFINITAS DE NÚMEROS REALES

� Una sucesión es una función de valores reales con dominio de definición en el conjunto de los

números naturales.

nanfn

RNf

=→→

)(

,:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } { } .min,,,1,,,1,,,3,,2,,1 1321 generalotérsuesadondeanannaaa nnn KK ++−

an • • • • • • •

1 2 3 4 5 n-1 n n+1

• • • • • •

•

�� Expanda y grafique { } ( ){ }2πnsennan =

� Creciente, si ,1+nn aa p para cada n natural

� No decreciente, si ,1+≤ nn aa para cada n natural Sucesiones

� Decreciente, si ,1+nn aa f para cada n natural monótonas

� No creciente, si ,1+≥ nn aa para cada n natural

�� Muestre que

!

2

n

n

es decreciente para 1fn

22.1. TALLER. Muestre que

++

2

3

n

nes decreciente

. 22.2. TAREA. Determine la monotonía de las siguientes sucesiones.

A.

ne

n! Resp. creciente (n ≥ 2)

B.

n

en

Resp. Creciente (n ≥ 2) C.

!

10

n

n

Resp. No

D.

+12n

n Resp. creciente

E.

n

n

2

2

Resp. Decreciente (n ≥ 3) F.

πn

3

1cos Resp. No

66

• Sea S un conjunto no vacío de números reales, si:

� Existe B real tal que para todo x de S, B ≥ x, B es cota superior de S.

� Si B es cota superior de S y pertenece a S, B es el máximo de S, B = MaxS.

� Si B es la menor de las cotas superiores, B es el extremo superior de S, B = SupS.

�� Completar:

S Gráfica Cotas Superiores MaxS SupS {xεR/ −2 ≤ x ≤ 5}

{xεR/ −2 ≤ x < 5}

{xεR/ −2 <x ≤ 5}

{xεR/ −2 < x < 5}

{xεR/ x < 5}

{xεR/ x ≥ 5}

22.3. TALLER. Complete las siguientes definiciones:

• Sea S un conjunto no vacío de números reales, si:

� Existe A real tal que para todo x de S, A __ x, A es cota inferior de S.

� Si A es cota inferior de S y pertenece a S, A es el __________de S, A = MinS.

� Si A es la ________de las cotas ___________, A es el extremo _________ de S, A = InfS.

22.4. TALLER. Complete:

S Grafica Cotas Inferiores MinS InfS {xεR/ −2 ≤ x ≤ 5}

{xεR/ −2 ≤ x < 5}

{xεR/ −2 <x ≤ 5}

{xεR/ −2 < x < 5}

{xεR/ x < 5}

{xεR/ x ≥ 5}

67

� Si S, subconjunto de los reales, posee cotas superiores e inferiores, se dice ACOTADO. 22.5. TALLER. Grafique las siguientes sucesiones y complete el cuadro:

{ }na Cotas Superiores

Cotas Inferiores

Acotada Max Min Sup Inf Monótona?

n

1

( ){ }n1−

( ){ }21 nn−

+

parnsin

imparnsin

,2

,12

)

2(

πnsen

� La sucesión { },na se dice ACOTADA si existe un número ,0fM para el cual se cumple que:

., ntodoparaMa n ≤

�� Demostrar que las sucesiones

+−

1

432

2

n

n y

+1

)( 2

n

nsenson acotadas.

22.6. TAREA.

Demuestre que las sucesiones

+−1

232

2

n

n y { }1/ne son acotadas.

22.7. TAREA. Demuestre que si ,1fr la sucesión { }nr crece sin tener ninguna cota. (Sugerencia: suponga que M es una cota superior) 22.8 TAREA.

Demuestre que la siguiente sucesión { }nn1 es decreciente para valores de n > 3, determinando donde

.)(,)(' 1 xxxfconnegativaesxf =

68

�� El límite de una sucesión { },na cuando n tiende a ser infinitamente grande es el número real L,

si n0, N, tal que n aN N L∀∈> ∃ ∈ ∀ > ⇒ − <∈ . Una sucesión es converge si tiene límite

�� Se nota: LaLim nn =∞→

�� Las siguientes proposiciones son ciertas, JUSTIFICARLAS.

•••••••• Toda sucesión monótona acotada es convergente.

•••••••• Toda sucesión convergente es acotada.

•••••••• Toda sucesión no acotada es divergente.

•••••••• La acotación no implica convergencia

22.9. TALLER . Los siguientes enunciados son falsos. De un contraejemplo.

� Toda sucesión acotada es convergente.

� Toda sucesión divergente es no acotada.

� Si ,0 nn ba ≤≤ para todo n, y { }nb converge, entonces { }na converge

� Si { }na y { }nb divergen ambas, entonces { }nn ba + diverge

�� Demostrar que

2

1

n converge a 0 y determine N para ε = 0.001

�� 22

32

2

+=

n

nan , demostrar que si { }

2

3, →∞→ nan .

�� Demostrar que si ,1pr entonces ( )lim 0n

nr

→∞=

22.10. TALLER . Dada la sucesión { }

+=

1n

nan , demuestre que converge a 1 y que en el intervalo

01.01 <− na están contenidos todos los términos de la sucesión, menos los 99 primeros.

22.11. TAREA. Demuestre que 2/122

0)1(

→

+•→

−

•n

n

n

n

y determine N para ε = 0.001

22.12. TAREA.

Se sabe que ( ) .08.0lim =∞→

n

n Que valor debe tener n para que ( ) .000001.08.0 p

n Resp. 62

69

�� [ ) { } .lim),(,)(lim,,1:)( LaentoncesnfasiyLxfyRxfSi nn

nx

===→∞∞→∞→

�� Las reglas para el cálculo de límites de funciones de variable real, SE APLICAN para el cálculo de límites de sucesiones.

�� Evaluar:

A. 52

76lim

−+

∞→ n

nn B.

52

7lim

2

−+

∞→ n

nn C.

nne

ncoslim ∞→ D. )(ln31lim nn

n

−∞→

22.13. TAREA. Determine que las sucesiones

+

+ 43

22

n

ny

n

n son divergentes, pero que la

sucesión

+−

+ 43

22

n

n

n

n es convergente.

22.14. TAREA. Verifique que:

{ } { } 023

)2/cos(11

12

2

→−+•∞→

••→

+−• nndivergen

n

nn

nππ

{ } { } ππ →•→•→

•→

+•→

• )/(.10

cos0

10

)ln(2

nsennnn

n

e

n

n

n nn

22.15. TAREA. Encuentre fórmulas para las sucesiones:

• { }na =

,....

9

32,

7

16,

5

8,

3

4,

1

2 Converge?

• { }na =

−−−−,......

45

5,

34

4,

23

3,

12

2,1

22222222 Converge?

�� Fibonacci , matemático italiano del siglo XIII, al resolver el siguiente problema: Una población

de conejos comienza con un par de recién nacidos, durante un mes los conejos crecen y maduran.

Al segundo mes tienen un par de conejos bebes recién nacidos. Cuente el número de pares de

conejos. Hasta aquí .2,1,1 321 === aaa Las parejas de conejos adultos dan un par de recién

nacidos todos los meses, los recién nacidos toman un mes para madurar y ningún conejo se muere.

Así que 5,3 54 == aa y en general ,3,21 ≥+= −− nparaaaa nnn la sucesión de Fibonacci :

{ }K,21,13,8,5,3,2,1,1

22.16. TAREA. Parta de dos cuadrados de lado 1, uno al lado del otro. Ahora construya un cuadrado sobre

el lado largo del rectángulo resultante. Este cuadrado tiene de lado 2. Continué construyendo cuadrados

sobre los lados largos de los rectángulos y así sucesivamente. Determine que los lados de los cuadrados

están determinados por la sucesión de Fibonacci :

70

23. SERIES INFINITAS

�� Desarrolle: ∑∑∞

== 0

10

0

)1.0.(3,)1.0.(3k

k

k

k

Las series son sucesiones de tipo especial, en las cuales el término n-ésimo es la suma de los n primeros términos de una sucesión relacionada.

�� KK ++++++++= +−

∞

∑ 1143211

nnnk aaaaaaaa Es una Serie Infinita de números reales.

Con: 11 aS =

212 aaS +=

3213 aaaS ++=

: nn aaaaS ++++= K321

13211 ++ +++++= nnn aaaaaS K

:

Se obtiene la sucesión:

{ } { }nnnn SSSSSSSS =+− KK ,,,,,,,, 114321

Sucesión De Sumas Parciales De La Serie: ∑∞

1ka

� Si la sucesión de sumas parciales ∑=

=n

kkn aS

1

converge a S, SSnn =∞→lim se dice que la

serie ∑∞

=1kka converge a S

�� En ∑∞

=1 2

1

kk

, su sucesión de sumas parciales es { }

−=

nnS2

11 , ,1

2

1lim

1

=∑=∞→

n

kkn

su suma.

�� En ∑∞

=1k

K , su sucesión de sumas parciales es { }

+=

2

)1(nnSn , ∑

∞

=1k

K diverge.

�� En ∑∞

= +1 )1(

1

k kk, serie telescópica , su sucesión de sumas parciales es { } 1

11nS

n

= − +

, converge a 1

23.1. TALLER. Muestre que ∑∞

=1

2

k

k diverge y que { }1

( 1) ( )4n

arctg n arctg nπ∞

=

+ − =∑

�� ∑∞

=

−

1

1.n

nra , es la Serie Geométrica, su sucesión de sumas parciales es { }

−−

=r

raS

n

n 1

)1(

� ,11

.1

1p∑

∞

=

−

−n

n rSIr

aaconvergera Siendo

r

a

−1 su suma

� 1.1

1 ≥∑∞

=

−

n

n rSIdivergera

�� Determinar el valor de: 0

3.(0.1)k

k

∞

=∑

�� Determinar el valor de: ∑∞

=

1 3cos2

k

kπ

71

TEOREMAS.

♦ Si ,1

Aak

k =∑∞

=

,1

Bbk

k =∑∞

=

BAbak

kk ±=±∑∞

=1

)( , y para c una constante, Acack

k .).(1

=∑∞

=

♦ Si ∑∞

=1kka converge, y ∑

∞

=1kkb diverge, ∑

∞

=±

1

)(k

kk ba diverge.

23.2. TAREA. Determine si las siguientes series convergen o divergen, en caso de que convergen determine su suma:

A. ∑∞

=

+−

++1 3

2

)3)(2(

1

kk

k

k

e

kk π Resp. Converge, su suma es

e

e

−+−

π2

3

1

B. ∑∞

=

+1 2

5

5

1

k

k

k Resp. Diverge

C. ∑∞

=

−+1

2 2

64

kkkk

Resp. Converge, su suma es -2

D. ∑∞

++1 )3)(1(

1

nnn Resp. Converge, su suma es 7/36

23.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES

�� Criterio o Condición necesaria, PERO no suficiente, para convergencia de series:

Si ∑∞

=1nna converge, entonces 0lim =

∞→ nn

a

• Si 0lim ≠∞→ n

na o si ,lim existenoan

n ∞→entonces ∑

∞

=1nna

diverge.

• Si ,0lim =∞→ n

na no implica que la serie converge.

�� Muestre que la serie ∑∞

=

−1

)01.1(7n

n y ∑

∞

=

+1

1

n n

n divergen y NO se sabe de ∑

∞

=1

1

n n

23.4. TALLER. Muestre que las series:

A. ∑∞

=

+1

11

n

n

n Diverge. B. ∑

∞

=

1

1

n nsenn Diverge.

72

�� Criterios De Convergencia Y Divergencia De Series D e Términos Positivos:

Criterio De La Integral: Sea )(xf continúa, decreciente y positiva en [ ) :)(,,1 nfacon n =∞

∑∞

=1nna Converge o diverge según ∫

∞

1)( dxxf exista o no.

�� La p −−−−serie: ∑∞

1

1pn

converge si p > 1 y diverge si p ≤≤≤≤ 1,

� La Serie Armónica , ∑∞

1

1

n diverge , y , 0

1lim =∞→ nn

�� Mostrar que la serie ∑∑∞∞

++ 11

y )1ln()1(

1converge

e

ndiverge

nn n

23.5. TALLER. Muestre la convergencia o divergencia de las serie dadas:

A. ∑∞

+13

2

1n

n diverge. B. ∑

∞

+1 )1(

1

nn converge. C.

( )∑∞

2 ln

1

nn diverge. D. ∑

∞

23

2)(ln

n

n converge

D. Demuestre que la serie ∑∞

2

1.psisoloy cones ))(ln(

1fsivergente

nn p

Criterio De Comparación: Si ,0 kk ba ≤≤ para todo k, (excepto un número finito de términos)

♦ Si ∑∞

=1kkb converge , ∑

∞

=1kka converge ♦ Si ∑

∞

=1kka diverge , ∑

∞

=1kkb diverge


=1

1

n n diverge y ∑

∞ +1 2

)/11(n

nn converge.

23.6. TALLER. Muestre que la serie:

A. ∑∞

−+

1 12

15k

k

diverge. B. ∑∞

+1 13

4k

converge. C. ∑∞

−1 1

3

k diverge. D. ∑

∞

12

2

n

nsen converge

73

Criterio de comparación por Paso al límite:

Sean ∑∞

=1nna y ∑

∞

=1nnb dos series de términos positivos.

i) Si ,0,lim fcconcb

a

n

n

n=

∞→ entonces las dos series son convergentes o ambas son divergentes .

ii) Si ,0lim =∞→

n

n

n b

a y si ∑

∞

=1nnb converge , entonces ∑

∞

=1nna converge.

iii) Si ,lim +∞=∞→

n

n

n b

a y si ∑

∞

=1nnb diverge , entonces ∑

∞

=1nna diverge.


= ++

12 52

13

n n

n diverge, ∑

∞

= ++

13 2

100

n n

n converge.

23.7. TALLER. Muestre que las siguientes series:

A. ∑∞

= −1 12

1

nn

converge. B. ∑∞

= +12 35n n

n diverge. C. ∑

∞

=

−

+12

22

1n

n

n

en converge. D. ∑

∞

=2 )(ln

1

n n diverge.

Series De Términos Positivos Y Negativos:

Son series cuyos términos no son todos positivos.

� Asociada con cada serie está la serie cuyos términos son los valores absolutos de ella: ∑∞

=1kka

� Una serie ∑∞

=1kka es absolutamente convergente si ∑

∞

=1kka es convergente.

� La serie ∑∞

=1kka se llama condicionalmente divergente si ∑

∞

=1kka converge pero ∑

∞

=1kka diverge.

�� Una serie es Absolutamente Convergente es una serie convergente.

�� Mostrar que la serie ∑∞

−1 3

1)1(

n

n es absolutamente convergente.

23.8. TALLER. Mostrar que la serie ∑∞

12

)3/cos(

n

nπ converge.

En una Serie Alternada: ∑∞

−1

.)1( nn a si se cumple que ,0lim1 =

∞→+ nn

nn ayaa p la serie converge.

�� Mostrar que la serie ∑∞

++−

1 )1(

)3.()1(

kk

kk

converge y ∑∞

= +−

1 )1ln(

)1(

n

n

n es condicionalmente divergente.

23.9. TALLER. Muestre que la serie ∑∞ −1

)1(

n

n

es condicionalmente convergente.

74

Criterio De La Razón:

Si en ∑∞

=1kka , ,0≠na para todo n y ρ=+

∞→n

nn a

alim 1

Criterio De La Raíz:

Si en ∑∞

=1kka , ρ=∞→

nnn alim

� Si ρρρρ < 1, la serie es absolutamente convergente.

� si ρρρρ > 1, la serie diverge.

� Si ρρρρ = 1, el criterio no dice nada

�� Mostrar que ∑∞

1100

)!2(

n

n diverge y ( )∑

∞

+132 12

3

nn

n

converge.

23.10. TALLER. Mostrar que la serie:

A. ∑∞

1 !

2

n

n

converge.

B. ∑∞

1 )!2(

!!

n

nnconverge.

C. ∑∞ +0 3

52n

n

diverge.

�� Mostrar que la serie ∑∞ −

1

12n

n

n converge y ∑

∞

1

2

nsenn nn diverge.

23.11. TALLER. Mostrar que:

A. ∑∞

1

1nn

converge.

B. ∑∞

1 arctan2

3

nnn

n

converge.

C. ∑∞

13

2

n

n

diverge.

75

23.12. TAREA.

1. Determine la suma de ∑∞ −

++++

−1

1

)2(

1)2.0()1.0.(2

4

)3(

nnnn

n

n

Resp. 1/7 +17/36 + 3/4

2. Sea { } ?,?,13

2

1

econvergentaeseconvergentaesn

na nnn ∑

∞

+= Resp. Si, No

3. La siguiente serie es telescópica, determine que ∑∞

−12 14

2

n= 1

4. Que decimal periódico se obtiene de la serie ∑∞

122 10

1.

10

8n

Resp. 8/99.

5. Aplique la condición necesaria para la convergencia de series y determine que son divergentes:

A. K++++9

4

7

3

5

2

3

1 B. ∑

∞

+1 1!2

!

n

n

6. Aplique el criterio para la convergencia de series alternadas y determine que convergen:

A. K+−+−17

1

10

1

5

1

2

1 B. ∑

∞

−−11)2( n

n

7. Muestre que .....16

4sen

9

3sen

4

2sensen ++++ αααα es absolutamente convergente.

8. Aplique el criterio de la razón y determine que:

A. ........4321

1

321

1

21

11 ++++

xxxxxx converge B. ........

4

2

3

2

2

2

1

2 432

++++ Diverge.

9. Aplique el criterio de la raíz y determine que ........9

4

7

3

5

2

3

1222

+

+

+

+ converge.

10. Porque no es aplicable el criterio de la raíz en ........4

1

3

1

2

11

222++++

11. Aplique el criterio de la integral y determine que:

A. ......7

1

5

1

3

11 ++++ diverge. B. .....

4sen

16

1

3sen

9

1

2sen

4

1sen ++++ ππππ converge.

C. ....5

5ln

4

4ln

3

3ln

2

2ln ++++ diverge. D. ∑∞ −

+1

1

cn

nk

k

Con k un entero positivo, diverge.

12. Aplique criterio de comparación y determine que ∑∞

+−

125

2 10

nn

n, converge y que ∑

∞

+13 1n

n diverge.

13. Determine que ∑∞ +−1

2/)1(

3

)1(n

nn

, converge.

14. Aplique criterio del cociente en ∑∞

+−

1 1

)1(

n

nn

, el de la raíz en ∑∞

1

2

n

n

n

e y determine que convergen.

15. Se suelta una pelota desde una altura de 6 metros y empieza a rebotar, alcanzando en cada bote ¾ de la altura del bote anterior. Halle la distancia total que recorre la pelota. (Sugerencia: Exprese la distancia como una serie geométrica) Resp. 42 metros.

16. Use el criterio de la integral y determine la convergencia de ∑∞

+∈2

,)(ln

1Rp

nn p justificando las

respuestas.

76

23.13. SERIES DE POTENCIAS EN (x −−−−a)

Hemos tratado hasta ahora series de términos constantes de la forma ∑∞

=1nna , ahora consideraremos series

cuyos términos son funciones de x, de la forma ).(1

xan

n∑∞

=

� Las Series de Potencias son series de la forma:

∑∞

−=+−+−+−+0

33

2210 )()()()( n

n axCaxCaxCaxCC K Series de Potencias en ( ).ax −

El objetivo es hallar todos los valores de x para los cuales converge la serie de potencias. Para determinar estos valores se utiliza el criterio de la razón y en algunos casos el de la raíz.

♦ Teorema . Sea ∑∞

−0

)( nn axC , se presentará solo uno de los siguientes casos:

� La serie converge solo para .ax =

� La serie converge para todo x real.

� Existe un ,R (Radio de Convergencia), tal que la serie converge solo para ,Rax p− diverge

para .Rax f− (Los extremos ,Rax =− se estudian caso por caso).

�� Determinar que ∑∞

1 n

xn

converge en .11 px≤−

�� Determinar que ∑∞ +−1

2.2

)1.()1(

n

xn

nn

converge en .13 ≤≤− x

�� Determinar que ∑∞

0

! nxn converge solo en x = 0.

23.14. TALLER. Determine que ∑∞ −0 !

)1(

n

xnn

converge en R.

23.15. TALLER. Determine que:

A. ∑∞ −0 10

!.)1(n

nn xn converge solo en x = 0.

B. ∑∞

0

2 3nnxn converge en .3/13/1 pp x−

C. ( )

( )∑∞

+−−

0 1

3)1(

n

x nn

converge en .42 ≤xp

77

� Si la serie ∑∞

−0

)( nn axC converge para ,Rax p− entonces para cada x en ese intervalo la serie tiene

una suma. Sea f(x) esa suma, que se puede escribir como:

• ∑∞

−=+−+−+−+−+−+=0

55

44

33

2210 )()()()()()()( n

n axCaxCaxCaxCaxCaxCCxf K

• ∑∞

−−=+−+−+−+−+=1

145

34

2321 )()(5)(4)(3)(2)(' n

n axnCaxCaxCaxCaxCCxf K

• ∑∞

−−−=+−+−+−+=2

235

2432 )()1()(.5.4)(.4.3)(.3.22)('' n

n axCnnaxCaxCaxCCxf K

• ∑∞

−−−−=+−+−+=3

32543 )()2)(1()(.5.4.3)(.4.3.2.3.2)(''' n

n axCnnnaxCaxCCxf K

: :

( ) ;.4.3.2)(;.3.2)(''';.2)('';)(';)( 44

3210 CafCafCafCafCaf ===== De donde !

)()(

n

afC

n

n =

� ∑∞

−=0

)()( nn axCxf = ∑

∞

−0

)(

)(!

)( nn

axn

af, ( )RaRax +−∈ , una expansión de la

Serie de Taylor para )(xf .

� Si es un desarrollo de series de potencias de x, (a = 0), ∑∞

=0

)(

!

)0()( n

n

xn

fxf Serie de Maclaurin .

�� Construir la expansión en serie de Maclaurin de:

∑∞

==0 !

)(n

xexf

nx , para todo x.

�� Construir la expansión en serie de Taylor alrededor de x = 1 de la función:

( ) ∑∞ + −−==1

1 )1()1(ln)(

n

xxxf

nn

, en 0 < x < 2.

�� Construir la expansión en serie de Maclaurin de:

∑∞ +

+−==

0

12

)!12(

)1()(

n

xxsenxf

nn

, para todo x.

�� Mediante desarrollo en serie de potencias de x, determine el valor de:

0

1 1lim 0x sen x x→

− =

�� Con un polinomio de grado 5, determine un valor aproximado para:

1

0

senxdx

x∫

78

23.16. TALLER .

A. Construir la expansión en serie de Maclaurin de:

∑∞ −==0

2

)!2(

)1(cos)(

n

xxxf

nn

, para todo x.

B. Mediante desarrollo en serie de potencias de x, determine el valor de:

( ) 21ln

cos1lim

2

0−=

+−−

→ xsenx

xx

23.17. TALLER . Obtener la expansión en serie de Maclaurin de:

A. ∑∞ +−

+=−==

0

12

)!12(2)(

n

xeexsenhxf

nxx

, para todo x B. ∑∞−

=+==0

2

)!2(2cosh)(

n

xeexxf

nxx

, para todo x.

�� Efectuar u+1

1, obtener ∑

∞

−=+ 0

)1(1

1 nnUu

.

�� Aplicar la expansión anterior en 21

1

x+, integrar y obtener ∑

∞ +

+−=

0

12

12

)1(arctan

n

xx

nn

.

23.18. TALLER .

Expanda x+1

1, integre y obtenga ∑

∞ −−=+1

1)1()1(ln

n

xx

nn

, en (−1,1].

23.19. TALLER. Mediante desarrollo en serie de potencias de x, verifique que:

A. 0lim 2x x

x

e e

senx

−

→− =

B. El área limitada por el eje X y la curva ( ),2xseny = con 10 ≤≤ x

es aproximadamente 0.3103.

Teorema de Taylor: Sea f(x) una función con derivadas de todos los ordenes continuas en ( ),, RaRa +−

una condición suficiente y necesaria para que la serie de Taylor:

)(!/)(.......!2/))(())(()( )(,,, xRnaxfaxafaxafaf nnn +−+−+−+ , 1

)1(

)()!1(

)()( +

+

−+

= nn

n axn

cfxR

el RESTO, represente a )(xf en ese intervalo es que ( ) ( ).,,0lim RaRacconxRnn

+−∈=∞→

�� Determinar el grado del polinomio en la expansión de series de potencias de x, de la función ,)( xexf =

para obtener 8.0e con un error menor de 0.001.

( 1) 0.81 1( ) 3 3

( ) ( ) (0.8) 1 0.001 ; ( 1)! 3000 ; 6( 1)! ( 1)! ( 1)! 0.001

nn n

n

f c eR x x n n

n n n

++ += = + = =

+ + +p p f

79

23.20. TAREA.

1. Determine que el intervalo de convergencia de:

a. ........4

16

3

8

2

4

1

2 432

+−+− xxxx es (−1/2, 1/2].

b. ...4

)2(

3

)2(

2

)2()2(

432

+−+−+−+− xxxx es [−2, 0).

2. Determine que el intervalo de convergencia de ∑∞

=22)(lnn

n

nn

x es [−1,1].

3. La serie ∑∞ −=0

22

2

)!(2)1(

)(n

xxJ

n

nn

o , es la función de Bessel de orden 0. Muestre que su dominio es R.

4. Desarrolle en series de potencias de (x−2), la función xxf ln)( = y obtenga ∑∞ −+1 .2

)2(2ln

n

xn

n

, la

cual converge en (0, 4].

5. Desarrolle en series de potencias de x, la función 2( )f x sen x= .

(Sugerencia: 2 1 cos 2

2 2

xsen x= − ). Resp.

3 5 72 4 6 82 2 2 2

........2! 4! 6! 8!

x x x x− + − +

6. En el desarrollo del binomio ( ) ( ) K+−−+−++=+!3

).2).(1.(!2

.1..1132 x

mmmx

mmxmx m

� Tome m = −1 y con la función integral obtenga una serie de potencias en x para ( ).1ln)( xxf +=

� Tome m = −1/2, sustituya x por ,2x− y con la función integral obtenga, mostrando los cuatro

primeros términos de la serie de potencias en x, para .)( xarcsenxf =

Resp. 3 5 71.3 1.3.5

........2.3 2.4.5 2.4.6.7

x x xx + + + +

7. Muestre con series de potencias que cosi xe x i sen x= + . Donde 1i = − (unidad imaginaria).

8. Expanda en series a 1

1 x− y con la función integral obtenga la serie de ( ).1ln)( xxf −= Réstela a la

serie de ( )xxf += 1ln)( para obtener la serie 3 5 71

ln 2 .....1 3 5 7

x x x xx

x

+ = + + + + − . Luego en está

serie y con el valor de 3

1=x obtenga .69313.02ln ≈

9. Evaluar los limites por medio de series de potencias:

A. ( )

2

1lim 1/ 2

0

xe xxx

− + =→

B. 3

arctanlim 1/30

y yyy

− =→

C. ( )21ln

lim 21 cos0

x

xx

+=

−→

10. Utilizando series de potencias y con un polinomio de orden 5, estime el valor de:

A. ∫5.0

0

2

dxex. Resp. 0.54499. B.

1 2

0cos( )x dx∫

Resp. 0.9045243

C. ∫ +5.0

0 31 x

dx

Resp. 0.4854018

D. 1

0

1xedx

x

−∫

Resp. 1.3179019

guía de trabajo de cálculo integral

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