Guia de Probabilidad

1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar un dado

El lanzamiento de dos dados produce 36 combinaciones diferentes (6*6), de ellas las que suman 8 son

1,11,21,31,41,51,6

2,12,22,32,42,52,6

3,13,23,33,43,53,6

4,14,24,34,44,54,6

5,15,25,35,45,55,6

6,16,26,36,46,56,6

Es decir tenemos 5 posibilidades de las 36 por lo que la probabilidad es 5/36.

2. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 4 u 11 al lanzar dos dados.

En forma similar al caso anterior se tiene:

3. 1,11,21,31,41,51,6

2,12,22,32,42,52,6

3,13,23,33,43,53,6

4,14,24,34,44,54,6

5,15,25,35,45,55,6

6,16,26,36,46,56,6

Sea A: Suceso: Suma al lanzar dos dados es 4Sea B: Suceso al lanzar dos dados es 11As: P (AUB) = 3/36+2/36 -0 = 5/36

3. Cul es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraa

Tenemos 27 bolitas en la urna, por lo tanto la probabilidad de que la primera sea negra es: 12/27.Si no se repone la primera a la urna, tenemos 26 bolitas, por lo tanto la probabilidad de que la segunda sea negra es: 11/26Por lo tanto, al aplicar el principio de multiplicacin obtenemos la probabilidad de que las dos salgan negras: P= 12/27 *11/26 = 132/702 = 66/351 = 22/117

4. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Cul es la probabilidad de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extrada?Llamamos:Suceso A = sacar un caballo Suceso B = sacar un tresSi reintegramos la primera carta, se tiene:P (AB)= (8/20)*(8/20) = 64/400 = 4/25

5. Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber:

a) Cul es la probabilidad de que las tres bolas sean blancas? (C/R)b) La probabilidad de que dos primeras sean blancas y la ltima negra (S/R)

Para el caso a), se tienen en total 15 bolas, luego al sacar una bola blanca es: 8/15, al sacar una tres bolas blancas con reposicin (C/R) es: P = 8/15 * 8/15 * 8/15 = 512/3375

Para el caso b) al sacar una a una sin reposicin las dos primeras blancas se tiene. P1 = 8/15 * 7/14 ( disminuye el total de bolas extradas es decir de 15 a 14, como tambin sobre las blancas puesto que al extraer una blanca por segunda vez se tiene 7 bolas y no 8).Por otra parte al extraer una bola negra, el espacio muestral se reduce 13, puesto que antes ya hay dos extracciones previas y como es la primera bola negra extrada se tiene. P2 = 5/13Luego como se extraen todas las bolas una a una, se tiene aplicando el principio de multiplicacin la probabilidad final: P = P1 * P2 = 8/15 * 7/14 * 5/13 =280/2730 = 4/39

6. Una urna contiene 2 bolas blancas, 3 negras. Otra contiene seis blancas y cuatro negras, si extraemos una bola cada una. Cul es la probabilidad de que sean las dos negras?

Urna 1. 5 bolas. P (Blanca) = 2/5, P (Negra)= 3/5Urna 2: 10 bolas. P (Blanca) = 6/10 = 3/5, P (Negra)= 4/10 = 2/5

Se tiene que en la urna 1 al extraer una bola negra es: 3/5 y una segunda bola negra en la urna 2 es: 2/5. Puesto que se extraen las bolas una a una en dos urnas diferentes se tiene la probabilidad es: P = P (Negra Urna 1) * P (Negra Urna 2) = 2/5 * 3/5 = 6/25

7. Una urna contiene 8 bolas rojas, 4 azules, y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber.

a) La probabilidad de que las tres sean rojas (S/R) y (C/R)b) La probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la ltima verde (C/R)c) La probabilidad de que las dos primeras sean azules y la otra se de color (C/R)

Con reposicin disminuye el espacio muestral y en cada una de las rojas extradas. De esta forma se tiene: P= 8/18 * 7/17 * 6/16 = 336/4896 = 7/102Con reposicin se mantiene el espacio muestral y el nmero de bolas rojas P= 8/18 * 8/18 * 8/18 = 512/5832

La probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la ltima verde (C/R) es:

P= 8/18 * 8/18 * 6/18 = 336/4896 = 384/5832 = 16/243

Finalmente la probabilidad de que las dos primeras sean azules y la otra se de color (C/R)

P= 4/18 * 4/18 * 14/18 = 224/4896 = 384/5832 = 28/7298. Se realiza un experimento aleatorio de lanzar sucesivamente 4 monedas al aire, se decide:

a) La probabilidad de obtener a lo sumo tres crucesb) La probabilidad de obtener tres caras

El espacio muestral tiene 16 elementos que son:

CCCC+CCC+CC++C++

CCC+CC++C++C++C+

CC+CC+C+++CC+++C

C+CC+C+CC+++++++

a) Suceso A = obtener a lo sumo tres cruces (es decir, 0, 1, 2 3)P(A) = 15/16

b) Suceso B = obtener exactamente dos caras:

P(B) = 6/16 = 3/8