guía de mecánica dinámicalistaalumno

8/11/2019 Gua de Mecnica DinmicaLISTAALUMNO

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Cinemtica plana de cuerpos rgidos

Rotacin respecto a un eje fijo Despus de la traslacin, el tipo ms sencillo de movimiento de cuerpo

rgido es la rotacin alrededor de un eje fijo. Por ejemplo, en la Fig. 6.4(a) el eje z del sistema coordenada

fijo al cuerpo permanece fijo y los ejesx y y giran alrededor del eje z.

Cada punto del cuerpo rgido que no est sobre el eje se mueve en una trayectoria circular alrededor de

l. Un disco en un tocadiscos y el rotor de un motor elctrico (Fig. 6.4b) son ejemplos de cuerpos que

giran alrededor de un eje fijo. El movimiento de la hlice de un barco relativo al barco tambin es una

rotacin respecto a un eje fijo. En la siguiente seccin analizaremos con ms detalle "este tipo de

movimiento.

Rotacin respecto a un eje f i jo

El engraneA del malacate de la Fig. hace girar a B, que eleva el gancho H. SiA parte del reposo en t = 0 y

su aceleracin angular horaria es A = 0.2t rad/s2, calcule la distancia vertical que se eleva H y su

velocidad en t = l0 s.


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ESTRATEGIA

Igualando las componentes tangenciales de la

aceleracin de los engranes y B en sus puntos

de contacto, podemos determinar la

aceleracin angular del engrane Luego

podemos integrar para obtener la velocidad

angular del engrane B y el ngulo que ha girado

en t = 10 s.

SOLUCIN:

La aceleracin tangencial del punto de

contacto de los dos engranes (Fig. a) es

at= (0.05 m)(0.2t rad/s2) = (0.2 m)(B)

Por tanto, la aceleracin angular del engrane B es

22

/05.0)2.0(

)/2.0).(05.0(strad

m

stradm

dt

d BB

Integrando esta ecuacin,

t

B tdtdB

00

05.0

obtenemos la velocidad angular del engrane B:

Integrando de nuevo obtenemos el ngulo que ha girado

el engrane B:

B= 0.00833 t3rad.

En t = 10 s, B= 8.33 rad. La longitud de cable enrollado

sradtdt

d BB /025.0

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en el tambor, que es la distancia que el gancho H se ha elevado, es el producto de Bpor el

radio del tambor: (8.33 rad)(0.l m) = 0.833 m. En t = 10 s, B= 2.5 rad/s. La velocidad de un

punto sobre el borde, que es igual a la velocidad del gancho H (Fig. b), es

La barra de la Fig. gira con velocidad angular horaria de 10 rad/s. Determine la

velocidad angular de la barra y la velocidad del punto B

ESTRATEGIA

Como ya conocemos la velocidad angular de la barra AB y el punto A est fijo,

podemos aplicarla Ec. (6.6) a los puntos A y B para determinarla velocidad de B.

Luego, aplicando de nuevo la Ec. (6.6) para expresar la velocidad horizontal del

punto C en funcin de la velocidad de B, obtenemos una ecuacin vectorial con

dos incgnitas: la velocidad de C la velocidad angular de la barra BC.

SOLUCiN

En el sistema coordenado de la Fig. (a), el vector de posicin de B respecto a A es

rB/A = 0.4i + 0.4j (m). El vector de velocidad angular de la barra AB es AB= -10k

(rad/s), por lo que la velocidad de B es

04.04.010000//

kji

xrvv ABArAB

= 4i4j (m/s)


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Determinacin de la velocidad de B .

Sea la velocidad angular desconocida de la barra BC (Fig. b), por lo que su vector de velocidad

angular es BC = BCk. El vector de posicin C de e respecto a B es rC/B = 0.8i0.4j (m). Aunque

no conocemos la velocidad de C, sabemos que tiene direccin horizontal, por lo que podemos

escribirla en la forma VC= vC i (Fig. b). Expresamos la velocidad de C en funcin de la velocidad

de B:

Vc= vB+ ACx r B/C

Ahora sustituimos los valores de vBy r B/C y las expresiones para vCy BCen esta ecuacin, y

obtenemos

04.08.0

0044

BCC

kji

jiiv = 4i - 4j + 0.4BCI + 0.8 BCj

Igualando en esta ecuacin las componentes i y j obtenemos dos ecuaciones:

vc = 4 + 0.4BC 0 = - 4 + 0.8 BC

Resolvindolas obtenemos BC = 5 rad/s y vC= 6 m/ s.


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COMENTARIO

Expresando la velocidad de e en funcin de la velocidad de B, incluimos en la solucin lacondicin de que el punto e se debe mover horizontalmente. Es decir, tomamos en cuenta lapresencia del piso. El procedimiento en este ejemplo -aplicar sistemticamente la Ec. (6.6) pararelacionar las velocidades de las juntas con las velocidades angulares- es aplicable a muchosproblemas en que se tienen que determinar velocidades y velocidades angulares de cuerpos

rgidos conectados. Quiz se necesiten algunas pruebas de ensayo y error para encontrar lasrelaciones particulares requeridas.

La de la Fig. gira con una velocidad angular horaria de 10 rad/s. Cul es la velocidad vertical vRde la cremallera del engrane de cremallera pin?

ESTRATEGIAPara determinar la velocidad de la cremallera necesitamos la velocidad angular del elemento CD. Como conocemos la velocidadangular de la barra AB, podemos aplicar la Ec. (6.6) a los puntos A y B para determinar la velocidad de B. Luego podemosaplicar la Ec. (6.6) a C y D a fin de obtener una ecuacin para en funcin de la velocidad angular del elemento CD. Tambin

podemos aplicarla a B y C y obtener una ecuacin para vCen funcin de la velocidad angular de la barra BC. Igualando las dos

expresiones para vCobtenemos una ecuacin vectorial con dos incgnitas: las velocidades angulares de BC y CD.

SOLUCiNPrimero aplicamos la Ec. (6.6) a los puntos A y B (Fig. a). En el sistema coordenado que se muestra, el vector de posicin de B respecto a A

es r B/A= 0.5i + j (pie), y el vector de velocidad angular de la barraAB es A/B= - 10k (rad/s). La velocidad de B


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015.0

10000/

kji

xrvv ABABAB = 10i5j(pie/s)

Aplicamos ahora la Ec. (6.6) a los puntos C y D. Sea CD la velocidad angular desconocida delelemento CD (Fig. a) . El vector de posicin de C respecto a D es rC/D= -0.500i + 0.833j (pies), elvector de velocidad angular del elemento CD es CD= - CDk. La velocidad de C es

0833.0500.0

000/

CDDCCDDC

kji

xrvv = 0,833CDi + 0,500 CDj

Sustituyendo las expresiones para VB y Vcen esta ecuacin, obtenemos

0.833CDi+0.500CDj = 10i - 5j + 0.167BCi + 1.333BCj.

Igualando las componentes i y j, resultan dos ecuaciones que relacionan BC con CD:

0.833CD= 10 + 0.167BC 0.500CD= -5 + 1.333BC

Resolvindolas obtenemos BC= 8.92 rad/ s y CD= 13.78 rad/ s.

La velocidad vertical de la cremallera es igual a la velocidad del engrane en el punto en que ste

se halla en contacto con la cremallera:VR= (0.5 pies ) CD= (0.5)(13.78) = 6.89 pie/s.

Gua de mecnica dinmica


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Argumente que tipo de movimiento se manifiesta en cada punto en un motor deautomvil. (Traslacin, rotacin respecto a un eje fijo y movimiento plano )

El rotor de un motor de reaccin est girando a 10000 rpm cuando se interrumpe el suministro decombustible. La aceleracin resultante es ex = - 0.02w, donde w es la velocidad angular en rad/s.

(a) Cunto tarda el rotor en alcanzar 1000 rpm?

(b) Cuntas revoluciones gira el rotor mientras desacelera a 1000 rpm?

ESTRATEGIAPara analizar el movimiento angular del rotor, definimos una lnea fija al rotor y perpendicular a su eje(Fig. 2.20). Luego examinamos el movimiento de L respecto a la lnea de referencia Le. La posicin,velocidad y aceleracin angulares de L definen el movimiento angular del rotor.

LneaL y lnea de referenciaLo que

especifican la posicin angular delrotor

SOLUCIN

La conversin de rpm a rad/ s es


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segx

revolucin

radxrevolucinrpm

60

min1

1

2min/11

1rpm = / 39 rad/s

(a) La aceleracin angular es

02,0dtd Separando variables, dtd 02,0

e integramos, definiendo t = 0 como el tiempo en que se corta el combustible:

tx

x

dtd

0

30/1000

30/000.10

02,0

Evaluando las integrales y despejando t obtenemos

st 1,11530/1000

30/000.10ln

02,0

1

(b) Escribimos la aceleracin angular como

02,0

d

d

dt

d

d

d

dt

d separamos variables, dd 02,0

e integramos, definiendo = 0 como la posicin angular en que se corta el combustible:

0

30/1000

30/000.10

02,0 ddx

x

Despejando obtenemos

30/100030/000.1002.0

1

= 15.000rad = 7.500 revoluciones

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Una turbina de gas empieza a girar en t= 0 con aceleracin angular el = 6trad/s2durante 3s y luego desacelera con = -3 rad/s2 hasta que se detiene.

(a) Qu velocidad angular mxima alcanza?(b) Cul es el ngulo total que gira?


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2) El rotor de un generador elctrico est girando a 200 rpm cuando el motor seapaga. Debido a efectos de friccin, la desaceleracin angular del rotordespus de que se apaga el motor es = -0,01 rad / s2, donde es lavelocidad angular en rad/s. Cuntas revoluciones gira el rotor hasta que se

detiene?

3) A) En Fig. P6.4, la rueda catalina de 120mm de la bicicleta gira a 3 rad/ s. Cul es lavelocidad angular del engrane de 45mm?

b) Ahora La rueda trasera de la bicicleta tiene

un radio de 330 mm y est rgidamente

unida al engrane de 45 mm. Si el ciclista gira

los pedales, que estn rgidamente unidos a

la rueda catalina de 120mm, a una

revolucin por segundo, cules la velocidadde la bicicleta?

4) En la Fig. P2.88, el ngulo O entre la barra y la lnea horizontal es = t3- 2t2+4 (grados). Determine la velocidad y la aceleracin angulares de la barra en t =10 s.

5)Aun proceso de maquinado, el disco gira respecto al punto fijo O con una velocidad angular constante de 10rad/s. En el sistema coordenada sin giro que se muestra, cul es la magnitud de la velocidad de A respecto aB? cul es la magnitud de la aceleracin de A respecto a B.


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6) Las barras OA yAB mostradas tienen cada una 400 mm de longitud y giran en el plano x-y.

OA tiene una velocidad angular antihoraria de 10 rad/s y una aceleracin angular antihoraria

de 2 rad/s2,AB tiene una velocidad angular constante antihoraria de 5 rad/s.

a)Cul es la velocidad del punto B respecto al

punto A en trminos del sistema coordenada

fijo?

b) cul es la aceleracin del punto B respectoal puntoA?c) cul es la velocidad del punto B respecto al

punto fijo O?

d) cul es la aceleracin del punto B respecto

al punto fijo O?

7) Cules son los vectores de velocidad angular de cada barra del mecanismo mostrado?

8) En la Fig. el engrane anular est fijo y el engrane central gira a 120 rpm en direccin antihoraria. Determine lavelocidad angular de los engranes perifricos y la magnitud de 100mm la velocidad de sus puntos centrales


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9) Si el cigeal de la figura gira a 6000 rpm en direccin antihoraria, cul es la velocidad del pistn en el instante mostrado?

10)La barraAB mostrada gira en direccin antihoraria a 6 rad/ s. Determine la velocidad angular de la barraBCD y la velocidaddel punto D.

11) La barra AB mostrada gira a 10rad/ s en direccin antihoraria. Determine la velocidad angular de la barra CD.


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Estrategia: Como se conoce la velocidad angular de labarra AB se puede determinar la velocidad de B. Apliqueluego la Ec. (6.6) a los puntos B y C a fin de obtener unaecuacin para vCen funcin de la velocidad angular de la

barra BC, y aplquela a los puntos C y D a fin de obteneruna ecuacin para vCen funcin de la velocidad angular de

la barra CD. Igualando las dos expresiones se obtiene unaecuacin vectorial con dos incgnitas: las velocidades

angulares de las barrasBC y CD.

12) Labarra AB mostrada gira a 12rad/s en direccin horaria. Determine lasvelocidades angulares de lasbarrasBC y CD.

En el instante mostrado, la barra AB no tiene velocidad angular pero s una aceleracin angularantihoraria de 10rad/s2, Determine la aceleracin del punto E.

A partir de la siguiente Figura responda independientemente las siguientes situacionesa) si AB = 2rad/ s y BC= 4rad/s, cul es la velocidad del puntoC, donde el cubo de la

excavadora est conectado?

b) Si AB = 2 s, qu velocidadangular horaria BC har que lacomponente vertical de lavelocidad del punto C sea cero?


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Cul es la velocidad resultante de C?

C) Si la velocidad del punto C es vC = -6i - 4j (mis), cules son las velocidades angulares AB YBC?

A partir de la siguiente Figura responda independientemente las siguientes situaciones

a) Si AB= 2 rad/s, AB= 2 rad/s2,

BC = 1 rad/ s, y BC= 4 rad/s2, cul

es la aceleracin del punto C dondese conecta el cucharn de laexcavadora?

b) Si la velocidad del punto C de laexcavadora es vC = 4i (m/s) y esconstante en el instante mostrado,cules son AB, AB, BC, BC?

En la Fig. P6.89, si AB= 12 rad/s y AB = 100 rad/ s2, cules son las aceleraciones angulares de

las barras BC y CD?

En la Fig. P6.90, si AB = 4 rad/s antihoraria y BC = 12 rad/s2 antihoraria, cul es laaceleracin del punto C? Ahora si AB = 6 rad/ s horaria y DE= 0, cul es la aceleracin delpunto C?


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En la Fig. P6.98, la rueda dentada grande est fija. La velocidad y la aceleracin angulares de labarraAB son AB =2 rad/ s y AB= 4 rad/s-. Determine las aceleraciones angulares de las barrasCD y DE.

En la Fig. P6.51la rueda dentada grande est fija. La barraAB tiene una velocidad angularantihoraria de 2 rad/ s. Cules son las velocidades angulares de las barras CD y DE?

Si el brazo AB de la Fig. P6.92 tiene una velocidad angular constante horaria de 0.8 rad/s, el brazoBC tiene una velocidadangular constante horaria de 0.2 rad/s, y el brazo CDpermanece vertical, cul es la aceleracin de la parteD?


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El disco de la figura rueda sobre la superficie curva. La barra gira a 10rad/s en direccin antihoraria. Determine la velocidaddel puntoA.

En la Fig. P6.50 el engrane anular est fijo los engranes pin y perifrico estn unidos. La barra conectora gira en direccinantihoraria a 60 rpm. Determine la velocidad angular del engrane central la magnitud de la velocidad del punto A.

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