guia de matematicas segundo grado

Secundaria. Gua de

Matemticas3er. grado

SECRETARA DE EDUCACINPBLICA

Miguel Limn RojasINSTITUTO NACIONAL PARA LA EDUCACIN

DE LOS ADULTOSJos Antonio Carranza

PalaciosDIRECCIN ACADMICALuz Mara Castro Mussot

UNIDAD DE PRODUCCINDE MEDIOS

Claudia Gimnez Mercado

AUTORASSilvia Alatorre Frenk, Natalia de Bengoechea Olgun, Elsa Mendiola Sanz, Mariana Siz RoldnProfesoras de la UniversidadPedaggica NacionalCOORDINACIN GRFICA Y CUIDADO DE LA EDICINGreta SnchezDISEOAbel Alonso VillagrnDolores Marcela CervantesIns OlivaresILUSTRACIONESJorge Mora SurezFrancisco CarrilloRicardo Aguilar

Gua de Matemticas. Tercer grado secundaria.D.R. 1999, Instituto Nacional para la Educacin de los Adultos, INEA. FranciscoMrquez Nm. 160, Col. Condesa, Mxico, D.F., C.P. 06140. 060499

ISBN en trmite

Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicacin hansido legalmente transferidos al INEA. Prohibida su reproduccin parcial o totalpor cualquier medio, sin autorizacin escrita de su legtimo titular de derechos.

ndicePresentacin

Unidad I: Aritmtica

Leccin 1: Nmeros reales 10Los nmeros irracionales 10Aproximaciones 14

Leccin 2: Notacin exponencial 20Nmeros grandes 20Nmeros pequeos 24Operaciones con nmeros en notacin exponencial 27

Leccin 3: Orden e intervalos 32La recta real 32Intervalos de nmeros reales 35

Leccin 4: Proporcionalidad 42Proporcionalidad directa 44Regla de tres 48Proporcionalidad inversa 52Variaciones proporcionales y no proporcionales 55

Leccin 5: Porcentajes 60

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GUA DE MATEMTICAS III

Leccin 6: Reparticin proporcional 71Leccin 7: Propiedades de las operaciones

con nmeros reales 75Propiedades de la suma 76La resta 79Propiedades de la multiplicacin 81La divisin 84Potencias y races 85Combinaciones de varias operaciones 88Aplicaciones de las propiedades en la solucin de ecuaciones 91

Unidad II: lgebra

Leccin 8: Potencias con exponentes enteros 102Operaciones con potencias 103Propiedades de la potenciacin 108

Leccin 9: Polinomios 111Definiciones 111Operaciones con polinomios 114

Leccin 10: Representacin grfica de algunasexpresiones algebraicas 125

Leccin 11: Ecuaciones lineales con dos incgnitas 132Ecuaciones con dos incgnitas 132Grfica de una ecuacin lineal 136

Leccin 12: Sistemas de ecuaciones lineales 143Resolucin grfica 143Sistemas sin solucin y sistemas con infinitas soluciones 148

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Leccin 13: Resolucin algebraica de sistemas de ecuaciones 152

Leccin 14: Problemas que se resuelven por sistemas de ecuaciones lineales 162

Unidad III: Geometra

Leccin 15: Escalas 176Leccin 16: Lectura de dibujos a escala 183Leccin 17: Semejanza 188

Unidad IV: Estadstica y probabilidad

Leccin 18: Utilidad de la estadstica 194Leccin 19: Histogramas 203Leccin 20: Medidas descriptivas de

un conjunto de datos 212Leccin 21: Probabilidad 225

Respuestas a los ejercicios

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233

PresentacinEste libro se dise para adultos que estudian la secundaria en un sistema abierto; es la continuacin de los libros "MatemticasI" y "Matemticas II" de esta misma serie. Para facilitar el uso deeste material hemos incluido los contenidos principales que serequieren para abordar este curso.

El libro est formado por cuatro unidades: "Aritmtica","lgebra", "Geometra" y "Estadstica y Probabilidad". Las unidadesestn formadas por lecciones y cada una de ellas trata un tema distinto del contenido de esa unidad. Las lecciones tienen, en general, una explicacin del tema con ejemplos y al final de cada seccin una serie de ejercicios y problemas para el adulto.Al final del libro se encuentran las soluciones a los ejercicios yproblemas para que usted pueda comparar sus resultados.

En todos los temas se explica desde lo ms simple y se llega a los contenidos propios del curso. Como este material esthecho para adultos, se hace referencia a situaciones cotidianas y tambin se reflexiona sobre la lgica de los contenidos.

Las siete lecciones iniciales corresponden a aritmtica; sonprincipalmente un repaso del curso anterior, aunque se incorporanalgunos contenidos nuevos y ejercicios diversos. La parte msfuerte de este curso es lgebra, que fue introducida

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informalmente en el primer curso y abordada con algo ms de formalidad en el segundo; en este curso se ahonda en su estudio, principalmente, con polinomios y sistemas de ecuacioneslineales. Las tres lecciones de geometra abordan principalmenteel uso y construccin de figuras a escala. La unidad dedicada a laestadstica y la probabilidad es un avance sobre los contenidostratados en los cursos anteriores.

Le hacemos algunas sugerencias que creemos facilitarn suestudio:

Vea todo. Lea con particular atencin las partes en las que se sienta inseguro o sean nuevas para usted. Puede ser tambin recomendable leer las partes que ya domine: las leer rpido, le servirn como recordatorio y le permitirn acostumbrarse al estilo de este texto y a la notacin que usamos.

Siempre, al leer, busque si se ilustra con ejemplos o dibujos lo que se est explicando y si se hace, identifique lo que lea en la ilustracin.

No avance si no est seguro de poder hacer usted solo las operaciones o trazos que se hacen en el texto; si para lograrlo necesita hacer varias veces un ejercicio, hgalo.

Procure resolver al menos algunos incisos de todos los ejercicios, aun de los temas que ya domina. Despus verifique sus respuestas con las que se dan al final del libro y, cuando ya se sienta seguro, pase al siguiente ejercicio. Se han incluido muchos ejercicios para aquellos estudiantes que requieren ms prctica para comprender; quienes no la necesiten pueden hacer slo unos cuantos de ellos.

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Unidad I

Aritmtica

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Leccin 1: Nmeros reales

Los nmeros irracionales

En los grados anteriores estudiamos distintas clases de nmeros:

Vimos en primer lugar: los naturales, que son aquellos que sirven para contar. Ejemplos de los nmeros naturales son:

0, 1, 2, 3, 4, ......, 37, ......, 186, ......, 1999, ......

Despus, estudiamos los nmeros enteros, que estn formados por los naturales y por los nmeros negativos. Con ellos podamos indicar prdidas, temperaturas bajo cero o distancias bajo el mar o la tierra. Ejemplos de los nmeros enteros son:

Posteriormente, conocimos a los nmeros racionales,que estn formados por los enteros, las fracciones (que siempre se pueden presentar en forma decimal), y los decimales. Ejemplos de los nmeros racionales son:

10


......, -154, ......, -13, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ......, 18, ......, 189723, ......

......, - , ....., -2.2, ....., -1, ....., -0.5, .....0,

......, 0.5, ...... , ....., 1, ......, , .....

Cuando estudiamos fracciones y decimales, vimos que paraconvertir fracciones a decimales se divide el numerador entre eldenominador. Por ejemplo:

= 1 2 = 0.5 = 621 13 = 47.769230769230...

A veces el cociente tiene una infinidad de cifras, pero hemosvisto que estas cifras en algn momento empiezan a aparecerrepetidas en un mismo orden, as que, aunque sean infinitas, esposible escribir el nmero indicando el conjunto de cifras que serepite, y que se llama perodo, poniendo una curvita arriba de las cifras que lo forman. Por ejemplo:

= 0.33333 pero escribimos 0.3,y la curvita arriba del 3 indica que ste se repite;

= 0.1666 pero escribimos 0.16,y la curvita arriba del 6 indica que es el perodo;

= 0.285732857328573 pero escribimos 0.28573, y la curvita arriba de 28573 indica que es el perodo, o sea las cifras que se repiten.

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12

62113

13

16

27

LECCIN 1

1875

621

13

3

4

irracionales y, a diferencia delos racionales, no pueden ponerse en forma de fraccin, sino sloen forma decimal. Los racionales y los irracionales juntos formanel conjunto de los nmeros reales y son los nmeros con los quetrabajaremos en este curso.

Hay una infinidad de nmeros irracionales, pero en este cursotrabajaremos slo con algunos de ellos, que son los ms usados.Tal vez usted se pregunte cmo vamos a escribir la infinidad decifras que tienen los nmeros irracionales. La respuesta es quecuando trabajamos con nmeros irracionales, nos conformamoscon una aproximacin, o bien utilizamos algunos smbolos especiales.

El primer nmero irracional que presentaremos es un nmeroque de hecho ya conoce. Usted ha usado el nmero p (pi) paraexpresar las frmulas de la longitud de la circunferencia, del readel crculo y del volumen de la esfera. El nmero p representa las veces que cabe el dimetro de un crculo en la longitud de la circunferencia. Es decir, si tuviramos las medidas exactas de la longitud (C) de una circunferencia y de su dimetro, (d),podramos decir que p = C d, pero si quisiramos hacer ladivisin no terminaramos nunca: podramos tener tantas cifras decimales como quisiramos, pero nunca llegaramos a un residuoigual a cero, ni encontraramos cifras que formen un perodo. Estoes, si intentramos escribir p exactamente, nunca terminaramosde escribir cifras decimales, por lo que decimos que p es un

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nmero irracional. A continuacin se expresa el nmero p con susprimeras 54 cifras decimales:

p = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820...

En la prctica, sin embargo, cuando queremos calcular longitudes de circunferencias, reas de crculos, volmenes deesferas o para hacer cualquier otro clculo, en el que aparezca p ,podemos usar la aproximacin p = 3.1416 o bien, como lo hemoshecho en los dos libros anteriores de este curso, la aproximacinp = 3.14.

Otro nmero irracional es 2. El nmero 2 es la medida de la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyoscatetos miden una unidad delongitud.

Si necesitamos hacer clculos con 2, utilizamos 1.41,que es una aproximacin. (Usted puede verificar que 1.412 = 1.9881, que se acerca bastante a 2.)

Otros nmeros irracionales son 3 y el nmero e. Una manera de encontrar aproximaciones a estos nmeros es utilizando la calculadora. Para encontrar el primero sacamos la raz cuadrada de 3, y para encontrar el segundo pulsamos la tecla ex que tienen algunas calculadoras y encontramos as la aproximacin e = 2.7182818.

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LECCIN 1

1 u 2 u

1 u

a) En una calculadora calcule las races de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla que son aproximaciones para los nmeros irracionales 5, 7, 2 y 3.

b) Si su calculadora tiene la tecla p , oprmala para ver con qu aproximacin representa este nmero irracional.

c) Exprese en forma decimal, indicando en cada caso el perodo, los siguientes nmeros racionales:

, , , , , , .

Aproximaciones

En la seccin anterior hemos dicho que cuando se trabaja connmeros irracionales se usan con aproximaciones, ya que esimposible escribir todas sus cifras decimales pues son unainfinidad. A veces tambin es conveniente usar aproximaciones

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37

19

47

615

34

89

56

Ejercicio 1

con los nmeros racionales. Hay dos maneras de hacer las aproximaciones: por truncamiento y por redondeo.

El mtodo del truncamiento consiste en considerar slo lascifras decimales que nos interesan y "eliminar" las dems. Primerodebemos saber con cuntas cifras decimales queremos trabajar ocuntas nos estn pidiendo.

Supongamos que necesitamos efectuar una multiplicacin dedecimales y nos piden que expresemos el resultado con tres cifras decimales,usando truncamiento. Por ejemplo, la multiplicacin que se muestra a laderecha.

El resultado tiene cinco cifras decimales y slo queremos tres, as que "eliminamos" los ochos y escribimos 0.124 x 2.37 0.293.

Observe que en lugar del signo "=" hemos escrito el signo " "porque el producto 0.124 x 2.37 no es exactamente igual a 0.293,es casi igual, una aproximacin. Esto se indica usando el signo " ",que se lee "aproximadamente igual a".

De manera que "truncar" nmeros es deshacerse de las cifras que no interesan. Para comprender mejor esto, veamos dos ejemplos ms, en los que realizaremos operaciones y expresaremos los resultados con las cifras decimales que se indican.

Resolvamos la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235 y expresemos el resultado con dos cifras decimales mediante truncamiento. El resultado exacto de la suma

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LECCIN 1

0.124x 2.37

08680372

02480.29388

es 62.3297, y al truncar para quedarnos con dos cifras decimales eliminamos las dos ltimas, esto es, al 9 y 7. Escribimos entonces:

12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 62.32

Resolvamos ahora la divisin 1.971 8 y expresemos el resultado con tres cifras decimales mediante truncamiento. Al hacer la divisin obtenemos 1.971 8 = 0.246375, pero como slo queremos tres cifras decimales eliminamos el 375 que aparece al final y nos quedamos con 1.971 8 0.246.

Otra manera de aproximar nmeros es el redondeo. Paracomprender este mtodo regresemos a nuestro ejemplo de lamultiplicacin 0.124 x 2.37 = 0.29388. Si utilizamos la rectanumrica para representar este resultado, obtenemos un esquema como el siguiente, en el que la ubicacin del nmeroque nos interesa est sealada con una flecha vertical:

Si queremos utilizar solamente tres cifras decimales paraexpresar el nmero 0.29388, vemos que este nmero est entre0.293 y 0.294, pero est mucho ms cerca de 0.294 que de 0.293.Es decir, si decimos que 0.124 x 2.37 0.293 mentimos, y si

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0.293 0.2931 0.2932 0.2933 0.2934 0.2935 0.2936 0.2937 0.2938 0.2939 0.294

decimos que 0.124 x 2.37 0.294 tambin mentimos, pero mentimos menos en el segundo caso que en el primero. Entoncesla aproximacin por redondeo de 0.29388 es 0.294, y escribimos0.29388 0.294: hemos utilizado tres cifras decimales pero a latercera le hemos aumentado 1.

Veamos otro ejemplo. Consideremos ahora la multiplicacin0.124 x 2.38 = 0.29512, y representemos este resultado en unesquema como el anterior:

Si queremos utilizar tres cifras decimales para expresar elnmero 0.29512, vemos que este nmero est entre 0.295 y0.296, pero que est mucho ms cerca de 0.295 que de 0.296.Ahora la aproximacin por redondeo de 0.29512 es 0.295 yescribimos 0.29512 0.295: hemos utilizado tres cifras decimalesy a la tercera no le hemos aumentado nada.

Vemos entonces que con el mtodo de aproximacin porredondeo se "eliminan" cifras, pero a veces hay modificaciones en las cifras originales y a veces no. El mtodo se puede resumirde acuerdo con las siguientes reglas:

Se cuentan las cifras que interesa dejar y se observa la primera cifra que se va a eliminar.

Si la primera cifra que se va a eliminar es menor que 5 no hay modificaciones en las cifras que se dejan.

Si la primera cifra que se va a eliminar es igual o mayor que 5, la ltima cifra no eliminada aumenta en 1.

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LECCIN 1

0.295 0.2951 0.2952 0.2953 0.2954 0.2955 0.2956 0.2957 0.2958 0.2959 0.296

Veamos unos ejemplos ms de redondeo:

Al hacer la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235 encontramos como resultado 62.3297. Si queremos redondeareste resultado a dos cifras decimales, nos fijamos en la tercera, que es 9; como 9 es mayor que 5, entonces la ltima cifra no eliminada, que es 2, aumenta en 1. Escribimos entonces:

12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 62.33

Observe que este resultado difiere del que habamos obtenidocuando hicimos la aproximacin por truncamiento.

Al hacer la divisin 1.971 8 tenemos como resultado0.246375. Si queremos redondear este nmero a tres cifras decimales, nos fijamos en la cuarta, que es 3; como 3 es menor que 5, entonces la ltima cifra no eliminada, que es 6,permanece como est. Escribimos entonces 1.971 8 0.246.Observe que en este caso el resultado es el mismo del quehabamos obtenido cuando hicimos la aproximacin por truncamiento.

Redondeemos ahora el nmero 15.3129635401 a seis cifrasdecimales. Nos fijamos en la sptima cifra, que es 5; como 5 esigual o mayor que 5, entonces le aumentamos 1 a la ltima cifrano eliminada, que es 3. Tenemos entonces que 15.3129635401 15.312964.

Por ltimo, redondeemos el nmero7.4296085 a tres cifras decimales. Nosfijamos en la cuarta, que es 6; como esmayor que 5 le aumentamos 1 a la ltima

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7.429

+ 0.001

7.430

cifra no eliminada, que es 9. Pero como 9 + 1 = 10, ahora tenemos que aumentar 1 a la penltima cifra no eliminada, que es 2. Tenemos entonces que 7.4296085 7.430.

Trunque los siguientes nmeros a tres cifras decimales:

a) 0.356783258 c) 897.46789 e) 7.00006 g) 10009.9001

b) 11.1111111 d) 3.145578 f) 235.654 h) 0.189675872

En una calculadora calcule las races de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla (que sonaproximaciones para los nmeros irracionales 5, 7, 2 y 3), truncando a 5 cifras decimales.

Redondee a tres cifras decimales los nmeros de los incisos del ejercicio 2. Compare los resultados con los que obtuvo en el ejercicio 2.

Redondee a cinco cifras decimales las races del ejercicio 3 y compare los resultados con los obtenidos ah.

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Ejercicio 2

Ejercicio 5

Ejercicio 3

Ejercicio 4

LECCIN 1

Leccin 2: Notacin exponencialEn la leccin anterior hemos visto cmo trabajar con nmerosreales y cmo para facilitar el trabajo con ellos es convenienteutilizar aproximaciones, usando el redondeo o el truncamiento.

En esta leccin estudiaremos otra manera de trabajar con nmeros reales. Para ello utilizaremos lo que se conoce como notacin exponencial. Esta notacin permite escribir abreviadamente nmeros muy grandes o muy pequeos, o susaproximaciones. Para ello se escribe el nmero como un nmerocon una cifra entera, multiplicado por una potencia de 10.Abordaremos este tema, dividiendo la discusin en dos casos:

Nmeros grandes

Consideremos la velocidad de la luz: 300 000 Km/seg. (es decir,la luz viaja 300 000 kilmetros cada segundo). Este nmero esgrande, tiene muchos ceros a la derecha. Exactamente tiene 5ceros, de hecho es igual a 3 x 100 000 y como 100 000 = 105,tenemos que 300 000 = 3 x 105.

20


La regla general es que un nmero que termina en cerospuede expresarse como el producto del nmero sin ceros multiplicado por 10 elevado a una potencia que es igual a la cantidad de ceros del nmero original.

Veamos otros ejemplos:

23 000 000 = 23 x 106 (seis ceros en el nmero original)

1 870 000 000 000 = 187 x 1010 (diez ceros en el nmero original)

Algunas calculadoras dan sus resultados en forma exponencial, slo que por lo general usan una sola cifra entera.En los ejemplos anteriores nosotros hemos usado enteros con msde una cifra; sin embargo, con potencias de 10 tambin podemosexpresarlos usando una sola cifra entera y las dems en decimal.As:

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23 000 000 = 23 x 106 = 2.3 x 10 x 106 = 2.3 x 107

1 870 000 000 000 = 187 x 1010 = 1.87 x 102 x 1010 = 1.87 x 1012

LECCIN 2

De estos ejemplos podemos obtener la regla general paraexpresar un nmero grande en notacin exponencial:

Se cuenta cuntas cifras tiene el nmero. Al resultado se le resta uno y se usa como el

exponente de 10. Entonces el nmero que va a multiplicar a la potencia

de 10 es un nmero que se forma quitando los ceros del nmero original y poniendo el punto decimal de modo que quede una cifra a la izquierda del punto.

Por ejemplo, 23 000 000 tiene ocho cifras. Como 8 1 = 7,ste es el exponente que debe llevar el 10 y quitando los cerosqueda 23, a 23 le dejamos una cifra entera y da 2.3. De modo que 23 000 000 = 2.3 x 107. Observe que con esta notacin estamos expresando que hemos recorrido el punto decimal 7lugares a la izquierda:

Anlogamente, 1 870 000 000 000 tiene trece cifras. Como 13 1 = 12, se es el exponente que llevar el 10. El nmero original sin ceros es 187, con una cifra entera queda 1.87. As, se tiene que 1 870 000 000 000 = 1.87 x 1012.

22


23 000 000 = 2.3 x 107

7 lugares

1 870 000 000 000 = 1.87 x 1012

12 lugares

Cuando los nmeros no aparecen en notacin exponencial,decimos que estn en forma desarrollada. En el ltimo ejemplo 1 870 000 000 000 es la forma desarrollada de 1.87 x 1012.Tambin podemos pasar de la notacin exponencial a la formadesarrollada:

Utilice notacin exponencial con una sola cifra entera paraescribir los siguientes nmeros:

a) 12567.8 b) 325.61902c) 23.1452308 d) 1102400e) 31.164 f) 3648912g) 7 324 561 987 h) 1999

Escriba en forma desarrollada los siguientes nmeros reales:

a) 1.001 x 103 c) 5.421023 x 103

b) 7.9 x 107 d) 3.00005 x 102

e) 6.3 x 104 g) 5.8 x 102

f) 1.010101 x 108 h) 2.33 x 101

23

1.87 x 1012 = 1 870 000 000 000

12 lugares

LECCIN 2

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Nmeros pequeos

Cuando decimos aqu nmeros pequeos nos referimos a nmerosmenores a 1. Consideremos para empezar 0.1: este nmero se lee un dcimo, pero ya sabemos que un dcimo se escribe como fraccin, as: ; tambin sabemos que 0.01 se lee un centsimoy la fraccin que lo representa es y as sucesivamente.

Si ahora tenemos 0.0120, este nmero se lee ciento veintediezmilsimos, lo que se escribe , mientras que a 0.00023 le corresponde la fraccin .

En todos estos ejemplos tenemos fracciones cuyos denominadores son potencias de 10, as que pueden escribirse as:

0.1 = 0.01 = =

0.0120 = = 0.00023 = =

Estas fracciones se pueden escribir tambin como divisiones:

0.1 = = 1 10 0.01 = = = 1 102

0.012= = =120 104

0.00023 = = = 23 105

24


12010000 23

100 000

1

10

1

10

120

10000

120

104

1

100

1

102

23

100 000

23

105

1

10

120

10000

120

104

1

100

1

102

23

100 000

23

105

1

100

Para seguir con el modelo de notacin exponencial de los nmeros grandes, escribiremos las divisiones como productos. Esto se hace usando exponentes negativos.

Los exponentes negativos sirven para expresar como producto potencias que estn dividiendo. Por ejemplo puede escribirse como 1 x 102. Esto es, un divisor con exponente positivo se puede escribir como factor con exponentenegativo. As, los ejemplos con los que hemos venido trabajandoquedan:

0.1 = = 1 x 101 0.01 = = =1 x 102

0.012 = = = 120 x 104

0.0023 = = = 23 x 105

Los dos ltimos ejemplos tienen la parte entera con dos cifras, pero tambin podemos escribirlos con una cifra entera.

Notemos que 120 es igual a 1.2 x 102.

Entonces 0.0120 = = 120 x 10-4 = 1.2 x 102 x 104.

Pero por otra parte, tenemos que 102 x 10-4 = = =102.

Entonces, podemos escribir 0.0120 como 1.2 x 102.

En el otro ejemplo, tenemos que 0.00023 = = 23 x 105 = 2.3x 10 x 105.

Pero como 10 x 105 = = =104, entonces 0.00023 = 2.3 x 104.

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LECCIN 2

120

10000120

104

1

100

1

102

23

100 000

23

105

1

102

120

104

100

10000

1

100

23

105

10

100000

1

10000

1

10

Para escribir en forma exponencial nmeros pequeosseguimos esta regla:

Recorremos el punto decimal a la derecha para que quede despus de la primera cifra que sea distinta de 0.

Contamos cuntos lugares recorrimos el punto y esa cantidad ser el exponente negativo de 10.

Por ejemplo, para escribir con notacin exponencial losnmeros 0.000034 y 0.00176, hacemos lo siguiente:

Como en el caso de los nmeros grandes, tambin se puedepasar de notacin exponencial a forma desarrollada. Por ejemplo:

Utilice notacin exponencial con una sola cifra entera paraescribir los siguientes nmeros:

a) 0.124 c) 0.005 e) 0.0564 g) 0.875b) 0.000675 d) 0.000011 f) 0.009742 h) 0.0491

26


1.583 x 106 = 0.000001583

6 lugares

4.02587 x 102 = 0.0402587

2 lugares

Ejercicio 3

0.000034 = 3.4 x 105

5 lugares

0.00176 = 1.76 x 103

3 lugares

Escriba en forma desarrollada los siguientes nmeros reales:

a) 6.3 x 104 c) 1.82 x 1010

b) 3.12 x 106 d) 3 x 1015

e) 52.210 x 107 g) 4.001 x 102

f) 0.03 x 104 h) 6687 x 102

Operaciones con nmeros en notacin exponencial

Una de las ventajas de usar la notacin exponencial es que facilita la realizacin de algunos clculos con nmeros reales,especialmente el producto y la divisin. Esto es lo que veremosenseguida.

Para multiplicar dos nmeros con notacin exponencial, por ejemplo 12.07 x 107 y 1.02 x 104, escribimos el producto:

(12.07 x 107) x (1.02 x 104)

Por la propiedad conmutativa del producto de nmerosreales, que se puede expresar como "el orden de los factores no altera el producto", escribimos:

(12.07 x 1.02) x (107 x 104)

27

LECCIN 2

Ejercicio 4

El producto de la izquierda se efecta como ya hemos aprendido y nos da 12.07 x 1.02 = 12.3114. El producto de laderecha indica que multipliquemos 10 elevado a la 7, o sea 10multiplicado 7 veces por s mismo, por 10 multiplicado 4 vecespor s mismo, en total tenemos 10 multiplicado 11 veces por smismo. Es decir, 107 x 104 = 1011. El resultado de la operacin es entonces:

(12.07 x 1.02) x (107 x 104) = 12.3114 x 1011

En general lo que se hace es que se multiplican los nmerosdados sin contar la potencia de 10 y el resultado se multiplicapor 10 elevado a la suma de los exponentes de los nmeros iniciales. En el ejemplo 12.07 x 1.02 = 12.3114 y al sumar losexponentes tenemos 7 + 4 = 11 que es el exponente de 10 en el resultado final. Es decir:

Esta forma de realizar las multiplicaciones se aplica tambin cuando los exponentes son negativos, o cuando hay una mezcla de exponentes positivos y negativos. Por ejemplo:

Vale la pena hacer un par de comentarios acerca de los ltimos dos ejemplos. En el primero de los dos aparece 101.Como hemos visto:

101 = 10

28


(1.45 x 106) x (1.12 x 102) = (1.45 x 1.12) x 106+(2) = 1.624 x 108

(2.7 x 104) x (3.1 x 107) = (2.7 x 3.1) x 104 +7 = 8.37 x 103

(6.6 x 104) x (2.2 x 103) = (6.6 x 2.2) x 104+(3) = 14.52 x 101

(12.4 x 103) x (1.3 x 103) = (12.4 x 1.3) x 103+ (3) = 16.12 x 100

(12.07 x 107) x (1.02 x 104) = (12.07 x 1.02) x 107+4 = 12.3114 x 1011

Y en el ltimo ejemplo aparece 100. Este nmero es igual a 1:

100 = 1

Por lo tanto, los resultados de los ltimos dos ejemplos sepueden expresar como:

En el caso de la divisin se procede de manera parecida, slo que ahora en lugar de sumar los exponentes, se restan. Esdecir, se dividen los nmeros sin considerar la potencia de 10, y el resultado se multiplica por 10 elevado a la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor.

Veamos algunos ejemplos:

En el caso de la suma y la resta de nmeros reales expresados en notacin exponencial no se pueden aplicar estasreglas. La nica manera de realizar estas operaciones es expresarambos nmeros con el mismo exponente, sumarlos o restarlos sinconsiderar la potencia de 10 y al resultado multiplicarlo por 10elevado al exponente comn.

29

(6.6 x 104) x (2.2 x 103) = (6.6 x 2.2) x 104+(3) =14.52 x 101 = 14.52 x 10(12.4 x 103) x (1.3 x 103) = (12.4 x 1.3) x 103+(3) = 16.12 x 100 = 16.12

(12.5 x 104) (2 x 102) = (12.5 2) x (104 102) = 6.25 x 104 2 = 6.25 x 102

(18.6 x 104) (3 x 105) = (18.6 3) x 104 5 = 3.2 x 101

(15.3 x 102) (3 x 105) = (15.3 3) x 102 (5) = 5.1 x 103

(10.92 x 103) (2.1 x 107) = (10.92 2.1) x 103 7= 5.2 x 1010

(12.4 x 107) (4 x 107) = (12.4 4) x 107 7 = 3.1 x 100 = 3.1

L 2

Por ejemplo, para sumar 12.07 x 103 y 3.19 x 102, podemosempezar expresando el primer sumando de la siguiente manera:12.07 x 103 = 120.7 x 102. Despus sumamos 120.7 + 3.19 =123.89, y a ese resultado lo multiplicamos por 102. Entonces tenemos que:

(12.07 x 103) + (3.19 x 102) = 123.89 x 102

Otra manera de realizar esta misma operacin es expresandoel segundo sumando multiplicado por 103, as: 3.19 x 102 = 0.319 x103. Entonces se puede sumar 12.07 + 0.319 = 12.389, y a eseresultado se le multiplica por 103. Entonces el resultado es:

(12.07 x 103) + (3.19 x 102) = 12.389 x 103

Una tercera forma de hacer la operacin es transformandolos dos nmeros a su forma desarrollada. As, hacemos 12.07 x 103 = 12070, y 3.19 x 102 = 319, y luego sumamos 12070 + 319 =12389. Tenemos entonces que:

(12.07 x 103) + (3.19 x 102) = 12389

Los tres resultados son equivalentes, puesto que:

123.89 x 102 = 12.389 x 103 = 12389

30


Realice las siguientes operaciones:

a) (1.85 x 106) x (3.12 x 105)

b) (8.5 x 102) x (5.7 x 104)

c) (8.06 x 103) x (1.3 x 102)

d) (4.33 x 107) x (6.1 x 106)

e) (2.4 x 105) (4 x 107)

f) (3.64 x 106) (1.4 x 104)

g) (3.25 x 101) (1.3 x 107)

h) (13.02 x 104) (4.2 x 104)

Realice las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma desarrollada:

a) (2.5674 x 103) + (13.17 x 102)

b) (5.47 x 102) + (1.2 x 101)

c) (5.47 x 102) + (1.2 x 101)

d) (6.52103 x 104) (652.103 x 102)

e) (523.106 x 104) (4.17x 101)

f) (1.1 x 103) (1.1 x 103)

31

Ejercicio 5

Ejercicio 6

LECCIN 2

Leccin 3: Orden e intervalos

La recta real

En la leccin anterior presentamos los nmeros reales y vimos que stos estn constituidos por los nmeros racionales y los irracionales. En grados anteriores vimos que a veces es conveniente representar nmeros usando una recta. As, una manera de representar nmeros naturales era la siguiente:

Al estudiar los enteros tambin se utiliz esta representaciny la recta se vea ahora as:

Posteriormente estudiamos los racionales y tambin losagregamos a la recta:

32


0 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5 4 -3.5 3 2 1 - 0 1 1.5 2 3 3.8 4 5 5.134

12

Ahora, si en la recta pudiramos representar todos losnmeros racionales y los nmeros irracionales, tendramos unmodelo de los nmeros reales, que se llama recta real. Cadapunto de la recta representa un nmero real y a cada nmero real le corresponde un punto de la recta.

Una utilidad de esta recta es ayudarnos cuando requerimoscomparar nmeros reales. Como suceda con los naturales,enteros y racionales, tenemos que de dos nmeros, el mayor es el que aparece ms a la derecha en la recta real. As, de nuevo se tiene que cualquier nmero positivo y el cero, son mayores que cualquier negativo. Observando la recta vemos por ejemploque 1 < - porque - aparece, en la recta real, ms a laderecha que 1.

Esto nos recuerda la regla que habamos utilizado para comparar enteros y racionales. De dos nmeros negativos elmayor es el que tiene menor valor absoluto, esto es, el menorcuando comparamos sus correspondientes positivos. Usando estemismo ejemplo se tiene que es menor que 1, entonces - esmayor que 1.

Para comparar dos reales positivos hacemos lo mismo que conlos racionales. Primero comparamos la parte entera: el que tienemayor parte entera es el mayor, por ejemplo 123.65 es mayor que99.874 porque 123 es mayor que 99; p es mayor que 2 porque laparte entera de p es 3 y es mayor que la de 2 que es 1.

Cuando los nmeros tienen partes enteras iguales, se compara la primera cifra decimal a la derecha del punto: esmayor el nmero que tiene la mayor cifra decimal en el primerlugar a la derecha del punto. Por ejemplo 25.6 es mayor que

33

3

4

3

4

3

4

3

4

L 3

25.090 porque la primera cifra decimal del primero es 6, que es mayor que la primera cifra decimal del segundo, que es 0.

Si las partes enteras y las primeras cifras decimales de ambos nmeros son iguales, entonces se procede a compararentre s las segundas cifras decimales en ambos nmeros. Y as, sucesivamente.

Como ya se ha dicho, los nmeros irracionales se trabajan engeneral mediante una aproximacin ya que no es posible escribirtodas sus cifras decimales. Una vez establecida la aproximacincon la que queremos trabajar podemos compararla con otrosnmeros como ya se ha explicado aqu.

Escriba los smbolos < , = , > segn corresponda:

34


Ejercicio 1

a) 2.098 1.567

b) p 1.9

c) 3.467 3.45

d) 12.97 12.098

e) p 1.9

f) 0.098 1.001

g) 2 2

h) 1.4 - 2

Intervalos de nmeros reales

Una manera de utilizar los nmeros reales, que se usar en otraslecciones de este libro, es mediante intervalos. Un intervalo denmeros reales es un conjunto de nmeros reales, tambin puedeverse como un "pedacito" de la recta real, es decir como un segmento de la recta. Por ejemplo, el que dibujamos aqu:

Para referirnos a este segmento de recta usamos lo que sellama intervalo. En este caso se trata del intervalo "de dos a trespunto cinco" y podemos representarlo encerrando los extremoscon un parntesis y separados por una coma, as (2, 3.5). Comopodemos observar, identificamos el intervalo mencionando susextremos, primero el izquierdo, que corresponde al menor de los extremos y luego el derecho.

El intervalo "de dos a tres punto cinco" que hemos indicado es el conjunto de todos los nmeros que estn entre 2 y 3.5, esdecir, todos los nmeros ms grandes que 2 y ms chicos que 3.5.Decimos que (2, 3.5) es un intervalo abierto. Por ejemplo 3.6 noest en este intervalo porque es mayor que 3.5. Tampoco el 0est en este intervalo porque es ms chico que dos. Podemos preguntarnos si 3.490 estar en el intervalo y la respuesta es s, porque es mayor que 2 y menor que 3.5. Los extremos de unintervalo abierto no estn en l: 2 no est en el intervalo porqueno es mayor que 3, y 3.5 tampoco porque no es menor que 3.5.

35

2 3.5

L 3

Para saber si un nmero est en un intervalo dado necesitamos comprobar dos condiciones:

Que sea mayor que el extremo izquierdo Que sea menor que el extremo derecho

Si no se cumple cualquiera de las dos condiciones, el nmerodado no estar en el intervalo. Por ejemplo. Pensemos en elintervalo "de cero a nueve dcimos":

Cules de los siguientes nmeros estn en este intervalo?

1, 0.91, 1000, 0.899, 5, 0.4, 3, 115.

Debemos decidir cules de estos nmeros cumplen las doscondiciones:

Ser mayor que 0Ser menor que 0.9

Rpidamente podemos descartar a 1000, por ser mayor que0.9. Por la misma razn descartamos a 3 y al 1. Como cualquiernegativo es menor que 0 y queremos nmeros mayores que 0,salen todos los negativos. Quedan por decidir:

0.91 y 0.899.

Ambos cumplen la primera propiedad, son mayores que 0.Pero es necesario que tambin cumplan la segunda. Ahora 0.91

36


0 0.9

y 0.9 tienen iguales sus primeras cifras decimales, debemos comparar las segundas. Aunque 0.9 no tiene segunda cifra decimal, podemos agregarle un 0 ya que 0.9 = 0.90. Comparando0.91 con 0.90 vemos que 0.91 > 0.90. As que 0.91 no cumple la segunda condicin, se "sale" del intervalo. Analicemos ahora el segundo nmero: vemos que 0.899 < 0.9, porque la primera cifra decimal del primero es 8 que es menor que la primera cifra decimal del segundo, que es 9. Entonces 0.899 est en el intervalo.

Cuando un nmero est en un intervalo decimos que"pertenece" al intervalo, de otra manera decimos que "nopertenece" al intervalo.

Para trabajar con intervalos son tiles los smbolos > y 1.3 ySi x < 1.1.

Por ejemplo, nos preguntamos cules de los siguientesnmeros pertenecen al intervalo (-1.3, 1.1):

2.8, 0.98, 0.5, 0.5, 4, 1.2, 1.09, 1.10.

2.8 >1.3 pero no es menor que 1.1, as que 2.8 no pertenece a (1.3, 1.1).

0.98 > 1.3, y tambin 0.98 < 1.1, as que 0.98 s pertenece al intervalo (1.3, 1.1).

37

LECCIN 3

Al revisar los otros nmeros encontramos que:

Los intervalos que hemos considerado hasta ahora en nuestrosejemplos son intervalos abiertos: en ellos no estn incluidos losextremos. Algunas veces queremos que el intervalo s incluya asus extremos. Por ejemplo, si queremos referirnos al conjunto de nmeros formado por el 2, el 5 y todos los nmeros que estn entre los dos, escribimos [2, 5] y decimos que [2, 5] es unintervalo cerrado. Observe que la diferencia en la notacin estdada por la forma de los parntesis: aqu usamos parntesiscuadrados, tambin llamados corchetes. Podemos representar un intervalo cerrado as:

Para comprobar si un nmero x est en un intervalo cerrado, digamos el intervalo [-2.3, -1.4], necesitamos comprobar dos cosas:

38


0.5 pertenece a (1.3, 1.1) porque 0.5 > 1.3 y 0.5 < 1.10.5 pertenece a (1.3, 1.1) porque 0.5 > 1.3 y 0.5 < 1.14 no pertenece a (1.3, 1.1) porque 4 < 1.31.2 no pertenece a (1.3, 1.1) porque 1.2 > 1.11.09 pertenece a (1.3, 1.1) porque 1.09 > 1.3 y 1.09 < 1.11.10 no pertenece a (1.3, 1.1) porque 1.10 = 1.1

Que x sea mayor o igual que el extremo inferior.Esto lo escribimos as: a 2.3Que x sea menor o igual que el extremo inferior.Esto lo escribimos as: a 1.4

2 5

Por ejemplo, veamos si los siguientes nmeros pertenecen alintervalo [2.3, 1.4]:

1.8, 0, 1.2, 1.2, 2.3, 2.6, 1.4, 1.5

Al analizar cada uno observamos que:

Combinando las notaciones anteriores podemos escribir intervalos semi-abiertos, es decir intervalos que contienen sloun extremo. Por ejemplo, el intervalo

[3, 7) contiene al nmero 3, y a todos los nmeros mayores que 3 y menores que 7. Es decir, xpertenece al intervalo [3, 7) si x 3 y si x < 7. Decimos que [3, 7) es un intervalo abierto por la derecha.

(3, 7] contiene a todos los nmeros mayores que 3 y menores que 7 y tambin al nmero 7. Es decir,x pertenece al intervalo (3, 7] si x > 3 y si x 7. Decimos que (3, 7] es un intervalo abierto por la izquierda.

39

LECCIN 3

1.8 pertenece a [2.3, 1.4] porque 1.8 2.3 y 1.8 1.40 no pertenece a [2.3, 1.4] porque 0 > 1.41.2 no pertenece a [2.3, 1.4] porque 1.2 > 1.41.2 no pertenece a [2.3, 1.4] porque 1.2 > 1.42.3 pertenece a [2.3, 1.4] porque 2.3 2.3 y 2.3 1.42.6 no pertenece a [2.3, 1.4] porque 2.6 < 2.31.4 pertenece a [2.3, 1.4] porque 1.4 2.3 y 1.4 1.41.5 pertenece a [2.3, 1.4] porque 1.5 2.3 y 1.5 1.4

En cada inciso, indique si el nmero de la izquierda pertenece alintervalo de la derecha:

a) 0.9 (1.7, 2.3)

b) 1.56 (1.5, 1.5)

c) 1.31 (1.3, 2)

d) 2.08 (2.079, 2.081)

En general, si llamamos a y b a dos nmeros cualesquiera y a< b, tenemos:

40


Contiene

x pertenece al

intervalo si:x > ax < b

x ax b

x ax < b

x > ax b

A todos losnmeros mayores que a ymenores que b.Los extremos a yb no pertenecenal intervalo.

A los nmeros a, b y a todoslos que son mayores que a ymenores que b.Los extremos ay b pertenecenal intervalo.

Al nmero a, y a todos losque son mayoresque a y menoresque b.El extremo apertenece alintervalo, b nopertenece a l.

A todos losnmeros mayores que ay menores que by al nmero b.El extremo ano pertenece alintervalo, b spertenece a l.

Representacin

en smbolos

Representacin

grfica

(a, b) [a, b] [a, b) (a, b]

Intervalo abierto Intervalo

cerrado

Intervalo abierto

por la derecha

Intervalo abierto

por la izquierda

a b a b a b a b

Ejercicio 2

e) 3.5 (5, 5)

f) 0.00001 (0, 0.5)

g) 9.0001 (15, 9.01)

h) p (3.1, 3.2)

i) p (4, 2)

j) p ( p , p )

k) 2 (0, p )l) 2.38 (2.3, 1.8)

m) 5 (5, 10]

n) 8 [8, 24]

o) 6 [6, 0)

p) 0 [6, 0)

q) 3.28 (3, 3)

r) 1/2 [0, 1]

s) -5/2 (1, 0)

t) 3.5 [3, 3.5)

u) 2.7 (3, 2)

v) 1.799 (1, 1.8)

w) 3.0001 (3, 4)

x) 128.16 (345.12, 128.17]

41

LECCIN 3

42


Leccin 4: ProporcionalidadLa proporcionalidad es un tema que hemos venido estudiandodesde el primer grado de secundaria, sobre todo en la leccin 7del segundo curso. La idea de proporcionalidad se sita dentro de una relacin entre dos clases de cantidades o medidas. Unavez que se establece la relacin es posible decir si en ella existe proporcionalidad o no. Veamos algunos ejemplos.

Mayra y Lety fueron a comprar dulces, Mayra compr 6 caramelos y pag $0.15. Lety se llev 12 caramelos y pag $0.30.

Como vemos, en este ejemplo hay una relacin entre la cantidad de dulces y lacantidad de dinero que se pagapor ellos. Adems esta relacincumple una propiedad que lacaracteriza de manera especial.Observemos que Lety compr eldoble de caramelos que Mayra,ya que 12 es el doble de 6, perotambin Lety pag 30 centavos,que es el doble de lo que pag

43

Mayra. En esta relacin vemos que a ms caramelos, ms es lo que hay que pagar y no slo esto, sino que el aumento es proporcional.

Otros ejemplos de este tipo de relaciones son las tablas de precios que tienen algunas taqueras o tortilleras, o los negocios de fotocopiadoras. A las relaciones de este tipo se les llama relaciones directamente proporcionales.

Nacho y Manuel tienen cada uno un tanque para almacenar agua, y ambos tanques son idnticos. Para llenarlos tienen que caminar al pozo, llenar sus cubetas y regresar a su casa para vaciarlas en su tanque. Nacho tiene una cubeta de 10 litros, Manuel tiene una cubeta de 20 litros. Por esta razn, cuando el tanque est vaco, para llenarlo Nacho da 10 vueltas mientras que Manuel slo da 5 vueltas.

Al analizar este ejemplo observamos que hay una relacinentre la capacidad de las cubetas y el nmero de vueltas que hay que dar para llenar tanques iguales. Cuando las cubetas sonms grandes se requiere dar menos vueltas. En esta relacin, a diferencia de la del primer ejemplo, a ms capacidad de las cubetas menos vueltas hay que dar. Por esto decimos que es una relacin inversa, pero adems el aumento en la capacidad se relaciona con la disminucin en el nmero de vueltas proporcionalmente, ya que cuando la capacidad de las cubetas es el doble, el nmero de vueltas se reduce a la mitad. En cadaviaje Nacho acarrea 10 litros, mientras que Manuel lleva 20 litros,el doble. As mismo Nacho da 10 vueltas mientras que Manuel da5 vueltas, la mitad.

LECCIN 4

Otro ejemplo de este tipo de relaciones sucede cuando dosvehculos recorren una misma distancia a diferentes velocidades.El que viaja a mayor velocidad se llevar menos tiempo en hacerel recorrido, el que viaja a menor velocidad tardar ms en llegar. A este tipo de relaciones se les llama inversamente proporcionales.

En las siguientes secciones estudiaremos algunas propiedadesde relaciones tanto directa como inversamente proporcionales.Presentaremos ejemplos y situaciones cuyo conocimiento nospuede facilitar la resolucin de problemas. Conviene aclarar queno cualquier relacin es directa o inversamente proporcional: hayrelaciones que no son proporcionales. El siguiente es un ejemplode relacin que no es proporcional:

El rea de un crculo est dada por la frmula A = p r2.Entonces si tenemos un crculo de radio 3 cm y usando para p la aproximacin 3.1416, el rea es igual a 28.2744 cm2.Si tomamos una circunferencia del doble de radio, esto es de radio 6 cm, al sustituir en la frmula y hacer los clculosresulta que el rea es 113.0976 cm2, que no es el doble de28.2722. Si bien es cierto que a mayor radio, mayor rea, el aumento no es proporcional al aumento del radio.

Proporcionalidad directa

El primer ejemplo de la seccin anterior es un ejemplo de proporcionalidad directa. Para estudiar las propiedades de estetipo de relacin vamos a ver el caso de la venta de caramelos y completaremos los datos que faltan en esta tabla.

44


Observemos que hay tres columnas completas: las que relacionan 6 caramelos con 15 centavos, 12 caramelos con 30 centavos y 60 caramelos con 150 centavos (o, lo que es lo mismo, con $1.50).

Si consideramos el cociente de cantidad a pagar entre el nmero de caramelos comprados, tenemos Como podemos observar, todos estos nmeros son el mismo: estn expresados como fracciones distintas peroequivalentes. De hecho todas corresponden al decimal 2.5.

En cualquier relacin directamente proporcional se cumpleeste hecho: que el cociente de dos cantidades relacionadas essiempre el mismo, en este caso 2.5. A este cociente se le llamavalor unitario o constante de proporcionalidad. En este ejemplola constante de proporcionalidad representa el precio en centavosde cada caramelo. Como ya se sabe que cada caramelo cuesta 2.5 centavos, para encontrar cunto se debe pagar por 18caramelos slo se requiere multiplicar el valor 2.5 por 18. Al hacer la multiplicacin encontramos que 18 x 2.5 = 45. Hay que pagar 45 centavos.

Otra manera de razonar es la siguiente: 18 es el triple de 6, entonces hay que pagar el triple de lo que se pag por 6 caramelos, esto es, 3 x 15 = 45.

Con cualquiera de estos procedimientos podemos completarla tabla para 90 y 120 caramelos. Como 90 x 2.5 = 225.0, por 90

45

Caramelos

A pagar encentavos

6

15 30 0 60 90

12 18 9060 120

150($1.50)

270($2.70)

LECCIN 4

15

6

30

12150

60= = .

caramelos se pagan 225 centavos (es decir, $2.25), mientras quepor 120 caramelos se pagan 120 x 2.5 = 300 centavos (es decir,$3.00).

Existe otra relacin importante que cumplen las relacionesdirectamente proporcionales. Al dividir dos cantidades en unamisma clase, el cociente obtenido es el mismo que al dividir suscorrespondientes en la otra clase. Por ejemplo, si nos fijamos en la clase de los caramelos y dividimos 12 6 = 2, tambin sus correspondientes precios, que son 30 y 15, dan 2 al dividirse. Lo que estamos comprobando aritmticamente es algo que yasabamos: como 12 es el doble de 6, 30 es el doble de 15.

Veamos otro caso, tomemos dos cantidades en el rengln de los caramelos y dividamos una entre otra: 120 90 = 1.333,ahora consideremos los correspondientes precios: 300 y 225, altomar su cociente resulta 300 225 = 1.333 Lo que se tiene aqu es que como 120 es 1.333 veces 90, lo que se paga por 120 es 1.333 veces lo que se paga por 225.

Para completar los datos que faltan en la tabla, que son lacantidad de caramelos que se pueden comprar con 60, 90 y 270 centavos, podemos utilizar el valor unitario. Si cadacaramelo cuesta 2.5 centavos, con 60 centavos se pueden com-prar 60 2.5 = 24 caramelos.

Para resumir lo que se ha discutido aqu observemos que:

El nmero de caramelos multiplicado por 2.5 nos da la cantidad que se pagar.

La cantidad pagada entre 2.5 nos da la cantidad de caramelos comprados.

46


Cualquier cantidad pagada entre el nmero de caramelos comprados con ella da 2.5.

Termine de completar la tabla de los caramelos del primer ejemplo.

La siguiente tabla se refiere a la cantidad de sacos de abono quese requieren para abonar diferentes reas de cultivo de acuerdo con su medida en metros cuadrados. Complete la tabla y obtengala constante de proporcionalidad.

47

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Cantidad detierra en m2

Cantidad deabono en sacos

1

3 5

2 10 15 50

25

75

13.5 42

LECCIN 4

Regla de tres

En esta seccin veremos una manera corta de resolver algunosproblemas de proporcionalidad directa, llamada la regla de tres.Cuando se sabe que una relacin entre dos clases de objetos esde proporcionalidad directa y se conocen tres datos, es fcilencontrar el cuarto. Veamos algunos ejemplos.

Cuatro camisas cuestan $300. Cunto cuestan cincocamisas?

Podemos acomodar la informacin de la siguiente manera:

Camisas: 4 5Costo: 300 ?

Llamemos x al costo de las 5 camisas. Entonces tenemos:

Camisas: 4 5Costo: 300 x

A este acomodo lo podemos leer de la siguiente manera:"cuatro es a trescientos como cinco es a x". Podemos encontrar x buscando primero la constante de proporcionalidad, que es el precio de una camisa, as: 300 4 = 75, y luego multiplicandoese resultado por 5, as: 75 x 5 = 375. Entonces, cinco camisas

48


cuestan $375. Observe que el resultado de 375 se obtuvo de hacerlas operaciones x 5 y que otra manera de expresar las operaciones es as: .

Dicho de otra manera, si consideramos nuestro acomodo inicial,

Camisas: 4 5Costo: 300 x

podemos encontrar el valor de x multiplicando los dos datos existentes en la diagonal en la que no est la x y dividiendo entre el tercero:

x = = = 1500 4 = 375

Veamos otro ejemplo.

Cunto recorre un automvil en 90 minutos si viaja a 80 kilmetros por hora?

Si ahora llamamos x a lo que el automvil recorre en 90 minutos, podemos acomodar la informacin as:

49

300 x 54

3004

300 x 5

4

1500

4

LECCIN 4

Distancia: x 80Tiempo: 90 60

Entonces encontramos el valor de x multiplicando los dos datos existentes en la diagonal en la que no est la xy dividiendo entre el tercero:

x = = = 7200 60 = 120

El automvil recorre 120 kilmetros en 90 minutos.

Observe que con esta regla no importa cul es el cuarto dato faltante. Por ejemplo, podemos preguntarnos cunto tiempotarda el mismo automvil del ejemplo anterior en recorrer 50kilmetros. Entonces tenemos:

Distancia: 50 80Tiempo: x 60

Y ahora la regla de tres se resuelve as:

x= = = 37.5

El automvil tarda 37 minutos y medio en recorrer los 50kilmetros.

Tambin podemos preguntarnos a qu velocidad viaja unautomvil que recorre 125 Km en una hora y cuarto. Podemosresolver este problema de dos maneras. O bien traducimos todo a minutos, entonces tenemos que una hora y cuarto son 60 + 15 = 75 minutos, y la regla de tres queda as:

50


50 x 60

80

3000

80

90 x 80

60

7200

60

Distancia: 125 xTiempo: 75 60

y la solucin es:

x= = =100,

o bien expresamos todo en horas y la regla de tres queda as:

Distancia: 125 xTiempo: 1 1

y la solucin es:

x = = = = x = = = 100.

De cualquier modo, encontramos que la velocidad delautomvil era de 100 kilmetros por hora. Observe que pararealizar la regla de tres, necesitamos que las unidades de los elementos de la misma clase fueran siempre las mismas: todas las distancias en kilmetros y todos los tiempos o bien en minutos o bien en horas.

Encuentre, por regla de tres, el valor de x en los siguientes arreglos:

a) 15.6 x b) 91 3.9 c) x 1700 d) 548 1537.2 8.4 x 2.4 25 510 8.1 x

51

125 x 60

75

7500

75

125 x 11

41

1255

4

125

1

125 x 4

1x5

125

1

5

4

4

5500

5

Ejercicio 3

LECCIN 4

1

4

Resuelva, por regla de tres, los siguientes problemas de proporcionalidad directa:

a) Si dos tacos cuestan $3.00, cuntos tacos podrn comprarse con $36.00?

b) Si una llave de agua llena tres cuartas partes de un tanque en 24 minutos, cunto tardar el tanque en llenarse?

c) Si un mantel mide 1.20 m de ancho por 1.80 m de largo, qu ancho tendr un mantel de la misma proporcin si de largo mide 1.50 m?

d) Si 46 personas caben en dos autobuses, cuntos autobuses se necesitan para transportar a 115 personas?

Proporcionalidad inversa

En esta seccin profundizaremos en algunos aspectos de las relaciones de proporcionalidad inversa. Para ello volveremos al segundo ejemplo de la primera parte de esta leccin, el de las cubetas. Mostraremos la informacin conocida en una tabla y dejaremos algunos datos sin revelar para irlos obteniendo deacuerdo con las propiedades que encontremos.

52


Capacidad decada cubeta

No. de vueltas

1

12.5 10 5

2 10 20 40 50

4

Ejercicio 4

En esta relacin ya no se cumple lo que pasaba con loscaramelos de la seccin anterior. Por ejemplo tomamos en elrengln de capacidad de las cubetas y dividimos 20 10 = 2, las correspondientes vueltas son 5 y 10, respectivamente, pero 5 10 = , que no es igual a 2. Esto sucede porque la relacin es proporcional pero no directa, sino inversa, y podemos decirque los cocientes o razones obtenidos son inversos: 2 y .

Otra relacin que se puede encontrar es que al multiplicar lacapacidad de las cubetas por el nmero de vueltas es el mismo,por ejemplo aqu tenemos 10 x 10 = 20 x 5 = 100. Este dato nosda informacin acerca de lo que acarrea cada cubeta en total,esto es 100 litros por cubeta. Con este dato ya es fcil completarla tabla, por ejemplo con la cubeta de 1 litro, se necesitan 100 1 = 100 vueltas. Para la de 2 litros se requieren 100 2 = 50vueltas.

Tambin podemos saber la capacidad de las cubetas deacuerdo al nmero de vueltas, si se usaron 4 vueltas para llevar

53

12

12

LECCIN 4

100 litros, en cada vuelta se llevaron 100 4 = 25 litros. La capacidad de la cubeta es 25 litros.

En resumen tenemos:

El cociente de 100 entre el nmero de vueltas nos da la capacidad de cada cubeta.

El cociente de 100 entre la capacidad de una cubeta nos da el nmero de vueltas.

Al multiplicar la capacidad de una cubeta por su correspondiente nmero de vueltas, se obtiene siempre 100.

Cabe sealar que en las relaciones de proporcionalidad inversa no se puede aplicar la regla de tres como fue expuesta en la seccin precedente.

Complete la tabla de las cubetas y las vueltas.

La siguiente tabla muestra las velocidades de distintos vehculos y el tiempo que tardan en viajar de Cuitzeotln a Mirabampo.Complete la tabla y encuentre la distancia entre Cuitzeotln yMirabampo.

54


Velocidad delvehculo

Tiempo quetarda

24 8 4

20 45 8075 100 120

3.2 2.4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Variaciones proporcionales y no proporcionales

Consideraremos ahora otros ejemplos.

En la tienda de abarrotes de don Hilario aparece un letrero que dice "Ventas al mayoreo y menudeo, pregunte por nuestros precios". Un cliente que quiere comprar arroz pide a don Hilario que le d 9 kilos de arroz. Don Hilario le dice que son $45, pero que por esta misma cantidad de dinero se

55

LECCIN 4

puede llevar 10 kilos. El cliente no entiende nada y pide a don Hilario que le explique. Para ello don Hilario le muestra una tabla como sta:

Don Hilario explica a su cliente que a partir de 10 kilos lconsidera que es compra al mayoreo y baja el precio por kilo. Si observamos bien, al dividir el precio entre la cantidad en lasprimeras 9 columnas, siempre obtenemos el mismo resultado, 5, por ejemplo 30 6 = 40 8 = 5, etc. ste es el precio por kilo si se compran de 1 a 9 kilos. Para estas cantidades existe proporcionalidad.

En cambio, a partir de 10 tenemos otras relaciones:

45 10 = 4.5, 132 30 = 4.40, 200 50 = 4,88 20 = 4.40, 160 40 = 4, 400 100 = 4.

Esto es, el precio del kilo de arroz vara segn se compre mso menos.

Esta relacin no es directamente proporcional por lo que acabamos de ver. Tambin podemos notar que no es directamente proporcional si observamos que por 10 kilos sepagan $45, mientras que por 20 kilos, que es el doble de 10, no se paga el doble, que sera 90, sino $88.

Otro ejemplo de una proporcin que no es directamente proporcional es el siguiente.

56


1

5 10 15 20 25 30 35 40 45 45 88

2 3 4 5 6 7 8 9 10 20

132

30

160

40

200

50

400

100

El volumen de un tanque cilndrico se calcula sacando el reade la base por la altura. De hecho, si r es el radio del crculo que es la base del tanque y h es la altura, el volumen est dado por la frmula

V = p x h x r 2

Con esta frmula vamos a obtener algunos volmenes de cilindros de 50 cm de altura y de diferentes radios, y vamos a mostrar esta informacin en una tabla. Para p usaremos la aproximacin 3.14 y redondearemos los resultados a una cifra decimal.

Para ver que no se trata de una relacin directamente proporcional, observaremos un solo caso. Por ejemplo para 25 cmde radio el volumen del cilindro es 98125 cm3; mientras que paraun radio del doble de tamao, esto es, de 50 cm, el volumen es392500, que no es el doble de 98125. Con esto basta para saberque la relacin no es directamente proporcional.

Las siguientes tablas muestran distintas relaciones entre cantidades de dos clases, algunas son proporcionales y otras no.Entre las proporcionales, algunas son directas y otras son inversas.

57

LECCIN 4

r encm

10 20 25 30

141300

35

192325

40

251200

48

361730

50

392500

75

883125V encm3

15700 62800 98125

Ejercicio 7

Identifique de qu tipo es cada relacin y justifique su respuesta.Cuando la relacin sea directamente proporcional, indique cul esla constante de proporcionalidad.

a) Se sabe que la reproduccin de cierta clula es por biparticiny que el proceso se repite cada 24 horas. La siguiente tabla muestra la cantidad de clulas despus de diferentes cantidades de das.

b) La cantidad de harina que se requiere para hacer 20 galletas es una taza. La siguiente tabla muestra la cantidad de harina necesaria para que, con la misma receta, se hagan diferentes cantidades de galletas.

c) El permetro de un cuadrado vara de acuerdo al lado y la frmula para calcular el permetro es P = 4l . La tabla siguiente muestra el permetro de algunos cuadrados de acuerdo al lado en metros.

58


Das

Cantidadde clulas

1

2

2

4

3

8

4

16

5

32

6

64

7

128

8

256

9

512

Harina entazas

Cantidadde galletas

10

1

20 30

2

40 50

3

60 70

4

80

5

100

12

121

122

123

l

P

0.10

0.40

0.20

0.80

0.30

1.20

0.40

1.60

0.50

2.00

1.00

4.00

1.20

4.80

1.40

5.60

1.50

6.00

d) La cantidad de gasolina que gasta un automvil vara de acuerdo con la velocidad a la que viaja el automvil. La siguiente tabla muestra cuntos kilmetros por litro de gasolina rinde cierto automvil, segn la velocidad a la que viaja (en kilmetros por hora).

e) Para almacenar las cajas en las que se vende cierto producto, se pueden acomodar los lotes sobre rectngulos que tienen diverso ancho y largo. La siguiente tabla muestra las dimensiones (en metros) que ocupan distintos lotes.

f) El uso del polvo de hornear vara segn la altitud sobre el nivel del mar a la que se utiliza. La siguiente tabla muestra la cantidad de polvo de hornear (en cucharaditas) que se debeutilizar para hornear cierto pastel, de acuerdo con la altitud sobre el nivel del mar (en metros).

59

LECCIN 4

Velocidad

Rendimiento

40

9.8

60

10.7

80

17.5

100

16.8

120

12.3

140

11.1

Largo

Ancho

4

3

5

2.4

6

2

8

1.5

10

1.2

12

1

Altitud

Polvo dehornear

0

2

500 1000 1500 1000 2500 3000 3500 4000

1781

341

581

121

381

141

181

60


Leccin 5: PorcentajesEn las lecciones anteriores estudiamos relaciones de proporcionalidad directa e inversa. En esta leccin estudiaremos una relacin de proporcionalidad directa especial: los porcentajes.

Encontramos los porcentajes en muchas facetas de nuestravida, como los descuentos, los impuestos, los intereses del banco,las estadsticas en general y otras muchas situaciones. En estaleccin estudiaremos cmo usar y resolver problemas en los queintervienen porcentajes. Para ello, veremos algunos ejemplos.

Muchas veces, en los productos que se venden en las tiendas podemos leer sus contenidos en porcentajes. Por ejemplo algunas mermeladas tienen leyendas como 30% de fruta natural, o 25% de fruta. Qu significa esto?

El porcentaje es una proporcin. El nmero 25%, que se lee"veinticinco por ciento", significa 25 de cada 100. Pero, de cules100? En general, en los productos alimenticios, el 100 se refiere a100 gramos: si una mermelada tiene 25% de fruta eso significaque de cada 100 gramos de mermelada, 25 gramos son de fruta ylo dems son agua, azcar y otros ingredientes. En lugar de 25%

de fruta, el envase podra decir 25 gramos de fruta por cada 100gramos de mermelada. Si otra mermelada tiene el 30% de nuevosignifica que de cada 100 gramos, 30 corresponden a fruta.

Pero, por qu no poner simplemente 30 gramos de fruta, enlugar de decir 30% de fruta? En parte esto se debe a que en casoscomo ste, los porcentajes son usados como una medida de lacalidad: la mermelada que ms fruta contiene proporcionalmente,ser de mayor calidad y al hablar en porcentajes, no importa eltamao del envase y es ms fcil comparar calidades.

Supongamos que queremos decidir entre una mermelada que tiene 30% de fruta, como la del ejemplo anterior, y una mermelada en envase de 200 gramos que dice tener 40 gramos de fruta. En un primer momento podramos pensar que sta es de mejor calidad que la primera que vimos porque tiene msfruta, sin embargo tambin tiene ms agua y azcar, porque son200 gramos. Para hacer la comparacin necesitamos considerar cantidades iguales, por ejemplo 100 gramos de mermelada.Tomaremos entonces slo la mitad del envase de la segunda mermelada, es decir 100 gramos, por lo tanto tenemos la mitad de fruta, es decir 20 gramos de fruta. En realidad esta mermelada tiene 20% de fruta, o sea que es de menor calidad que la que contiene 30% de fruta.

61

LECCIN 5

Veamos otro ejemplo:

Una tienda departamental anuncia que todos sus productos lcteos estn con un 40% de descuento. Esto significa que de cada 100 pesos de compra de estos productos, se van a descontar $40. Como sabemos que el porcentaje es una relacin directamente proporcional, si gastamos el doble, la cantidad de dinero descontada es el doble, si gastamos $200, el monto del descuento se duplica: $80. Si se compra slo $50, la mitad de 100, el monto del descuento ser de la mitad, es decir,$20. Vamos a presentar estos resultados en una tabla:

Podemos observar que 50 x 0.40 = 20; 100 x 0.40 = 40; 200 x 0.40 = 80. Lo que vemos es que para obtener el 40% de descuentos de una cantidad, debemos multiplicar sta por 0.40o, lo que es lo mismo, por . El valor 0.40 tambin puedeobtenerse al dividir cada descuento entre la cantidad original correspondiente: 20 50 = 40 100 = 80 200 = 0.40. Yahabamos visto en la leccin de proporcionalidad directa, que este resultado, que siempre es el mismo, es el valor unitario oconstante de proporcionalidad. As, para obtener el 40% de 10, podemos realizar la multiplicacin 0.40 x 10 = 4. Esto es, el 40%de 10 es 4.

Otra manera de resolver este tipo de problemas es medianteuna regla de tres, puesto que tenemos una proporcionalidaddirecta. As, por ejemplo, para obtener el 40% de 10, podemosdecir "40 es a 100 como x es a 10":

62


40100

Precio

40% de descuento

10

6

28 50

20

100

40 48

140

64

200

80

Descuento: 40 xPrecio: 100 10

y entonces tenemos que:

x = = = 4

Lo que acabamos de ver es que hay dos maneras de calcularel "tanto por ciento" de un nmero: o bien se multiplica esenmero por el tanto por ciento dividido entre cien, o bien serazona mediante una regla de tres. Veamos con las dos manerascmo calcular el 40% de 28, cantidad a la que llamaremos t:

t = 0.40 x 28 Descuento: 40 tt = 11.20 Precio 100 28

t = = 11.20

Tambin se puede utilizar cualquiera de las dos maneraspara encontrar que el 40% de 140 es 56.

Otra clase de problemas que se presentan cuando se trabajacon porcentajes, es cuando se conoce el resultado de aplicar elporcentaje pero no la cantidad inicial. Tenemos esa situacincuando conocemos la cantidad descontada correspondiente al 40% de una cantidad original pero esa cantidad original esdesconocida. Por ejemplo en la tabla vemos que 6 es el 40% de descuento pero no sabemos de qu cantidad. Veamos dos maneras distintas de resolver este problema.

63

LECCIN 5

28 x 40

100

40 x 10

100

400

100

64


Podemos plantear una ecuacin, como se hizo en gradosanteriores. Si llamamos x a la cantidad desconocida, lo que tenemos es que el 40% de x es 6, es decir:

0.40 x x = 6

Para resolver la ecuacin necesitamos despejar la incgnita,x. Para ello hay que dejarla "sola" de un lado de la ecuacin, loque se logra "deshaciendo" el efecto de las operaciones que laestn afectando. Aqu aparece multiplicada por 0.40, as que para"deshacer" este efecto dividimos entre 0.40, y aplicamos estaoperacin en ambos lados de la igualdad para que no se altere:

=

y de ah obtenemos x = 15.

La otra manera de resolver el problema es nuevamente usando una regla de tres: ahora el razonamiento es "40 es a 100 como 6 es a x":

Descuento: 40 6Precio: 100 x

Y entonces podemos resolver la regla de tres:

x = = = 15

Hemos entonces resuelto de dos maneras distintas que 6 es el 40% de 15. Veamos en paralelo cmo se resuelve con las dosmaneras el siguiente problema: de cunto es 40% la cantidad de 36? Llamemos y a esa cantidad.

0.40 x x

0.406

0.40

100 x 6

40

600

40

0.40 x y = 36 Descuento: 40 36Precio 100 y

=

y = 90 y = =90

Tambin se puede utilizar cualquiera de las dos maneraspara encontrar que 48 es el 40% de 120.

Aqu tenemos la tabla del 40% de descuento completa:

Como hemos visto en el ejemplo, para obtener el 40%podemos multiplicar por 0.40, o lo que es lo mismo, , esto es 40 centsimos. Para obtener el 50% debemos multiplicar por 0.50 , para obtener el 24% por 24 centsimos, 0.24, para obtener el 4% se debe multiplicar por 4 centsimos, esto es por 0.04. As, por ejemplo,

El 65% de 35 es igual a 0.65 x 35 = 22.75El 3% de 284 es igual a 0.03 x 284 = 8.82

Veamos por ltimo otra clase de problemas que se presentancon frecuencia con respecto a los porcentajes. En este caso nosinteresa saber qu porcentaje es una cantidad de otra.Consideremos un ejemplo:

65

LECCIN 5

40

100

50

100

0.40 x y

0.4036

0.40

36 x 100

40

Precio

40% dedescuento

10

4

15

6

28

11.20

50

20

100

40

120

48

140

56

160

64

200

80

66


En una comunidad tienen 400 hectreas, de las que 60 son de bosque y 150 de pastizal. Qu porcentaje del terreno ocupa el bosque? Qu porcentaje del terreno ocupa el pastizal?

Como en los casos anteriores, resolveremos el problema delbosque de dos maneras. De acuerdo con la primera, plantearemosuna ecuacin: supongamos que w es el porcentaje del terreno queocupa el bosque. Entonces, tenemos que 60 es el w % de 400, loque se puede expresar de la manera siguiente:

x 400 = 60

Para despejar esta ecuacin debemos "deshacer" las operaciones que afectan a w, que son una multiplicacin por

w

100

400 y una divisin entre 100, y debemos aplicar las operacionesinversas de ambos lados de la igualdad para que sta se conserve:

x 400 400 = 60 400

=

= 0.15

= 0.15 x 100

w = 15

Encontramos entonces que las 60 hectreas de bosque son el 15% del total de las 400 hectreas que tiene la comunidad.

La segunda manera en que podemos resolver este problemaes utilizando una regla de tres. Como ahora queremos saber 60 de 400 qu porcentaje es, nuestro razonamiento es "60 es a 400como w es a 100":

Bosque: 60 wTerreno: 400 100

Y entonces resolvemos la regla de tres:

w = = = 15

Con lo que obtenemos el mismo resultado que con el otromtodo.

Veamos con los dos procedimientos cmo resolver el problema del pastizal: ahora diremos que las 150 hectreas de pastizal son el z% de las 400 hectreas del terreno.

67

LECCIN 5

W x 100

100

W

100

W

100

60

400

W

100

60 x 100

400

6000

400

x 400 = 150 Pastizal 150 z

x 400 400 = 150 400 Terreno 400 100

= 0.375 z = = = 37.5

= 0.375 x 100

z = 37.5

Es decir, el pastizal constituye el 37.5% del terreno de lacomunidad.

Haga una tabla para encontrar el 26% de 10, 20, 30, hasta 100.

Haga una tabla para encontrar el 4% de 15, 30, 45, 60, 75, 90,105, 120, 135, 150.

Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar:a) el 21% de 143 c) el 15% de 620 e) el 95% de 52b) el 5% de 218 d) el 8% de 18973 f) el 1% de 872

68


z

100

z

100

z

100

z X 100

100

150 X 100

400

15000

400

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar:

a) De qu cantidad es 56 el 7%.b) De qu cantidad es 328 el 42%.c) De qu cantidad es 0.5 el 20%.d) De qu cantidad es 3.2 el 87%.e) De qu cantidad es 42.7 el 2%.f) De qu cantidad es 12 el 12%.

Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar:

a) Qu porcentaje es 60 de 1200.b) Qu porcentaje es 893.5 de 1512.c) Qu porcentaje es 75 de 56400.d) Qu porcentaje es 12 de 12.e) Qu porcentaje es 15 de 150000.f) Qu porcentaje es 260 de 130.

En una tienda ofrecen el 35% de descuento en todas las lmparas.Complete las celdas vacas de la siguiente tabla.

69

LECCIN 5

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

En una tienda de abarrotes venden jalea de frutas. La marca"Frutita" ofrece la misma calidad en todas sus presentaciones. En el frasco de 500 g la etiqueta dice: "contiene 45% de fruta".

a) Qu porcentaje de fruta tendr el frasco de 250 g?b) Qu cantidad de fruta tendr el frasco de 250 g?

Como usted sabe, el Impuesto al Valor Agregado (IVA) es de 15%.a) Cunto se debe pagar de IVA por un artculo que cuesta $56?b) Si por un artculo se pag $4.50 de IVA, cunto cuesta el artculo sin IVA y cunto cuesta con IVA?c) Por un artculo se pag $716.45 con todo e IVA. Cunto cost el artculo sin IVA y cunto se pag de IVA? (Sugerencia:el precio del artculo con todo e IVA es el 115% del precio sin IVA.)

En qu porcentaje aumentaron el precio de un producto si antesvala $26.50 y ahora vale $29.90?

70


Precio delartculo en

pesos

35% dedescuento

38 52

21

84

31.50

95 120

Cantidad apagar

45.50 65

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Leccin 6: Reparticin proporcionalLa reparticin proporcional es un tipo de problemas que se presentan cuando hay que repartir una cantidad proporcionalmentea otra. Para ver cmo es esto, consideremos el siguiente ejemplo:

Juan, Pedro y Camilo aceptaron un trabajo y decidieron que cada uno cobrara de acuerdo con las horas trabajadas. Cuando terminaron, haban anotado: "Juan 20 horas, Pedro 12 horas y Camilo 8 horas". Cuando recibieron $800 como pago total deban hacer una reparticin proporcional, de manera que cada uno recibiera una cantidad conforme al tiempo trabajado.

71

LECCIN 6

Considerando que les haban pagado $800 por un total de 40horas, elaboraron la siguiente tabla:

En la tabla, lo que debe cobrar cada cual est representadocon las letras c, p y j. Para poder completar la tabla, o sea sustituir esas letras por sus respectivos valores, podemos considerar el caso de cada trabajador por separado.

Tenemos una variacin directamente proporcional, puestoque el pago en pesos est proporcionalmente relacionado con las horas trabajadas. Es decir, se estn relacionando cuatro cantidades que son proporcionales. Conocemos tres de ellas ydebemos encontrar el valor de la cuarta. Podemos entonces usar la regla de tres. Entonces, para Camilo tenemos:

Horas trabajadas 8 40 c = = 160Pago en $ c 800

Por lo que Camilo recibe de pago $160.

De igual manera se pueden obtener las cantidades correspondientes a Juan y a Pedro.

72


Horas trabajadas

Camilo

8

Pedro

12

Juan

20

Total

40

Pago en $

c p j 800

8 x 800

40

Obtenga el pago que les corresponde a Juan y Pedro y con esosdatos complete la tabla del ejemplo.

En una secundaria han destinado la franja posterior del terrenopara hacer una huerta que tendr 90 m de largo. Deciden repartirla huerta, a lo largo, en tres franjas proporcionales al nmero degrupos por grado escolar, para que cada grupo sea responsable desus parcelas.

a) Complete la siguiente tabla.

b) Obtenga la constante de proporcionalidad. Qu significa en este contexto? Cmo se utiliza para calcular las longitudes de las parcelas?

Don Fulgencio desea repartir entre sus tres nietos, en forma proporcional a sus edades, las 36 ovejas que tiene. Cuntas

73

LECCIN 6

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Grado

Grupos

1

6

2

5

3

4

Total

Longitud dela parcela

90 m

ovejas recibirn Erandi, Emilio y Julio si tienen respectivamente 8, 6 y 4 aos?

Adems, don Fulgencio reparti, del mismo modo, entre suscuatro hijos el importe de venta de un terreno. Si Federico de 48 aos, recibi $1776, cuntos aos tiene Lupe que recibi $1480?

74


Ejercicio 4

Leccin 7: Propiedades de las operaciones con nmerosrealesEn las lecciones de aritmtica de este curso y los dos anterioreshemos visto las propiedades que tienen las operaciones entrenmeros naturales, enteros y racionales. Los nmeros realestienen en sus operaciones las mismas propiedades, y en esta leccin haremos un resumen de ellas como una manera de concluir el estudio de la aritmtica.

Es conveniente sealar que lo importante de estaspropiedades no es que usted las aprenda de memoria, sino que las pueda utilizar cuando sea necesario, por ejemplo paraabreviar algunos clculos o para despejar ecuaciones y que sepatambin qu tipo de operaciones no se pueden hacer.

En esta leccin, lea las propiedades que se enuncian y sigalos ejemplos. Los contenidos que aqu se abordan sern utilizadosen las lecciones de la siguiente unidad, y siempre podr ustedregresar a esta leccin para consultarlos.

75

LECCIN 7

Propiedades de la suma

La suma de nmeros reales, tambin llamada adicin, es unaoperacin que se efecta entre dos nmeros, pero se pueden considerar tambin ms de dos sumandos. Siempre que se tengan dos nmeros reales, se pueden sumar entre s. La suma tiene las siguientes propiedades:

Conmutatividad. La expresin usual de esta propiedad es: "el orden de los sumandos no altera la suma". Si a y b son dos nmeros reales, la conmutatividad se puede expresar as:

a + b = b + a

Ejemplos:

3.25 + 1.04 = 4.29, y tambin 1.04 + 3.25 = 4.29

15.87 + (2.35) = 13.52, y tambin 2.35 + 15.87 = 13.52

+ = = , y tambin + = =

Asociatividad. Si se tienen ms de dos sumandos, da igualcul de las sumas se efecte primero. Si a, b y c son tres nmerosreales, la asociatividad dice que:

a + (b + c) = (a + b) + c

76


2

51

2

4 + 5

10

9

10

1

2

5 + 4

102

5

9

10

Ejemplos:

0.021 + (0.014 + 0.033) = 0.021 + 0.047 = 0.068,y tambin (0.021 + 0.014) + 0.033 = 0.035 + 0.033 = 0.068

186.3 + (223.6 + 202.1) = 186.3 + (21.5) = 207.8,y tambin [186.3 + (223.6)] + 202.1 = 409.9 + 202.1 =207.8

+( + )= +( )= + = = ,

y tambin ( + )+ =( )+ = + = = Como da igual en qu orden se efecten las sumas, lo usual

es prescindir de los parntesis, y marcar slo a + b + c. En nuestros ejemplos, tenemos entonces 0.021 + 0.014 + 0.033,

o bien 186.3 + (223.6) + 202.1, o bien + + .

Las propiedades de la conmutatividad y la asociatividad sonutilizadas cuando en una suma "acomodamos" los sumandos parafacilitar el proceso. Por ejemplo, cuando compramos pan de dulceen una panadera, la dependienta va sumando los precios de lasdistintas piezas de tal modo que los resultados intermedios sean"cmodos". Digamos que las piezas que tenemos en la charola cuestan $1.50, $0.70, $0.80, $1.30, $0.50 y $1.20.

77

LECCIN 7

3

4

1

2

2

3

3

43 + 4

6

3

4

7

6

9 + 14

1223

12

3

4

1

2

2

3

3 + 2

4

2

3

5

4

15 + 8

12

23

12

3

4

1

2

2

3

2

3

Una manera en que se puede efectuar la suma mentalmentees esta:

1.50 + 0.70 + 0.80 + 1.30 + 0.50 + 1.20

2 + 2 + 2 = 6

Veamos otras propiedades de la suma:

Elemento neutro. El nmero real 0 sumado a cualquiernmero lo deja sin cambiar: si a es un nmero real, entonces

a + 0 = a

Ejemplos:

8763.218 + 0 = 8763.218

0 + (56.41) = 56.51

+ 0 =

Elemento inverso. Todo nmero real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el nmero y su inverso, el resultado es 0: si a es un nmero real, entonces

a + (a) = 0

Ejemplos:

El inverso aditivo de 87.36 es 87.36, porque 87.36 + (87.36) = 0

78


8

1418

141

El inverso aditivo de 4.13 es 4.13, porque 4.13 + 4.13 = 0

El inverso aditivo de es - porque + ( - ) = 0

La resta

La resta es la operacin inversa de la suma, es una operacinentre dos nmeros: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos nmeros reales, se pueden restar; por ejemplo:

12.3 18.7 = 6.4

minuendo sustraendo resta

Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de losnmeros. Las siguientes reglas pueden recordarle cmo es esto:

Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendoes mayor que el sustraendo, se efecta la resta y el resultado es positivo. Por ejemplo: 28.7 11.2 = 17.5

Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendoes menor que el sustraendo, se efecta la resta y el resultado es negativo. Por ejemplo: 11.2 28.7 = 17.5

Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efecta la suma de ambos nmeros y al resultado se le pone el signo menos. Por ejemplo: 28.1 11.2 = 39.3

79

LECCIN 7

7

167

16

7

16

7

16

Restar un nmero positivo es lo mismo que sumar un nmero negativo. Por ejemplo: 28.7 11.2 = 28.7 + (11.2) = 17.5

Restar un nmero negativo es lo mismo que sumar un nmero positivo. Por ejemplo:28.7 (11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3

28.7 (11.2) = 28.7 + 11.2 = 11.2 28.7 = 17.5

Observe que en el ltimo ejemplo hicimos varias transformaciones. Al efectuar la conversin -28.7 (11.2) = 28.7 + 11.2 utilizamos el hecho de que restar un nmero negativo(-11.2) es lo mismo que sumar su positivo. Despus consideramosla suma entre dos nmeros, 28.7 y 11.2, y por la conmutatividadde la suma la expresamos como 11.2 + (-28.7). Posteriormenteutilizamos el hecho de que sumar un nmero negativo (-28.7) es lo mismo que restar su positivo, por lo que 11.2 + (28.7) =11.2 28.7. Finalmente, tenemos una resta en que el minuendo y el sustraendo son positivos, as que efectuamos la resta y como28.7 es mayor que 11.2 le ponemos al resultado signo negativo.

Aunque la resta est muy emparentada con la suma, no tienetodas las propiedades de la suma. Por ejemplo, la resta no es unaoperacin conmutativa:

52.4 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 52.4 = 21.2

80


Propiedades de la multiplicacin

La multiplicacin de nmeros reales es una operacin que seefecta entre dos nmeros, pero se pueden considerar tambinms de dos factores. Siempre que se tengan dos nmeros reales,se pueden multiplicar entre s. Al efectuar multiplicaciones hayque tener cuidado con los signos:

El producto de dos nmeros de igual signo siempre es positivo;

El producto de dos nmeros de distinto signo siempre es negativo.

La multiplicacin tiene las siguientes propiedades:

Conmutatividad. La expresin usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos nmeros reales, la conmutatividad se puede expresar as:

a x b = b x a

Ejemplos:

3.25 x 1.04 = 3.38, y tambin 1.04 x 3.25 = 3.38

15.87 x (2.35) = 37.2945, y tambin 2.35 x 15.87 = 37.2945

x = = , y tambin x = =

81

LECCIN 7

2

5

1

2

2 x 1

5 x 2

2

10

1

22

5

1 x 2

2 x 5

2

10

Asociatividad. Si se tienen ms de dos factores, da igualcul de las multiplicaciones se efecte primero. Si a, b y c sontres nmeros reales, la asociatividad dice que:

a x (b x c) = (a x b) x c

Ejemplos:

0.021 x (0.014 x 0.033) = 0.021 x 0.00462 = 0.000009702,y tambin (0.021 x 0.014) x 0.033 = 0.000294 x 0.033 = 0.000009702

186.3 x (223.6 x 202.1) = 186.3 x (45189.56) = 8418815.028, y tambin [186.3 x (223.6)] x 202.1 = 41656.68 x 202.1 = 8418815.028

x( x )= x ( x )= x = = =

y tambin ( x )x =( )x = x = =

=

Como en el caso de las sumas, da igual en qu orden se efecten las multiplicaciones, y por eso lo usual es prescindir delos parntesis. En nuestros ejemplos, tenemos entonces: 0.021 x0.014 x 0.033, o bien 186.3 x (223.6) x 202.1, o bien x xCuando se usan letras, se marca slo a x b x c, o bien, para evitar que el signo x se confunda con la letra x, se marca ab c, o bien se usa un punto en vez de la cruz: abc. Es tambincomn prescindir del signo x cuando se sealan productos con losnmeros entre parntesis: por ejemplo, en vez de escribir (5) x

82


3

4

1

2

2

3

3

4

1

22

3

3 x 2

4 x 6

6

24

3

4

2

6

1

4

3

41

2

2

3

3 x 1

4 x 2

2

3

3

8

2

3

6

241

4

3

4

1

22

3

3 x 2

8 x 3

.

(3), podemos escribir (5)(3), y en vez de escribir 3 x 4 podemosescribir 3(4).

Es decir, cuando no se seala ninguna operacin entre dosnmeros, se efecta una multiplicacin.

Otras propiedades de la multiplicacin son:

Elemento neutro. El nmero real 1 multiplicado acualquier nmero lo deja sin cambiar: si a es un nmero real, entonces:

a x 1 = a

Ejemplos:

8763.218 x 1 = 8763.218

1 x (56.41) = 56.51

1 x 1 = 1

Elemento inverso. Todo nmero real distinto de cero tieneun inverso multiplicativo, lo que quiere decir que si se multiplicanel nmero y su inverso, el resultado es 1: si a es un nmero realdistinto de cero, entonces

a x = 1

Recuerde que escribir es lo mismo que escribir 1 a.

83

LECCIN 7

8

148

14

1

a

1

a

Ejemplos:

El inverso multiplicativo de 87.36 es , porque 87.36 x= 1

El inverso multiplicativo de 4.13 es - , porque 4.13 x

(- ) = 1

El inverso multiplicativo de es porque x = 1

El inverso multiplicativo de es 9, porque x 9 = 1

La divisin

La divisin es la operacin inversa de la multiplicacin, es unaoperacin entre dos nmeros: el dividendo y el divisor. Con unaexcepcin, siempre que se tengan dos nmeros reales, se puedendividir; por ejemplo:

1.86 3.1 = 0.6

dividendo divisor cociente

La excepcin es que el divisor no puede ser cero. Esto es,no se puede dividir entre cero.

84


1

87.361

87.36

1

4.13

1

4.13

7

1616

7

1

9

1

9

7

16

16

7

Observe que el dividendo s puede ser cero, y cuando estoocurre el resultado o cociente siempre es cero. Por ejemplo, 0 5.41 = 0

Las reglas de los signos en el caso de la divisin son las mismas que para la multiplicacin:

el cociente de dos nmeros de igual signo siempre es positivo;

el cociente de dos nmeros de distinto signo siempre es negativo.

Aunque la divisin est muy emparentada con la multiplicacin, no tiene todas las propiedades de la multiplicacin. Por ejemplo, la divisin no es una operacin conmutativa:

6.42 3 = 2.14, y ese resultado es distinto de 3 6.42 0.467

La divisin no es tampoco una operacin asociativa:

(8 4) 2 = = = 1, mientras que 8 (4 2) = = = 4

Potencias y races

Las propiedades de las operaciones con exponentes sern vistascon mayor detalle en la siguiente leccin, pero aqu adelantamosalgunos hechos.

85

LECCIN 7

4

2

8

2

28

4

2

8

2

Elevar un nmero real a una potencia equivale a multiplicarlopor s mismo tantas veces como indica el exponente. As,

34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 8153 = (5) x (5) x (5) = 125

La operacin inversa es la raz, que puede ser cuadrada, raztercera, cuarta o quinta, etc. Por ejemplo, como 81 es igual a 3elevado a la cuarta potencia, la raz cuarta de 81 es 3, y como125 es igual a 5 elevado a la tercera potencia, la raz tercera de 125 es 5:

4 8 1 = 33 - 1 2 5 = -5

La raz ms utilizada es la raz cuadrada. La raz cuadrada deun nmero a es el nmero que elevado al cuadrado da a. Cuandose usa raz cuadrada no se suele poner el 2 arriba del smbolo .Por ejemplo,

441 = 2 441 = 21, porque 212 = 441

No todos los nmeros reales tienen raz cuadrada. Todos losnmeros

guia de matematicas segundo grado

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