guía de examen global de ecuaciones diferenciales

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MEXICO

CAMPUS SAN LUIS POTOS

COORDINACION DE ACADEMIAS

ACADEMIA DE TECNOCIENCIAS

Modelo Educativo Siglo XXI- Fase (II)

Gua de Examen Global de:

ECUACIONES DIFERENCIALES Y SERIES

Elabor: M.I.E. Sandra Luz Gallardo Cruz

Fecha de elaboracin: Septiembre del 2009

Instrucciones para el manejo de la gua de estudios:

1. Lee con atencin el objetivo de la asignatura, los objetivos especficos y los contenidos por unidad que debes dominar.

2. Define conceptos, redacta resmenes y elabora cuadros sinpticos de cada unidad temtica, apoyndote de la bibliografa sugerida en esta gua, de tus apuntes y de los libros utilizados en dicha asignatura.

3. Resuelve los ejemplos de preguntas y ejercicios que se te proporcionan en la gua y elabora otros similares con el fin de ejercitar tus habilidades.

4. Solicita informacin con el Profesor responsable de la asignatura y apyate con los profesores de tiempo.

5. Felicidades! despus de revisar y realizar todo lo anterior de manera sistemtica ests listo para tu examen.

TE DESEAMOS XITO EN EL MISMO.




PROGRAMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SERIES

OBJETIVO DE LA MATERIA: El Resaltar la importancia que tienen las ecuaciones diferenciales como herramienta para el estudio del cambio en el mundo fsico. Estudio de mtodos algebraicos, analticos, operacionales y numricos para la resolucin de problemas de valor inicial, poniendo de manifiesto la importancia de la linealidad. Estudio de las ecuaciones de la fsica matemtica.

Temas:

1.- Introduccin

a) Definicin

b) Clasificacin

I) Tipo

II) Orden

III) Linealidad

c) Solucin de una Ecuacin Diferencial

2.- Ecuaciones diferenciales de Primer Orden

a) Variables separables

b) Ecuaciones Exactas

c) Ecuaciones Lineales

d) Uso de sustituciones

I) Ecuaciones Homogneas




II) Ecuacin de Bernoulli

3.- Modelado con ecuaciones de Primer Grado

a) Ecuaciones lineales

I) Crecimiento y decaimiento

II) Periodo medio

III) Datacin con radiocarbono

IV) Ley de Newton del enfriamiento

V) Circuitos en serie

4.- Ecuaciones diferenciales de Orden superior

a) Ecuaciones Lineales Homogneas con Coeficientes Constantes

b) Coeficientes Indeterminados, Mtodo de Superposicin

c) Variacin de Parmetros 5.- MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

a) Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

b) Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre

c) Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado

d) Sistemas anlogos 6.- Definicin de la transformada de Laplace

a) Transformada inversa

b) Teoremas de traslacin y derivadas de una transformada




c) Transformadas de derivadas, integrales y funciones peridicas

d) Aplicaciones

La Gua de Estudio siguiente le ayudara a entender los conceptos principales de la materia.

Introduccin:

Definicin:

Una ecuacin que contiene las derivadas de una o ms variables dependientes con respecto a una

o ms variables independientes es una ecuacin diferencial

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

Clasificacin segn el tipo Si una ecuacin slo contiene derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuacin

diferencial ordinaria.

Por ejemplo:

y

son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuacin que contiene las derivadas parciales de una o ms

variables dependientes, respecto de dos o ms variables independientes, se llama ecuacin en derivadas

parciales.

Por ejemplo:

y

son ecuaciones en derivadas parciales.




Clasificacin segn el orden el orden de una ecuacin diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuacin.

Por ejemplo:

Segundo orden primer orden

es una ecuacin diferencial de segundo orden.

Otro ejemplo:

La ecuacin (y - x) dx + 4x dy = 0 se puede escribir en la forma si se divide entre la

diferencial dx, es un ejemplo de una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden.

Clasificacin segn la linealidad o no linealidad Se dice que una ecuacin diferencial es lineal si se puede escribir en la forma:

En esta ltima ecuacin, vemos las dos propiedades caractersticas de las ecuaciones diferenciales

lineales:

i) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo trmino donde aparece y es 1.

ii) Cada coeficiente slo depende de x, que es la variable independiente.

Las funciones de y como seny o las funciones de las derivadas de y, como no pueden aparecer en una

ecuacin lineal. Cuando una ecuacin diferencial no es lineal, se dice que es no lineal.

Las ecuaciones




(y-x)dx+4xdy=0, y-2y+y=0,

son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Por otro lado,




el coeficiente depende de y funcin no lineal potencia distinta de 1

( 1 +y)y+2y=ex,

son ecuaciones diferenciales no lineales de primero y cuarto orden, respectivamente.

EJERCICIOS:

En los problemas siguientes, establezca si la ecuacin diferencial es lineal o no lineal. Indique el orden

de cada ecuacin.

1.- yy + 2y = 1 + x2 2.- x

2 dy + (y - xy - xe

x) dx = 0

3.- x3y

(4)-x

2y+4xy-3y=0,

4.- 9y = seny

5.- (1-x)y- 4xy + 5y=cosx

Solucin de una ecuacin diferencial

Cuando una funcin , definida en algn intervalo I, se sustituye en una ecuacin y transforma esa

ecuacin en una identidad, se dice que es una solucin de la ecuacin diferencial en el intervalo.

Ejemplo 1:

Comprobar que y = x4/16 es una solucin de la ecuacin no lineal

en el intervalo (- , ).

SOLUCIN Un modo de comprobar que la funcin dada es una solucin es escribir la ecuacin

diferencial en la forma dyldx - x =0, y ver, despus de sustituir, si la suma es cero para toda x en el

intervalo. Con,




y

Sustituyendo vemos que:

para todo nmero real.

Ejemplo 2:

Comprobar que la funcin y = xex es una solucin de la ecuacin lineal

y"- 2y'+y= 0

en el intervalo (- , ). Para demostrarlo, sustituimos

y = xex+ e

x y y = xe

x + 2e

x

Vemos que

y - 2y + y = (xex + 2ex) - 2(xex + e

x) + xe

x = 0

para todo nmero real.

EJERCICIOS:

Compruebe que la funcin indicada sea una solucin de la ecuacin diferencial dada. En algunos casos,

suponga un intervalo adecuado de validez de la solucin.

1.- 2y+y=0; y=ex/2 2.- y+4y=32; y=8

3. 2 - 2y = e3x

; y = e3x

+ 10e2x

4. + 2Oy = 24; y =

5. y=25+y2; y=5tan5x




ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Variables separables

Definicin:

Se dice que una ecuacin diferencial de primer orden, de la forma

es separable, o de variables separables.

Mtodo de solucin La ecuacin indica el procedimiento para resolver las

ecuaciones separables. Al integrar ambos lados de p(y) dy = g(x) dx se obtiene una familia

monoparamtrica de soluciones, que casi siempre se expresa de manera implcita.

Ejemplo 1: Solucin de una ecuacin diferencial separable

Resolver (1 + x) dy -y dx = 0. SOLUCIN:

Dividimos entre (1 + x)y y escribimos dy/y = dx/( 1 + x), de donde

ln y = In (1 + x) + c

y = eln(l+x)+c

y=eln(x+1)

ec

=

Definimos c como , con lo que llegamos a y = c(1 + x).




EJEMPLO 2 Problema de valor inicial Resolver el problema de valor inicial

SOLUCIN

Partimos de ydy = -xdx, para obtener

y

Esta solucin se puede escribir en la forma x2 + y

2 = c

2. Vemos que la solucin representa una familia de

crculos concntricos.

Cuando x = 4, y = 3, de modo que 16 + 9 = 25 = 2. As, el problema de valor inicial determina que x

2 +

y2 = 25.

EJERCICIOS:

En los problemas resuelva la ecuacin diferencial respectiva por separacin de variables.

1.- = sen 5x

2.- = (x + 1)2

3.- dx + e3x

dy = 0 4.- dx - x

2 dy = 0

5.- (x+ l) = x+6




Ecuaciones exactas

Definicin: Una ecuacin diferencial M(x, y) + N(x,y) es una ecuacin diferencial exacta en una regin R del plano

xy si corresponde a la diferencial de alguna funcin f(x,y). Una ecuacin diferencial de primer orden de la forma

M(x, y)dx + N(x,y)dy=0

Es una ecuacin diferencial exacta, si la expresin del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Entonces, la condicin necesaria y suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy sea una diferencial

exacta es que

Mtodo de solucin Dada una ecuacin de la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, se determina si es

vlida la igualdad . En caso afirmativo, la solucin de la ecuacin diferencial ser:

*Significa que slo se integraran los trminos de N(x, y) con respecto a dy que no contengan la variable x.

Ejemplo 1: Solucin de una ecuacin diferencial exacta

Resolver 2xy dx + (x2 - 1) dy = 0.

SOLUCIN Igualamos las derivadas parciales de M(x, y) = 2xy y N(x, y) = x2 - 1 y tenemos

En consecuencia, la ecuacin es exacta y la solucin ser:




*El trmino x2 no se toma en cuenta!!

Por lo tanto:

Ejemplo 2: Solucin de una ecuacin diferencial exacta

Resolver (e2y

-y cos xy) dx + (2xe2y - x cos xy + 2y) dy = 0.

SOLUCIN La ecuacin es exacta, porque

Entonces, la solucin es:

*Los trminos 2xe2y - x cos xy no se toman en cuenta!!

Por lo tanto:

Ejercicios:

En los problemas determine si la ecuacin respectiva es exacta. Si lo es, resulvala.

1.- (2x - 1) dx + (3y + 7) dy = 0 2.- (2x + y) dx - (x + 6y) dy = 0 3.- (5x + 4y) dx + (4x - 8y3) dy = 0 4.- (seny - y sen x) dx + (cos x + x cos y - y) dy = 0

5.- (2y3x - 3) dx + (2yx2 + 4) dy = 0




Ecuaciones lineales

Definicin

Una ecuacin diferencial de primer orden, de la forma

es una ecuacin lineal.

Al dividir ambos lados de la ecuacin entre el primer coeficiente, al(x), se obtiene una forma ms til, la

forma estndar de una ecuacin lineal:

Debemos hallar una solucin de la ecuacin diferencial anterior en un intervalo I, sobre el cual las dos

funciones P y f sean continuas.

Solucin de una ecuacin lineal de primer orden

i) Para resolver una ecuacin lineal de primer orden, primero se convierte a la forma estndar;

esto es, se hace que el coeficiente de dy/dx sea la unidad.

ii) Hay que identificar P(x) y definir el factor integrante,

iii) La ecuacin obtenida en el paso i) se multiplica por el factor integrante:

iv) El lado izquierdo de la ecuacin obtenida en el paso iii) es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, y; esto es,

v) Se integran ambos lados de la ecuacin obtenida en el paso iv). Ejemplo 1 : Solucin de una ecuacin diferencial lineal

Resolver




SOLUCIN Al dividir entre x llegamos a la forma estndar

As escrita, reconocemos que P(x) =- y entonces el factor integrante es

Ahora multiplicamos la ecuacin por el factor integrante

Si integramos por partes, llegamos a

O sea

Ejemplo 2: Solucin de una ecuacin diferencial lineal

Resolver

SOLUCIN Esta ecuacin diferencial se puede resolver separando variables. Tambin, como la

ecuacin se encuentra en la forma estndar, tenemos que el factor integrante es .

Multiplicamos la ecuacin dada por este factor y el resultado es . Esta ltima

ecuacin equivale a




Al integrar obtenemos y = c y, por consiguiente, y =




Ejemplo 3: Solucin general

Determinar la solucin general de .

SOLUCIN Escribimos .

La funcin P(x) = es continua en (- , ). Entonces, el factor integrante para la ecuacin es

y as

Al integrar

As pues, la solucin general en el intervalo es

Ejemplo 3: Problema de valor inicial

Resolver el problema de valor inicial .

SOLUCIN Escribimos la ecuacin dada en la forma

y vemos que P(x) = l/x es continua en cualquier intervalo que no contenga al origen. En vista de la

condicin inicial, resolveremos el problema en el intervalo (0, ).

El factor integrante es , y as




que es igual a . Despejamos y y llegamos a la solucin general

Pero y( 1) = 0 implica que c = - 1; por consiguiente, la solucin es

La grfica de la ecuacin, como familia monoparamtrica de curvas, se presenta en la siguiente figura.

La solucin del problema de valor inicial se indica como la lnea gruesa en la grfica.

Ejercicios:

En los problemas, determine la solucin general de la ecuacin diferencial dada.

Especifique un intervalo en el cual est definida la solucin general.

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-




Uso de sustituciones: Ecuaciones Homogneas

Una ecuacin diferencial de primer orden, M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

es homognea si los coeficientes M y N, a la vez, son funciones homogneas del mismo grado.

Ejemplos:

Si M(x,y)=x

2 +y

2 . Es homognea de grado 2, ya que cada variable esta elevada al cuadrado.

Si N(x,y)=xy. Es homognea de grado 2, ya que las potencias se suman de cada variable.

Si N(x,y)=x2+y. No es homognea ya que un trmino es de segundo grado y otro de primero.

Mtodo de solucin Una ecuacin diferencial homognea como M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 se puede resolver por sustitucin algebraica. Especficamente, alguna de las dos sustituciones y = ux, o x = vy,

donde u y v son nuevas variables dependientes, reducen la ecuacin a una ecuacin diferencial separable, de primer orden. Para demostrarlo, sustituimos y = ux y su diferencial, dy = u dx + x du, en la ecuacin:

M(x, ux) dx + N(x, ux)[u dx + x du] = 0.

Una vez desarrollado la sustitucin, la ecuacin anterior queda como una ecuacin de variables

separables lista para resolverse. Una vez resuelta la ecuacin se debe regresar a las variables originales

x y y, haciendo el cambio de variable pertinente.

Ejemplo 1 : Solucin de una ecuacin diferencial homognea

Resolver .

SOLUCIN Al examinar M(x, y) = x

2 + y

2 y N(x, y) = x

2 - xy vemos que los dos coeficientes son

funciones homogneas de grado 2. Si escribimos y = ux, entonces dy = u dx+ x du y as, despus de sustituir, la ecuacin dada se transforma en

(x

2 + u

2x

2) dx + (x

2 ux2)[u dx + x du] = 0

x2(1 + u) dx +x

3(1 - u) du = 0

Separando variables




Divisin larga

Luego de integrar, el ltimo rengln se transforma en

Sustitucin inversa u = y/x

Aplicamos las propiedades de los logaritmos para escribir la solucin anterior en la forma

O, lo que es lo mismo

Aunque se puede usar cualquiera de las sustituciones en toda ecuacin diferencial homognea, en la

prctica probaremos con x = vy cuando la funcin M(x, y) sea ms simple que N(x,y). Tambin podra suceder que despus de aplicar una sustitucin, nos encontramos con integrales difciles o imposibles de

evaluar en forma cerrada; en este caso, si cambiamos la variable sustituida quiz podamos tener un

problema ms fcil de resolver.

Ejercicios:

Resuelva cada una de las ecuaciones, con la sustitucin apropiada.

1-. (x - y) dx + x dy = 0 2.- (x + y) dx + x dy = 0 3-. x dx + (y - 2x) dy = 0

4.- (y2+yx)dx-x

2dy=0

5-. y dx = 2(x + y) dy

Uso de sustituciones: La Ecuacin de Bernoulli

La ecuacin diferencial




en que n es cualquier nmero real, es la ecuacin de Bernoulli.

Obsrvese que cuando n = 0 y n = 1, la ecuacin es lineal. Cuando n 0 y n 1, la sustitucin

u= reduce cualquier ecuacin de la forma a una ecuacin lineal.

EJEMPLO 1: Solucin de una ecuacin diferencial de Bernoulli

Resolver

SOLUCIN Primero reformulamos la ecuacin como sigue:

A continuacin sustituimos, con n = 2,

Sustituimos estas variables en la ecuacin dada,

y simplificamos. El resultado es

El factor integrante para esta ecuacin lineal en, por ejemplo (0, ), es

Integramos

y obtenemos

Como y = , entonces y = l/u y, en consecuencia, una solucin de la ecuacin es




Ejercicios:

En los problemas siguientes resuelva la ecuacin respectiva de Bernoulli empleando una sustitucin

adecuada.

l.-

2.-

3

4

5

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES LINEALES

Crecimiento y decaimiento El problema de valor inicial

, x(to) = xo,

en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenmenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegracin). Si conocemos una poblacin en cierto

momento inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t = 0, la solucin de la ecuacin

diferencial anterior nos sirve para predecir la poblacin en el futuro (esto es, para t > 0).

Ejemplo1 : Crecimiento bacteriano

Un cultivo tiene una cantidad inicial NO de bacterias. Cuando t = 1 h, la cantidad medida de bacterias

es . Si la razn de reproduccin es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el

tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos.

SOLUCIN Primero se resuelve la ecuacin diferencial




sujeta a N(0) = NO. A continuacin se define la condicin emprica N(1) = para hallar k, la

constante de proporcionalidad.

Con ello, la ecuacin es separable y lineal, a la vez. Cuando se escribe en la forma

podemos ver por inspeccin que el factor integrante es Multiplicamos ambos lados de la

ecuacin por ese factor y el resultado inmediato es

Integramos ambos lados de la ltima ecuacin para llegar a la solucin general

Cuando t = 0, NO = ceo = c y, por consiguiente, N(t) = Noe

kt. Cuando t = 1, entonces NO = Noe

k, o bien

= ek. Con la ltima ecuacin obtenemos k = In = 0.4055. As

N(t) = N0e0,4055t

.

Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias, despejamos t de 3No = N0e0,4055t

;

por consiguiente, 0.4055t = In 3, y as

Periodo medio En fisica, el periodo medio es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. Es, simplemente, el tiempo que transcurre para que se desintegre o transmute la mitad de los

tomos en una muestra inicial, Ao, y se conviertan en tomos de otro elemento. Mientras mayor sea su




semivida, ms estable es una sustancia; por ejemplo, la semivida del radio Ra-226, muy radiactivo, es

unos 1700 aos. En ese lapso, la mitad de determinada cantidad de Ra-226 se transmuta y forma radn,

Rn-222. El istopo ms comn del uranio, el U-238, tiene periodo medio de 4500 millones de aos. Es

el tiempo que tarda en transmutarse la mitad de una cantidad de U-238 en plomo 206.




Ejemplo 2: Periodo medio del plutonio

Un reactor de cra convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un istopo radiactivo.

Al cabo de 15 aos, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad inicial, A0, de una muestra de plutonio. Calcule el periodo medio de ese istopo, si la razn de desintegracin es proporcional a la cantidad

presente.

SOLUCIN Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda en cualquier momento t. La solucin del

problema de valor inicial

=kA, A(0) = Ao

es A(t) = A0ekt. Si se ha desintegrado el 0.043% de los tomos de Ao, queda el 99.957%. Para calcular la

constante k (o declinacin) empleamos 0.99957 A0 = A(15), esto es, 099957Ao = Aoe15k

. Despejamos k y

tenemos k = In 0.99957 = -0.00002867. En consecuencia,

A(t) = A0e-0.00002867t

Si el periodo medio es el valor que corresponde a A(t) = A0/2, despejando a t se obtiene

A0/2= A0e-0.00002867t

, es decir, = e-0.00002867t

. De acuerdo con esta ecuacin,

t 24,180 aos

Datacin con radiocarbono Alrededor de 1950, el qumico Willard Libby invent un mtodo que emplea al carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fsiles. La teora de la datacin

(fechamiento o fechado) con radiocarbono, se basa en que el istopo carbono 14 se produce en la

atmsfera por accin de la radiacin csmica sobre el nitrgeno. La razn de la cantidad de C-l4 al

carbono ordinario en la atmsfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del

istopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmsfera. Cuando muere un

organismo la absorcin del C-l4 sea por respiracin o alimentacin cesa. As, si se compara la cantidad

proporcional de C- 14 presente, por ejemplo en un fsil, con la relacin constante que existe en la

atmosfera, es posible obtener una estimacin razonable de su antigedad. El mtodo se basa en que se

sabe que el periodo medio del C-l4 radiactivo es, aproximadamente, 5600 aos. Por este trabajo, Libby

gan el Premio Nobel de qumica en 1960. Su mtodo se us para fechar los muebles de madera en las

tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto.




Ejemplo 3: Antigedad de un fsil

Se analiz un hueso fosilizado y se encontr que contena la centsima parte de la cantidad original de

C-14. Determine la edad del fsil.

SOLUCIN El punto de partida es, de nuevo, A(t) = A0ekt. Para calcular el valor de la constante de

decaimiento aplicamos el hecho que A0/ 2= A(5600), o sea, Ao/2 = Aoe5600k.

Entonces, 5600k = In = -In 2, de donde k = -(ln2)/5600 = -0.00012378; por consiguiente

Tenemos, para A(t) = Ao/lOOO, que Ao/lOOO = Aoe -0.00012378t

, de modo que -0.00012378t = In =

-In 1000. As

Ley de Newton del enfriamiento La formulacin matemtica de la ley emprica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto, se expresa con la ecuacin diferencial lineal de primer orden

en que k es una constante de proporcionalidad, T(r) es la temperatura del objeto cuando t > 0 y Tm es la

temperatura ambiente; o sea, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo siguiente

suponemos que Tm es constante. Ejemplo 4: Enfriamiento de un pastel

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300F. Despus de 3 minutos, 2OO0F. En cuanto tiempo

se enfriar hasta la temperatura ambiente de 7O0F?

SOLUCIN

Vemos que Tm = 70. Por consiguiente, debemos resolver el problema de valor inicial

= k(T- 70), T(0) = 300

y determinar el valor de k de tal modo que T(3) = 200.




La ecuacin diferencial es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables,

cuyo resultado es ln(T 70) = kt + c, y as T = 70 + ce

kt. Cuando t = 0, T= 300, de modo que 300 = 70

+ c define a c = 230. Entonces, T= 70 + 230 ekt. Por ltimo, la determinacin T(3) = 200 conduce a 200

= 70 + 230e3k

, o sea, e3k

= . Por lo tanto k = = -O.19018.As

T(t) = 70 + 230e

-0.19018t

En forma intuitiva esperamos que el pastel se enfre al transcurrir un intervalo razonablemente largo.

Cun largo es largo ? No nos debe inquietar el hecho de que el modelo encontrado no se apegue mucho a nuestra intuicin fsica. La figura muestra que el pastel estar a la temperatura ambiente pasada

una media hora.

________________________

T(t) t (min) . 75" 20.1

74" 21.3

73" 22.8

72" 24.9

71 28.6 70.5" 32.3

Circuitos en serie Cuando un circuito en serie slo contiene un resistor y un inductor (circuito LR), la

segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las cadas de voltaje a travs del inductor (L ) y del

resistor (iR) es igual al voltaje aplicado, (E(t)).

Con lo anterior se obtiene la ecuacin diferencial lineal que describe la corriente i(t),

L + Ri = E(t)




en que L y R son las constantes conocidas como inductancia y resistencia, respectivamente. La corriente

i(t) se llama, tambin, respuesta del sistema.

Ejemplo 5: Circuito en serie

Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de henry y una

resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero.

SOLUCIN Lo que debemos resolver es

sujeta a i(O) = 0. Primero multiplicamos la ecuacin diferencial por 2, y vemos que el factor integrante

es A continuacin lo sustituimos

Al integrar cada lado de esta ecuacin y despejar i obtenemos i(t) = . Si i(0) = 0,entonces 0 =

+ c, o bien c = - ; por consiguiente, la respuesta es

i(t) =

Ejercicios:

1. Se sabe que la poblacin de cierta comunidad aumenta en una razn proporcional a la cantidad de

personas que tiene en cualquier momento. Si la poblacin se duplic en cinco aos, En cuanto tiempo se

triplicar y cuadruplicar?

2.- La poblacin de una comunidad crece con una tasa proporcional a la poblacin en cualquier

momento. Su poblacin inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 anos. Cul ser la poblacin pasados 30

aos?

3.- Cuando t = 0, haba 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas, esa cantidad

disminuy el 3%. Si la razn de desintegracin, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de

la sustancia presente, calcule la cantidad que queda despus de 2 horas.

4.- Un termmetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del

aire es 5F. Despus de un minuto, el termmetro indica 550F, y despus de cinco marca 30F. Cul era

la temperatura del recinto interior?

5.- Se aplica una fuerza electromotriz de 30v a un circuito en serie LR con 0.1 h de inductancia y 50 R de

resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) = 0.




ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ECUACIONES LINEALES HOMOGNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Mtodo de solucin Comenzaremos con el caso especial de la ecuacin de segundo orden

ay + by + cy = 0.

Si probamos con una solucin de la forma y = emx

, entonces y = memx

y y = m2e

mx, de modo que la

ecuacin anterior se transforma en

am2 e

mx + bm e

mx + c e

mx = 0 o sea e

mx (am

2 + bm + c) = 0.

Como emx

nunca es cero cuando x tiene valor real, la nica forma en que la funcin exponencial satisface la ecuacin diferencial es eligiendo una m tal que sea una raz de la ecuacin cuadrtica

am2+bm+c=0.

Esta ecuacin se llama ecuacin auxiliar o ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial.

Examinaremos tres casos: las soluciones de la ecuacin auxiliar que corresponden a races reales

distintas, races reales e iguales y races complejas conjugadas.

CASO 1: Races reales distintas Si la ecuacin am

2+bm+c=0 tiene dos races reales distintas, m1 y

m2, llegamos a dos soluciones, y1 = em

lx y y2 = e

m2

x. Estas funciones son linealmente independientes en (-

, ) y, en consecuencia, forman un conjunto fundamental. Entonces, la solucin general de la ecuacin

en ese intervalo es

y= cle m

lx + c2e

m2

x.

CASO II: Races reales e iguales Cuando m1 = m2 llegamos, necesariamente, slo a una solucin

exponencial, y1= em

lx, una segunda solucin de la ecuacin es y2= xe

mlx

La solucin general es, en consecuencia,

y= cle m

lx + c2xe

m1

x.




CASO III: Races complejos conjugados Si m1 y m2 son complejas, podremos escribir m1= +i y

m2= i , donde y > 0 y son reales, e i2 = -1. No hay diferencia formal entre este caso y el caso 1;

por ello,

y= cl + c2 .

Sin embargo, en la prctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas.

Con este objeto se usa la formula de Euler:

= cos +i sen ,

No se desarrollar la demostracin pero, la solucin general es

y=

Ejemplo 1: Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes:

(a) 2y - 5y - 3y = 0 (b) y l0y + 25y = 0 (c) y + y + y = 0

SOLUCIN

Presentaremos las ecuaciones auxiliares, races y soluciones generales correspondientes.

(a) 2m2 - 5m - 3 = (2m + l)(m - 3) = 0, m1 =- , m2 = 3,

y =

(b) m2 - 10m + 25 = (m - 5)

2 = 0, m1 = m2 = 5,

y =

(c) m2+m+1=0, m1= , m2= ,

Ejemplo 2: Problema de valor inicial

Resuelva el problema de valor inicial




y-4y+ 13y=0, y(0) = -1, y(0) = 2.

SOLUCIN Las races de la ecuacin auxiliar m

2 - 4m + 13 = 0 son m1 = 2 + 3i y m2 =2 - 3i, de modo

que

y = (c1 cos 3x + c2 sen 3x).

Al aplicar la condicin y(0) = -1, vemos que -1 = e0(c1 cos 0 + c2 sen 0) y que c1 = -1. Diferenciamos la

ecuacin de arriba y a continuacin, aplicando y(0) = 2, obtenemos 2 =3c2 - 2, 0 sea, c2 = por

consiguiente, la solucin es

y=e2x

(-cos3x+ sen3x) .

.

Ecuaciones de orden superior En general, para resolver una ecuacin diferencial de orden n como

En donde las ai,i=0,l,... , n son constantes reales, debemos resolver una ecuacin polinomial de grado n:

anmn +an-1m

n-1 + . . + a2m

2 + a1m + a0 = 0.

Si todas las races de la ecuacin son reales y distintas, la solucin general de la ecuacin es

y= cle

mlx + c2e

m2

x ++ cne

mn

x

Es ms difcil resumir los anlogos de los casos II y III porque las races de una ecuacin auxiliar de

grado mayor que dos pueden presentarse en muchas combinaciones. Por ejemplo, una ecuacin de

quinto grado podra tener cinco races reales distintas, o tres races reales distintas y dos complejas, o

una real y cuatro complejas, cinco reales pero iguales, cinco reales pero dos iguales, etctera. Cuando m1

es una raz de multiplicidad k de una ecuacin auxiliar de grado n (esto es, k races son iguales a m1), se puede demostrar que las soluciones linealmente independientes son

e m

lx, xe

mlx, x

2e

mlx,..,x

k-1e

mlx

y que la solucin general debe contener la combinacin lineal

c1e

mlx +c2xe

mlx + c3x

2e

mlx +..,+ckx

k-1e

mlx




Por ltimo, recurdese que cuando los coeficientes son reales, las races complejas de una ecuacin

auxiliar siempre aparecen en pares conjugados. As, por ejemplo, una ecuacin polinomial cbica puede

tener dos races complejas cuando mucho.

Ejemplo 3: Ecuacin diferencial de tercer orden

Resolver y + 3y - 4y = 0.

SOLUCIN Al examinar m

3 + 3m

2 - 4 = 0 debemos notar que una de sus races es m1 = 1. Si dividimos

m3 + 3m

2 - 4 entre m = 1, vemos que

m3 + 3m

2 - 4 = (m - 1)(m

2 + 4m + 4) = (m -1)(m + 2)

2,

y entonces las dems races son m2 = m3 = -2. As, la solucin general es

y = c1e

x + c2e

-2x + c3xe

-2x .

Ejemplo 4: Ecuacin diferencial de cuarto orden

Resuelva .

SOLUCIN La ecuacin auxiliar es m

4 + 2m

2 + 1 = (m

2 + 1)

2 = 0 y tiene las races m1 = m3 = i y m2 =

m4 = -i. As, de acuerdo con el caso II, la solucin es

y = c1eix + c2e

-ix + c3xeix + c4xe

-ix.

Segn la frmula de Euler, se puede escribir el agrupamiento c1eix + c2e

-ix en la forma

c1 cos x + c2 sen x

con un cambio de definicin de las constantes. Igualmente, x(c3eix + c4e

-ix) se puede expresar en la forma

x(c3 cos x + c4 sen x). En consecuencia, la solucin general es

y = cl cosx + c2senx + c3x cosx + c4x sen x.

Ejercicios:

En los problemas determine la solucin general de cada ecuacin diferencial.




1-. 4y + y = 0 2.- y - 36y = 0 3.- y + 9y = 0 son imaginarias por que da 3I 4.- y - y - 6y = 0 5.- y+8 y +16y=0 6.- y + 3y - 5y = 0 7.- 12y - 5y - 2y = 0 YA ESTA REALIZADO. 8.- y - 4y + 5y = 0 9.- 3y + 2y + y = 0 EJERCICIOS DE TAREA PARA EL JUEVES 16 DE MAYO. 10-. y - 4y - 5y = 0 11.- y - y = 0 12.- y - 5y + 3y + 9y = 0 EJERCICIOS DE ORDEN 3 PROXIMA CLASE.

PARA EL EXAMEN PODRE SACAR LA FORMULA GENERAL Y LAS TRES SOLUCIONES:

COEFICIENTES INDETERMINADOS, MTODO DE LA SUPERPOSICIN

Para resolver una ecuacin diferencial lineal no homognea

debemos pasar por dos etapas:

i) Determinar la funcin complementaria, yc.

ii) Establecer cualquier solucin particular, yp, de la ecuacin no homognea.

Entonces, la solucin general de la ecuacin diferencial en un intervalo es y =yc + yp.

La funcin complementaria yc es la solucin general de la ecuacin homognea asociada,

. En la ltima

seccin vimos cmo resolver estas ecuaciones cuando los coeficientes son constantes. El primero de

dos mtodos que debemos considerar para obtener una solucin particular, yp, se llama mtodo de los

coeficientes indeterminados. La idea bsica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la forma de




yp originada por los tipos de funciones que forman el dato g(x). El mtodo es bsicamente directo, pero

est limitado a ecuaciones lineales no homogneas, en que

i) Los coeficientes ai, i = 0, 1, . . . , n son constantes ii) g(x) es una constante k, una funcin polinomial, una funcin exponencial e

mx, funciones

seno o coseno como sen x, cos x, o sumas y productos finitos de esas funciones.

El conjunto de funciones formado por constantes, polinomios, exponenciales emx

, senos y cosenos tiene

la notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son, de nuevo, sumas y productos de

constantes, polinomios, exponenciales emx

, senos y cosenos. Como la combinacin lineal de las

derivadas debe ser

idntica a g(x), parece lgico suponer que yp tiene la misma forma que g(x).

En la tabla siguiente mostramos algunos ejemplos especficos de g(x), con la forma correspondiente de

la solucin particular. Naturalmente, suponemos que ninguna funcin, en la solucin particular yp supuesta esta duplicada (o reproducida) por una funcin en la solucin complementaria yc.

Ejemplos de soluciones particulares

g(x) Forma de yp 1.- 1 (una constante) A 2-. 5x+ 7 Ax+B

3-. 3x2-2 Ax2+Bx+C

4-. x3-x+ 1 Ax3+Bx2+Cx+E

5.- sen 4x Acos4x+Bsen4x

6.- cos 4x Acos4x+Bsen4x

7.- e5x Ae5x

8.- (9x 2)e5x (Ax+B)e5x 9.- x2e5x (Ax2+Bx+C)e5x

10.- e3x

sen4x Ae3x

cos 4x + Be3x

sen 4x

ll.- 5x2 sen 4x (Ax2+Bx+C)cos4x+(Dx2+Fx+G)sen4x

12-. xe3x

cos 4x (Ax+B)e3xcos4x+(Cx+E)e3xsen4x

Ejemplo1: Solucin general con coeficientes indeterminados

Resolver y + 4y - 5 = 2x2 - 3x + 6.

SOLUCIN




Paso 1. Primero resolveremos la ecuacin homognea asociada y + 4y - 2y = 0. Al aplicar la frmula

cuadrtica tenemos que las races de la ecuacin auxiliar m2 + 4m - 2 = 0 son ml = -2 - y rn2 = -2 +

. Entonces, la funcin complementaria es

yc = cl + c2

Paso 2. Como la funcin g(x) es un polinomio cuadrtico, supondremos una solucin particular que

tambin tenga la forma de un polinomio cuadrtico:

yp = Ax

2 + Bx + C

Tratamos de determinar coeficientes A, B y C especficos para los que yp, sea una solucin de la ecuacin diferencial. Sustituimos yp y las derivadas

yp=2Ax+B y yp=2A

en la ecuacin diferencial dada, y obtenemos

yp + 4yp - 2yp =( 2A) + 4(2Ax+B) - 2(Ax

2 + Bx + C)=2 + 8Ax + 4B - 2Ax2 - 2Bx - 2C

= 2x2 - 3x + 6.

Como se supone que esta ecuacin es una identidad, los coeficientes de potencias de x de igual grado deben ser iguales:

Esto es,

-2A = 2, 8A - 2B = -3, 2A + 4B - 2C = 6.

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtienen A = -1, B = - y C = -9. As, una solucin particular

es

Paso 3. La solucin general de la ecuacin dada es




Ejemplo 2: Solucin particular mediante coeficientes indeterminados

Determine una solucin particular de y - y + y = 2 sen 3x.

SOLUCIN Una primera estimacin lgica de una solucin particular sera A sen 3x; pero como las diferenciaciones sucesivas de sen 3x dan sen 3x y tambin cos 3x, tenemos que suponer una solucin particular que posea ambos trminos:

yp=Acos3x - Bsen3x

Al diferenciar yp, sustituir los resultados en la ecuacin diferencial original y reagrupar, tenemos

y - y + y =(-8A-3B) cos 3x + (3A - 8B) sen 3x = 2 sen 3x

.

Del sistema -8A-3B=0, 3A-8B=2,

obtenemos A = y B = - . Una solucin particular de la ecuacin es

yp = cos3x - sen3x.

Ejemplo 3: Formacin de yp por superposicin

Resuelva y - 2y - 3y = 4x - 5 + 6xe2x

SOLUCIN




Paso 1. Primero se determina la solucin de la ecuacin homognea asociada, y - 2y - 3y = 0, solucin

que es yc = ,

Paso 2. A continuacin, la aparicin de 4x - 5 en g(x) sugiere que la solucin particular contiene un

polinomio lineal. Adems, como la derivada del producto xe2x

produce 2xe2x

y e2x

, tambin supondremos

que en la solucin particular hay trminos en xe2x

y en e2x

; en otras palabras, g(x) es la suma de dos tipos bsicos de funciones:

g(x) = g1(x) + g2(x) = polinomio + exponenciales.

En consecuencia, el principio de superposicin para ecuaciones no homogneas sugiere que busquemos

una solucin particular

yp = yp1 + yp2

donde yp1 = Ax + B y yp2 = Cx e2x

+ Ee2x. Sustituimos:

yp = Ax + B + Cxe2x

+ Ee2x

en la ecuacin dada y agrupamos los trminos semejantes:

yp - 2yp - 3yp = -3Ax - 2A - 3B - 3Cxe2x + (2C - 3E)e2x = 4x - 5 + 6xe2x

De esta identidad se obtienen cuatro ecuaciones:

- 3A = 4 , - 2A - 3B = -5, -3C = 6 , 2C - 3E = 0

Al resolver el sistema llegamos a A = , B = , C = - 2 y E = - . En consecuencia,

Paso 3. La solucin general de la ecuacin es

Ejemplo 4: Un tropiezo del mtodo




Determine una solucin particular de y - 5y + 4y = 8 .

SOLUCIN Al derivar no se obtienen funciones nuevas. As, si procedemos como en los ejemplos

anteriores, es lgico suponer una solucin particular de la forma yp = A . Pero al sustituir esta

expresin en la ecuacin diferencial obtenemos la afirmacin contradictoria

0 = 8

y vemos que nuestra hiptesis de yp fue incorrecta.

Aqu, la dificultad se aclara al examinar la funcin complementaria yc = cl + c2 . Vemos que la

supuesta A ya est presente en yc. Esto quiere decir que es una solucin de la ecuacin diferencial

homognea asociada, y al sustituir un mltiplo constante A en la ecuacin diferencial se obtendr,

necesariamente, cero.

Entonces, cul debe ser la forma de yp? Siguiendo el caso II, veamos si podemos tener una solucin particular de la forma

yp = Ax

Sustituimos yp = Ax + A y yp = Ax + 2A en la ecuacin diferencial, simplificamos y

obtenemos

yp - 5yp + 4 yp = (Ax + 2A ) 5(Ax + A )+4(Ax )=-3A = 8 .

En esta ecuacin vemos que el valor de A es A = ; por consiguiente, una solucin particular de la

ecuacin dada es

Ejercicios:

En los problemas resuelva las ecuaciones diferenciales por coeficientes indeterminados.

1-. y + 3y + 2y = 6 2.- 4y + 9y = 15 3.- y - 1Oy + 25y = 30x + 3




4.- y + y - 6y = 2x

5.- y+ y+ y = x2-2x

6.- y - 8y + 2Oy = lOOx2 - 26xex 7.- y + 3y = -48x2e3x 8.- 4y - 4y - 3 y = cos 2x 9.- y - y = - 3 10-. y + 2y = 2x + 5 e-2x

VARIACIN DE PARMETROS

Aplicacin del mtodo Por lo general, no se aconseja memorizar frmulas, sino ms bien comprender un procedimiento. Sin embargo, en este caso lo ms eficaz es usar las formulas siguientes:

As, para resolver a2y + a1y + a0y = g(x), primero se halla la funcin complementaria yc = c1y1 + c2y2, y despus se calcula el Wronskiano W(y1(x), y2(x)). Se divide entre a2 para llevar la ecuacin a su forma reducida (forma estndar) y + Py + Qy =f(x) para hallar f(x). Se determinan u1 y u2 integrando, respectivamente, u1 = W1/W y u2 = W2/W.

Una solucin particular es yp = ulyl + u2y2. La solucin general de la ecuacin es, por consiguiente, y =

yc + yp.

Ejemplo 1: Solucin general mediante variacin de parmetros

Resuelva y - 4y + 4y = (x + 1)e2x

. SOLUCIN Partimos de la ecuacin auxiliar m

2 - 4m + 4 = (m - 2)

2 = 0, y tenemos que yc = c1e

2x +

c2xe2x

. Identificamos y1 = e2x

y y2 = c2xe2x

y calculamos el Wronskiano




Como la ecuacin diferencial y - 4y + 4y = (x + 1)e2x

est en la forma reducida (esto es, el coeficiente

de y es l), vemos que f(x) = (x + 1)e2x

. Efectuamos las operaciones

y as,

,

En consecuencia,

, y

Entonces,

Y

y = yc + yp =

Ejemplo 2: Solucin general mediante variacin de parmetros

Resuelva 4y + 36y = csc 3x.

SOLUCIN Primero llevamos la ecuacin a su forma reducida dividindola por 4:

y + 9y = csc 3x.

En virtud de que las races de la ecuacin auxiliar m2 + 9 = 0 son ml = 3i y m2 = -3i, la funcin

complementaria es yc = c1 cos 3x + c2 sen 3x. Sustituimos y1 = cos 3x, y2 = sen 3x y f(x) = csc 3x en

las frmulas, obtenemos




Al integrar

,

Obtenemos

, y

As, una solucin particular es

La solucin general de la ecuacin es

y = yc + yp =

Ejercicios:

Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales por variacin de parmetros. Proponga un intervalo en

que la solucin general est definida.

1. y + y = sec x

2. y + y = sen x 3. y + y = cos

2x

4. y - y = cosh x

5. y + y = tan x

6. y + y = sec x tan x 7. y + y = sec

2x

8. y - y = senh 2x




MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Hemos visto que una sola ecuacin diferencial puede servir como modelo matemtico de distintos

fenmenos. En esta seccin revisaremos varios sistemas dinmicos lineales en donde cada modelo

matemtico es una ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientes constantes

No olvidemos que la funcin g es la entrada (funcin de entrada o funcin forzada) del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solucin de la ecuacin diferencial en un intervalo que contiene a to

que satisface las condiciones inciales prescritas y(t0) = y0, y(t0) =y1.

Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

Ley de Hooke Supongamos que una masa m1 est unida a un resorte flexible colgado de un soporte rgido. Cuando se reemplaza m1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongacin o alargamiento del resorte cambiar.

Segn la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitucin, F, opuesta a la direccin del

alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. En concreto, F = ks, donde k es una

constante de proporcionalidad llamada constante del resorte.

Segunda ley de Newton Despus de unir una masa M a un resorte, sta lo estira una longitud s y llega a una posicin de equilibrio, en la que su peso, W, est equilibrado por la fuerza de restauracin ks.

Recurdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s

2, 9.8 m/s

2 o 980 cm/s

2, respectivamente.




Como se aprecia en la figura (b), la condicin de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posicin de equilibrio, la fuerza de restitucin del resorte es k(x +

s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que acten sobre el sistema y que la masa se mueve libre

de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con

la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitucin y el peso:

El signo negativo de la ecuacin indica que la fuerza de restitucin del resorte acta en la direccin

opuesta del movimiento. Adems, podemos adoptar la convencin que los desplazamientos medidos

abajo de la posicin de equilibrio son positivos.

Ecuacin diferencial del movimiento libre no amortiguado Si dividimos la ecuacin por la

masa m, obtendremos la ecuacin diferencial de segundo orden o sea

donde 2 = k/m. Se dice que la ecuacin anterior describe el movimiento armnico simple o

movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones inciales obvias asociadas son x(0) = , la

cantidad de desplazamiento inicial, y x(0) = , la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo, si > 0,

< 0, la masa parte de un punto abajo de la posicin de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si <




0, = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado unidades arriba de la

posicin de equilibrio, etctera.

Solucin y ecuacin del movimiento Para resolver la ecuacin diferencial observemos que las soluciones de la ecuacin auxiliar m

2 +

2 = 0 son los nmeros complejos m1 = i, m2 = - i. As, la

solucin general de es

x(t) = c1 cos t + c2 sen t.

Ejemplo 1: Interpretacin de un problema de valor inicial

Resuelva e interprete el problema de valor inicial

, x(0) = 10, x(0) = 0.

SOLUCIN El problema equivale a tirar hacia abajo una masa unida a un resorte 10 unidades de

longitud respecto de la posicin de equilibrio, sujetarla hasta que t = 0 y soltarla desde el reposo en ese instante. Al aplicar las condiciones inciales a la solucin

x(t) = c1 cos 4t + c2 sen 4t

se obtiene x(0) = 10 = c1, y entonces c1 = 10; por consiguiente

x(t) = 10 cos 4t + c2 sen 4t.

Como x(t) = -40 sen 4t + 4c2 cos 4, entonces x (0) = 0 = 4c2 , as que c2 = 0; por consiguiente, la ecuacin del movimiento es x(t) = 10 cos 4t.

Est claro que la solucin indica que el sistema permanece en movimiento una vez puesto en

movimiento y la masa va y viene 10 unidades a cada lado de la posicin de equilibrio x = 0. Como se

advierte en la figura siguiente, el periodo de oscilacin es 2 /4 = /2.

masa abajo de la posicin de equilibrio




/

masa arriba de la posicin de equilibrio

Ejemplo 2: Movimiento libre no amortiguado

Una masa que pesa 2 Ib hace que un resorte se estire 6 in. Cuando t = 0, la masa se suelta desde un punto

a 8 in abajo de la posicin de equilibrio con una velocidad inicial, hacia arriba, de ft/s. Deduzca la

ecuacin del movimiento libre.

SOLUCIN Como empleamos el sistema tcnico de unidades inglesas, las medidas expresadas en

pulgadas se deben pasar a pies: 6 n = ft; 8 in = ft. Adems, debemos convertir las unidades de peso,

que estn en libras, en unidades de masa. Partimos de m = W/g y, en este caso, m = slug. Tambin,

segn la ley de Hooke, 2 = k( ) implican que la constante del resorte es k = 4 lb/ft; por lo tanto, la

ecuacin se transforma en

El desplazamiento y la velocidad inciales son x(0) = , x(0) = - , donde el signo negativo en la ltima

condicin es consecuencia de que la masa recibe una velocidad inicial en direccin negativa o hacia

arriba.

Entonces, = 64, o sea, = 8, de modo que la solucin general de la ecuacin diferencial es

x(t) = c1 cos 8t + c2 sen 8t

Al aplicar las condiciones inciales a x(t) y x(t) se obtienen c1 = y c2 = - . As, la ecuacin del

movimiento es




x(t) = cos 8t - sen 8t.

Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre

El concepto del movimiento armnico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuacin

supone que no hay fuerzas de retardo que actan sobre la masa en movimiento. A menos que la masa

est colgada en un vaco perfecto, cuando menos habr una fuerza de resistencia debida al medio que

rodea al objeto. Segn se advierte en la figura, la masa podra estar suspendida en un medio viscoso o

conectada a un dispositivo amortiguador.

Ecuacin diferencial del movimiento amortiguado libre En mecnica, se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la

velocidad instantnea. En particular, supondremos en el resto de la descripcin que esta fuerza est

expresada por un mltiplo constante de dx/dt. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton

donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de

que la fuerza amortiguadora acta en direccin opuesta a la del movimiento.




Al dividir la ecuacin por la masa m, la ecuacin diferencial del movimiento amortiguado libre es

o sea

Donde

El smbolo 2 slo se usa por comodidad algebraica, porque as la ecuacin auxiliar queda m2 + 2 m +

= 0 y las races correspondientes son

m1= + , m2=

Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de . Puesto que

cada solucin contiene al factor de amortiguamiento , > 0, los desplazamientos de la masa se

vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.

CASO I: . Aqu, se dice que el sistema est sobreamortiguado porque el coeficiente de

amortiguamiento, , es grande comparado con la constante de resorte, k. La solucin correspondiente es

x(t) = c1em1t

+ c2em2t

, o bien

Esta ecuacin representa un movimiento suave y no oscilatorio.

La figura muestra la grfica de x(t).




CASO II: = 0. Se dice que el sistema est crticamente amortiguado puesto que cualquier

pequea disminucin de la fuerza de amortiguamiento originara un movimiento oscilatorio. La solucin

general de la ecuacin (ll) es x(t) = c1em1t

+ c2tem2t

, es decir,

En la figura vemos la grfica de este movimiento. Obsrvese que se parece mucho a los de un sistema

sobreamortiguado. Tambin se aprecia, segn la ecuacin, que la masa puede pasar por la posicin de

equilibrio, a lo ms una vez.

CASO III: < 0. Se dice que el sistema est subamortiguado porque el coeficiente de

amortiguamiento es pequeo en comparacin con la constante del resorte. Ahora las races m1 y m2 son

complejas:

,

Entonces, la solucin general de la ecuacin es

Como se aprecia en la figura, el movimiento que describe es oscilatorio pero, a causa del coeficiente

, las amplitudes de vibracin tienden a cero cuando t .




Ejemplo3: Movimiento sobreamortiguado

Se comprueba fcilmente que la solucin del problema de valor inicial

x(0) = 1, x(0) = 1 es

El problema se puede interpretar como representando el movimiento sobreamortiguado de una masa

unida a un resorte. La masa comienza desde una posicin 1 unidad abuso de la posicin de equilibrio con

una velocidad hacia abajo de 1 ft/s.

Para graficar x(t), se calcula el valor de t donde la funcin tiene un extremo; esto es, el valor del tiempo

para el que la primera derivada (velocidad) es cero. Al derivar la ecuacin se llega a

as que x(t) = 1 implica que e3t

= , o sea t = In = 0.157.

De acuerdo con el criterio de la primera derivada y con la intuicin fsica, x(0.157) = 1.069 ft es, en realidad, un mximo. En otras palabras, la masa llega a un desplazamiento extremo de 1.069 ft abajo de

la posicin de equilibrio.

Tambin debemos comprobar si la grfica cruza al eje t; esto es, si la masa pasa por la posicin de

equilibrio. Esto no puede suceder en este caso, porque la ecuacin x(t) = 0, o que e3t

= , tiene la

solucin t = In = -0.305 que es fsicamente irrelevante.

Ejemplo 4: Movimiento crticamente amortiguado

Una masa de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numricamente igual a

2 veces la velocidad instantnea acta sobre el contrapeso, deduzca la ecuacin del movimiento si la

masa se suelta de la posicin de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.




SOLUCIN De acuerdo con la ley de Hooke, 8 = k(2) da k = 4 lb/ft. Entonces W = mg da m =

slug. Entonces la ecuacin diferencial del movimiento es

o sea

La ecuacin auxiliar es m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = 0, de forma que rn1 = m2 = -4. Luego el sistema es

crticamente amortiguado y

x(t) = cle-4t + c2te-4t

Al aplicar las condiciones iniciales x(0) = 0 y x(0) = -3 vemos, a su vez, que c1 = 0 y c2 = -3. As, la ecuacin del movimiento es

x(t) = -3te-4t

Para graficar x(t) procedemos igual que en el ejemplo 3. De x(t) = -3e-4t

( 1 - 4t) tenemos que x(t) = 0

cuando t = . El desplazamierito extremo correspondiente es x( ) = -3( e-1

= -0.276 ft. En la figura

vemos que podemos interpretar este valor como el punto en que el contrapeso alcanza una altura mxima

de 0.276 ft sobre su posicin de equilibrio.




mxima sobre la posicin de equilibrio

Sistemas anlogos

Circuitos en serie LRC Segn planteamos en la introduccin a este captulo, diversos sistemas fsicos se

pueden describir con una ecuacin diferencial lineal de segundo orden semejante a la de las oscilaciones

forzadas con amortiguamiento:

Si i(t) representa la corriente en el circuito elctrico en serie LRC, las cadas de voltaje a travs del

inductor, resistor y capacitar de acuerdo con la segurunda ley de Kirchhoff, la suma de esas cadas es

igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; esto es,

Pero i = dq/dt relaciona la corriente i(t) con la carga del capacitar q(t), de manera que la ecuacin se

transforma en la ecuacin diferencial lineal de segundo orden




La nomenclatura que se emplea en el anlisis de circuitos es similar a la que se usa en los sistemas de

resorte y masa.

Si E(t) = 0, las vibraciones elctricas del circuito se llaman libres. Como la ecuacin auxiliar es Lm2 +

Rm + l/C = 0, habr tres formas de la solucin cuando R 0, dependiendo del valor del discriminante R2

= - 4L/C. Se dice que el circuito es

sobreamortiguado si R2- 4L/C>O,

crticamente amortiguado si R2 - 4L/C = 0,

Y subamortiguado si R2 - 4L/C < 0.

Ejemplo 5: Circuito en serie subamortiguado

Determine la carga q(t) en el capacitor de un circuito en serie LRC, cuando L = 0.25 henry (h), R = 10

ohms ( ), C = 0.001 farad (f), E(t) = 0, q(0) = qo coulombs (C) e i(0) = 0 amperes (A).

SOLUCIN Como 1/C = 1000, la ecuacin se transforma en

q + 1Oq + 1000q = 0, 0 sea q + 4Oq + 4000q = 0.

Al resolver esta ecuacin homognea como de costumbre, tenemos que el circuito es subamortiguado y

que q(t) = e-20t

(c1 cos 60t + c2 sen 60t). Aplicamos las condiciones iniciales y obtenemos que c1 = q0 y c2 = qo/3. Entonces

q(t) = q0 e-20t

( cos 60t + sen 60t).

Cuando hay un voltaje E(t) aplicado en el circuito, se dice que las vibraciones elctricas son forzadas.

Cuando R 0, la uncin complementaria qc(t) se llama solucin transitoria. Si E(t) es peridico o una

constante, la solucin particular, qp(t) es una solucin de estado estable.

Ejercicios:




1.- Al fijar un contrapeso de 24 Ib al extremo de un resorte, lo estira 4 in. Deduzca la ecuacin del

movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte del reposo desde un punto que est 3 in arriba de la

posicin de equilibrio.

2.- Una fuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Despus, al extremo de ese resorte, se fija una masa de 50

kg y parte de la posicin de equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba. Deduzca la ecuacin del

movimiento.

3.- Una fuerza de 2 Ib estira 1 ft un resorte. A ese resorte se le une un contrapeso de 3.2 Ib y el sistema

se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguamiento numricamente igual a 0.4 la

velocidad instantnea. Deduzca la ecuacin del movimiento si el contrapeso parte del reposo 1 ft arriba

de la posicin de equilibrio.

4.- Determine la carga del capacitar en un circuito en serie LRC cuando t = 0.01 s, L = 0.05 h, R = 2 ,

C = 0.01 f, E(t) = 0 V, q(O) = 5 C e i(O) = 0 A. Encuentre el primer momento en el que la carga en el

capacitar es cero.

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

En el modelo matemtico lineal de un sistema fsico, como el de una masa y resorte o de un circuito elctrico en serie, el lado derecho de la ecuacin diferencial

es una funcin forzada, y puede representar a una fuerza externa f(t) o a un voltaje aplicado E(t). La transformada de Laplace que estudiaremos en esta seccin es una valiosa herramienta para resolver problemas como el anterior.

Definicin de la transformada de Laplace

Sea f una funcin definida para t 0. Entonces la integral

Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una funcin de s. En la descripcin general emplearemos letras minsculas para representar la funcin que se va a transformar y la mayscula

correspondiente para denotar su transformada de Laplace; por ejemplo,




Ejemplo 1: Aplicacin de la definicin

Evale .

SOLUCIN

siempre que s > 0; en otras palabras, cuando s > 0, el exponente -sb es negativo, y e-sb

cuando

b . Cuando s < 0, la integral es divergente.


Evale .

SOLUCIN

Al integrar por partes


Evale .




SOLUCIN De acuerdo con la definicin,

Ejercicios:

En los problemas siguientes aplique la definicin para determinar .

1.- f(t) = 2t4 2.- f(t) = t5 3.- f(t) = 4t - 10 4.- f(t) = 7t + 3 5.- f(t) = t2 + 6t - 3




6.- f(t) = -4t2 + 16t + 9 7.- f(t) = (t + 1)3 8.- f(t) = 1 + e4t 9.- f(t) = t2 e-9t + 5 10. f(t) = (1 + e2t)2

TRANSFORMADA INVERSA

En la seccin anterior nos ocupamos del problema de transformar una funcin f(t) en otra funcin F(s)

mediante la integral . La representamos simblicamente de la siguiente manera:

. Ahora invertiremos el problema; es decir, hallar la funcin f(t) que

corresponde a esa transformacin. Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

f(t) = .

Ejemplo 1:

Evale




SOLUCIN Para coincidir con la forma que aparece en la parte b) del teorema, vemos que n = 4, y

despus multiplicamos y dividimos entre 4!. En consecuencia,

Ejemplo 2:

Evale

SOLUCIN Como k2 = 64, arreglamos la expresin multiplicndola y dividindola entre 8. Segn la parte

d) del teorema,

Ejemplo 3 Divisin trmino a trmino y linealidad

Evale

SOLUCIN La funcin dada de s se puede expresar en dos partes, con un comn denominador:

De acuerdo con la propiedad de linealidad de la transformada inversa y las partes e) y d) del teorema,

tenemos que

Fracciones parciales Las fracciones parciales desempean un papel importante para determinar las transformadas inversas de Laplace, en los tres ejemplos siguientes repasaremos las operaciones




algebraicas bsicas para los tres casos de descomposicin en fracciones parciales; por ejemplo, los

denominadores de

contienen, respectivamente, factores lineales distintos, factores lineales repetidos y una expresin

cuadrtica sin factores reales. Consltese la descripcin ms completa de esta teora en un libro de

clculo infinitesimal.

Ejemplo 4: Fracciones parciales y linealidad

Eva1e

SOLUCIN Existen constantes A, B y C nicas, tales que

Dado que los denominadores son idnticos, los numeradores deben ser idnticos:

1 = A(s + 2)(s + 4) + B(s - l)(s + 4) + C(s - l)(s + 2).

Comparamos los coeficientes de las potencias des en ambos lados de la igualdad y tenemos que esta

ecuacin equivale a un sistema de tres ecuaciones con las tres incgnitas A, B y C, sin embargo, debemos recordar el mtodo siguiente para determinarlas. Si hacemos s = 1, s = -2 y s = -4, que son los

ceros del comn denominador (s - 1)(s + 2)(s + 4), obtenemos, a su vez,

1 = A(3)(5), 1 = B(-3)(2), 1 = C(-5)(-2)

O sea que A= , B= - y C = ; por consiguiente, podremos escribir




y as, segn la parte c) del teorema


Evale

SOLUCIN Suponemos que

de modo que

s + 1 = As(s + 2)3 + B(s + 2)3 + Cs2(s + 2)2 + Ds2(s + 2) + Es2.

Con s=0 y s =-2 se obtienen B= y E= , respectivamente. Igualamos los coeficientes de s4, s

3 y s

llegamos a

0 = A + C , 0 = 6A + B + 4C + D, 1 = 8A + 12B,

de donde se sigue que A = , C = y D = 0; por consiguiente, de acuerdo con las partes a), b) y c)

del teorema,





Evale

SOLUCIN Suponemos que

de modo que

3s - 2 = As

2(s2 + 4) + Bs(s

2 + 4) + C(s

2 + 4) + (Ds + E)s

3.

Con s = 0 se obtiene de inmediato C = . Ahora bien, los coeficientes de s4, s

3, s

2 y s son,

respectivamente,

O=A+D, O = B + E , 0 = 4A + C, 3 = 4B,

de donde obtenemos B = E = , A = y D = ; as pues de acuerdo con las partes a), b), e) y d) del

teorema,

Ejercicios: Determinar la transformada inversa que se pide.




TEOREMAS DE TRASLACIN Y DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA

No conviene aplicar la definicin cada vez que se desea hallar la transformada de Laplace de una

funcin f(t); por ejemplo, la integracin por partes que se usa para evaluar, digamos es

imponente, y el calificativo es modesto. En la descripcin siguiente presentaremos varios teoremas que

ahorran trabajo, sin necesidad de recurrir a la definicin de la transformada de Laplace. En realidad, es

relativamente fcil evaluar transformadas como , y , siempre y

cuando conozcamos {cos 6t}, y , respectivamente. Si bien se pueden formar

tablas extensas se aconseja conocer las transformadas de Laplace de las funciones bsicas como tn, e

at,

sen kt, cos kt, senh kt y cosh kt.

Primer teorema de translacin

Ejemplo 1: Primer teorema de traslacin

Evale a) b)

SOLUCIN Los resultados son consecuencia del teorema de translacin.

(a)

(b)

Ejemplo 2: Completar el cuadrado para determinar

Evale

SOLUCIN Si tuviera factores reales, emplearamos fracciones parciales; pero como este

trmino cuadrtico no se factoriza, completamos su cuadrado.




Los dems temas faltan desarrollarlos.

c) Transformadas de derivadas, integrales y funciones peridicas

d) Aplicaciones




REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Titulo Diferenciales con aplicaciones de Modelado

Autor DENNIS G. ZILL

Editorial Thomson

Titulo Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera

Autor DENNIS G. ZILL/MICHAEL R.

Editorial Thomson

Titulo Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera Autor WILLIAM E. BOYCE/RICHARD C. DI PRIMA

Editorial Limusa




Observaciones:

- La presente gua de estudios tiene como finalidad servir de instrumento orientador del

aprendizaje a los estudiantes de la licenciatura MES XXI - II que han elegido el examen global

voluntario como una opcin para acreditar una asignatura.

- La gua incluye una presentacin general de la asignatura que contiene: objetivo general,

objetivos especficos y contenidos temticos por unidad, con el fin de que el estudiante tenga una

visin amplia sobre los contenidos del examen.

- La informacin anterior permitir realizar un anlisis que facilite la preparacin del examen,

definiendo los conocimientos a recordar o reforzar, as como las actividades que faciliten el

aprendizaje.

- La gua debe cubrir todas las unidades del programa de estudios.

- En la gua de preguntas deben incluirse: preguntas, ejercicios o casos prcticos, dependiendo del

tipo de materia que se imparte.

- Las referencias bibliogrficas deben incluir la bibliografa del programa de estudios, y las que a su

criterio puedan incluirse, pero verificando que todas se encuentren en nuestro Centro de

Informacin.

- Se solicita grabar su informacin en la versin 5.0 de word para Windows, utilizando letra arial de

12 puntos, con el propsito de uniformar los criterios de forma de nuestros exmenes.

- La elaboracin del examen global debe comprender preguntas abiertas, falso verdadero, relacin

de columnas, ejercicios o casos prcticos, dependiendo del tipo de materia que se imparte.

Teniendo como valor total 100.

guía de examen global de ecuaciones diferenciales

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