guia de ecuaciones difereciales junio
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GUA PARA EL EXAMEN A TTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
GUA PARA EL EXAMEN A TTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMTICASI. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
VARIABLES SEPARABLESPara esta seccin se proporciona la solucin completa de las ecuaciones para que puedas repasar las tcnicas de integracin, ya que muchas veces el problema no son los procedimientos sino las integrales que resultan:
ECUACIONES HOMOGNEAS. Resolver las siguientes E.D. empleando el mtodo de sustitucin:1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ECUACIONES EXACTAS. Verifique si la E.D. es exacta y resulvala:1.
2.
No es exacta
3.
4.
5.
6.
No es exacta
7. ,
8. .
ECUACIONES LINEALES. Resuelva las siguientes E.D. por el mtodo de factor integrante.
ECUACIONES DE BERNOULLI. Resuelva las siguientes E.D. empleando la sustitucin apropiada:1.
2.
3.
4.
5.
6.
MISCELNEOS E.D. ORDEN 1: Resolver los siguientes problemas por el mtodo que le sea posible:
5.
6. K Constante, T(0)=200
II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDENCOEFICIENTES INDETERMINADOS. Resuelva las E.D. siguientes por el mtodo de coeficientes indeterminados.1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
VARIACIN DE PARMETROS. Resuelva las siguientes E.D. por el mtodo de variacin de parmetros. 1.
;
2.
3.
4.
EMBED Equation.3
5.
6.
7.
8.
ECUACIONES DE CAUCHY EULER. Resuelva las siguientes E.D. de Cauchy-Euler. Para las ecuaciones no homogneas aplique variacin de parmetros.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. , ,
8.
9.
III. TRANSFORMADA DE LAPLACE1. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:a) L
para 1) f (t) =
2) f (t) =
b) L
c) L
d) L
e) L
f) L
g) L
2. Determine la Transformada de Laplace Inversa de las siguientes funciones:a) L-1
b) L-1
c) L-1
d) L-1
e) L-1
f) L-1
g) L-1
h) L-1
i) L-1
j) L -1
k) L -1
3. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones peridicas:
a)
b)
4. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes mediante Transformada de Laplace
a)
b)
c)
y(0) = 1, y(0) = -1
d) y(0) =2, y(0) =6
e) y(0) =0, y(0) =0
f) y(0) =0, y(0) =1
g) y(0) =0, y(0) =1
h) y(0) =0, y(0) =0
IV. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante eliminacin o determinantes:
a)
b)
c)
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante Transformada de Laplace
a)
b)
c)
d)
b)
c)
EJERCICIOS DE CONCEPTOS Y PROBLEMAS
1. (a) Diga con sus propias palabras que entiende por soluciones linealmente independientes de una ecuacin diferencial.
(b) Enuncie el principio de la superposicin.
(c) Defina el conjunto fundamental de soluciones
(d) Demuestra que y e es un conjunto fundamental de la ecuacin
(a) 2. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera al inicio desde el reposo de un punto 6 pulgadas abajo debajo de la posicin de equilibrio.
(b) encuentre la posicin de la masa en los tiempos t = /12, /8, /6, /4, Y 9/32s.
(c) Cul es la velocidad de la masa cuando t = 3 /16 s? en que direccin se dirige la masa en este instante?
(d) en que tiempo la masa pasa por la posicin de equilibrio?
3. Una masa que pesa 64 libras alarga un resorte 0.32 pies. Al inicio la masa se libera desde un punto que esta 8 pulgadas arriba de la posicin de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s
(a) encuentre la ecuacin de movimiento
(b) Cules son amplitud y periodo del movimiento?
(c) Cuntos ciclos completos habr completado la masa al final de 3 segundos?
(d) en que momento la masa pasa por la posicin de equilibrio con direccin hacia abajo por segunda vez?
(e) en que instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posicin de equilibrio?
(f) cual es la posicin de la masa en t = 3s?
(g) cual es la velocidad instantnea en t = 3 s?
(h) Cul es la aceleracin en t = 3s?
(i) Cul es la velocidad instantnea en los instantes cuando la masa pasa por la posicin de equilibrio?
(j) en que instante la masa esta 5 pulgadas abajo de la posicin de equilibrio apuntando en direccin hacia arriba?
4. Calcule la carga del capacitor en un circuito en un circuito LRC en serie cuando L = h, R = 20 , C = 1/300 f, E (t) = 0 V, q (0) = 4 C e i(0) = 0 A. alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero?
5. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC cuando L = 1/2h, R = 10, C = 0.001 f y E (t) = 100 sen 60t + 200 cos 40t V.
6. (a) Definir la Transformada de Laplace.
(b) Explique las condiciones que debe cumplir f(t) para que exista su Transformada de Laplace (c) Emplee la definicin de transformada para demostrar que:
L( sen5t ( ( 5/(s2 + 25)
L( e-5t ( ( s/(s - 5 )7. Dada
(a) Grafique la funcin.
(b) Exprese la funcin en trminos de la funcin del escaln unitario.
(c) Calcule la transformada de f aplicando la definicin.8. Usando convolucin, demuestre que:
9. Resuelva la ecuacin integral dada usando la transformada de Laplace.
10. Usando Transformada de Laplace, determina la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en el cual L = 1h, R = 20 (, C = .01 F, E(t) = 120 sen(10t) V, q(0) = 0,e i(0) = 0, cul es la corriente de estado estable?. f(t)
1
-1
0 1 2 3 4t
f(t)
1
0 1 2 3t
3
22
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