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7/25/2019 Guia de control.docx

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PROBLEMA 1

Linealice las siguientes funciones alrededor de x , y , z

(a) f(x )=x2

(b) f(x , y )=xy

(c) f(x , y , z )=xyz

(d) f(x )=x

(e) f(x , y )=xy

(f) f(x , y )=ln (xy )

(g) f(x , y )=x cosy

(h) f(x , y )=exp (xy )

SOLUCIN:

Utilizando la expansin de Taylor de orden 1 alrededor de x , y , z

f(x , y , z ) f(x , y , z )+ f

x( x , y , z ) (x x )+

f

y( x , y , z ) (y y )+

+ f

y ( x , y , z ) (z z )

(a) f(x )=x2

x

2

x

2

+2 x (xx )

(b) f(x , y )=xy

xy xy + y (x x )+ x (y y )

(c) f(x , y , z )=xyz

xyz xyz + yz (x x )+ xz (y y )+ xy (zz )

(d) f(x )=x

x x+ 1

2x (xx )

(e) f(x , y )=xy


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xy x y+y (x x )+ x

2y (y y )

(f) f(x , y )=ln (xy )

ln (xy )ln ( xy )+ 1x

(x x )+ 1y

(y y )

(g) f(x , y )=x cosy

x cosy x cosy +cosy (x x ) x seny (y y )

(h) f(x , y )=exp (xy )

exp (xy ) exp ( xy )+ y exp ( xy ) (x x )+ x exp ( xy ) (y y )

PROBLEMA 2. Modelo matemtico de un tanue


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V-1

LT

LTL

T-1

!et point

"escripcin#

T-1# Tan$ueV-1# V%l&ula reguladoraLT# 'edidor y Transisor de ni&elL# ontrolador de ni&el

HR # !et point del ni&el del

tan$ue o &alor deseado

h (t) # i&el del tan$ue

Q0(t) # audal de entrada

Q (t) # audal de salida

u (t) # !e*al de control

pro&eniente de L


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PROBLEMA !. Modelo matemtico en "uncione# de t$an#"e$encia dedo# tanue# en #e$ie

onsidere un sistea isot+rico $ue consiste en dos tan$ues en serie coo seuestra en la gura .l /uido en fase l0$uida es ipulsado al prier tan$ue

con un caudal de alientacin Q0(t) bos tan$ues tienen %reas

trans&ersales constantes A 1 , A 2 respecti&aente .l caudal $ue

abandona el prier tan$ue a tra&+s de la &%l&ula V-1 $ue de2a caer por

gra&edad el /uido siguiendo la ecuacin

Q1 (t)=CV1 h1 (t)

donde Q1 (t) es el caudal $ue abandona el prier tan$ue, h1(t) el ni&el de

l0$uido en el prier tan$ue y CV1 el coeciente de descarga de la &%l&ula


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V-1 .l caudal $ue abandona el segundo tan$ue a tra&+s de una &%l&ulareguladora V-3 &iene dada por

Q2 (t)=CV2 vp(t)h2 (t)

"onde Q2 ( t) es el caudal $ue abandona el segundo tan$ue, h2(t) el ni&el

de l0$uido en el segundo tan$ue, CV2 el coeciente de descarga de la

&%l&ula V-3 y vp(t) es la posicin de la &%l&ula, es decir, la fraccin $ue est%

abierta esta &%l&ula en cual$uier instante donde 0 vp(t) 1

Los &alores de las constantes son A 1=1 [m2 ] , A 2=2 [m

2 ] ,

CV1=0,005 [m5/ 2 / s ] , CV2=0,006 [m5/ 2

/ s ] Los &alores en el punto de operacin

en estado estacionario son Q0=0,005 [m3

/ s ] , vp =0,5 4nicialente, elcaudal se encuentra en el punto de operacin

(a) 5orule el balance de asa en estado transitorio y estado estacionarioalcule los ni&eles del tan$ue en el punto de operacin

(b) .scriba el odelo ate%tico del sistea en t+rinos de las &ariablesde perturbacin

(c) uidadosaente identi$ue las funciones no lineales del sisteaLinealice el odelo presentado en (b)

(d) 6btenga las funciones de transferencia H2 ( s ) /Q0

(s ) , H2 ( s ) / vp

( s )

(e) onstruya el diagraa de blo$ues del sistea, indi$ue las se*ales deentrada y salida

(f) 4denti$ue las &ariables edida, anipulada y controlada onstruya undiagraa de blo$ues del lazo de control $ue se*ale &ariable dereferencia (!et 7oint) y perturbaciones sobre el sistea La funcin de

transferencia del edidor-transisor es Gm(s ) , la del controlador es

GC( s ) y la del actuador es GV(s )


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Tan$ue 1

Tan$ue 3V-3

V-1


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SOLUCIN:

%a&Ecuacione# de 'alance de ma#a t$an#ito$io ( en e#tadoe#taciona$io )a$a cada tanue:

Acumulacin=Enta!ale

{A 1" h1

"t =Q0 (t)Q1(t)

A 1" h1

"t =Q0

Q1=0

{

A 2" h2

"t =Q1 (t)Q2(t)

A 2" h2

"t

=Q1Q2=0

Punto de o)e$aci*n:

Q1= Q2= Q0 =0,005 [m3 / s ]

Q1=CV1h1 h1=(Q1CV1 )

2

=( 0,0050,005 )2

=1 [ m ]

Q2=CV2 vp h2

h2=

( Q2

CV2 vp )2

=( 0,005

0,008 0,5 )2

=1,56 [m ]

%'&Modelo matemtico en t+$mino# de la# ,a$ia'le# de)e$tu$'aci*n:

8estando el balance en estado transitorio y el balance en estado estacionariose obtiene

{A 1

"

"t(h1 h1 )= (Q0(t) Q 0 )(Q 1 ( t)Q1 )

A 2"

"t(h2h2 )=(Q1(t) Q 1)(Q2( t)Q2 )

{A 1

" h1

"t =Q 0

(t)Q1 (t)

A 2" h

2

"t =Q1

(t)Q2

(t)

!ustituyendo las ecuaciones constituti&as escritas en t+rinos de las &ariablesde perturbacin


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Q1 (t)=CV1h1( t)

Q1=CV1h1 }Q1 (t)=CV1 (h1 (t)h1)Q2 (t)=CV2 vp (t)h2 (t)

Q2 =CV2 vp h2 }Q2

(t)=CV2(

vp (t)h2 (t)vph2)

%c&Lineali-aci*n del modelo:

Las expresiones h1 (t) , vp(t)h2(t) no son lineales Linealizando cada

expresin

f(x , y ) f( x , y )+ f

x( x ,y ) (x x )+

f

y( x , y ) (y y )

h1 h1+ 12h1(h1h1 )h1h1= 12h1

h1 (t)

vp h2 vp h2+h2 ( vp vp )+ vp

2h1(h2h2 ) vp h2 vp h2=h2 vp

(t)+ vp

2h1h2

(t)

Q1 (t)=CV1 (h1(t)h1)=

CV1

2h1h1

(t)

Q2 (t)=CV2 ( vp(t)h2(t) vp h2 )=CV2(h2 vp (t)+ vp2h2 h2

(t))%d&uncione# de t$an#"e$encia del modelo:

plicando la transforada de Laplace a las ecuaciones del balance de asa

# [ f( t)] $ %( s)=0

&

est

f( t) "t

{# [A1" h1

"t]=# [Q0 (t)Q1 (t)]# [A 2 " h2

"t]=# [Q1 (t)Q2 (t)]{ A 1 ( s H1

(s )h1 (0 ))=Q0

( s )Q1 ( s)

A2(s H2 ( s)h2

(0 ))=Q1 (s )Q2

(s )


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Las condiciones iniciales son h1 (0)=h2

(0 )=0 plicando la transforada de

Laplace a las ecuaciones constituti&as

# [Q1 (t)]=CV1

2h1 # [ h1 ( t)]Q1 ( s)=

CV1

2h1 H1

(s )

# [Q2 (t)]=CV2h2 # [vp

(t)]+CV2 vp

2h1 # [h 2

(t)]Q2 (s )=CV2 h2 vp

(s )+CV2 vp

2h2 H2

( s )

!ustituyendo en las ecuaciones de balance de asa

{

A 1 s H1 (s )=Q0

(s )CV1

2h1 H1

(s )

A 2 s H2 ( s)=

CV1

2h1 H1

( s)CV2 h2 vp (s )

CV2 vp

2h2 H2

(s )

"e la priera expresin se obtiene

H1 (s )

Q0 (s )

= 1

A 1 s+ CV1

2h1

=

2h1CV1

2A1 h1CV1

s+ 1

9 de la segunda expresin se obtiene

H2 ( s)=

CV1

2h1

A 2 s+CV2 vp

2h2

H1 ( s)

CV2h2

A2 s+CV2 vp

2h2

vp (s )

H2 ( s)=

CV1

2h1

A 2 s+

CV2 vp

2h2

2h1CV1

2A1h1CV1 s+1

Q0 (s )

CV2 h2

A2 s+

CV2 vp

2h2

vp (s )

"e las cuales se obtienen las siguientes funciones de transferencia respecto alas entradas#


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H2 (s )

Q0 (s )

=

2h1CV1

2A1 h1CV1

s+ 1

CV1

2h1

A2 s +CV2 vp

2h2

=

2h2CV2 vp

(2A1 h1CV1 s +1)(2A2 h2

CV2 vps +1)

H2 (s )

vp (s )

= CV2 h2

A 2 s+CV2 vp

2h2

=

2 h2

vp

2A2 h2CV2 vp

s +1

Las funciones anteriores pueden escribirse de la fora (es recoendableescribirlas asi)

H2 (s )

Q0 (s ) =

'1

( (1 s +1 ) ((2 s +1)

H2 (s )

vp (s )=

'2

(2 s+ 1

"onde las constantes de tiepo y las ganancias son

(1=2A1 h1

CV1(2=

2A2 h2CV2 vp

'1= 2h2CV2 vp

'2=2 h2

vp

%e&/ia0$ama de 'loue# del #i#tema:

H2 ( s)=

H2 (s )

Q0 (s )

Q0 ( s)

H2 (s )

vp (s )

vp (s )

Los diagraas de blo$ue de un sistea se pueden representar de uchasaneras 6tra fora de representar el diagraa de blo$ues anterior de fora

e$ui&alente es el siguiente diagraa


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%"& a$ia'le# medida cont$olada ( mani)ulada. La-o de cont$ol (de#c$i)ci*n

a$ia'le medida: &ariable $ue se ide en el proceso, generalente la&ariable edida es la &ariable controlada, pero existen casos donde la &ariablecontrolada no se puede edir directaente y se recurre a edir otra &ariable

$ue perita obtener indirectaente la edicin de la &ariable controlada .neste caso la &ariable edida es h2(t) puede ser edida directaente

a$ia'le cont$olada:es la &ariable en constante onitoreo, es la &ariable$ue no debe ale2arse del &alor deseado .n este caso la &ariable controlada es

h2(t)

a$ia'le mani)ulada: es la &ariable $ue puede odicarse durante elproceso !iepre est% asociada a &%l&ulas reguladoras en los sisteas detan$ues La &ariable anipulada es una de las &ariables de entradas al

sistea La &ariable anipulada es la posicin de la &%l&ulav

p(t)


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Set )oint

#i#tema

Cont$olado$ 3 actuado$

Medido$

Pe$tu$'aci*n


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.l Set Point H2,ef (s ) es el &alor deseado o de referencia en el ni&el del

tan$ue La #e4al de e$$o$ E (s ) es la diferencia entre el set point y el &alor

edido )( s ) del ni&el del tan$ue en cual$uier instante La #e4al de

cont$ol *(s ) , es la se*al $ue le en&0a el controlador a la &%l&ula,generalente consiste en una serie de se*ales el+ctrica : neu%tica (en esteorden), donde el actuador anipula directaente una &ariable del proceso, en

este caso la posicin de la &%l&ula vp (s ) La #e4al medida )( s) es la

edicin realizada a H2 ( s ) en un instante, en un caso ideal, )( s)=H2

( s)

por lo $ue Gm(s )=1 (se denoina retroalientacin unitaria), en un caso

desfa&orable puede tener un retardo, si es as0, la funcin de transferencia del

edidor es Gm(s )=et"s

PROBLEMA 5. /ia0$ama de 'loue# de un #i#tema de un $eacto$ Batc6con con,ecci*n7$adiaci*n

"entro de un recipiente et%lico se lle&a a cabo una reaccin de orden cerocuyo balance de energ0a en la carcaza et%lica del reactor tiene el odeloate%tico siguiente

m)C+)"((t)

"t = HRV -0 e

Ea /R

((t)*A ((( t)(&(t))./A ((

4 ( t)(&4 (t) )

!e consideran constantes los par%etros m)C+) , HRV , -0 ,

Ea /R , *A , ./A ; (& es conocido

(a) Linealice el odelo ate%tico(b) pli$ue la transforada de Laplace, sin realizar siplicacin alguna

construya el diagraa de blo$ues del sistea

(c) !ipli$ue y obtenga la funcin de transferencia ( ( s )/(&

(s )

SOLUCIN:

{m)C+)"((t)

"t = HR V -0 e

Ea /R

((t)*A (((t)(&( t))./A ((4 (t)(&4 (t) )

m)C+)" (

"t =0= HR V -0 e

Ea /R

(*A (((& )./A ( (

4(&

4 )

6bteniendo la ecuacin en t+rinos de &ariables de perturbacin


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m)C+)" (

(t)"t

= HR V -0(eE

a/R

(( t)e

Ea /R

( )*A ( ( (t)(& (t))./A (( (4 (t)(4 )((&4 (t)(&4 ))(a) L7riero linealizando los t+rinos de potencia


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(c) !iplicando la funcin obtenida en (b)

(m) C+)s+ HR V -0EaR (2 eEa/R

( +*A + 4(3

./A)( (s )=(*A + 4(&3 ./A )(& ( s )(

(s )(&

(s )=

*A + 4(&3

./A

m)C+)s + HR V -0E a

R(

2 e

Ea

/R

( +*A + 4(3

./A

6 tabi+n se representa cannicaente

( (s )

(& (s )

= '

(s+1

"onde, la ganancia y la constante de tiepo son respecti&aente

'= *A +4 (&

3./A

HR V -0Ea

R (2 e

Ea

/R

(+*A +4 (

3./A

(=m) C+)

HR V -0Ea

R (2

e

E a/R

(+*A + 4 (

3./A


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PROBLEMA 8

(a) 8eduzca el siguiente diagraa de blo$ues y obtenga 0(s )/11 ( s) y

0( s )/12 ( s )

(b) 8eduzca el siguiente diagraa de blo$ues y obtenga C( s)/R (s ) y

C( s)/# (s )


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SOLUCIN:

%a&Reducci*n del dia0$ama de 'loue# %a&

partir de las se*ales resueltas en el diagraa de blo$ues, se obtiene $ue

0=11 G3(G1G2 )+12(G41)

Cuyas funciones de transferencia son

0

11=G3 (G1G 2)

0

12=G41

%'&Reducci*n del dia0$ama de 'loue# %'&

plicando la reduccin del lazo interno


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C(s )

R ( s )=

G2 G4

1+GC2G1 G3+GC1GC2G1 G4 G5

C(s )

# (s )=

GC1 GC2 G1G 4

1+GC2G1 G3 +GC1 GC2G1 G4 G5

PROBLEMA 8. Modelo matemtico de un $eacto$ i#ot+$mico con'alance de ma#a

onsidere un reactor cuya geoetr0a se uestra en la gura Una solucin

acuosa cuyo soluto es >? entra al recipiente con un caudal constante f0 y

una concentracin de CA0 (t) .sta solucin se ezcla con agua pura $ue

entra al recipiente con un caudal anipulable f1( t) .l soluto experienta

una reaccin de hidrlisisA

2

3 , y debido a $ue el agua est% en

abundancia se tiene una cin+tica de orden cero en el reactor, cuyo coeciente

cin+tico es constante e igual a -0 #

A(t)=-0

.l caudal $ue abandona el recipiente f( t) , a tra&+s de una &%l&ula

anipulable (V-1) $ue de2a caer por gra&edad el /uido siguiendo la ecuacinde ec%nica de /uidos

f( t)=CV vp (t) h (t)

"onde h (t) el ni&el de l0$uido en el segundo tan$ue, CV es una constante

denoinada >coeciente de descarga de la &%l&ula? y vp( t) es la posicin de

esta &%l&ula, es decir, la fraccin $ue est% abierta esta &%l&ula en cual$uier


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instante donde 0 vp(t) 1 .l /uido sale a la concentracin del tan$ue

CA(t) suponiendo $ue el tan$ue est% bien agitado y suponga tabi+n $ue

las densidades de los /uidos $ue entran y salen son iguales onsidere $ue elsistea es isot+rico

(a) 5orule el balance de asa en estado transitorio y estado estacionario yescriba el odelo ate%tico del sistea en t+rinos de las &ariablesde perturbacin

(b) uidadosaente identi$ue las funciones no lineales del sisteaLinealice el odelo

(c) onstruya el diagraa de blo$ues del sistea, indi$ue las se*ales deentrada y salida

(d) @alle H (s )/%1

(s ) , H (s )/ vp

(s ) , CA ( s )/CA 0

(s ) , CA ( s )/ vp

( s ) ,

CA ( s )/%1

( s)

(e) !uponga $ue el ni&el h (t) puede edirse y desea controlarse

anipul%ndose vp(t) onstruya un diagraa de blo$ues del lazo de

control $ue se*ale &ariable de referencia (!et 7oint) y perturbacionessobre el sistea La funcin de transferencia del edidor-transisor es

Gm(s ) , la del controlador es GC( s ) y la del actuador es GV(s )


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Tan$ueV-1


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.l &oluen del recipiente pris%tico &iene dado por

V( t)=Vmax

a+ (4a ) h (t)Hmax

a+4

h (t)Hmax

=5 h (t)+6 h 2 (t)

SOLUCIN:

(a) "e la conser&acin de la asa en estado transitorio y estacionario seobtiene $ue

{"V( t)

"t =f0+ f1 (t)f( t)

"V

"t =f0+

f1 f=0

8estando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene el balance de asa ent+rinos de &ariables de perturbacin

" V (t)

"t =f1

(t)f (t)

"onde el caudal de salida es

{f( t)=CVv p (t)h (t) f=CVvp h f (t)=CV(vp(t)h (t) vp h)

"el balance de asa de soluto se obtiene $ue

" nA(t)

"t =f0CA 0(t)f( t)CA( t)+ A( t) V( t)

{"

"t(CA(t)V( t))= f0CA 0(t)f( t)CA(t)-0 V( t)

"

"t( CAV)= f0 CA0f CA-0 V=0

8estando las ecuaciones anteriores se obtiene el balance de soluto en t+rinosde &ariables de perturbacin

"

"t(CA(t)V( t) CA V)=f0(CA 0(t) CA0)( f( t)CA(t)fCA)-0(V( t)V)


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"

"t(CA(t)V( t) CA V)=f0 CA0

(t)( f( t)CA(t)fCA )-0 V ( t)

!ustituyendo el caudal de salida

"

"t(CA(t)V( t) CA

V)= f0 CA0

(t)CV(vp (t)h (t)C

A(t) vp h

CA )-

0V

( t)

(b) ntes de continuar se linealizan todos los t+rinos

f(x , y , z ) f(x , y , z )+ f

x( x , y , z ) (x x )+

f

y( x , y , z ) (y y )+

f

z( x ,y , z ) (zz )

T+rino de oles en el tan$ue CA(t) V(t) #

CA(t) V(t) CA V+V (CA(t) CA )+ CA (V(t)V)

CA(t) V(t) CA V=V CA (t)+ CA V

(t)

T+rino del caudal de salida vp(t)h (t) #

vp(t)h (t) vp h+h ( vp(t) vp )+vp

2h (h (t)h )

vp(t)h (t) vp h=h vp (t)+

vp

2h h

(t)

T+rino del /u2o olar de soluto vp(t)h (t) CA( t) #

vp( t)h ( t) CA( t) vp h CA +h CA ( vp(t) vp )+vpCA

2h (h (t)h)+ vp h (CA(t) CA)

vp(t)h (t) CA(t) vp h CA =h CA vp (t)+

vp CA

2h h

(t)+ vp h CA ( t)

T+rino del &oluen del tan$ue de %rea trans&ersal &ariable

V( t)=5 h (t)+6 h2 (t) #

{V( t)=5 h (t)+6 h2 (t)

V=5 h+6 h2 V

( t)=5 h (t)+6 ( h2 (t) h2 )


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h2 (t) h2 +2 h (h (t)h )h2 (t)h2=2h h (t)

V (t) 5 h (t)+6 2 h h (t)= (5+26 h) h (t)

!ustituyendo las linealizaciones en el balance de asa

"

"t((5+ 26 h ) h (t))= f1

(t)CV(h vp ( t)+ vp2h h (t))

(5+ 26h)" h (t)

"t = f1

(t)CVh vp (t)

CVvp

2hh

(t)

!ustituyendo las linealizaciones en el balance de soluto

"

"t(V CA

(t)+ CA V

( t))=f0 CA 0

(t)CV(h

CA vp

( t)+

vp CA

2h h

(t)+vp h CA

(t))-0 V

(t)

V " CA

(t)"t

+ CA ( 5+26 h )" h

(t)"t

=f0 CA0 (t)CV(h CA vp (t)+ vp CA2h h (t)+vp h CA ( t))-0 ( 5+2

V " CA

(t)"t

+ CA ( 5+26 h )" h

(t)"t

=f0 CA0 (t)CVh CA vp

(t)CVvp h CA (t)( CVvp CA2h +-0(5+2

plicando la transforada de Laplace a abas ecuaciones Las condicionesiniciales de todas las &ariables de perturbacin son iguales a cero

(5+ 26h) s H (s )=%1 ( s)CVh vp

( s)CVvp

2h H

( s)

V s C A ( s )+ CA (5+26 h ) s H

( s)=f0 CA 0 (s )CVh CA vp

( s)CVvp h CA (s )( CVvp CA2h + -0(5+

"espe2ando la se*al H (s ) se obtiene

H (s )=

1

(5+26h ) s +CVvp

2h

%1 (s )

CVh

(5+26h ) s +CVvp

2h

vp (s )


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"espe2ando la se*al CA ( s ) se obtiene

(V s +CVvp h)CA ( s)=f0 CA0 ( s )CVh CA vp (s )(CV vp CA2h + -0(5+26 h )+ CA (5+26 h ) s) H ( s)

CA ( s )=

f0

V s +CV vp hCA 0

(s )CVh CA

V s+CV vp h vp

(s )(CV vpCA

2h+-0(5+26 h )+ CA (5+26 h) s

V s+CV vp h ) H ( s)

.l odelo se puede abre&iar si se denen nue&as constantes, en la fora deganancias y constantes de tiepo para reescribir el sistea con el enor

n=ero de constantes posibles !i es as0, las se*ales H (s ) y CA

( s ) se

escriben de la fora (es recoendable siepre escribir las funciones de estafora)#

{ H ( s )=

'%

(Hs +1 %1

(s ) 'V

(H s+1 vp

( s )

CA (s )=

'C(Cs+1

CA0 (s )

'VC(Cs +1

vp (s )'H

(HCs+1

(Cs+1 H

(s )

"onde cada una de las ganancias son

'%=

2h

CVvp'

V=

2 h

vp

'H=

CVvpCA

2h+-0(5+26 h )

CVvp h'C=f0

CVvp h'VC=

CA

vp

9 las constantes de tiepo son

(H=2hCVvp

(5+26h) (C=V

CVvp h (HC=

CA ( 5+26 h )CVvp CA

2h+-0(5+26 h )

(c) on esta inforacin se realiza el diagraa de blo$ues del proceso Las

se*ales de entrada son %1 (s ) , vp

(s ) y CA0 ( s) Las &ariables de

salida son H (s ) , CA

( s ) .n total se tienen dos suadores en el

diagraa de blo$ues (ya $ue hay dos ecuaciones)


28/44

(d) Las funciones de transferencia para la se*al H (s ) coo &ariable de

salida son

H (s )=

'%

(Hs+ 1 %1

( s ) 'V

(Hs +1 vp

(s ) {H

( s )%1

( s)=

'%

(Hs+ 1

H

(s )vp

(s )=

'V(Hs+1

Las funciones de transferencia para la se*al CA ( s ) coo &ariable de salida

son

CA (s )

CA 0 (s )

= 'C

(Cs +1

CA ( s)

vp (s )

='VC

(Cs +1'H

(HCs +1

(Cs+1H

( s)

vp ( s)

='H'V (HCs +1

((Cs +1 ) ((H s+ 1 )

'VC

(Cs+ 1

'H'V( (HCs+1)'VC( (H s+1 )

((Cs +1 ) ((H s+1) =

('H'V (HC'VC(H) s+'H'V'VC( (Cs +1 ) ((H s+1 )

CA ( s)

%1 (s )

='H (HCs +1

(Cs +1H

( s)

%1 ( s)

='H (HCs +1

(Cs+1

'%

(H s +1='H'%

(HCs +1

( (Cs +1) ((H s+1 )

a$ia'le medida: .n este caso la &ariable edida es h (t) puede ser

edida directaente


29/44

a$ia'le cont$olada:es la &ariable en constante onitoreo, es la &ariable$ue no debe ale2arse del &alor deseado .n este caso la &ariable controlada es

h (t)

a$ia'le mani)ulada: es la &ariable $ue puede odicarse durante el

proceso !iepre est% asociada a &%l&ulas reguladoras en los sisteas detan$ues La &ariable anipulada es una de las &ariables de entradas al

sistea La &ariable anipulada es la posicin de la &%l&ula vp(t)


30/44


31/44

Set )oint

#i#tema

Cont$olado$ 3 actuado$

Medido$

Pe$tu$'acione#

.l Set Point Hef ( s ) es el &alor deseado o de referencia en el ni&el del

tan$ue La #e4al de e$$o$ E (s ) es la diferencia entre el set point y el &alor

edido )( s ) del ni&el del tan$ue en cual$uier instante La #e4al de

cont$ol *(s ) , es la se*al $ue le en&0a el controlador a la &%l&ula,generalente consiste en una serie de se*ales el+ctrica : neu%tica (en esteorden), donde el actuador anipula directaente una &ariable del proceso, en

este caso la posicin de la &%l&ula vp (s ) La #e4al medida )( s) es la

edicin realizada a H ( s ) en un instante, en un caso ideal, )( s )=H

( s)

por lo $ue Gm(s )=1 (se denoina retroalientacin unitaria), en un caso

desfa&orable puede tener un retardo, si es as0, la funcin de transferencia del

edidor es Gm(s )=et"s

PROBLEMA 1. Clculo de la "unci*n de t$an#"e$encia a )a$ti$ de la$e)$e#entaci*n de e#tado#

Un otor el+ctrico est% descrito en base a su posicin angular 7 (t) y a la

corriente el+ctricai (t)

$ue circula a tra&+s de +l, de la anera siguiente

8 "

27

"t2

+ 3 "7

"t +' 7='1 i

R i +#"i

"t+'2

"7

"t= . (t)

dicionalente se conoce $ue el error posicional del otor es proporcional a la

diferencia entre el %ngulo de giro del otor 7 (t) y un %ngulo de referencia

(entrada &ariante en el tiepo, 7R (t) ) de la anera siguiente

. (t)='3 (7R7 )

"onde 8 , 3 , R , # , ' , ' 1 , '2 , '3 son par%etros asociados al sistea,

constantes e in&ariantes en el tiepo (a) "eterine la representacin en


32/44

&ariables de estado del sistea, si la salida del sistea es el error posicional

. (t) (b) .ncuentre la funcin de transferencia E (s )/ 7R( s)

SOLUCIN:

(a) 7riero se descopone todas las ecuaciones diferenciales enecuaciones de prier orden introduciendo el cabio de &ariable

9 ( t)="7

"t

"9

"t =

"2

7

"t2

7or lo tanto el sistea de ecuaciones puede descoponerse ediante tresecuaciones diferenciales

{ 8

"9

"t + 3 9+' 7='1 i

"7"t=9

R i+# "i

"t+'2 9='3 (7R7 )

{ "9

"t =

'

8 7

3

8 9+

'1

8 i

"7"t= 9

"i

"t=

'3

# 7

'2

# 9

R

# i+

'3

# 7R

onstruyendo las atrices con las &ariables en el orden {7 , 9 , i } y para las

entradas {7R }

"

"t

[7

9

i

]=

[ 0 1 0

'/ 8 3 / 8 '1 / 8

'3 /# '2 /# R /#

][7

9

i

]+

[ 0

0

'3 /#

]7R

La salida debe ser . (t)='3 (7R7 ) , entonces

y=['3 , 0,0 ] [7

9

i]+'3 7R

A=

0 1 0

'/ 8 3/ 8 '1 / 8'3 /# '2 /# R /#

3=

[ 0

0'3 /#]

C=['3 , 0,0 ] :='3

(b) !e aplica la transforada de Laplace a la representacin de espacio deestados


33/44

{"x

"t=Ax+ 3u

y =Cx+:u

s1( s )=A 1( s)+ 3 *( s ) ( s ;A )1(s )=3 *( s)1(s )=( s ;A )1 3 * ( s)

0( s )=C 1(s )+: *(s )

0( s )=C (s ;A )1 3 * (s )+: *(s )

s ;A=[ s 1 0'/ 8 s +3 / 8 '1 / 8'3 /# '2 /# s+R/#]La atriz in&ersa (s ;A )1 se expresa (sin calcular sus eleentos)

ediante

(s ;A )1

=[a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]0( s )=['3 ,0,0 ]

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

[

0

0

'3 /#

] *(s )+'3 *(s )

0( s )=['3 a11 ,'3 a12 ,'3 a13 ] [ 00'3/#] *(s )+'3 *( s )0( s )=

'32

# a13 *(s )+'3 *(s )

0( s)*( s)

='3(1'3# a13)

!lo falta calcular el t+rino a13 de la in&ersa de la atriz s ;A

(s ;A )1=

a"< ( s ;A )

"et( s ;A )=

1

"et( s ;A ) [411 412 413421 422 423431 432 433 ](

=[a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]


34/44

"e la expresin anterior se tiene $ue el eleento a13 de la atriz in&ersa se

puede encontrar a partir del cofactor-A,1 de la atriz s ;A el eleento

431

a13= 1

"et(s ;A )| 1 0s +3/ 8 '1/ 8|= '1/ 8

s(s+ 38)( s+R# )'1

8

'3#

('18 )('2#)s'8(s+R# )

a13= '1/ 8

s3+(38+R# )s2+( 38 R# +

'18

'2#

'

8)s +('1

8

'3#

'

8

R

# )

0( s )*( s )

='3(1'3# a13)='3 '8

R#

s3+( 38+ R# )s2+( 38 R# +

'1

8

'2

#

'

8)s+('1

8

'3

#

'

8

R

# )PROBLEMA 2. Modelo dinmico de un #i#tema #in ent$ada# ni)e$tu$'acione#

onsidere el sistea &il asa-resorte-aortiguador sin friccin, sinentradas anipulables ni perturbaciones coo se uestra en la gura

"onde z ( t) es la posicin de la asa en cual$uier instante La fuerza &iscosa

e2ercida por el aortiguador es proporcional a la &elocidad del blo$ue (ellubricante se coporta coo /uido eBtoniano)

%3=4 "z

"t

9 la fuerza del resorte es proporcional a la posicin y &iene dada por la Ley de@ooCe

%-=- z


35/44

Los &alores de las constantes son -=2 [=/ m ] , 4=3 [= s / m ] , )=1 [ -> ]

(a) 5orule el odelo ate%tico del sistea Linealice si es necesario(b) 8ealice la representacin siple en &ariables de estado (en fora

atricial)

"x

"t=A x ( t)

(c) pli$ue la transforada de Laplace a la ecuacin anterior si lascondiciones iniciales del sistea son, la posicin es D EF y el &ilparte del reposo#

z (0 )=6 "z"t

( 0 )=0

6btenga 1(s )=# [x (t)] expl0citaente

(d) Utilizando la ecuacin obtenida en (c) encuentre la respuesta din%ica

de la posicin en funcin del tiepo z ( t) y tabi+n su &elocidad

"z / "t , aplicando la in&ersa de Laplace

SOLUCIN:

(a) La ley de eBton para este sistea es

)a= %z=%3 +%-

!ustituyendo las ecuaciones constituti&as, se obtiene la ecuacin diferencialdel sistea

)"

2z

"t2

=4 "z

"t- z

(b) "ebido a $ue la ecuacin anterior es de orden 3, entonces se separa laecuacin anterior en dos ecuaciones de orden siple ediante laintroduccin del siguiente cabio de &ariable

v =

"z

"t"v

"t=

"2z

"t2

7or lo tanto

)"v

"t=4 v- z

"v

"t=

-

) z

4

) v


36/44

La ecuacin diferencial de segundo orden fue separada en dos ecuaciones deprier orden

{

"z

"t=v

"v

"t=-

) z4

) v

.scribiendo la ecuacin en t+rinos de atrices $ueda

"

"t[ z v ]=[ 0 1-/) 4 /)][ z v] "x"t=A x (t)"onde

x (t)=

[ z

v

]A=

[ 0 1

-/) 4/)

]=

[ 0 1

2 3

]dicionalente las condiciones iniciales son

x (0 )=[ z (0 ) v (0 )]=[ 6 0 ](c) .s posible obtener la transforada de Laplace a la ecuacin diferencial

atricial

"x

"t

=A x ( t)#

["x

"t

]=A # [x (t)]s 1( s)x (0 )=A 1( s )

rreglando y despe2ando 1(s ) ediante la atriz in&ersa

s 1( s )A 1( s )=x (0 ) ( s ;A ) 1( s)=x (0 )1( s )=(s ;A )1 x (0 )

alculando la in&ersa de s ;A , ediante deterinantes y cofactores#

s ;A=[ s 00 s ][ 0 12 3]=[s 12 s +3]


37/44

1

s2+3 s+2

s+3

s2+3 s+ 2

2

s2+3 s+2

(s ;A )1

=a"< ( s ;A )

a"< ( s ;A )=

[ s+3 2+1 s](

s ( s+3 )+2=

[s+3 12 s ]s ( s+3 )+2

= [ s

s2+ 3 s+ 2

]

.n la calculadora @7 puede generarse la atriz identidad ; ediante el

coando 4" cuyo arguento es el n=ero de las (en este caso es 3) La

in&ersa de s ;A puede calcularse ediante el coando 4V

La transforada de Laplace 1(s ) &iene dada por

1

s2

+ 3 s+ 2

s+ 3

s2

+3 s+2

2

s2

+ 3 s+ 2

1(s )=( s ;A )1 x (0 )= [ s

s2

+3 s+2 ] [ 6 0]=[

6 (s +3 )

s2

+3 s+2

12

s2

+3 s+ 2]

(d) 7or =ltio, se encuentra la respuesta din%ica del sistea aplicando latransforada in&ersa de Laplace 7riero, expresando cada funcin deuna fora con&eniente utilizando la separacin en fracciones siples(en la calculadora @7 puede aplicarse el coando 78T58)

6 (s +3)

s2+3 s+2

= 6 (s+3)

(s +1 ) (s+ 2 )=

12

s+1

6

s +2

12

s2+3 s+2

= 12

(s +1 ) (s+ 2 )=

12

s +1+

12

s +2


38/44

Luego, se aplica la transforada in&ersa de Laplace a cada t+rino sabiendo elsiguiente teorea operacional de la transforada de Laplace

#1[ 1s+a ]=eat

7ara obtener las siguientes funciones de posicin y &elocidad

x (t)=[ z "z / "t]=[ 12 et

6 e2 t

12 et

+12 e2 t]

{ z (t)=12 et

6 e2 t

"z

"t=12 e

t+12 e

2 t

O'#e$,aci*n:Los &alores en estado estacionario se obtienen toando l0itesdel tiepo cuando tiende a innito

z=limt 2 &

z (t)=limt 2 &

(12 et6 e2t)=0

v =limt 2 &

"z

"t=lim

t 2 &

(12 et+12 e2 t)=0

La &elocidad nal es cero por la disipacin de energ0a en el aortiguador&iscoso $ue eliina la energ0a cin+tica del sistea

PROBLEMA !. Modelo dinmico de un #i#tema con ,a$io# ti)o# deent$ada# ( )e$tu$'acione#

onsidere el sistea &il asa-resorte-aortiguador sin friccin $ue seestudia en &ibraciones ec%nicas, coo se uestra en la gura

"onde z (t) es la posicin de la asa en cual$uier instante, h ( t) es una

posicin de perturbacin (priera entrada al sistea) y f( t) es una fuerza


39/44

anipulable (segunda entrada al sistea) La fuerza &iscosa e2ercida por elaortiguador y la fuerza del resorte son respecti&aente

%3=4 "z

"t

%-=- (zh )

Los &alores de las constantes son -=2 [=/ m ] , 4=3 [= s / m ] , )=1 [ -> ]

(a) 5orule el odelo ate%tico del sistea en t+rinos de las &ariablesde perturbacin

(b) 8ealice la representacin en &ariables de estado copleta (en foraatricial)

{"x

"t=A x +3 u

y =C x+: u

!i la salida deseada es la diferencia de posiciones y (t)=z (t)h (t)

oo condiciones iniciales, considere las &ariables de perturbacinest%n inicializadas en cero Los &alores en estado estacionario para las

posiciones son h=z=0

(c) 6btenga las funciones de transferencia de salidaGentradasexpl0citaente

0( s )H( s)

0( s )%(s )

"onde

H(s )=# [ h (t)]=# [h ( t)h ] %( s)=# [ f (t)]=# [ f(t) f]

(d) .ncuentre la respuesta transitoria de y (t) para cada uno de los

siguientes casos

!6 1# f (t)= 0 , h (t) sigue un o&iiento arnico siple

h (t)=R sen (9t)

!6 3# f (t) es la funcin escaln unitario, h

(t)=0

!6 A# f (t) es la funcin ipulso de agnitud 3, h

(t)=R sen (9t)

Los &alores para la entrada senoidal son R=2 [ m ] , 9=1 [a" / s ]

SOLUCIN:


40/44

(a) .l odelo ate%tico del sistea a partir de la ley de eBton es

)a=%3+%-f( t)

!ustituyendo las ecuaciones constituti&as

)"2z

"t2

=4 "z"t

- (zh )f( t)

La ecuacin en estado estacionario es

)"

2 z

"t2=0=4

"z

"t- ( z h) f

8estando abas ecuaciones se obtiene en t+rinos de &ariables deperturbacin

)" 2z (t)

"t2

=4" z (t)

"t - (z ( t)h (t))f (t)

(b) oo la ecuacin diferencial es de segundo orden, entoncesintroduciendo un cabio de &ariable se con&ierte en dos ecuaciones deprier orden

v (t)=" z

(t)"t

"v

"t=

"2z

(t)

"t2

)"v"t

=4 v (t)- (z (t)h (t))f (t)

La ecuacin diferencial de segundo orden fue separada en dos ecuaciones deprier orden

{ " z

"t =v

"v

"t=

4

) v

-

) z

+

-

) h

f

Las &ariables de estado del sistea son x={z , v } y las entradas son

u= {h , f } onstruyendo en t+rinos de atrices de estado

{"x

"t=A x +3 u

y =C x+: u


41/44

{"

"t[z

v ]=[ 0 1-/) 4/)][z

v ]+[ 0 0-/) 1][ h

f ]

y=zh

=[ 1 , 0 ] [ z

v ]+ [1 , 0 ] [ h

f]

7or lo tanto las atrices de estado son

A=[ 0 1-/) 4/)] 3=[ 0 0-/) 1] C=[ 1, 0 ] :=[1 ,0 ]

!ustituyendo los &alores de las constantes

A=[ 0 12 3 ] 3=[0 02 1] C=[ 1, 0 ] :=[1 ,0 ]

plicando la transforada de Laplace a la representacin de estados

{"x

"t=A x +3 u

y =C x+: u

{s1( s )=A 1( s)+ 3 *( s ) 0(s )=C 1(s )+: *( s )

s1( s )=A 1( s)+ 3 *( s ) ( s ;A ) 1( s )=3 *(s )

'ultiplicando por la atriz in&ersa abos lados de la expresin anterior

(s ;A )1 (s ;A ) 1(s )=( s ;A )1 3 * ( s )

1(s )=( s ;A )1 3 * ( s )

!ustituyendo en la segunda ecuacin de la representacin

0( s )=C (s ;A )1 3 * (s )+: *(s )

0(s )=(C ( s ;A )1 3+: ) *( s )

alculando la in&ersa de s ;A , ediante deterinantes y cofactores#

s ;A=[ s 00 s ][ 0 12 3]=[s 12 s +3]


42/44

1

s2+3 s+2

s+3

s2+3 s+ 2

2

s2+3 s+2

(s ;A )1

=a"< ( s ;A )

a"< ( s ;A )=

[ s+3 2+1 s](

s ( s+3 )+2=

[s+3 12 s ]s ( s+3 )+2

= [ s

s2+ 3 s+ 2

]

!ustituyendo las atrices en 0(s )=(C ( s ;A )1

3+: ) *( s )

1

s2+3 s +2

s +3

s2+3 s+2

2

s2+3 s +2

0( s )=( [1 , 0 ] [ ss2 +3 s+2 ] [0 02 1]+[1, 0 ]) *(s )

0(s )=([ s +3s2+3 s+2 , 1s2 +3 s +2 ] [0 02 1]+ [1 , 0 ]) *( s )

0( s )=([ 2s2+3 s+2 , 1s2 +3 s +2 ]+ [1 , 0 ]) *( s)

0( s )=

[

2

s

2+3

s+ 2

1, 1

s

2+ 3

s+ 2

+0

] *(s )

0( s )=[ s2

3 s

s2

+3 s+ 2,

1

s2

+3 s+2 ] [ H( s )%(s )](c) 7or lo tanto la se*al de salida es


43/44

0( s )=s

23 s

s2

+ 3 s+2 H(s )+

1

s2

+3 s+2 %( s )

9 las funciones de transferencia son

0( s )H( s )

=s2

3 ss

2+ 3 s+ 2

0( s )%(s )

=s2

3 ss

2+3 s+2

(d) 6bteniendo la respuesta transitoria para los siguientes casos deentradas

CASO 1. f (t)=0 , h ( t) sigue un o&iiento arnico siple

h (t)=R sen (9t) #

h (t)=R sen (9t)H( s)=# [h (t)]=# [R sen (9t)]= R

s2+9

2

0(s )=s

23 s

s2

+ 3 s+2 H(s )=

s2

3 s

s2

+3 s +2

2

s2

+12

= 2

s+ 1+

4 /5

s+ 2+

6

5s

8

5

s2

+ 1

y (t)=#1 [ 0( s )]=2 et 45

e2 t

6

5 cost

8

5sent

CASO 2. f ( t) es un escaln unitario, y sin entrada en h (t)

0( s )= 1

s2+ 3 s+2

%( s )= 1

s2+3 s+2

1

s=

1/ 2

s +

1

s+1+

1/ 2

s+ 2

y (t)=#1 [ 0( s )]=12

+ et

1

2 e

2 t

CASO !. f ( t) es la funcin ipulso de agnitud 3, h

(t)=R sen (9t)

f (t)=2 ?(t)%(s )=# [ f (t)]=# [ 2 ?(t)]=2

0( s )=s

23 s

s2

+ 3 s+2 H(s )+

1

s2

+3 s+2 %( s )=

s2

3 s

s2

+3 s+2

2

s2

+ 12

+ 1

s2

+3 s+22

0( s )=2( s2+3 ss

21

s2+3 s+2 )=

4

s +1+

7

s +2


44/44

y (t)=#1 [ 0( s )]=4 et+7 e2 t

guia de control.docx

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