GUIA TRIGONOMETRIAPag 1HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esMODULO TRIGONOMETRIAGRADO 10LICEO BRILLANTE JUVENTUDPeriodo 1Unidad 1Razones trigonomtricas1. ngulos y sistemas de medicin.2. Tringulos rectngulos.3. Razones trigonomtricas.4. Relaciones bsicas entre razones trigonomtricas.5. Razones trigonomtricas de ngulos notables.6. Aplicaciones.Unidad 2Resolucin de tringulosrectngulos y las leyes del seno y del coseno1. Resolucin de tringulos rectngulos.2. Aplicacin de tringulos rectngulos.3. Reduccin al primer cuadrante.3. Ley del seno.4. Problemas de aplicacin.5. Ley del coseno.6. Problemas de aplicacin.Logros1.reconoce los angulos como parte fundamental de latrigonometra y realiza conversionesentre losdiferentes sistemas de medidas2. Utiliza las relaciones trigonomtricas para determinar longitudes y medidas dengulos.y los aplica endiferentes contextos de la vida3.resuelve tringulos no rectngulos utilizando la ley del coseno y seno y realcionendolos con problemas eaplicacionGUIA TRIGONOMETRIAPag 2HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esTrigonometraINTRODUCCINEl origen de la palabra trigonometra proviene del griego. Es la composicin de las palabras griegas trigonon:tringulo y metron: medida; trigonometra: medida de los tringulos.Se considera aHiparco (180-125 a.C.) como el padre de l a trigonometra debido principalmentepor su hal lazgo de al gunas de las relaciones entre los lados y l os ngulos de un tringul oLas primeras aplicaci ones de l a trigonometra se hicieron en los campos de la navegacin, lageodesia y la astronoma, en los que el pri ncipal problema era determinar una di stanciainaccesible, es decir, una distancia que no poda ser medida de forma directa, como ladistancia entre l a Tierra y la Luna. Se encuentran notabl es aplicaciones de las f uncionestrigonomtricas en la fsica y en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo en el estudi ode fenmenos peridi cos, como el fluj o de corriente alterna.Las dos ramas fundamentales de la trigonometra son la trigonometra esfrica y la trigonometra plana que esnuestro punto de estudio.TRIGONOMETRA PLANASe ocupa fundamentalmente de la resolucin de tringulos planos. Para ello, se definen las razonestrigonomtricas de los ngulos y se estudian las relaciones entre ellas.ANGULOS Y SUS MEDIDASSe considera un angulo como la abertura entre dos semirrectas de origen comun.Supongamos el rayo 0A fijo y el rayo 0B mvil. Comenzamos con los dos rayos coincidiendo. Ahora, hagamosgirar 0B alrededor de 0. En cada posicin de giro, 0B determina un ngulo con 0A: el ngulo A0B. Se haconvenido considerar los ngulos generados en sentido contrario a las manecillas del reloj como positivos, y alos generados en el mismo sentido de las manecillas del reloj como negativos: de acuerdo con la ilustracinde la derecha (Fig.1), el ngulo A0B es positivo y el ngulo A0B' es negativo.FIG2GUIA TRIGONOMETRIAPag 3HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esGRAFICAS DE ANGULOS EN POSICION NORMALSe dice que un ngulo est en posicin normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas enun sistema rectangular de ejes coordenados (Plano Cartesiano). Y cuyo vrtice est en el origen de coordenadas (puntodonde se intersectan los ejes).En la figura de la derecha se ilustra un ngulo en posicin normal, el ngulo A0B.Ejemplos:Graficarngulos de 45, 125Otros ngulosGUIA TRIGONOMETRIAPag 4HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esUnidad de medida de los ngulos: los ngulos se expresan en grados sexagesimales, grados centesimales o en radianes.sistema sexagesimalse considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales; y un ngulo de 1 sexagesimal es la medida de aquel quese genera cuando el giro, en el mismo sentido de las manecillas del reloj, del lado Terminal es de 1/360 parte de unavuelta completa. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partesiguales llamadas segundos. Los smbolos para estas unidades son:Grado 1 = 60Minuto `1 = 60Segundo Expresin compleja y decimal de la medida de un ngulo sexagesimalLa medida de un ngulo puede venir expresada en grados , minutos y segundos , o en una sola unidad :830'36'' 8.51Forma compleja Forma decimalVeamos como se pasa de una a otra :830'36'' = 830'36/60' = 830'0'6' = 8 30'6' = 830'6/60 = 80'51 = 8'518'51 = 8 0'51 60' = 8 30'6' = 830'0'6 60'' = 830'36''Operaciones con medidas de ngulos sexagesimalesa) SumaPara sumar ngulos deberemos sumar grados con grados , minutos con minutos y segundos con segundos .32 15' 6''+ 2 8' 29''34 23' 35''Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60 , lo pasamos a la unidad inmediatamente superior .1520'16''+ 2030'54''3550'70''Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresaramos como :3551'10''Importante : si la suma de dos ngulos es 90 , es decir , juntos forman un ngulo recto , se dice que son complementarios. Si la suma de dos ngulos es 180 , es decir , forman un ngulo llano , se dice que son suplementarios .b) RestaLa operacin se dispone igual que la sumaGUIA TRIGONOMETRIAPag 5HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.es3031'12''- 22'48''Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos : 3031'12'' =3030'72''Con lo cual ya podemos realizar la resta :3030'72''- 22'48''308'24''c)MultiplicacinPara multiplicar un ngulo por un nmero natural debemos multiplicar los grados minutos y segundos por ese nmero :420'10''x 520100'50''Ahora bien como 100' = 1 40' se tiene que : 20100'50'' = 2140'50''d) DivisinPar dividir un ngulo entre un nmero natural , se dividen por separado grados , minutos y segundos entre este nmeronatural :20637'46''5064119'33''1x60 = 60'97'47'2'x60 = 120''166''161''Otra forma de operar con grados sexagesimales sera convertir los ngulos a grados solamente y operar con ellos , ydespus si se quiere convertirlo otra vez a grados minutos y segundos .32 15' 6'' = 32 + 15/60 + 6/3600 = 32 + 0'25 + 0'00166 = 32'251662 8' 29'' = 2 + 8/60 + 29/3600 = 2 + 0'133 + 0'00805 =2'1410534'39271340'39271 60 = 23'5626'0'5626 60 = 35''Por lo que obtendramos el mismo resultado : 34 23' 35''SISTEMA CICILICOun radin se define como la medida de un ngulo central que subtiende un arco con la misma longitud del radio de lacircunferencia. En la (Fig.2), la longitud del radio r es igual a la del arco AB; el ngulo A0B mide 1 radianes.GUIA TRIGONOMETRIAPag 6HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esEl sistema de medicin de ngulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia en seis partes de 60cada una, obteniendo un giro completo de 360. Cuando se quiso utilizar este sistema en fsica, para poder calcular elcamino desarrollado por alguna partcula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagesimal no los ayudabapues, matemticamente, no est relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. Deesa manera se "invent" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ngulose obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ngulo llano (aldividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de ""). De esa manera ungiro completo (que es lo mismo que dos ngulos llanos) mide 2.180 = rad 360 = 2radEquivalencia de un ngulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa:Para medir los ngulos, los sistemas ms utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir unngulo dado de un sistema a otro.De esta ltima relacinconcluimos que si 180 = rad, entoncesGUIA TRIGONOMETRIAPag 7HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esEjemplos:60 a radianes90 a radianes;GUIA TRIGONOMETRIAPag 8HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esTRINGULOEs un polgono de tres lados, es decir, una porcin de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por susextremos. Los tres segmentos que limitan el tringulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vrtices.En un tringulo se consideran dos tipos de ngulos : interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y laprolongacin de otro).Consideraciones : En todo tringulo, la suma de los ngulos interiores es igual a dos rectos. En todo tringulo, un ngulo exterior es igual a la suma de los dos ngulos interiores no adyacentes. Dos tringulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ngulos adyacentes. Dos tringulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ngulo comprendidos. Dos tringulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales. En todo tringulo, a mayor lado se opone mayor ngulo. Si un tringulo tiene dos lados iguales, sus ngulos opuestos son tambin iguales. En todo tringulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.C L A S I F I C A C I N D E L O S T R I N G U L O SSegn sus lados Equilteros (sus tres lados iguales) Issceles (dos lados iguales y uno desigual)Escaleno (tres lados desiguales)Segn sus ngulos Rectngulos (un ngulo recto) Acutngulos (tres ngulos agudos)Obtusngulos (un ngulo obtuso)RELACIONES TRIGONOMTRICASGUIA TRIGONOMETRIAPag 9HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esrazones trigonomtricasPara definir las razones trigonomtricas se parte de un ngulo no recto dentro de un tringulo rectngulo.La abscisa x y la ordenada y del tringulo pueden tomar valores positivos o negativos, segn se dibuje eltringulo por encima o por debajo del eje X o a la derecha o a la izquierda del eje Y.Ej empl oGUIA TRIGONOMETRIAPag 10HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esSeasen = 2/ 3, hallar el valor de las funciones rest ant es.Se t iene quesen =y/rpor lo t ant oy =2y r =3 x= ?Por el t eorema de Pit goras se t iene que x = 5Cos = 5 /3t an =2 / 5 =2 5 /5CSC =3 /2 SEC = 3 /5 = 3 5 / 5Cot = 5 /2Signo de las razones en funcin de los cuadrantes:GUIA TRIGONOMETRIAPag 11HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esRazones t rigonomericas mediant e t riangulo rect ngulo simplificadoUt ilizaremos un t ringulo rect ngulo para definir las funciones t rigonomt ricas:seno (sen), coseno (cos),t angent e (t an), cot angent e (cot ), secant e (sec) y cosecant e (cosec).En un t ringulo rect ngulo, est as funciones se definen como sigue:sen =hipotenusaopuesto catetot an =adyacente catetoopuesto catetosec =adyacente catetohipotenusacos =hipotenusaadyacente catetocot =opuesto catetoadyacente catetocosec =opuesto catetohipotenusaAqu podemos darnos cuent a que bast a con conocer las funcionessen y cos para poder calcular lasot ras funciones, veamos por qu:t an =cossencot = cossensec = cos1cosec =1senEj emplo:1) Un ngulo agudo t iene53 sen . Halla las rest ant es razones t rigonomt ricas de est e ngulo.1mt odo: Usando t ringuloscab35Por t eorema de Pit gorasbuscamos elot ro cat et o delt ringulo, es que es 4GUIA TRIGONOMETRIAPag 12HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esAhora aplicamos las definiciones de las funciones t rigonomt ricas y encont ramos:53 sen54 . .cos hipad c43. .. .tan ad cop c34. .. .cot op cad c45. .sec ad chip35.cos op chipecProf undi zaci n2mt odo:Usando las ident idades bsicasPor la ident idad 1 cos2 2 + sen t enemos que: 2 21 cos sen 22531 cos

,_

2591 cos2 2516cos2 54cos Luego, usando est os dos valores, del seno y coseno, calculamos t odas las dems funciones:435453. cos.tan senas sucesivament eCLCULO EXACTO DE LAS RAZONES DE LOS NGULOS DE 45 30 y 60La calculadora aporta un valor aproximado de las razones de un ngulo con un error muy pequeo. No obstante, cuandooperamos con valores aproximados, los errores aumentan despus de cada operacin y conviene por ello conocer su valorexacto.Clculo de las razones trigonomtricas del ngulo de 45. -Como el tringulo es issceles, l os dos catetos son iguales.GUIA TRIGONOMETRIAPag 13HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esClculo de las razones trigonomtricas de l os ngulos de 30 y 60. -Si construimos el tringulo auxi l iar sealado en trazo discontinuo, obtenemos un tringuloequiltero de lado c.Por ser 60 complementario de 30:Se puede obtener el valor preciso de muchos ms ngulos mediante el empleo de frmulastrigonomtricas que no estudiars este curso.GUIA TRIGONOMETRIAPag 14HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esReduccin al primer cuadranteVeamos como es suficiente conocer las razones trigonomtricas de los ngulos del primercuadrante para determinar las del resto de ngulos.ngulos del 2 cuadranteEn la figura puedes observar que si al ngulo " le aadimos el $ completamos un sector de180:"+$=180, o dicho de otra manera, $=180 -". Cuando dos ngul os suman un ll ano se dir queson supl ementarios.Del dibuj o es posible deducir que se verifican las siguientes relaciones:cos = - cos (180- ) sen = sen (180- )De acuerdo con lo anterior, se deduce que tg " = - tg (180- ").Obtencin de las razones trigonomtricas mediante la calculadoraAnteriormente hemos estimado las razones de los ngulos mediante la medida de segmentos.La imprecisin de la medida provoca que se obtengan valores con poca exactitud. Existentcnicas matemticas que permiten conocer con suficiente finura el valor de la tangente, elcoseno y el seno de un ngulo, pero no se estudian en este curso. No obstante, puedes haceruso de tu calculadora para obtener una buena estimacin uti l i zando la teclas TAN, COS y SIN.Pasos para hal lar el valor de l a tangente del ngulo de 40:40 TAN = 0.8390996.En otros modelos de calculadora se pone TAN en primer lugar y despus se introduce 40.Tambin es posi ble, conoci da la tangente del ngulo, averiguar el ngulo del que se trata.Supongamos que la tangente de un ngulo vale 2. 75:2.75 TAN-1= 70.016893, se trata de un ngulo 70 aproximadamente. En otras calculadoras se introduce 2.75 despus deTAN-1.GUIA TRIGONOMETRIAPag 15HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esResol uci n de t r i ngul os rect ngul osPuedes usarl as r azones t r i gonomt r i cas par a encont r arl ongi t udes l at er al es desconoci das de unt r i ngul o r ect ngul o,dadas l as medi das de cual qui erl ado y cual qui erngul o agudo.Ej empl o 1Encuent r a elval or de x.Necesi t as encont r arl a l ongi t ud dell ado adyacent e alngul o de 42.Se t e da l al ongi t ud de l ahi pot enusa.La r azn t r i gonomt ri ca que rel aci ona ell ado adyacent e con l a hi pot enusa es l ar azn coseno.Cos42 = x / 11 se pl ant ea elej erci ci oX= Cos42 * 11 se despej axX = 8.2 cm se real i zan l as oper aci onesi ndi cadasEj mpl o 2Encuent r a l a medi da delngul o opuest o alcat et o de 32 pul gadas.Se t e dan l as l ongi t udes dell ado opuest o alngul o y l a hi pot enusa.La r azn quer el aci ona est as l ongi t udes es l a r azn seno.GUIA TRIGONOMETRIAPag 16HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esSen z= 32 /74Senz = 0.43Z=sen- 10.43Z=26APLICACIONESSe llama lnea de visin a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ngulode elevacin al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando ste est situado arriba delobservador. Cuando el observador est ms alto lo llamaremos ngulo de depresin.EJERCICIO 4: De un tringulo rectngulo se sabe que uno de sus ngulo agudos es 40 y que el catetoopuesto a ste mide 10m. Calcula el ngulo y los lados que faltan.Lo primero es hacer un dibujo que nos aclare la situacin y ponerle nombre a los lados y ngulosEsta sera nuestra situacin.Para empezar los ms fcil es sacar el ngulo que falta, y aplicando que la suma de los tres es180, el ngulo B vale 50.Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en el ngulo C, el lado que s es elcateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razn trigonomtrica en laGUIA TRIGONOMETRIAPag 17HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esque intervienen estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ah:Ejemplo:Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un angulo de 60 con respecto alpiso.Procedimiento:a) Trazar el triangulo rectangulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.b) Seleccionar una razon trigonometrica que relacione al angulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.d) Sustituir las literales por sus valores numericos de acuerdo con los datos.e) Obtener el valor natural del angulo por medio de las tablas trigonometricas o de la calculadora y efectuar lasoperaciones.c = 5 mf) Dar solucion al problema.c = longitud de la escaleraPor lo tanto, la escalera mide 5 m.2. Obtencin del valor de un angulo agudo, conocidos dos lados del trianguloObtener el angulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta elpiso, y que tiene un largo de 13.75 mAhora se tienen unicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del angulo.Procedimiento:a)Trazar un triangulo rectangulo anotando enlos datos.GUIA TRIGONOMETRIAPag 18HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esb) Seleccionar la funcion trigonometrica que relacione a los lados conocidos con el angulo.c) Sustituir las literales por sus valores numericos.d) Efectuar la division indicada.cos = 0.5454e) Obtener, en las tablas de funciones trigonometricas o con la calculadora, el valor del angulo.4) Clculo de alturasSe desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ngulos deelevacin desde los puntos A y B. Con los datos de la figura tenemos que:Un rbol de hoja perenne est sostenido por un alambre que se extiende desde 1.5 pies debajo de la parte superior delrbol hasta una estaca en el suelo.El alambre mide 24 pies de largo y forma un ngulo de 58con el suelo.Qu alturatieneel rbol?Haz un dibujo para ilustrar la situacin.GUIA TRIGONOMETRIAPag 19HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esLa longitud de la hipotenusa est dada,y la distancia desconocida es la longitud del lado opuesto al ngulo de58.Establece la razn seno.La distancia desde el suelo hasta el punto donde el alambre se sujeta al rbol es aproximadamente 20.4 pies.Como elalambre se sujeta a 1.5 pies debajo de la parte superior del rbol,la altura es aproximadamente 20.41.5, 21.9 pies.TRI NGULOS OBLI CUNGULOSUn tringulo oblicungulo es aquel que no tiene ngulos rectos. Para resolverlos, deben tener presentes las trespropiedades geomtricas comunes a todos los tringulos:1.-La suma de los ngulos internos es igual a 180.2.-El lado mayor,, se opone al ngulo mayor, y recprocamente.3.-Un lado es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia.Los teoremas aplicados para su resolucin son:Teorema del Seno:Los lados de un tringulo son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.B sencsenbsena c a A b CGUIA TRIGONOMETRIAPag 20HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esEjemplo1. A = 48 ,C = 57 y b=47. R/75 ,41y36.2. A = 41 ,C = 77 ya=10,5. R/ 62 ,14.1y15.6.3. B = 20 ,C = 31 yb=210. R/129 ,477y316.4. B = 51 ,C = 71 yc=537. R/58 ,482y441.5. A = 28 , B = 52 ya=32.4. R/100 ,54.4y 68.6. A = 7 ,B = 12 ya=2.19. R/161 ,3.7y5.9.7. A = 65,a=21.3 yb=18.9. R/54 ,61 y20.6.Teorema del Coseno o Pitgoras generalizado:En un tringulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a las sumas de los cuadrados de los otros dos lados, menos eldoble producto de stos, por el coseno del ngulo comprendido.cos . . . 2cos . . . 2cos . . . 22 2 22 2 22 2 2b a b a cc a c a bc b c b a + + + GUIA TRIGONOMETRIAPag 21HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esTeorema de las Tangentes o analogas de Nepper:22 ++tgtgb ab a22 ++tgtgc bc b22 ++tgtgc ac aEstos tres grupos de frmulas, nos permite resolver los tringulos oblicungulos, conociendo tres elementos, de loscuales uno por lo menos, debe ser un lado.As se presentan cuatro casosGUIA TRIGONOMETRIAPag 22HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esP r o c e d i m i e n t oEn esta clase de ejercicios, cuando nos dan un lado y dos ngulos, utilizamosla "Ley del seno". Y, procedemos de la siguiente manera:1. Como la suma de los ngulos interiores de todo tringulo es igual a 180, elngulo, por ejemplo, C lo hallamos mediante la frmula:2. Mediante "Ley de los senos" hallamos, por ejemplo, el valor del lado b:3. De igual manera utilizando la "Ley de los senos", hallamos el valor del tercerladoResolver los siguientes tringulos oblicungulos:GUIA TRIGONOMETRIAPag 23HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esGUIA TRIGONOMETRIAPag 24HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esTALLER TEOREMA DEL SENO1. Sea ABC un tringulo rectngulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm. y el ngulo , opuesto a ese lado, mide 42.Calcula:a) el lado ACb) el lado BCc) el ngulo 2. Si ABC es un tringulo rectngulo en A y los segmentos AB y AC miden 2 m. y 4 m., respectivamente. Calcula:a) el lado BCb) el ngulo ABCc) el ngulo ACB3. Si MNO es un tringulo rectngulo en M y los lados NO y MO miden 8 m. y 6 m., respectivamente. Calcula:a) el lado MNb) el ngulo MNOGUIA TRIGONOMETRIAPag 25HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esc) el ngulo MON4. La sombra que proyecta un rbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. Cul es la medida del ngulo que hacela horizontal con la lnea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del rbol?5.Un avin sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ngulo constante de 10 hasta que logra una altura de 6 km.Determina a qu distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que est situada a 8 metros del suelo y observa el edificio deenfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ngulo de elevacin de 35 y la parte inferior,con un ngulo dedepresin de 43. Determina la altura del edificio de enfrente.1 Caso: dados los tres lados. Del teorema del coseno, despejamos:c ba c b. . 2cos2 2 2 + arc cos= 1]1

+c ba c b. . 22 2 2arc cos= 1]1

+c ab c a. . 22 2 2arc cos= 1]1

+b ac b a. . 22 2 2'cbaD'SI2. .2. .2.2. sen a c sen b c h c h bS La nica condicin que se debe cumplir para la existencia del tringulo, es que un lado sea menor que la suma de losotros dos y mayor que su diferencia.P r o c e d i m i e n t oEn esta clase de ejercicios, cuando nos dan dos lados y el ngulo comprendido, utilizamos la "Ley del coseno". Y,procedemos de la siguiente manera:1. Utilizamos la "Ley del coseno"2. Despejamos, por ejemplo, a:GUIA TRIGONOMETRIAPag 26HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.es3. Sustituimos los valores numricos de a, b y c en la frmula anterior, realizamos las operaciones indicadas; y, hallamosel valor de a4. Mediante "Ley de los senos" hallamos, por ejemplo, el valor del ngulo B:5. Como la suma de los ngulos interiores de todo tringulo es igual a 180, el ngulo, por ejemplo, C lo hallamosmediante la frmula:GUIA TRIGONOMETRIAPag 27HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esGUA2TRIGONOMETRIA 10Docente: Henry pierce cueroNombre___________________________________Taller 3periodoGUIA TRIGONOMETRIAPag 28HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esGUIA TRIGONOMETRIAPag 29HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esIdentidades Trigonomtricas:Son igualdadesque cumplen para cualesquiera valores del ngulo que aparece en la igualdad.La operatoria para el desarrollo de la verificacin tiene tres variantes, en general cada profesor recomiendauna o mas de los tres formas que paso a detallar:a) Partiendo del primer miembro se llega al segundo por aplicacin de operatoria y reemplazo deidentidades. Dejando todo en trminos de senos y cosenosb) Partiendo del segundo miembro se llega al primero por aplicacin de operatoria y reemplazo deidentidades.c) Se opera con los dos miembros por aplicacin de la operatoria y el reemplazo de identidades hastallegar a una igualdad evidente.En esta clase de ejercicios nunca se realiza pasaje de trminos de un miembro a otro de la igualdad, enconsecuencia, los trminos siempre permanecen en el miembro en que se originaronIdentidades Trigonomtricas Fundamentales:1.- tg =cossen6.- 2 2sec 1 + tg2.-cos1sec 7.- 2 2sec 1 c ctg +3.-senc1sec 4.-sen tgctgcos 1 5.- 1 cos2 2 + senEjemplos resueltos: Verificar las siguientes identidades:1. sen - tg .cos = 0Solucinsen - (sen /cos ).cos = 0sen - sen = 0GUIA TRIGONOMETRIAPag 30HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.es2.3.4.sec .(cosec - 1) = cosec GUIA TRIGONOMETRIAPag 31HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esSolucin5 tg .tg .(cotg + cotg ) = (sen .cos + sen .cos )/cos .cos Solucin6 sen - sen .cos = sen - sen .cos GUIA TRIGONOMETRIAPag 32HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esGUIA TRIGONOMETRIAPag 33HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esEcuacionesTrigonomtricas:Enlasecuacionestrigonomtricaslaincgnitaaparececomounngulodefuncionestrigonomtricasynoexisteunmtodogeneralpararesolverunaecuacintrigonomtrica,porloquecomnmentesetransforma toda la ecuacin de modo que quede expresada en una sola funcin trigonomtrica para resolverla como unaecuacin algebraica cualquiera.EjemploResolver :senx = -1X = sen-1-1X= -90Tan2x + 3 =1Tan2x = -22x = tan-1-2X = -63.43 / 2X= -31,7GUIA TRIGONOMETRIAPag 34HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esSolucinGUIA TRIGONOMETRIAPag 35HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esLASFUNCIONESTRIGONOMTRICASNecesitamosmedir la altura de una torre. Alrededor de ella hay una cerca que impideque nos aproximemos a su base.Nodisponemos de aparatos de medida a distancia. Cmo mediras la torre? Ayuda: Un antiguo sabio griego resolvi este problema conuna cinta mtrica (no es necesario que sea muy larga), un espejo y conociendo su propia altura.Actividad: La Noria.En una feria se ha instalado una noria cuyo radio mide 5 metros.Tarda 32 segundos en dar una vuelta completa.En lasiguiente tabla completa la altura de una cesta que estaba a nivel del suelo cuando se inici el movimiento de la noria.Aqu tienes una representacin de la altura que tendr la cesta en cada instante.Responde a las siguientes preguntas: Cada cunto tiempo la cesta est a 10 metros de altura? Y a 5m? Cada cunto tiempo se repite una misma posicin?Seno de un nguloTiempo en segundos 0 8 16243236404856 6064Altura de la cesta enm.0m5m0m10 0GUIA TRIGONOMETRIAPag 36HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esEl punto P, en la figura, se desplaza sobre la circunferencia centrada en el origen y cuyo radio vale 1.Alngulo de giro lo llamamos .A la ordenada del punto P la llamaremos seno de .y se representa por: sen ActividadCompleta la siguiente tabla ayudndote de la calculadora:ngulo 0 30 45 60 90 120 135 150 180 225 270 315 360senoLa funcin senoActividadRepresenta la funcin sen. En el eje de abcisas sita los valores del ngulo en grados, en intervalos de 30desde 0 hasta 360.La grfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuacin. Ahora en el eje de abcisas aparece la medida delngulo en radianes. Es la grfica de una funcin continuay definida en R. Los valores del seno se repiten cada 2 radianes (cada 360). Este valor se llama periodo de la funcin Esta grfica se llama sinusoide.Coseno de un nguloGUIA TRIGONOMETRIAPag 37HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esAhora en la figura 3 observaremos la abcisa del punto P. La llamaremos coseno del ngulo . y se representa por: cos ActividadCompleta la siguiente tabla ayudndote de la calculadora:ngulo 030 45 60 90 120 135 150 180 225 270 315 360cosenoLa funcin cosenoActividadAhora representa la funcin cos , en el eje de abscisas sita los valores del ngulo en grados, en intervalos de 30 desde 0hasta 360.La grfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuacin. Ahora en el eje de abscisas est la medida delngulo en radianes.Tambin su domino es todo el conjunto R y se trata de una funcin continua.Los valores del coseno tambin se repiten cada 2 radianes (cada 360).Esta grfica se llama cosinusoide.Relaciones entre el seno y el cosenoLa relacin fundamental de la trigonometra es:GUIA TRIGONOMETRIAPag 38HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.essen2 + cos2 = 1Relacin que es cierta para cualquier ngulo.ActividadComprueba esta relacin completando la siguiente tabla:ngulo sen sen2 cos cos2()SUMACUADRADOS304560120180270-30ActividadDemuestra la relacin fundamental de la trigonometra ayudndote del Teorema de Pitgoras.Tangente de un nguloAhora en la figura 4 observaremos el tringulo rectngulo ABC. Al cociente CO/CClo llamaremos tangente de y se representapor: tan .Esta definicin slo es til para ngulos agudos. En general la tangente de un ngulo cualquierase define como:costansenActividadCompleta la siguiente tabla ayudndote de la calculadora:ngulo 0 30 45 60 90 120 135 150 180 225 270 315 360tangenteGUIA TRIGONOMETRIAPag 39HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esQu ocurre con la tangente de 90 y con la de 270?La funcin tangenteActividadAhora representa la funcin tan .Slo para valores del intervalo ] -/2 , /2 [.(Este intervalo en grados sexagesimalessecorresponde de 90hasta 90). En el eje de abscisas sita los valores del ngulo en radianes.La grfica de la funcin tangente que has obtenido ser semejante a la que tienes a continuacin:Esta funcin no est definida para cualquier valor de x.Como has podido ver los ngulos 90 (/2 rad)y 270 (3/2 rad) no tienentangente.Tampoco existe la tangente para los ngulos que se obtiene a partir de los anteriores sumndoles360.El dominio de la funcin tangente ser: D(f) = R { / 2+ k siendok Z}Las rectas y = /2 + k , son asntotas verticales de la funcin.Los valores de la tangente se repiten cada radianes (180).Amplitud ,periodo y faseFormulasGUIA TRIGONOMETRIAPag 40HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esGUIA TRIGONOMETRIAPag 41HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esGEOMETRIA ANALITICAEcuacin punto-pendienteSea un punto de una recta y su pendiente, entonces su ecuacin viene dada por:GUIA TRIGONOMETRIAPag 42HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esexpresin que se denomina ecuacin punto-pendiente de la recta.Ecuacin punto-pendienteHalla la ecuacin punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (-2, 4) y tiene pendiente 3.En la ecuacin punto-pendiente:sustituimos m = 3, xo= 2, yo= 4, obteniendo:Ejemplo: Determina la ecuacin general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto (5,-3)y - y1= m(x - x1)y - (-3) = -4(x - 5)y + 4 = -4x + 20Luego la ecuacin pedida es y = -4x +16Ecuacin continua de la recta que pasa por dos puntosSean y dos puntos de una recta (que no sea horizontal *), entonces la ecuacin de la recta vienedada por la expresin:GUIA TRIGONOMETRIAPag 43HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esexpresin que se denomina ecuacin continua de la recta.Adems, su pendiente es:.(* La recta no puede ser horizontal porque si no el primer denominador se anula)Ejemplo: Ecuacin de la recta que pasa por dos puntosHalla la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (2, 4) y (-3, 5).En la ecuacin continua:sustituimos x1= 2, x2= 3, y1= 4, y2= 5, obteniendo:EJERCICIOSHalla la ecuacin de las siguientes rectas:a) Tiene pendiente -2 y ordenada en el origen 3.b) Tiene pendiente 4 y pasa por el punto .c) Pasa por los puntos y .d) Pasa por el punto y es paralela a la recta .GUIA TRIGONOMETRIAPag 44HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esEJERCICIOS:Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los siguientes puntos con las dos formulas anteriores1) A=(1, 5) B=(2, 3)2) E=(0, 1) D=(3, 1)3) V=(2, 1) W=(2, 0)PENDIENTE, PUNTO MEDIO Y LONGITUD DE UN SEGMENTOPara un segmento de recta cuyos extremos son los puntos (x1,y1) y (x2,y2), tenemos las siguientes frmulas para lapendiente (m), la longitud (distancia, d) y el punto medio (PM):EJEMPLO:Encontrar la pendiente, la longitud y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A=(3, 4) y B=(2, 3).Solucin:Rectas Paralelas, coincidentes y perpendicularesGUIA TRIGONOMETRIAPag 45HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esDos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posicindistintos, o seaL1: y = m1x + n1L2: y = m2x + n2,Entonces L1// L2s y slo si m1= m2Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5 ; y = 4x - 2 son paralelas.Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posiciniguales, o seaL1: y = m1x + n1L2: y = m2x + n2,Entonces L1coincidente con L2s y slo si m1= m2y n1= n2Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1, o seaL1: y = m1x + n1L2: y = m2x + n2,Entonces L1L2s y slo si m1 m2= -1Ejemplo:L1: y = -2x + 3L2: y = 0,5x - 4Entonces L1L2ya que -2 0,5 = -1SECCIONES CoNICASUna seccin cnica, es la curva de interseccin de un plano con un cono circular recto. Existentres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parbola, la elipse incluyendo lacircunferencia como un caso especial) y la hiprbola. (Ver fig. 6.1.)GUIA TRIGONOMETRIAPag 46HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esPARBOLASSe llama parbola al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamadofoco, y de una recta fija llamada directriz.Elementos de la parbolaFoco : Es el punto fijo F.Directriz: Es la recta fija d.Parmetro : Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.Vrtice : Es el punto de interseccin de la parbola con su eje.Radio vector : Es un segmento que une un punto cualquiera de la parbola con el foco.GUIA TRIGONOMETRIAPag 47HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esejemplos1..Dada la parbola , calcular su vrtice, su foco y la recta directriz.3. Dada la parbola , calcular su vrtice, su foco y la recta directriz.GUIA TRIGONOMETRIAPag 48HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.es3Dada la parbola , calcular su vrtice, su foco y la recta directriz.ejerciciosGUIA TRIGONOMETRIAPag 49HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esEcuaciones de parbolasEjercicio: Hallar la ecuacin reducida de la parbola 2x2+ 8x + 3y - 5 = 0. Hallar su vrtice, su foco y sudirectriz. Se ha de transformar esta ecuacin en una de la forma:(y - y0)2= 2p(x - x0) (x - x0)2= 2p(y - y0) La ecuacin dada tiene un trmino en x2. Habr que transformarla, pues, en una del tipo (x - x0)2= 2p(y - y0) 2x2+ 8x + 3y - 5 = 0 2x2+ 8x = -3y + 5 x2+ 3x = (x + 2)2- 4. Se sustituye en la ecuacin: Se trata de una parbola con el eje vertical y el foco por debajo del vrtice. Para hallar el foco se le resta la mitad del parmetro a la ordenada del vrtice:GUIA TRIGONOMETRIAPag 50HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.es Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumndole la mitad delparmetro a la del vrtice: Hallar los elementos de la parbola y2- 4x + 6y + 13 = 0.Resolucin: Se opera como en el caso anterior, teniendo en cuenta que ahora la variable que aparece elevada alcuadrado es y:y2+ 6y = 4x - 13y2+ 6y = y2+ 2 3y + 32- 32= (y+3)2- 9.(y+3)2- 9 = 4x - 13 (y+3)2= 4x - 4(y+3)2= 4(x-1) Es una parbola con vrtice en el punto (1, -3).vrtice.Ecuacin reducida de la parbolaEl eje de la parbola coincide con el de abscisas y el vrtice con el origen de coordenadasSi:Si:El eje de la parbola coincide con el de ordenadas y el vrtice con el origen de coordenadasSi:GUIA TRIGONOMETRIAPag 51HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esSi:Parbola con eje paralelo a OX y vrtice distinto al origenParbola con eje paralelo a OY, y vrtice distinto al origenEcuacin de la parbola. Ejercicios1Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parbolas, indicando el valor del parmetro, lascoordenadas del foco y la ecuacin de la directriz.1232Determina las ecuaciones de las parbolas que tienen:1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).2 De directriz y = 4, de vrtice (0, 0).3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).5 De foco (2, 0), de vrtice (0, 0).6 De foco (3, 2), de vrtice (5, 2).7 De foco (-2, 5), de vrtice (-2, 2).8 De foco (3, 4), de vrtice (1, 4).3Calcular las coordenadas del vrtice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parbolas:GUIA TRIGONOMETRIAPag 52HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.es1234Hallar la ecuacin de la parbola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).TALLER DE LA PARBOLA1. Grafica la parbola cuya ecuacin es (x + 1)2= -4(y + 2).2. Grafica la parbola de ecuacin y(y - 6) + 8x = -25.3. Determina la ecuacin de la parbola de foco (4,-2) y directriz x = 2.4. Determina las coordenadas del vrtice, del foco, la directriz y el lado recto (L.R.) de las siguientes parbolas:a) y2=12xb) y2= -4xc) x2= 8yd) (x - 3)2= 16y5. Determina la ecuacin de la parbola cuyo vrtice es (0,0), su eje es el eje x y pasa por el punto (-4,-6).6. Encuentra la ecuacin de la parbola de foco (0,4) y directriz y + 4 = 0.7. Determina la ecuacin de la parbola de foco (0,0) y vrtice (-2,0).8. De la parbola y2+ 4y + 4x = 0 determina las coordenadas del vrtice, el foco, el L.R., la ecuacin del eje y la ecuacinde la directriz.9. Encuentra la ecuacin de la parbola:a) de vrtice (1,4), eje paralelo al eje x y que pasa por el punto (5,-2)b) de eje paralelo al eje x, con vrtice en(-2,-1) y de 4 unidades de L.R.GUIA TRIGONOMETRIAPag 53HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esCIRCUNFERENCIASe llama circunferencia al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.Elevando al cuadrado obtenemos la ecuacin:Si desarrollamos:y realizamos estos cambios:Obtenemos otra forma de escribir la ecuacin:Donde el centro es:y el radio cumple la relacin:GUIA TRIGONOMETRIAPag 54HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esEcuacin de la circunferenciaConsidrese la circunferencia centrada en O(a, b) y de radio r . La condicin para que un punto X(x, y)se encuentre en la misma es:d(X, O) = r, es decir:(x - a)2+ (y - b)2= r2Desarrollando los cuadrados se tiene:x2- 2ax + a2+ y2- 2by + b2= r2x2+ y2-2ax - 2by + a2+ b2- r2= 0Llamando A = -2a, B = -2b y C = a2+ b2- r2, se tiene:x2+ y2+ Ax + By + C = 0Ejercicio: clculo de la ecuacin de una circunferencia Hallar la ecuacin de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.Resolucin: La distancia de X(x, y) al punto (5, -2) es Para que el punto est sobre la circunferencia se ha de verificar:x2- 10x + 25 + y2+ 4y + 4 = 9x2+ y2- 10x + 4y + 20 = 0 Calcular la ecuacin de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene alpunto (-2, 3).Resolucin:GUIA TRIGONOMETRIAPag 55HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esAs la ecuacin es:x2- 2x + 1 + y2- 2y + 1 = 13x2+ y2- 2x - 2y - 11 = 0 Hallar la ecuacin de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x -2y + 3 = 0Resolucin: El radio es la distancia del centro a una recta tangente: La ecuacin es:x2- 6x + 9 + y2- 8y + 16 = 4/55x2+ 5y2- 30x - 40y + 121 = 0 Cul es la ecuacin de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1)?Resolucin:La ecuacin de una circunferencia cualquiera es de la formax2+ y2+ Ax + By + C = 0Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, stos han de verificar la ecuacin:Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas se obtiene:As, la ecuacin pedida es:GUIA TRIGONOMETRIAPag 56HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esClculo de los elementos de una circunferenciaLa ecuacin de una circunferencia con centro en (a, b) y radio r esx2+ y2+ Ax + By + C = 0, dondeA = -2a, B = -2b y C = a2+ b2- r2.A partir de estos datos se obtienen los siguientes resultados:en tal caso, que se trata de una circunferencia imaginaria.Ejercicio: Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacin esx2+ y2- 4x + 6y + 3 = 0.Resolucin:Ecuacin de la circunferencia. Ejercicios1Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:GUIA TRIGONOMETRIAPag 57HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.es1232Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.3Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.4Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto de interseccin de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y+ 1 = 0, y su radio es igual a 5.5 Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica con la ecuacin , y que pasa porel punto (-3,4).6 Hallar la ecuacin de la circunferencia circunscrita al tringulo de vrtices:A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7).7 Los extremos del dimetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). Cul es la ecuacin de estacircunferencia?8 Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica a la circunferencia que sea tangentea la recta 3x - 4y + 7 = 0.9 Estudiar la posicin relativa de la circunferencia x2+ y2- 4x + 2y - 20 = 0 con las rectas:1 x + 7y -20 = 02 3x + 4y - 27 = 03 x + y - 10 = 0Ecuacin de la circunferencia. Ejercicios resueltos1Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:1GUIA TRIGONOMETRIAPag 58HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esELIPSESEs el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos esconstante.Elementos de la elipseFocos : Son los puntos fijos F y F'.Eje focal : Es la recta que pasa por los focos.Eje secundario : Es la mediatriz del segmento FF'.Centro : Es el punto de interseccin de los ejes.Radios vectores : Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.Distancia focal :Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.Vrtices :Son los puntos de interseccin de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.Eje mayor :Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.Eje menor :Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.Ejes de simetra :Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.Centro de simetra :Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de interseccin de los ejes de simetra.Relacin entre la distancia focal y los semiejesGeneralmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c sellaman semieje principal y semidistancia focal , respectivamente.GUIA TRIGONOMETRIAPag 59HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esClculo del eje secundarioLlamando 2b al eje secundario, P al vrtice superior, O al centro y F y F ' a los focos de la elipse, por elteorema de Pitgoras:Por definicin de elipse,A la distancia b se le llama semieje secundario.Ecuacin de la elipse. Ejercicios1Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguienteselipses.12342Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguienteselipses.12GUIA TRIGONOMETRIAPag 60HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.es343Halla la ecuacin de la elipse conociendo:12344Escribe la ecuacin reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.5 La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular laecuacin reducida de dicha elipse.6 Escribe la ecuacin reducida de la elipse que pasa por los puntos: .7Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta: x + 2y - 1 = 0 en la elipse de ecuacin: x2+2y2= 3.8 Determina la ecuacin reducida de un elipse cuya distancia focal es y el rea del rectngulo construidos sobre losejes 80 u2.HiprbolaEs el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos esconstante.GUIA TRIGONOMETRIAPag 61HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esElementos de la hiprbolaFocos : Son los puntos fijos F y F'.Eje focal : Es la recta que pasa por los focos.Eje secundario o imaginario : Es la mediatriz del segmento .Centro : Es el punto de interseccin de los ejes.Vrtices :Los puntos A y A' son los puntos de interseccin de la hiprbola con el eje focal.Los puntos B y B' se obtienen como interseccin del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de losvrtices y de radio c.Radios vectores : Son los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'.Distancia focal : Es el segmento de longitud 2c.Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.Eje menor : Es el segmento de longitud 2b.Ejes de simetra : Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.Asntotas : Son las rectas de ecuaciones:Relacin entre los semiejesGUIA TRIGONOMETRIAPag 62HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esEcuacin cannica de la hiprbolaLa ecuacin de una hiprbola con focos en los puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) esDemostracin:Se toma la expresin de uno de los radios vectores y se opera en ella:Sacando factor comn (c2- a2),(c2- a2) x2+ a2(a2- c2) - a2y2= 0Pero c2- a2= b2, luegob2x2- a2b2- a2y2= 0. Dividiendo entre a2 b2, se obtiene:En el caso en que la hiprbola tuviese el eje vertical, la ecuacin sera:ECUACIN DE LA HIPRBOLA. EJERCICIOS1Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguienteshiprbolas.1GUIA TRIGONOMETRIAPag 63HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.es2342Representa grficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vrtices y la excentricidad de lassiguientes hiprbolas:123Hallar la ecuacin de una hiprbola de eje focal 8 y distancia focal 10.4El eje focal de una hiprbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su ecuacin.5 Calcular la ecuacin reducida de la hiprbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vrtice ms prximoes 2.6 Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por los puntos .7 Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por el punto y su excentricidad es .8 Determina la ecuacin reducida de una hiprbola sabiendo que un foco dista de los vrtices de la hiprbola 50 y 2.9 Determina la posicin relativa de la recta x + y 1 = 0 con respecto a la hiprbola x2 2y2= 1.10 Una hiprbola equiltera pasa por el punto (4, 1/2). Halla su ecuacin referida a sus asntotas como ejes, y lascoordenadas de los vrtices y los focos.kakuroGUIA TRIGONOMETRIAPag 64HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.essudokuGUIA TRIGONOMETRIAPag 65HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.esGUIA TRIGONOMETRIAPag 66HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.estABLA DE FUNCIONES TRIGONOMTRICASComo no faltaba el que se olvidaba de su calculadora, el profe opt por darnos esta tabla,as podamos recurrir a ella sin complicarnos mucho.Ahora te la damos a t por la utilidad que tiene.ngulo seno coseno tangente ngulo seno coseno tangente0 0,000 1,000 0,000 46 0,719 0,695 1,0361 0,018 1,000 0,018 47 0,731 0,682 1,0722 0,035 0,999 0,035 48 0,743 0,669 1,1113 0,052 0,999 0,052 49 0,755 0,656 1,1504 0,070 0,998 0,070 50 0,766 0,643 1,1925 0,087 0,996 0,088 51 0,777 0,629 1,2356 0,105 0,995 0,105 52 0,788 0,616 1,2807 0,122 0,993 0,123 53 0,799 0,602 1,3278 0,139 0,990 0,141 54 0,809 0,588 1,3769 0,156 0,988 0,158 55 0,819 0,574 1,42810 0,174 0,985 0,176 56 0,829 0,559 1,48311 0,191 0,982 0,194 57 0,839 0,545 1,54012 0,208 0,978 0,213 58 0,848 0,530 1,60013 0,225 0,974 0,231 59 0,857 0,515 1,66414 0,242 0,970 0,249 60 0,866 0,500 1,73215 0,259 0,966 0,268 61 0,875 0,485 1,80416 0,276 0,961 0,287 62 0,883 0,470 1,88117 0,292 0,956 0,306 63 0,891 0,454 1,96318 0,309 0,951 0,325 64 0,899 0,438 2,05019 0,326 0,946 0,344 65 0,906 0,423 2,14520 0,342 0,940 0,364 66 0,914 0,407 2,24621 0,358 0,934 0,384 67 0,921 0,391 2,35622 0,375 0,927 0,404 68 0,927 0,375 2,47523 0,391 0,921 0,425 69 0,934 0,358 2,60524 0,407 0,914 0,445 70 0,940 0,342 2,74725 0,423 0,906 0,466 71 0,946 0,326 2,90426 0,438 0,899 0,488 72 0,951 0,309 3,07827 0,454 0,891 0,510 73 0,956 0,292 3,27128 0,470 0,883 0,532 74 0,961 0,276 3,48729 0,485 0,875 0,554 75 0,966 0,259 3,73230 0,500 0,866 0,577 76 0,970 0,242 4,01131 0,515 0,857 0,601 77 0,974 0,225 4,33132 0,530 0,848 0,625 78 0,978 0,208 4,70533 0,545 0,839 0,649 79 0,982 0,191 5,14534 0,559 0,829 0,675 80 0,985 0,174 5,67135 0,574 0,819 0,700 81 0,988 0,156 6,31436 0,588 0,809 0,727 82 0,990 0,139 7,11537 0,602 0,799 0,754 83 0,993 0,122 8,14438 0,616 0,788 0,781 84 0,995 0,105 9,51439 0,629 0,777 0,810 85 0,996 0,087 11,43040 0,643 0,766 0,839 86 0,998 0,070 14,30041 0,656 0,755 0,869 87 0,999 0,052 19,08142 0,669 0,743 0,900 88 0,999 0,035 28,64043 0,682 0,731 0,933 89 1,000 0,018 57,28944 0,695 0,719 0,966 90 1,000 0,000 Inf.45 0,707 0,707 1,000GUIA TRIGONOMETRIAPag 67HENRY PIERCE CUERO http//henrypierce.iespana.es