guía 6 - números primos en z

7/15/2019 Guía 6 - Números primos en Z

http://slidepdf.com/reader/full/guia-6-numeros-primos-en-z 1/8

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO

AÑO ACONTECIMIENTOS

200 a.C.∗ Erastóstenes fue un sabio griego que vivió alrededor

del año 200 a.C. creó un esquema para separar losnúmeros primos de los compuestos.

1768∗ Apareció la “Aritmética Universal” de Euler; en este

libro elaboró métodos analíticos para la resolución deproblemas de la distribución de números primos.

1777∗ Gauss Earl Friederich (1777 - 1835) matemático

alemán, en la teoría de los números fundamento elteorema de los números primos.

COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 58

Erastóstenes

200 a.C. 0 1768

Euler“Arit. Universal”

1777

NaceGaussInicio denuestra era

1789

RevoluciónFrancesa



NÚMEROS PRIMOS EN Z+NÚMEROS PRIMOS EN Z+


EL MATEMÁTICO QUE NO PODÍAEL MATEMÁTICO QUE NO PODÍAMIRAR AL CIELOMIRAR AL CIELO

“Quiero, pues, interrogar al calculadorsobre un hecho interesante de la Historia de laMatemática: ¿Cuál fue el matemático célebre quese suicidó al no poder mirar al cielo? ”

Beremiz (nombre del calculador) meditóunos instantes y exclamó:

- Fue Eratóstenes, matemático deCirenaica y educado al principio en Alejandría ymás tarde en la Escuela de Atenas, dondeaprendió las doctrinas de Platón.

Y completando la respuesta, prosiguió:- Eratóstenes fue elegido para dirigir la

gran Biblioteca de la Universidad de Alejandría,cargo que ejerció hasta el fin de sus días.

Además de poseer envidiables conocimientoscientíficos y literarios que lo distinguieron entrelos mayores sabios de su tiempo, era Eratóstenespoeta, orador, filósofo y –aún más- un completoatleta. Basta decir que conquistó el títuloexcepcional de vencedor del PENTATHLON, lascinco pruebas máximas de los Juegos Olímpicos.Grecia se hallaba entonces en el período áureo desu desarrollo científico y literario. Era la patriade los aedos, poetas que declamaban, conacompañamiento musical, en los banquetes y en lasreuniones de los reyes y de los grandes jerarcas.

Conviene aclarar que entre los griegos demayor cultura y valor el sabio Eratóstenes eraconsiderado como un hombre extraordinario quetiraba la jabalina, escribía poemas, vencía a losgrandes corredores, y resolvía problemasastronómicos. Eratóstenes llegó a la posteridadvarias obras.

Al rey Ptolomeo III de Egipto le presentóuna tabla de números primos hechos sobre unaplancha metálica en la que los números múltiplos

estaban marcados con un pequeño agujero. Se diopor eso el nombre de “Criba de Eratóstenes” alproceso de que servía el sabio astrónomo paraformar su tabla.

A consecuencia de una enfermedad en losojos, adquirida a orilla del Nilo, durante un viaje,Eratóstenes quedó ciego. Él, que cultivaba conpasión la Astronomía, se hallaba impedido demirar el cielo y de admirar la belleza incomparabledel firmamento en las noches estrelladas.

La luz azulada de Al-Schira jamás podría

vencer aquella nube negra que le cubría los ojos.Abrumado por tan gran desgracia, y no pudiendoresistir el pesar que le causaba la ceguera, elsabio y atleta se suicidó dejándose morir dehambre, encerrado en su biblioteca.

NÚMEROS PRIMOS EN ZNÚMEROS PRIMOS EN Z++


NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 6 PRIMER AÑO

Z+

NúmerosSimples

Números Primosentre sí (PESI)

La Unidad

Primosabsolutos

DescomposiciónCanónica

NúmerosCompuestos

Teorema fundamental de laAritmética




¿QUIÉNES FUERON?¿QUIÉNES FUERON?

Cuando el mal y el bien se encontrabanenfrascados en una lucha por el control de latierra, 7 generales quisieron huir a la tierra, al

tratar de hacerlo se encontraron con Telassim elguardián que custodiaba la puerta de ingreso.

Pero el guardián sabiendo del peligro quecausarían los males en la tierra advirtió que sololos generales del bien podrían pasar. Pero noconociendo la identidad de cada general no supo aquien dejar pasar.

Recordando el guardián que cada generalllevaba siempre consigo un collar con ciertacantidad de perlas y que el número de perlas deun general del bien se podía dividir exactamenteen grupos más pequeños y que de los generales delmal no se podían dividir en grupos más pequeños(el grupo tiene más de una perla) dejó pasar a 3generales, ¿A qué generales dejo pasar Telassim?

Nombre de losgenerales

# de perlasde su color

- Nasair → 2 perlas- Kant → 3 perlas- Duruy → 4 perlas- Khoi → 5 perlas- Maluf → 6 perlas- Tadé → 7 perlas- Hamid → 8 perlas

Observación: Se tiene el conjunto numérico:

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

I.I. NÚMEROS SIMPLESNÚMEROS SIMPLES Son aquellos que tienen a lo más dosdivisores.

I.A. La unidadEs el único entero positivo que pose unsolo divisor, el mismo.

I.B. Número primoTambién llamado “Primo absoluto”, esaquel que posee exactamentedos

divisores;

_____________________ y

___________________.

Ejm:

Divisores

______ : 1, 2

______ : 1, 3 ______ : ______ , _____

______ : ______ , _____

II.II. NÚMEROS COMPUESTOSNÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos que poseen más de dosdivisores.

Ejm:Divisores

______ : 1, ____ , ____ , ____ , …

______ : 1, ____ , ____ , ____ , …

______ : ____, ____ , ____ , ____

______ : ____, ____ , ____ , ____

∗ Observación :

1. La unidad es un divisor universal.2. El número 2 es el único primo absolutopar.





3. El 2 y el 3 son los únicos primosconsecutivos.

III.III. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)(PESI)También denominados primos relativos o“coprimos”, y son aquellos números queposeen como único divisor común a la unidad.

Ejm:∗ ¿12, 10 y 15 son PESI?

Divisores

12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

10 : 1 , 2 , 5 , 1015 : 1 , 3 , 5 , 15

El único divisor común de 12, 10 y 15 es launidad, por lo tanto son PESI.

∗ ¿20, 14 Y 8 son PESI?

Divisores

12 : ___ , ___ , ___ , ___ , ___, ___

14 : ___ , ___ , ___ , ___

8 : ___ , ___ , ___ , ___

CRIBA DE ERATÓSTENESCRIBA DE ERATÓSTENES

Es una tabla que contiene los números

primos que existen entre el 1 y el 100.Para construirla la procede así:

1. Se escriben los números naturales del 1 al100.

2. Se suprimen los múltiplos de 2 a partir del 4.3. Se suprimen todos los múltiplos de 5 a partir

de 25, y por último los múltiplos de 7 a partirde 49.Para completar se finaliza suprimiendo el 1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 … … … … …

81 82 83 84 85 86 87 88 89 8091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Los números que quedaron sin tachar son losnúmeros primos menores que 100, ellos son:

_____________________________________

_

_____________________________________

_

IV.IV. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICADESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Descomponer canónicamente el número 40.

Paso 1: Empiezo a dividir el número por losnúmeros primos (2; 3; 5; 7; …)

40 220 2

10 25

Paso 2: Analizo:5 no tiene divisor 2, entoncespruebo con 3 y luego con 5, 7 y 11sucesivamente.

40 220 210 2

5 51

40 =

vez1veces3

5x2x2x2

= 23

x 51

= 23

x5


÷

Se obtiene 1,entonces ladescomposiciónllega a su fin

Descomposicióncanónica




Descomponer canónicamente 315:

315 3105 3

35 57 71

315 = 3 x 3 x 5 x 7 = 32 x 51 x 71 = 32 x 5 x7

AHORA TÚ:AHORA TÚ:

Descomponer canónicamente

- 360 =

- 145 =

- 210 =

Hallar el número de divisores de 18

Divisores

18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

Divisor universal : 1

Divisores primos : 2, 3

Divisores compuestos : 6, 9, 18

Total de divisores = 6

Pero ¿Qué hacer si el número tiene más

divisores? ¿Cómo calcular el número exactode divisores de un número?

OBSERVAOBSERVA

Paso 1: Descomposición canónica

18 29 3

3 31

18 = 2 x 3 x 3 = 21 x 32 = 2 x 32

Paso 2: Extracción de los exponentes.

2 x 3

1 2

Paso 3: A cada exponente se le suma launidad y luego se multiplican.

1 2

(1 + 1) (2 + 1)x

(2) x (3) = 6

∗ 18 tiene 6 divisores


÷

DivisoresPrimos

DivisoresPrimos

(2 en total)

1 2

+1 +1

6 divisores = Número dedivisoresprimos

Número dedivisorescompuestos

+ + 1

6 =Número dedivisorescompuestos

+ + 12

6 - 3 =Número dedivisorescompuestos

3 =Número dedivisorescompuestos




∗ Hallar el número de divisores compuestos de100.

∗ Hallar el número de divisores de 200 y el

número de divisores compuestos.

1. Indicar verdadero (V) o Falso (F) segúncorresponda.

I. 2, 3, 5 , 7, 8 , 11, 13 son númerosprimos.

II. El único número primo par es 2III. 21 tiene 3 divisores

a) FFF b) FVF c) FFVd) VVV e) VFV

2. Indique la relación correcta:

I. 12 A) Tiene 2 divisoresII. 15 B) Tiene 4 divisoresIII. 19 C) Tiene 6 divisores

a) IA – II B – IIICb) IA – IIC – IIIBc) IB – IIA – IIICd) IB – IIC – IIIAe) IC – IIB – IIIA

3.i) Un número primo tiene

______________ únicamente en Z+

ii) Dos números con PESI si tienen como

único divisor ___________________

4. ¿Cuántos de los siguientes números son

primos?21, 13, 28, 41, 15, 18, 23

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5. Calcular el número de divisores de:

i) N = 360

a) 6 b) 12 c) 18

d) 24 e) 30

ii) N = 240

a) 4 b) 8 c) 20d) 16 e) 18

6. Calcular el número de divisores de.

i ) N = 23 x 52 x 72

a) 12 b) 7 c) 36d) 32 e) 16

ii) N = 113 x 134

a) 20 b) 12 c) 7d) 6 e)

7. Calcular el valor de α si:

i) N = 32

x 2α

x 5 tiene 24 divisores

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ii) N = 22 x 52 x 7α tiene 45 divisores

a) 16 b) 9 c) 6d) 4 e) 3

8. ¿Cuántos divisores primos tiene:

i) N = 154 ?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ii) N = 40 ?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


i) N = 14 x 15 ?

a) 1 b) 2 c) 3


EjercicioEjercicios des de

AplicaciAplicaciónón

EjercicioEjercicios des de

AplicaciAplicaciónón




d) 4 e) 5

ii) N = 21 x 22?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


i) N = 28 x 12 x 5 ?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ii) N = 5 x 10 x 4 ?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Hallar la cantidad de divisores compuestosde:

i) N = 23 x 7 x 132

a) 20 b) 21 c) 23d) 24 e) 3

ii) N = 53 x 72

a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 2

12. Hallar la cantidad de divisores compuestosde:

i) N = (23 x 3)2

a) 21 b) 20 c) 19d) 12 e) 18

ii) N = (72 x 5)2

a) 15 b) 12 c) 10d) 8 e) 6

13. ¿Cuántos divisores primos tiene: (α, β, δ ≥1)?

i) N = 2α x 7β x 3δ x 5β + α

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ii) N = 2β + δ x 7δ x 13β

a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) 0

14. Dos números primos suman 14. Calcular elproducto de estos dos números.

a) 22 b) 26 c) 33d) 34 e) 35

15. Indicar la pareja de números PESI :

a) 8 y 24 b) 21 y 44 c) 42 y14d) 15 y 70 e) 20 y 18

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) segúncorresponda:

i) El 1 es un número primo.ii) Los números PESI tienen 1 divisor.iii) Los únicos números primos consecutivos

son 3 y 4

2. Indique la relación correcta:

I. 21 A) Tiene 3 divisoresII. 23 B) Tiene 4 divisoresIII. 25 C) Tiene 2 divisores

a) IA – IIB – IIICb) IA – IIC – IIIBc) IB – IIA – IIICd) IB – IIC – IIIAe) IC – IIA – IIIB

3. Completar correctamente:

i) Si un número tiene únicamente 2

divisores entonces es un

__________________ .

ii) Si un número tiene más de 2 divisores

entonces es un ______________ .

4. Completa la oración con las opciones dadas:


TareaTareaDomiciliariDomiciliari

aaNº 6Nº 6

TareaTareaDomiciliariDomiciliariaa

Nº 6Nº 6




La criba de ___________ contiene losnúmeros _____________ que existenentre el 1 y el 100.

a) Aristóteles – primosb) Aristóteles – compuestosc) Eratóstenes – primos

d) Eratóstenes – PESIe) Pitágoras – primos

5. ¿Cuántos números primos hay en:25, 13, 4, 11, 17, 15, 7?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. ¿Cuántos números compuestos hay en:

14, 25, 13, 16, 2, 1, 72?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Calcular el número de divisores de:N = 210

a) 12 b) 16 c) 18d) 20 e) 24

8. Calcular el número de divisores de:

N = 72 x 33 x 22

a) 12 b) 20 c) 24d) 30 e) 36

9. ¿Cuántos divisores primos tiene:N = 320 ?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Hallar la cantidad de divisores primos de:N = 21 x 14

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. ¿Cuántos divisores primos tiene:N = 2α x 3δ x 5β x 7α + β x 11α + β

(α, β, δ ≥ 1)?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12. Calcular el número de divisores compuestosde:

N = 72 x 112 x 53

a) 36 b) 32 c) 24d) 20 e) 16

13. ¿Cuántos divisores compuestos tiene:N = (5 x 72)2 ?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

14. Calcular el valor de β si:N = 3β x 72 x 13 tiene 30 divisores.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15. Indicar la pareja de números PESI

a) 14 y 21 b) 13 y 26 c) 17 y20d) 4 y 180 e) 15 y 75


guía 6 - números primos en z

Documents