Guıa ejercicios N◦4: Diferencia de Potencial.

Fısica II (CF-342)Departamento de Fısica, Facultad de Ciencias Basicas,

Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile

16 de mayo de 2012

1. El eje x es el eje de simetrıa de un anillo de ra-dio R cargado uniformemente con carga Q positiva.a) Demuestre que si el Potencial Electrico del ani-llo es cero en infinito, entonces su Potencial Electri-co en cualquier punto x sobre su eje de simetrıaes V (x) = kQ/

√R2 + x2. b) ¿Cuanto vale el cam-

po electrico en el centro del anillo? Justifique. c)¿Cuanto vale el Potencial Electrico en el centro delanillo? d) Calcule la Energıa Potencial Electrica deuna carga de prueba negativa q ubicada en el centrodel anillo. e) Si una carga de prueba positiva q sesuelta desde infinito sobre el eje de simetrıa, calculecon que velocidad pasara por el centro del anillo. Sol:

(b) E=0, (c) V = kQR , (d) U = kqQ

R , (e) v =

√2k|q|QRm .

2. Considere una esfera aisladora de radio R, con unacarga por unidad de volumen dada por ρ(r) =Cr, donde C es una constante positiva. Esta esfe-ra esta rodeada por un cascaron esferico conductordescargado concentrico a ella, de radio interior 2R yradio exterior 3R. Entre la esfera aislante y el cas-caron conductor existe espacio vacıo. a) Calcule lacarga total Q en la esfera aislante. b) Calcule la di-ferencia de potencial VA − VB . c) Determine la car-ga en las superficies interior y exterior del cascaronconductor. d) Si una partıcula de masa m y carganegativa de magnitud q, se suelta desde una distan-cia igual a 5R, medida desde el centro de la esfera,calcule con que velocidad impacta contra la superfi-cie exterior del conductor. Sol: (a) Q = CπR4, (b)VA − VB = kQ

2R , (c) Superficie interior, −Q y superfi-

cie exterior Q (d) v =√

4kqQ15Rm .

3. Resuelva el mismo ejercicio anterior pero, ahora con-siderando que la distribucion de carga por unidad devolumen es ρ(r) = C/r, donde C es una constantepositiva. Sol: (a) Q = 2πCR2, (b) VA−VB = πCkR,(c) Superficie interior, −Q y superficie exterior Q,

(d) v =√

kqQRm .

4. Una barra de largo L se encuentra sobre el eje x,como aparece en la figura. Tiene una densidad linealde carga no uniforme λ = αx, donde α es unaconstante positiva. (a) ¿Cuales son las unidades deα? (b) Determine el potencial electrico en el puntoA. Sol: (a) C/m2, (b) VA = kα(L− d ln(1 + L

d )).

5. Considere el mismo ejercicio anterior pero ahora ladensidad lineal de carga es constante λ = Q/L. De-termine el potencial electrico en el punto A. Com-pare el valor obtenido con el del ejercicio ante-rior. ¿Cual de los potenciales es mayor?. Sol: VA =kλ ln(1+L

d ), es mayor que el obtenido anteriormente.

6. (a) Calcule el potencial electrico en el punto P so-bre el eje x del anillo mostrado en la figura, el cualtiene una densidad de carga uniforme σ positiva. (b)Determine el punto donde el potencial electrico esmaximo. (c) Determine el campo electrico en funcionde x. Sol: (a) V (x) = 2πkσ(

√x2 + b2 −

√x2 + a2)

(b) x = 0 (c) E(x) = −2πkσx( 1√x2+b2

− 1√x2+a2

).

7. Considere una barra de largo L y carga Q, cargadauniformemente con λ = Q/L, como aparece en lafigura. a) Determine el potencial electrico como fun-cion de la coordenada y. b) Por derivacion calcule elcampo electrico en funcion de la coordenada y. Sol:

(a) V (y) = kλ ln

(√1+ 4y2

L2 +1√1+ 4y2

L2 −1

)(b) E(y) = 2kλ

y√

1+ 4y2

L2

.

1

8. Considere una esfera aisladora de radio R, con unacarga por unidad de volumen dada por ρ(r) =Cr2, donde C es una constante positiva. Esta esfe-ra esta rodeada por un cascaron esferico conductorconcentrico a ella conectado a tierra, de radio inte-rior 2R y radio exterior 3R. Entre la esfera aislante yel cascaron conductor existe espacio vacıo. a) Calcu-le la carga total Q en la esfera aislante. b) Calcule ladiferencia de potencial VA−VB . c) Determine la car-ga en las superficies interior y exterior del cascaronconductor. d) Si una partıcula de masa m y carganegativa de magnitud q, se dispara con velocidad ini-cial v0 desde una distancia igual a 5R, medida desdeel centro de la esfera, determine con que velocidadimpacta contra la superficie exterior del conductor.Sol: (a) Q = 4πCR5/5, (b) VA − VB = CR4/(10ϵ0),(c) Superficie interior, −Q y superficie exterior, 0 (d)v0.

9. Una esfera aislante de radio R tiene una distribucionde carga cuya densidad varıa como ρ(r) = Br/R,donde B es una constante positiva, y r es la distanciamedida desde el centro de la esfera. A la derecha, auna distancia 2R de la esfera, se encuentra un alam-bre de longitud 5R cargado uniformemente con cargatotal Q positiva. a) Encuentre el potencial electricoproducido por la esfera en el punto P. b) Calcule elpotencial electrico producido por el alambre en elpunto P. Sol: (a) V = πkBR2/2, (b) V = kλ ln 6.

10. Una esfera solida metalica de radio a tiene carga to-tal Q=7[C]. Concentrica con esta esfera, se encuen-tra un cascaron esferico metalico, con carga totalQ’=17[C], de radio interior b y radio exterior c, comose muestra en la figura. Determinar, a) la distribu-cion de carga en cada una de las superficies metali-

cas. b) el campo electrico en las regiones 1, 2, 3 y 4.c) La diferencia de potencial entre un punto d ubi-cado fuera del cascaron esferico rd > rc y el puntor=a, es decir, Vd − Va. d) Repita las preguntas ante-riores pero ahora considere que el cascaron esfericoesta conectado a tierra.Solucion: a) 7[C] superficie esferica de radio a, -7[C] superficie esferica de radio b y 24[C] superficieesferica de radio c. b) En las zonas 1 y 3 el cam-po electrico es cero, en la region 2 E = kQ

r2r, para

ra < r < rb y en la zona 4 E = k(Q+Q′)r2

r, para r > rc.c) Vd − Va = kQ( 1

rb− 1

ra) + k(Q+Q′)( 1

rd− 1

rc).

11. Considere un cascaron esferico aislante de radio in-terior 5[cm] y radio exterior 10[cm], estando vacıa sucavidad interna. El cascaron tiene una carga Q uni-forme. El campo electrico en un punto P a 50[cm] delcentro de la cavidad tiene una magnitud de 36[N/C]dirigido radialmente alejandose del centro. a) De-termine la carga total de este cascaron aislante. b)Calcule el potencial electrico V(r) en todo el espa-cio. ¿Cual es el valor de V(0)?. c) Si inicialmenteusted coloca un proton a una distancia de 50[cm]medido desde el centro de la cavidad y lo suel-ta, calcule con que velocidad llega al infinito. So-lucion: a) Q = 10−9[C], b) al interior de r = r1

V es constante, V = 32kQ

r22−r21r32−r31

para 0 < r < r1,

V (r) = kQr2(r32−r31)

(32r32−

r2r31r − r2r2

2 ), para r1 < r < r2,

y V (r) = kQr para r > r2.

12. El potencial electrico dentro de una esfera aislanteuniformemente cargada de radio R esta dado por

V =kQ

2R(3− r2

R2),

y fuera por

V =kQ

r.

Utilice Er = −dVdr para deducir el campo electrico

en ambas partes.

13. Una esfera conductora de radio a esta concentricacon un gran cascaron esferico de radio R. Para dichoarreglo, demuestre que si las cargas sobre las esferastienen valores q y Q, respectivamente, la diferenciade potencial entre las dos esferas estarıa dado por

Va − VR = kq(1

a− 1

R).

2