8/17/2019 Guía 3 - Transformaciones Lineales

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Universidad Santo Tomás ICI-044  Álgebra IIFacultad de Ingenierı́a Civil

Gúıa 3 - Transformaciones Lineales

P1. Determine cuál de las siguientes funciones son transformaciones lineales:

(a)   T   :R3

→R2

, T (x,y,z) = (x, z)(b)   T   : R4 → R4, T (x,y,z,w) = (−x, −y, −z, w)

(c)   T   : R3 → R3, T (x,y,z) = (x,y,z) + (0, −1, 0)

(d)   T   : R2 → R2, T (x, y) = (2x, y − x)

(e)   T   : R2[x] → R1[x], T (ax2 + bx + c) = 2ax + b

P2. Sea  T   :  R2 →  R2 tal que  T (3, 1) = (1, 2) y  T (−1, 0) = (1, 1). Encuentre una expresión para  T   y calculeT (1, 0) y T (0, 1)

P3. Sea   T   :   R3 →   R1[x] una transformación lineal. Encontrar   T   tal que   T (1, 0, −1) = 2 −  x, T (0, 2, 1) =1 + x, T (1, 3, 1) = 3x − 2

P4. Sea  T   : R2[x] → R3[x] definida por T ( p(x)) =  x3 p(0) + x2 p(0) ¿ Es  T  una transformación lineal?.

P5. Sea T   : M3×1(R) → M3×1(R) definida por T (x,y,z) = (x + 1, 2y, −z). Determine si T  una transformaciónlineal.

P6. Sea T   : R4 → R3 una transformación lineal definida por T (x,y,z,w) = (x−y+z+w, x+2z−w, x+y+3z−3w)Encuentre una base y la dimensión del Ker  T  y de Im  T .

P7. Sea T   : M1×4  → M1×3  una transformación lineal definida por T (a1, a2, a3, a4) = (a1 + a2, a3 + a4, a1 + a3)Hallar una base para el Ker T . ¿Cuál es su dimensión?. Hallar una base para Im  T . ¿Cuál es su dimensión?.

P8. Sea  T   : R2[x] → R3 definida por T ( p(x)) = ( p(0), p(1), p(2)). Verifique que  T   es una transformación lineal.

Determine Ker  T , Im T  y la matriz representante de la transformación con respecto a las bases canónicas.¿Es T un isomorfismo? (biyectiva).

P9. Sea  T   : P 2[t] → R

 una transformación lineal definida por  T (at2

+ bt + c) = 10 (at

2

+ bt + c)dt  Pruebe queT   es una transformación lineal. Encuentre una base para el Ker  T  y para Im  T .

P10. Sea  T   :  R2[t]  →  R3[t] una transformación lineal definida por  T ( p(t)) =   t2 p(t). Encuentre una base para

Ker T  y una para Im  T .

P11. Sea  W   =

a bc d

∈ M2(R)/a + 5c = 0

. Demuestre que  W   es isomorfo a   R3, es decir que existe una

transfomación lineal biyectiva entre  W   y  R3.

P12. Sea  T   :  M2×3   → M3×3   una transformación lineal definida por  T (A) =

2   −11 2

3 1

· A. para toda matriz

A ∈ M2×3. Hallar la dimensión del ker  T  y de Im  T .

P13.   SeaT   : R2[x] → R3[x] tal que  T (x) =  x2 − x, T (x − 1) =  x − 2, T (x2 − 1) =  x3 − x − 1 .

(a) Hallar T (ax2 + bx + c).

(b) Hallar generadores del Ker  T  y de Im  T .

P14. Sea  T   :  R2 →  R2 lineal definida por  T (x, y) = (x + y, −2x + 4y). Encuentre la matriz representante de  T respecto a la base  {(1, 1),  (1, 2)}.

P15. Sea   T   :   R2[t]   →   R1[t] una transformación lineal definida por   T ( p(t)) =   p(t). Considere las bases   S   ={t2, t, 1}  y  R  =  {t + 1, t − 1}  para  R2[t] y  R1[t] respectivamente. Encuentre la matriz asociada a la trans-formación T .

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P16. Sea  T   : R2[x] →  R3 dada por la matriz

M (T )B,C  =

1 2 10 1 1

−1 3 4

con respecto a las bases B  = 1, x − 1, x2 − 1 de R2[x] y C  = (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) de R. Escriba T (ax2 +

bx + c) expĺıcitamente y determine Ker  T   y dim(Ker T ).

P17. Sea   T   :   R3 →   R2 una transformación lineal cuya representación matricial respecto a las bases   S   =

(1, 0, −1), (0, 2, 0), (1, 2, 3) y   R   = (1, −1), (2, 0) es

2   −1 33 1 0

. Hallar la representación matricial de   T 

respecto de las bases canónicas.

P18. Encuentre la matriz cambio de base de  S  a  R  y la de R  a  S  para:

(a)   S  =  {(1, 0), (0, 1)}, R =  {(2, −3), (−2, 4)}

(b)   S  =  {(1, x , x2}, R =  {x2 + x + 1, x2 − x − 2, x2 + x − 1}