INSTITUCIÓN EDUCATIVA OCTAVIO CADERÓN MEJÍAGESTIÓN DE DISEÑO Y DESARROLLO CURRICULAR

CÓDIGO: DC F 06

VERSIÓN: 01

GUIA DE APRENDIZAJE

ÁREA Matemáticas GRADO: OctavoUNIDAD 1 Números Reales PERIODO: 01

GUÍA 1¿Cuál es la relación que encuentras entre la densidad del conjunto de los números Reales y el proceso infinito del conteo?

PROFESOR Jerson Andrés Parra Cardona jerson.parra@ieocm.edu.co

INDICADORES DE DESEMPEÑO.

Reconoce e identifica los diferentes subconjuntos numéricos que conforman a los números reales.

Aplica las propiedades y operaciones básicas en los reales para la solución de problemas y ejercicios.

Identifica varias situaciones de la vida que se describen usando los números reales.

RECOMENDACIONES.

Para usted es de suma importancia formarse un hábito de estudio eficiente, pues esto le significará el éxito en la interiorización del conocimiento adquirido y le brindará la posibilidad de aplicarlo en la transformación de un mundo mejor. Es por ello que debe dinamizar un cuaderno de ejercicios donde desde el habito y la constancia se formara en la excelencia.Además entrego algunos consejos de cómo preparar y rendir en la sustentación de la guía en forma adecuada: 1. Trabaje en un sitio fijo y con el mayor grado de orden 2. Lea buscando las ideas principales. 3. Cuestiónese a medida que lea. 4. Revise y aprópiese de los sitios virtuales donde puede recibir asesoría sobre los temas no entendidos en clase. www.profejersonandres.blogspot.com.

A. ACTIVIDADES BÁSICAS1 ¿cuánto sabemos?

Las competencias en coteo aritmético a esta altura del proceso deben ser bastante elaboradas y formales, las cuales te ayudaran a abordar algunas situaciones cotidianas y darles una solución que satisfaga dicha necesidad. Es por ello que vamos a repasar un poco de operatividad con números racionales, proporcionalidad y números decimales.

1. Anota el tipo de fracción (P – I – IU – Mixta) al lado de cada fracción:

a) 4/5 b) 7/5 d) 8 ½ h) 7/7

2. Transforma las fracciones Mixtas a Impropias

a) 4 ½ = b) 6 ¾ = c) 12 ¼ =

1

3. Transforma las fracciones Impropias a Mixtas

a) 23/5 = b) 34/6 = c) 9/2 =

4. Simplifica las fracciones hasta llegar a fracción irreductible

a) 5/15 = b) 34/12 = c) 35/45 = d) 10/100 =

5. Escribe cada fracción como un número decimal (con coma)

a) 4/10 = b) 23/1000 = c) 34/100 = d) 57/10 =

6. Calcula la fracción de un número

a) ¾ de 20 = b) ¼ de 28 = c) ¾ de 32 =

7. Lee atentamente y responde:

Para la fiesta de fin de año de un curso, se ha comprado 5 botellas de 2 ½ litros cada una. Si los vasos eran de ¼ litro, ¿cuántos vasos se pudieron servir en total con las bebidas compradas?

8. Resuelve las operaciones que se indican:

a) 6,01 + 0,34 = b) 12 + 0,004 – 2,3 = c) 34,12 4,6

d) 6,5 100 = e) 3,4 2,3 + 4,8 =

9. Resuelve

19

+ (−74 )−3

8 +

53

=

12⋅( 1

8 -

110 ) =

( 1

2 -(−5

6 )- 18 )+ 1

10 = 3

5=18x

2030

= x21

a) 10% de 120 = b) 50% de 10.600 =

10. Lee y responde:

2

a. La cantidad de familias que hay en un pueblo son 450, de las cuales el 20% son de escasos recursos ¿Cuántas familias del pueblo tienen mejores recursos?

b. Patricia quiere comprar un vestido que vale $ 12.900. La tienda le hace un descuento del 15% si lo paga al contado. ¿Cuánto pagará entonces si lo hace al contado?

11. Completa las equivalencias:

a) 6 hm = ____________ m b) 9150 g = ___________ kg

c. 0,2 L = _____________ ml d. 750 ml= _____________ L

1. Indica al lado si la tabla es de proporcionalidad directa o inversa

A 6 2 8 12 16

B 8 24 6 4 3 ________¿Por qué? ____________

A 2 6 3 5 10

B 24 72 36 60 120 ________¿Por qué? ____________

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

a. -Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su recorrido. Si mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del recorrido?

b. -Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma arena un camión que carga 5 toneladas?

c. -Un padre le da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde una cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros. ¿Cuánto dará a las otras dos hijas de 15 y 8 años de edad?

3

d. -Un ganadero tiene 20 vacas y pienso para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto tiempo le durará el pienso si se mueren 5 vacas?

Proyecto a escala

Por regla general, una escala es una relación numérica o gráfica que existe entre la realidad y el dibujo. La representación de un objeto gráficamente suele acarrear una disminución o un aumento de su tamaño original con el fin de ajustarse a un formato de papel determinado; es lo que se llama "cambio de escala". El fin último es siempre poder medir sobre la representación de dicho objeto.Con la orientación de tu docente y lo aprendido durante el periodo realiza una construcción a escala del objeto que quieras( casas, bicicletas, sillas, masas, carros, personas o lo que tu quieras)

2 Aprendamos cosas nuevas.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números naturales: Se representan con la letra N

N= {1,2,3,. .. .. . .. .. . . }

Números enteros: Se representan con la letra Z

Z={.. . .. .. . .. .. . .-3, . 2,-1,0,1,2,3, .. . .. .. . . }

Son los naturales, los naturales con signo menos y el cero

N Z se lee :N contenido en Z, es decir todo número natural es entero

Números racionales: Se representa con la letra Q

Son todos los que se pueden expresar en forma de razón o fracción: los enteros (fracciones con denominador uno), decimales exactos y decimales periódicos.

4

Haz terminado la actividad

Socializa con tu maestro

Z Q se lee Z contenido en Q, es decir todo número entero, y por eso también todo número natural, es racional.

Números irracionales: Se representan con la letra I

Son los que no se pueden expresar como razón: decimales infinitos y no periódicos, las raíces no exactas y los números , e

Por su propia definición un número racional no es irracional y análogamente un número irracional no puede ser racional

Números reales: Se representan con la letra R

Los números racionales y los irracionales forman los números reales R:

Q I = R

Son números reales los naturales, enteros, fraccionarios (decimales exactos y periódicos) e irracionales (decimales infinitos y no periódicos)

No son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo

Como conclusión, los NUMEROS REALES La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números

reales.  .

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en  ,    y    es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos    e   son heredadas por  .

Como ya se ha visto,   es denso en   . También   es denso en  .

Podemos considerar   como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.

A diferencia de lo visto para  ,   y  , el conjunto de los reales no es numerable.

5

Fracciones y decimales

Si dividimos el numerador de una fracción por su denominador el resultado es un número decimal exacto o periódico.

Un número decimal es exacto si su parte decimal tiene un número limitado de cifras distintas de cero. 2’437

Un número decimal es periódico si su parte decimal es ilimitada repitiéndose periódicamente. Las cifras que se repiten forman el periodo

Un número decimal es periódico puro o simple si su periodo comienza a partir de la coma. 3’47474747......= 3’47

Un número decimal es periódico mixto si su periodo no comienza a partir de la coma., la parte decimal que no se repite se llama antiperiodo

1’5727272.....=1’572

Si tenemos un número decimal exacto o periódico podemos encontrar la fracción que lo genera o fracción generatriz.

Reglas para obtener la fracción generatriz:

Si el decimal es exacto:

Fracción =número sin coma

unidad seguida de tantos ceros como cirfras decimales tenga 1'72=172

100

Si el decimal es periódico puro o simple:

fracción =parte entera,periodo − parte entera

tantos nueves como cifras tiene el periodo1 ' 232323 .. ..=123−1

99

6

Si el decimal es periódico mixto:

fracción =parte entera, antiperiodo, periodo − parte entera, antiperiodotantos nueves como cifras tiene el periodo, tantos ceros como cifras tiene el antiperiodo

2 ' 349999 .. .. . .=2349−234900

Ejercicios:

Hallar las fracciones generatrices de los siguientes números decimales:

2’37, 3’023023023023023..., 4’73555555..., 0’2787878..,

Teoría de potencias

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto en el que se repite siempre el mismo

factor an=a .a.a .a . .. .a⏞

nfactores

El número a es la base y la n el exponente: base→an→exp onente

Por

ejemplo 54=5·5 ·5 ·5 donde 5 es la base , 4 el exponente y 5

4la potencia . Se lee cinco elevado a 4.

Las propiedades de las potencias nos facilitarán el poder operar con ellas. Estas propiedades se presentan a continuación:

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Propiedades de las potencias con respecto a la multiplicación

Propiedades de las potencias con respecto a la división

i) Multiplicación de potencias de igual base

an⋅am=an+m Ejemplo:

32⋅33=32+3=35=243

i) División de potencias de igual base

an :am= an

am=an−m

Ejemplo: 45 : 47=45

47=45−7=4−2

ii) Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente

an⋅bn=(a⋅b )n ó (a⋅b )n=an⋅bn

Ejemplo: 52⋅32=(5⋅3 )2=152=225

NOTA:Esta propiedad es muy útil para explicar lo que ocurre con una potencia de base negativa. Si el exponente es par el resultado es positivo, mientras que si el exponente es impar el resultado es negativo.

ii) División de potencias de distinta base e igual exponente.

an :bn=(a: b )n=( ab )n

=an

bn

Ejemplo:

103 :53= (10 :5 )3=(105 )

3

=23=8

NOTA:Esta propiedad es muy útil cuando se trabaja con bases fraccionarias o iguales a un número decimal.

Potencia de una potencia (an)m=an⋅mEjemplo: ( p3 )2=p3⋅2=p6

Potencia de exponente cero a0=1 Ejemplos:

i) 70=1 ii )(2 x3−5x+3 )0=1

Potencias de base 1 1n=1 Ejemplo: 150=1

POTENCIA DE EXPONENTE UN NÚMERO NEGATIVO. Para que las propiedades anteriores se conserven observa la definición de potencia con exponente negativo.

Potencia de exponente negativo

i) Base entera a−n=( 1

a )n

=1n

an= 1an

8

Ejemplo: 3−2=(1

3 )2

= 132

=19

ii) Base racional ( ab )

−n=( ba )

n

=bn

an

Ejemplo: ( 2

3 )−5

=(32 )

5

=35

25=243

32

Inverso de un número (exponente = -1) a-1=1/a

NOTACIÓN CIENTÍFICA: Forma de escribir un número muy grande o muy pequeño.

Observa los siguientes ejemplos:

4500000000000 = 4’5 .1000000000000=4’5 . 1012 1253 = 1’253 . 1000 =1’253.103

0’288 = 288/1000 = 288. 10-3= (288/100). (100x10-3)=2’88 . 10-1 0’000000011 = 1’1. 10-8

La parte en negrita de la notación científica se llama mantisa y siempre es un número decimal con una única cifra entera. El exponente de la potencia de 10 se denomina orden de magnitud y nos dice que el número es del orden de las decenas (1), centenas (2), millares (3), …,millones(6), …, centenas de millares de millones (11), etc o bien de las decimas (-1), centésimas (-2), …, de las décimas de millonésima (-7), etc.

Extraer Factores de un radical ( Expresar el radical en su más simple expresión)

Muchas veces para realizar operaciones matemáticas necesitamos reducir los radicales a su más simple expresión. Esto es dejar el menor número posible dentro del radical.

Para extraer los factores de un radical, se descompone en factores el radicando, se buscan potencias con el mismo exponente que el índice de la raíz y salen fuera de ella.

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 Ejemplos:  

ADICCION Y SUSTRACCION DE RADICALES

Para sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando. Cuando los radicales son semejantes, solo es necesario sumar sus respectivos coeficientes.

a) √12+√48−√27 = b) √20+√45−√50+√8

Multiplicación de radicales

Para multipl icar radicales con el mismo índice se multipl ican los radicandos y se deja el mismo índice .

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Cuando terminemos de real izar una operación e xtraeremos factores del radical , s i es posible.

Ejemplos : a) 6√3×5√2= b) (√3+√2 ) (√3−√2 )

3.. Afiancemos lo aprendido.

Escribe si o no, en las columnas del conjunto numérico indicado, si pertenece o no el número dado en la columna de la izquierda.

N Z Q I IR

-15

25

e

0

π

0,234234…

Simplificación de radicales:

Recordar que :

i) Los radicales pueden escribirse como potencias racionales.ii) Las propiedades de las potencias.

11

11) 3√ xy6 √5 x5

5√6 x10 y7 z23

5√2 (3√2−√3 ) (1+√2 ) ((3−√2 )

B. ACTIVIDADES DE PRÁCTICASimplificación de radicales:

Recordar para esto :

i) Los radicales pueden escribirse como potencias racionales.ii) Las propiedades de las potencias.

Simplificar =

Simplificar Simplificar 5√ x10

Simplificar 6√ x8

 

√8 = √175= √20= √240

12√48

16√96

5√6 x10 y7 z23

Ejercic ios de sumas y restas de radicales

12

Haz terminado la actividad

Socializa con tu maestro

C. ACTIVIDADES DE APLICACIÓN

Multiplicación de números con radicales

Halla el area y el perímetro de las siguientes figuras

5√2

(3√2−√3 ) (√5−3 )2

Resuelve los siguientes productos

(√3−√2 )2

 

D. PARA SABER MÁSA. TO KNOW MORE

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Haz terminado la actividad

Socializa con tu maestro

Haz terminado la actividad

Socializa con tu maestro

Reinforce the learnt

Hallar el area y el perímetro de las siguientes figuras

El arte de vivir sanamente

Las drogas y el alcohol en el adolescente

En un mundo que se encuentra en crisis, donde los valores se van oscureciendo, donde cada vez más familias se encuentran divididas, donde la ley del gusto y disgusto se ha vuelta una norma de vida; muchos jóvenes ante la experiencia de sin sentido, de frustración, en vez de enfrentar y responder al porqué de lo que su interior percibe, optan por "hacerse los locos" buscando mil maneras para huir de esa realidad que "incomoda".

El mundo de hoy le brinda al adolescente diversas formas para fugar de su interior, de lo que realmente lo compromete. El alcohol y las drogas se están volviendo unas de las maneras más usuales con lo que el adolescente busca "olvidar" la voz de su conciencia.

Todo tipo de uso -ya sea poco o mucho- se debe considerar como peligroso, puesto que no se puede predecir quiénes desarrollarán problemas serios. La clave es saber rechazarlos desde el inicio. De una población de 1200 estudiantes 240 confesaron haber probado alcohol, 20 marihuana, 6 anfetaminas, convirtiéndose este en un problema de salud que se debe intervenir prontamente desde todos los espacios sociales del joven. Donde la mejor forma de combatirlo es formando en valores y principios enfocados en el amor propio.

Teniendo como base la lectura, calcula el % de estudiantes que ha consumido drogas. Si conservamos la misma proporción, si el colegio fuera de 800 estudiantes cuantos

consumidores se tendrían aproximadamente.

2. Profundicemos. In the application of the theorem of Pitágoras found the reason and the use of the roots in the cotidianidad. But ¿what is the theorem of Pitágoras?

TEOREMA DE PITAGORAS

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El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los

cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitágoras generalizado

Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos.

1. . Resuelve los siguientes ejercicios.

a) Encuentra la medida del lado faltante de los siguientes triángulos rectángulos.

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BIBLIOGRAFÍA.

Conexiones matemticas 6. Grupo Norma. Leguizamón de Bernal Cecilia, 2008

CIBERGRAFÍA:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html

http://www.escolares.net/matematicas/sistemas-de-numeracion/

www.sectormatematica.cl/.../NM1_LOS%20SISTEMAS%20DE%20N

Elaboró: Revisó: Aprobó:

Profesor: Jerson Andrés Parra C. Jefe de Área Líder de Diseño Curricular

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