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Matemática I Módulo 1 Guías de estudio 1-8

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Guías de trabajo Matemática I

Introducción

Bienvenidos a la cursada de Matemática 1

Hemos preparado este trabajo teniendo en cuenta, principalmente:

- El diagnóstico realizado durante el Curso de Ingreso y la evaluación del mismo - La continuidad de lo trabajado en ese Curso con miras al tratamiento de los

contenidos de Matemática 1

Durante el Curso hemos observado que si bien el Módulo Curso Ingreso 2012 fue construido para que trabajaran en forma autónoma en equipo, es posible que haya habido obstáculos de diferente tipo para el logro de este objetivo.

Por eso en estas Guías reforzamos el acompañamiento para que puedan usarlas solos si fuera necesario y, al mismo tiempo, redujimos la cantidad de contenidos abordados en cada una.

Nos gustaría recordarles que, en este momento, están cursando Matemática 1 y en ese contexto los materiales que les proponemos para trabajar tienen un presupuesto de tiempo estimado que “deben” dedicarle. Lo que queremos decir es que deben dedicar tiempo al trabajo autónomo mucho más cuidadosamente de lo que lo hicieron en el Curso de Ingreso, porque de eso depende en parte el éxito en la cursada y la aprobación de la materia.

Por supuesto que cada profesor indicará, además, cómo se va a administrar el trabajo en cada clase en torno de este material.

Las dificultades evidenciadas para resolver las cuestiones básicas planteadas en la evaluación diagnóstica del Curso de Ingreso nos hacen pensar en dos posibles situaciones:

1.- No se logró que comprendieran lo que se esperaba acerca de los contenidos abordados

2.- No se logró que tomaran conciencia de la necesidad de dedicar al estudio un tiempo acorde con las particularidades que les son propias a cada uno de ustedes

Es posible que la respuesta más inteligente sea una mezcla de ambas cosas y que tengamos que compartir la responsabilidad de los resultados. Como el desarrollo del trabajo autónomo es parte de los objetivos que nos proponemos que alcancen durante su paso por la


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Universidad Provincial de Ezeiza, nos animamos a una nueva propuesta poniendo todas estas cuestiones sobre la mesa.

Creemos que el tiempo de preocuparnos por la existencia de la materia dentro del plan de estudios de la carrera que eligieron ya pasó. Muchos de los profesores que trabajamos con ustedes en el curso de ingreso continuamos ahora llevando adelante Matemática 1, es decir, ya hemos construido un vínculo que nos permitirá seguir relacionándonos de manera provechosa.

Ya saben que los profesores estamos en disposición de colaborar para que logren los objetivos propuestos pero, como se vivenció en el curso, solos no podemos lograr que aprendan: es necesaria la colaboración de ustedes.

En este material vamos a trabajar principalmente con polinomios de una variable.

El material está compuesto por una serie de guías de trabajo articuladas entre sí, algunas lecturas no obligatorias pero que resultan interesantes para “aprender algo más” y unos trabajos prácticos para que realicen y acuerden con los profesores instancias de consulta, de trabajo en clase y/o de entrega y evaluación durante la cursada.

Es importante que lean cada guía de trabajo con buena predisposición tratando de resolver las cuestiones que se les plantean y haciendo un esfuerzo individual para no llegar a la reunión de grupo de trabajo (en clase o en cualquier otro ámbito en el que decidan reunirse) sin nada para compartir con los demás integrantes del grupo.

Es de fundamental importancia que lleguen a estas reuniones con aportes para el trabajo grupal aunque los consideren muy pequeños o aunque no sean más que un cúmulo de dudas que no pudieron resolver solos.

También es muy importante que la reunión con sus pequeños grupos de trabajo sea productiva para que puedan aportar al trabajo con el grupo total de clase del mismo modo en el que cada uno aporta al pequeño grupo.

Además de trabajar en forma individual y grupal te sugerimos que, de vez en cuando, te reúnas con la persona de tu grupo con la que mejor te entiendas en cuestiones de estudio. Esto te permitirá profundizar con tranquilidad pero en compañía los trabajos realizados grupalmente o el trabajo realizado en clase.

Por último les recomendamos que aprovechen el tiempo de trabajo para trabajar. ¿Qué queremos decir?: que no lo desperdicien en cuestiones que no tengan que ver con el trabajo que se hayan propuesto. Esto no significa que pretendamos que te reúnas con tu grupo solamente para trabajar, pero si van a trabajar háganlo y después se dedican a lo social.


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Al respecto te sugerimos que tomen el tiempo que hayan dedicado a una reunión de estudio y que luego piensen cuánto de ese tiempo dedicaron efectivamente a estudiar, de ese modo podrán charlar el tema para ir ajustándolo de a poco y lograr:

- conservar el grupo, - que el tiempo de estudio compartido sea de calidad y - que el tiempo para socializar también sea de calidad.

Todo esto es parte de esta “nueva cultura” a la que esperamos que te sumes como alumno de nuestra Universidad.


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Guía de trabajo n° 1

En esta parte de la cursada de Matemática 1 vamos a trabajar con un tema que, agregado al trabajo que realizamos en el taller de ingreso, será de utilidad para futuros emprendimientos matemáticos.

El tema es el de los polinomios, y en particular los polinomios de una sola variable. Seguramente al nombrarlo aparecen muchas anécdotas todas ellas con un punto en común: “los polinomios son difíciles de entender porque tienen letras”

En parte es cierto: en cada término de un polinomio es posible que encontremos una parte literal, pero no se nos debe escapar que esa parte literal representa números y como tal deben ser tratados.

¿Qué significa esto?:

Seguramente recuerdes que en la escuela te enseñaron a descomponer los números.

En nuestro sistema de numeración se usan 10 dígitos para escribir los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Cada uno tiene un valor particular (absoluto) pero, además de este valor “absoluto” puede adquirir otro según la posición que ocupen dentro de determinado número (relativo):

En 1567 el 5 vale 500

En 1756 el 5 va le 50

En 5761 el 5 vale 5000 etcétera

Esto se debe a que el sistema numérico que usamos se llama decimal (porque usa diez dígitos) y posicional (pues cada dígito tiene valor relativo dependiendo del lugar que ocupa dentro de un número)

Es decir:


5

Luego 6571 = 6000 + 500 + 70 + 1

= 6 . 1000 + 5 . 100 + 7 . 10 + 1

= 6 . 103 + 5 . 102 + 7 . 101 + 1 . 100 (recordemos que todo número elevado a la cero da uno como vimos en el Módulo Curso de Ingreso 2012 pág. 62)

De a poquito fue apareciendo la base del sistema de numeración que usamos, es decir 10.

Pero existen otros sistemas de numeración donde la base no es diez: las computadoras usan un sistema en base 2, mi máquina filmadora usa un sistema en base 16 (después de usar del 0 al 9 empieza a poner letras por ejemplo “1A” es 26. ¿Por qué? Para responder aparece ayuda en el “anexo” de esta primera guía).

Es decir que la base del sistema de numeración podría (si quisiéramos) ser un número “x” cualquiera y lo anterior podría escribirse:

P(x)= 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x1 + 1 . x0

O de forma resumida:

P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

¡Apareció un polinomio!

Esto quiere decir que un número es un polinomio, y esto a su vez quiere decir que venimos trabajando con polinomios hace bastante sin darnos cuenta.

Ya sabemos que los números son polinomios pero nos convendría saber más precisamente qué es un polinomio. Para eso vamos resolver algunas actividades con polinomios de una sola variable: x, y, z o la que sea.

Vas a encontrar algo especial en las actividades de esta parte: inmediatamente después de la actividad están las respuestas.

Para nada vayas a pensar que no es necesario resolver lo que pide el enunciado de cada actividad, la idea no es que solamente tengas la respuesta correcta sino que además la entiendas: ¿De qué valdría saber que esto o aquello es polinomio si después, cuando los ejemplos fueran otros no lográramos distinguir si se trata de un polinomio o de un cuento chino?

Por eso preparamos unas indicaciones para la primera actividad y para las demás será importante que trabajes del mismo modo. Y trabajar significa ponerse a tratar de resolver las cosas con empeño y verdadera dedicación sin darse por vencido a la primera dificultad. Para lograrlo es importante contar con alguien para trabajar juntos, por eso te sugerimos que


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aproveches esta etapa para formar un grupo de trabajo para Matemática y para otras materias.

Ahí vamos:

Actividad 1

Digan si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señalen cuál es su grado y término independiente.

1) x4 − 3x5 + 2x2 + 5

2) + 7X2 + 2

3) 1 − x4

4)

5) x3 + x5 + x2

6) x − 2x−3 + 8

7)

Reflexionemos:

Así como están parece que todos son polinomios. Por ahí podríamos desconfiar de ese que tiene raíz cuadrada…

Veamos si las respuestas pueden brindarnos algo de ayuda:

Respuestas

1) x4 − 3x5 + 2x2 + 5 es un polinomio

Grado: 5, término independiente: 5.

Como se ve, conocer la respuesta no alcanza para entender todo lo que pide la actividad.

Resulta que el grado coincide con el valor del término independiente, así que lo podemos deducir que uno de los números 5 que aparecen en el polinomio es el grado. Como el otro es un “término” independiente debe ser el que está último y el grado debe ser la potencia mayor de x.


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Si bien averiguamos algo del grado de un polinomio y del término independiente, todavía podemos no saber qué es un polinomio

2) + 7X2 + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer término está dentro de una raíz.

En este caso aparece una razón por la que una expresión no es un polinomio. Teníamos razón en desconfiar: este no es polinomio

3) 1 − x4

Es un polinomio


Otro polinomio.

Parece que el término independiente es el que no tiene x y aunque acá está primero sigue siendo el independiente.

El grado parece que es la potencia de la x, ¿pero cuál? Mirando el 1) parece ser la mayor

4)

No es un polinomio porque el exponente del primer término no es un número natural.

Otra razón para que una expresión algebraica no sea un polinomio. Pero ¿Cómo que el exponente del primer término no es un número natural? ¿El 2 no es un número natural?

En el Módulo Curso Ingreso 2012 en la pág.62 hay un cuadro titulado “recordemos”. En ese cuadro dice dos cosas importantes:

a-1 = ……….

a1/n =………..

Estas dos expresiones son potencias de exponente no natural porque -1 es un número ……………….. y 1/n es un número ………………………….

(En el Módulo Curso de Ingreso 2012 pág. 13 podemos encontrar las respuestas)


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5) x3 + x5 + x2

Es un polinomio


Ahora ya sabemos

6) x − 2 x−3 + 8

No es un polinomio, porque el exponente de x en el 2º término no es un número natural.

Exacto, ya sabíamos: -3 es un número entero.

7)

Es un polinomio

Grado: 3, término independiente: −7/2.

Conclusión:

Para que una expresión algebraica de las que estamos estudiando sea un polinomio, la x debe tener un exponente…………………………………..en cada término.

El grado de un polinomio es ……………………………………………………………………………………………………..

El término independiente es …………………………………………………………………………………………………….

Además:

Los números que acompañan a la x en cada término se llaman coeficientes. El coeficiente del término que indica el grado del polinomio se llama “coeficiente principal”


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Actividad 2

En esta actividad traten de trabajar primero sin espiar las respuestas que figuran aquí, para después poder comparar su trabajo con esas respuestas.

Antes todo, recuerden que:

-En todos los términos de un polinomio de variable x está la variable elevada a diferentes exponentes. El mayor es el que marca el grado del polinomio y el menor que puede existir es “0” que está en el “término independiente” porque x0 = 1.

A veces un polinomio puede no tener algunas de las potencias desde el grado hasta 0, es decir el polinomio puede estar incompleto (como en 7) de la actividad 1)

Otras veces un polinomio puede estar desordenado ( como el 1) de la actividad 1 que además está incompleto)

¿Trabajamos?

Escribir:

1. Un polinomio ordenado sin término independiente.

2. Un polinomio no ordenado y completo.

3. Un polinomio completo sin término independiente.

4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

A continuación, algunas respuestas para comparar con lo que hayas escrito o para consultar si fuera necesario:

Respuestas:

1. Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x4 − 2x

(No dice que deba estar completo)

2. Un polinomio no ordenado y completo.


10

3x − x2 + 5 − 2x3

3. Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

(Para averiguar por qué revisen lo que significan las palabras que están subrayadas)

4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x4 − x3 − x2 + 3x + 5

¿Cuáles son los coeficientes de los tres primeros términos? ¿Son números impares?


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Trabajo Práctico nº 1

Ejercicios

1) Decir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no explicando por qué.

a) b) c)

d)

e) f) 4.x-1 + 3

a) 2x + 3x2 –

b) 2x + 3x2 – c) 3x – 2(x + 4)2

d) (3x – 4). + 4

2) Determinar grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios, ordenarlos según las potencias decrecientes.

a) 4x3 – 1 + 3x2

b) x5 + x6

c) –2x + 3x3 – x2

d) – + (éste es un poquito más difícil hay que usar la propiedad distributiva de la división)


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Anexo

Lectura opcional

En un sistema de numeración posicional de base 16, existen 16 símbolos para combinar:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F

Como en cualquiera hay números de más de una cifra.

Observen y completen la siguiente tabla de equivalencia:

Números de una cifra

En base 16

Equivalencia en base 10

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15 Números de dos cifras

En base 16

10 16 ¿por qué?

11 17 12 18 13 19


13

…. …. 19 26 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 …. ….

Desafío:

¿Cuál será el mayor número de dos cifras que se puede escribir en este sistema?

¿A qué número de nuestro sistema de base 10 equivale?


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En esta guía vamos a continuar trabajando con polinomios de una variable.

Como siempre vamos a trabajar en la resolución de actividades.

En los casos que sea conveniente se incluirán las respuestas para que puedan consultar

En la Guía de trabajo nº 1 recordamos qué es un polinomio, cómo determinar su grado y reconocimos sus coeficientes

Vimos que un número es un polinomio donde la “variable” (la parte literal) toma el valor de la base del sistema de numeración con el que estamos trabajando (si no se acuerdan de qué se trata esto les sugerimos que relean la primera parte de la Guía de trabajo nº 1).

Es decir: un polinomio P(x) (la x entre paréntesis es la variable) tiene un determinado “valor numérico” según el valor que se le asigne a su variable.

Recordemos que P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

Tiene como “valor numérico” 6571 si x =10

Esto se expresa:

P(10) = 6571

Fíjense que ahora, entre paréntesis, en el lugar de la variable colocamos el valor de la misma.

Pero si x toma otros valores el polinomio podría tener otros valores numéricos:

P(2) = 83

P(7) = 2353

P(15) = 21481

Comprueben todos estos valores numéricos usando calculadora

Actividad 1

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1


15

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = x2 + 4

T(x) = x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1) P(6) + Q (3) =

2) P(7) − U (7) =

3) [P(3) + R (2)]2 =

4) [S(4)]3 +2 T(8) + ½ U(6) =

5) [2 S(6)]2 – T(4) + ¼ [ U(2)]2 =

Respuestas

1) 159

2) 144

3) 3844

4) 1949

5) 1916

Como se ve hasta ahora trabajamos con números naturales pero la variable podría tomar cualquier valor real.

Actividad 2



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P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2x − 2

Calcular:

1) P(1) + Q(1/2) − R(1) = 2) P(1) - 2 Q(1/2) − R(2) = 3) Q(2) + R(1) – [P(-1)]-2 =

Respuestas

1) - 27/8 2) -261/4 3) -225/16


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Guía de trabajo nº 3

En esta guía de trabajo continuamos con el trabajo con valores numéricos y trabajamos con sumas y restas de polinomios

Actividad 1

Investigamos

Vamos a hacer una investigación:

Supongamos los polinomios P(x) y Q(x) de la actividad 1

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

Y calculemos P(2) y Q(2)

P(2)= 15

Q(2)= 6

De aquí se desprende que P(2)+Q(1)= 21

Si sumáramos los polinomios en x y luego buscáramos el valor numérico del polinomio resultante para x=2: ¿sería 21?

Seguro que ya están intuyendo la respuesta pero vamos a ver si la podemos confirmar:

Para contestar esta pregunta vamos a tener que sumar P(x)+Q(x)

Es posible que ya sepan sumar polinomios, pero no vendría mal que repasáramos el método.

Cada término de un polinomio es un monomio, la idea para sumar dos polinomios es agrupar monomios homogéneos, es decir, con la variable a la misma potencia. Esto se puede hacer juntándolos en un cálculo o haciendo “la cuenta”:

P(x) + Q(x) = (4x2 – 1) + (x3 – 3x2 + 6x – 2)

Pusimos paréntesis nada más que para que se note donde empieza y termina cada polinomio, pero en realidad no hacen falta:

P(x) + Q(x) =4x2 – 1 + x3 – 3x2 + 6x – 2

Podemos agrupar términos (monomios) homogéneos:


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P(x) + Q(x) =4x2− 3x2 + x3 + 6x – 2– 1 (debemos ser cuidadosos con los signos)

Operando:

P(x) + Q(x) =x2 + x3 + 6x – 3 (debemos ser cuidadosos con los signos)

Cuando hacemos “la cuenta” lo que realizamos es lo mismo, solamente que encolumnamos los monomios homogéneos:

Colocaremos arriba el P(X) …………..4x2 – 1 + 0x3+ 0x aquí completamos P(x) pero no hace falta

Colocaremos abajo el Q(x)………… − 3x2 – 2 + x3 + 6x encolumnando adecuadamente

Sumamos las columnas……………. x2 – 3 + x3 + 6x teniendo cuidado con los signos

Como podemos ver en ambos casos se obtiene el mismo resultado aunque ordenado de manera diferente.

Si queremos podemos ordenar el resultado aunque no es necesario:

P(x) + Q(x) = x3+ x2 + 6x – 3

Y ahora lo que queríamos averiguar:

El valor numérico de este polinomio para x=2 es...: 21

¿Sospechabas que era así? ¿Por qué?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Obviamente lo mismo sucede con la resta

Vamos a hacer “la cuenta “ de Q(x) – P(x)

En este caso no hay que ser cuidadoso con los signos ¡hay que ser cuidadosísimos!:

− 3x2– 2+ x3+ 6x

-

4x2 – 1+0x3+0x

-7x2 – 1 +x3 + 6x

Hicimos “la cuenta” aunque también se podría hacer el cálculo horizontal como veremos en las respuestas de la actividad 1 de la siguiente guía


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En esta guía de trabajo aplicamos lo que trabajamos en la guía de trabajo nº 2

Actividad nº 1


P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = x2 + 4

T(x) = x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1) P(x) + Q (x) =

2) P(x) − U (x) =

3) P(x) + R (x) =

4) 2P(x) − R (x) =

5) S(x) + T(x) + U(x) =

6) S(x) − T(x) + U(x) =

¡El primero ya está hecho!

Respuestas (con reflexiones incluidas):

1) P(x) + Q (x) =

= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =


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= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =

= x3 + x2 + 6x − 3

¿Se fijaron en que en cada renglón colocamos un “=” al principio y al final salvo en el último porque contiene el resultado?

Esta es una manera convencional de escribir los cálculos que mostramos aquí para se acostumbren a hacerlo así. Como ven no solamente debemos preocuparnos por llegar al resultado final correcto sino también de la forma de expresar el modo en el que arribamos a ese resultado.

2) P(x) − U (x) =

Esta es una resta que vamos a resolver haciendo “el cálculo” en vez de “la cuenta”

= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =

= 4x2 − 1 − x2 − 2 = (observen que al quitar el paréntesis se han producido cambios en los términos de U(x), esto es porque debe restarse)

= 3x2 − 3

3) P(x) + R (x) =

= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =

= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =

= 10x2 + x

4) 2P(x) − R (x) =

= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =

En este caso aparece una constante (el número 2) que multiplica a P(x). Igual que con los números, al operar con polinomios, se debe tener cuidado de separar en términos antes de empezar.

Esto quiere decir que primero se debe multiplicar P(x) por 2 y eso (como recordarán) se realiza haciendo uso de la propiedad distributiva:

= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =

Aquí hicimos dos pasos en uno:

- Multiplicamos P(x) por 2 y


21

- Quitamos los paréntesis con lo cual cambian los signos en el segundo polinomio debido a que estamos restando

= 2x2 − x − 3

5) S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =

= 3x2 + 11

6) S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =

= 1


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Trabajo Práctico nº 2 Ejercicios

1) Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2 x − 2

Calcular:

a) P(x) + Q(x) − R(x) =

b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

c) Q(x) + R(x) − P(x) =

Respuestas

Como ya se ha revisado bastante el procedimiento, incluimos solamente los resultados finales. De esta forma tendrán oportunidad de trabajar solos y comparar los procedimientos usados por cada uno de los integrantes del grupo que llegaron a los resultados correctos.

Si alguien del grupo no llegó a los resultados correctos se presenta la oportunidad de realizar nuevos aprendizajes: para nada se deberá borrar lo producido y copiar otro que parezca correcto, la forma conveniente de proceder es revisar esa producción entre todos para tratar de encontrar algún error y corregirlo.

a) P(x) + Q(x) − R(x) = −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5 b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) = −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9 c) Q(x) + R(x) − P(x)= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3

2) Usando el ingenio

a) Sabiendo que

P(x) + R(x) = 10x2 + x y R(x) = 6x2 + x + 1

Calcular P(x)

b) Sabiendo que

P(x) − U (x) = 3x2 – 3 y que U(x) = x2 + 2

Calcula P(6)


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Respuestas (con actividad incluida):

Todas las respuestas a este ejercicio figuran en las páginas de las guías de trabajo que leyeron y deberían poder encontrarlas entre todos: ¡adelante!


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En la Guía de trabajo nº 2 calculamos el valor numérico de polinomios de una variable para determinados valores de la variable x.

Además trabajamos con la adición y sustracción de polinomios en la Guía de trabajo nº 3.

En esta cuarta guía vamos a retomar algunas de esas cuestiones que venimos trabajando para, a partir de ellas, avanzar algo más en temas que resultarán útiles en esta cursada de Matemática I

Consideremos el polinomio P(x) = 5x-2

Como ya sabemos el grado de P(x) es ............., su coeficiente principal es ........ y su término independiente es ..........

Como es fácil calcular P( ) = (compruébenlo)

En este momento están preparados para resolver un pequeño problema:

Actividad 1

Considerando P(x)= 5x-2

¿Para qué valor de x, P(x) tiene valor numérico 1?

Respuesta

El problema planteado supone averiguar un número que satisfaga:

1= 5x-2

Donde 1 es el valor numérico del polinomio P(x)

¡Es una ecuación!

Luego:

Sumando 2 en ambos miembros:

1 + 2 = 5x

Ahora dividimos ambos miembros por 5:

53

= x


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Respuesta:

El valor de x para el cual el valor numérico de P(x) es 1 es 53

Actividad 2

Calcula el valor de x para que el valor numérico de P(x) sea el indicado en cada caso:

a) P(x) = 523 2 +x valor numérico de P: 29

b) P(x)= 231 3 −x valor numérico de P: 7

c) P(x) = 71

75 2 −− x valor numérico de P:

289−

d) P(x) = 2

41

43 x−− valor numérico de P:

47−

Respuestas

Recuerden que las raíces de índice par tienen más de un resultado, esta es la razón por la que vamos a detallar la resolución de a), luego podrán trabajar en forma autónoma

a) La ecuación que se debe resolver es:

29523 2 =+x

Restando 5 a ambos miembros:

2423 2 =x

Dividiendo ambos miembros por 23

:

32.24

23:242 ==x

(Porque dividir por 23

es lo mismo que multiplicar por 32

)

Operando queda:


26

162 =x

Luego, aplicando a ambos miembros raíz cuadrada:

16=x

De donde:

x = 4 ó x = -4

Ya que cualquiera de estos dos números elevados al cuadrado dan 16

b) x = 3

c) x =21

ó x=21−

d) x = 2 y x= -2


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Anexo

Una lectura “no obligatoria” pero divertida

El arte de adivinar números De: Y. Perelmán Álgebra recreativa Ed. Mihr. Moscú 1986

Cada uno de Uds. se encontrará indudablemente con “prestidigitadores” que pueden adivinar números. Como regla un prestidigitador propone realizar operaciones del siguiente carácter: pensar un número cualquiera, adicionar 2, multiplicar el resultado por 3, restar 5, restar el número pensado etc., en total cinco o una decena de operaciones. Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado y, al obtener la respuesta, en seguida comunica el número pensado.

Claro está que el secreto de la «prestidigitación» es muy fácil y se basa en las mismas ecuaciones.

Supongamos que el prestidigitador le haya propuesto a Ud, realizar un programa de operaciones indicado en la columna izquierda de la tabla siguiente:

piense un número

adicione 2

el resultado multiplíquelo por 3

reste 5

reste el número pensado

multiplique por 2

reste 1

x

x+2

3x+ 6

3x+l

2x+1

4x+2

4x+ 1

Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado final “y”, al obtenerlo, dice al instante el número pensado. ¿Cómo lo hace?

Para comprender esto, hay que mirar la columna derecha de la tabla, donde las indicaciones del prestidigitador están traducidas al idioma del álgebra. Mirando esta columna se puede comprender que, si Ud. ha pensado cualquier número “x”, entonces una vez realizadas todas las operaciones se obtendrá 4x + 1. Conociendo este resultado no es difícil “adivinar” el número.


28

Supongamos, por ejemplo, que Ud. haya dicho al prestidigitador que el resultado es 33.

Entonces el prestidigitador resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x + 1= 33 y obtiene la respuesta: x = 8. Es decir, hace falta restar 1 del resultado final (33 — 1 = 32) y luego el número obtenido se divide entre 4 (32 : 4 = 8), el resultado de esta división es el número pensado (8). Si el resultado final es 25, entonces el prestidigitador hace mentalmente las siguientes operaciones 25 — 1 = 24, 24 : 4 = 6 y le comunica que Ud. ha pensado el número 6.

Como se ve todo es muy fácil. El prestidigitador sabe de antemano qué hace falta hacer con el resultado para obtener el número pensado.

Después de comprender esto Ud. puede asombrar y desconcertar aún más a sus amigos proponiéndoles a ellos mismos escoger según su propio parecer, el carácter de operaciones sobre un número pensado. Ud. propone a su amigo pensar un número y realizar en cualquier orden operaciones del carácter siguiente: sumar o restar un numero conocido (por ejemplo sumar 2, restar 5, etc.), multiplicar1 por un número conocido (por 2, por 3, etc.), sumar o restar el número pensado. Su amigo, para embarullarle, va a amontonar una serie de operaciones. Por ejemplo, él ha pensado el número 5 (el número pensado no se lo comunica a Ud.) y realizando operaciones le dice:

— he pensado un número, lo he multiplicado por 2, al resultado he sumado 3, luego he sumado el número pensado, al resultado he sumado 1, todo lo he multiplicado por 2, he restado el numero pensado, luego he restado 3, una vez más he restado el número pensado, he restado 2. Por fin, el resultado lo he multiplicado por 2 y he sumado 3.

Al decidir que él le ha embrollado por completo él comunica a Ud. con el

aspecto triunfante:

— el resultado final es 49.

Para su asombro Ud. le comunica inmediatamente que él ha pensado número 5.

¿Cómo lo hace Ud? Ahora todo eso es bastante claro. Cuando su amigo le comunica las operaciones que él está realizando con el número pensado, Ud. a la vez actúa mentalmente con la incógnita x. El le dice: “He pensado un número...”, Ud. repite mentalmente: “entonces tenemos x”. El dice: “... lo he multiplicado por 2...» (él de veras realiza la multiplicación de números), Ud. prosigue mentalmente:

1 Mejor que no le permita dividir, pues la división complica mucho la “prestidigitación”.


29

“…ahora tenemos 2x”. El dice:”… al resultado he sumado 3...”, Ud. le sigue inmediatamente: 2y 4+3, etc.

Cuando él le «ha embrollado» completamente y ha realizado todas las operaciones mencionadas arriba, Ud. ha llegado al resultado indicado en la tabla siguiente (en la columna izquierda está escrito todo lo dicho en voz alta por su amigo y en la derecha — las operaciones que Ud. ha hecho mentalmente):

He pensado un número

Lo he multiplicado por 2

al resultado he sumado 3

luego he sumado el número pensado

ahora he sumado 1

el resultado lo he multiplicado por 2

he restado el número pensado

he restado 3

más le restado el número pensado

he restado 2

por fin, el resultado lo he multiplicado por 2

y he sumado 3

x

2x

2x+3

3x+3

3x+4

6x+8

5x+8

5x+5

4x+5

4x+3

8x+6

8x+9

Ud. ha pensado por ultimo: el resultado final es 8x+9. Ahora él dice:”El resultado final es 49”. Ud. tiene ya la ecuación hecha: 8x+9 = 49. Resolverla es una futilidad y Ud. le comunica en el acto que él ha pensado el número 5. Esta prestidigitación es particularmente impresionante porque las operaciones que hace falta realizar con el número pensado no las propone Ud., sino que su amigo las «inventa».

Sin embargo, hay un caso donde la prestidigitación no tiene éxito. Si Ud. después de realizar (contando mentalmente) una serie de operaciones ha obtenido, por ejemplo, y +14, y su amigo dice luego: “… ahora he restado el número pensado y el resultado final es 14». Ud. le sigue (x + 14) – x = 14, de verdad resulta 14, pero no hay ninguna ecuación y por eso Ud. no puede adivinar el número pensado. ¿Qué es


30

necesario hacer en este caso? Obre así: tan pronto Ud. tenga el resultado que no contiene la incógnita x, interrumpa a su amigo diciéndole: “¡Pare! Ahora puedo sin preguntar nada comunicarte el resultado que tienes. Es 14”. Esto de veras va a desconcertar a su amigo, pues él no le ha dicho completamente nada. A pesar de que Ud. no supo adivinar el número pensado, la prestidigitación ha resultado espléndida.

He aquí un ejemplo más (como antes en la columna izquierda se encuentra lo dicho o por su amigo):

He pensado un número

a este número he sumado 2

al resultado lo he multiplicado por 2

ahora he sumado 3

he restado el número pensado

he sumado 5

Luego he restado el número pensado

X

x+2

2x+4

2x+7

x+7

x+12

12

En el momento en el que su amigo le indica que el resultado ha sido 12, es decir, que se trata de una fórmula que no tiene más la incógnita x, Ud. interrumpe al amigo comunicándole que ahora el resultado es 12.

Después de practicar un poco Ud. podrá fácilmente mostrar a sus amigos semejantes «prestidigitaciones».


31


Hasta ahora seguramente no tuviste problemas para resolver las ecuaciones que plantea cada ejercicio de la guía de trabajo nº 4, pero a veces las cosas pueden ser más complejas:

Actividad 3

Encuentren el valor de la variable x para que el valor numérico de R(x) = 6.x2 + x sea 1

Respuesta

Al principio procedemos de la manera habitual:

6.x2 + x = 1

Pero en seguida nos damos cuenta de que esta ecuación no puede resolverse fácilmente mediante la radicación.

Este tipo de ecuaciones cuadráticas ya fueron trabajadas en el Módulo Curso de Ingreso 2012

En la página 53 hay un cuadro en el que aparece la fórmula para encontrar las raíces de una función cuadrática escrita en forma “polinómica” (¿te suena el nombre?)

Recordemos que las “raíces” o “ceros” son los valores de x para los que y se hace cero, en otras palabras las raíces son los valores de x para los que el valor numérico de un polinomio Y(x) de grado 2 es cero. Se trata de una fórmula para resolver “ecuaciones cuadráticas igualadas a cero”

Copien la fórmula aquí:

¡Nosotros tenemos un polinomio de grado 2!

6.x2 + x = 1

Lo único que pasa es que el valor numérico es 1 en vez de cero, pero eso se puede arreglar restando 1 a cada miembro:

6.x2 + x - 1= 0


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Ahora podemos usar la fórmula para averiguar los valores de x, solamente hay que recordar quiénes son a, b y c. Ya lo mencionamos antes, pero si no lo encuentran para recordarlo podemos consultar el Módulo Curso de Ingreso 2012 en la página 42

Una vez que hayan realizado los cálculos correspondientes van a obtener dos soluciones para esta ecuación:

x= 21

− y x= 31

Esto quiere decir que el polinomio R(x) tiene como valor numérico 1 cuando x =21

− ó x =

31

.

Compruébenlo reemplazando ambos valores en la expresión original de R(x)

Recapitulemos:

La fórmula

Permite encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática en la que el segundo miembro es cero:

Una ecuación cuadrática puede llevarse a esta forma operando en ambos miembros convenientemente.

¿Esto tiene que ver con la función cuadrática?

Si, pero paciencia .


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Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 3x-9= 1 b) 14- 4x= 3

c) x2 - 1 = 45

d) x - x2 = -2 e) 2x+x2 = 0

Respuestas

a) x = 3

10

b) x = 4

11

c) x = 23

y x = 23−

d) x= -1 y x = 2 e) x=0 y x = -2


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Problemas Resueltos

Al resolver los siguientes problemas planteando ecuaciones, además de repasar la resolución de las mismas, están preparándose para la guía siguiente, así que a trabajar mucho y con confianza

La idea es que lean las soluciones propuestas y que conversen grupalmente tratando de interpretar lo que se hace, proponiendo otras formas de resolver y anotando las dudas para consultar

En términos generales se tomaron problemas que se resuelven con números enteros y racionales que ya conocen

Posteriormente les presentamos algunos ejercicios en el Trabajo Práctico nº 4 para evaluar si pueden resolverlos de forma autónoma

Vamos a trabajar:

1) Javier y Felipe tenían deudas de $ 750 cada uno. Ambos cobraron sus respectivos sueldos y pagaron sus deudas. A Javier le quedaron $267 y a Felipe $ 409. ¿Cuánto cobró de sueldo cada uno?

Solución

El problema pide calcular los sueldos que no conocemos.

Vamos a llamar j al sueldo de Javier y f al de Felipe

Es obvio que a cada uno de esos sueldos hay que restarle las deudas y el resultado será lo que le queda a cada uno:

Para Javier:

(*) J – 750 = 967

Para Felipe

(∆) F – 750 = 1409

Se trata de dos ecuaciones muy fáciles de resolver, pero antes fijémonos que así como están planteadas las cosas se puede saber quién tiene el mejor sueldo ¿Quién es? ¿Por qué?

Ahora si: para calcular el sueldo de Javier resolvemos (*)

J – 750 = 967


35

J = 967 + 750

J = 1717

Y para calcular el de Felipe resolvemos (∆)

F – 750 = 1409

F = 1409 +750

F= 2159

Respuesta (en todos los problemas siempre es conveniente escribir la respuesta a la pregunta)

Javier cobró $1717 de sueldo y Felipe $2159

2) Si un buzo estaba a –60 metros y ahora está a – 28 metros. ¿Ascendió o descendió? ¿Cuántos metros?

Solución

Este es un problema en el que el planteo de una ecuación resulta un poco engorroso para lo que es el problema.

En casos como este podemos usar un razonamiento matemático que no tenga que ver con ecuaciones sino con cuestiones geométricas que nos lleven a la solución.

Supongamos que de un bote se deja caer una soga de 60 m hacia abajo.

El buzo se encuentra primero a -60 metros, es decir a 60m por debajo de la superficie.

Luego está a -28 metros es decir a 28 m del nivel del agua, esto quiere decir que debe haber subido, por lo tanto ya estamos en condiciones de escribir la respuesta.

Pero antes pensemos: -28 ¿es un número mayor o menor que -60? Al contestar esta pregunta estamos dando la razón por la que la respuesta es:

Respuesta

El buzo ascendió 32m


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3) Entre Ana y Ariel compran una enciclopedia. Ana aporta las dos terceras partes del precio mientras que Ariel pone $ 149,45 y llegan así a cubrir el precio total ¿cuánto cuesta la enciclopedia?

Solución

Llamaremos X al precio de la enciclopedia

Ana aporta las dos terceras partes de X

x32

Ariel agrega $149,45 y se cubre el total X

xx =+ 45,14932

Resolvemos restando x32

en ambos miembros:

xx3245,149 −=

x3145,149 =

Ahora dividimos ambos miembros por 31

(o, lo que es lo mismo multiplicamos por 3):

x=45,149.3

35,448=x

Respuesta

La enciclopedia costó $448,35

4) Alejo, Bruno, Carlos y Diego se reparten cierta cantidad de dinero. Alejo toma un tercio de dinero y se va. Bruno toma un tercio de lo que queda; Carlos toma $500 y sólo quedan $100 para Diego. ¿Cuánto dinero había en total?

Solución

Llamemos x al total de dinero disponible


37

Alejo toma x31

Lo que queda es:

xxxxx32

31

33

31 =−=−

De estos x32

(dos tercios del total) Bruno toma 31

:

xx92)

32(

31 =

Carlos toma $500

Diego toma $100

Es decir el total x está compuesto por lo que tomó cada uno:

Alejo + Bruno + Carlos + Diego = total

x31

+ x92

+ 500 + 100 = x

Resolvemos:

Primero restamos x31

en ambos miembros:

x92

+ 500 + 100 = x - x31

Operamos y restamos x92

en ambos miembros:

500 + 100 = x32

- x92

Operamos :

600 = x94

Dividimos ambos miembros por 94

o lo que es lo mismo multiplicamos por 49

:


38

600 . 49

= x

X= 1350

Respuesta

La cantidad de dinero que se repartieron fue de $1350


39


Resuelvan los siguientes problemas

Resuelvan los siguientes problemas utilizando ecuaciones u otras estrategias.

1) El papá y la mamá de Juan trabajan. La mamá gana $ 2850 pero le descuentan $ 400. El papa gana $ 3200 y le descuentan $ 500. Si los gastos mensuales familiares suman $ 3900. ¿Cuánto pueden ahorrar?

Respuesta

Pueden ahorrar $1250

2) Un edificio tiene 17 pisos, planta baja y 2 subsuelos. Un ascensor está en el segundo piso, sube 8 pisos, desciende 11 pisos, vuelve a subir 5 pisos, desciende 6, sube 7 y baja 2 ¿En cuál está en este momento?

Respuesta

Está en el tercer piso

3) En un aeropuerto, se acepta despachar un máximo de 30 Kg. por pasajero sin pagar exceso de equipaje. Una señora llevaba 12 Kg. de ropa, 2 Kg. de perfumes, 3 Kg. de zapatos, 3 Kg. de peso en libros y folletos. Además, llevaba 4 regalos de igual peso y cada uno pesaba una cantidad entera de Kg. ¿Cuál era el peso posible de cada regalo si la valija vacía pesaba 2 Kg. y no pagó exceso de equipaje?

Respuesta

Cada regalo tiene un peso posible de 1 ó 2 kg

4) Carlos reparte caramelos entre sus tres hijos, al mayor le da la tercera parte, al del medio la cuarta parte y al menor dos quintas partes. Luego del reparto le sobran dos caramelos ¿cuántos caramelos tenía Carlos para repartir?

Respuesta

Carlos tenía 120 caramelos para repartir

5) Si una persona por día emplea la cuarta parte de lo que gana en alimentos, dos tercios de lo que le queda en otros gastos y ahorra $ 34,30 ¿Cuánto gana por día?

Respuesta

Gana $137,20 por día


40


Actividad 1

Una lectura con poco para hacer

Como estuvimos viendo hasta ahora, un polinomio adquiere diferentes valores numéricos de acuerdo al valor que adquieren sus variables (hasta ahora no lo dijimos pero ustedes saben que un polinomio podría tener más de una variable, pero no se asusten que no es de eso de lo que queremos hablarles).

Se puede establecer una relación entre los valores de las variables y el valor numérico que adquiere el polinomio por ejemplo (ya lo hicimos en la propuesta de trabajo 2):

Si P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

P(10)= 6571

P(2) = 83

P(7) = 2353

P(15) = 21481

Podemos construir una tabla en la que a cada valor de x le corresponde un único valor numérico de P(x):

x P(x) 10 6571 2 83 7 2553 15 21481 3 4 5

Completen la tabla.

Esto significa que existe una función que relaciona cada x con un único valor numérico

Si llamamos “y” a los valores numéricos del polinomio para cada x la tabla queda como habitualmente, solamente hay que considerar entre qué valores puede encontrarse el valor de x y el tipo de número que puede ser es decir el “dominio” de la función. Por ejemplo si x solamente puede tomar los valores que pusimos en la tabla, el dominio de la función sería el conjunto de números Naturales (Módulo Curso de Ingreso 2012 pág. 13):


41

D = {2, 3, 4, 5, 7, 10,15}

Además el conjunto imagen está formado por los valores que puede adquirir la y, en este caso (complétenlo, sin olvidar las comas, y cierren la llave):

I = {83, .......................................................

En el Módulo curso de ingreso 2012 trabajamos con funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas.

En este momento sería bueno que repasen el tema de función cuadrática del Módulo Curso de Ingreso 2012 como para que puedan consultar las dudas que les hayan quedado al respecto.

Cuando trabajamos con las cuadráticas en el Curso de Ingreso dejamos unos problemas pendientes.

Antes de continuar trabajando con polinomios vamos a ver si podemos encarar la solución de esos problemas. Pero eso va a ser el tema de otro momento de trabajo.

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