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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
Guía didáctica: Trigonometría
Curso de Extensión
PARTE B SESIONES 5 - 8
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.
MATERIAL EN REVISIÓN
Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
CURSO DE EXTENSIÓN
TRIGONOMETRÍA
MODALIDAD: NO PRESENCIAL
DURACIÓN: 5 SEMANAS
FACILITADORES
MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.
2:00 P.M. – 5:00 P.M.
CONSULTAS
SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4
SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007
SESIONES 5 - 8
SEMANA 3: 19/11/2007 al 23/11/2007 SESIONES 9 - 13
SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007
SESIONES 14 - 16
SEMANA 5: 03/12/2007 al 07/12/2007 SESIONES 17 - 20
1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Curso Básico de Nivelación en el área de
Trigonometría
Contenidos desarrollados por: Prof. Asdrúbal Canache
Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares geométricos”
Sesión 1: Preliminares geométricos…………1 Problemas propuestos……………………… 10 Autoevaluación 1…………………………..... 11 Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15 Problemas propuestos……………………… 24 Autoevaluación 2…………………………..... 27 Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30 Problemas propuestos……………………… 38 Autoevaluación 3…………………………..... 43 Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47 Problemas propuestos……………………… 57 Autoevaluación 4…………………………..... 63 Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67 Problemas propuestos……………………… 75 Autoevaluación 5…………………………..... 77
Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:
Datos de Identificación Profesores del área:
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2 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo”
Sesión 6: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo………………….……... 81 Problemas propuestos……………………… 85 Autoevaluación 6……………………………. 88
Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo”
Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……... 92 Problemas propuestos……………………… 98 Autoevaluación 7…………………………….101 Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..104 Problemas propuestos……………………… 124 Autoevaluación 8…………………………….131 Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..134 Problemas propuestos……………………….146 Autoevaluación 9…………………………….149 Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..152 Problemas propuestos……………………….158
Autoevaluación 10…………………………161 Tema 4 “Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios”
Sesión 11: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios………..………..…165 Problemas propuestos……….……………..171 Autoevaluación 11..…………………..…….174 Sesión 12: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…178 Problemas propuestos……………………..183 Autoevaluación 12 …………………..…….187 Sesión 13: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…191 Problemas propuestos……………………..203 Autoevaluación 11 …………………..…….205
Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos” Sesión 14: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………208 Problemas propuestos……………….…… 217 Autoevaluación 14……………………… 218 Sesión 15: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………221
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3 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Problemas propuestos……………….…… Autoevaluación 15………………………
Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas”
Sesión 16: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 230 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 16………………………… Sesión 17: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 238 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 17………………………… Sesión 18: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 245 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 18…………………………
Tema 7 “Resolución de triángulos”
Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluaión 19…………………………
Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 20…………………………
Respuestas a las Autoevaluaciones.
Tema 1 Sesión 1……………………………..…………14
Sesión 2……………………………..………...29 Sesión 3……………………………..………...46
Sesión 4……………………………..…………66 Sesión 5…………………………………….....80
Tema 2 Sesión 6…………………………………..…...91 Tema 3 Sesión 7………………………………………103 Sesión 8…………………………………..…..133 Sesión 9……………………………………....151 Sesión 10…………………………………..…164 Tema 4 Sesión 11………………………………..……177 Sesión 12………………………………..……190 Sesión 13………………………………..……207 Tema 5 Sesión 14………………………………..……220 Sesión 15……………………………………
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4 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Tema 6 Sesión 16…………………………………… Sesión 17…………………………………… Sesión 18…………………………………… Tema 7 Sesión 19…………………………………… Sesión 20……………………………………
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5 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Introducción
Este curso está orientado hacia la capacitación del
estudiante para el uso de herramientas básicas de
trigonometría. Esta área, como parte de las
matemáticas trata del cálculo de los elementos de los
triángulos planos y esféricos, siendo las funciones
trigonométricas parte fundamental del análisis y del
cálculo desempeñando un importante papel tanto en las
matemáticas puras, como en las aplicadas.
Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los
estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de
trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones
prácticas en su quehacer profesional.
El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones
Trigonométricas, Suma y Diferencia de Ángulos, Identidades
Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes
de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de
Los Andes.
Objetivos
Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas
básicas de trigonometría.
Objetivos específicos
* Tema 1: Preliminares geométricos
Formular los conceptos básicos de la trigonometría.
* Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo
rectángulo.
* Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo
Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.
* Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos
suplementarios
Resolver problemas aplicados.
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6 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
* Tema 5: Suma y diferencia de ángulos
Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de
problemas.
* Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.
* Tema 7: Resolución de triángulos
Resolver problemas de triángulos.
Estrategias
Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,
voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes
satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta
modalidad le permitirá:
1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la
comodidad de su domicilio.
2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador,
M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.
están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL
CURSO:
Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada
tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.
Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser
analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse
en un tiempo determinado.
Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se
lograrán durante la interacción con cada sesión.
Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los
diferentes temas que comprende cada sesión.
Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben
seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje
de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los
contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes
(críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos
y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te
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7 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada
sesión.
Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el
autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario
empleado.
Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de
finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te
sientas preparado para presentar la evaluación final.
Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se
encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.
Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:
• Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión
• Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el
transcurso de 10 semanas.
• Leer pausadamente cada sesión de clase
• Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y
verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran
al final de cada unidad
• Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con
la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en
cada sesión de clases
• No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran
al final de la unidad, antes de realizar las mismas.
• Es importante consultar a través del correo electrónico
[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.
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67 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
Tema 1: Preliminares Geométricos
Sesión 5
Objetivos específicos
* Manejar los conceptos relacionados con arcos de circunferencia y área de un sector circular.
Actividades
* Leer apuntes sesión 5. * Resolver los ejercicios propuestos de la sesión 5. * Realizar la autoevaluación de la sesión 5.
Recursos
* Apuntes sesión 5. * Ejercicios Propuestos de la sesión 5.
Arcos de circunferencia
1. Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan
de un punto dado llamado Centro. La distancia del centro O a un
punto cualquiera de la circunferencia es el radio r.
O
A
B
C
r
D E
O
Figura 5.1. Circunferencia
2. Cuerda: es el segmento que une dos puntos de una
circunferencia, en la Figura 5.1. los segmentos DE y CB definen una
cuerda.
3. Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia. El segmento CB en la Figura 5.1 define el diámetro
de la circunferencia, la mitad del diámetro define el radio r.
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68 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
4. Círculo: es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y
los interiores de la misma, ver Figura 5.2.
r
o
Figura 5.2. Círculo
4.1. Arco de la circunferencia: se refiere a una porción de
circunferencia. Se denota A B , ver Figura 5.3.
O
A
B
C
r
O
Figura 5.3. Arco de circunferencia A B
4.2. Segmento circular: es la región del círculo limitada entre una
cuerda y su arco, ver Figura 5.4.
Figura 5.4. Segmento Circular
4.3. Sector circular: es la región del círculo limitada entre dos radios
y el arco comprendido entre ellos, ver Figura 5.5.
Figura 5.5. Sector circular
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69 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
2. Posiciones de una recta y una circunferencia
2.1. Recta tangente: es la recta que intercepta a la circunferencia
en un solo punto. En la Figura 5.6, la recta L1 es tangente en el punto
P.
2.2. Recta secante: es la recta que intercepta a la circunferencia en
dos puntos. En la Figura 5.6, la recta L2 es secante e intercepta a la
circunferencia en A y B.
2.3. Recta exterior: es la recta que no intercepta a la circunferencia
en ningún punto. En la Figura 5.6, la recta L3 es exterior.
O A
B
L1
L2
L3
P
Figura 5.6. Posiciones de una recta y una circunferencia
Ejemplo 5.1 En la Figura 5.7
45º A
B
O
Figura 5.7 Triángulo AOB
El triángulo AOB es:
a. Solamente rectángulo.
b. Solamente isósceles.
c. Rectángulo escaleno.
d. Rectángulo isósceles.
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70 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
Respuesta:
La respuesta es d) Rectángulo isósceles. Los segmentos OA y OB
tienen igual longitud (radio de la circunferencia), son
perpendiculares y representan los catetos, mientras el segmento AB
representa la hipotenusa de mayor longitud.
3. Longitud de arco de una circunferencia
a. El número π
La razón entre la longitud total L de una circunferencia y su diámetro
es una cantidad constante y esta constante es el número irracional
π, donde:
π = 3.1415926535.......
En la Figura 5.8 se observan dos circunferencias de longitudes L y L’ y
diámetros D y D’ respectivamente. La definición nos dice que:
π==''DL
DL
(1.4.1)
O A B
r
D
r’ D’
O’ A’ B’
L L’
Figura 5.8. Circunferencia
b. Longitud de la circunferencia (L)
Si se tiene una circunferencia de diámetro D y longitud L, de la
definición anterior se tiene que:
π=DL
Luego,
L = π.D (1.4.2)
con D = 2 r se obtiene,
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71 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
L = 2 π r (1.4.3)
Ecuación que nos permite calcular la longitud de una circunferencia
de radio r.
Ejemplo 5.2
Hallar la longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide π4
cm.
Solución:
Utilizando la ecuación 1.4.2, se tiene:
L = π.D = π.(π4
) = 4 cm. (Longitud de la circunferencia)
c. Longitud de un arco de circunferencia:
La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la
longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el
valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor
del radio.
Si θ es el ángulo que describe los arcos S y S’ sobre circunferencias
de radio r y r’, como se muestra en la figura 5.9, se tiene que:
)('
radianesenrS
rS θ== (1.4.4)
θ θ S
r r’ S’
Figura 5.9 Circunferencia
De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco
de circunferencia S; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en
radianes.
Longitud de arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio
de la circunferencia]
S = θ (en radianes) x r (1.4.5)
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72 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
Si el ángulo θ es dado en grados sexagesimales, se tiene que llevar
a radianes, sabiendo que 2π radianes equivalen a 360º
sexagesimales.
Luego:
X→
→º
2º360θ
π
de donde:
θπθπ180º360
2==X
Sustituyendo en la ecuación 1.4.5:
º180ºθπ rS= (1.4.6)
Ejemplo 5.3 Hallar la longitud de un arco cuya amplitud es de 30º, y que
pertenece a la circunferencia de radio 5 cm.
Solución:
Aquí el ángulo θ es dado en grados sexagesimales, luego utilizando
la ecuación 1.4.6, se obtiene:
cm65S
cm180150
18030.cm5.
º180º
π
ππθπ
=
===o
orS
4. Área de un círculo de radio r
El área de un círculo es igual al producto de � por el cuadrado del
radio.
A = π r2 (1.4.7)
Ejemplo 5.4
Hallar el área de un círculo de radio π2
cm.
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73 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
Solución:
Mediante la ecuación 1.4.7 con r = π2
cm., se tiene:
2
2
2 cm222. =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
ππ
πππ rA
5. Área de un sector circular
La región encerrada entre dos radios y su arco correspondiente
genera un sector circular, y el cual le corresponde también un
ángulo θ (Figura 5.10).
r
r
θ
Figura 5.10. Área de un sector circular
Sabiendo que cuando se recorre un ángulo de 2π radianes (360º),
alrededor de una circunferencia de radio r, el área del círculo
generado es π r2, luego, planteando una regla de tres podemos
determinar el área del sector circular de la Figura 5.10:
Ar
→→
θππ 22
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74 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
Luego, 22
22 θπ
θπ rrA ==
con θ en radianes. (1.4.8)
Si se trabaja con θ en grados sexagesimales se tiene:
º360
2 θπ rA =
con θ en grados. (1.4.9)
Ejemplo 5.5
Hallar el área del sector circular de amplitud 4π
radianes y radio
π2
cm.
Solución:
En el ejemplo se tiene el ángulo θ en radianes, luego, conviene
utilizar la ecuación 1.4.8 con r = π2
cm. para el área del sector
circular:
2
2
2
2
cm41
24
2
24
cm2
2
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==
A
cmθrA
ππ
ππ
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75 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
Tema 1: Preliminares Geométricos
Sesión 5: Ejercicios propuestos
1. En la figura 5.11, la cuerda BC es la mediatriz del radio OA. Si la
longitud de OA es 2, determine la longitud de la cuerda BC.
O A
B
C
Figura 5.11. Mediatriz del radio 2. En una circunferencia, dos cuerdas perpendiculares AB y CD se
cortan en el punto E, como se indica en la figura 5.12. Si AE = 3;
EB =2; CE =1 y ED =6. Determine la longitud L de la
circunferencia.
A B
C
D
E
Figura 5.12. Circunferencia 3. En la figura 5.13., se tiene un círculo de centro O y radio OA =
OB = OC. Si CT es tangente al círculo en el punto C y el ángulo
OAC mide 30º. ¿Cuánto mide el ángulo BCT, en grados?
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76 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
A B
C
O
T
Figura 5.13. Circulo
4. El área de los triángulos sombreados de la figura 5.14.
representa, con respecto al área total del triángulo equilátero
ABC:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1/9
d) 2/3
C
A
B
Figura 5.14. Área de los triángulos
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77 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
Tema 1: Preliminares Geométricos
Sesión 5
Autoevaluación 5 Pregunta Nº 1 En la siguiente figura 1. el triángulo ABC es equilátero con
AB0=AC=BC= 20 cm. El área del sector MNP es:
Figura 1. Triángulo ABC
a.
b.
c.
d. Pregunta Nº 2 En la figura 2. siguiente OA= 4 cm. El área de la regla sombreada es:
Figura 2. Área
a.
b.
c.
d.
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78 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
Pregunta Nº 3 En la siguiente figura 3., se tienen dos circunferencias de igual
diámetro donde 00`= 30 cm. El área de la región sombreada es:
Figura 3. Circunferencias a. b. c. d.
Pregunta Nº 4 En la siguiente figura 4. se tiene dos circunferencias concéntricas de
centro O y radio r1= 2 cm y r2= 4 cm respectivamente. El área de la
región sombreada es:
Figura 4. Circunferencias
a. b. c. d.
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79 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
Pregunta Nº 5 En la figura 5. siguiente, el triángulo isósceles ABC está inscrito en una
circunferencia. Si OA = 2cm, el área de la región sombreada es:
Figura 5. Triángulo isósceles a.
b.
c.
d. Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final
de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la
sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión
antes de continuar.
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80 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos
Tema 1 / Sesión 5
Tema 1: Preliminares Geométricos
Sesión 5
Respuestas de la Autoevaluación 5 Pregunta Nº 1
b. Pregunta Nº 2 d. Pregunta Nº 3 b. Pregunta Nº 4 a.
Pregunta Nº 5 c.
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81 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Tema 2 / Sesión 6
Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Sesión 6
Objetivos específicos
* Conocer y aplicar el Teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos.
* Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo rectángulo.
Actividades
* Leer apuntes sesión 6. * Revisar y practicar los ejemplos resueltos en cada
contenido de la sesión 6. * Resolver los ejercicios propuestos de la sesión 6. * Realizar la autoevaluación de la sesión 6.
Recursos
* Apuntes sesión 6. * Ejercicios Propuestos de la sesión 6.
Introducción
Hay dos formas de enfocar o definir las funciones trigonométricas
seno, coseno, tangente y otras. En la primera forma, las funciones se
definen como cocientes entre dos lados de un triángulo
rectángulo. En la segunda, se definen en términos de un punto
sobre un rayo ó el lado terminal de un ángulo al girar alrededor de
la circunferencia (definición como funciones circulares).
La primera definición se usa generalmente en Navegación y
Astronomía, donde un problema típico consiste en un triángulo
rectángulo donde se conocen tres de sus seis elementos (3 lados y
3 ángulos) y se desean calcular las demás. La segunda definición se
usa en Física, Electrónica, Biología y otras ciencias, donde la
naturaleza periódica de dichas funciones es de gran importancia.
Antes de definir las funciones trigonométricas en un triángulo
rectángulo, se necesita conocer el Teorema de Pitágoras y la
distancia entre dos puntos.
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82 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Tema 2 / Sesión 6
1. Teorema de Pitágoras
1.1. Teorema 2.2.1. “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los catetos”.
En la Figura 6.1. el triángulo ABC es rectángulo donde:
La longitud del segmento AB = a es un cateto.
La longitud del segmento AC = b es otro cateto, y
La longitud del segmento BC = h es la hipotenusa
Según el teorema:
(2.2.1) 222 bah +=
A B
C
a
b h
Figura 6.1. Triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras
Ejemplo 6.1
Determine la hipotenusa (h) de un triángulo rectángulo – isósceles
sabiendo que un cateto tiene longitud a = 3 cm.
Solución:
• Se tiene un triángulo rectángulo – isósceles, luego sus catetos
tienen igual longitud:
a = b = 3 cm.
• De la ecuación (2.2.1) se tiene que:
22 bah +=
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83 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Tema 2 / Sesión 6
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• Finalmente:
cm633)3()3(h 22 =+=+=
Ejemplo 6.2
Determine la altura (a) de un triángulo equilátero sabiendo que su
lado tiene longitud L = 10 cm.
Solución:
• En un triángulo equilátero todos sus lados tienen igual longitud,
tal como se muestra en la Figura 6.2.
A B
C
a 10 cm 10 cm
D 5 cm 5 cm
Figura 6.2. Triángulo equilátero
• Trabajando 6.2, y
de la ec
con el triángulo rectángulo ADC de la Figura
uación (2.2.1) se tiene que:
cm35a
7525-100510bha
=
==−=−=
Dados los s A (X1, Y1) y B (X2, Y2) en el plano cartesiano; la
r sta dada por la longitud del
segm
2222
2. Distancia entre dos puntos
distancia ent e los puntos A y B e
punto
ento AB definido entre estos.
X
Y’
O X’
Y
B (X2,Y2)
A (X1,Y1)
X1 X2
Y1
Y2
a = X2 - X1
b = Y2-Y1 d
C
84 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Tema 2 / Sesión 6
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Figura 6.3. Triángulo rectángulo
En la Figura 6.3. se han representado los puntos A y B en el plano
cartesiano. Construyendo e ABC tal como se
muestra en la figura, se pu ma de Pitágoras para
l triángulo rectángulo
ede ap r el relica teo
encontrar la distancia d como:
d2 = AC 2 + BC 2 2 = O también, d a2 + b2
De donde, d = 22 ba +
La distancia AC = a = X1X2 − (valor absoluto de la
diferencia de las abscisas).
La distancia BC = b = Y1Y2 − (valor absoluto de la
diferencia de
uego, la distancia entre los puntos A y B se puede escribir como:
las ordenadas).
L
d = 22 Y1)(Y2X1)-(X2 −+ (2.3.1)
.
Dete
l
• s coordenadas del punto A (1,3) se tiene que X1 =1 y Y1=3
• X2=4 y Y2=7.
• tilizando la ecuación (2.3.1) para la distancia, se encuentra
que :
Ejemplo 6 3
rmine la distancia (d) del punto A (1,3) al punto B (4,7)
So ución:
De la
De las coordenadas de
U
l punto B (4,7) se tiene que
525d ==
Los puntos A y B están separados una distancia de 5 unidades.
169433)(71)-(4d 2222 +=+=−+=
85 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Tema 2 / Sesión 6
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Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Sesión 6: Ejercicios pr pu stos o e
1. c es su
n ento BC es:
La cir nferencia de la figura 6.4u . tiene por radio 6 cm. Si O
ce tro, AB = 2 cm y CD ⊥ OA, la lo
a)
ngitud del segm
2 5
b) 5
c) 2
d) 10
Figura 6.4. Circunferencia
. En la fi erd BC es a mediatriz del radio OA de la
circunf = la longitud de BC es:
2 gura 6 a c
erencia. Si OA
.5., l u a l
4 cm,
a)
3 cm
b) 2 3 cm
c) 3 3 cm
d) 4 3 cm
Figura 6.5. Circunferencia
O
B
A
C
D
O
B
C
A
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Tema 2 / Sesión 6
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3. E del triángulo de la figura 6.6. es:
) 6
c)
d)
4.
ellos. El padre
dispus estamento que el triángulo ABC le
corresp jos, el triángulo CDE al
segund nor de todos. Si AE = 10
Km y C esponde al mayor de los
hijos es:
200 Km2
c) 300 Km2
d) 400 Km2
igura 6.7. División del terreno
5. En la fi el triángulo ABC es rectángulo isósceles con AB
= 2
l área
a) 3
b
8
12
Figura 6.6. Área del triángulo
La figura 6.7. muestra la forma de un terreno y las divisiones que
realizó el padre de tres hijos para repartirlo entre
o en su t
ondiera al omay r de los hi
l triángulo AED al me
D = 30 Km, El área que le corr
o de ellos y e
a) 100 Km2
b)
F
gura 6.8., 2 cm; entonces el área total de la figura es:
2
4
2
8 0 A
D
E
C
B
87 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Tema 2 / Sesión 6
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b)
c)
d)
a) 2 + π
1 + 2π
4+ π
4 + 2π
Figura 6.8. Triángulo ABC
88 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Tema 2 / Sesión 6
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Tema 2: Funciones Tri Triángulo gonométricas en unRectángulo
Sesión 6
Autoevaluación 6 Pregunta Nº 1 La circunferencia de r radio 10 cm si O es
su centro, AB= 4 cm y
la siguiente figura tiene po
CD OA, la longitud del segmento CD es:
a. b.
c. d.
Pregunta Nº 2
En la siguiente figura, del radio OA de la
circunferencia. Si OA :
la cuerda BC es la media σ
= 8 cm, la longitud de BC es
.
a b. c. d.
89 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Tema 2 / Sesión 6
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Pregunta Nº
El perímetro de
3
l triángulo ABC de la siguiente figura es:
a.
b. . c
d.
Pregunta Nº 4
En el triángulo MNP de la siguiente figura, la longitud de la
hipotenusa AC y el área del ángulo son:
a. b. c. d.
Pregunta Nº 5
En la siguiente figura, el triángulo ABC es rectángulo isósceles es
BC= ; entonces el perímetro del sector ABCA es:
90 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Tema 2 / Sesión 6
a.
b.
c.
d. Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final
de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la
sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión
antes de continuar.
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91 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Tema 2 / Sesión 6
Tema 2: Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Sesión 6
Autoevaluación 6 Pregunta Nº 1
c.
Pregunta Nº 2
d. Pregunta Nº 3
d.
Pregunta Nº 4
c.
Pregunta Nº 5
c.
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92 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 7
Objetivos específicos
* Aplicar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, a un triángulo rectángulo.
Actividades
* Leer apuntes sesión 7. * Practicar los problemas resueltos de la sesión 7. * Resolver los ejercicios propuestos correspondientes
a la sesión 7. * Realizar la autoevaluación de la sesión 7.
Recursos
* Apuntes sesión 7. * Ejercicios propuestos sesión 7.
Funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un
triángulo rectángulo
Consideremos el triángulo rectángulo ABC de la Figura 7.1 con los
ángulos agudos α y β.
A B
C
a
b h
α
β
Figura 7.1. Triángulo rectángulo
1. Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente
Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente se
encuentran definidas a continuación:
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93 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
1.1. Seno: es la razón o relación entre la longitud del cateto opuesto
al ángulo y la hipotenusa. En la Figura 7.1., el seno de los ángulos α y
β se definen como:
hb
hipotenusaánguloalopuestocatetodelLongitudSen ==
αα (2.4.1)
ha
hipotenusaánguloalopuestocatetodelLongitudSen ==
ββ (2.4.2)
1.2. Coseno: es la relación entre la longitud del cateto adyacente al
ángulo y la hipotenusa. En la Figura 7.1., el coseno de los ángulos α y
β se definen como:
ha
hipotenusaaadyacentecatetodelLongitudCos ==
αα (2.4.3)
hb
hipotenusaaadyacentecatetodelLongitudCos ==
ββ (2.4.4)
1.2. Tangente: es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la
longitud del cateto adyacente al ángulo. En la Figura 7.1., la
tangente de los ángulos α y β se definen como:
ab
aadyacentecatetodelLongitudaopuestocatetodelLongitudTag ==
αα
α (2.4.5)
ba
aadyacentecatetodelLongitudaopuestocatetodelLongitudTag ==
ββ
β (2.4.6)
Las potencias n-ésimas de las funciones trigonométricas se denotan
como:
Senn α en lugar de (Sen α)n
Cosn α en lugar de (Cos α)n
Tagn α en lugar de (Tag α)n
Por ejemplo: sen2α, cos3α, tag4α.
Teorema 2.2.1. Si ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto
en A (Figura 7.2.), entonces, para el ángulo agudo β se tiene:
a) Sen2 α + Cos2 α = 1 (2.4.7)
b) Tag α = αα
CosSen
(2.4.8)
Las mismas identidades son válidas para las funciones
trigonométricas del ángulo agudo β.
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94 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
A B
C
a
b h
α
β
Figura 7.2. Triángulo rectángulo
Ejemplo 7.1 Demostrar la ecuación 2.4.7 del teorema 2.2.1 Solución
• Consideramos un triángulo rectángulo como el de la figura 7.2.,
y con las ecuaciones (2.4.1) y (2.4.2) obtenemos que:
Sen2 α + Cos2 α = 22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ha
hb
= 2
2
2
2
ha
hb
+
= 2
22
hab +
(2.4.9)
• Como el triángulo ABC es rectángulo con hipotenusa BC = h y
catetos AB = a y AC = b, se sigue del teorema 2.2.1 de Pitágoras
(ecuación 2.2.1) que:
b2 + a2 = h2 (2.4.10)
Sustituyendo la ecuación 2.4.10 en la 2.4.9 vemos que:
Sen2 α + Cos2 α = 2
2
hh
= 1
Esto prueba la ecuación 2.4.7.
Ejemplo 7.2 Demostrar la ecuación 2.4.8 del teorema 2.4.1
Solución
• Si ABC es un triángulo rectángulo como el de la figura 7.2.,
entonces, por definición de la función tangente para el ángulo
α (ecuación 2.4.5) se tiene que:
abTag =α
• Dividiendo el numerador y el denominador entre la hipotenusa
h y utilizando las ecuaciones (2.4.1) y (2.4.2) se obtiene;
αα
αCosSen
hahb
Tag ==
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95 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
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Esto prueba la ecuación 2.4.8.
Ejemplo 7.3 Hallar el Cos α y Tag α siendo ABC el triángulo de la figura 7.2., si Sen
α = 21
.
Solución (Primera forma)
• De la ecuación 2.4.7 del teorema 2.4.1 se obtiene:
αα 22 Sen1Cos −=
donde,
αα 2Sen1 Cos −+=
Se toma el signo positivo para el radical pues la función coseno está
definida como el cociente entre las distancias de los lados de un
triángulo, y estas son cantidades positivas.
Luego:
23
43
414
411
211 Cos
2
==−
=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=α
• De la ecuación 2.4.8 del teorema 2.4.1:
33
31
23
21
CosSenTag ====
αα
α
Solución (2da. Forma)
El mismo problema se puede resolver utilizando el teorema 2.2.1 de
Pitágoras.
• Como Sen α = 21
= )(
)(hhipotenusa
bánguloalopuestocatetodelLongitud α
Se puede obtener que: b = 1 y h = 2, como se muestra en la figura
7.3.
A B
C
a
b = 1 h = 2
α
β
Figura 7.3. Triángulo
96 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
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• De la ecuación 2.2.1 del Teorema de Pitágoras podemos hallar
la longitud del cateto adyacente a:
22 bha −=
31412a 22 =−=−=
De la ecuación 2.4.3, 23
haCos
la ecuación 2.4.5,
==α
De 31
abTag ==α
Racionalizando, 33Tag =α
Teorema 2.4.2. Si ABC y A’B’C’ son triángulos rectángulos semejantes
A y A’, y ángulo α y α’ en los vértices B y B’
respectivamente, entonces:
os α = Cos α’ y α = Tag α’ (2.4.11)
Demostrar el teorema
ngulos α y α’ en los
vértices B y B’ respectivamente (ver Figura 7.4.)
con ángulos rectos en s
Sen α = Sen α’, C Tag
Ejemplo 7.4
2.4.2
Solución:
• Consideremos dos triángulos rectángulos semejantes con
ángulos rectos en los vértices A y A’, y á
C
A B α
β
B’ A’
C’
α’
β ’
Figura 7.4. Triángulos rectángulos
Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes porque tienen sus
ángulos interiores respectivamente iguales y sus lados
proporcionales; existe un número positivo k tal que:
kC'A'
ACC'B'
BCB'A'
AB===
97 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
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De donde, AB = k A’B’
BC = k B’C’
AC = k A’C’
Por lo tanto, usando las ecuaciones 2.4.1, 2.4.3 y 2.4.5 de las
funciones seno, coseno y tangente, se tiene:
Sen α = 'SenC'A'C'A'kAC===
C'B'C'B'kBCα
Cos α = 'CosC'B'B'A'
C'B'kB'A'k
BCAB α===
T ag α= 'TagB'A'B'A'k
=C'A'C'A'k
ABAC α==
98 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
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Tema 2: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 7: Ejercicios propuestos
1. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 7.5., calcular las
funciones trigonométricas del ángulo α.
A
B C
100
25
α
Figura 7.5. Triángulo rectángulo ABC
Hallar las funciones trigonométricas de 2. l ángulo β, en el triángulo
rectángulo de la figura 7.6.
A B
C
5
3
β
Figura 7.6. Ángulo β 3. En el triángulo rectángulo PQR de la figura 7.7., la longitud de la
hipotenusa h es 10 metros, y la medida del ángulo α es 30º.
Determine la longitud de los catetos.
P
Q R
10
α
Figura 7.7. Triángulo rectángulo PQR
99 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
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4. En el triángulo de la figura 7.8., determine el valor de la longitud x
en metros.
20 m
A B
C
D
60º
45º
X
Figura 7.8. Triángulo 5. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 7.9., la longitud del
lado AB es 10 metros, BC = 20 metros y BE = 6 metros. Determine
la longitud BD en metros.
A
B
C
D E
Figura 7 lo ABC
. En la figura 7.10., determine el perímetro del triángulo ABC en
función de la altura h.
.9. Triángulo rectángu
6
A B
C
D
30º 45º
h
Figura 7.10. Triángulo ABC
7. En la figura 7.11., determine la distancia EB expresada en
metros.
100 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
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A B
C
D
E
5 m
6 m
30 m
Figura 7.11. Triángulo
101 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
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Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 7
Autoevaluación 7
regunta Nº 1
n la siguiente figura, el perímetro del triángulo ABC en función de h
s:
P
E
e
.
a
b.
c.
d.
Pregunta Nº 2
El valor numérico de la expresión
es:
a.
b.
c.
d. Pregunta Nº 3
Si , el valor numérico del cos x y tag x son respectivamente: a.
b.
c.
d.
Pregunta Nº 4
102 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
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En la siguiente figura, si DE= 24cm y AC= 30cm, el área en del
triángulo ABC es:
1000
c. 800 400
a.b. 600
d. Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final
de sila se ón. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la
ses gión si uiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión
an e tes d continuar.
103 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 7
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Tema 2: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 7
Respuestas de la Autoevaluación 6
regunta Nº 1
.
P
c Pregunta Nº 2
. d Pregunta Nº 3
. c Pregunta Nº 4
. 600 b
104 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
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Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 8
Objetivos específicos
* Aplicar las funciones trigonométricas secante, cosecante y cotangente, a un triángulo rectángulo.
Actividades
* Leer apuntes sesión 8. * Practicar los problemas resueltos de la sesión 8. * Realizar los ejercicios propuestos correspondientes
a la sesión 8. * Realizar la autoevaluación de la sesión 8. * Realizar autoevaluación de todo el tema 2.
Recursos
* Apuntes sesión 8. * Ejercicios propuestos sesión 8.
Funciones trigonométricas secante, cosecante y cotangente
gulo rectángulo ABC de la figura 8.1., con
ángulos agudos α y β.
Consideremos el trián
A B a
C
b h
α
β
Figura 8.1. Triángulo rectángulo
ángulo. La
secante del ángulo α se abrevia Sec α. De la figura 8.1.:
1. Secante: es la relación ó cociente entre la longitud de la
hipotenusa y la longitud del cateto adyacente al
105 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
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ah
ánguloaladyacentecatetodelLongitudhhipotenusaladeLongitudSec ==
αα
)( (2.4.12)
bh
ánguloaladyacentecatetodelLongitudhhipotenusaladeLongitudSec ==
ββ
)( (2.4.13)
La cosecante
del
2. Cosecante: es la relación o cociente entre la longitud de la
hipotenusa y la longitud del cateto opuesto al ángulo.
ángulo e tiene: α se abrevia Cosec α. De la figura 8.1. s
Cosecbh
ánguloalopuestocatetodelLongitudhhipotenusaladeLongitud
==α
α)( (2.4.14)
Cosecah
ánguloalopuestocatetodelLongitudhhipotenusaladeLongitud
==β
β)( (2.4.15)
ente del ángulo α se abrevia Cotag α. De la figura 8.1. se
tien :
3. Cotangente: es la relación ó cociente entre la longitud del cateto
adyacente y la longitud del cateto opuesto al ángulo. La
cotang
e
Cotag ba
ánguloalopuestocatetodelLongitudánguloaladyacentecatetodelLongitud
==α
αα (2.4.16)
Cotagab
ánguloalopuestocatetodelLongitudánguloaladyacentecatetodelLongitud
==β
ββ (2.4.17)
Teorema 2.4.3 es un ángulo ag
Entonces:
. Si α udo de un triángulo rectángulo.
a) Sec α = αCos
(2.4.18) 1
b) Cosec α = αSen
1 (2.4.19)
c) Cotag α = αα
α SenCos
Tag=
1 (2.4.20)
1
Solución:
Consideremos el triángulo rectángulo ABC de la figura 8.2.
Ejemplo 8. Demostrar la ecuación 2.4.20 del Teorema 2.4.3
106 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
A B
C
a
b h
α
β
Figura 8.2. Triángulo rectángulo
Con la ecuación 2.4.16 de la definición de la función cotangente
para el ángulo α, dividiendo el numerador y el denominador entre
la longitud da la hipotenusa (h), se tiene:
hbha
ba
ánguloalopuestocatetodelLongitudánguloaladyacentecatetodelLongitudCotag ===
αα
α
Con las ecuaciones 2.4.1 y 2.4.3 de la definición de las funciones
seno y coseno se llega a:
αααα
ααTag
CosSenSen
CosCotag 11===
Esto prueba la ecuación 2.4.20. Además, de forma análoga se
puede demostrar las ecuaciones 2.4.8 y 2.4.9.
Teorema 2.4.4. Si α es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo,
entonces:
Tag2 α + 1 = Sec2 α (2.4.21)
α1 + Cotag2 α = Cosec2 α (2.4.22)
Ejemplo 8.2
Demostrar la ecuación 2.4.21 del Teorema 2.4.4
Solución:
Sabemos que, Sen2 α + Cos2 α = 1
Dividiendo cada miembro de la ecuación entre Cos2 α resulta:
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107 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
αα
ααα
22
2
2
2 1CosCos
CosCosSen
=+
De donde: Tag2 α + 1 = Sec2 α
Teorema 2.4.5. Conocida una función trigonométrica, se pueden
conocer las demás.
Ejemplo 8.3
Dado Sen α = 23
, hallar las demás funciones trigonométricas
Solución:
• De la ecuación 2.4.7, Cos2 α = 1 – Sen2 α
αα 21 SenCos −=
41
431
231
2
=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=αCos
21
=αCos
• Con la ecuación 2.4.19, Cosec α = 3
2
2311
==αSen
• Con la ecuación 2.4.8, Tag α = 3
2123
==αα
CosSen
• Cotag α = 33
31
Tag1
==α
• Sec α = 2
2111
==αCos
Puede comprobarse la identidad de la ecuación 2.4.21, que no se
ha utilizado:
( )
44413
213Sec1Tag 2222
==+
=+⇒=+ αα
Análogamente se puede comprobar la identidad
Cosec2 α =+ α2Cotag1
En los ejemplos que se han resuelto se han calculado las funciones
trigonométricas con signo positivo puesto que se ha trabajado con
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108 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
distancias en un triángulo rectángulo. En el capítulo III se estudiará el
signo de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera no
necesariamente agudo, utilizando el círculo de radio unitario para
definir dichas funciones.
2. Funciones trigonométricas de ángulos notables
Se llaman ángulos notables a aquellos cuyas medidas son 30º, 45º y
60º en el sistema sexagesimal, ó π/6, π/4 y π/3 radianes en el sistema
angular. Utilizando estas medidas como ángulos agudos de un
triángulo rectángulo, se puede demostrar los siguientes teoremas.
Teorema 2.5.1. Si α = 30º, entonces:
• Sen 30º = 21
• Cos 30º = 23
• Tag 30º = 33
• Sec 30º = 3
32
• Cosec 30º = 2
• Cotag 30º = 3
Ejemplo 8.4
Demostrar la igualdad Sen 30º = 21
del teorema 2.5.1
Solución:
Para la demostración consideremos un triángulo rectángulo ABC
de la figura 8.3., con ángulo recto en A, y ángulos agudos 30º y 60º
en los vértices B y C respectivamente. (Esto por que la suma de los
ángulos internos de un triángulo debe ser 180º).
A B
C
a
b h
30º
60º
Figura 8.3. Triángulo
Sobre el lado AC a partir del punto A, construyamos un ángulo
CAD = γ’ = 60º. Ver figura 8.4.
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Tema 3 / Sesión 8
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A B
C
a
b
30º
60º
D
γ γ’
δ δ’
Figura 8.4. Triángulo
El triángulo CAD es equilátero, por lo tanto:
AC = AD = CD (igual longitud de los lados) (2.5.1)
Además, γ’ = δ’ = 60º (ángulos internos de un triángulo equilátero)
Como los ángulos δ y δ’ son suplementarios, se tiene que;
δ + δ’= 180º
De donde, δ = 180º - δ’ = 180º - 60º = 120º
Ahora en el triángulo ABD, la suma de sus ángulos interiores debe ser
igual a 180º, luego:
γ + δ + 30º = 180º
De donde, γ = 180º - 30º - δ = 180º -30º -120º = 30º
Así, el triángulo ABD es isósceles con base AB, por tanto:
AD = BD (2.5.2)
De las ecuaciones 2.5.1 y 2.5.2 se obtiene:
AD = BD = CD = AC
También, BC = BD + CD = AC + AC
BC = 2 AC (2.5.3)
Por la ecuación 2.4.1 y el triángulo rectángulo ABC, se sigue que:
Sen 30º =21
AC2AC
BCAC
==
Ejemplo 8.5
Demostrar las igualdades b, c, d, e y f del Teorema 2.5.1
110 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
Solución:
Por la demostración del ejemplo 2.5.1, sabemos que Sen 30º = 21
.
Luego:
• De la ecuación 2.4.7, con α = 30º ,
23
411
21130130
22
=−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=−= oo SenCos
• Tag 30º = 33
31
23
21
3030
===o
o
CosSen
• Cotag 30º = 33
3
331
301
===oTang
• Sec 30º = 3
323
2
231
301
===oCos
• Cosec 30º = 2
211
301
==oSen
Teorema 2.5.2. Si α = 45º, entonces:
Sen 45º = 22
Cos 45º = 22
Tag 45º = 1
Cotag 45º = 1
Sec 45º = 2
Cosec 45º = 2
Ejemplo 8.6
Demostrar, usando el triángulo rectángulo, que Sen 45º = 22
Solución:
Consideremos un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en B y
ángulo agudo interior α = 45º en C. Ver figura 8.5.
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111 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
A
B C a α=45º
β=45º
b h
Figura 8.5. Triángulo rectángulo ABC
Como los ángulos internos α = β = 45º (pues la suma de los ángulos
interiores de un triángulo debe ser igual a 180º), el triángulo
rectángulo es isósceles con base AC, en consecuencia:
AC = AB ó a = b
Luego, Sen 45º = o45CosBCAB
BCAC
HipotenusaopuestoCateto
=== (2.5.4)
También,
Sen2 45º + Cos2 45º = 1 (2.5.5)
Y con la ecuación 2.5.4 se sigue que:
2 Sen2 45º =1 22
2145 ==⇒ oSen
Esto prueba la igualdad.
Como consecuencia se tiene que Sen 45º = Cos 45º = 22
, luego se
puede demostrar, usando las definiciones, las igualdades b, c, d, e
y f del teorema 2.5.2 y que se dejarán como ejercicios propuestos.
Teorema 2.5.3. El Seno de un ángulo es el Coseno del
Complemento, o viceversa, el Coseno de un ángulo es el Seno del
Complemento.
Ejemplo 8.7
Dado el triángulo de la figura 8.6., demostrar que el Senα = Cosβ
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112 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
A
B C a
α
β
b h
Figura 8.6. Triángulo
Solución:
Los ángulos α y β son complementarios en el triángulo ABC; ahora
bien, en dicho triángulo, el cateto AB es opuesto al ángulo α; y el
cateto BC es opuesto al ángulo α. Por tanto:
Sen α = βCosACAB
=
Y también, Sen β = αCosACBC
=
Teorema 2.5.4. Si α = 60º, entonces:
Sen 60º = 23
Cos 60º = 21
Tag 60º = 3
Cotag 60º = 33
Sec 60º = 2
Cosec 60º = 3
32
Ejemplo 8.8
Demostrar la igualdad Sen 60º = 23 del teorema 2.5.4
Solución:
En el ejemplo 2.5.2 se demostró que Cos 30º = 23
Como los ángulos 30º y 60º son complementarios, por el teorema
2.5.3 se tiene que:
Sen 60º = Cos 30º = 23
Análogamente se puede demostrar que Cos 60º = 21
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113 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
Ejemplo 8.9
Demostrar las igualdades c, d, e y f del teorema 2.5.4
Solución:
• Tag 60º = 3
2123
6060
==o
o
CosSen
• Cotag 60º =33
31
601
==oTang
• Sec 60º = 2
211
601
==oCos
• Cosec 60º = 3
32
231
601
==oSen
En la siguiente tabla 8.1. se presenta un resumen de los valores de las
funciones trigonométricas de los ángulos notables.
30º 45º 60º
Seno
21
22
23
Coseno
23
22
21
Tangente
33
1 3
Cotangente 3 1
33
Secante
332
2 2
Cosecante 2 2 3
32
Tabla 8.1. Funciones trigonométricas
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114 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
Ejemplo 8.10
En el triángulo de la figura 8.7. determine las funciones
trigonométricas del ángulo dado
A B
C
α
4
3
h
Figura 8.7. Triángulo
Solución:
Dado que,
Sen α = Hipotenusa
opuestoCateto
Debemos calcular la hipotenusa antes de calcular la función Seno.
Por el teorema de Pitágoras se tiene que:
h2 = 32 + 42
De donde, h = 525169 ==+
Luego,
• Sen α = 53
• Cos α = 2591
5311
22 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=− αSen
54
2516
=
=
• Tag α = 43
5453
==αα
CosSen
• Cotag α = 34
431
Tag1
==α
• Sec α = 45
5411
==αCos
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115 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
• Cosec α = 35
5311
==αSen
Ejemplo 8.11 En el triángulo de la figura 8.8., determine las funciones
trigonométricas del ángulo α
A B
C
D
β α
10 20
Figura 8.8. Triángulo
Solución:
El ángulo α es el complementario del ángulo α, por el teorema 2.5.3 se tiene:
Cos α = Sen α = 21
2010
==ACCD
Luego,
23
43
411
2111
22
=
=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=−= αα CosSen
Tag α = 3
2123
CosSen
==αα
Cotag33
31
Tag1
===α
α
2
2111
===α
αCos
Sec
Cosec3
323
2
2311
====α
αSen
Ejemplo 8.12
En el triángulo de la figura 8.9., si la altura CD del triángulo ABC es
de 10 cm, determine las funciones Seno, Coseno y Tangente del
ángulo α. ¿Cuál es la distancia AB?
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116 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
A B
C
D α 45º
β
10 cm
20 cm
Figura 8.9. Triángulo
Solución:
• Los ángulos α y β son complementarios en el triángulo rectángulo
ACD, luego:
21
2010
====ACCDSenCos αβ
23
43
411
2111
22
==
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=−= ββ CosSen
3
2123
CosSenTag ===
βββ
• Para el cálculo de la distancia AB se tiene que efectuar la
suma:
AB = AD + DB (2.5.6)
AD es un cateto del triángulo ACD, luego, por la definición de la
función Tangente:
CDAD
aadyacenteCatetoaopuestoCatetoTag ==
ββ
β
De donde, AD = CD Tag β
AD = 10. 3 = cm310
DB es un cateto del triángulo BCD, por la definición de la función
Coseno se tiene:
DBCD
aadyacenteCatetoaopuestoCatetoTag ==
o
oo
454545
De donde, cmcmTag
CDDB 101
1045
===o
Finalmente, en la ecuación 2.5.6:
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Tema 3 / Sesión 8
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AB = cm)13(1010310 +=+
jemplo 8.13
Demuestre que si α y β son ángulos complementarios, entonces
Tag α = Cotag β
Solución:
tiene que si α y β son ángulos
complementarios entonces:
Sen α = Cos β
De acuerdo a esto se tiene que:
E
Por el teorema 2.5.3 se
βββ
αα
α CotagSenCos
CosSenTag ===
E jemplo 8.14
Hallar Tag 18º sabiendo que Sen 18º =
415 −
So ución:
En primer lugar, se determinará
l
• la función Cos 18º ya que se
necesita para la función tag 18º:
45210
165210
165261
1615251
415118118
2
2
+=
+=
=o −−=
+−−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=− oSenCos
• Luego:
5210
15
45210
415
181818
+
−=
+
−
==o
oo
CosSenTag
Ejemplo 8.15
la cúspide de ella es de 30º. Determinar la
altura de la chimenea.
l
•
ma, donde se presentarán los datos y
la incógnita que se tiene.
Desde una distancia de 150 metros a la base de una chimenea el
ángulo de elevación a
So ución:
En primer lugar, se realizará una gráfica (figura 8.10.)
representativa del proble
118 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
A B
C
Chimenea
altura a = ?
150 mt
30º
Figura 8.10. Triángulo
• Se pide determinar la altura de la chimenea (a), lo que
representa el cateto BC del triángulo rectángulo ABC. Luego,
por la definición de la función Tangente, se tiene:
150a
ABBC30 ===
adyacenteCatetoopuestoCatetoTag o
De donde,
mtTag 3503315030150a === o (altura de la chimenea)
Ejemplo 8.16
Determine la distancia de un observador a la cúspide de una
iglesia que tiene 15 metros de alto, sabiendo que el ángulo de
elevación es de 41º 81’ y además Sen (41º 81’) = 0.66
Solución:
• Al igual que en el ejemplo 8.16, se realizará una gráfica
representado los datos y la incógnita que se tiene, ver figura
8.11.:
A B
C
Iglesia
altura a = 15 mt
h = ?
41º 81’
Figura 8.11. Triángulo
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Tema 3 / Sesión 8
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• Por la definición de la función Seno, se tiene:
h
15ACBC'8141 ===
HipotenusaopuestoCatetoSen o
De donde,
mt22.720.6615
'814115h ===
oSen (Distancia pedida)
Ejemplo 8.17 Demostrar que: 1 + Cotag2 x = Cosec2 x
Solución:
Sabemos por el teorema 2.4.1, ecuación 2.4.7, que,
Sen2 x + Cos2 x = 1
Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre Sen2x se obtiene:
xSenxSenxSen 222 =+
xCosxSen 22 1
Es decir,
1 + Cotag2x = Cosec2x
Ejemplo 8.18
En la figura 8.12., determine la distancia DC expresada en metros
1.
A B
C
D
E
5 m
6 m
30 m
Figura 8.12. Triángulo
Solución:
• Sea a el ángulo DAE del triángulo rectángulo ADE y que es igual
al ángulo CAB del triángulo rectángulo ABC. Ver figura 8.13.
120 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
A B
C
D
E
5 m
6 m
30 m
α
?
Figura 8.13. Triángulo rectángulo
De la figura 8.13.,
AC = AD + DC
De donde,
DC = AC – AD (2.5.7)
• El problema se puede resolver utilizando las definiciones de las
funciones trigonométricas, ó utilizando el teorema de Pitágoras.
Vamos a resolverlo combinando los dos conceptos.
Por el Teorema de Pitágoras en el triángulo ADE, se obtiene:
AE2 + DE2 = AD2
De donde,
m
DEAEAD
61
253656 2222
=
+=+=+=
También podemos determinar las funciones trigonométricas Seno,
Coseno y tangente con el triángulo ADE:
616615
==
==
ADAECos
ADDESen
α
α
65Tag ==
AEDEα
• Por la definición de la función Seno α en el triángulo ABC, se
tiene:
AC30
ACBC
===Hipotenusa
opuestoCatetoSenα
De donde,
m6165
61 30
615
30AC ====αSen
30
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121 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
• Finalmente, en la ecuación 2.5.7:
m615DC =−= 61616 (Distancia pedida)
Ejemplo 8.19
En la figura 2.5.12 se tiene que las longitudes AC =DE y que
cm20AE = .
Determine la longitud del segmento CD.
A
B C D
E
60º 30º
Figura 8.14. Triángulo
Solución:
Respuesta corta: el problema señala que la longitud hipotenusa AC
del triángulo ABC es igual a la longitud de la hipotenusa ED del
triángulo rectángulo EBD. Por lo tanto, es de esperarse que la
longitud AE sea igual a la longitud CD; Luego, una respuesta
inmediata sería:
CD = 20 cm
Respuesta larga: si el problema no se resuelve inmediatamente, es
posible llegar al mismo resultado utilizando las funciones
trigonométricas en un triángulo rectángulo y el teorema de
Pitágoras.
Por el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC se tiene:
AB2 + BC2 = AC2 (2.5.8)
Utilizando el mismo teorema en el triángulo EBD,
EB2 + BD2 = ED2 (2.5.9)
Como la longitud de las hipotenusas de los triángulos son iguales,
entonces,
AC = ED
Y también,
AC2 = ED2 (2.5.10)
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Tema 3 / Sesión 8
Luego, podemos igualar las ecuaciones 2.5.8 y 2.5.9 para obtener la
siguiente igualdad:
AB2 + BC2 = EB2 + BD2 (2.5.11)
Además, de la figura 2.5.12, la longitud de cada cateto viene dada
como:
AB = AE + EB = 20 + EB (2.5.12)
BD = BC + CD (2.5.13)
Sustituyendo las ecuaciones 2.5.12 y 2.5.13 en la ecuación 2.5.11 se
obtiene:
(20 + EB)2 + BC2 = EB2 + (BC + CD)2
y desarrollando los productos notables se llega a:
400 + 40 EB +EB2 +BC2 = EB2 + BC2 + 2 BC CD + CD2
400 + 40 EB = 2 BC CD + CD2 (2.5.14)
Ahora vamos a utilizar la definición de la función tangente en los
triángulos ABC y EBD.
2060.2060 −=⇒+
== oTagBCEBBC
EBBCABTag (2.5.15)
o30)(30 TagCDBCEBCDBC
EBBDEBTag x+=⇒
+== (2.5.16)
Igualando las ecuaciones 2.5.15 y 2.5.16 se llega a:
oo
o
ooo
ooo
oo
30603020
3020)3060(30302060
30)(2060.
TagTagTagCDBC
TagCDTagTagBCTagCDTagBCTagBC
TagCDBDTagBC
−+
=
+=−
+=−
+=−
CDBC
CDCDCD
BC
21310
)3320(
323
332
.3320
333
33.20
+=
+=+
=
−
+= (2.5.17)
Sustituyendo la ecuación 2.5.17 en la 2.5.15 se obtiene:
202330
203)21310(2060).
21310(
−+=
−+=−+=
CDEB
CDTagCDEB o
CDEB2310 += (2.5.18)
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123 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
y en la ecuación 2.5.14:
22
2
320320400400
)21310(2)
2310(40400
CDCDCDCD
CDCDCDCD
++=++
++=++
4002800
2
2
=
=
CDCD
cm20400 ==CD
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Tema 3 / Sesión 8
Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 8: Ejercicios propuestos
1. En los ejercicios que se enuncian a continuación, dada la
función trigonométrica calcule las demás usando las identidades
fundamentales.
a) Cos α = 32 g) Tag α = - 5
b) Tag α = 5 h) Cos x = 22
22
baba
+−
c) Sec β = 3 i) Sec β = ba
d) Cosec γ = 25 j) Sen α =
51
e) Sen δ = 21 k) Tag β = 3
f) Cotag x = 4 l) Cos α = 54
2. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 8.15., calcular las
funciones trigonométricas del ángulo α.
A
B C
100
25
α
Figura 8.15. Triángulo rectángulo ABC
3. Hallar las funciones trigonométricas del ángulo β, en el triángulo
rectángulo de la figura 8.16.
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125 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
A B
C
5
3
β
Figura 8.16. Triángulo rectángulo
4. Demostrar que si α y β son ángulos complementarios, entonces
Sec α = Cosec β.
En el triángulo de la siguiente figura determine la longitud X del
lado BC.
A
B
C D
X
40 m
45º
15º
Figura 8.17. Triángulo
5. En la figura 8.18., sabiendo que AC =DE y cm10CD = ,
determine la longitud AE.
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126 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
A
B C D
E
45º
F 60º
Figura 8.18.Triángulo
6. En la figura 8.19., determine el área del triángulo rectángulo ABD.
30º 45º A B
C D
Figura 8.19. Área del triángulo
7. En la figura 8.20., determine el valor de la distancia x en términos
de los ángulos α y β y de las distancias a y b.
a
b
β
α
x
Figura 8.20. Distancia 8. Un observador ve la parte superior de una estatua con un
ángulo de elevación de 30º. Camina 30 metros hacia la estatua
y en ese momento ve la parte superior con un ángulo de
elevación de 60º. Determine la altura de la parte superior de la
estatua. (Suponer que el observador no tiene altura).
9. Desde un faro de 60 metros de altura, se ven dos botes
alineados con el faro y a un mismo lado de éste, con ángulos
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Tema 3 / Sesión 8
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de depresión de 30º y 60º respectivamente. Determine la
distancia entre los botes.
Dos observadores A y B están situados en la misma horizontal, y
separados por una distancia de 250 metros. Entre ellos, y en el
mismo plano vertical, hay un
10.
11. Si ABC es un
triángulo rectángulo con ángulo recto en C y altura CD con
otenusa (figura 8.22.), entonces,
b) BC2 = AB.BD
globo que el observador A ve con
un ángulo de elevación de 45º y B con 60º. Determine la altura a
la que se encuentra el globo.
Demuestre el siguiente Teorema de los Catetos:
respecto a la hip
a) AC2 = AB.AD
A
B C
D
Figura 8.22. Triángulo rectángulo
Asumiendo que el ángulo α es agudo, seña12. le ¿cuál de los
s v s trigonométricos son posibles? siguiente alore a) Sen α = 2 b) Sen α = 1/3
c) Cos α = 2 d) Cos α = 32
13.
14.
0º y 45º
respectivamente. Determinar la longitud de la escalera.
e) Tag α = ½ f) Tag α = 100
g) Sec α = 4/3 h) Cosec α = 4
i) Sec α = 3 j) Cotag α = 1/3
El palo central de una tienda de campaña de forma de cono
circular tiene altura de 6 metros, y su parte superior está
sostenida por cuerdas de 12 metros de largo, amarradas a
estacas clavadas en la tierra. ¿A qué distancia están las
estacas del pié del mástil central?
Una escalera se encuentra apoyada contra un muro formando
un ángulo de 75º con el suelo. Dos observadores ubicados a
nivel del suelo a una distancia de 10 metros uno del otro, ven el
extremo de la escalera con un ángulo de elevación de 3
128 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
15. En la figura 8.23. se representa al trapecio ABCD, con lados AB
CD, AB ⊥ BC y el ángulo DAC = β = 120º. Si AB = 33 cm y BC
= 3 cm, determine la longitud del lado DC.
Figura 8.23. Trapecio ABCD
16. En el triángulo ABC de la figura 8.24. se conoce que CD ⊥ AB y
AC BC, AD = m y DB = n. Si ⊥31
=ba
, entonces mn
es igual a:
a) 1/3
b) 1/9
c) 9
d) 3
C
b a
3 3A B
B A n D β
3 C D
Figura 8.24. Triángulo ABC
m
17. En la figura 8.25., si AB DE y AB = 80 mt, DE = 40 mt y DC = 30
mt. ¿Cuánto mide en metros el segmento AC?
a) 50 mt b) 60 mt c) 100 mt d) 650 mt
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129 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
Figura 8.25. Segmento AC 18. La figura 8.26. muestra la forma de un terreno y las divisiones que
realizó el padre de tres hijos para repartirlo entre ellos. El padre
dispuso en su testamento que el triángulo ABC le correspondiera
al mayor de los hijos, el triángulo CDE al segundo de ellos y el
triángulo AED al menor de todos. Si AE = 10 Km y CD = 30 Km, El
área que le corresponde al mayor de los hijos es:
a) 100 Km2 b) 200 Km2 c) 300 Km2 d) 400 Km2
Figura 8.26. Terreno y sus divisiones 19. En la figura 8.27., el triángulo ABC es rectángulo isósceles con
AC = 2 2 cm; entonces el área total de la figura es:
a) 2 + π b) 1 + 2π c) 4 + π d) 4 + 2π
A B
C
D E D C
E
A B
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130 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
Figura 8.27. Triángulo ABC
C
A B
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131 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 8
Autoevaluación 8
Pregunta Nº 1 Si Cosec x , el valor numérico de sec x y cotag x son
respectivamente:
a.
b. c.
d. Pregunta Nº 2
El valor numérico de la expresión es:
a.
b.
c. d. Pregunta Nº 3
En la siguiente figura, si BC= 10 cm, el área del triángulo ABD en
es:
a. 300 b. 100 c. 400 d. 200
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132 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
Pregunta Nº 4
En la siguiente figura, se representa el trapecio ABCD, con lados AB
⊥CD, AB BC y el ángulo = 60º. Si AB=3 m y BC=3 m la
longitud del lado DC es:
a. 4 m b. 8 m c. 5 m d. 6 m Pregunta Nº 5
En la siguiente figura, la distancia AE expresada en metros es:
a. 6 b. 38 c. 36 d. 40 Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al
final de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con
la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la
sesión antes de continuar.
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133 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 8
Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 8
Respuestas de la Autoevaluación 8 Pregunta Nº 1
a. Pregunta Nº 2
c.
Pregunta Nº 3
d. 200 Pregunta Nº 4
d. 6 m
Pregunta Nº 5
c. 36
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