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CENTRO DE ESTUDIOS BORDEMAR LA CALERA

CENTRO DE ESTUDIOS BORDEMAR LA CALERA – MAIL: [email protected] - FONO: 33 2 516254

MARZO 2020

GUÍA DE APRENDIZAJE EDUCACIÓN

JÓVENES Y ADULTOS

PROFES@R ASIGNATURA MATEMATICA NIVEL PRIMER UNIDAD 0 DE NIVELACIÓN GUÍA N° 1

A. ESPERADO o Recordar conocimientos previos para la unidad.

o Reconocer y aplicar las propiedades de las operaciones con números naturales.

o Resolver problemas de la vida diaria aplicando las operaciones con números naturales.

UNIDAD 0: Nivelación

0.1 Números Naturales En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de

ciertos conjuntos, como también en operaciones elementales de cálculo. Son aquellos números naturales los que sirven para contar elementos por ejemplo: 1, 2, 3, 4, … Por definición convencional se dirá que cualquier elemento del siguiente conjunto, ℕ = {1, 2, 3, 4, …}, es un número natural. De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesor, por lo que el conjunto de los números naturales es ordenado e infinito.

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos; dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

Históricamente el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII. Esto no quiere decir que antes no se utilizara el número cero como numeral, ya que con la invención del sistema de numeración Hindi (en la India) se incluyó el número cero como numeral. Con el tiempo, este sistema de numeración también fue usado por los árabes; de este hecho viene que pasara de llamarse sistema de numeración Hindi a denominarse sistema de numeración arábigo-índico. Con la conquista musulmana de la península ibérica en el siglo XII, el sistema de numeración arábigo-índico empezó a usarse en Europa y pasó a llamarse sistema de numeración decimal, el cual incluye el cero como numeral, pero aun así no se considera a este como un número natural.

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina, y otras, como la teoría de la computación. Sin embargo, en la actualidad ambos convenios conviven, pero para nosotros no consideraremos el 0 perteneciente al conjunto de números naturales.

Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si se quiere incluir el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales se denota ℕ + {0}.

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0.2 Representación de Números Naturales en la recta numérica. Los números naturales se representan gráficamente por una semirrecta, a

partir del cual se transportan segmentos iguales, denominados segmentos unidad. De este modo se determinan los puntos que corresponden a cada número de la sucesión fundamental de los números naturales. A cada número natural le corresponde uno y sólo un punto de la recta numérica.

QUÉ ES LA RECTA NUMÉRICA Una recta es una alineación infinita de puntos en la misma dirección . Así bien, la recta

numérica es una recta en la que a cada uno de sus puntos le podemos asignar el valor de un número real.

UBICAR NÚMEROS NATURALES (IN) EN LA RECTA NUMÉRICA:

Para empezar, marcamos un punto en la recta al que llamamos 0 (que no pertenece a los números naturales), y la dividimos en segmentos, todos de la misma longitud. Cada uno representa una unidad, que separa un número entero del siguiente. Así:

(Recta dividida en segmentos de la misma longitud con un punto al que llamamos 0).

(Recta dividida en segmentos del mismo tamaño con la ubicación de los números naturales en cada uno de sus

extremos, a la derecha del punto 0).

Cuando se representan los números naturales sobre una recta, esta puede ser graduada de varias maneras: de 1 en 1, de 2 en 2, de 20 en 20 etc. La distancia entre dos puntos de la recta debe ser siempre la misma. A continuación unos ejemplos:




EJERCICIOS

I. Gradúa la recta numérica según sea necesario y ubica los siguientes números naturales:

a) 36, 22, 12, 24, 30, 2

b) 35, 90, 15, 80, 55, 5

c) 180, 90, 50, 20, 40, 10

d) 1, 4, 3, 8, 16, 14

e) 9, 27, 36, 45, 12, 3

II. Según lo resuelto en el ítem I, ordena de menor a mayor cada uno de los números según corresponda.

a) ________, ________, ________, ________, ________, ________

b) ________, ________, ________, ________, ________, ________

c) ________, ________, ________, ________, ________, ________

d) ________, ________, ________, ________, ________, ________

e) ________, ________, ________, ________, ________, ________




0.3 Propiedades de las operaciones con números naturales.

PROPIEDADES DE LA SUMA a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

1. Interna: a + b

3. Conmutativa: a + b = b + a 2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8 10 = 10

4. Elemento neutro: a + 0 = a 3 + 0 = 3

PROPIEDADES DE LA RESTA a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

No es una operación interna

2 − 5

No es Conmutativa 5 − 2 ≠ 2 − 5

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Interna:

a · b

Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15 30 = 30

Conmutativa: a · b = b · a 2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

Elemento neutro: a · 1 = a 3 · 1 = 3

Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5) 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10 16 = 16

Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

6 + 10 = 2 · 8 16 = 16




PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN D : d = c Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos

cociente.

División exacta

15 = 5 · 3

División entera

17 = 5 · 3 + 2

No es una operación interna

2 : 6

No es Conmutativo. 6 : 2 ≠ 2 : 6

Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

No se puede dividir por 0. El resultado no existe

0.4 Resolver operaciones.

PRIORIDADES EN LAS OPERACIONES 1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces. 3º. Efectuar los productos y cocientes. 4º. Realizar las sumas y restas.

1. OPERACIONES COMBINADAS SIN PARÉNTESIS

1.1 Combinación de sumas y diferencias.

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos. 3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas. = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones. 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias. 23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes. = 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas. = 26




2. OPERACIONES COMBINADAS CON PARÉNTESIS (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos. = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis realizando las operaciones. = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2

Restamos y sumamos. = 18

3. OPERACIONES COMBINADAS CON PARÉNTESIS Y CORCHETES [15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. = [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 )

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. = [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente: = (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los corchetes. = 12 · 7 − 3 + 2

Multiplicamos. = 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos. = 83

EJERCICIOS

Resuelve las siguientes operaciones, y recuerde las propiedades y las prioridades: a) 15 + 25 . - 21 + 6

b) 54 : 6 + 40 + 7 . 8 - 16

c) 60 + 49 : 7 + 11 . 5 - 2 + 6

d) ( 35 + 12 - 9 ) . ( 44 - 12 + 1 )




e) ( 96 : 2 + 20 ) - ( 8 . 4 - 25 )

f) ( 8 . 8 + 60 : 12 ) + ( 24 : 6 + 9 . 4 )

g) ( 5 . 10 - 80 : 4 ) . ( 26 + 5 - 3 . 5 + 1 )

h) 4 . ( 55 : 11 + 22 ) + ( 40 . 3 - 6 . 10 )

i)

j)

k)

l)




m)

n)

o)

p) (27 + 3) · 5 – 16 =

q) 27 · 3 – 45 : 5 + 16

r) (2 · 4 + 12) : (6 − 4)

s) 440 − [30 + 6 (19 + 12)]

t) 2{4[7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)}




0.5 Resolución de problemas. ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA Sigue los siguientes pasos para resolver un problema:

1. Lee atentamente el enunciado del problema y la pregunta. 2. Identifica los datos que son necesarios para resolver el problema. 3. Escoge y realiza la operación necesaria para resolver el problema. 4. Da una respuesta coherente con la pregunta del problema.

Ejemplo: “Un furgón transporta dos cajas de huevos con 15 docenas cada una. En un frenazo se vuelcan las cajas y se rompen 137 huevos. ¿Cuántos huevos quedan enteros?”

Identificar datos Operaciones Respuesta

Los datos necesarios son:

2 cajas de huevos con 15 docenas cada una.

Se rompen 137 huevos.

1° Como los datos que hemos seleccionado se encuentran en unidades de medidas distintas (una en docenas y la otra en unidades) debemos igualarlas.

2 cajas de 15 docenas serán: 2 ∙ 15 = 30

Por lo que tengo 30 docenas de huevos.

Ahora las 30 docenas (12 unidades) las transformo a unidades:

12 ∙ 30 = 360 Por lo cual, tengo 360 huevos entre las 2 cajas. 2° Ahora que tenemos las unidades de medidas iguales, nos queda responder la pregunta: ¿Cuántos huevos quedan enteros?, la palabra “quedan” es muy importante para resolver la pregunta ya que con ella sabemos que debemos “restar los huevos que había en las cajas menos los que se rompieron”:

360 − 137 = 223

Por último, debemos dar la respuesta a la pregunta:

Respuesta: “Quedan 223 huevos enteros.”




EJERCICIOS DE SELECCIÓN MULTIPLE




OCUPA ESTE ESPACIO PARA TOMAR APUNTES DE TUS DESARROLLOS:




EVALUACIÓN DE UNIDAD 0 NOMBRE ALUMNO: ________________________________FECHA:__/___/_____

SEDE: ________________________________

I. Según la historia de las matemáticas responde: a. ¿Cuál es el primer número del conjunto de números naturales? ________

b. ¿Cuál es el último número? ____________________________________

II. Representemos los Naturales en la recta numérica: Gradúa la recta numérica según sea necesario y ubica los siguientes números naturales. Luego ordénalos de menor a mayor a) 77, 7, 21, 49, 91,

________, ________, ________, ________, ________, ________

b) 35, 90, 15, 80, 55, 5

________, ________, ________, ________, ________, ________

III. Resuelve las siguientes operaciones

a) 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4

b) 100 : ( 30 + 5 - 10 ) . ( 64 : 8 + 5 . 2

c)




IV. Resolución de problemas :

Debes completar la tabla, pero te ayudamos con las alternativas.

Identificar datos Operaciones Respuesta


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