Guía 6 de Matemáticas. PRIMEROS MEDIOS. (13 al 24 de Septiembre) Nombre: …………………………………………………. Curso: ……. Fecha: ...……

Inicio: Estimada y estimado estudiante: Al desarrollar esta guía aprenderás a expresar cantidades haciendo uso de potencias de base racional y exponente entero, usando diversas propiedades de las potencias. Objetivo de la clase: Comprender las potencias de base racional y exponente entero, utilizando las propiedades de la multiplicación y división de potencias. Actividad inicial: 15 minutos Las bacterias habitan el planeta desde hace millones de años y se consideran los organismos más abundantes del planeta en la actualidad. Se calcula que se pueden encontrar aproximadamente 4∙107 bacterias en un gramo de tierra y 1∙106 bacterias en un mililitro de agua dulce. Se reproducen muy rápido, por medio del proceso llamado Mitosis. Por ejemplo: Una bacteria madre se divide en dos cada media hora, generando así dos bacterias. Estas dos nuevas bacterias se vuelven a dividir en dos, media hora después. Ahora hay 4 bacterias. Y así sucesivamente. 1. Aproximadamente, ¿cuántas bacterias se pueden encontrar en un gramo de tierra? ¿Y en un mililitro de agua? Expresa las cantidades en potencias y de forma extendida (sin potencias).

2. Completa la tabla considerando una bacteria que se divide en dos cada media hora.

Etapa Tiempo reproducción (min) N° de bacterias N° de bacterias en potencia

0 0 1

1 30 2

2 60 4 22

3

6

3. Para indicar la cantidad de bacterias en la etapa 10 ¿usarías el número o la potencia? ¿y para la etapa 20, harías lo mismo? Argumenta.

4. ¿En qué crees que aporta el uso de las potencias para expresar cantidades?

5. Si comenzara este proceso con un mayor número de bacterias, la cantidad de bacterias sería mayor en cada etapa de duplicación. Completa la tabla considerando más bacterias al inicio de la mitosis:

Etapa Tiempo reproducción (min) 1 bacteria al inicio (en potencia) 3 bacterias al inicio (en potencia)

0 0 1 = 20 3 = 3 ∙ 1 = 3 ∙ 20

1 30

2 60 22 3 ∙ 22

3

6

6. Desde la tabla anterior, ¿puedes expresar utilizando potencias la cantidad de bacterias en las etapa 10 si es que al inicio había 3 bacterias?

Práctica guiada: 40 minutos Multiplicación de potencias de base racional 1. Resuelve la siguiente multiplicación de fracciones, paso a paso:

Recuerda que: 𝑎𝑎𝑏𝑏∙ 𝑐𝑐𝑑𝑑

= 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑏𝑏 ∙ 𝑑𝑑

, b ≠ 0 y d ≠ 0

Por ejemplo: 57∙ 23

= 5 ∙ 27 ∙ 3

= 1021

23∙

23

= 2. Expresa el resultado anterior como una potencia sin utilizar un exponente igual a 1.

23∙

23

= �

�

¿Cuál es la relación entre las fracciones (factores) a multiplicar y la base de la potencia?

3. Ahora resuelve la siguiente multiplicación de potencias con base un número racional, paso a paso:

�23�3∙ �

23�2

a. Expresa la multiplicación de las potencias como producto de fracciones y luego vuelve a expresar el resultado como una potencia:

�23�3∙ �

23�2

=

∙

∙

�����������1° 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎

∙

∙

�������

2° 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎

= � 2

3�3+2

b. ¿Cuál es la relación entre las fracciones (factores) a multiplicar y la base de la potencia del resultado?

c. ¿Cuál es la relación entre los exponentes de las fracciones a multiplicar y el exponente de la potencia del resultado?

4. Resuelve expresando como una sola potencia:

a. �13�2∙ �1

3�2

=

b. �35�3∙ � 9

25� = �3

5�

3 ∙ �3

5�

2 =

c. (0,25)5 ∙ (0,25)2 =

5. Describe en tus palabras los pasos para multiplicar potencias de igual base y distinto exponente.

División de potencias de base racional Recuerda las propiedades de la división de potencias de igual base y que aplicaste en cursos anteriores, cuando la base de la potencia es un número natural.

Recuerda que: 𝑎𝑎𝑚𝑚

𝑎𝑎𝑛𝑛= 𝑎𝑎𝑚𝑚:𝑎𝑎𝑝𝑝 = 𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑝𝑝, a ≠ 0

Por ejemplo: 65

62= 65: 62 = 65−2 = 63

1. ¿Cómo puedes aplicar la propiedad anterior para el caso de una potencia de base fraccionaria?

�25�4

: �25�2

a. Expresa la división anterior como división de potencias de igual base:

�25�

4

�25�

2 = � � = � �

b. Describe los pasos que realizaste para completar la igualdad anterior.

Recuerda que: 𝑎𝑎𝑏𝑏

: 𝑐𝑐𝑑𝑑

= 𝑎𝑎𝑏𝑏∙ 𝑑𝑑𝑐𝑐

= 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑

, b≠0, c≠0, d≠0

Por ejemplo: 34

: 56

= 34∙ 65

= 1820

= 910

c. Comprueba que el resultado obtenido es el correcto. Resuelve paso a paso:

Calcular el resultado de cada potencia

Dividir las fracciones resultantes y simplificar el resultado

Expresar la fracción resultante como potencia con el mayor exponente posible

�25�4

= ∙

∙

∙

=

�25�2

=

∙

=

2. ¿Qué procedimiento prefieres utilizar? ¿Por qué?

3. Resuelve expresando como una sola potencia:

a. �13�8

: �13�6

=

b. �35�3

: � 27125� =

c. (0,25)5: (0,25)2 =

4. Describe en tus palabras los pasos para dividir potencias de base racional y exponente entero.

Potencias con base racional y exponente negativo 1. Sigue los siguientes pasos para descubrir cómo se interpreta una potencia de exponente negativo. a. Expresa como una sola potencia, aplicando la propiedad de división de potencias:

�23�2

: �23�5

= b. ¿Cómo podrías interpretar el signo del exponente en el resultado obtenido?

c. Desarrolla cada potencia por separado y divide los resultados obtenidos usando la propiedad de división de fracciones. Vuelve a expresar el resultado como potencia:

Calcular el resultado de cada potencia Dividir las fracciones resultantes y simplificar el resultado

Expresar la fracción resultante como potencia con el mayor exponente posible

�23�2

=

∙

=

�23�5

= ∙

∙

∙

∙

=

3. Compara los dos resultados obtenidos para �23�2

: �23�5

en los puntos 1 y en 2.

a. ¿Cómo son las bases de las potencias en cada caso?

b. ¿Cómo son los signos de los exponentes en cada caso?

c. ¿Cómo podrías expresar una potencia de exponente negativo, usando un exponente positivo? Utiliza las relaciones descubiertas en los puntos a y b. Hazlo a partir de un ejemplo.

4. Resuelve esta división de potencias, aplicando la propiedad de la división y expresando luego el resultado como una potencia de exponente positivo.

�52�3

: �52�7

5. Describe con tus palabras los pasos para expresar una potencia de exponente negativo como una potencia de exponente positivo. Intenta expresarlo algebraicamente.

Chequeo de la comprensión: 15 minutos 1. Desarrolla los siguientes ejercicios de potencias, aplicando propiedades cuando sea necesario:

Expresa como una sola potencia de exponente positivo, y cuando te parezca adecuado, calcula el resultado. Propiedad(es) aplicadas:

(6,3)16

(6,3)14

(2,3)2 ∙ (2,3)4 =

�18�3

: �18�6

�35�4

: �35�2

�254� ∙ �

52�−2

2. A partir de tu trabajo responde las preguntas. Luego comparte tus respuestas con tus compañeros y compañeras: a. ¿Qué ejercicio te costó más desarrollar? ¿A qué crees que se deba?

b. ¿Qué ejercicio te costó menos resolver? ¿Qué características tiene?

c. ¿Qué dificultades surgieron cuando aplicaste las propiedades de las potencias? Identifícalas y explícalas. Usa un ejemplo si es necesario.

Práctica independiente: 10 minutos Desarrolla los siguientes ejercicios de potencias, aplicando propiedades cuando sea necesario. Puedes comprobar tus respuestas con tu clase.

Expresa el resultado como potencia de exponente positivo, y cuando te parezca adecuado, calcula el resultado.: Propiedad(es) aplicadas:

�16�3

: �16�−5

(0,5)2 ∙ 0,25

�23�2

: �23�2

�43�−5

=

�56�−3

: �56�2

Actividad de síntesis: 10 minutos Desafío 1: Expresa de forma conveniente los factores de la siguiente multiplicación como potencias. Para ello, usa las propiedades de las potencias que has estudiado y calcula el resultado.

25∙

254∙

1015

=

Desafío 2: Usa las propiedades de las potencias de base racional y exponente entero para simplificar esta expresión algebraica:

𝑎𝑎𝑏𝑏∙𝑏𝑏2

𝑎𝑎2∙𝑎𝑎𝑏𝑏3𝑏𝑏

=

Responde: ¿Cuáles son las propiedades de las potencias que estudiante hoy?

¿Cómo se aplican en la resolución de potencias de números racionales?

Inicio: Estimada y estimado estudiante: Al desarrollar esta guía podrás estudiar diferentes fenómenos de tu entorno que crecen o decrecen de una forma particular, haciendo uso de las potencias. Objetivo de la clase: Comprender las potencias de base racional y exponente entero, relacionándolas con el crecimiento y decrecimiento de cantidades. Actividad inicial: 10 minutos Crecimiento exponencial de base un número natural En el estudio de árboles genealógicos se dan algunos fenómenos muy interesantes. Camila descubrió que todos sus antepasados (ascendencia) tuvieron siempre un solo hijo o hija: • Cada uno tuvo un padre y una madre. • Cada padre y madre tuvo a su vez un padre y una madre. • Cada abuelo y abuela también tuvo un padre y una madre. 1. Completa la tabla de ascendencia familiar de Camila:

Nivel de ascendencia

Cantidad de personas por nivel

Escrito como potencia

0 (Camila) 1

1 (Mamá y papá)

2 (Abuelos/as) 22

3

2. ¿Cuántos familiares tiene Camila en el 5° nivel de ascendencia? Considera solo los familiares que aparecen en el nivel 5 de ascendencia.

3. ¿Cuántos miembros tiene la familia de Camila hasta la 5° ascendencia, incluida ella? ¿Cuál es la diferencia de esta pregunta con la pregunta anterior?

4. Describe cómo consideras que crece la ascendencia de Camila a medida que aumentan los niveles.

Práctica guiada: 45 minutos Potencia de una potencia 1. A diferencia de la familia de Camila, la familia de Esteban es mucho más grande. Su bisabuela tuvo 4 hijos y a su vez, cada uno de ellos tuvo también 4 hijos. Estos últimos también tuvieron 4 hijos cada uno. Un esquema de la descendencia de la bisabuela de Esteban se muestra en el siguiente esquema.

a) Completa la siguiente tabla.

Nivel de descendencia

Cantidad de personal por nivel

Escrito como potencia base 4

Escrito como potencia de base 2, al cuadrado

Escrito como potencia base 2

0 1

.1 41 (22)1

2 24

3 (22)3

b) ¿Cuál es la relación entre los exponentes de las últimas 2 columnas?

c) Establece junto a tus compañeros/as y profesor/a una regla para resolver las potencias de potencias.

d) En los ejercicios anteriores, notaste que se cumple la propiedad (am)n = am ∙ n cuando la base es entera. ¿Se cumplirá los mismo si la base es un número racional no entero?

3. Aplica la regla “potencia de una potencia” en los siguientes casos, expresando los resultados como la misma base y una sola potencia.

a. (7–2)3

b. ��13�2�4

c. (0,253)5

Decrecimiento exponencial. Potencias con base racional positiva Imagina que tienes un trozo rectangular de cartulina de 40 cm de largo por 30 cm de ancho, el cual se dobla y corta sucesivamente por la mitad, según muestra la figura:

1. Completa la tabla que resulta al realizar los dobleces y cortes a la cartulina:

Cantidad de cortes Área del trozo de cartulina resultante (cm2)

Cantidad escrita como potencia usando una misma base

0 1200 �12�0∙ 1200

1 12 ∙ 1200 = 600 �1

2�1∙ 1200

2

3

2. ¿Cuánto medirá el área de la figura resultante después de hacer 8 dobleces y cortes? Expresa tu respuesta como potencia con el mayor exponente posible.

3. ¿Cuánto medirá el área resultante después de hacer muchos dobleces? Si te ayuda, puedes considerar n dobleces y escribir una expresión que represente la situación.

4. Describe el patrón de decrecimiento del área de cada trozo de cartulina a medida que aumenta la cantidad de dobleces y cortes.

5. Observa la base de la potencia usada en la situación anterior, ¿por qué crees que el resultado de la potencia disminuye a medida que crece el exponente? Comenta tu respuesta con tu curso.

Crecimiento exponencial. Potencias con base racional En la actividad inicial de esta guía, analizamos los ascendientes y descendientes de una persona, en ambos casos se evidenció lo que en matemática se conoce como “crecimiento exponencial”.

Por ejemplo, la cantidad de padres se duplica para obtener la cantidad de abuelos. En general, se duplica el número de familiares de un nivel para obtener la cantidad de familiares del siguiente. Es decir, aumenta cada vez el doble de nivel a nivel.

Ahora, analiza esta nueva situación: 1. El número de lombrices en un cultivo obedece a un crecimiento exponencial, pues cada dos meses la cantidad de lombrices se triplica. La expresión para determinar la cantidad de lombrices en el cultivo es:

L = 10 ∙ 3𝑡𝑡2

Donde L representa la cantidad de lombrices en el cultivo en miles y t, el tiempo en meses del cultivo. a. Completa la tabla:

Tiempo t Cantidad L escrita como potencia usando una misma base L en miles

0 10 ∙ 30 10

2 10 ∙ 322 = 10 ∙ 31 30

4 10 ∙ 342 = 10 ∙ 32 90

6

8

10

2. Describe cómo crece el número de lombrices a medida que aumenta la cantidad de meses.

3. De los casos de crecimiento y decrecimiento exponencial abordados, las potencias tienen ciertas características que provocan el crecimiento o decrecimiento de su valor según sea el caso. En cuanto a la base de las potencias, ¿qué característica se puede visualizar? Comenta tu respuesta con tus compañeros y compañeras.

Chequeo de la comprensión: 10 minutos Utiliza calculadora para resolver el siguiente problema. 1. Existen múltiples virus que han sido controlados, sin embargo, provoca que cada año aumente considerablemente la cantidad de enfermos. Para un cierto virus, el modelo que describe la cantidad de contagiados por año viene dado por:

C = 2 300 ∙ 1,2n Donde C es la cantidad total de contagiados (asumiendo que no hay muertes) y n es cantidad de años transcurridos desde que se comenzó a contar a los enfermos con este virus. a. Completa la tabla:

Años transcurridos Factor de crecimiento C

0 1,20 2 300

1 1,21 2 760

2

10

n

b. Calcula la cantidad de posibles enfermos que se proyecta para 20 años. Registra tus cálculos.

c. ¿Esta situación corresponden a un crecimiento o a un decrecimiento exponencial? Explica cómo lo determinaste.

2. A partir de tu trabajo responde las preguntas. Luego comparte tus respuestas con tus compañeros y compañeras: a. ¿Qué situación consideraste más compleja? ¿A qué crees que se deba?

b. En relación con los niveles de comprensión (bajo, medio o alto) cuál crees tú que fue tu nivel de comprensión del crecimiento y decrecimiento exponencial. Indica lo que has comprendido bien.

c. Registra aquellos elementos que aún necesitas repasar para comprender mejor.

Práctica independiente: 15 minutos Resuelve los siguientes problemas de crecimiento y de decrecimiento exponencial. Luego, comprueba tus respuestas con tu clase. 1. Una sustancia de masa 16 777 216 mg, se desintegra a un cuarto de su masa cada año. a. Completa la tabla:

Años transcurridos Factor de decrecimiento Masa de la sustancia

0 1 �14�0∙ 16 777 216

1 14

2

10

n

b. ¿Cuánto años deberán transcurrir para que la sustancia se desintegre hasta tener una masa de 65 536 mg?

c. ¿Cuál será la masa que queda después de 7 años?

d. ¿Esta situación corresponden a un crecimiento o a un decrecimiento exponencial? Argumenta.

2. Claudio decide criar ratones. Comienza con una pareja y después de tres meses hay tres nuevas parejas de ratones. A los tres meses nuevamente se triplicaron la cantidad de nuevas parejas de ratones. ¿Después de cuánto tiempo tendrá 162 ratones? Elabora una tabla para organizar la información.

3. Una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo que después de 1 hora queda la mitad de la cantidad inicial. Si en cierto momento hay 320 gramos de la sustancia, ¿cuánto quedará después de 8 horas? ¿Cuánto quedará después de n horas? Elabora una tabla para organizar la información.

Actividad de síntesis: 10 minutos Desafío: 1.- Una cuerda de 1 metro de longitud es dividida sucesivas veces por la mitad cada vez. ¿Qué pasa con el trozo resultante luego de cada división?, ¿qué medida tiene el trozo de cuerda en la división n?, ¿hasta cuándo se puede dividir?

2.- Resume con tus palabras en qué consiste el crecimiento y el decrecimiento exponencial. 3.- Señala una diferencia y una similitud entre una situación de crecimiento exponencial y una situación de decrecimiento exponencial.